北师版七年级数学上册专题复习第二章 有理数及其运算

第 1 页 2019-2019学年北师版七年级 数学上册专题复习

班级 姓名

有理数及其运算

一、选择题

1．某种药品的说明书上标明保存温度是(20±2)℃，则该药品适合保存的范围是( D )

A．18℃～20℃

B．20℃～22℃

C．18℃～21℃

D．18℃～22℃

2．在－23，(－2)3，－(－2)，－|－2|中，负数的个数是( C )

A．1

B．2

C．3

D．4

3．如图，数轴上点A表示数a，则－a表示数( A )

A．2

B．1

C．－1

D．－2

4．有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是( B )

A．a－b＞0

B．a＋b＞0

C．ab＞0

D.ab＞0

5．有理数a在数轴上的位置如图所示，下列各数中，可能在0到1之间的是( A )

A．|a|－1

B．|a|

C．－a

D．a＋1

6．下列说法中正确的有( A )

①3.14不是分数；

②－2是整数；

③数轴上与原点的距离是2个单位的点表示的数是2；

④两个有理数的和一定大于任何一个加数．

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

7．如图，乐乐将－3，－2，－1，0，1，2，3，4，5分别填入九个空格内，第 2 页 使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，现在a，b，c分别标上其中的一个数，则a－b＋c的值为( C )

A．－1

B．0

C．1

D．3

8．下列各组数中，互为倒数的是( C )

A．－3 与3

B．－3 与13

C．－3与－13

D．－3 与＋(－3)

9．下列几种说法中，正确的是( C )

A．有理数的绝对值一定比0大

B．有理数的相反数一定比0小

C．互为倒数的两个数的积为1

D．两个互为相反的数(0除外)的商是0

10．若x－12＋(y＋1)2＝0，则x2＋y3的值是( D )

A.34

B.14

C．－14

D．－34

11．用科学记数法表示数0.000 301正确的是( C )

A．3×10－4

B．30.1×10－8

C．3.01×10－4

D．3.01×10－5

二、填空题

12． 2019年岳阳市教育扶贫工作实施方案出台，全市计划争取“全面改薄”专项资金120 000 000元，用于改造农村义务教育薄弱学校100所，数据120 000

000用科学记数法表示为____． 第 3 页 13．若2a＋3与3互为相反数，则a＝__－3__．

14．一个有理数x满足：x＜0且|x|＜2，写出一个满足条件的有理数x的值：x＝__－1__．

15．若有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则|a－c|－|b＋c|可化简为__－a－b__．

16．小明与小刚规定了一种新运算*：若a，b是有理数，则a*b＝3a－2b.小明计算出2*5＝3×2－2×5＝－4，请你帮小刚计算2*(－5)＝__16__．

三、解答题

17．计算：

(1)－13×3＋6×－13；

(2)(－1)2÷12×[6－(－2)3]．

解：(1)－13×3＋6×－13

＝－1＋(－2)

＝－3.

(2)(－1)2÷12×[6－(－2)3]

＝1×2×[6－(－8)]

＝1×2×14

＝28.

18．计算：

(1)－14＋|3－5|－16÷(－2)×12；

(2)6×13－12－32÷(－12)．

解：(1)原式＝－1＋2－16×－12×12

＝－1＋2＋4

＝5.

(2)原式＝6×13－6×12－9×－112

＝2－3＋34 第 4 页 ＝－14.

19．计算：

(1)－20＋(－14)－(－18)－13；

(2)4－8×－123；

(3)－34－59＋712÷136；

(4)－79÷23－15－13×(－4)2.

解：(1)原式＝－20－14＋18－13

＝－47＋18

＝－29.

(2)原式＝4－8×－18

＝4＋1

＝5.

(3)原式＝－34－59＋712×36

＝－34×36－59×36＋712×36

＝－27－20＋21

＝－26.

(4)原式＝79÷715－13×16

＝79×157－163

＝53－163

＝－113.

20．计算： 第 5 页 (1)－|－7＋1|＋3－2÷－13；

(2)－56＋23÷－712×72；

(3)（－2）3－13÷－－1220.125×8＋[1－32×（－2）].

解：(1)原式＝－6＋3＋6＝3.

(2)原式＝－16×－127×72＝1.

(3)原式＝－8＋521＋1＋18＝4420＝2.2.

21．邮递员骑摩托车从邮局出发，先向东骑行2 km到达A村，继续向东骑行3 km到达B 村，然后向西骑行9 km到C村，最后回到邮局．

(1)以邮局为原点，以向东方向为正方向，用1个单位长度表示1 km，请你在数轴上表示出A，B，C三个村庄的位置；

(2)C村离A村有多远？

(3)若摩托车每1 km耗油0.03升，这趟路共耗油多少升？

解：(1)依题意，得数轴为

(2)依数轴，得点C与点A的距离为2＋4＝6 (km)．

(3)依题意，得邮递员骑了2＋3＋9＋4＝18 (km)，

共耗油量18×0.03＝0.54(升)．

答：这趟路共耗油0.54升．

22．在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下(单位：千米)：

14，－9，＋8，－7，13，－6，＋12，－5.

(1)请你帮忙确定B地相对于A地的方位；

(2)救灾过程中，冲锋舟离出发点A最远处有多远？

(3)若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为28升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油．

解：(1)∵14－9＋8－7＋13－6＋12－5＝20，

∴B地在A地的东边20千米．

(2)∵路程记录中各点离出发点的距离分别为14千米，

14－9＝5(千米)，

14－9＋8＝13(千米)，

14－9＋8－7＝6(千米)，

14－9＋8－7＋13＝19(千米)，

14－9＋8－7＋13－6＝13(千米)， 第 6 页 14－9＋8－7＋13－6＋12＝25(千米)，

14－9＋8－7＋13－6＋12－5＝20(千米)．

∴最远处离出发点25千米．

(3)这一天走的总路程为14＋|－9|＋8＋|－7|＋13＋|－6|＋12＋|－5|＝74(千米)，

耗油74×0.5＝37(升)，37－28＝9(升)，

故还需补充的油量为9升．

23．用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a☆b＝ab2＋2ab＋a.如：1☆3＝1×32＋2×1×3＋1＝16.

(1)求(－2)☆3的值；

(2)若a＋12☆3＝8，求a的值．

解：(1)(－2)☆3＝－2×32＋2×(－2)×3＋(－2)＝－32.

(2)a＋12☆3＝a＋12×32＋2×a＋12×3＋a＋12＝8a＋8＝8，解得a＝0.

24．对于有理数a，b，定义运算：a⊕b＝ab－2a－2b＋1.

(1)计算5⊕4的值；

(2)计算[(－2)⊕6]⊕3的值；

(3)定义的新运算“⊕”交换律是否还成立？请写出你的探究过程．

解：(1)5⊕4＝5×4－2×5－2×4＋1

＝20－10－8＋1

＝2＋1

＝3.

(2)原式＝[－2×6－2×(－2)－2×6＋1]⊕3

＝(－12＋4－12＋1)⊕3

＝－19⊕3

＝－19×3－2×(－19)－2×3＋1

＝－24.

(3)成立．

∵a⊕b＝ab－2a－2b＋1，b⊕a＝ab－2b－2a＋1，

∴a⊕b＝b⊕a，

∴定义的新运算“⊕”交换律还成立．

25．对于有理数a，b，定义一种新运算“⊙”，规定：a⊙b＝|a＋b|＋|a－b|.

(1)计算2⊙(－4)的值；

(2)若a，b在数轴上的位置如图所示，化简a⊙b.

解：(1)2⊙(－4)＝|2－4|＋|2＋4|＝2＋6＝8.

(2)由数轴知a＜0＜b，且|a|＞|b|，

则a＋b＜0、a－b＜0，

所以原式＝－(a＋b)－(a－b)

＝－a－b－a＋b

＝－2a. 第 7 页 26．我们已经学习过“乘方”和“开方”运算，下面给同学们介绍一种新的运算，即对数运算．

定义：如果ab＝N(a＞0，a≠1，N＞0)，则b叫做以a为底N的对数，记作logaN＝b.

例如：因为53＝125，所以log5125＝3；因为112＝121，所以log11121＝2.

(1)填空：log66＝__1__，log381＝__4__；

(2)如果log2(M－2)＝3，求M的值；

(3)对于“对数”运算，小明同学认为有“logaMN＝logaM·logaN(a＞0，a≠1，M＞0，N＞0)”，他的说法正确吗？如果正确，请给出证明过程；如果不正确，请说明理由，并加以改正．

【解析】(1)∵61＝6，34＝81，

∴log66＝1，log381＝4.

解：(2)∵log2(M－2)＝3，

∴M－2＝23，解得M＝10.

(3)不正确．理由：

设ax＝M，ay＝N，

则logaM＝x，logaN＝y(a＞0，a≠1，M，N均为正数)．

∵ax·ay＝ax＋y，

∴ax＋y＝M·N，

∴logaMN＝x＋y，

即logaMN＝logaM＋logaN.

27．同学们都知道|5－(－2)|表示5与(－2)之差的绝对值，也可理解为5与－2两数在数轴上所对的两点之间的距离，试探索：

(1)求|5－(－2)|＝__7__；

(2)找出所有符合条件的整数x，使得|x＋5|＋|x－2|＝7成立的整数是__－5，－4，－3，－2，－1，0，1，2__；

(3)由以上探索猜想，对于任何有理数x，|x－3|＋|x－6|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，请说明理由．

【解析】 (1)原式＝|5＋2|＝7.

(2)令x＋5＝0或x－2＝0时，则x＝－5或x＝2.

当x＜－5时，－(x＋5)－(x－2)＝7，

解得x＝－5(不成立)．

当－5＜x＜2时，(x＋5)－(x－2)＝7，

化简得7＝7，

∴x＝－4，－3，－2，－1，0，1.

当x＞2时，(x＋5)＋(x－2)＝7，

解得x＝2(不成立)．

综上所述，符合条件的整数x有－5，－4，－3，－2，－1，0，1，2.

解：(3)由(2)的探索猜想，对于任何有理数x，|x－3|＋|x－6|有最小值，为3.