2002-2003第一学期
一．计算及推导（5*8）
1．已知* 3.141,x x π==，试确定*x 近似x 的有效数字位数。 2．有效数
***1233.105,0.001,0.100
x x x =-==，试确定
***
123
x x x ++的相对误差限。
3．已知3()0.50.12f x x x =++，试计算差商[]0,1,2,3f
4．给出拟合三点(0,1),(1,0)A B ==和(1,1)C =的直线方程。 5．推导中矩形求积公式
''31()()()()()224b a
a b f x dx b a f f b a η+=-+-? 6．试证明插值型求积公式
()()
n
b
i i a
i f x dx A f x =≈∑?
的代数精确度至少是n 次。
7．已知非线性方程()x f x =在区间
[],a b 内有一实根，试写出该实根的牛顿迭代
公式。
8．用三角分解法求解线性方程组
123121022331302x x x ????????????=????????????--??????
要用二次插值多项式计算(0.63891)f 的近似值，试选择合适的插值节点进行计算，并说明所选用节点依据。（保留5位有效数字）（12分） 三． 已知方程ln 0x x +=在(0,1)内有一实根α
（1）给出求该实根的一个迭代公式，试之对任意的初始近似0(0,1)
x ∈迭代法都
收敛，并证明其收敛性。 （2）
00.5
x =试用构造的迭代公式计算α的近似值n x ，要求3110n n x x ---≤。
四． 设有方程组
112233131232a x b a x b a x b ????????????=????????????-??????
当参数a 满足什么条件时，雅可比方法对任意的初始向量都收敛。 写出与雅可比方法对应的高斯赛德尔迭代公式。（12分） 五．用欧拉预估校正法求解初值问题 '2 (00.2)(0)1x y y x y y ?=-≤≤???=? 取h=0.1，小数点后保留5位。（8分）
六．证明求解初值问题 '00
(,)
()y f x y y x y ?=?
=?的如下单步法
12121(,)11(,)22n n n n n n y y K K hf x y K hf x h y K +??=+?
=?
??=++?
是二阶方法。（10分）
七．试证明复化梯形求积公式
1
01
()(()2()()) 2n b
i n a
i h b a
f x dx f x f x f x h n -=-≈++=
∑?
对任意多的积分节点数n+1,该公式都是数值稳定的。（6分）
2003-2004第一学期
一．填空（3*5）
1．近似数*
0.231x =关于真值0.229x =有_____-位有效数字。 2
*x 的相对误差的_______倍。
3．设()f x 可微，求()x f x =根的牛顿迭代公式______。
4．插值型求积公式
()()
n
b
i i a
i f x dx A f x =≈∑?
的代数精确度至少是______次。
5．拟合三点(1,0),(1,3)A B ==和(2,2)C =的常函数是 ________。 二．已知()f x 有如下的数据
试写出满足插值条件()()
i i P x f x =以及'(2)'(2)P f =的插值多项式()P x ，并写出
误差的表达形式。
三．（1）用复化辛浦森公式计算1
x
e dx
?为了使所得的近似值有6位有效数字，问
需要被积函数在多少个点上的函数值？
（2）取7个等距节点（包括端点）用复化辛浦森公式计算7
21lg x xdx
?，小数点
后至少保留4位。
四．曲线3
y x =与1y x =-在点（0.7，0.3）附近有一个交点(,)x y ，试用牛顿迭
代公式计算x 的近似值
n
x ，要求
3
110n n x x ---≤
五． 用雅可比方法解方程组
123122*********x x x -??????
??????=??????????????????
是否对任意的初始向量(0)
x 都收敛，为什么？取(0)
(0,0,0)T x
=，求出解向量的近
似向量，要求满足(1)()6
13max 10k k i i i x x +-≤≤-≤。
六．用校正一次的欧拉预估校正格式求解初值问题
'2+1 (0)0y y y ?=?
=?
的解函数在0.6x =处的近似值，要求写出计算格式。（步长0.3h =,小数点后保留5位有效数字）
七．设有求解初值问题'00
(,)
()y f x y y x y ?=?
=?的如下格式
11(,)
n n n n n y ay by chf x y +-=++
如假设11(),()
n n n n y y x y y x --==问常数,,a b c 为多少时使得该格式为二阶格式？
2005-2006第二学期
一．填空（3*5） 1.设近似数
**
121.2250,0.5168
x x ==都是四舍五入得到的，则相对误差
**12()r e x x ≤
______。
2.矛盾方程组11 2.8
3.2
x x =??
=?的最小二乘解为_______。
3.近似数
*0.01999
x =关于真值
*0.02000
x =有______位有效数字.
4.
1.732≈
，迭代过程1n n y y +=+
5.求积公式3
1()2(2)
f x dx f =?有几次的代数精确度？
二． 取初值
0 1.6
x =
5
110n n x x -+-≤时停止迭代。
三．用最小二乘法确定2
1
y a bx x =+中的常数a 和b ，使该曲线拟合于下面的四
个点（1，1.01）（2，7.04）（3，17.67）（4，31.74）
（计算结果保留到小数点后4位）
四．用乘幂法求矩阵A 的按模最大的特征值1λ的第k 次近似值()1k λ及相应的特征
向量1
x ，要求取初值
0(1,1,1)T
u =且
()(1)3
1110k k λλ---≤
这里 A=512101613-??
??????-?
? 五．考察用高斯赛德尔迭代法解方程组123123123
926
8888
x x x x x x x x x -+=??
-+-=??-++=-?
收敛性，并取(0)(1,0,0)T x =，求近似解(1)k x +，使得(1)()310k k i i x x +--≤（i=1，2，3）
六．已知单调连续函数()y f x =的如下数据
1.12
0.00
1.80
2.20
() 1.100.500.90 1.70
i
i x f x ---
用插值法求方程()0f x =在区间（0.00，1.80）内根的近似值。（小数点后至少保留4位）
七．设有积分
1
04dx I x =+?
取5个等距节点（包括端点），列出被积函数在这些节
点上的函数值表（小数点后至少保留4位）
用复化的simpson 公式求该积分的近似值，并且由截断误差公式估计误差大小。
八．给定初值问题'0
(0)0x
y y y ?-=??
?=?1 1.4
x ≤≤
写出Euler 预估校正格式
取步长为0.2，计算在1.4处的函数的近似值。
九．设矩阵A 对称正定，考虑迭代格式
(1)()(1)
()
2k k k k x x x
x
A b ω++??
??+=--??
??
???
0,0,1,2,3...k ω>=对任意的初始向量(0)(1),k x x +是否收敛到Ax b =的解，为什么？
2006-2007第一学期
一. 填空
1） 近似数253.1*=x 关于真值249.1=x 有____位有效数字；
2） 设有插值公式
)
()(1
1
1
k n
k k x f A dx x f ?
∑-=≈，则∑=n
k k
A
1
=______；（只算系数）
3） 设近似数0235.0*
1=x ，5160.2*
2=x 都是有效数，则相对误差
≤)(*2
*
1
x x e r ____；
4） 求方程x x cos =的根的牛顿迭代格式为______；
5） 矛盾方程组?????-=+=-=+1211212
121x x x x x x 与?????-=+=-=+1
212
222
12121x x x x x x 得最小二乘解是否相同______。
二. 用迭代法（方法不限）求方程
1=x
xe 在区间（0，1）内根的近似值，要求先论证收敛性，误差小于2
10-时迭代结束。
三. 用最小二乘法x
be ax y +=2中的常数a 和b ，使该函数曲线拟合与下面四个
点
（1，-0.72）(1.5, 0.02),(2.0, 0.61),(2.5, 0.32) （结果保留到小数点后第四位）
四．用矩阵的直接三角分解法求解线性方程组
????
?
??
??=??????? ????????? ?
?7173530103421101002014321x x x x
五．设要给出()x x f cos =的如下函数表
用二次插值多项式求)(x f 得近似值，问步长不超过多少时，误差小于3
10- 。
六. 设有微分方程初值问题
??
?=≤<-='2)0(2.00,42y x x y y －
1）写出欧拉预估－校正法的计算格式；
2)取步长h=0.1，用欧拉预估－校正法求该初值问题的数值解（计算结果保留4位小数）。 七. 设有积分
?+=1
01x dx
I
取11个等距节点（包括端点0和1），列出被积函数在这些节点上的函数值（小
数点侯保留4位）；
用复化Simpson 公式求该积分的近似值，并由截断误差公式估计误差大小（小数点侯保留4位）。 八. 对方程组
????? ??=????? ??????? ??314122*********x x x －
1. 用雅可比迭代法求解是否对任意初始向量都收敛？为什么？
2.取初始向量T )0,0,0(=x ，用雅可比迭代法求近似解)1(+k x ，使
)
3,2,1(103
)()1(=<--+i x x k i k i
九. 设f(x)在区间[a ，b]上有二阶连续导数，且f(a)=f(b)=0，试证明
)
()(81
)(max max
2x f a b x f b x a b
x a ''-≤≤≤≤≤
参考答案：
1: (1)3 (2) 2 (3) 0.0023
（4）
,...
2,1,0,sin 1cos sin sin 1cos 1=++=+--
=+k x x x x x x x x x k
k
k k k k k k k (5) 否
2. 方程的等价形式为 x e x -=，迭代格式为k
x k e x -+=1。
收敛性证明；当)1,0(∈x 时，
11
00=≤≤<
-e e e x
1
)('0=<=-e e x x φ
所以依据全局性收敛定理，可知迭代格式收敛 取迭代初值为
5
.00=x ，迭代结果如下
3.
矛盾方程组为 ??
??
??
??????-=?????????????????
?32.061.002.072.018249.1225.638906.70.448169.425.271828.21b a 对应的正则方程组为
??
?
???=????????????538196.6765.34859.2304989.1184989.118125.61b a
解得 0009.1,0019.2-==b a
所以拟和曲线方程为x
e x y 0009.10019.22-=
4. 由矩阵Doolittle 分解的紧凑记录形式有
???
????
??717353010
342110100201 → ??
?
??
??
??4635201012211010
0201
回代求解得
2244==
x , 2)16(21
43=?-=x x
11103432=--=
x x x ， 1
102054
321=---=x x x x
方程组的解向量为T
)2,2,1,1(=x .
5. 令
3
11)3(10))()((!
3)
(max
1
1-+-≤≤≤---+-k k k x x x x x x x x x f k k ξ 可求得h ≤0.2498（或
h ≤0.2289）
6. 2724.1,256.1,62.1,6.12)
0(21)0(1====y y y y
7. 0.6932
5
103333.1)(－?≤f R
8. （1）Jacobi 迭代法的迭代矩阵为
??
??? ??----=022101220－J B 谱半径
()10<=J B ρ.此时Jacobi 迭代法对任意初始向量都收敛.
（2）?????
??-=????? ??-=????? ??--=????? ??=102,102,768,314)4()3()2()
1(x x x x
9. 以
b
x a x ==10,为插值节点，做Lagrange 插值：
))()((!21
))()((!21)()(1b x a x f b x a x f x L x f --''=--''+
=ξξ
其中],[)(b a x ∈ξ。
故
)()(81
))(()(21))()((!21)(max max max max
max
2x f a b b x a x x f b x a x f x f b
x a b x a b x a b
x a b
x a ''-≤--''≤--''≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤ξ
2007-2008第一学期
1 填空（15分） 1） 设近似数
*
19.2270
x =，
*
20.8009
x =都是四舍五入得到的，则相对误差
**
12()r e x x ≤
______
2）拟合三点A(3,1), B(1,3)，C(2,2)的平行于y 轴的直线方程为 ____.
3) 近似数*
0.0351x =关于真值0.0349x =有 _____ 位有效数字.
4） 插值型求积公式
1
1
1
1
()()
n k k k f x dx A f x --=≈∑?
至少有______次代数精确度.
5) Simpson(辛浦生)求积公式有______次代数精确度.
2.（10分）已知曲线3 2.89y x =+ 与
2
2.40.51y x x =+在点（1.6,6.9）附近相切，试用牛顿迭代法求切点横坐标的近似值1
n x +，当
5
110
n n x x -+-≤误差小于4
10-时停
止迭代。
3．（10分）用最小二乘法确定
x b ax y ln 2
+=中的常数a 和b ，使得该函数曲线拟合于下面四个点 (1，2.01), (2，7.3), (3,16.9), (4,30.6) (计算结果保留
到小数点后4位)
4.(10分) 用乘幂法求矩阵
2321034361A ?? ?= ?
???的按模最大的特征值1λ的第k 次近似值()1k λ及相应的特征向量()1k x 。要求取初始向量0(1,2,1)T u =，且()(1)11
0.1k k λλ--≤。
5．（10分）设有方程组
1122331312(0)
32a x b a x b a a x b ????????????=≠????????????-??????
写出与Jacobi 迭代法对应的Gauss-Seidel 方法的迭代格式； Jacobi 方法的迭代矩阵为：
当参数a 满足什么条件时，Jacobi 方法对任意的初始向量都收敛。 6．（10分）已知四阶连续可导函数)(x f y =的如下数据：
试求满足插值条件
''()(),()()
i i i i p x f x p x f x ==的三次插值多项式()p x ，并写出截
断误差()()()R x f x p x =-的导数型表达式（不必证明）。
7．（15分）设有积分2
31x I x e dx
=?
1）取7个等距节点（包括端点1和2），列出被积函数在这些节点上的函数值表（小数点后至少保留4位）；
2）用复化simpson
公式求该积分的近似值，并由截断误差公式估计误差大小。 8．（10分） 给定初值问题
2
'
0,
(1)1,1 1.4
y y y x x
-==<≤
写出欧拉（Euler ）预估-校正的计算格式； 取步长0.2h =，求(1.4)y 的近似值。 9．（10分）
用迭代法的思想证明：
2
k = （等号左边有k 个2）。
参考答案：
1: (1)6.78×10－5, (2) x=2 (3) 2 （4）n-2 (5) 3
2. 切线斜率相等：51.08.432+=x x ，051.08.432
=-－x x
牛顿迭代格式：8.4651.08.4321
---
=+n n n n n x x x x x －
取
6
.10=x ，得
70000
.1,70000.1,70002.1,70625.14321====x x x x
3. 矛盾方程组：??????
?=+=+=+=8
.304ln 169.163ln 93.72ln 401
.2b a b a b a a
正则方程组：
???? ??=???? ?????? ??04713.6691.67260921.384081.3484081.34354
b a 0042.1,9997.1-≈≈b a
4. 取初始向量T
)121()
0(=V ，用乘幂法公式进行计算，且取
)
(1)1(1)
(1
k k k V V +=λ
，得
0.111≈λ，T V x )20226,27032,13516()4(=≈ 5.(1)迭代格式为
()
()
(
)
???
???
???-+=--=--=++++++)
1(2
)1(13)1(3
)
(3)1(12)1(2
)(3)(21)1(12312131k k k k k k k k k x x b a x x x b a x x x b a x
(2)Jacobi 迭代法的迭代矩阵为
????
???? ??
-----=02
32
01310a a a a a a J B
(3)
λλλ
λ
λ
λ??
? ??+=-=
-224232131a a
a
a a a
a
J B I
谱半径
()a
J 2=
B ρ.由
()1 2 >a 此时Jacobi 迭代法对任意初始向量都收敛. 6. ) 2,1()(,)2()1(!4) ()()()(,12)(22)4(3 ∈--=-=+-=x x x f x p x f x R x x x p ξξ 7．20.2174 0048 .0)(≤f R 8．（1）Euler 预-校法的计算格式为 [] ?????++=+=++++) ,(),(2),()0(111)0(1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x f h y y （2）将 x y y x f h 2 ),(,2.0= = 代入，则 ??? ? ??????? ??++=+=++++12 )0(1212 )0(1)(1.02 .0n n n n n n n n n n x y x y y y x y y y 代入 1 ,100==y x 得 ???=≈=22.1)2.1(2.11]0[1y y y ，???=≈=49798.1)4.1(4681.12]0[2y y y 9．证明 考虑迭代格式 ,1,0,2,010=+==+k x x x k k ，则 21=x ，222+=x ，…，22222+++++= k x （k 个2） 设x x +=2)(?，则当x ∈[0,2]时，?(x)∈ [?(0),?(2)]=]2,2[∈ [0,2]； 由 x x += '221 )(?，则当x ∈[0,2]时，1 221)0()(<='≤'??x ． 所以，由迭代格式k k x x x +==+2,010产生的序列收敛于方程x x +=2在[0,2] 内的根α． 设 α =∞ →k k x lim ，则有αα+=2，即αα+=22 ．解之得1,2-==αα．舍去不合题意 的负根，有2 lim =∞ →k k x ，即 2 22222lim =+++++∞ → k 《计算方法》期中复习试题 一、填空题： 1、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得 ?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。 答案：2.367，0.25 2、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为 ， 拉格朗日插值多项式为 。 答案：-1， )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 3、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； 4、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )； 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 5、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )； 6、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 7、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b )； 8、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 )； 11、 两点式高斯型求积公式?1 d )(x x f ≈( ?++-≈1 )] 321 3()3213([21d )(f f x x f )，代数精 度为( 5 )； 12、 为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表 达式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式 19992001-改写为 199920012 + 。 《数值计算方法》复习试题 一、填空题： 1、????? ?????----=410141014A ，则A 的LU 分解为 A ??? ?????????=? ?????????? ?。 答案： ?? ????????--??????????--=1556141501 4115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得 ?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。 答案：， 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为 ， 拉格朗日插值多项式为 。 答案：-1， )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； 5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )； （ 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 6、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )； 7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 8、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b )； 9、求解一阶常微分方程初值问题y '= f (x ,y )，y (x 0)=y 0的改进的欧拉公式为 ( )] ,(),([2111+++++=n n n n n n y x f y x f h y y )； 10、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( )； 11、 两点式高斯型求积公式?1 d )(x x f ≈( ?++-≈1 )] 321 3()3213([21d )(f f x x f )，代数精 度为( 5 )； 12、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均 不为零)。 13、 为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表 达式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式 19992001-改写为 199920012 + 。 14、 用二分法求方程01)(3 =-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间 为 ，1 ,进行两步后根的所在区间为 ， 。 15、 、 16、 计算积分?1 5 .0d x x ,取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为 ，用辛卜 生公式计算求得的近似值为 ，梯形公式的代数精度为 1 ，辛卜生公式的代数精度为 3 。 17、 求解方程组?? ?=+=+042.01532121x x x x 的高斯—塞德尔迭代格式为 ?????-=-=+++20/3/)51()1(1)1(2)(2)1(1 k k k k x x x x ，该迭 代格式的迭代矩阵的谱半径)(M ρ= 121 。 18、 设46)2(,16)1(,0)0(===f f f ,则=)(1x l )2()(1--=x x x l ，)(x f 的二次牛顿 插值多项式为 )1(716)(2-+=x x x x N 。 19、 求积公式 ?∑=≈b a k n k k x f A x x f )(d )(0 的代数精度以( 高斯型 )求积公式为最高，具 有( 12+n )次代数精度。 一、选择题（10小题，共10分） 6、产生式系统的推理不包括（） A）正向推理B）逆向推理C）双向推理D）简单推理 8、在公式中?y?xp(x,y))，存在量词是在全称量词的辖域内，我们允许所存在的x可能 依赖于y值。令这种依赖关系明显地由函数所定义，它把每个y值映射到存在的那个x。 这种函数叫做（） A) 依赖函数B) Skolem函数 C) 决定函数D) 多元函数 9、子句~P∨Q和P经过消解以后，得到（） A) P B) ~P C) Q D) P∨Q 10、如果问题存在最优解，则下面几种搜索算法中，（）必然可以得到该最优解。 A)宽度（广度）优先搜索B) 深度优先搜索 C) 有界深度优先搜索D) 启发式搜索 二、填空题（10个空，共10分） 1、化成子句形式为：~。 2、假言推理（A→B）∧A?B，假言三段论（A→B）∧（B→C）? A -> C. 3、在启发式搜索当中，通常用启发函数来表示启发性信息。 5、状态空间法三要点分别是：状态和算符，状态空间方法。 6. 鲁宾逊提出了⑦归结原理使机器定理证明成为可能。 7. 宽度优先搜索与深度优先搜索方法的一个致命的缺点是当问题比较复杂是可能会发 生组合爆炸。 8、产生式系统是由___综合数据库知识库___和_推理机________三部分组成的. 9、谓词公式G是不可满足的，当且仅当对所有的解释G都为假。 10、谓词公式与其子句集的关系是包含。 11、利用归结原理证明定理时，若得到的归结式为空集，则结论成立。 12、若C1=┐P∨Q，C2=P∨┐Q，则C1和C2的归结式R（C1，C2）= ┐P∨P或┐Q ∨Q。 13、在框架和语义网络两种知识表示方法中，框架适合于表示结构性强的知识，而 语义网络则适合表示一些复杂的关系和联系的知识。 三、简答题（4小题，共40分） 1．什么是A*算法的可纳性？(4分) 答：在搜索图存在从初始状态节点到目标状态节点解答路径的情况下，若一个搜索法总能找到最短（代价最小）的解答路径，则称算法具有可采纳性。 2．在一般图搜索算法中，当对某一个节点n进行扩展时，n的后继节点可分为三类，请举例说明对这三类节点的不同的处理方法。(8分) 西北工业大学 2012年硕士研究生入学考试试题答案 试题名称：材料科学基础试题编号：832说明：所有答题一律写在答题纸上第页共页 一、简答题（每题10分，共50分） 1.请简述滑移和孪生变形的特点？ 答： 滑移变形特点： 1）平移滑动：相对滑动的两部分位向关系不变 2）滑移线与应力轴呈一定角度 3）滑移不均匀性：滑移集中在某些晶面上 4）滑移线先于滑移带出现：由滑移线构成滑移带 5）特定晶面，特定晶向 孪生变形特点： 1) 部分晶体发生均匀切变 2) 变形与未变形部分呈镜面对称关系，晶体位向发生变化 3) 临界切分应力大 4) 孪生对塑变贡献小于滑移 5) 产生表面浮凸 2.什么是上坡扩散？哪些情况下会发生上坡扩散？ 答：由低浓度处向高浓度处扩散的现象称为上坡扩散。应力场作用、电场磁场作用、晶界内吸附作用和调幅分解反应等情况下可能发生上坡扩散。扩散驱动力来自自由能下降，即化学位降低。 3.在室温下，一般情况金属材料的塑性比陶瓷材料好很多，为什么？纯 铜与纯铁这两种金属材料哪个塑性好？说明原因。 答：金属材料的塑性比陶瓷材料好很多的原因：从键合角度考虑，金属材料主要是金属键合，无方向性，塑性好；陶瓷材料主要是离子键、共价键，共价键有方向性，塑性差。离子键产生的静电作用力，限制了滑移进行，不利于变形。 铜为面心立方结构，铁为体心立方结构，两者滑移系均为12个，但面心立方的滑移系分布取向较体心立方匀衡，容易满足临界分切应力。且面心立方滑移面的原子堆积密度比较大，因此滑移阻力较小。因而铜的塑性好于铁。 4.请总结并简要回答二元合金平衡结晶过程中，单相区、双相区和三相 区中，相成分的变化规律。 2002-2003 第一学期 一．计算及推导（ 5*8） 1．已知 x* 3.141, x ，试确定 x * 近似 x 的有效数字位数。 * * * 0.100 * * * 2．有效数 x 1 3.105, x 2 0.001, x 3 1 x 2 3 ，试确定 x x 的相对误差限。 3．已知 f ( x) 0.5 x 3 0.1x 2 ，试计算差商 f 0,1,2,3 4．给出拟合三点 A (0,1), B (1,0) 和 C (1,1) 的直线方程。 5．推导中矩形求积公式 b (b a) f ( a b ) 1 f '' ( )(b a)3 f (x)dx a 2 24 b n f (x)dx A i f ( x i ) a 6．试证明插值型求积公式 i 0 的代数精确度至少是 n 次。 7．已知非线性方程 x f (x) 在区间 a, b 内有一实根，试写出该实根的牛顿迭代 公式。 8．用三角分解法求解线性方程组 1 2 1 x 1 0 2 2 3 x 2 3 1 3 0 x 3 2 二．给出下列函数值表 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 x i 0.38942 0.47943 0.56464 0.64422 0.71736 f ( x i ) 要用二次插值多项式计算 f (0.63891) 的近似值，试选择合适的插值节点进行计 算，并说明所选用节点依据。 （保留 5 位有效数字）（12 分） 三． 已知方程 x ln x 0 在 (0,1) 内有一实根 （ 1）给出求该实根的一个迭代公式，试之对任意的初始近似 x 0 (0,1) 迭代法都收 敛，并证明其收敛性。 （ 2） x 0 0.5 试用构造的迭代公式计算 的近似值 x n ，要求 x n x n 1 10 3 。 四． 设有方程组 计算方法考试题（一） 满分70分 一、选择题：（共3道小题，第1小题4分，第2、3小题3分，共10分） 1、将A 分解为U L D A --=，其中),,(2211nn a a a diag D =，若对角阵D 非奇异（即),1,0n i a ii =≠，则b Ax =化为b D x U L D x 1 1)(--++=（1） 若记b D f U L D B 111 1),(--=+= （2） 则方程组（1）的迭代形式可写作 ) 2,1,0(1 )(1)1( =+=+k f x B x k k （3） 则（2）、（3）称 【 】 (A)、雅可比迭代。(B)、高斯—塞德尔迭代 (C)、LU 分解 (D)、Cholesky 分解。 2、记*x x e k k -=，若0lim 1≠=+∞→c e e p k k k （其中p 为一正数）称序列}{k x 是 【 】 (A)、p 阶收敛； (B)、1阶收敛； (C)、矩阵的算子范数； (D)、p 阶条件数。 3、牛顿切线法的迭代公式为 【 】 (A)、 ) () (1k x f x f x x k k k '- =+ (B)、 )()())((111--+--- =k k k k k k k x f x f x x x f x x 1 )() ()1()()()(x x f x f x f k i k i k i ??+=+ (D)、 )() ()()1(k k k x f x x -=+ 二、填空题：（共2道小题，每个空格2分，共10分） 1、设0)0(f =，16)1(f =，46)2(f =，则一阶差商 ，二阶差商=]1,2,0[f ，)x (f 的二次牛顿 插值多项式为 2、 用二分法求方程 01x x )x (f 3 =-+=在区间]1,0[内的根，进行第一步后根所在的区间为 ，进行第二步后根所在的区间 为 。 三、计算题：（共7道小题，第1小题8分，其余每小题7分，共50分） 1、表中各*x 都是对准确值x 进行四舍五入得到的近似值。试分别指出试用抛物插值计算115的近似值，并估计截断误差。 3、确定系数101,,A A A -，使求积公式 ) ()0()()(101h f A f A h f A dx x f h h ++-≈? -- （1） 具有尽可能高的代数精度，并指出所得求积公式的代数精度。 材料性能学 第一章材料单向静拉伸的力学性能 一、名词解释。 1.工程应力:载荷除以试件的原始截面积即得工程应力σ，σ=F／A0。 2.工程应变：伸长量除以原始标距长度即得工程应变ε，ε=Δl／l0。 3.弹性模数：产生100％弹性变形所需的应力。 4.比弹性模数（比模数、比刚度）：指材料的弹性模数与其单位体积质量的比值。（一般适用于航空业） 5.比例极限σp：保证材料的弹性变形按正比关系变化的最大应力，即在拉伸应力—应变曲线上开始偏离直线时的应力值。 6.弹性极限σe：弹性变形过渡到弹-塑性变形（屈服变形）时的应力。 7.规定非比例伸长应力σp：即试验时非比例伸长达到原始标距长度(L0)规定的百分比时的应力。 8.弹性比功(弹性比能或应变比能) a e: 弹性变形过程中吸收变形功的能力，一般用材料弹性变形达到弹性极限时单位体积吸收的弹性变形功来表示。 9.滞弹性：是指材料在快速加载或卸载后，随时间的延长而产生的附加弹性应变的性能。 10.粘弹性：是指材料在外力作用下，弹性和粘性两种变形机理同时存在的力学行为。 11.伪弹性：是指在一定的温度条件下，当应力达到一定水平后，金属或合金将产生应力诱发马氏体相变，伴随应力诱发相变产生大幅的弹性变形的现象。 12.包申格效应：金属材料经预先加载产生少量塑性变形（1-4%），然后再同向加载，规定残余伸长应力增加，反向加载，规定残余伸长应力降低的现象。 13.内耗：弹性滞后使加载时材料吸收的弹性变形能大于卸载时所释放的弹性变形能，即部分能量被材料吸收。（弹性滞后环的面积） 14.滑移：金属材料在切应力作用下,正应力在某面上的切应力达到临界切应力产生的塑变,即沿一定的晶面和晶向进行的切变。 15.孪生：晶体受切应力作用后,沿一定的晶面(孪生面)和晶向(孪生方向)在一个区域内连续性的顺序切变,使晶体仿佛产生扭折现象。 16.塑性：是指材料断裂前产生塑性变形的能力。 17.超塑性：在一定条件下，呈现非常大的伸长率(约1000％)，而不发生缩颈和断裂的现象。 18.韧性断裂：材料断裂前及断裂过程中产生明显的塑性变形的断裂过程。 19.脆性断裂：材料断裂前基本上不产生明显的宏观塑性变形，没有明显预兆，往往表现为突然发生的快速断裂过程。 20.剪切断裂：材料在切应力的作用下沿滑移面滑移分离而造成的断裂。 21.解理断裂：在正应力的作用下，由于原子间结合键的破坏引起的沿特定晶面发生的脆性穿晶断裂。 22.韧性：是材料断裂前吸收塑性变形功和断裂功的能力。 23.银纹：聚合物材料在张应力作用下表面或内部出现的垂直于应力方向的裂隙。当光线照射到裂隙面的入射角超过临界角时，裂隙因全反射而呈银色。 24.河流花样：在电子显微镜中解理台阶呈现出形似地球上的河流状形貌，故名河流状花样。 25.解理台阶：解理断裂断口形貌中不同高度的解理面之间存在台阶称为解理台阶。 26.韧窝：微孔聚集形断裂后的微观断口。 27.理论断裂强度：在外加正应力作用下，将晶体中的两个原子面沿着垂直于外力方向拉断所需的应力称为理论断裂强度。 28.真实断裂强度：用单向静拉伸时的实际断裂拉伸力Fk除以试样最终断裂截面积Ak所得应力值。 29.静力韧度：通常将静拉伸的σ——ε曲线下所包围的面积减去试样断裂前吸收的弹性能。 二、填空题。 1. 整个拉伸过程的变形可分为弹性变形，屈服变形，均匀塑性变形，不均匀集中塑性变形四个阶段。 2. 材料产生弹性变形的本质是由于构成材料原子（离子）或分子自平衡位置产生可逆位移的反应。 3. 在工程中弹性模数是表征材料对弹性变形的抗力，即材料的刚度，其值越大，则在相同应力下产生的弹性变形就越小。 二、设(2)0,(0)2,(2)8f f f -===，求 )(x p 使 )()(i i x f x p =,)2,1,0(=i ；又 设 M x f ≤''')( ，则估计余项 )()()(x p x f x r -= 的大小 。（15分） 三、设(0)1,(0.5)5,(1)6,(1.5)3,(2)2f f f f f =====，()k f M ≤(2,3,4)k =， （1）计算? 20 )(dx x f ， （2）估计截断误差的大小（12分） 寂涯网络 https://www.doczj.com/doc/898278816.html, xx ~xx 学年第 1学期 《计算方法》课程试卷A 第 1 页 共 4 页 寂涯网络 https://www.doczj.com/doc/898278816.html, xx ~xx 学年第 1学期 《计算方法》课程试卷A 第 2 页 共 4 页 四、设方程012523=-+x x 在 [2,1] 内有实根α，试写出迭代公式 ,,2,1,0)(1 ==+k x x k k ? 使 {}α→k x ，并说明迭代公式的收敛性。 （10分） 五、设有线性方程组b Ax =，其中 ???? ? ??=?? ????????=582,3015515103531b A （1）求A LU =分解; (2) 求方程组的解 (3) 判断矩阵A 的正定性（14分） 寂涯网络 https://www.doczj.com/doc/898278816.html, xx ~xx 学年第 1学期 《计算方法》课程试卷A 第 3 页 共 4 页 六、设有线性方程组b Ax =，其中 1 442 12441A -?? ??=?? ???? ， 试讨论Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法的收敛性。（14分） 七、设()i j n n A a ?=是n 阶实对称正定矩阵，A 经过一次高斯消元计算变为 ?? ? ???211A O T a ， 其中T 为行向量，O 是零列向量，试证明2A 是对称正定矩阵（8分） 《计算方法》期末考试试题 一 选 择（每题3分，合计42分） 1. x* ＝ 1.732050808，取x ＝1.7320，则x 具有 位有效数字。 A 、3 B 、4 C 、5 D 、6 2. 取7 3.13≈（三位有效数字），则 ≤-73.13 。 A 、30.510-? B 、20.510-? C 、10.510-? D 、0.5 3. 下面_ _不是数值计算应注意的问题。 A 、注意简化计算步骤，减少运算次数 B 、要避免相近两数相减 C 、要防止大数吃掉小数 D 、要尽量消灭误差 4. 对任意初始向量)0(x ?及常向量g ?，迭代过程g x B x k k ? ??+=+)() 1(收敛的充分必要条件是_ _。 A 、11< B B 、1<∞ B C 、1)( 参考答案 第一章 1 *1x =1.7； * 2x =1.73； *3x =1.732 。 2． 3． （1） ≤++)(* 3*2*1x x x e r 0.00050； （注意：应该用相对误差的定义去求） （2） ≤)(*3*2*1x x x e r 0.50517； （3） ≤)/(*4*2x x e r 0.50002。 4．设6有n 位有效数字，由6≈2.4494……，知6的第一位有效数字1a =2。 令3)1()1(1* 102 1 102211021)(-----?≤??=?= n n r a x ε 可求得满足上述不等式的最小正整数n =4，即至少取四位有效数字，故满足精度要求可取6≈2.449。 5. 答：（1）*x (0>x )的相对误差约是* x 的相对误差的1/2倍； （2）n x )(* 的相对误差约是* x 的相对误差的n 倍。 6． 根据******************** sin 21)(cos 21sin 21)(sin 21sin 21)(sin 21)(c b a c e c b a c b a b e c a c b a a e c b S e r ++≤ =* *****) ()()(tgc c e b b e a a e ++ 注意当20* π < 7．设20= y ，41.1*0 =y ，δ=?≤--2* 00102 1y y 由 δ1* 001*111010--≤-=-y y y y ， δ2*111*221010--≤-=-y y y y M δ10*991*10101010--≤-=-y y y y 即当0y 有初始误差δ时，10y 的绝对误差的绝对值将减小10 10-倍。而110 10 <<-δ，故计算过程稳定。 8. 变形后的表达式为： （1）)1ln(2--x x =)1ln(2-+-x x （2）arctgx x arctg -+)1(=) 1(11 ++x x arctg （3） 1ln )1ln()1(ln 1 --++=? +N N N N dx x N N =ΛΛ+-+- +3 2413121)1ln(N N N N 1ln )11ln()1(-++ +=N N N N =1)1ln()1 1ln(-+++N N N （4）x x sin cos 1-=x x cos 1sin +=2x tg 西北工业大学 2011年硕士研究生入学考试试题参考答案 试题名称：材料科学基础（A卷）试题编号：832 说明：所有答题一律写在答题纸上第 1 页共 7 页 一、简答题（每题10分，共50分） 1.请从原子排列、弹性应力场、滑移性质、柏氏矢量等方面对比刃位错、 螺位错的主要特征。 答：刃型位错： 1)1晶体中有一个额外原子面，形如刀刃插入晶体 2)2刃位错引起的应力场既有正应力又有切应力。 3)3位错线可以是折线或曲线, 但位错线必与滑移（矢量）方向垂直 4)4滑移面惟一 5)5位错线的移动方向与晶体滑移方向平行（一致） 6)6位错线与柏氏矢量垂直 螺型位错： 1)1上下两层原子发生错排，错排区原子依次连接呈螺旋状 2)2螺位错应力场为纯切应力场 3)3螺型位错与晶体滑移方向平行，故位错线一定是直线 4)4螺型位错的滑移面是不惟一； 5)5位错线的移动方向与晶体滑移方向相互垂直。 6)6位错线与柏氏矢量平行 2.何谓金属材料的加工硬化？如何解决加工硬化对后续冷加工带来的困 难？ 答：随变形量增大，强度硬度升高，塑形下降的现象。软化方法是再结晶退火。 3.什么是离异共晶？如何形成的？ 答：在共晶水平线的两个端部附近，由于共晶量少，领先相相依附在初 生相上，另一相独立存在于晶界，在组织学上失去共晶体特点，称为离异共晶。有时，也将端部以外附近的合金，在非平衡凝固时得到的少量共晶，称为离异共晶。 4. 形成无限固溶体的条件是什么？简述原因。 答：只有置换固溶体才可能形成无限固溶体。且两组元需具有相同的晶体结构、相近的原子半径、相近的电负性、较低的电子浓度。原因：溶质原子取代了溶剂原子的位置，晶格畸变较小，晶格畸变越小，能量越低。电负性相近不易形成化合物。电子浓度低有利于溶质原子溶入。 5. 两个尺寸相同、形状相同的铜镍合金铸件，一个含90%Ni ，另一个含 50%Ni ，铸造后自然冷却，问哪个铸件的偏析严重？为什么？ 答：50%Ni 的偏析严重，因为液固相线差别大，说明液固相成分差别大，冷速较快不容易达到成分均匀化。 二、 作图计算题（每题15分，共60分） 1、写出{112}晶面族的等价晶面。 答： )21()12()11()211()12()11( )211()121()211()211()121()112(}112{+++++++++++= 2、 请判定下列反应能否进行：]001[]111[2]111[2a a a →+ 答：几何条件： ]001[]002[2 ]111[2]111[2a a a a ==+，满足几何条件 能量条件： ( )2 2 2 2 2 2 32 2 2222 2222 2 211 004311121)1()1(2a a b a a a b b =++==?? ? ??+++??? ??+-+-=+ 不满足能量条件，反应不能进行。 计算方法模拟试题 一、 单项选择题（每小题3分，共15分） 1．近似值210450.0?的误差限为（ ）。 A ． 0.5 B. 0.05 C ． 0.005 D. 0.0005. 2. 求积公式)2(3 1 )1(34)0(31)(2 0f f f dx x f ++≈ ?的代数精确度为（ ）。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 若实方阵A 满足（ ）时，则存在唯一单位下三角阵L 和上三角阵R ，使LR A =。 A. 0det ≠A B. 某个0 det ≠k A C. )1,1(0det -=≠n k A k D. ),,1(0det n k A k =≠ 4.已知?? ?? ? ?????=531221112A ，则=∞A （ ）。 A. 4 B. 5 C. 6 D 9 5.当实方阵A 满足)2(,221>>-=i i λλλλ，则乘幂法计算公式1e =（ ）。 A. 1+k x B. k k x x 11λ++ C. k x D. k k x x 11λ-+ 二、填空题（每小题3分，共15分） 1. 14159.3=π，具有4位有效数字的近似值为 。 2. 已知近似值21,x x ，则=-?)(21x x 。 3．已知1)(2-=x x f ，则差商=]3,2,1[f 。 4．雅可比法是求实对称阵 的一种变换方法。《数值计算方法》试题集及答案(1-6) 2
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