浙教版八年级数学上册基础训练：2.5逆命题和逆定理
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浙教版八年级数学上册基础训练：2.5逆命题和逆定理学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列说法中，正确的是（）
A．每一个命题都有逆命题B．假命题的逆命题一定是假命题
C．每一个定理都有逆定理D．假命题没有逆命题
2．下列命题的逆命题为真命题的是( )
A．直角都相等
B．钝角都小于180°
C．若x2＋y2＝0，则x＝y＝0
D．同位角相等
3．下列定理中，有逆定理的是（）
A．对顶角相等B．同角的余角相等
C．全等三角形对应角相等D．在一个三角形中，等边对等角
4．下列命题中，其逆命题是假命题的是( )
A．等腰三角形的两个底角相等
B．若两个数的差为正数，则这两个数都为正数
C．若ab＝1，则a与b互为倒数
D．如果|a|＝|b|，那么a2＝b2
二、解答题
5．写出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假，若是假命题，请举出反例．
(1)若x＝y＝0，则x＋y＝0.
(2)等腰三角形的两个底角相等．
6．下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，请写出逆定理．
(1)同旁内角互补，两直线平行．
(2)三边对应相等的两个三角形全等．
7．利用线段垂直平分线性质定理及其逆定理证明以下命题．
已知：如图，AB＝AC，DB＝DC，点E在AD上．求证：EB＝EC．
8．写出命题“如果一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等”的逆命题，并判断原命题和逆命题的真假．若是假命题，请举出反例．
9．写出命题“等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等”的逆命题，并证明该逆命题是真命题．
10．举反例说明定理“全等三角形的面积相等”没有逆定理．
11．已知命题“等腰三角形底边上的中线与顶角的平分线重合”，写出它的逆命题，判断该逆命题的真假，并证明．
参考答案
1．A
【解析】试题分析：利用命题的有关定义及性质分别判断后即可确定正确的选项． 解：A 、每一个命题都有逆命题，正确；
B 、假命题的逆命题不一定是假命题，故错误；
C 、定理的逆命题不一定正确，故错误；
D 、所有的命题都有逆命题，故错误．
故选A ．
考点：命题与定理．
2．C
【解析】
A 选项中，“直角都相等”的逆命题“相等的角都是直角”是假命题；
B 选项中，“钝角都小于180°”的逆命题“小于180°的角都是直角”是假命题；
C 选项中，“若220x y +=，则0x y ==”的逆命题“若0x y ==，则220x y +=”是真命题；
D 选项中，“同位角相等”的逆命题“相等的角是同位角”是假命题；
故选C.
3．D
【解析】试题分析：首先写出各个命题的逆命题，再进一步判断真假即可．
A 、逆命题是相等的角是对顶角，是假命题，故本选项错误；
B 、逆命题是余角相等的两个角是同一个角，是假命题，所以没有逆定理；
C 、逆命题是对应角相等的三角形是全等三角形，是假命题，所以没有逆定理；
D 、逆命题是在一个三角形中，等角对等边，是真命题，所以有逆定理；
故选D ．
考点：本题考查逆命题的真假
点评：本题要求的是逆命题的真假性，学生易出现只判断原命题的真假，也就是审题不认真． 4．B
【解析】
A 选项中，“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题“有两个角相等的三角形是等腰三角形”是真命题；
B选项中，“若两个数的差为正数，则这两个数都为正数”的逆命题“若两个数都为正数，则它们的差也为正数”是假命题；
C选项中，“若ab=1，则a与b互为倒数”的逆命题“若a与b互为倒数，则ab=1”是真命题；
D选项中，“如果|a|＝|b|，那么a2＝b2”的逆命题是“如果a2＝b2，则|a|＝|b|”是真命题；
故选B.
5．（1）假命题（2）真命题
【解析】(1)逆命题：若x＋y＝0，则x＝y＝0.这个逆命题是假命题．反例：当x＝－1，y
＝1时，x＋y＝0，但x≠0，y≠0.
(2)逆命题：有两角相等的三角形是等腰三角形．这个逆命题是真命题．
6．（1）有（2）有
【解析】(1)定理“同旁内角互补，两直线平行”有逆定理，逆定理是“两直线平行，同旁内角互补”．
(2)定理“三边对应相等的两个三角形全等”有逆定理，逆定理是“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的三边对应相等.”
7．证明见解析
【解析】
试题分析：
由试题中的要求“利用线段垂直平分线性质定理及其逆定理证明以下命题”可知，我们需先证点E在BC的垂直平分线上，所以我们连接BC，由AB＝AC，DB＝DC可得点A、D均在BC的垂直平分线上，再由“两点确定一条直线”就可得AD是BC的垂直平分线，再由线段垂直平分线的性质就可得到结论.
试题解析：
连结BC.
∵AB＝AC，
∴点A在线段BC的垂直平分线上．
∵DB＝DC，
∴点D在线段BC的垂直平分线上．
∴AD是线段BC的垂直平分线(两点确定一条直线)．
又∵点E在AD上，
∴EB＝EC.
8．假命题，假命题
【解析】
（1）逆命题：如果两个角相等，那么其中一个角的两边与另一个角的两边分别垂直．（2）原命题是假命题.
反例：如图①，∠CAD的两边与∠EBF的两边分别垂直，此时若
∠CAD＝45°，则∠EBF＝135°，即它们是互补的，但并不相等.
（3）逆命题是假命题．
反例：如图②，当∠CAD、∠EBF是对顶角时，∠CAD＝∠EBF，但显然它们的两边并不互相垂直.
点睛：这道通过举反例来说明“命题”是假命题的几何题，关键是把所有符合“命题题设”的图形都画出来（而不是受主观意识的影响，只画出使命题成立的图形）；最后再通过图形和条件分析结论不一定成立来说明“命题”是假命题.
9．证明见解析
【解析】
试题分析：
读懂“原命题”，分清“原命题的题设和结论”，交换“题设”和“结论”，并用通顺、简洁的语句写出“逆命题”；然后画出符合“逆命题”题意的图形，改写出“已知”和“求证”事项，最后完成证明.
试题解析：
逆命题：如果一个三角形一边上的中点到另两边的距离相等，那么这个三角形是等腰三角形．已知：如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且DE＝DF.
求证：△ABC为等腰三角形．
证明：连结AD.
∵ D是BC的中点，
∴S△ABD＝S△ACD.
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴S△ABD＝1
2
AB·DE，S△ACD＝
1
2
AC·DF.
又∵DE＝DF，
∴AB＝AC，
∴△ABC为等腰三角形．
点睛：这类证明一个“文字命题”是真命题的几何题，关键是要分清“命题”的“题设”和“结论”，并画出符合题意的图形，改写好“已知”和“求证”事项，最后一步的证明通常都比较简单.
10．没有逆定理
【解析】
逆命题：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等．
反例：如图所示，l1∥l2，△ABC和△BCD同底等高，
∴△ABC的面积等于△BCD的面积，但△ABC和△BCD不全等．
故此定理没有逆定理．
11．证明见解析
【解析】
逆命题：一边上的中线与它所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形，是真命题．
已知：如图，在△ABC中，BD＝CD，AD平分∠BAC.
求证：△ABC是等腰三角形．
证明：延长AD到点E，使DE＝AD，连结BE，CE.
∵BD＝CD，DE＝DA，∠BDE＝∠CDA，
∴△BDE≌△CDA(SAS)．
∴BE＝CA，∠BED＝∠CAD.
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAD.
∴∠BAD＝∠BED.
∴AB＝BE.
∴AB＝AC.
∴△ABC是等腰三角形．。
