高中数学推理与证明

推理与证明要点1：合情推理例1：（2010·福建高考文科·Ｔ１６）观察下列等式：① cos2a=22cos a -1;② cos4a=84cosa - 82cos a + 1;③ cos6a=326cosa - 484cos a + 182cos a - 1;④ cos8a=1288cosa - 2566cos a + 1604cos a - 322cos a + 1;⑤ cos10a= m 10cosa - 12808cos a + 11206cos a + n 4cos a + p 2cos a - 1.可以推测，m – n + p = .【规范解答】观察得：式子中所有项的系数和为1，m 12801120n p 11∴-+++-=，m n p 162∴++=，又9p 10550,m 2512=⨯===，n 400∴=-，m n p 962∴-+=． 【答案】962．要点2：演绎推理例2：（2010·浙江高考理科·Ｔ14）设112,,(2)(3)23n n n n N x x ≥∈+-+2012n n a a x a x a x =+++⋅⋅⋅+， 将(0)k a k n ≤≤的最小值记为n T ，则2345335511110,,0,,,,2323n T T T T T ==-==-⋅⋅⋅⋅⋅⋅其中n T =__________________ .【规范解答】观察n T 表达式的特点可以看出240,0T T ==，……，∴当n 为偶数时，0n T =；3331123T =-，5551123T =-，……，∴当n 为奇数时，1123n n n T =-．【答案】0,11,23n n n n T n ⎧⎪=⎨-⎪⎩当为偶数时当为奇数时．要点3：直接证明与间接证明例3：（2010·北京高考文科·Ｔ20） 已知集合)2}(,,2,1},1,0{,),,,({21≥=∈==n n i x x x x X X S i n n ΛΛ对于12(,,...,)n A a a a =，12(,,,)n n B b b b S =∈…，定义A 与B 的差为1122(||,||,||);n n A B a b a b a b -=---…A 与B 之间的距离为∑=-=ni ii b a B A d 1),(（Ⅰ）当n=5时，设(0,1,0,0,1),(1,1,1,0,0)A B ==，求A B -，(,)d A B ；（Ⅱ）证明：,,,n n A B C S A B S ∀∈-∈有，且(,)(,)d A C B C d A B --=; (Ⅲ) 证明：,,,(,),(,),(,)n A B C S d A B d A C d B C ∀∈三个数中至少有一个是偶数 【思路点拨】（I ）（Ⅱ）直接按定义证明即可；(Ⅲ) “至少”问题可采用反证法证明．【规范解答】（Ⅰ）(01,11,01,00,10)A B -=-----＝（1,0,1,0,1）(,)0111010010d A B =-+-+-+-+-＝3(Ⅱ)设121212(,,,),(,,,),(,,,)n n n nA a a aB b b bC c c c S =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅∈因为11,{0,1}a b ∈，所以11{0,1}(1,2,,)a b i n -∈=⋅⋅⋅,从而1122(,,)n n nA B a b a b a b S -=--⋅⋅⋅-∈,由题意知,,{0,1}(1,2,,)i i i a b c i n ∈=⋅⋅⋅,当i c =时，i i i i i ia cbc a b ---=-,当1i c =时，(1)(1)i i i i i i i ia cbc a b a b ---=---=- ,所以1(,)(,)ni i i d A C B C a b d A B =--=-=∑(Ⅲ)证明：设121212(,,,),(,,,),(,,,)n n n n A a a a B b b b C c c c S =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅∈,(,),(,),(,)d A B k d A C l d B C h===记0(0,0,0)nS =⋅⋅⋅∈由（Ⅱ）可知(,)(,)(0,)(,)(,)(0,)(,)(,)d A B d A A B A d B A k d A C d A A C A d C A ld B C d B A C A h=--=-==--=-==--=,所以(1,2,,)i i b a i n -=⋅⋅⋅中1的个数为k,(1,2,,)i i c a i n -=⋅⋅⋅中1的个数为l ,设t 是使1i i i i b a c a -=-=成立的i 的个数。

则2h l k t =+-由此可知，,,k l h 三个数不可能都是奇数，即(,),(,),(,)d A B d A C d B C 三个数中至少有一个是偶数．注：有关否定性结论的证明常用反证法或举出一个结论不成立的例子即可；要点4：数学归纳法例4：等比数列{n a }的前n 项和为n S ， 已知对任意的n N +∈ ，点(,)n n S ，均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上.（1）求r 的值;（11）当b=2时，记22(log 1)()n n b a n N +=+∈ 证明：对任意的n N +∈ ，不等式1212111·······1n nb b b n b b b +++>+成立 【解析】因为对任意的n N +∈,点(,)n n S ，均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数的图像上.所以得n n S b r =+,当1n =时,11a S b r ==+,当2n ≥时,1111()(1)n n n n n n n n a S S b r b r b b b b ----=-=+-+=-=-,又因为{n a }为等比数列,所以1r=-,公比为b ,1(1)n n a b b -=-（2）当b=2时，11(1)2n n n a b b --=-=,1222(log 1)2(log 21)2n n n b a n-=+=+=,则1212n n b n b n ++=,所以121211135721·······2462n n b b b n b b b n++++=⋅⋅L . 下面用数学归纳法证明不等式121211135721·······12462n n b b b n n b b b n++++=⋅⋅>+L . ① 当1n =时,左边=32,右边2,因为322>所以不等式成立.② 假设当n k =时不等式成立,即121211135721·······12462k k b b b k k b b b k++++=⋅⋅>+L 成立.则当1n k =+时,左边=11212111113572123 (246222)k k k k b b b b k k b b b b k k ++++++++=⋅⋅⋅⋅⋅+L 2223(23)4(1)4(1)111(1)1(1)1224(1)4(1)4(1)k k k k k k k k k k k ++++++>+⋅===+++>++++++所以当1n k =+时,不等式也成立.由①、②可得不等式恒成立.注：（1）用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式，命题关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n 的取值是否有关，由n=k 到n=k+1时等式的两边会增加多少项，增加怎样的项。

（2）在本例证明过程中，①考虑“n 取第一个值的命题形式”时，需认真对待，一般情况是把第一个值供稿通项，判断命题的真假，②在由n=k 到n=k+1的递推过程中，必须用归纳假设，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法。

（3）在用数学归纳法证明的第2个步骤中，突出了两个凑字，一“凑”假设，二“凑”结论，关键是明确n=k+1时证明的目标，充分考虑由n=k 到n=k+1时，命题形式之间的区别和联系。

【高考真题探究】1．（2010·山东高考文科·Ｔ１０）观察2'()2x x =，4'3()4x x =，'(cos )sin x x =-，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，记()g x 为()f x 的导函数，则()g x -=（ ）（A ）()f x (B)()f x - (C) ()g x (D)()g x -【规范解答】选D ．通过观察所给的结论可知，若()f x 是偶函数，则导函数()g x 是奇函数，故选D ．2．（2010·陕西高考理科·Ｔ１２）观察下列等式：332123,+=33321236,++=33332123410+++=,……，根据上述规律，第五个等式为 ____________.【规范解答】由所给等式可得：等式两边的幂式指数规律明显，底数关系如下：123,1236,123410,+=++=+++=即左边底数的和等于右边的底数。

故第五个等式为：33333322123456(123456)21.+++++=+++++=【答案】333333212345621.+++++=3．（2010·北京高考理科·Ｔ20）已知集合)2}(,,2,1},1,0{,),,,({21≥=∈==n n i x x x x X X S i n n ΛΛ对于12(,,...,)n A a a a =，12(,,,)n n B b b b S =∈…，定义A 与B 的差为1122(||,||,||);n n A B a b a b a b -=---… A 与B 之间的距离为∑=-=ni ii b a B A d 1),(；（Ⅰ）证明：,,,n n A B C S A B S ∀∈-∈有，且(,)(,)d A C B C d A B --=;（Ⅱ）证明：,,,(,),(,),(,)n A B C S d A B d A C d B C ∀∈三个数中至少有一个是偶数(Ⅲ) 设P n S ⊆，P 中有m(m ≥2)个元素，记P 中所有两元素间距离的平均值为d(P).证明：d （P ）≤2(1)mnm -.【思路点拨】（I ）直接按定义证明即可；（Ⅱ）“至少”问题可采用反证法证明；(Ⅲ)把,(,)A B Pd A B ∈∑表示出来，再利用均值不等式证明．【规范解答】（I ）设12(,,...,)n A a a a =，12(,,...,)n B b b b =，12(,,...,)n C c c c =nS ∈因为ia ，{}0,1i b ∈，所以{}||0,1i i a b -∈,(1,2,...,)i n = ,从而1122(||,||,...,||)n n nA B a b a b a b S -=---∈又1(,)||||||ni i i i i d A C B C a c b c =--=---∑,由题意知ia ，ib ，ic {}0,1∈(1,2,...,)i n =.,当i c =时，||||||||i i i i i i a c b c a b ---=-;,当1i c =时，|||||||(1)(1)|||i i i i i i i i a c b c a b a b ---=---=-,所以1(,)||(,)ni i i d A C B C a b d A B =--=-=∑ ,(II)设12(,,...,)n A a a a =，12(,,...,)n B b b b =，12(,,...,)n C c c c =nS ∈(,)d A B k=，(,)d A C l =，(,)d B C h =. 记(0,0,...,0)n O S =∈，由（I ）可知, (,)(,)d A B d O B A k=-=， (,)(,)d A C d O C A l =-=,(,)(,)d B C d B A C A h=--= ,所以||(1,2,...,)i i b a i n -=中1的个数为k，||(1,2,...,)i i c a i n -=中1的 个数为l ． 设t 是使||||1i i i i b a c a -=-=成立的i 的个数，则2h l k t =+-由此可知，,,k l h 三个数不可能都是奇数，即(,)d A B ,(,)d A C ,(,)d B C 三个数中至少有一个是偶数． （III ）2,1()(,)A B Pmd P d A B C ∈=∑,其中,(,)A B Pd A B ∈∑表示P 中所有两个元素间距离的总和，设P 中所有元素的第i 个位置的数字中共有it 个1，im t -个0 则,(,)A B Pd A B ∈∑＝1()niii t m t =-∑,由于i t ()i m t -2(1,2,...,)4m i n ≤= 所以,(,)A B P d A B ∈∑24nm ≤,从而222,1()(,)42(1)A B Pmm nm mnd P d A B C C m ∈=≤=-∑ 【方法技巧】（1）证明“至少有一个……”的时，一般采用反证法；（2）证明不等式时要多观察形式，适当变形转化为基本不等式． 4．（2010·江苏高考·Ｔ23）已知△ABC 的三边长都是有理数。