一类具有脉冲的中立型时滞微分方程正周期解的存在性

一类含有时滞的脉冲微分方程的正周期解陈鹏玉;陈麒玉【摘要】研究了一类含有时滞的脉冲微分方程,在系数变号的情形下,利用锥上的不动点定理获得了其正ω-周期解的存在性结果.【期刊名称】《兰州交通大学学报》【年(卷),期】2010(029)001【总页数】4页(P151-153,156)【关键词】正周期解;脉冲;不动点定理;锥【作者】陈鹏玉;陈麒玉【作者单位】西北师范大学,数学与信息科学学院,甘肃,兰州730070;中国地质大学,计算机学院,湖北,武汉430074【正文语种】中文【中图分类】O175.14脉冲微分方程是微分方程理论中一个新的重要分支,它在物理、化学、生物医学、工业机器人技术和经济学等领域都有重要应用.而脉冲微分方程正周期解的存在性作为该分支中的一个重要课题正受到许多学者的关注[1-4].最近,万阿英[3]利用锥上的不动点定理研究了含有时滞的微分方程正ω-周期解的存在性.其中：a(t)∈C(R,(0,+∞));τ(t)∈C(R,R);f∈C(R×[0,+∞),[0,+∞))且,a(t),τ(t),f(t,u)都为ω-周期函数.李晓月[4]利用同样的不动点定理研究了含有时滞的脉冲微分方程正ω-周期解的存在性.其中：a(t)∈C(R,(0,∞));τ(t)∈C(R,R);f∈C(R×[0,+∞),[0,+∞));Ik∈C([0,+∞),[0,+∞)),且a(t),τ(t),f(t,u)都为ω-周期函数.存在正整数m,使得tk+m=tk+ω,Ik+m=Ik,k ∈ Z,假设[0,ω)∩ {tk：k ∈ Z}={t1,t2,…,tm}.但上述结果均要求a(t)为正值连续函数,这在很大程度上缩小了方程(1)的适用范围.本文取消了对a(t)正性的限制,在a(t)可变号的情形下,研究了含有时滞的脉冲微分方程(2)正ω-周期解的存在性.假设：[0,+∞)),且a(t),τ(t),f(t,u)都为ω-周期函数,ω＞0为常数;定理1[6] 设X为Banach空间,K是X中的一个锥,Ω1和Ω2是X中的开集,0∈ Ω1⊂Ω2,A：K ∩\Ω1)→K 连续且全连续,使得(ⅰ)‖Au‖ ≤ ‖u‖,u∈K ∩ ∂Ω1;(ⅱ)存在φ∈K\{0},使得u≠Au+λφ,u∈K∩ ∂Ω2且λ＞0.则A在K ∩(\Ω1)中有一个不动点.注1 如果把定理1中的条件(ⅰ)和(ⅱ)换成如下条件：(ⅰ)＊‖Au‖ ≤‖u‖,u∈K ∩ ∂Ω2;(ⅱ)＊存在φ∈ K\{0},使得u≠Au+λφ,u∈K ∩ ∂Ω1且λ＞0.则A在K ∩\Ω1)中有一个不动点.1 预备工作及引理首先,考虑“线性”问题其中：h(t)∈C(R,[0,+∞))是一ω-周期函数,并且其余参数满足假设(H 1)～(H 3). 事实上,由于脉冲函数不一定是线性的,所以方程(3)并不是一个真正的线性问题.如果Ik(k=1,2,…,m)是线性的,则方程(3)是一个线性脉冲问题.引理1[4] u(t)是方程(3)的ω-周期解等价于u(t)是如下积分方程的ω-周期解.定义PC(R)={u：R →R|u(t)在t≠tk时连续,在t=tk时左连续,右极限存在,k∈Z}.令X={u(t)∈ PC(R)|u(t+ω)=u(t)},并设?则 X 按范数构成Banach空间.引理2 方程(3)的解u(t)满足条件u(t)≥证明令如果u(t)是方程(3)的一个ω-周期解,则由引理1有因为和因此 ,有与所以,由式(6)与式(7)得由引理1和引理2,有如下的引理引理3 u(t)是方程(2)的ω-周期解等价于u(t)是如下积分方程的ω-周期解.且u(t)≥σ‖u‖,其中：G(t,s)与式(5)的定义相同.定义X上的算子A为对∀u∈X.显然A为X上的全连续算子,由引理3得方程(2)的解等价于算子A的不动点.取X中的子锥引理4 假设(H 1)～(H 3)成立,则A(K)⊂K.证明对∀u∈K,由引理3及算子A的定义有Au(t)≥σ‖Au‖,显然Au(t)≥0,故Au∈K.为了方便后面的证明,引入记号2 主要结果及证明定理2 假设条件(H 1)～(H 3)成立,并且满足下列条件则方程(2)至少有一个正ω-周期解.证明由及 f0,I0的定义可知,对任意,存在r＞0,使得令Ω1={u∈ X,‖u‖ ＜r},则对∀u∈ K,且‖u‖ =r,有σr≤u(t)≤r.令φ≡1,对∀t∈ R 可以证明若不然,存在u0∈ K ∩ ∂Ω1和λ0＞0,使得u0 ≠Au0+λ0φ则对∀t ∈ R,有则方程(2)至少有一个正ω-周期解.由上面两个定理可以得到下面的推论.推论1 假设条件(H1)～(H3)成立,并且满足下列条件之一1)f0=∞或I0=∞,f∞ =0,I∞=0(次线性);2)f0=0,I0=0,f∞ =∞或I∞ =∞(超线性).则方程(2)至少有一个正ω-周期解.【相关文献】[1] Juan J.Nieto.Periodic boundary va lue problems for first-order impulsive ordinary differential equations[J].Nonlinear Analysis,2002,51：1223-1232.[2] Liu Yu ji.Positive so lutions o f periodic boundary value problems for nonlinear first-order impulsive differential equations[J].Non linear Analysis,2009,70：2106-2122. [3] Wan Aying,Jiang Daqing,Xu Xiao jie.A new existence theory for positive periodic so lutions to functional differential equations[J].Com puters Math.A pplic.,2004,47：1257-1262.[4] Li Xiaoyue,Zhang Xiaoying,Jiang Daqing.A new existence theory for positive periodic so lutions to functional differential equations with impulse effects[J].Computers Math.Applic.,2006,51：1761-1772.[5] Li Yongxiang,Liu Zhe.Monotone iterative technique for addressing impu lsive integro-differential equations in Banach spaces[J].Nonlinear Analysis,2007,66：83-92.[6] Deim ling K.Nonlinear Functional Analysis[M].New York：Sp ringer-Verlag,1985.[7] 郭大钧.非线性泛函分析[M].济南：山东科学技术出版社,2001.。

一类中立型随机偏微分方程概周期解的存在性和唯一性蒲晓琴【摘要】最近,P.Bezandry和T.Diagana(P.Bezandry,T.Diagana.Appl.Anal.,2007,117:1-10.)引入了均值概周期的概念,研究了一类随机时滞演化方程,并获得了其均值概周期存在和唯一的充分条件.我们将应用不动点理论和分数幂算子方法,获得一类中立型随机偏微分方程在均方意义下的概周期解的存在性和唯一性的充分条件.【期刊名称】《四川师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2016(039)005【总页数】6页(P659-664)【关键词】中立随机偏微分方程;均值概周期;分数幂算子;不动点【作者】蒲晓琴【作者单位】中国民航飞行学院计算机学院,四川广汉618307【正文语种】中文【中图分类】O175.13Bohr最先引了概周期函数的概念，随后，Bochner将这概念推广到Polish空间．近些年来，由于概周期微分方程在物理、化学和生物数学上的应用，许多学者研究了概周期微分方程概周期解存在性问题［1－17］．随机微分方程的动力行为也被许多人研究［8－20］．最近，P．Bezandry等［21－22］引入了均值概周期的概念，研究了一类随机时滞演化方程，并获得了其均值概周期存在和唯一的充分条件．应用不动点理论和分数幂算子方法，获得了一类中立型随机偏微分方程在均值概周期解的存在性和唯一性的充分条件．假设H和K为实可分的Hilbert空间，它们的范数分别记为‖·‖和‖·‖K．设(Ω，F，{Ft}t≥0，P)为完备概率空间．L2(K，H)为Hilbert－Schmidt算子，范数记为‖·‖2．Q为对称非负算子，Q∈L2(K，H)，并且Q的迹有限．W(t)(t∈R)为定义在(Ω，F，{Ft}t≥0，P)上的取值在K上的Q－Wiener过程［23］．L2(P，H)为强可测的，均方可积的H值随机变量的全体，显然，在范数‖X‖L2(P，H)=(E‖X‖2)1/2下为Banach空间，其中E为期望．设范数为研究如下一类中立型随机偏微分方程其中，A为Hilbert空间H上的一致指数稳定解析半群最小生成元，r≥0，f，g:R×H→H和σ:R×H→为连续函数．设A:D(A) H→H为定义在Hilbert空间H上的线性算子(T(t))t≥0的解析半群最小生成元，M和δ为正常数，满足‖T(t)‖≤Me－δt对任意t≥0．假设0∈ρ(A)，那么，可以定义分数幂算子Aα对0＜α＜1．它是一闭线性算子，并且定义域D(Aα)在H中稠密．Hα记为Banach空间D(Aα)，其范数为引理1．1［24］下列2个属性成立:(i)如果0＜β＜α≤1，那么Hα→Hβ并且当A的预解式为紧时，该嵌入是紧的; (ii)对0＜α≤1，存在Cα以致为了获得主要结果，介绍一些定义和引理．设(B，‖·‖)为一Banach空间．定义1．1 一连续随机过程X:R→L2(P;B)称为均值概周期的，如果对每一个ε＞0，存在l(ε)＞0以致任何区间长度l(ε)最少存在一数τ满足下列为一些均值概周期过程的属性．引理1．2［21］如果X属于AP(R;L2(P;B))，那么:(i)映射t→E‖X(t)‖2一致连续;(ii)存在常数N＞0满足E‖X(t)‖2≤N，对t∈R．引理1．3 如果X(·)∈AP(R;L2(P;B))，那么X(·－r)∈AP(R;L2(P;B))，其中r≥0为固定常数．证明和文献［25］中的相似，故省略．设CUB(R;L2(P;B))为连续有界随机过程X: R→L2(P;B)的集合，那么，容易证明在下列范数下CUB(R;L2(P;B))为Banach空间．引理1．4［21］ AP(R;L2(P;B)) CUB(R; L2(P;B))为闭子空间．由上可知，AP(R;L2(P;B))在范数‖·‖∞下是Banach空间．设(B1，‖·‖B1)和(B2，‖·‖B2)为Banach空间．定义1．2 称连续函数F:R×B1→B2，(t，Y)→F(t，Y)关于t∈R是均值概周期的，对Y∈K是一致的，其中K B1是紧的，如果对任何ε＞0，存在l(ε，K)＞0以致对任何区间长度l(ε，K)最少存在一数τ，对任何随机过程Y:R→K满足引理1．5［21］设F:R×B1→B2，(t，Y)→F(t，Y)关于t∈R是均值概周期的，对Y∈K是一致的，其中K B1是紧的．假设F是以下列方式Lipschitz的对所有Y，Z∈B1，t∈R成立，其中M＞0，那么对所有均值概周期过程Φ:R→L2(P;B1)，随机过程t→F(t，Φ(t))是均值概周期的．(1)式的温和解的定义如下［26］:定义1．3 随机过程x(t):［δ，δ+a)→L2(P; H)，a＞0，称为(1)式在［δ，δ+a)上的温和解，如果s→AT(t－s)f(s，x(s－r))在［δ，t)可积，δ＜t＜δ+ a，并且满足为了获得所需结果，假设:(H1)函数g(t，x):R×H→H关于t∈R对x∈Ω(Ω H是紧的)是一致均值概周期的．存在α∈(0，1)以致(－A)αf(t，x):R×H→Hα关于t∈R对x∈Ω(Ω H是紧的)是一致均值概周期的．进一步，(－A)αf，g是以下列方式 Lipschitz的:存在 Lf和Lg满足对所有x，y∈H和t∈R成立．(H2)函数σ(t，x):R×H→L02关于t∈R对x∈Ω(Ω H是紧的)是一致均值概周期的．进一步，σ是以下列方式Lipschitz的:存在Lσ满足对所有x，y∈H和t∈R成立．定理2．1 假设(H1)和(H2)成立，并且那么(1)式在R上存在唯一均值概周期解．证明设Γ:AP(R;L2(P;H))→C(R;L2(P; H))的定义为显然，Γx(·)是连续的．定义由引理1．3、引理1．5和(H1)可知，当x为均值概周期函数时，(－A)αf(t，x(t－r))为均值概周期函数时．由引理1．2，可知(－A)αf(t，x(t－r))有界．由引理1．1和Cauchy－Schwarz不等式可得由s→AT(t－s)f(s，x(s－r))是可积的在(－∞，t)对任何t∈R，故Γ定义是合适的．由引理1．3、引理1．5和(H1)可知，当x为均值概周期函数时，(－A)αf(t，x(t－r))为均值概周期函数时．因此，对每一个ε＞0存在l(ε)＞0以致对任意区间长度l(ε)最少存在一个数τ满足对任何t∈R成立．同时有由上可知对每个t∈R成立，即I1x(t)均值概周期函数．下一步，证明当x是均值概周期函数I3x(t)和I4x(t)是均值概周期函数．该证明和文献［21］中的定理3．2相似，故省略．下一步证明I2x(t)是均值概周期函数．由引理1．3、引理1．5和(H1)可得，当x 是均值概周期函数，(－A)αf(t，x(t－r))是均值概周期函数．因此，对每一个ε＞0存在l(ε)＞0以致对任意区间长度l(ε)最少存在一个数τ满足对任何t∈R成立．由引理1．1可得因此，应用Cauchy－Schwarz不等式可得由上可知对每个t∈R成立，即I2x(t)是均值概周期函数．由上可知，Γ是AP(R;L2(P;H))对自身的映射．下面证明Γ是压缩映射．显然由于可得首先，估计上式右边第一项现在估计第二项，由引理1．1、(H1)和Cauchy－Schwarz不等式可得现在估计第三项得现在估计最后一项，应用建立在文献［27］中命题1．9的It 积分估计得因此这说明Γ(·)是压缩的．故Γ(·)存在不动点x∈AP(R;L2(P;H))，即对所有t∈R成立．固定δ∈R可得那么然而，对t≥δ，因此，x(t)是(1)式的温和解．证明完毕．致谢中国民航飞行学院面上项目(J2013－39)对本文给予了资助，谨致谢意．【相关文献】［1］HERN NDEZ E，PELICER M．Asymptotically almost periodic and almost periodic solutions for partial neutral differential equations［J］．Appl Math Lett，2005，18:1265－1272．［2］HENR QUEZ H，V SQEZ C．Almost periodic solutions of abstract retarded functional －differential equations with unbounded delay［J］．Acta Appl Math，1999，57(2):105－132．［3］LIU B，TUNC C．Pseudo almost periodic solutions for a class of nonlinear Duffing system with a deviating argument［J］．J Appl Math Comput，2015，49:233－242．［4］ZHANG L，LI H．Weighted pseudo almost periodic solutions for differential equations with piecewise constant arguments［J］．Bull Aust Math Soc，2015，92:238－250．［5］AKDAD A，EZZINBI K，SOUDEN L．Pseudo almost periodic and automorphic mild solutions to nonautonomous neutral partial evolution equations［J］．Nonauton Dyn Syst，2015，2:12－30．［6］SADRATI A，ZERTITI A．Existence and uniqueness of positive almost periodic solutions for systems of nonlinear delay integral equations［J］．Electron J Diff Eqns，2015，116:12．［7］CAO J，HUANG Z．Existence and exponential stability of weighted pseudo almost periodic classical solutions of integro－differential equations with analytic semigroups ［J］．Differ Eqns Dyn Syst，2015，23:241－256．［8］WANG W T．Positive pseudo almost periodic solutions for a class of differential iterative equations with biological background［J］．Appl Math Lett，2015，46:106－110．［9］HENRIQUEZ H，CUEVAS C，CAICEDO A．Almost periodic solutions of partial differential equations with delay［J］．Adv Difference Eqns，2015，2015:46－61．［10］WANG Q，LIU Z，LI Z，et al．Existence and global asymptotic stability of positive almost periodic solutions of a two－species competitive system［J］．Int J Biomath，2014，7:1450040．［11］ZHUANG R，YUAN R．Weighted pseudo almost periodic solutions of N－th order neutral differential equations with piecewise constant arguments［J］．Acta MathSin(Engl Ser)，2014，30:1259－1272．［12］MAQBUL M，BAHUGUANA D．Almost periodic solutions for Stepanov－almost periodic differential equations［J］．Differ Eqns Dyn Syst，2014，22:251－264．［13］EZZINBI K，ZABSORE I．Pseudo almost periodic solutions of infinite class for some functional differential equations［J］．Appl Anal，2013，92:627－1642．［14］WANG L，SHI Y．Almost periodic solutions of abstract differential equation withimpulse and time delay in Banach space［J］．Int J Appl Math Stat，2013，43:379－386．［15］VRABEL I．Almost periodic solutions for nonlinear delay evolutions with nonlocal initial conditions［J］．J Evol Eqns，2013，13: 693－714．［16］DING H，LONG W，N’GU R KATA G．Existence of pseudo almost periodic solutions for a class of partial functional differential equations［J］．Electron J Diff Eqns，2013，104:14．［17］XU Y．Existence and uniqueness of almost periodic solutions for a class of nonlinear Duffing system with time－varying delays［J］．Electron J Qual Theory Differ Eqns，2012，80:9．［18］鲍杰，舒级．高阶广义2D Ginzburg－Landau方程的随机吸引子［J］．四川师范大学学报(自然科学版)，2014，37(3):298－306．［19］付颖，李扬荣．无界域上带有可加白噪音的Ginzburg－Landau方程的随机吸引子［J］．西南大学学报(自然科学版)，2012，37(12):37－42．［20］杜先云，陈伟．具有可加噪声的耗散KdV型方程的随机吸引子［J］．四川师范大学学报(自然科学版)，2012，35(5):651－655．［21］BEZANDRY P，DIAGANA T．Existence of almost periodic solutions to some stochastic differential equations［J］．Appl Anal，2007，117:1－10．［22］BEZANDRY P．Existence of almost periodic solutions to some functional integro－differential stochastic evolution equations［J］．Stat Probabil Lett，2008，78:2844－2849．［23］PRATO G，ZABCZYK J．Stochastic Equations in Infinite Dimensions ［M］．Cambridge:Cambridge Univ Press，1992．［24］PAZY A．Applied Methematical Sciences［M］．New York:Springer－Verlag，1983．［25］DING H，LIANG J，N’GU R KATA G．Pseudo almost periodicity of some nonautonomous evolution equations with delay［J］．Nonlinear Anal:TMA，2007，67:1412－1418．［26］LIU K．Stability of Infinite Dimensional Stochastic Differential Equations with Applications［M］．London:Chapman and Hall，2004．［27］ICHIKAWA A．Stability of semilinear stochastic evolution equations［J］．J Math Anal Appl，1982，90(1):12－44．。

几类脉冲微分方程解的存在性几类脉冲微分方程解的存在性摘要：脉冲微分方程是一类带有脉冲信号的微分方程，其解的存在性是微分方程理论的重要问题之一。

本文将探讨几类常见的脉冲微分方程并讨论其解的存在性。

一、引言脉冲微分方程是在某些离散时间点发生突变或发生冲击的微分方程。

相比于普通微分方程，脉冲微分方程的求解更加困难，因为离散时间点的突变或冲击会使系统的动力学行为发生剧变。

因此，解脉冲微分方程的存在性成为研究的重要内容之一。

二、周期性脉冲微分方程周期性脉冲微分方程是一类具有周期性脉冲信号的微分方程，其在固定时间间隔内受到脉冲作用。

解周期性脉冲微分方程的存在性问题可以通过周期延拓方法来解决。

该方法通过将周期延拓后的方程转化为周期函数的微分方程，然后应用连续性和紧性定理，判断原始方程的解是否存在。

三、非线性脉冲微分方程非线性脉冲微分方程是指含有非线性项的微分方程，其解的存在性问题更为复杂。

对于非线性脉冲微分方程，通常可以通过构造适当的Lyapunov函数或应用不动点定理来解决。

Lyapunov函数可以用来刻画系统的稳定性，并通过其定义的正定性和严格增加性来推导解的存在性。

不动点定理则可以将微分方程转化为适当的积分方程，通过分析积分方程的不动点来判断方程的解是否存在。

四、时滞脉冲微分方程时滞脉冲微分方程是一类含有时滞项的微分方程，其解的存在性问题更具挑战性。

对于时滞脉冲微分方程，可以通过使用Lyapunov-Krasovskii函数和稳定矩阵方法来解决。

Lyapunov-Krasovskii函数是一类特殊的Lyapunov函数，通过引入时滞项和矩阵变量，可以刻画系统的稳定性，推导解的存在性。

稳定矩阵方法则通过构造适当的矩阵Lyapunov方程，将微分方程转化为矩阵的稳定性问题，从而判断解的存在性。

五、数值仿真数值仿真是解决脉冲微分方程存在性问题的常用方法之一。

通过将脉冲微分方程离散化为差分方程，然后利用数值计算方法求解差分方程，可以得到脉冲微分方程的数值解。

一类时滞微分方程非常数周期解的存在性及其个数估计郭志明【期刊名称】《《高校应用数学学报A辑》》【年(卷),期】2010(025)002【总页数】7页(P134-140)【关键词】时滞微分方程; 周期解; Morse理论; 非共振【作者】郭志明【作者单位】广州大学数学与信息科学学院广东广州 510006【正文语种】中文【中图分类】O176.3; O175.7得到上述微分差分方程以4r为周期的非常数周期解存在性的条件,并且给出其个数的下界.因此为研究含有时滞的微分系统周期解的存在性提供了一种新方法.考虑一阶时滞微分方程其中r＞0是常数,x∈R,g∈C1(R,R).本文的基本假设是(g)g是奇函数,并且当x→∞时,g′(x)的极限存在,记为g′(∞),其中g′(∞)是有限数. 对方程(1)周期解的研究可以追溯到Jones,Nussbaum及Kap lan和Yorke的工作.早在1962年, Jones就应用不动点理论对一个具体的方程周期解存在性给出了一些结果[1].在[2]中,Nussbaum利用喷射不动点方法研究了方程(1)的周期解,而Kap lan和Yorke在[3]中利用与之耦合的常微分方程方程组,得出了方程(1)的2π周期解的存在性.后来温立志,陈永劭,葛渭高等分别对该方程进行了研究[4-6]. 1998年,李继彬与何学中首次应用临界点理论研究方程(1)的周期解的存在性,相关文献可参阅[7-8]等.在[7-8]中,作者将方程(1)满足一定对称条件的周期解问题转化为一个相应的Ham ilton系统的周期解问题,进而应用临界点理论研究相应Ham ilton系统周期解的存在性.但是我们注意到,在一个特定的函数空间上,方程(1)是具有变分结构的微分系统.2005年,郭志明与庾建设[9]对方程(1)的周期解问题在一个特定的函数空间上直接建立变分框架,并应用伪指标理论得到了向量形式的方程(1)的周期解的多重性.2006年,Fei[10-11]应用指标理论对方程(1)作了更细致的讨论,得到了重要的研究成果.M orse理论是临界点理论的重要组成部分,它在研究具有变分结构的微分系统周期解存在性及其个数估计方面有着非常广泛的应用.而且一般说来,应用M orse理论得到的周期解含有更丰富的信息,如临界点的Morse指标或临界值的估计等.2000年,Abbondandolo在文[12]中介绍了一种新的无穷维空间M orse理论.一般说来,Hilbert空间上的强不定泛函,其临界点的M orse指标为无穷大.对于这类泛函无法直接应用经典的M orse理论,往往需要将所考虑的泛函约化到某个有限维空间上去讨论.Abbondandolo对Hilbert空间的子空间定义了一种相对维数,同时对泛函的临界点定义新的Morse指标,即E+-Morse指标.这样就可以直接在无穷维空间上应用其建立的M orse理论研究临界点的存在性及其个数.需要指出的是,这种相对M orse指标早在1995年与1997年,Fei与Qiu已经作了类似的研究[13-14].本文的目的就是利用变分方法与Abbondandolo介绍的E+-M orse理论来研究方程(1)的非常数4r周期解的存在性及其个数估计.为简单起见,取对一般情形可以通过一个时间变换将方程变为的情形.先对方程(1)建立适当的变分框架,将(1)的2π周期解转化为相应泛函的临界点,然后应用Abbondandolo的E+-M orse理论,研究方程(1)的非常数2π周期解的存在性及其个数.定义1.1 方程(1)的2π周期解x(t)称为非共振的,如果线性化方程的所有2π周期解组成的空间是由˙x(t)张成的.定义1.2 方程(1)称为在无穷远处是非共振的,如果线性方程不存在非零的2π周期解.定义1.3 记称τ(0)为方程(1)关于0的旋转数.同理1)称为方程(1)在无穷远处的旋转数.记n(2π)为方程(1)的2π非常数周期解的个数.定理1.1 假设函数g∈C1(R,R)满足条件(g),方程(1)的所有2π周期解是非共振的,并且方程(1)在无穷远处也是非共振的.则方程(1)的2π非常数周期解的个数n(2π)满足：其中[τ(∞)],[τ(0)]分别表示τ(∞),τ(0)的最大整数部分.注1 由假设(g),g(0)=0.从而x=0是方程(1)的2π周期解.如果方程(1)的所有2π周期解是非共振的,则简单计算可知,对于任意的正整数k,g′(0)=(−1)k(2k−1).类似地,如果方程(1)在无穷远处是非共振的,则对于任意的正整数k,g′(∞)=(−1)k(2k−1).从而可以得到如下推论.推论1.1 在定理1.1的假设下,当g′(0)＜g′(∞)时,方程(1)至少存在个非常数的2π周期解.当g′(∞)＜g′(0)时,方程(1)至少存在个非常数的2π周期解,其中#(A)表示集合A所含元素的个数,Z表示整数集.注2 在定理1.1中,方程(1)的所有2π周期解是非共振的这一假设条件是技术性的,该条件意味着方程(1)的2π周期解对应作用泛函的非退化临界点.应用退化临界点的Morse理论可以避免这一假设条件[15].由关于g的假设条件可知,泛函Φ的临界点对应于方程(1)的2π周期解.这样,我们就把寻求方程(1)的2π周期解转化为讨论(4)的临界点的存在性.下面概括Abbondandolo关于空间相对维数的一些概念及E+-M orse指标的有关结论而不加证明,详细讨论参见[12,16].设E为实的Hilbert空间,E正交分解为E=E+⊕E−,E+与E−均可以是E的无穷维子空间.定义2.1 E的两个闭子空间V,V′称为是可公度的(commensurable),如果商投影V′→E/V及V→E/V′都是紧的.可公度性是E的闭子空间上的等价关系.定义2.2 设V是E中与E−可公度的闭子空间.V的E+维数定义为由可公度性的定义,上述和式中两个被加项都是有限数.例如,如果Y是有限维的子空间且Y∩E−={0},则E+-dim(E−⊕Y)=dim Y≥0；如果Y是E−中有限余维的子空间,则E+-dim Y=−codimE−Y≤0.设F是定义在E上二次连续可微的泛函,d2F(u)表示F在u的二阶Frechet导数,则d2F(u)可以看作E上有界线性的自共轭算子.假设u是F的临界点,即F′(u)=0,如果d2F(u)是可逆的,则称u为F的非退化临界点.定义2.3 设u为F的非退化临界点,并且d2F(u)的最大负特征子空间V−与E−是可公度的,则u的E+-M orse指标(记作E+-m(u))定义为由于直接计算可得a0=0,a2k=b2k=0,k∈N.因此u可以表示为.令Ek=span{cos(2k−1)t,sin(2k−1)t},则记则E=E+⊕E−.考虑定义在E上的泛函Φ(见(4)).由于g∈C1(R,R),Φ在E上是二阶Frechet可微的,且对于任意的u∈E,∫包含在E中的所有2π周期解组成的空间是由张成的.定义2.5 方程(1)称为在无穷远处是E中非共振的,如果线性方程定义2.4 方程(1)的2π周期解x∈E称为在E中是非共振的,如果线性化方程在E中不存在非零的2π周期解.由定理1.1的假设条件,0是泛函Φ在E上的临界点,并且是非退化的.事实上,若∀ξ∈E,考虑E上的有界自共轭算子d2Φ(∞),d2Φ(∞)定义为若d2Φ(∞)最大负特征子空间为,则d2Φ(∞)在无穷远处的E+-M orse指标定义为的E+维数,即应用[16]中Theorem 5.2.1的证明方法,可得如下引理.引理2.1 假设函数g∈C1(R,R)满足条件(g),方程(1)的所有2π周期解在E中是非共振的,并且在无穷远处也是E中非共振的.则下面的Morse关系式成立其中W(λ),Q(λ)是具有非负系数的形式Laurent级数,并且设若wl＞0,则方程(1)存在wl个非常数的2π周期解.定理1.1的证明将引理2.1中的M orse关系式改写为设由于qj≥0,wj≥0,若bj＜0,则wj=qj−bj≥−bj＞0.记m(2π)为方程(1)在E中非常数2π周期解的个数.则下面我们计算B−.首先计算E+-m(0).令d2Φ(0)的最大负特征子空间记为考虑特征值问题:容易求得,由于方程(1)的所有2π周期解在E中是非共振的,故∀k=1,2,···,当g′(0)≥ 0时,并且当k≤[τ(0)]＜k＞[τ(0)]时,易知因此当g′(0)＜ 0时,k=1,2,···,并且当k＞−[τ(0)]时,＜0.k≤−[τ(0)]时,＞0.因此在E−中的正交补空间为从而同样,当g′(∞)＞0时,E+-m(∞)=2[τ(∞)]；当g′(∞)＜0时,E+-m(∞)=2[τ(∞)],其中, 现考虑Morse关系式(6).不妨设g′(∞)＞g′(0),g′(∞)≤g′(0)的情形可类似讨论.将M orse关系式改写为显然,B(λ)中,λ的奇次幂前的系数为−1,而偶次幂前的系数为+1.因此B(λ)中负系数的和B−为定理1.1证毕.推论1.1的证明当g′(0)＜g′(∞)时,τ(0)＜τ(∞),从而[τ(0)]≤[τ(∞)].根据定理1.1,方程(1)至少存在[τ(∞)]−[τ(0)]个2π周期解.不妨设[τ(0)]=j＜j+1＜···＜j+l=[τ(∞)].记A={k∈N|g′(0)＜4k−1＜g′(∞)}.我们将证明#(A)=l.事实上∀p=1,2,···,l, [τ(0)]＜j+p≤[τ(∞)].由于τ(0)与τ(∞)不能取整数,所以τ(0)＜j+p＜τ(∞).由τ(0)与τ(∞)的定义,g′(0)＜4(j+p)−1＜g′(∞).这说明,j+p∈A.因此,#(A)≥l.另一方面,∀k∈A,g′(0)＜4k−1＜g′(∞),即τ(0)＜k＜τ(∞).从而,[τ(0)]＜k≤[τ(∞)].即存在p=1,2,···,l,使得k=l+p.因此,#(A)≤l.当g′(0)＞g′(∞)时,可以类似地证明.推论1.1证毕.注3 在[3]中,Kap lan与Yorke研究了方程以4为周期解的存在性.他们假设f是奇函数,并且则当β或时,方程(10)至少存在一个4周期解.作时间变量变换并令则方程(10)变为令应用推论1.1的结论,我们有推论3.1 方程(10)存在m个以4为周期的周期解,其中显然,推论3.1推广了[3]的结论.A lower bound of the number of periodic solutions is also given.As aconsequence of this paper,a new m ethod is introduced for investigating the periodic solutions of delay diff erential equations.【相关文献】[1] Jones G J.The existence of periodic solutions of f′(x)=−af(x−1)[1+f(x)][J].J M ath Anal App l,1962,5:435-450.[2] Nussbaum R D.Periodic solutions of som e nonlinear autonom ous functional diff erential equations(II)[J].J Diff erential Equations,1973,14:368-394.[3] Kap lan J L,Yorke J A.O rdinary diff erentialequationswhich yield periodic solution of delay equations[J].JM ath Anal App l,1974,48:314-324.[4] Wen Lizhi,Xia Huaxing.Existence of periodic solutions for diff erential diff erence equations w ith two tim e lags[J].Scientia Sinica Ser A,1988,31:777-786.[5] Chen Yongshao.The existence of periodic solutions of theequation˙x(t)=−f(x(t),x(t−1))[J].JM ath Anal App l,1992,163:227-237.[6] 葛渭高.微分差分方程x′(t)=f(x(t−1))简单周期解的个数[J].数学年刊A辑,1993,14: 472-479.[7] Li Jibin,He Xuezhong.M ultip le periodic solutions of diff erential delay equations created by asym ptotically Ham iltonian system s[J].Non linear Analysis TMA,1998,31:45-54.[8] Li Jibin,He Xuezhong.Proof and generalization of Kap lan-Yorke’s conjecture on periodic solution of diff erential delay equations[J].Science in China Ser A,1999,42:957-964.[9] Guo Zhim ing,Yu Jianshe.Multip licity results for periodic solutions to delay diff erential equations via critical point theory[J].JDiff erential Equations,2005,218:15-35.[10]Fei Guihua.Multip le periodic solutions of diff erential delay equations via Ham iltonian system s(I)[J].Nonlinear Analysis TMA,2006,65:25-39.[11]Fei Guihua.M ultip le periodic solutions of diff erential delay equations via Ham iltonian system s(II)[J].Non linear Analysis TMA,2006,65:40-58.[12]Abbondandolo A.M orse theory for asym p totically linear Ham iltonian systems[J].Nonlinear Analysis TMA,2000,39:997-1049.[13]FeiGuihua.RelativeM orse index and itsapp lications to Ham iltonian system s in the presence of symm etries[J].J D iff erential Equations,1995,122:302-315.[14]Fei Guihua,Qiu Qingjiu.Periodic solutions asym ptotically linear Ham iltonian systems[J]. Chin Ann M ath Ser B,1997,18:359-372.[15]Benci V.Estim ate of the number of periodic solutions via the tw ist number[J].JDiff erential Equations,1997,133:117-135.[16]Abbondandolo A.Morse theory for Ham iltonian system s[A].Research Notes in Mathematics Series,425[C].London:Chapman&Hall/CRC,2001.。

具有脉冲和时滞合作系统的正周期解存在性刘燕;王全义【摘要】利用重合度理论和一些分析技巧, 研究一类具有脉冲和时滞的合作系统,得到该系统存在正周期解的结果.结果表明,具有脉冲和时滞的合作系统,在满足一定的充分条件,该系统至少存在一个正周期解.【期刊名称】《华侨大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2010(031)006【总页数】6页(P697-702)【关键词】时滞;脉冲;周期解;重合度理论【作者】刘燕;王全义【作者单位】华侨大学,数学科学学院,福建,泉州,362021;华侨大学,数学科学学院,福建,泉州,362021【正文语种】中文【中图分类】O175.14在种群生态学中，生物种群系统的持久性与正周期解的存在性一直受到许多学者的关注［1-4］.文［1］研究了种群时滞合作系统的正周期解.同时，利用重合度理论，得到保证系统（1）至少存在一个周期正解的充分性条件.然而，对种群生态学而言，由于季节的变化，食物的供给及人为的捕放等原因的扰动，生物种群会出现一些突发性的变化.此时，对生物种群的研究，应该考虑由于扰动而产生的脉冲效应.文［5］研究具有脉冲和常数时滞的捕食者-食饵系统的正周期解存在性问题，但是对于具有脉冲和非常数时滞的生物系统周期解的存在性研究成果还很少.对于一类具有脉冲和时滞的合作系统，有式中：r1（t），r2（t），α1（t），α2（t），K1（t），K2（t）均为正的ω-周期连续函数，αi（t）＞Ki（t），σ1（t），σ2（t），τ1（t），τ2（t）均为非负连续的周期函数.bik＞-1且bik=bi（k+p），0＜t1＜t2＜…＜tk＜ω为一个周期内的脉冲点，有tk+p=tk+ω；Ni（tk）=Ni（），且Ni（t），i=1，2；k=1，2，…存在.显然，当bik=0时，系统（2）的方程就化为系统（1）的方程.因此，系统（2）包含了系统（1）.本文利用重合度理论，研究系统（2）的正周期解的存在性问题.首先，引入重合度理论及延拓定理［6］.假设X，Z为赋范向量空间，L∶DomL⊂X→Z为线性映射，N∶X→Z连续映射.如果dim KerL=co dim ImL＜+∞，且ImL为Z闭子集，则称L为指标为零的Fredholm映射.如果L为指标为零的Fredholm映射，且存在连续投影P∶X→X，Q∶Y→Z，使得ImP=KerL，KerQ=ImL，X=KerL⊕KerP和Z=ImL⊕ImQ，则LP≜L|DomL∩KerP∶DomL∩KerP→ImL可逆.记其逆映射为KP.设Ω为X中的有界开集，若QN∶→Z与KP（I-Q）N∶→X都是紧的，则称N在上是L-紧的.由于ImQ与KerL同构，故存在同构映射J∶ImQ→KerL.引理1［6］设Ω⊂X为有界开集，L为指标为零的Fredholm映射，N在上是L-紧的.假设（1）对任意的λ∈（0，1），方程Lx=λNx的解满足x∉∂Ω；（2）对任意的x∈∂Ω∩KerL，QNx≠0；（3）Brouwer度deg｛JQN，Ω∩KerL，0｝≠0.那么，方程Lx=Nx在∩KerL内至少存在一个解.若f（t）是一连续的ω-周期函数，记引入函数空间，令X=｛x（t）∶x（t）=（x1（t），x2（t））T，xi（t）∈PC（R，R），xi（t+ω）=xi（t），i=1，2｝，Z=X×R2P，其中PC（R，R）=｛x∶R→R在t≠tk处连续，存在，且=x（tk），k=1，2，…｝.对一切x∈X，定义其范数为‖x‖X=max；而对一切z=（x，r1，…，rp）∈Z（rk 均为2维列向量），定义其范数为‖z‖Z=‖x‖X+‖rk‖，其中‖·‖表示欧氏范数，则X，Z在所定义的范数下都是Banach空间.引理2［2］令f（x，y）=，而且Ω=｛（x，y）T∈R2∶|x|+|y|＜A｝，A，ai，bi，ci均为R+中的常数，ai＞bi，i=1，2，且有A＞max｛|ln|，|ln|，i=1，2｝，则deg｛f，Ω，（0，0）｝≠0.定理1 在系统（2）中，若条件成立，则系统（2）至少存在一个正的ω-周期解.证明作变换N1（t）=exp（u1（t）），N2（t）=exp（u2（t）），则系统（2）可化为为了方便起见，记显然，如果系统（3）有一个ω-周期解，那么，有，是系统（2）的正的ω-周期解.因此，只需证明系统（3）存在一个ω-周期解.现定义线性算子L∶DomL⊂X→Z为u→u′，Δu（t1），…，Δu（tp），∀u∈DomL⊂X；定义算子N∶X→Z为Nu=，∀u=（u1，u2）T∈X；另定义算子P∶X→X，Q∶Z→Z分别为Pu=u（t）dt，∀u=（u1，u2）T∈X，Qz=Q（u，r1，r2，…，rp）=，0，0，…，0），∀z=（u，r1，r2，…，rp）∈Z.由此易见，KerL=｛u|u∈X，u=c∈R2｝，ImL=｛z|z=（u，r1，r2，…，rp）∈Z，=0｝.因此，ImL为Z闭子集且dim KerL=co dim ImL=2，L为指标为零的Fredholm映射.P，Q都为连续算子，满足ImP=KerL，KerQ=ImL=Im（I-Q），X=KerL⊕KerP，Z=ImL⊕ImQ.记LP≜L|DomL∩KerP∶DomL∩KerP→ImL是到上的一一映射.因此，L的广义逆映射KP∶ImL→DomL∩KerP存在，且KP∶ImL→DomL∩KerP，由于所以有利用Lebesgue收敛定理，可以证明QNu和KP（I-Q）Nu是连续的；利用Arzela-Ascoli定理可以证明，对X中的任意有界开子集Ω，QN（）及KP（I-Q）N（）分别是Z及X中的紧子集.应当注意的是，由于t=tk（k=1，2，…，p）是QNu和KP（I-Q）Nu的第1类间断点，故可在子区间上分别使用Arzela-Ascoli定理.因此，对于X中的任意有界开子集Ω，N在上是L-紧的.对应于算子方程Lx=λNx，λ∈（0，1），有设u=（u1（t），u2（t））T∈X是系统（4）对应于某一λ∈（0，1）的解.将系统（4）的两端从0到ω积分，可得于是，有由于αi（t）＞Ki（t）（i=1，2），由式（5），（6）可得进一步地，由式（4）～（8），可得因为u=（u1（t），u2（t））T∈X，故存在，并且一定存在ηi，ξi∈［0，ω］，使得=，或者，或者.其中，i=1，2.记，i=1，2.因此，由式（7），（8）可知于是，由定理1的条件可知从而有另一方面，由式（5），（6）可知因此，由定理1的条件可知结合式（9），（10），（15），（16），有令显然，正常数K与λ（λ∈（0，1））无关.由上面的讨论可知假设u=（u1，u2）T∈R2，则从QNu的表达式得考虑方程类似于式（11），（12），（15），（16）的讨论，可知方程（20）的任一解u ＊=（u＊1，u＊2）T∈R2一定满足从而有令Ω=｛u=（u1，u2）T∈X∶‖u‖＜K｝，则由式（19）可知，引理2中的条件（1）成立.当u∈KerL∩∂Ω时，u是R2中的常值向量且‖u‖=K，则由式（21）可知即引理1中的条件（2）也满足.取同构映射J∶ImQ→KerL为因此，有定义同伦映射上式中：（u1，u2）T∈∩KerL，η∈［0，1］.当（u1，u2）T∈∂Ω∩R2，η∈［0，1］时，φ（u1，u2，η）≠0.若不然，即当（u1，u2）T∈∂Ω∩R2时，有φ（u1，u2，η）=0.类似式（21）的证明，可得‖ui‖＜K，i=1，2.这与（u1，u2）T∈∂Ω∩R2矛盾.因此，当（u1，u2）T∈∂Ω∩R2，η∈［0，1］时，φ（u1，u2，η）≠0.由正常数K的取法可知，φ（u1，u2，0）满足引理2的条件.由重合度的同伦不变性及引理2，可得这样，引理1中的条件（3）也满足.因此，系统（3）至少有一个ω-周期解，而系统（2）至少存在一个正的ω-周期解.【相关文献】［1］LI Yong-kun.On a periodic mutualism model［J］.Australian＆New Zealand Industrial and Applied Mathematics Journal，2001，42（4）：569-580.［2］LI Yong-kun.Positive periodic solutions for an integrodifferential model of mutualism ［J］.Applied Mathematics Letters，2001，14（5）：525-530.［3］汪东树，王全义.一类具时滞和比率的扩散系统的正周期解［J］.华侨大学学报：自然科学版，2006，27（4）：358-361.［4］黄爱梅.一类种群时滞合作系统的持久性［J］.福州大学学报：自然科学版，2007，35（4）：499-501.［4］CUI Jin-gan，CHEN Lan-sun.Global asymptoticstability in a nonautonomous cooperative system［J］.Systems Science and Mathematical Science，1993，6（1）：44-51.［5］SUN Shu-lin，CHEN Lan-sun.Existence of positive periodic solution of an impulsive delay Logistic model［J］.Applied Mathematics and Computation，2007，184（2）：617-623.［6］GAINES R E，MAWHIN J L.Coincidence degree and nonlinear differential equations ［M］.Berlin：Springer-Verlag，1977：40-60.。