第21章 一元二次方程

第二十一章《一元二次方程》教材分析

一、本章学习目标

1.理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程。

2.会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等。

3.能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理。

4.能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程，并利用一元二次方程模型解决简单的实际问题。

5.了解一元二次方程的根与系数的关系。

教学重点：

一元二次方程的解法和根的判别式的应用。

教学难点：

利用一元二次方程模型解决实际问题。

二、本章知识框图

三、教材分析

对于方程及其解法，学生从小学就开始接触。进入初中后，学生又学习了一元一次方程、二元一次方程组以及可化为一元一次方程的分式方程。因此，学生对于解方程涉及的数学思想（化归）、理论依据（等

式的性质、运算律）以及基本思路（通过恒等变形，把方程逐步化为x=a的形式）等都已比较熟悉。从数学知识的内部发展看，二元、三元一次方程组可以看成是对一元一次方程在“元”上的推广。 自然地，如果在次数上做推广，首先就是一元二次方程。 类比二（三）元一次方程组的解法，可以想到：能否将一元二次方程转化为一元一次方程。而一元二次方程与一元一次方程比较，差异在“次数”。因此，将“二次”降为“一次”就能使“新方程”转化为“旧方程”，这样就明确了解一元二次方程的基本策略——降次。

如何操作实现“降次”，将一元二次方程转化为一元一次方程为解题的关键，这就要借助已经研究过的实数的性质和整式因式分解的方法，因此在本章的教学中要注意关联已学过的知识，注重让学生体会高次方程与低次方程的联系，数与式的联系，通过观察方程系数特征，选择恰当方法，优化运算过程，发展运算能力。

一元二次方程是初中数学的重要数学模型之一，它有丰富的实际背景，通过建立一元二次方程模型解决实际问题，可以使学生更深入的体会数学与现实世界的联系，培养模型观念，发展应用意识。

第21章一元二次方程 复习题

 双基演练

一、选择题

1．下面关于x的方程中①ax2+bx+c=0；②3（x-9）2-（x+1）2=1；③x+3=1x；

④（a2+a+1）x2-a=0；④1x=x-1．一元二次方程的个数是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

2．要使方程（a-3）x2+（b+1）x+c=0是关于x的一元二次方程，则（ ）

A．a≠0 B．a≠3

C．a≠1且b≠-1 D．a≠3且b≠-1且c≠0

3．若（x+y）（1-x-y）+6=0，则x+y的值是（ ）

A．2 B．3 C．-2或3 D．2或-3

4．若关于x的一元二次方程3x2+k=0有实数根，则（ ）

A．k>0 B．k<0 C．k≥0 D．k≤0

5．下面对于二次三项式-x2+4x-5的值的判断正确的是（ ）

A．恒大于0 B．恒小于0 C．不小于0 D．可能为0

6．下面是某同学在九年级期中测试中解答的几道填空题：（1）若x2=a2，则x= a ；

（2）方程2x（x-1）=x-1的根是 x=0 ；（3）若直角三角形的两边长为3和4，则第三边的长为 5 ．•其中答案完全正确的题目个数为（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3

7．某种商品因换季准备打折出售，如果按原定价的七五折出售，将赔25元，•而按原定价的九折出售，将赚20元，则这种商品的原价是（ ）

A．500元 B．400元 C．300元 D．200元

8．利华机械厂四月份生产零件50万个，若五、六月份平均每月的增长率是20%，•则第二季度共生产零件（ ）

A．100万个 B．160万个 C．180万个 D．182万个

第21章 一元二次方程

一、一元二次方程的定义

1、下列方程是一元二次方程的有

(1)y2+y=12 (2)x3+x2=3 (3)x+2y=12

(4)0212xx (5)x+1=0 (6)632x

(7)22)32(14xx (8)062)(2xx (9)2135032xx

(10)2134xxx (11)2110xx (12)2111xx

（13）3(x＋1)2＝2(x＋1) （14）ax2＋bx＋c＝0

2、一元二次方程的一般形式的有

（1）ax2＋bx＋c＝0 （2）ax2＋bx＋c(a≠0)

（3） ax2＋bx＋c＝0(a≠0) （4）ax2＋bx＋c＝0(b≠0)

（5）ax2＝0(a≠0) （6）ax2＋bx=0(a≠0)

(7) ax2＋c＝0(a≠0)

3、若（m2－4）x2＋3x－5＝0是关于x的一元二次方程，则 （ ）

A. m≠2 B. m≠－2 C. m≠－2，或m≠2 D. m≠－2，且m≠2

4、 若关于x的方程kx2＋2x－1＝0是一元二次方程，则k .

5、方程（m－1）x2－(2m－1)x＋m＝0当m 时，方程是关于x的一元二次方程.

6、已知关于x的方程021122xkxk

（1）当k为何值时，此方程为一元一次方程？

（2）当k为何值时，此方程为一元二次方程？并写出二次项系数、一次项系数、常数项

7、已知关于x的方程（m－n）x2+mx+n=0，你认为：

（1）当m和n满足什么关系时，该方程是一元二次方程？

（2）当m和n满足什么关系时，该方程是一元一次方程？

二、一元二次方程的项

试卷第1页，总3页 第二十一章《一元二次方程》 测试题

一、单选题（共12小题，每小题3分，共36分）

1．下列方程为一元二次方程的是 ( )

A．ax2+bx+c=0 B．x2－2x－3 C．2x2＝0 D．xy＋1＝0

2．把方程x（3-2x）+5=1化成一般式后二次项系数与常数项的积是（ ）

A．3 B．-8 C．-10 D．15

3．若关于x的一元二次方程(a＋1)x2＋x＋a2－1＝0的一个解是x＝0，则a的值为( )

A．1 B．－1 C．±1 D．0

4．若a-b+c=0，则方程ax2+bx+c=0(a0)必有一个根是（ ）A．0 B．1C．-1 D．ba

5．用配方法解一元二次方程2x2﹣4x+1=0，变形正确的是（ ）

A．（x﹣12）2=0 B．（x﹣12）2=12

C．（x﹣1）2=12 D．（x﹣1）2=0

6．已知直角三角形的两边长是方程x2﹣7x+12=0的两根，则第三边长为（ ） A．7 B．5

C．7 D．5或7

7．若关于 x 的一元二次方程x2﹣x﹣3m＝0有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是（）

A．m12B．m112C．m＞﹣112D．m112

8．若方程x2－3x－1＝0的两根为x1、x2，则11x＋21x的值为( )

A．3 B．－3 C．13 D．－13

9．已知关于x的一元二次方程(2a－1)x2＋(a＋1)x＋1＝0的两个根相等，则a的值等于( )

A．－1或－5 B．－1或5 C．1或－5 D．1或5

10．如图，在长为33米宽为20米的矩形空地上修建同样宽的道路（阴影部分），余下的部分为草坪，要使草坪的面积为510平方米，则道路的宽为（ ） A．1米 B．2米 C．3米 D．4米