G)展开法求解非线性偏微分方程精确解

解非线性方程的牛顿迭代法及其应用一、本文概述非线性方程是数学领域中的一个重要研究对象，其在实际应用中广泛存在，如物理学、工程学、经济学等领域。

求解非线性方程是一个具有挑战性的问题，因为这类方程往往没有简单的解析解，需要通过数值方法进行求解。

牛顿迭代法作为一种古老而有效的数值求解方法，对于求解非线性方程具有重要的应用价值。

本文旨在介绍牛顿迭代法的基本原理、实现步骤以及在实际问题中的应用。

我们将详细阐述牛顿迭代法的基本思想，包括其历史背景、数学原理以及收敛性分析。

我们将通过具体实例，展示牛顿迭代法的计算步骤和实际操作过程，以便读者能够更好地理解和掌握该方法。

我们将探讨牛顿迭代法在各个领域中的实际应用，包括其在物理学、工程学、经济学等领域中的典型应用案例，以及在实际应用中可能遇到的问题和解决方法。

通过本文的介绍，读者可以深入了解牛顿迭代法的基本原理和应用技巧，掌握其在求解非线性方程中的实际应用方法，为进一步的研究和应用提供有力支持。

二、牛顿迭代法的基本原理牛顿迭代法，又称为牛顿-拉夫森方法，是一种在实数或复数域上近似求解方程的方法。

其基本原理是利用泰勒级数的前几项来寻找方程的根。

如果函数f(x)在x0点的导数f'(x0)不为零，那么函数f(x)在x0点附近可以用一阶泰勒级数来近似表示，即：这就是牛顿迭代法的基本迭代公式。

给定一个初始值x0，我们可以通过不断迭代这个公式来逼近f(x)的根。

每次迭代，我们都用当前的近似值x0来更新x0，即：这个过程一直持续到满足某个停止条件，例如迭代次数达到预设的上限，或者连续两次迭代的结果之间的差小于某个预设的阈值。

牛顿迭代法的收敛速度通常比线性搜索方法快，因为它利用了函数的导数信息。

然而，这种方法也有其局限性。

它要求函数在其迭代点处可导，且导数不为零。

牛顿迭代法可能不收敛，如果初始点选择不当，或者函数有多个根，或者根是重根。

因此，在使用牛顿迭代法时，需要谨慎选择初始点，并对迭代过程进行适当的监控和调整。

非线性偏微分方程及其几种解法综述姓名：柏宝红学号：BY1004120目录1、绪论 (3)1.1背景 (3)1.2 现状 (7)2、非线性偏微分方程的几种解法 (10)2.1逆算符法 (10)2.2 齐次平衡法 (11)2.3 Jacobi椭圆函数方法 (12)2.4 辅助方程方法 (14)2.5 F-展开法 (15)2.6 双曲正切函数展开法 (17)1、绪论以应用为目的，或以物理、力学等其他学科问题为背景的微分方程的研究，不仅是传统应用数学中一个最主要的内容，也是当代数学的一个重要组成部分.它是数学理论与实际应用之间的一座重要桥梁，研究工作一直十分活跃，研究领域日益扩大。

目前微分方程研究的主体是非线性微分方程，特别是非线性偏微分方程(NLPDE).很多意义重大的自然科学和工程技术问题都可归结为非线性偏微分方程的研究.现实生活的许多领域内数学模型都可以用NLPDE来描述，很多重要的物理、力学等学科的基本方程本身就是NLPDE，另外，随着研究的深入，有些原先可用线性微分方程近似处理的问题，也必须考虑非线性的影响，所以对NLPDE的研究，特别是NLPDE求解精确解的研究工作就显示出了很重要的理论和应用价值，但是数学研究的结果，在目前还未能提供一种普遍有效的求精确解的方法.20世纪50年代以来，人们对非线性现象的研究中提出了“孤子”的概念，进而使得对NLPDE求解的研究成为非线性科学中的热点。

下面介绍一下孤立子理论的研究背景、研究现状。

1.1背景孤立子理论己经成为应用数学和数学物理的一个重要组成部分，在流体力学，等离子物理，经典场论，量子论等领域有着广泛的应用。

随着近代物理学和数学的发展，早在1834年由英国科学家Russell发现的孤立波现象近二十多年来引起了人们的极大关注，对这一现象的兴趣与日俱增.这是因为一方面孤立子具有粒子和波的许多性能，在自然界中有一定的普遍性，利用孤立子理论也成功地解释了许多物理上长期用经典理论未能解答的现象;另一方面，随着孤立子物理问题的深入研究，孤立子的数学理论也应运而生，并已初步形成比较完善的理论体系。

第39卷第1期 注 為 科 修 Vol. 39 No. 12021 年 2 月JIANGXI SCIENCE Fl. 2021doi ：10.13990/j. it y l001 -3679.2021.01.005(1+1)维混合KdV 方程的精确解翟子璇，李琪8(东华理工大学理学院,330013,南昌)摘要：讨论一类混合KdV 方程，通过F-展开法及辅助常微分方程,成功得到该方程的精确解。

关键词:F-展开法；混合KdV 方程;精确解中图分类号：0175.29文献标识码:A 文章编号：1001 -3679(2021)01 -022-03Exact Solutions of Mixed (1+1) - Dimensional KdV EquationZHAI Zixuan, LI Qi **收稿日期:2020 -12 -10；修订日期:2021 -01 -12作者简介:翟子璇(1996—),男，硕士研究生，研究方向为非线性可积系统及应用。

基金项目：国家自然科学基金(11561002、11861006)；江西省教育厅科技项目(GJJ191419)。

*通信作者:李 琪(1973—)，女，博士，教授，研究方向为非线性可积系统及应用。

E - mail :qli@ ecut. edu. cn 。

( School of Science , East China University of Technology, 330013 , Nanchang )Abstract : The exact solution' of mixed ( 1 + 1) - dimensional KdV equation are obtained by using F- expansion method and auxiliaie ordinary dVTerentiaO equation .Key words : F 一 expansion method ； mixed ( 1 + 1) 一 dimensional KdV equation ； exact solutions0引言随着人们对自然界更加深入的研究,许多非 线性现象逐渐进入研究者的视野,而非线性发展方程则是对这些现象进行客观描述的有力工具。

偏微分方程的解析方法偏微分方程（partial differential equations，简称PDEs）是数学领域中重要的研究对象，它涵盖了多个科学领域和工程应用中的问题。

解析方法是其中一种求解偏微分方程的重要工具，本文将介绍偏微分方程的解析方法及其应用。

一、偏微分方程的基本概念偏微分方程是含有多个未知函数的方程，其数学模型常常用来描述物理现象、自然规律和工程问题。

常见的偏微分方程包括波动方程、热传导方程、扩散方程等。

二、解析方法的概述解析方法是指使用数学分析和函数理论等工具，通过求解偏微分方程的导数关系，寻找其解的方法。

对于一些简单的偏微分方程，解析方法可以得到精确的解析解。

三、分离变量法分离变量法是解析方法中常用的一种。

其基本思想是假设待求解函数可以表示为各个变量的乘积形式，通过将待求解方程中涉及多个变量的项分离并令其等于不同常量，得到一系列常微分方程。

进一步对这些常微分方程求解，得到原偏微分方程的解析解。

四、特征线法特征线法是解析方法的另一种重要工具。

它通过引入一组特征曲线，将偏微分方程转化为常微分方程的形式，从而求解原偏微分方程。

在特定的物理问题中，特征线法具有很高的适用性和解决效果。

五、变换方法变换方法是一种通过对偏微分方程进行合适的变量变换，将其转化为更简单的形式以便求解的方法。

常见的变换方法包括拉普拉斯变换、傅里叶变换等，它们能够将原方程转化为代数方程或常微分方程，进而得到解析解。

六、应用领域解析方法在多个科学领域和工程应用中都有重要的作用。

以物理学为例，解析方法可以用来研究电磁场、流体力学、量子力学等问题。

在工程领域，解析方法可以用于求解热传导、结构力学等方程，从而优化设计和改进工艺。

七、数值方法的补充解析方法虽然能够得到精确的解析解，但对于一些复杂的偏微分方程，其求解过程可能非常繁琐甚至无法求解。

此时，数值方法的应用就变得尤为重要。

数值方法通过离散化空间和时间，将偏微分方程转化为代数方程组，通过计算机模拟得到近似解。

(3+1)维非线性发展方程的显式解于兴江【摘要】本文利用推广的(W/G)展开法,研究(3+1)维非线性发展方程,并得到了很多该方程新的显式解,包括单循环孤立子解、三角周期解、有理函数解等.【期刊名称】《聊城大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2013(026)003【总页数】4页(P13-16)【关键词】(3+1)维非线性发展方程;广义(W/G)展开法;齐次平衡法;显式解【作者】于兴江【作者单位】聊城大学数学科学学院,山东聊城252059【正文语种】中文【中图分类】O175.20 引言非线性发展方程的求解问题一直是国内外专家研究的热点之一.为了得到非线性发展方程的精确解，许多有效的方法已经被提出，例如，经典和非经典李群方法，扩展的Ricatti方法，指数函数展开方法，广义tanh函数法，广义的代数方法等［1－7］.王明亮［8］提出（G′／G）展开法可应用于许多非线性方程，在此方法的基础上，李文安［9］提出了（W／G）展开法，可以认为是（G′／G））展开法的推广.本文的目的是利用（W／G）展开法来求（3＋1）维非线性发展方程的显式解.1 （W／G）展开法概述考虑如下偏微分方程u（x，t）是未知函数，F是关于u及其偏导数的已知多项式.（W／G）展开法的步骤包括第1步，作行波变换.令u（x，t）＝u（ξ），ξ＝kx＋lt，则（1）就变为一个关于u＝u（ξ）的常微分方程，第2步，假设（2）有下述形式的解关于（W／G）的项共有m＋1项.这里的（W／G）满足以下方程即其中a，b，c为任意的常数.情况1.1 （G′／G）展开法.当W＝G′，a＝－μ，b＝－λ，c＝－1时，u（ξ）可以表示为其中G满足情况1.2 tanh展开法.当W＝tanhξ，G＝1，a＝1，b＝0，c＝－1时，u（ξ）变为情况1.3 （G′／G2）展开法.当时，u（ξ）变为此时G满足情况1.4 （G′）展开法.当W＝GG′时，u（ξ）变为其中G满足其中αm，αm－1，…α0和m都是待定常数.平衡（2）式中最高阶导数项与最高阶非线性项的次数确定m的值.第3步，确定超定代数方程组.把（3）式和（4）式带入到（2）中，令（W／G）各项的系数为零，得到关于αm，αm－1，…，0的代数方程组P＝0.第4步，确定显式解.解代数方程组P＝0，利用（4）的解得到（2）的行波解，继而得到（1）的显式解.2 （3＋1）维非线性发展方程的显式解考虑以下（3＋1）维非线性发展方程其中h＝h（x，y，z，t）.文献［10］中作者利用广田双线性方法得到N－型孤立子解和朗斯基行列式解.文献［11］中作者得到了格拉姆行列式解.以下利用第一部分中比较新颖的（G′／G2）展开法和（G′）展开法考虑方程（13）.在（13）式中令＝u，则方程（13）化为作行波变换u（x，y，z，t）＝u（ξ），其中ξ＝x＋ky＋mz＋lt，带入（14）式得到常微分方程平衡（15）式中u（5）和u′u‴得到m＝1.由（3）式，假设方程（14）有以下形式的解情况2.1 当时，（16）式化为将（17）式带入（15）式，并利用（10）式，令（G′／G2）的同次幂系数为零，得到一个代数方程组：解上述代数方程组可得以下两组结果第一组第二组其中k，l，m，a，k为非零常数.这里只列出第一组结果对应的解.情况2.1.1 当ac＞0时，此时方程（14）有三角周期解情况2.1.2 当ac＜0时，此时方程（14）有孤立子解情况2.1.3 当a＝0，c≠0时，此时方程（14）有有理函数解以上解中，C1，C2是任意常数.由变换＝u，可以得到原方程（13）的解，此处省略.情况2.2 当W＝GG′时，（16）式化为类似情况2.1，将（22）式带入（15）式，并利用（12）式，令G′的同次幂系数为零，得到代数方程组：解上述代数方程组可得结果其中k，l，m，a，b，c，k为非零常数.情况2.2.1 当Δ＝4ac－b2＜0时，此时方程（14）有单循环孤立子解情况2.2.2 当Δ＝4ac－b2＝0时，此时方程（14）有有理函数解情况2.2.3 当Δ＝4ac－b2＞0时，此时方程（14）有三角周期解由变换＝u，可以得到原方程（13）的解，此处省略.注1 本文中得到的解均已经MAPLE数学软件检验.注2 本文中方程（10）和方程（12）的解均来自文献［9］.3 结论本文利用（W／G）展开法得到了（3＋1）维非线性发展方程一些新的显式解，包括单循环孤立子解、三角周期解、有理函数解等.这些解对于解释复杂动力学现象有着非常重要的作用.（W／G）展开法对于求解其它的非线性发展方程也是非常有效的.参考文献【相关文献】［1］Mostafa F E，Ahmad T A.Nonclassical symmetries for nonlinear partial differential equations via compatibility［J］.Commun Theor Phys，2011，56（4）：611－616. ［2］陈美，刘希强.Konopelchenko－Dubrovsky方程组的对称，精确解和守恒律［J］.纯粹数学与应用数学，2011，27（1）：533－539.［3］谷超豪，胡和生，周子翔.孤立子理论中的达布变换及其几何应用［M］.上海：上海科技出版社，2005.［4］He J H，Abdou.New periodic solutions for nonlinear evolution equations using Exp －function method［J］.Chaos Soliton，Fract，2007：34，1 421－1 429.［5］于金倩，刘希强，王婷婷.（2＋1）维Boiti－Leon－Pempinelli方程的精确解和守恒律［J］.Appl Math Comput，2010，216（8）：2 293－2 300.［6］张颖元，刘希强，王岗伟.Bogoyavlenskii－Kadontsev－Petviashili方程的新的显式解［J］.昆明学院学报，2012，34（3）：55－59.［7］Lu D C，Hong B J.New exact solutions for the（2＋1）－dimensional Generalized Broer－Kaup system ［J］.Appl Math Comput，2008，199：572－580.［8］Wang M L，Li X Z.The（G′／G）－expansion method and traveling wave solution Of nonlinear evolution equation in the mathematical physics［J］.Phy Lett A，2008，372：417－423.［9］Li W A，Chen H，ZhangG G C.The（W／G）－expansion method and its application to Vakhnenko equation［J］.Chin Phys，2009，18：400－404.［10］Geng X G，Ma Y L.N－soliton solution and its Wronskian form of a（3＋ 1）－dimensional nonlinear evolution.equation［J］.Phy Lett A，2007，369：285－289. ［11］Wu J P，Geng X G.Grammian determinant solution and pfa·anization for a（3＋1）－dimensional soliton equation［J］.Commun Theor Phys，2009，52：791－794.。