(完整版)第九章偏微分方程差分方法汇总,推荐文档

偏微分方程数值方法偏微分方程（Partial Differential Equation, PDE）是数学中的一种重要的方程类型，它描述了一个函数的多个变量的变化关系。

解决偏微分方程的数值方法在科学和工程领域有着广泛的应用。

本文将介绍几种常见的偏微分方程数值方法，并对其进行详细阐述。

1. 差分法（Finite Difference Method）：差分法是最早也是最直接的一种数值方法，它基于连续函数在一些点的导数可以用它的前向、后向或中心的差商来近似的思想。

偏微分方程的差分格式包括向前差分法、向后差分法和中心差分法等。

对于二维的偏微分方程，可以采用网格化的方式将空间离散化，然后利用差分法进行近似求解。

2. 有限元法（Finite Element Method）：有限元法是一种基于原始形式或变分形式对偏微分方程进行离散化的方法。

在有限元法中，将求解域分割成许多小的、简单的几何单元，然后在每个单元上构建近似解函数和试验函数。

通过构建弱形式并应用基本的变分原理，可以得到离散化的方程组，并通过求解这个方程组来得到数值解。

3. 有限差分法（Finite Difference Method）：有限差分法是一种将连续的偏微分方程离散化成差分方程的方法。

它与差分法的主要区别在于有限差分法不需要对求解域进行网格化，而是直接在连续的求解域上进行离散化。

将偏微分方程中的导数通过差商来近似，然后通过求解离散化的差分方程来得到数值解。

4. 有限体积法（Finite Volume Method）：有限体积法是一种将偏微分方程离散化为离散体积元的方法。

在有限体积法中，将求解域划分成离散的控制体积，然后通过对控制体积的积分运算，将偏微分方程转化为离散的代数方程组。

然后通过求解得到的代数方程组，可以得到数值解。

以上介绍的只是几种常见的偏微分方程数值方法，实际上还有很多其他的方法，如边界元法（Boundary Element Method）、谱方法（Spectral Method）、逆问题方法（Inverse Problem Method）等。

第9章 偏微分方程的差分方法含有偏导数的微分方程称为偏微分方程。

由于变量的增多和区域的复杂性，求偏微分方程的精确解一般是不可能的，经常采用数值方法求方程的近似解。

偏微分方程的数值方法种类较多，最常用的方法是差分方法。

差分方法具有格式简单，程序易于实现，计算量小等优点，特别适合于规则区域上偏微分方程的近似求解。

本章将以一些典型的偏微分方程为例，介绍差分方法的基本原理和具体实现方法。

9.1椭圆型方程边值问题的差分方法9.1.1 差分方程的建立最典型的椭圆型方程是Poisson （泊松）方程G y x y x f yux u u ∈=∂∂+∂∂-≡∆-),(),,()(2222 （9.1）G 是x ,y 平面上的有界区域，其边界Γ为分段光滑的闭曲线。

当f (x ,y )≡0时，方程（9.1）称为Laplace(拉普拉斯）方程。

椭圆型方程的定解条件主要有如下三种边界条件第一边值条件 ),(y x u α=Γ （9.2） 第二边值条件),(y x nuβ=∂∂Γ （9.3） 第三边值条件 ),()(y x ku nuγ=+∂∂Γ （9.4） 这里，n 表示Γ上单位外法向，α(x,y ),β(x,y ),γ(x,y )和k (x,y )都是已知的函数，k (x,y )≥0。

满足方程（9.1）和上述三种边值条件之一的光滑函数u (x ,y )称为椭圆型方程边值问题的解。

用差分方法求解偏微分方程，就是要求出精确解u (x ,y )在区域G 的一些离散节点（x i ，y i ）上的近似值u i ,j ≈(x i ，y i ）。

差分方法的基本思想是，对求解区域G 做网格剖分，将偏微分方程在网格节点上离散化，导出精确解在网格节点上近似值所满足的差分方程，最终通过求解差分方程，通常为一个线性方程组，得到精确解在离散节点上的近似值。

设G ={0<x <a , 0<y <b }为矩形区域，在x ,y 平面上用两组平行直线x =ih 1, i =0,1,…,N 1, h 1=a /N 1 y =jh 2, j =0,1,…,N 2, h 2=b /N 2将G 剖分为网格区域，见图9-1。

偏微分方程的有限差分法
有限差分法：是一种数学计算概念，是指在计算过程中，以差分的形势来代替微分，从而使整个计算过程具有有限差分法的出发点，以此达到微分议程和积分微分方式数值解的一种计算过程。

微分方程和积分微分方程数值解的方法。

基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替，这些离散点称作网格的节点；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。

然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。

在采用数值计算方法求解偏微分方程时，若将每一处导数由有限差分近似公式替代，从而把求解偏微分方程的问题转换成求解代数方程的问题，即所谓的有限差分法。

有限差分法求解偏微分方程的步骤如下：
1、区域离散化，即把所给偏微分方程的求解区域细分成由有限个格点组成的网格；
2、近似替代，即采用有限差分公式替代每一个格点的导数；
3、逼近求解。

换而言之，这一过程可以看作是用一个插值多项式及其微分来代替偏微分方程的解的过程（Leon，Lapidus，GeorgeF。

Pinder，1985）。

偏微分方程的基本方法偏微分方程（Partial Differential Equations，简称PDE）是描述多变量函数的微分方程，其中函数的一个或多个变量是多维的。

在数学、物理学、工程学等领域中，偏微分方程被广泛应用于描述自然现象和物理规律。

解决偏微分方程的问题是这些领域中的重要课题之一。

本文将介绍偏微分方程的基本方法，包括分类、求解技巧和常见的数值方法。

### 一、偏微分方程的分类根据方程中未知函数的阶数和自变量的个数，偏微分方程可以分为几种基本类型：1. **椭圆型偏微分方程**：椭圆型偏微分方程的代表是拉普拉斯方程，通常用于描述稳态问题。

椭圆型方程的特点是解的光滑性好，边界条件唯一确定解。

2. **抛物型偏微分方程**：抛物型偏微分方程的代表是热传导方程和波动方程，通常用于描述随时间演化的问题。

抛物型方程的解需要给定初始条件和边界条件。

3. **双曲型偏微分方程**：双曲型偏微分方程的代表是波动方程，通常用于描述波动传播的问题。

双曲型方程的解需要给定初始条件和边界条件，解的行为受到波速的影响。

### 二、偏微分方程的求解方法解偏微分方程的方法主要包括解析解和数值解两种。

1. **解析解**：对于一些简单的偏微分方程，可以通过变量分离、特征线法、变换等方法求得解析解。

解析解的优点是精确性高，能够给出问题的精确解析解。

2. **数值解**：对于大多数复杂的偏微分方程，往往无法得到解析解，需要借助数值方法进行求解。

常见的数值方法包括有限差分法、有限元法、谱方法等。

数值解的优点是适用范围广，可以处理各种复杂情况。

### 三、偏微分方程的常见数值方法1. **有限差分法**：有限差分法是一种常见的数值方法，将偏微分方程中的导数用差分近似代替，将偏微分方程转化为代数方程组。

通过迭代求解代数方程组，可以得到偏微分方程的数值解。

2. **有限元法**：有限元法是一种广泛应用的数值方法，将求解区域划分为有限个单元，通过建立单元之间的关系，将偏微分方程转化为代数方程组。

偏微分方程数值解的计算方法偏微分方程是研究自然和社会现象的重要工具。

然而，大多数偏微分方程很难用解析方法求解，需要用数值方法求解。

本文将介绍偏微分方程数值解的计算方法，其中包括有限差分方法、有限体积法、谱方法和有限元方法。

一、有限差分方法有限差分法是偏微分方程数值解的常用方法，它将偏微分方程中的空间变量转换为网格点上的差分近似。

例如，对于一个二阶偏微分方程：$$\frac{\partial^{2}u}{\partialx^{2}}+\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}=f(x,y,u)$$可以使用中心差分方法进行近似：$$\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}\approx \frac{u_{i+1,j}-2u_{i,j}+u_{i-1,j}}{(\Delta x)^{2}}$$$$\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}\approx \frac{u_{i,j+1}-2u_{i,j}+u_{i,j-1}}{(\Delta y)^{2}}$$其中，$u_{i,j}$表示在第$i$行第$j$列的网格点上的函数值，$\Delta x$和$\Delta y$表示网格步长。

将差分近似代入原方程中，得到如下的差分方程：$$\frac{u_{i+1,j}-2u_{i,j}+u_{i-1,j}}{(\Deltax)^{2}}+\frac{u_{i,j+1}-2u_{i,j}+u_{i,j-1}}{(\Deltay)^{2}}=f_{i,j,u_{i,j}}$$该方程可以用迭代法求解。

有限差分方法的优点是易于实现，但在均匀网格下准确性不高。

二、有限体积法有限体积法是将偏微分方程中的积分形式转换为求解网格单元中心值的方法。

例如，对于如下的扩散方程：$$\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial}{\partialx}\left(D(u)\frac{\partial u}{\partial x}\right)$$可以使用有限体积法进行近似。

偏微分方程离散差分格式差分方法等偏微分方程（Partial Differential Equations，简称PDE）是一类涉及多个独立变量的微分方程，其中至少一个是时间变量。

这类方程广泛应用于物理、工程、金融等领域，解析解往往难以获得，因此需要使用数值方法进行求解。

差分方法是其中一种常用的数值方法，将连续的变量和算子替换为离散的差分近似，从而将偏微分方程转化为代数方程组求解。

差分方法的基本思想是将连续的自变量和函数替换为离散的自变量和函数。

设自变量x的取值范围是[a,b]，将其等分为N个点，即x_i=a+i·△x，其中△x=(b-a)/N。

常见的差分格式有前向差分、后向差分和中心差分。

下面以一维热传导方程为例，介绍差分方法的基本思想和常用格式。

一维热传导方程是描述材料温度分布随时间变化的方程，其数学表达式为∂u/∂t=a·∂²u/∂x²，其中u(x,t)表示温度分布，a是热传导系数。

为了使用差分方法求解该方程，我们需要将偏导数用近似的差分形式替代。

常用的差分格式是中心差分格式，我们将二阶导数的中心差分表示为(∂²u/∂x²)_i=(u_(i+1)-2u_i+u_(i-1))/△x²。

将此近似代入热传导方程，则可以得到u_i^(n+1)=u_i^n+a·△t/△x²·(u_(i+1)^n-2u_i^n+u_(i-1)^n)，其中u_i^n表示在x_i处、t_n时刻的温度，△t表示时间步长。

上述离散方程是一个差分方程，可以通过迭代计算求解。

首先，我们需要给定初始条件u(x,0)，即温度在初始时刻的分布。

然后，使用上述离散方程迭代计算下一个时间步的温度分布，直到达到所需的时间范围。

差分方法的稳定性和精度主要取决于离散精度和时间步长。

差分格式的离散精度决定了近似解和精确解之间的误差大小，一般而言，中心差分格式具有二阶精度。

偏微分方程的数值解法差分法
偏微分方程是描述自然现象和工程问题的重要数学工具。

它们出现在许多领域，如物理学、化学、工程学等。

由于解析求解偏微分方程的方法往往非常困难，因此需要数值方法来求解。

差分法是偏微分方程数值解法中的一种常用方法。

它的基本思想是通过将区域离散化为网格，将偏微分方程转化为离散化方程组。

然后使用迭代算法求解方程组，得到数值解。

差分法的主要优点是易于理解和实现。

通过选取不同的差分格式和网格划分方法，可以得到不同精度和稳定性的数值解。

此外，差分法还可以方便地处理不规则区域和非线性问题。

在使用差分法求解偏微分方程时，需要注意选择合适的网格划分和差分格式。

同时，还需要考虑数值解的稳定性和精度，以及计算效率等问题。

总之，差分法是求解偏微分方程的常用数值方法，对于解决实际问题具有重要的应用价值。

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第九章期权定价有限差分方法第九章期权定价的有限差分方法在本章中，我们将给出几个简单的例子来说明基于偏微分方程（PDE）框架的期权定价方法。

具体的方法的是利用第五章中讲述的有限差分方法来解决Black-scholes偏微分方程。

在9.1节中，我们会回顾衍生品定价的数值解法以及指出如何利用适当的边界条件来模拟一个特定的期权。

在9.2节中我们将会应用简单的显式（差分）方法来求解一个简单的欧式期权。

正如你已熟知的那样，这种方法只能解出一些可以从金融角度来解释的不稳定的数值解。

在9.3节中我们将可以看到使用完全的隐式方法可以解决这种不稳定问题。

在9.4节中我们将介绍Crank-Nicolson方法在障碍期权定价中的应用，它可以看做是一种显式与完全隐式方法的混合。

最后，在9.5节中，我们会看到迭代松弛方法可以用于解决使用全隐式方法来解决美式期权定价时由于存在提前执行的可能性而导致的自由边界问题。

9.1使用有限差分法解BS方程在2.6.2节中，我们给出了一个标的资产在时间的价格为的期权，该期权的价格是一个函数，且满足偏微分方程（9.1）通过不同的边界条件可以让这个方程刻画不同的期权的特征。

在某些地方可能因为假设的改变或者对路径依赖的改变而导致方程式的具体形式改变，但是此处仅仅作为一个起点，帮助读者了解如何应用基于有限差分方法来解决期权定价的问题。

正如我们在第五章中遇到的情况那样，要用有限差分方法来解偏微分方程，在此处我们必须建立资产价格和时间的离散网格。

设T是期权的到期日，而Smax是一个足够大的资产价格，在我们所考虑的时间范围内，的数值不能超过Smax。

设定Smax是因为偏微分方程的区域关于资产价格是无边界的。

但是为了达到计算的目的，必须要求它是有界的。

Smax相当于+∞。

网格通过点(S,t)取得，其中(S,t)满足，，，……,,,，2，……,。

本章中使用网格符号为,我们回顾一下（9.1）方程式的几种不同解法：向前差分向后差分中心（或对称）差分对于第二个差分式子，有至于究竟采用哪种方法进行离散化，我们将在后面的实际操作过程中对显式和隐式的方法作出详细的阐述说明。

偏微分方程知识点总结1. 什么是偏微分方程？偏微分方程是描述多个自变量和它们的偏导数之间关系的方程。

它在数学和物理学中起着重要的作用，并被广泛应用于各个领域。

2. 偏微分方程的分类偏微分方程可以分为几个主要的类型，包括：- 椭圆型方程：以拉普拉斯方程为代表，通常用于描述稳定的分布或调和情况。

- 抛物型方程：以热方程和扩散方程为代表，通常用于描述物质传导或扩散过程。

- 双曲型方程：以波动方程为代表，通常用于描述波动或振动的传播过程。

3. 常见的偏微分方程以下是几个常见的偏微分方程：- 热方程（Heat Equation）：用于描述温度在空间和时间中的传导过程。

- 波动方程（Wave Equation）：用于描述波动的传播过程，如声波、光波等。

- 扩散方程（Diffusion Equation）：用于描述物质在空间中的扩散过程。

- 广义拉普拉斯方程（Generalized Laplace Equation）：用于描述稳定的分布情况，例如电势分布。

4. 解偏微分方程的方法解偏微分方程的方法有多种，常见的方法包括：- 分离变量法：将方程中的未知函数表示为多个独立变量的乘积形式，从而将偏微分方程转化为一组常微分方程。

- 特征线法：根据偏微分方程的特征曲线，将方程转化为常微分方程，并通过求解常微分方程得到解析解。

- 有限差分法：将偏微分方程中的偏导数用差商近似表示，将区域离散化为一个个小区域，利用差分方程逐步逼近解析解。

- 有限元法：将区域划分为有限个子区域，通过对子区域进行逼近，得到整个区域的近似解。

5. 偏微分方程在实际应用中的重要性偏微分方程在各个领域中都有着广泛的应用，如：- 物理学：用于描述波动、传热、扩散等物理现象。

- 工程学：用于解决结构强度、热传导、流体力学等工程问题。

- 经济学：用于建立经济模型，描述经济增长、分配等问题。

- 生物学：用于研究生物传输、生物过程等生命科学问题。

以上是我对偏微分方程的知识点进行的简要总结，请您参考。

--以有限差分法为例偏微分方程数值求解1. 偏微分方程求解问题的描述教材P653[12.1.1] 椭圆型教材P653[12.1.2]教材P664[12.2.1] 双曲型教材P665[12.2.4] 拉普拉斯泊松对流波动教材P684[12.3.1] 抛物型教材P685[12.3.6] 扩散对流扩散教材P686[12.3.8] 二维扩散教材P678[12.2.23] 二维对流⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥≤≤==≥≤≤==≤≤=>≥≤≤≤≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=∂∂0,0, ),(),,(),(),0,(0,0,),(),,(),(),,0(,0,),()0,,(0,0 , 0 , 0 21212222t L x t x v t L x u t x v t x u t L y t y t y L u t y t y u L y x y x y x u b t L y L x y u x u b t u μμϕΩ求解域初值条件 边值条件 ),,(t y x u 未知函数⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<<-==≥<<==≥≤≤-==≥≤≤==≤≤==≤≤≤≤≤≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=∂∂0 , 50 , sin 255sin ),(),5,(0 , 50 , 0),(),0,(0 , 50 , 5sin sin 25),(),,5(0 , 50 , 0),(),,0(5,0,0),()0,,( 10000 , 50 , 50 001.022********t x x x t x v t x u t x t x v t x u t y y y t y t y u t y t y t y u y x y x y x u t y x y u x u t u μμϕΩ求解域初值条件 边值条件 以具体问题为例演示具体的求解过程 ),,(t y x u 未知函数0x 1x 2x 3x 4x 0y 1y 2y 3y 4y 0t 1t 2t 3t 4t x j jh x =y k kh y =τn t n =xh x 区间的剖分步长τ区间的剖分步长t y h y 区间的剖分步长y x h h h ==0x 1x 2x 3x 4x 0y 1y 2y 3y 4y 0t 1t 2t 3t 4t jh x j =kh y k =τn t n =xh x 区间的剖分步长τ区间的剖分步长t y h y 区间的剖分步长y x h h h ==1x 2x 3x 4x 0y 1y 2y 3y 4y 0t 1t 2t 3t 4t 0x),,(n k j t y x ⎩⎨⎧===4..0 , 4..04..0j k n 0x 1x 2x 3x 4x 0y 1y 2y 3y 4y 0t 1t 2t 3t 4t ),,(211t y x ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤=Ω100005050),,(t y x t y x ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧====Ω4..04..04..0),,(j k n t y x n k j n kj0x 1x 2x 3x 4x 0y 1y 2y 3y 4y 0t 1t 2t 3t 4t ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤=Ω100005050),,(t y x t y x ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧====Ω4..04..04..0),,(j k n t y x n k j n kj ?),,(),,(=Ω∈t y x t y x u ?),,(),,(=Ω∈n kjn k j t y x n k j t y x u 求解目标求解目标离散化n kju4040====k k j j 或或或边界点： 1x 2x 3x 4x 0y 1y 2y 3y4y 0t 1t 2t 3t 4t 0x4040≠≠≠≠k k j j 且且且内点：1x 2x 3x 4x 0y 1y 2y 3y4y 0t 1t 2t 3t 4t 0x1x 2x 3x 4x 0y 1y 2y 3y 4y 0t 1t 2t 3t 4t 0x 5,0,0)0,,(≤≤=y x y x u 初值条件 0),,(04..04..00====t y x u uk j k j kj 0kju000u001u002u003u004u1x 2x 3x 4x 0y 1y 2y 3y 4y 0t 1t 2t 3t 4t 0x000u001u002u003u004u1x 2x 3x 4x 0y 1y 2y 3y 4y 0t 1t 2t 3t 4t 0x 010u011u012u013u014u000u 001u002u003u 004u1x 2x 3x 4x 0y 1y 2y 3y 4y 0t 1t 2t 3t 4t 0x 010u011u 012u 013u014u 020u021u022u023u024u000u 001u 002u 003u 004u 1x 2x 3x 4x 0y 1y 2y 3y 4y 0t 1t 2t 3t 4t 0x 010u 011u 012u 013u 014u 020u 021u 022u 023u 024u 030u031u032u033u034u000u 001u 002u 003u 004u 1x 2x 3x 4x 0y 1y 2y 3y 4y 0t 1t 2t 3t 4t 0x 010u 011u 012u 013u 014u 020u 021u 022u 023u 024u 030u 031u 032u033u 034u040u041u042u043u044u的存储设计计算数据0kju 1x 2x 3x 4x 0y 1y 2y 3y 4y 0t 1t 2t 3t 4t 0x 000u 001u 002u 003u 004u 010u 011u 012u 013u 014u 020u 021u 022u 023u 024u 030u 031u 032u033u 034u040u041u042u043u044u1 2 3 4 5123 4 5行号列号MATLAB矩阵U0的存储设计计算数据0kju 1x 2x 3x 4x 0y 1y 2y 3y 4y 0t 1t 2t 3t 4t 0x 000u 001u 002u 003u 004u 010u 011u 012u 013u 014u 020u 021u 022u 023u 024u 030u 031u 032u033u 034u040u041u042u043u044u0 1 2 3 412 3 4行号列号C 语言矩阵U0的图像计算结果可视化)0,,( :y x u 1x 2x 3x 4x 0y 1y 2y 3y 4y 0t 1t 2t 3t 4t 0x 000u 001u 002u 003u 004u 010u011u 012u 013u 014u 020u 021u 022u 023u 024u 030u 031u 032u 033u034u 040u 041u042u043u044u1 23 4 5 123 4 5行号列号MATLAB 矩阵U00kju),,()0,,(0kj k j u y x y x u 上的点4..0,4..0 ),,( :211===k j t y x u u k j kj求步第边值条件11104t x 103t x y 102t x y 101t x y 100t x y 0,50 , 0),,0(≥≤≤=t y t y u 0),,(104..00===t y x u uk k k边值条件1104tx 103t x y 102tx y 101tx y 10t x y 140u 130u 120u 110u 100u 0),,(104..010===t y x u uk k k 0,50 , 0),,0(≥≤≤=t y t y u边值条件25sin )()sin(25),,(2144..014k k k k k y y t y x u u-===14t 14t 14t x 141t x 140t x y 0,50 , 5sin sin 25),,5(2≥≤≤-=t y y y t y u边值条件25sin )()sin(25),,(2144..014k k k k k y y t y x u u-===14t 14t 14tx 141t x 14t x y 144u134u124u 114u104u 0,50 , 5sin sin 25),,5(2≥≤≤-=t y y y t y u边值条件3),,(103..110===t y x u uj j j 0,50 , 0),0,(≥<<=t x t x u 110t x y 120t x y 130t x y边值条件3),,(103..110===t y x u uj j j 110t x y 120tx y 130t x y 101u102u 103u 0,50 , 0),0,(≥<<=t x t x u边值条件411t x 12t x 13t x )sin(255sin )(),,(2143..114j j j j j x x t y x u u-===0,50 , sin 255sin ),5,(2≥<<-=t x x x t x u边值条件411t x 12t x 13t x )sin(255sin )(),,(2143..114j j j j j x x t y x u u-===0,50 , sin 255sin ),5,(2≥<<-=t x x x t x u 141u 142u143u141u 142u 143u 101u 102u 103u 144u 134u 124u 114u 104u 140u 130u 120u 110u 100u1,,+n j k t x y nj k t x y ,,1+nj k t x y ,,1-nj k t x y ,,1-nj k t x y ,,1+nj k t x y ,,策略”1,,+n jk t x y nj k t x y ,,1+n j k tx y ,,1-njk t x y ,,1-nj k t x y,,1+nj kt x y ,,2,1,121,1,22hu u ubhu u ubuujk kj jk j k kj j k kjkj-+-++-++-=-τ策略”1+n kj u nkj u nj k u 1,-nj k u 1,+nj u ,njk u ,1+策略”1+n kjun kjun j k u1,-n j k u 1,+n jk u,1-n jk u,1+2,1,121,1,22hu u ubhu u ubuujk kj jk j k kj j k kjkj-+-++-++-=-τ策略”1+n kjun kjun j k u1,-n j k u 1,+n jk u,1-n jk u,1+2,1,121,1,22hu u ubhu u ubuujk kj jk j k kj j k kjkj-+-++-++-=-τ策略”1+n kjun kjun j k u1,-n j k u 1,+n jk u,1-n jk u,1+2,1,121,1,22hu u ubhu u ubuujk kj jk j k kj j k kjkj-+-++-++-=-τ)(, 22.3.12,41:22h PDE h b +O =−−−→−≤ττ误差估计的解原偏微分方程求出的近似解按显式差分格式当可证收敛并稳定{}1..1,1-=+M j k n kj u {}Mj k nkj u ..0,=目标{}Mj M k n kju 或或或001==+“隐式差1,,+n j k t x y 11,,++n j k t x y 11,,+-n j k t x y 11,,+-n j k t x y 11,,++n j k t x y nj k t x y ,,“隐式差1,,+n jk t x y 11,,++n j k t x y 11,,+-n j k t x y 11,,+-n j k t x y 11,,++n j k t x yn j k t x y ,,“隐式差11,+-n j k u11,++n j k u 1,1++n jk u 1,1+-n jk unjk u ,1+n kj u“隐式差11,+-n j k u11,++n j k u 1,1++n jk u 1,1+-n jk unjk u,1+n kjuτn kjn kjuu-+1=211,1,11,2h uuub n j k n j k n j k +-++++-21,11,1,12h uuub n j k n j k n jk +-++++-+2hbc τ=标准化nj k n j k n j k n j k n j k n j k u u c u c u c u c u c ,1,111,1,11,1,1)41(=∙-∙-++∙-∙-++++++-+-“隐式差11,+-n j k u11,++n j k u 1,1++n jk u 1,1+-n jk un jk u,1+n kjun jk n jk n j k n jk n j k n jk uuc uc uc uc uc ,1,111,1,11,1,1)41(=∙-∙-++∙-∙-++++++-+-2hbc τ=“隐式差11,+-n j k u11,++n j k u 1,1++n jk u 1,1+-n jk un jk u,1+n kjun jk n jk n j k n jk n j k n jk uuc uc uc uc uc ,1,111,1,11,1,1)41(=∙-∙-++∙-∙-++++++-+-2hbc τ=+1kjn“隐式差+1kjn n n n n n n uuc uc uc uc uc 11111)41(=∙-∙-++∙-∙-+++++111+n u110+n u112+n u 121+n u 101+n unu11列差分方程层的内点值基于例如111:+n u t n n n n n n uuc uc uc uc uc 11121112111110101)41(=∙-∙-++∙-∙-+++++列差分方程基于内点值111+n u “隐式差n n n n n n uuc uc uc uc uc 11111)41(=∙-∙-++∙-∙-+++++112+n u111+n u113+n u122+n u102+n u n u 12列差分方程层的内点值基于例如121:+n u t n n n n n n uuc uc uc uc uc 12122113112111102)41(=∙-∙-++∙-∙-+++++列差分方程基于内点值112+n u “隐式差n n n n n n uuc uc uc uc uc 11111)41(=∙-∙-++∙-∙-+++++112+n u111+n u113+n u 122+n u132+n u121+n u131+n u123+n u133+n un 12un 11un 13un 22un 32un 21un 31un 23un 33u线性方程组“隐式差n n n n n n uuc uc uc uc uc 11111)41(=∙-∙-++∙-∙-+++++红色标志方程组的未知量绿色标志方程组的已知量个差分方程列出个内点值层的基于9)3..1,3..1(911==++j k ut n kjn112+n u111+n u113+n u 122+n u132+n u121+n u131+n u123+n u133+n un12u n 11u n 13u n 22u n 32un 21u n 31u n 23u n 33u线性方程组“隐式差n n n n n n uuc uc uc uc uc 11111)41(=∙-∙-++∙-∙-+++++红色标志方程组的未知量绿色标志方程组的已知量个差分方程列出个内点值层的基于9)3..1,3..1(911==++j k ut n kjn )( 32.3.12:2h PDE +O =−−−−→−τ误差估计的解原偏微分方程求出的近似解按隐式差分格式可证收敛并绝对稳定。

差分⽅法⼀、差分⽅法1．1 导数的差分公式在x 附近对()f x 展开，由泰勒展开公式()()()f x h f x f x h '+≈+得到前差公式为()()()f x h f x f x h +-'=同理也可以得到后差公式()()()f x f x h f x h--'=由后差分公式可以得到⼆阶导数的差分公式为2()()()2()()()f x h f x f x h f x f x h f x h h ''+-+-+-''==叫中⼼差分公式。

利⽤这些公式可以将微分⽅程写成差分⽅程。

1．2 热传导⽅程的差分公式热传导⽅程是2t xx u a u =可以写成差分形式 22(,)(,)(,)2(,)(,)()u x t t u x t u x x t u x t u x x t a t x +?-+?-+-?≈?? 即 []2 2(,)(,)(,)2(,)(,)()t u x t t u x t a u x x t u x t u x x t x ?+?≈+ +?-+-?? 令,,0,1,2,...,1x i x t i t i n =?=?=-上式可以写为（显⽰格式）[]22(,1)(,)(1,)2(,)(1,)()t u i j u i j a u i j u i j u i j x ?+=++-+-? 可以证明，上式的稳定条件为2()2x t a ??≤，即221()2t a x ?≤? 稳定且⾮振荡的条件为221()4t a x ?≤? 截断误差为2((),)O x t ??另⼀种格式为 22(,)(,)(,)2(,)(,)()u x t t u x t u x x t t u x t t u x x t t a t x +?-+?+?-+?+-?+?≈?? 即2222()()(,1,1)2(,1)(1,1)(,)x x u i j u i j u i j u i j a t a t -++--++++=-?该式称为隐式格式。