2018-2019学年河南省南阳市高二上学期期中考试数学(理)试题(解析版)
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第 1 页 共 12 页
河南省南阳市2018-2019学年高二上学期期中考试数学（理）试题
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 若 ，则下列不等式中正确的是
A.
B.
C. D.
【答案】D
【解析】解：当 ， 时，
不成立，故A不成立；
当 ， 时，
不成立，故B 不成立；
当 时， 不成立，故C不成立；
恒成立，故 ，故D成立，
故选：D．
举出反例 ， ，可判断A，B；举出反例 ，可判断C；根据完全平方公式及不等式的基本性质，可判断判断D；
本题考查的知识点是不等式的基本性质，难度不大，属于基础题．
2. 在等比数列 中， ， ，则 等于
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】解：根据题意，设等比数列 的公比为q，
又由 ， ，则
，
则
， ，
则
；
故选：B．
根据题意，设等比数列 的公比为q，结合等比数列的通项公式可得
，进而可得 与 的值，相加即可得答案．
本题考查等比数列的通项公式，关键是求出q的值，属于基础题．
3. 不等式 的解集是 第 2 页 共 12 页 A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】解：根据题意， ，
即不等式 的解集 ；
故选：B．
根据题意， ，解可得x的取值范围，即可得答案．
本题考查一元二次不等式的解法，关键是掌握一元二次不等式的解法，属于基础题．
4. 满足不等式 的点 所在的区域应为
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】解：由不等式 即： 或 ，
它们对应的区域是两条相交直线 ， 为边界的角形部分，
故可排除C、D．
对于A、B，取特殊点 代入不等式 ，不满足，故排除A．
考察四个选项知B选项符合要求
故选：B．
由图形中所给的数据求出两个边界所对应的方程，由图形的位置及二元一次不等式与区域的关系判断出正确选项．
本题考查二元一次不等式与区域，解题的关键是确定边界对应的直线方程，以及边界是虚线还是实线，区域与直线的相对位置，熟练掌握区域与直线的位置关系与相应不等式的对应关系是解本题的知识保证 本题考查了数形结合的思想，推理判断的能力．
5. 等比数列 的各项均为正数，且 ，则
A. 2017 B. 2018 C. 2019 D. 2020
【答案】B 第 3 页 共 12 页 【解析】解：由 ，可得 ，即 ，
．
故选：B．
由已知结合等比数列的性质可得 ，再由对数的运算性质可得答案．
本题考查等比数列的性质和通项公式，涉及对数的运算，属中档题．
6. 在 中，角A，B，C的边长分别为a，b，c，角A，B，C成等差数列， ， ，则此三角形解的情况是
A. 一解 B. 两解 C. 无解 D. 不能确定
【答案】B
【解析】解： 角A，B，C成等差数列，
，又 ，
，
点C到AB的距离 ，
，
，
三角形有两解．
故选：B．
计算AB边上的高d，根据a，b，d的大小关系得出结论．
本题考查了三角形解的判断，属于中档题．
7. 已知数列 满足要求 ， ，则
A. 15 B. 16 C. 31 D. 32
【答案】C
【解析】解： 数列 满足 ， ，
，
，
，
．
故选：C．
由数列 满足 ， ，分别令 ，2，3，4，能够依次求出 ， ， ， ．
本题考查数列的递推公式的性质和应用，是基础题 解题时要认真审题，仔细解答，注意递推公式的合理运用．
8. 在 中， ，则A的取值范围是
A.
B.
C.
D.
第 4 页 共 12 页 【答案】C
【解析】解：由正弦定理可知 ， ， ，
，
，
的取值范围是
故选：C．
先利用正弦定理把不等式中正弦的值转化成边，进而代入到余弦定理公式中求得 的范围，进而求得A的范围．
本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用 作为解三角形中常用的两个定理，考生应能熟练记忆．
9. 若 ， ，且 ，则xy的最小值为
A. 8 B. 14 C. 16 D. 64
【答案】D
【解析】解： ， ， ，
，
， 当且仅当 时取等号．
故xy的最小值为64．
故选：D．
利用基本不等式构建不等式即可得出
本题考查了基本不等式的应用，属于基础题．
10. 如图是一个斜拉桥示意图的一部分，AC与BD表示两条相邻的钢缆，A、B与C、D分别表示钢缆在桥梁与主塔上的铆点，两条钢缆的仰角分别为 、 ，为了便于计算，在点B处测得C的仰角为 ，若 ，则
A.
B.
C.
D.
【答案】D 第 5 页 共 12 页 【解析】解：在 中，由正弦定理可得
，
，
在 中，由正弦定理可得
，
故选：D．
根据正弦定理即可求出．
本题考查了正弦定理的应用，属于基础题
11. 设变量x，y满足约束条件
目标函数 仅在 处取得最小值，则a的取值范围为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
当 时，显然成立．
当 时，直线 的斜率
，
解得 ．
当 时，
解得 ．
综合得 ，
故选：D．
作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义求最值，只需利用直线之间的斜率间的关系，求出何时直线 过可行域内的点 处取得最小值，从而得到a的取值范围即可．
本题主要考查线性规划的应用，体现了数形结合思想、化归思想 线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．
12. 等差数列 的前n项和为 ，若 ， ，则数列
前11项中
A. 首项最大 B. 第9项最大 C. 第10项最大 D. 第11项最大
【答案】C
【解析】解：等差数列 的前n项和为 ，
， ， 第 6 页 共 12 页
，
，
， ，
， ，
数列
中，前10项都为正数，第11项为负；
且分子 是递增的正数，分母 是递减的正数，
第10项
最大．
故选：C．
根据等差数列的前n项和的定义与计算公式得出 ， ，
从而得出数列
中前10项都为正数，第11项为负；
且分子 是递增的正数，分母 是递减的正数，第10项
最大．
本题考查了等差数列的前n项和公式与推理论证能力的应用问题，是中档题．
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知数列 的前n项和 ，那么 等于______．
【答案】5
【解析】解：根据题意，数列 的前n项和 ，
则 ；
故答案为：5．
根据题意，由数列的前n项公式可得 ，代入数据计算可得答案．
本题考查数列的前n项和公式的应用，注意 的应用，属于基础题．
14. 点 和 在直线 的两侧，则实数a的取值范围是______．
【答案】
【解析】解：由题意点 和 在直线 的两侧
即
解得
故答案为
由题意 和 在直线 的两侧可得不等式 ，解出此不等式的解集即可得到所求的答案
本题考点二元一次不等式的几何意义，考查了二元一次不等式与区域的关系，解题的关键是理解二元一次不等式与区域的关系，利用此关系得到参数所满足的不等式，解出取值范围，本题属于基本题
15. 已知 中，角A，B，C对边分别为a，b，c， ， ，则 ______．
【答案】
第 7 页 共 12 页 【解析】解： ， ，
由正弦定理：
即
得：
，
则
．
故答案为：
．
利用正弦定理化简 ，利用三角形内角和定理结合和与差的公式即可得解．
本题考查了正弦定理和三角形内角和定理，结合和与差的公式的计算 属于基础题．
16. 寒假期间，某校家长委员会准备租赁A，B两种型号的客车安排900名学生到重点高校进行研学旅行，A，B两种客车的载客量分别为36人和60人，租金分别为1200元 辆和 辆，家长委员会为节约成本，要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为______元
【答案】27600
【解析】解：设分别租用A、B两种型号的客车x辆、y辆，所用的总租金为z元，则
