高中数学随机事件的概率专题自测试题

2015年高中数学随机事件的概率专题自测试题【梳理自测】一、随机事件和确定事件(教材改编)将一枚硬币向上抛掷10次，其中“正面向上恰有5次”是( )A ．必然事件B ．随机事件C ．不可能事件D ．无法确定 答案：B◆此题主要考查了以下内容：(1)在条件S 下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S 的必然事件． (2)在条件S 下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S 的不可能事件． (3)必然事件与不可能事件统称为相对于条件S 的确定事件．(4)在条件S 下可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S 的随机事件． (5)确定事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母A ，B ，C …表示． 二、频率与概率在n 次重复进行的试验中，事件A 发生的频率为m n ，当n 很大时，P(A)与mn的关系是( )A ．P (A)≈m nB ．P(A)＜m nC ．P(A)＞m nD ．P(A)＝m n答案：A◆此题主要考查了以下内容：(1)频率：在相同条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，n A 为事件A 出现的频数，事件A 出现的频数为f n (A)＝n An；(2)概率：对于给定的随机事件A ，由于事件A 发生的频率f n (A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率f n (A)来估计概率P(A)．三、事件的关系及运算、概率的性质1．(课本改编题)从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是( )A ．至少有一个红球与都是红球B ．至少有一个红球与都是白球C ．至少有一个红球与至少有一个白球D ．恰有一个红球与恰有二个红球2．(2014·广州月考)某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.20，0.30，0.10，则此射手在一次射击中不够8环的概率为( )A．0.40 B．0.30C．0.60 D．0.903．甲、乙二人下棋，甲获胜的概率是0.3，甲不输的概率为0.8，则甲、乙二人下成和棋的概率为( )A．0.6 B．0.3C．0.1 D．0.54．给出下列三个命题：①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是37；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率．其中错误的命题有________个．答案：1.D 2.A 3.D 4.3◆以上题目主要考查了以下内容：定义符号表示包含关系如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)B⊇A(或A⊆B)相等关系若B⊇A且A⊇B A＝B并事件(和事件)若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A＋B)交事件(积事件)若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B也发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)A∩B(或AB)互斥事件若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥A∩B＝∅对立事件若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件A∩B＝∅P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝1概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1．(2)必然事件的概率P(E)＝1．(3)不可能事件的概率P(F)＝0．(4)互斥事件概率的加法公式①如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．②若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)＝1－P(B)．【指点迷津】1．一个关系两个事件对立则一定互斥，两个事件互斥未必对立．两事件对立是这两事件互斥的充分而不必要条件．2．两种方法求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：(1)直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算；(2)间接法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P(A)，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”、“至少”型题目，用间接法就显得比较简便．考向一互斥事件与对立事件的判定例题1 某城市有甲、乙两种报纸供居民们订阅，记事件A为“只订甲报纸”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报纸”，事件E为“一种报纸也不订”，判断下列每对事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件．(1)A与C；(2)B与E；(3)B与C；(4)C与E.【审题视点】根据互斥事件，对立事件的定义判定．【典例精讲】(1)由于事件C“至多订一种报纸”中有可能“只订甲报纸”，即事件A与事件C 有可能同时发生，故A与C不是互斥事件．(2)事件B“至少订一种报纸”与事件E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的，故B与E是互斥事件．由于事件B不发生可导致事件E一定发生，且事件E不发生会导致事件B一定发生，故B 与E还是对立事件．(3)事件B“至少订一种报纸”中有这些可能：“只订甲报纸”、“只订乙报纸”、“订甲、乙两种报纸”，事件C“至多订一种报纸”中有这些可能：“什么报纸也不订”、“只订甲报纸”、“只订乙报纸”，由于这两个事件可能同时发生，故B与C不是互斥事件．(4)由(3)的分析，事件E“一种报纸也不订”只是事件C的一种可能，即事件C与事件E有可能同时发生，故C与E不是互斥事件．【类题通法】判断事件的关系，尤其是互斥事件和对立事件，在求概率时非常重要，对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能同时发生外，其并事件应为必然事件，这些也可类比集合进行理解．具体应用时，可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪几个试验结果，从而断定所给事件的关系．变式训练1．下列命题：①将一枚硬币抛两次，设事件M：“两次出现正面”，事件N：“只有一次出现反面”，则事件M与N互为对立事件．②若事件A与B互为对立事件，则事件A与B为互斥事件．③若事件A与B为互斥事件，则事件A与B互为对立事件．④若事件A与B互为对立事件，则事件A∪B 为必然事件．其中，真命题是( )A．①②④B．②④C．③④D．①②解析：选B.对①，将一枚硬币抛两次，共出现{正，正}，{正，反}，{反，正}，{反，反}四种结果，则事件M与N是互斥事件，但不是对立事件，故①错．对②，对立事件首先是互斥事件，故②正确．对③，互斥事件不一定是对立事件，如①中两个事件，故③错．对④，事件A、B为对立事件，则在一次试验中A、B一定有一个要发生，故④正确．考向二随机事件的概率与频率例题2 (2012·高考陕西卷)假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解他们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如下：(1)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；(2)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是甲品牌的概率．【审题视点】从频数分布图中，读出寿命小于200小时，或大于200小时的频数，用频率估计概率．【典例精讲】(1)甲品牌产品寿命小于200小时的频率为5＋20100＝14，用频率估计概率，所以甲品牌产品寿命小于200小时的概率为1 4 .(2)根据抽样结果，寿命大于200小时的产品共有75＋70＝145(个)，其中甲品牌产品是75个，所以在样本中，寿命大于200小时的产品是甲品牌的频率是75145＝1529，用频率估计概率，所以已使用了200小时的该产品是甲品牌的概率为15 29 .【类题通法】利用概率的统计定义求事件的概率是求一个事件概率的基本方法，通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，就用事件发生的频率趋近的常数作为事件的概率．变式训练2．某射击运动员在同一条件下进行练习，结果如下表所示：射击次数n 10 20 50 100 200 500击中10环次数m 8 19 44 93 178 453击中10环频率m n(1)计算表中击中10环的各个频率；(2)这位射击运动员射击一次，击中10环的概率为多少？解析：(1)击中10环的频率依次为0.8，0.95，0.88，0.93，0.89，0.906.(2)这位射击运动员射击一次，击中10环的概率约为0.9.考向三互斥事件、对立事件的概率例题3 (2014·青岛市模拟)2014年某省实施通过竞选选拔高校校长，省委组织部拟选拔4位校长，相关单位通过组织提名、领导干部个人提名、群众联合提名、自荐提名四种方式，确定初步人选为4位男竞选者和2位女竞选者，每位竞选者当选校长的机会是相同的．(1)求选拔的4位校长中恰有1位女竞选者的概率；(2)求选拔的4位校长中至少有3位男竞选者的概率．【审题视点】从6位竞选者选4位，总结果一一列举找出符合题意的情况，至少3个男的包括4男和3男1女两类是互斥事件．【典例精讲】(1)将4位男竞选者和2位女竞选者分别编号为1，2，3，4，5，6(其中1，2，3，4是男竞选者，5，6是女竞选者)，从6位竞选者中选拔4位的情况有(1，2，3，4)，(1，2，3，5)，(1，2，3，6)，(1，2，4，5)，(1，2，4，6)，(1，2，5，6)，(1，3，4，5)，(1，3，4，6)，(1，3，5，6)，(1，4，5，6)，(2，3，4，5)，(2，3，4，6)，(2，3，5，6)，(2，4，5，6)，(3，4，5，6)，共15种．选拔的4位校长中恰有1位女竞选者的情况有(1，2，3，5)，(1，2，4，5)，(1，3，4，5)，(1，2，3，6)，(1，2，4，6)，(1，3，4，6)，(2，3，4，5)，(2，3，4，6)，共8种．故选拔的4位校长中恰有1位女竞选者的概率为8 15.(2)选拔的4位校长中至少有3位男竞选者包括3位男竞选者、1位女竞选者，4位男竞选者两种情况，选拔的4位校长都是男竞选者的情况只有(1，2，3，4)，则其概率为1 15，由(1)知选拔的4位校长中恰有1位女竞选者的概率为8 15，故选拔的4位校长中至少有3位男竞选者的概率P＝815＋115＝915＝35.【类题通法】求概率的关键是分清所求事件是由哪些事件组成的，求解时通常有两种方法：(1)将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件，利用概率加法公式求解概率；(2)若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”．变式训练3．袋中有12个除颜色外其余均相同的小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率为14，得到黑球或黄球的概率是512，得到黄球或绿球的概率是12，试求得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？解析：分别记得到红球、黑球、黄球、绿球为事件A ，B ，C ，D. 由于A ，B ，C ，D 为互斥事件，根据已知得到⎩⎪⎨⎪⎧14＋P （B ）＋P （C ）＋P （D ）＝1，P （B ）＋P （C ）＝512，P （C ）＋P （D ）＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧P （B ）＝14，P （C ）＝16，P （D ）＝13.∴得到黑球、黄球、绿球的概率分别为14，16，13.互斥与对立相混致误典型例题 (2014·郑州毕业质检)甲、乙两人下棋，和棋的概率为12，乙获胜的概率为13，则下列说法正确的是( )A ．甲获胜的概率是16B ．甲不输的概率是12C ．乙输了的概率是23D ．乙不输的概率是12【正解】 “甲获胜”是“和棋或乙胜”的对立事件，所以“甲获胜”的概率是P ＝1－12－13＝16；设事件A 为“甲不输”，则A 是“甲胜”、“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以P(A)＝16＋12＝23； 乙输了即甲胜了，所以乙输了的概率为16；乙不输的概率为1－16＝56.【答案】 A【易错点】 没有分析透整个事件的分类应有三种：甲胜、和棋、乙胜，彼此互斥，乙获胜的对立事件是“乙不胜”，但不等于“乙输”，错选为C 的较多．【警示】对立事件和互斥事件都不可能同时发生，但对立事件必有一个要发生，而互斥事件可能都不发生．所以两个事件对立，则两个事件必是互斥事件；反之，两事件是互斥事件，但未必是对立事件．真题体验1．(2013·高考江西卷)集合A＝{2，3}，B＝{1，2，3}，从A，B中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是( )A.23B.12C.13D.16解析：选C.从A、B中各取一个数有(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，共6种情况，其中和为4的有(2，2)，(3，1)，共2种情况，所以所求概率P＝26＝13，选C.2．(2012·高考湖北卷)容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：分组[10，20) [20，30) [30，40) [40，50) [50，60) [60，70) 频数 2 3 4 5 4 2则样本数据落在区间[10，40)的频率为( )A．0.35 B．0.45C．0.55 D．0.65解析：选B.数据落在[10，40)的频率为2＋3＋420＝920＝0.45，故选B.======*以上是由明师教育编辑整理======。