北京31中2011年11月初三期中数学试题答案
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北京三十一中2011——2012学年度第一学期 初 三 期 中 数 学 练 习 答 案
（考试时间120分钟，满分100分）
一、选择题（本题共23分，1-7每小题3分，第8题2分）
二、填空题（本题共17分，9-13每小题3分，第14题2分）
9. 4
10. 0 11. 6 12. m<1 13. 答案不唯一 14.32
4,2- 三、解答题（本题共46分，15-16每小题5分，17-22每小题6分） 15．解：
26tan 30cos45︒︒-︒ 26=⨯………………………………………3分 322=- 12=………………………………………5分
16．解：b=
32 …………3分 c=3
102…………5分 17．证明：△ABD ∽△
ACB 即得。
证明角等…………3分；相似…………6分
18．解：（1）如图，作BH OA
⊥，垂足为H ，…………1分 在Rt OHB △中，5BO =，3sin 5
BOA ∠=，
3BH ∴=． 4OH ∴=．
∴点B 的坐标为(43)，
．
…………3分 （2）10OA =，4OH =，6AH ∴=．
在Rt AHB △中，3BH =，AB ∴=
cos AH BAO AB ∴∠=
=
（得5
2不扣分）…………6分 19．解：解直角三角形…………3分19m. …………6分
x
20．解：（1）2000元；…………1分
（2）列函数式…………3分 讨论最值…………5分 5元。
…………6分 21．解：（1）它与x 轴交点的坐标为(1,0),(3,0)，与y 轴交点的坐标为(0,3)，顶点坐标为
(2,1)-； ………………………………………3分
（2）列表：
……………………………4分
图象如图3所示． ……………………………5分 （3）t 的取值范围是18t -≤<．……………………6分
22．（1）证明：∵ AB =AC ， ∴ ∠B =∠C ．
∵ ∠ADE +∠BDE =∠ADB =∠C +∠CAD ， ∠ADE =∠C ， ∴ ∠BDE =∠CAD ．
∴ △BDE ∽△CAD ． …………3分 （2）解：由（1）得
DB AC
BE CD
=
． ∵ AB =AC = 5，BC = 8，CD =2， ∴ 6DB BC CD =-=． ∴ 62
2.45
DB CD BE AC ⨯⨯=
==． …………6分
五、解答题（本题共14分，第23题3分，第24题5分，第25题6分） 23.解：（1）90α︒+ …………1分
（2）图中两对相似三角形：①△ABB '∽△AC C ' ，…………2分
②△ACE ∽△FBE ； …………3分、
24.解：（1）∵关于x
的方程为221
(1)04
x a -++=为一元二次方程，且有实根。
故满足：
22
0,1(4(1)0.4
a a ≥⎧⎪
⎨∆=--⨯⨯+≥⎪⎩
整理得 2
0,
(1)0.a a ≥⎧⎨-≤⎩
1a = …………2分
（2）由（1）可知1a =,
故方程2(1)0mx m x a +--=可化为2(1)10mx m x +--=。
①当m =0时，原方程为10x -=，根为1x =，符合题意。
…………3分
②当m ≠0时，2(1)10mx m x +--=为关于x 的一元二次方程，
2222(1)4(1)12421(1)0m m m m m m m m ∆=--⨯⨯-=-++=++=+≥.
此时，方程的两根为 121
1,x x m
==-. ∵两根均为整数, ∴m =1±.
综上所述，m 的值为1-，0 或1. …………5分
25．解：（1）由题意，点B 的坐标为()02， ∴2OB =，
2OAB tan =∠ ，
即2OB
OA
=． ∴1OA =．点A 的坐标为()10，．…………1分
又二次函数22y x mx =++的图象过点A ，2012m ∴=++． 解得3m =-，
∴所求二次函数的解析式为232y x x =-+．…………2分 （2）由题意，可得点C 的坐标为()31，，
所求二次函数解析式为231y x x =-+．…………3分
（3）由（2），经过平移后所得图象是原二次函数图象向下平移1个单位后
所
得的图象，那么对称轴直线3
2x =不变，且111BB DD ==
点P 在平移后所得二次函数图象上，设点P 的坐标为()231x x x -+，．
在1PBB △和1PDD △中，112PBB PDD S S =△△，
∴边1BB 上的高是边1DD 上的高的2倍……4分 ① 当点P 在对称轴的右侧时，
有322x x ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭，得3x =
∴点P 的坐标为()31，；…………5分
② 当点P 在对称轴的左侧，同时在y 轴的右侧时，
有322x x ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，得1x =，
∴点P 的坐标为()11-，； 当点P 在y 轴的左侧时，0x <，
∴322x x ⎛⎫
-=- ⎪⎝⎭
，得30x =>（舍去）
∴综合①、②、③可得，所求点P 的坐标为()31，或()11-，
．…………6分
五．附加题：（共5分）
26．解：（1）①如图11，作AE ⊥PB 于点E ．
∵ △APE 中，∠APE=45°，PA =，
∴ sin 1AE PA APE =⋅∠==，
cos1
PE PA APE
=⋅∠==．
∵4
PB=，
∴3
BE PB PE
=-=．
在Rt△ABE中，∠AEB=90°，
∴
AB．…………1分
②解法一：如图12，因为四边形ABCD为正方形，可将
△P AD绕点A顺时针旋转90°得到△P AB
'，
可得△PAD≌△P AB
'，PD P B'
=,PA P A'
=．
∴PAP'
∠=90°，APP'
∠=45°，P PB
'
∠=90°．
∴
2
PP'==．分
∴
PD P B'
=2分解法二：如图13，过点P作AB的平行线，与DA的延长线交于F，设DA的延长线交PB于G．
在Rt△AEG中，可得
cos cos
AE AE
AG
EAG ABE
==
∠∠
，
1
3
EG=，
2
3
PG PB BE EG
=--=．
在Rt△PFG中，可得
cos
PF PG FPG PG
=⋅∠=⋅
FG
在Rt△PDF中，可得PD
…………2分（2）如图14所示，将△P AD绕点A顺时针旋转90°得到△P AB
'，PD 的最大值即为P B'的最大值.
∵△P PB
'中，P B PP PB
''
<+，2
PP'=，4
PB=，
且P、D两点落在直线AB的两侧，
∴当P P B
'、、三点共线时，P B'取得最大值（见图15）.
此时6
P B PP PB
''
=+=，即P B'的最大值为6. …………4分
此时∠APB=180°－APP'
∠=135°. …………5分。
