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(完整版)图像的二维傅里叶变换和频谱==

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例：计算图像 f的频谱并显示
F=fft2(f);
S=abs(F); %求幅度
imshow(S,[])；%显示图像幅度频谱
Fc=fftshift(F); %将图像频谱原点移动到中心显示
imshow(abs(Fc));
三、实验内容
（一）一维傅里叶变换的实现和分析
1、生成一个一维向量，x＝[1 2 3 4 5 6 7 8]; 计算该向量的傅里叶变换，并由傅里叶变换求反变换，验证结果。
x2=imrotate(x1,90);
subplot(3,2,5),imshow(x2);
title('x1旋转90度的x2幅度谱图');
F2=fft2(x2);
subplot(3,2,6),imshow(log(abs(F2)),[]);
title('x2傅里叶变换的幅度谱图');
运行结果：
（三）任意图像的频谱显示
1、同屏显示原图f1和FFT(f1)的幅度谱图；
2、若令 f2(x,y)=（-1）x+y f1(x,y)，重复过程 1，比较二者幅度谱的异同，简述理由；
3、若将 f2(x,y)顺时针旋转 90 度得到 f3(x,y)，试显示 FFT(f3)的幅度谱，并与
FFT(f2)的幅度谱进行比较。
（三）任意图像的频谱显示任意图像的频谱显示
运行结果：
2、程序：
x=zeros(64,64);
x(32-20:32+20,32-8:32+8)=255;
subplot(2,2,1),imshow(x);
title('原图x幅度谱图');
F=fft2(x);
subplot(2,2,2),imshow(log(abs(F)),[]);
title('x傅里叶变换的幅度谱图');
程序：
i=imread('D:\image\lena.bmp')
i1=fft2(i)
subplot(2,3,1)
imshow(i)
title('lena原图像')
subplot(2,3,2)
imshow(log(abs(i1)),[])
title('lena频谱图')
subplot(2,3,3)
i2=fftshift(i1)
1、读入图像lenagray.tif，计算该图像的频谱，并将频谱原点移到中心位置显示。
2、读入图像rice.tif，计算该图像的频谱，并将频谱原点移到中心位置显示。
四、实验步骤
（一）一维傅里叶变换的实现和分析
1、程序：
x=[1 2 3 4 5 6 7 8]
F=fft(x)
F=ifft(F)
运行结果：
imshow(log(abs(i2)),[])
title('lena频谱原点移到中心位置')
i11=imread('D:\image\rice.png')
i22=fft2(i11)
subplot(2,3,4)
imshow(i11)
title(rice原图像')
subplot(2,3,5)
imshow(log(abs(i22)),[])
for i=1:64
for j=1:64
h(i,j)=(-1).^(i-1+j-1);
end
end
x1=h.*x
F1=fft2(x1);
subplot(3,2,3),imshow(x1);
title('x1幅度谱图');
subplot(3,2,4),imshow(log(abs(F1)),[]);
title('x1幅度谱图');
运行结果：
3、程序：
x=zeros(64,64);
x(32-20:32+20,32-8:32+8)=255;
subplot(3,2,1),imshow(x);
title('原图x幅度谱图');
F=fft2(x);
subplot(3,2,2),imshow(log(abs(F)),[]);
title('x傅里叶变换的幅度谱图');
2、程序：
x=[1 2 3 4 5 6 7 8]
F=fft(x)
for i=1:10
y=(-1).^(i-1);
end
x1=x.*y
F1=fft(x1)
运行结果：
3、程序：
clc
x=[1 2 3 4 5 6 7 8]
F=fft(x)
Fa=fftshift(x)
Fb=fftshift(F)
运行结果：
（二）
for i=1:64
for j=1:64
h(i,j)=(-1).^(i-1+j-1);
end
end
x1=h.*x
F1=fft2(x1);
subplot(2,2,3),imshow(x1);
title('x1幅度谱图');
subplot(2,2,4),imshow(log(abs(F1)),[]);
title('x1傅里叶变换的幅度谱图');
2在时间域中将x乘以(-1)n，计算其傅里叶变换，实现傅里叶变换的平移性质使用 fftshift函数，实现频谱的平移。
（二）二维傅里叶变换的实现和分析
产生如图所示图象 f1(x,y)（64×64 大小，中间亮条宽 16，高 40，居中，暗处=0，亮处=255），用 MATLAB 中的 fft2 函数求其傅里叶变换，要求：
1、程序：
clc
clear
x=zeros(64,64);
x(32-20:32+20,32-8:32+8)=255;
subplot(1,2,1),imshow(x);
title('原图幅度谱图');
F=fft2(x);
subplot(1,2,2),imshow(log(abs(F)),[]);
title('傅里叶变换的幅度谱图');
实验用到的基本函数：
一维傅里叶变换函数： fft,
一维傅里叶反变换函数：ifft
频谱搬移函数：fftshift
二维傅里叶变换函数：fft2
二维傅里叶反变换函数：ifft2
绘图函数：imshow， mesh
【说明，如对上述函数的使用方法有疑问，请先用help命令查询。建议先用help命令查询器应用方法，再做具体实验内容。】
图像的二维傅里叶变换和频谱
1、实验目的
通过本实验使学生掌握使用MATLAB 进行二维傅里叶变换的方法，加深对二维傅里叶变换的理解和图像频谱的理解。
二、实验原理
本实验是基于数字图像处理课程中的二维傅里叶变换理论来设计的。
本实验的准备知识：第四章 频域图像增强中的一维傅里叶变换和二维傅里叶变换，频 域图像增强的步骤，频域滤波器。
title('rice频谱图')
subplot(2,3,6)
i33=fftshift(i22)

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图像频域分析PPT课件

图像频域分析PPT课件


5、iffshift用于颠倒这种居中。 6、ifft2（F）用于计算傅里叶逆变换。
>> f=imread('Fig0403(a)(image).tif'); >> imshow(f) >> F=fft2(f); >> S=abs(F); >> imshow(S,[]) >> Fc=fftshift(F); >> imshow(abs(Fc),[]) >> S2=log(1+abs(Fc)); >> imshow(S2,[])
F=fft2（f，PQ（1），PQ(2)）; 3、生成一个大小为PQ（1）*PQ(2)的滤波函数H; 4、将变换乘以滤波函数：
G=H.*F; 5、获得G的傅里叶逆变换的实部：
g=real（ifft2（G））； 6、将左上角的矩形修剪为原始大小:
g=g(1:size(f,1):size(f,1))
4、4 从空间滤波器获得频域滤波器
4、6 锐化频域滤波器
基本的高通滤波器 Hhp（u，v)=1- Hhp（u，v)=
例：高通滤波 f=imread('Fig0413(a)(original_test_pattern).tif'); imshow(f) PQ=paddedsize(size(f)); D0=0.05*PQ(1); H=hpfilter('gaussian',PQ(1),PQ(2),D0); g=dftfilt(f,H); figure,imshow(g,[])
Magnitude
8 7 6 5 4 3 2 1 0 1
0.5
0 -0.5
Fy
图像的二维傅里叶变换

图像的二维傅里叶变换

图像傅立叶变换（二维傅立叶变换fourier, 二维DFT, 2d-fft）的原理和物理意义图像傅立叶变换图像的傅立叶变换，原始图像由N行N列构成，N必须是基2的，把这个N*N个包含图像的点称为实部，另外还需要N*N个点称为虚部，因为FFT是基于复数的，如下图所示：计算图像傅立叶变换的过程很简单：首先对每一行做一维FFT，然后对每一列做一维FFT。

具体来说，先对第0行的N个点做FFT（实部有值，虚部为0），将FFT输出的实部放回原来第0行的实部，FFT输出的虚部放回第0行的虚部，这样计算完全部行之后，图像的实部和虚部包含的是中间数据，然后用相同的办法进行列方向上的FFT变换，这样N*N的图像经过FFT得到一个N*N的频谱。

下面展示了一副图像的二维FFT变换：频域中可以包含负值，图像中灰色表示0，黑色表示负值，白色表示正值。

可以看到4个角上的黑色更黑，白色更白，表示其幅度更大，其实4个角上的系数表示的是图像的低频组成部分，而中心则是图像的高频组成部分。

除此以外，FFT的系数显得杂乱无章，基本看不出什么。

将上述直角坐标转换为极坐标的形式，稍微比较容易理解一点，幅度中4个角上白色的区域表示幅度较大，而相位中高频和低频基本看不出什么区别来。

上述以一种不同的方法展示了图像频谱，它将低频部分平移到了频谱的中心。

这个其实很好理解，因为经2D-FFT的信号是离散图像，其2D-FFT的输出就是周期信号，也就是将前面一张图周期性平铺，取了一张以低频为中心的图。

将原点放在中心有很多好处，比如更加直观更符合周期性的原理，但在这节中还是以未平移之前的图来解释。

行N/2和列N/2将频域分成四块。

对实部和幅度来说，右上角和左下角成镜像关系，左上角和右下角也是镜像关系；对虚部和相位来说，也是类似的，只是符号要取反，这种对称性和1维傅立叶变换是类似的，你可以往前看看。

为简单起见，先考虑4*4的像素，右边是其灰度值，对这些灰度值进行2维fft变换。

c++ 二维傅里叶变换

c++ 二维傅里叶变换

c++ 二维傅里叶变换二维傅里叶变换（DFT）是信号处理和图像处理领域中常用的数学工具之一，用于将二维时域数据转换为频域数据。

本文将介绍二维傅里叶变换的基本原理、算法以及实现方法。

一、基本原理傅里叶变换是一种将时域信号分解为一组复指数函数的线性变换。

对于二维信号而言，傅里叶变换可以看作是将图像转换为一组表示其频域信息的复数系数。

二维傅里叶变换的数学表达式为：F(u, v) = ΣΣf(x, y) * e^(-j2π(ux/M + vy/N))其中，F(u, v)表示频域中的某个频率分量，f(x, y)表示时域中的某个点的灰度值，(u, v)表示空域中的坐标点，M和N分别表示图像的宽度和高度。

二、算法说明二维傅里叶变换的计算可以通过将图像分解为一维傅里叶变换的连续求解来实现。

具体而言，可以先对每一行进行傅里叶变换，然后对每一列进行傅里叶变换，最后得到二维傅里叶变换结果。

算法步骤如下：1.对每一行进行一维傅里叶变换：对于图像的每一行，将其转换为频域中的一维信号。

2.对每一列进行一维傅里叶变换：对于第一步的结果，再次进行一维傅里叶变换，将其转换为频域中的二维信号。

3.得到二维傅里叶变换结果：将第二步的结果作为最终的二维傅里叶变换结果。

三、实现方法在C++中，可以使用快速傅里叶变换（FFT）算法来高效计算二维傅里叶变换结果。

下面给出一个简单的示例代码，用于实现二维傅里叶变换。

```cpp#include <complex>#include <iostream>#include <valarray>typedef std::complex<double> Complex;typedef std::valarray<Complex> ComplexArray; void FFT(ComplexArray& x){const size_t N = x.size();if (N <= 1)return;ComplexArray even = x[std::slice(0, N / 2, 2)]; ComplexArray odd = x[std::slice(1, N / 2, 2)]; FFT(even);FFT(odd);for (size_t k = 0; k < N / 2; ++k){Complex t = std::polar(1.0, -2 * M_PI * k / N) * odd[k];x[k] = even[k] + t;x[k + N / 2] = even[k] - t;}}void DFT(const ComplexArray& input, ComplexArray& output, int width, int height){output.resize(width * height);for (int v = 0; v < height; ++v){ComplexArray row = input[std::slice(v * width, width, 1)];FFT(row);for (int u = 0; u < width; ++u)output[u * height + v] = row[u];}for (int u = 0; u < width; ++u){ComplexArray column = output[std::slice(u * height, height, width)];FFT(column);for (int v = 0; v < height; ++v)output[u * height + v] = column[v];}}int main(){//假设有一个3x3的图像作为输入const int width = 3;const int height = 3;ComplexArray input(width * height);//初始化输入图像的像素值for (int i = 0; i < width * height; ++i) input[i] = i;//计算二维傅里叶变换ComplexArray output;DFT(input, output, width, height);//输出二维傅里叶变换结果for (int v = 0; v < height; ++v){for (int u = 0; u < width; ++u)std::cout << output[u * height + v] << " ";std::cout << std::endl;}return 0;}```上述代码实现了一个简单的二维傅里叶变换。

图像变换傅立叶频谱图

图像变换傅立叶频谱图


相位角
(u, v) arctan I (u, v) R(u, v)
二维离散傅里叶变换
1） 定义
u, v 0,1,N 1 F(u, v)
1
M 1 N 1
f ( x, y)e j 2 (ux / M vy/ N )
MN x0 y0
2） 逆傅立叶变换
M 1 N 1

f (x) F (u)e j2uxdu
3） 傅立叶变换特征参数

f (x, y) F (u, v)e j2 (uxvy)dudv
F(u,v) R(u,v) jI(u,v)
频谱/模
F(u, v) R2 (u, v) I 2 (u, v)
能量谱/功率谱 P(u,v) F(u,v) 2 R2(u,v) I 2(u,v)
图像变换
图像变换主要有： 傅立叶变换、主成份变换、缨帽变换、代数运算、彩色 变换
其中傅立叶（Fourier）变换的应用非常是 广泛的，非常有名的变换之一。
2、傅立叶变换
傅立叶（Fourier），法国数学及物理学家，傅立叶级数（三角级 数）创始人。
1801年任伊泽尔省地方长官，1817年当选科学院院士，1822年任 该院终身秘书，后又任法兰西学院终身秘书和理工科大学校务委员会 主席。
?一维二维连续傅里叶变换一维二维连续傅里叶变换fxy变换到fuv1定义定义??????dxexfufuxj?2dydxeyxfvufvyuxj???????2?2逆傅立叶变换逆傅立叶变换?????dueufxfuxj?2dvduevufyxfvyuxj??????2?3傅立叶变换特征参数傅立叶变换特征参数vujivurvuf??频谱频谱模模22vuivurvuf??能量谱能量谱功率谱功率谱222vuivurvufvup???相位角相位角arctanvurvuivu???二维离散傅里叶变换二维离散傅里叶变换1定义定义???0x??????11021mnynvymuxjeyxfmnvuf?2逆傅立叶变换逆傅立叶变换???0x??????1102mnynvymuxjevufyxf?110??nvu?110??nyx?fuv为fxy的频谱题西林壁题西林壁苏轼横看成岭侧成峰远近高低各不同同远近高低各不不识庐山真面目只缘身在此山中?3频率域图像频谱频率域图像频谱或称为傅立叶谱原图频域图傅立叶变换原图傅立叶变换后的频域图对图像信号而言空间频率是指单位长度内亮度对图像信号而言空间频率是指单位长度内亮度也就是是灰度也就是是灰度作周期性变化的次数