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常微分方程拉氏变换法求解常微分方程

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常微分方程-拉氏变换法求解常微分方程

常微分方程-拉氏变换法求解常微分方程

03 拉普拉斯变换的逆变换
定义与性质
定义
逆变换是拉普拉斯变换的逆过程，将 拉普拉斯变换后的函数还原为原函数。
性质
逆变换具有线性性、时移性、微分性、 积分性和相似性等性质，这些性质在 求解常微分方程时具有重要作用。
逆变换的求解方法
表格法
通过查表或计算公式，将拉普拉 斯变换后的函数还原为原函数。 这种方法适用于已知拉普拉斯变 换函数的简单情况。
幂级数法
通过幂级数展开，将拉普拉斯变 换后的函数展开为无穷级数，然 后逐项积分得到原函数。这种方 法适用于较为复杂的拉普拉斯变 换函数。
积分法
通过积分运算，将拉普拉斯变换 后的函数进行积分，得到原函数。 这种方法需要熟练掌握积分运算 和拉普拉斯变换的性质。
04 拉普拉斯变换法的优缺点
优点
高效性
对于一些复杂或难以直接求 解的常微分方程，拉普拉斯 变换法能够提供一种简洁、 高效的求解方法。
普适性
拉普拉斯变换法适用于各种 类型的初值问题，具有广泛 的适用性。
易于计算
拉普拉斯变换的逆变换相对 容易计算，使得求解过程相 对简单。
可处理多变量问题
通过引入偏导数，拉普拉斯 变换法可以处理多变量微分 方程，这是其他方法难以做 到的。
缺点
不易理解物理意义
拉普拉斯变换将原始的微分方程转换为复 平面上的函数，这使得初学者不易理解其
性质
拉普拉斯变换具有线性性、时移性、 微分性、积分性和复共轭性等性质， 这些性质使得求解常微分方程变得更 为简便。
拉普拉斯变换的应用
求解常微分方程
通过拉普拉斯变换，可以将常微分方程转化为代数方程，从而简化求 解过程。
系统分析
在控制工程和信号处理等领域，拉普拉斯变换被广泛应用于系统分析 和系统设计。

拉氏变换

拉氏变换

)
=
⎧0(t
⎨ ⎩
t
(t
< ≥
0) 0)
L[t] =
1 s2
4.加速度函数
f
(t )
=
⎪⎧ ⎨ ⎪⎩
0(t < 0) 1 t 2 (t ≥ 0) 2
L[ 1 2
t2] =
1 s3
5
时间域：δ(t)→ 1(t)→t→ t2/2 复数域： 1→1/s→1/s2→1/s3
4.指数函数
f (t) = e−at (t ≥ 0)
t →0+
s→∞
证明方法同上。只是要将s→∞取极限。
15
(6) 衰减定理 若f2(t)=e-at f1(t), 则
F2(s) =F1(s+a)
L[e−at f (T )] = F (s + a)
16
8
(7) 延迟定理 （处理复杂时间函数） 若 f2(t)=f1(t-a), 则 F2(s)=e-as F1(s)
=
f (t) ∞ 0
= lim t→∞
f (t) −
f (0)
右边 = lim [sF (s) − f (0)] = lim sF (s) − f (0)
s→0
s→0
∴ lim f (t ) = lim sF (s)
t→∞
s→0
14
7
(5)初值定理
若 f(t) 在t=0+处有初值f(0+)，则
lim f (t) = f (0+ ) = lim sF (s)
1
= 1 (1 − 1)
(s + a)(s + b) b − a s + a s + b

常微分方程课件：拉普拉斯变换及应用

常微分方程课件：拉普拉斯变换及应用

estdt 1 est 1
0
0
s 0s
当a 0时 eat (t ) (t )
(3)单位冲激函数
L[ (t)]
(t )e st dt
0 (t)es0dt 1
0
0
2 拉普拉斯变换的基本性质 一、线性
若L[ f1(t )] F1(S ) , L[ f2(t )] F2(S )
00
SF (S) f (0)
例3 应用导数性质求下列函数的象函数：
1) f (t) cos(t);
2) f (t) (t).
解 : 1)L[cos(t)] L[ 1 d (sin(t))] dt
1
(s
s2
2
0)
s2
s
2
2)由 于 (t) d (t), L[ (t)] 1
dt
s
上述函数的定义域为[0， ∞)，求其象函数。
解 ： 1)L[sin(t )] L[ 1 (e jt e jt )]
2j 1[ 1 1 ]
2 j S j S j
S2 2
2)L[K (1 eat )] L[K ] L[Ke at ] K K Ka s s a s(s a)
设：L[ f (t)] F (S) 当t t0时，f (t t0 ) 0
则：L[ f (t t0 ) (t t0 )] est0 F(S)
证：L[ f (t t0 )]
0
f
(t
t0 )estdt
令t t0
t0
est0
f (t t0 )estdt
f ( )es d
则 L[af1(t) bf2(t)] aF1(S ) bF2(S )
证：0[af1(t ) bf2 (t )]est dt

拉氏变换常用公式

拉氏变换常用公式

拉氏变换常用公式拉普拉斯变换是一种重要的数学工具，用于求解线性常系数常微分方程和线性差分方程。

在控制工程、信号与系统、电路分析等领域中，拉普拉斯变换被广泛应用。

下面是拉普拉斯变换中一些常用的公式：1.输入信号：f(t)的拉普拉斯变换：F(s) = L[f(t)] = ∫[0,∞] (e^(-st))(f(t)) dt2.单位阶跃函数u(t)的拉普拉斯变换：U(s)=L[u(t)]=1/s3.延时函数f(t-T)的拉普拉斯变换：L[f(t-T)]=e^(-Ts)F(s)4.积分操作的拉普拉斯变换：L[∫[0,t]f(τ)dτ]=1/sF(s)5.导数操作的拉普拉斯变换：L[dⁿf(t) / dtⁿ] = sⁿF(s) - sⁿ⁻¹f(0) - sⁿ⁻²f'(0) - ... - f⁽ⁿ⁻¹⁾(0)6.二阶导数操作的拉普拉斯变换：L[d²f(t) / dt²] = s²F(s) - sf(0) - f'(0)7.卷积操作的拉普拉斯变换：L[f(t)*g(t)]=F(s)G(s)8.乘法操作的拉普拉斯变换：L[f(t)g(t)]=F(s)*G(s)9.常用单位阶跃函数和冲激函数的拉普拉斯变换：(1)f(t)=u(t)的拉普拉斯变换：F(s)=L[u(t)]=1/s(2)f(t)=t^nu(t)的拉普拉斯变换：F(s)=L[t^nu(t)]=n!/s^(n+1)(3) f(t) = e^(at) u(t)的拉普拉斯变换：F(s) = L[e^(at) u(t)] = 1 / (s - a)(4) f(t) = sin(ωt) u(t)的拉普拉斯变换：F(s) = L[sin(ωt) u(t)] = ω / (s² + ω²) (5) f(t) = cos(ωt) u(t)的拉普拉斯变换：F(s) = L[cos(ωt) u(t)] = s / (s² + ω²) (6)f(t)=δ(t)的拉普拉斯变换：F(s)=L[δ(t)]=1(7) f(t) = e^(at) δ(t)的拉普拉斯变换：F(s) = L[e^(at) δ(t)] = 1 / (s - a)(8) f(t) = sin(ωt) δ(t)的拉普拉斯变换：F(s) = L[sin(ωt) δ(t)] = ω / (s² + ω²)(9) f(t) = cos(ωt) δ(t)的拉普拉斯变换：F(s) = L[cos(ωt) δ(t)] = s / (s² + ω²)拉普拉斯变换的公式非常有用，可以将时域问题转化为复频域问题，从而更容易进行分析和求解。

常微分方程-拉氏变换法求解常微分方程

常微分方程-拉氏变换法求解常微分方程

x (n1) 0
a1[s n1 X
(s)
sn2 x0
s n3 x0
x (n2) 0
]
an1[sX (s) x0 ] an X (s) F (s)
(sn a1sn1 an1s an ) X (s) F (s) B(s)
X (s) F(s) B(s) A(s)
x(t) L1[ X (s)] L1[ F (s) B(s)] A(s)
拉普拉斯变换法.. /Laplace Transform /
1
拉普拉斯变换 ..
含义：..
简称拉氏变换 .. 从实变量函数到复变量函数间的一种函数变换
用途与优点
对一个实变量函数作拉氏变换， 并在复数域中进行运算， 再将运算结果作拉普拉斯反变换 来求得实数域中的相应结 果，往往比直接在实数域计算容易得多。
s2
s 1
19
例 7 求 x 3x 3x x 1 满足初始条件
0
L[x(t)] sX (s) x0
L[x(n) (t)]
sn
X
(s)
sn1x0
s n2 x0
sx0(n2)
x (n1) 0
17
x(n) a1x(n1) an1x an x f (t)
给(4.32)两端施行Laplace Transform
sn
X
(s)
s n1 x0
sn2 x0
sx0(n2)
应用：
求解线性微分方程 在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合…
2
拉普拉斯变换法用于求解常微分方程的基本思路： ..
对常微分方程进行拉氏变换法， 得代数方程，求解 再反变换获取原方程的解 ..
问题： 1. 什么是拉氏变换 2. 拉氏变换的基本性质 3. 什么是拉氏逆变换 4. 如何用拉氏变换求解微分方程….

LapLace 变换

LapLace 变换

部分分式展开第二项得
1 1 1 s2 2 3 6 2 s ( s 5s 4) s s 1 s 4
查拉氏变换表 2-1，反变换得到
1 1 t 1 4 t e e 2 3 6
其中第一项为零状态响应中的稳态分量，后两项为零状态响应中的瞬态分量，也随 t 趋于零。 最后得到
t s 0
应用函数导数的拉氏变换法则，在使函数 f (t ) 的拉氏变换积分为收敛的区域内令 s 趋于零，则有
df (t ) lim e st dt lim sF (s) f (0) s 0 0 s 0 dt
因为 lim e
s 0
st


0
f (t )e st dt
存在，式中 s j 为复变量，则称其为 f (t ) 的拉普拉斯变换（简 称为拉氏变换） ，记作 F ( s ) 或 L[ f (t )] ，即
F (s) L[ f (t )] f (t )e st dt
0

F ( s ) 是复变量 s 的函数称为 f (t ) 的像函数，f (t ) 称为 F ( s ) 的原函数。
原函数 f (t ) ， t 0 象函数 F ( s)
(t )
1(t )
1
1 s
1 s2
t
1 2 t 2
e at te
at
1 s3
1 sa
1 (s a)2
sin t
s2 2
s s2 2
cos t


三、拉氏变换的积分下限问题 根据定义，拉氏变换的积分下限为零。而在控制工程中，输入信号往往是在
1，所以有

74-学习手册-单元二知识点二拉氏变换和知识点三传递函数


例题分析：用复阻抗法求 RLC 串联电路的传递函数
解：将 RLC 串联电路中的电压和电流各量用对应的象函数表示，根据电工基础所学 知识，有：
课堂讨论
已知某系统在0初条件下的阶跃响应为：
c(t)
=
1-
2 3
e-t
-
1 3
e-4t
试求：系统的传递函数。
解：
C(s)
=
1 s
-
2 3
�s 1+1
-
1 3
�s +1
t
s0
知识点三 传递函数
学习重点：
1、理解传递函数的定义
2、控制系统传递函数的求取方法
3、直接求取法和复阻抗法能够传递函数
学习内容：
一、传递函数的定义
当初始条件为零时，输出量 c(t)的拉氏变换式 C(s)与输入量 r(t)的拉氏变换式 R(s)的 之比。
零初始条件有两方面含义：
一是指输入量在 t≥0 时才作用于系统，因此，在 t≤0 时，输入量及其各阶导数均为
s( s 2
+
1 a1s +
a2 )
（3）L-1变换
y t = L-1 Y (s)
（四）小结
1 拉氏变换的定义
ﾥ F (s) = ﾥ f (t) ﾥe-tsdt 0
2 常见函数L变换
f (t)
（1）单位脉冲
(t)
（2）单位阶跃
1(t )
（3）单位斜坡
t
（4）单位加速度
t2 2
e -at
（5）指数函数
L f t = s F s - f 0
L
f tdt
=
1 s
F

拉氏(laplace)逆变换的几种适用解法

拉氏(laplace)逆变换的几种适用解
法
拉氏(laplace)逆变换是一种常用的数学工具，用于求解常微分方程的解析解。

它可以将一个复杂的微分方程转换为一个简单的拉氏变换，从而解决复杂的微分方程。

拉氏逆变换的解法有很多，其中最常用的有四种：
1. 分部积分法：这种方法是将拉氏变换分解为多个部分，然后分别对每个部
分进行积分，最后将结果组合起来，得到最终的解。

2. 分部级数法：这种方法是将拉氏变换分解为多个部分，然后分别对每个部
分进行级数展开，最后将结果组合起来，得到最终的解。

3. 分部函数法：这种方法是将拉氏变换分解为多个部分，然后分别对每个部
分进行函数求解，最后将结果组合起来，得到最终的解。

4. 分部积分变换法：这种方法是将拉氏变换分解为多个部分，然后分别对每
个部分进行积分变换，最后将结果组合起来，得到最终的解。

以上就是拉氏逆变换的几种适用解法，它们都可以有效地解决复杂的微分方程，但是每种方法都有其优缺点，因此在实际应用中，应根据具体情况选择最合适的解法。

常微分方程拉氏变换法求解常微分方程课件

求解代数方程
求解得到的代数方程，得到$F(s)$的表达式。
解出常微分方程的解
要点一
反变换求解
通过反拉氏变换将$F(s)$还原为$f(t)$，从而得到常微分方 程的解。
要点二
验证解的正确性
将得到的解代入原常微分方程进行验证，确保解的正确性。
06
总结与展望
总结
拉氏变换法的优势
拉氏变换法在求解常微分方程时 具有明显的优势，它可以将复杂 的微分方程转化为代数方程，大 大简化了求解过程。
通过逐一求解一阶常微分方程，拉氏变换法可以应用于高阶微分方程的求解。
拉氏变换法的缺点
计算量大
在应用拉氏变换法求解常微分方程时，需要进行复 杂的积分和代数运算，计算量较大。
对初值条件敏感
对于某些常微分方程，初值条件的微小变化可能导 致拉氏变换法的失效。
不易理解
拉氏变换法的概念较为抽象，不易被初学者理解。
与其他方法的结合
可以考虑将拉氏变换法与其他数值方法或解析方法结合，以更有效 地求解各种类型的微分方程。
实际应用价值
随着科学技术的不断发展，常微分方程在各个领域的应用越来越广 泛，因此拉氏变换法在实际应用中也将发挥更大的作用。
感谢观 看
THANKS
信号处理中，拉氏变换法可以用于分析信号的滤波、调制 和解调等过程，优化信号处理效果。
04
拉氏变换法的优缺点
拉氏变换法的优点
求解过程简化
拉氏变换法可以将复杂的常微分方程转化为简 单的代数方程，从而简化了求解过程。
适用于多种初值条件
拉氏变换法可以处理多种初值条件，使得该方 法具有更广泛的适用性。
可应用于高阶微分方程
拉氏变换法求解一阶常微分方程

拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用总结归纳

精心整理目录引言 (1)1 拉普拉斯变换以及性质 (1)1.1拉普拉斯变换的定义 (1)1.2拉普拉斯变换的性质 (1)2 用拉普拉斯变换求解微分方程的一般步骤 (3)3 拉普拉斯变换在求解常微分方程中的应用 (3)3.1初值问题与边值问题 (3)3.2常系数与变系数常微分方程 (4)3.3含 函数的常微分方程 (5)3.4常微分方程组 (6)3.5拉普拉斯变换在求解非齐次微分方程特解中的应用 (6)3.6拉普拉斯变换在求解高阶微分方程中的推广 (9)4 拉普拉斯变换在求解偏微分方程中的应用 (10)4.1齐次与非齐次偏微分方程 (10)4.2有界与无界问题 (11)5 综合比较，归纳总结 (14)结束语 (15)参考文献 (15)英文摘要 (21)致谢 (16)拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用物理系0801班学生岳艳林指导老师韩新华摘 要：拉普拉斯变换在求解微分方程中有非常重要的作用，本文首先介绍拉普拉斯变换的定义及性质；其次给出拉普拉斯变换求解微分方程的一般步骤；然后重点举例拉普拉斯变换在求解常微分方程（初值问题与边值问题、常系数与变系数常微分方程、含δ函数的常微分方程、常微分方程组、拉普拉斯变换在求解微分方程特解中的应用、拉普拉斯变换在求解高阶微分方程的推广）与典型偏微分方程（齐次与非齐次偏微分方程、有界与无界问题）中的应用举例；最后综合比较、归纳总结拉普拉斯变换在求解微分方程中的优势以及局限性。

关键词：拉普拉斯变换；拉普拉斯逆变换；常微分方程；偏微分方程；特解 引言傅里叶变换和拉普拉斯变换是常用的积分变换，但对函数进行傅里叶变换时必须满足狄里希利和在+∞<<∞-t 内绝对可积，但是在物理、无线电技术等实际应用中，许多以时间t 为自变量的函数通常在0t <时不需要考虑或者没有意义，像这样的函数不能取傅里叶变换。

为避免上述两个缺点，将函数进行适当改造，便产生了拉普拉斯变换[1]。

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dt
解 令 L[x(t)]X(s) L(dx)L[x]L[e2t] dt
sX (s)x(0)X(s) 1 s2
X(s) 1 1 1 (s1)s(2) s2 s1
x (t) L 1 [X (s ) ]L 1 [1] L 1 [1] e 2 t e t s 2 s 1
例 7 求 x 3 x 3 x x 1 满足初始条件
2 原函数的微分性质
如果 f(t)f,(t) ,,f(n )(t) 都是原函数，则有
L[f(t)]s[Lf(t) ] f(0)
或
L[f (n)(t)] snL[f (t)] sn1 f (0)
s n 2 f(0 ) f(n 1 )(0 )
3 象函数的微分性质
F(s)L[f()]
F(s) test f (t)dt
f1(t) fn(t)
拉普拉斯逆变换实例
例3 求
F(s)s2
s3 的Laplace 3s2
反变换
解 F(s)s2 s 3s32(ss 1)s(32) 2 1 s1 s2
f(t)L 1 [F (s) ]L 1 [2] L 1 [1] s 1 s 2
2et e2t t 0
例4 求 F(s) s2 5ss 的Laplace 反变换 (s1)(s2)2
(RseRze)
常用函数拉氏变换表
利用拉氏变换进行计算时，可直接查变换表得 结果
§2 拉普拉斯变换的基本性质
1 线性性质
如果 f (t),g(t) 是原函数, 和
是任意两个常数(可以是复数)，则有
L [f( t ) g ( t ) ] L [ f( t ) ] L [ g ( t )]
T
若
est f（t）dt lim est f（t）dt T
0
0
对于已给的S（一般为复数）存在，则称
F（s） e st f（ t） d t Res
0
为函数 f (t) 的拉普拉斯变换，记为 L[f(t)]F(s)
f (t)称为Laplace Transform 的原函数，F(s)称为f (t)的象
2
2
作业 求下列初值问题的解：
x 9 x 6 e 3 t,x (0 ) x (0 ) 0
谢谢！
x (0 ) x (0 ) x (0 ) 0的特解
解 令 X(s)L[x(t)]
s3X (s) 3 s2X (s) 3 sX (s)X (s)1
X(s)
1 s(s1)3
s
X(s)11 1 1 s s1 (s1)2 (s1)3
x ( t) 1 e t t e t 1 t2 e t 1 1 ( t2 2 t 2 ) e t
( s n a 1 s n 1 a n 1 s a n ) X ( s ) F ( s ) B ( s )
X(s)F(s)B(s) A(s)
x(t)L1[X(s) ]L1[F(s)B(s)] A (s)
用拉氏变换求微分方程实例
例5 求 dx x e2t 满足初始条件 x(0) 0的特解
函数.
拉普拉斯变换法存在性
假若函数 f (t ) 在 t 0 的每一个有限区间上
是分段连续的, 并且 常数 M0 0
使对于所有的 t 0 都有 f(t) Met 成立
则当 Res 时, f (t ) 的Laplace Transform
是存在的。
拉普拉斯变换实例
例1 f (t) 1 (t0)
拉普拉斯变换法用于求解常微分方程的基本思路：
对常微分方程进行拉氏变换法，得代数方程，求解 再反变换获取原方程的解
问题： 1. 什么是拉氏变换 2. 拉氏变换的基本性质 3. 什么是拉氏逆变换 4. 如何用拉氏变换求解微分方程
1拉普拉斯变换定义(简称拉氏变换)
对于在 [0,) 上有定义的函数 f (t)
0
F(n)(s)(1)n tnestf(t)dt
0
F(n)(s)(1)nL[tnf(t)]
§3 拉普拉斯逆变换 已知象函数，求原函数
L1[F(s)]f(t)
也具有线性性质
L 1[c1F 1(s)c2F 2(s)] c 1 L 1 [F 1 (s) ]c 2 L 1 [F 2 (s)]
由线性性质可得
e st 1dt
lim[1est
T
]
s T
0
0
lim[1esT1] 1
T s
ss
当 Res0
即 L[1]1 (Rse0) s
例2 f (t) ezt ( z是给定的实数或复数 )
L[ezt ] e st e zt dt
0
e(sz)tdt
1
(Rsez()0)
s z
0
L[ezt ] 1 s z
x ( n ) a 1 x ( n 1 ) a n 1 x a n x f( t )
给(4.32)两端施行Laplace Transform
snX(s)sn1x0sn2x0 sx0(n2) x0(n1) a1[sn1X(s)sn2x0sn3x0 x0(n2)] an1[sX(s)x0]anX(s)F(s)
解 F(s)s11(s12)2
f (t)L1[s1 1]L1[(s12)2] et te2t (t0)
4 拉普拉斯变换法(求非齐次线性方程的特解 )
步骤：
原函数
微分方程的解
取拉氏逆变换
象函数
解代数方程
微分方程
取拉氏变换
象函数的代 数方程
4 拉普拉斯变换法(求非齐次线性方程的特解 )
x ( n ) a 1 x ( n 1 ) a n 1 x a n x f( t )
拉普拉斯变换
含义：
简称拉氏变换 从实变量函数到复变量函数间的一种函数变换
用途与优点
对一个实变量函数作拉氏变换，并在复数域中进行运算，再 将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果， 往往比直接在实数域计算容易得多。
应用：
求解线性微分方程 在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合
如果 f (t ) 的拉普拉斯变换 F (s) 可分解为
F ( s ) F 1 ( s ) F n ( s )
并假定 Fi (s) 的拉普拉斯变换容易求得，即
Fi (s) L[ fi(t)] 则 L 1 [ F ( s ) ] L 1 [ F 1 ( s ) ] L 1 [ F n ( s )
x ( 0 ) x 0 , x ( 0 ) x 0 , x ( 0 ) x 0 , , x ( n 1 ) ( 0 ) x 0 ( n 1 )
a i 为常数
令 X(s)L[x(t)] est x(t)dt
0
L [x(t) ]sX (s)x0
L [ x ( n ) ( t ) s n ] X ( s ) s n 1 x 0 s n 2 x 0 s 0 ( n 2 ) x x 0 ( n 1 )