态叠加原理

（4）态叠加原理 1 量子态及其表象
若体系由归一化的波函数()r ψ 来描述，若测量粒子的位置, 则()2
r ψ
表示粒子出现在r
点的几率密度。

在傅立叶变换下: ()()
()332
1
2ip r p e
r d r ϕψπ-⋅=
⎰
若测量粒子的动量p
, 则测得粒子动量为p
的几率密度为()2
p ϕ
, 同理, 也可以确定其他力学量的测量值的几率分布.
故()r ψ 完全描述一个粒子的量子态. ()r ψ
称为态函数, 也叫几率波幅.
反之, 若体系由归一化的波函数()p ϕ 来描述， 则测量粒子动量为p 的几率为()2
p ϕ
, 在傅立叶变换下:
()()
()332
1
2ip r r e
p d r ψϕπ⋅=
⎰
若在位置r
点测量粒子, 则测得粒子出现在r
点的几率密度为()2
r ψ。

这样, ()p ϕ
也可完全描述这个粒子的量子态.
因此, 我们知道, 对于一个体系, 粒子的量子态可以有多种描述方式, 每种方式对应于一种不同的表象, 它们彼此之间存在着确定的变换关系. 如()r ψ 是粒子态在坐标表象中的表示, 而()p ϕ
是同一个状态在动量表象中的表示. 2 态叠加原理
若体系由()r ψ 来描述，则2
()r ψ
（已归一）描述了体系的几率分布或称几率密度。

若单粒子处于()()()()1122,exp ,exp c p t ip r c p t ip r ⋅+⋅ 态中，则测量动量的取值仅为1p 或2p
，而不在12p p -
之间取值。

对于由大量粒子组成的体系，好像一部分电子处于1p 态，另一部分电子处于2p
态。

但你不能指定某一个电子只处于1p 态或只处于2p 态。

即对一个电子而言，它可能处于1p 态（即动量为1p ），也可能处于2p
态（即动量为2p ），即有一定几率处于1p 态，有一定几率处于2p
态。

由这启发建立量子力学最基本原理之一： A 、 态叠加原理：
设体系处于1ψ态下, 测量力学量A 时, 测得值为1a , 若体系处于2ψ态下, 测量力学量A 时, 测得值为2a , 则体系处于1122c c ψψψ=+下, 测量力学量A 时, 测得值只可能为1a 或2a ，并且测得1a 和2a 的几率分别
2
221c ,c ∝。

或表述为:
若1ψ是体系的一个可能态，2ψ也是体系的一个可能态，则1122c c ψψψ=+是体系的可能态， 并称ψ为
1ψ和2ψ态的线性叠加态。

在量子力学中,由于态叠加原理导致在叠加态下测量结果的不确定性. B ．讨论（与经典比较）
（1）、经典认为：(),a r t ψ 本身叠加将产生一个新的态()()()(),,,2,a a a r t r t r t r t ϕψψψ=+=
，这是因为空间各处的强度增大到原来的4倍。

而量子力学认为，根据态叠加原理，这两个态是一样的。

在(),a r t ψ 和()2,a r t ψ
中测量力学量A 都只有一个值a ，而空间的几率分布()2
,a r t ψ
与()2
2,a r t ψ
在空间各点之间的相对几率是一样的。

事实上，从归一化中，我们已看到，量子力学中态函数乘一常数并不改变或产生新的态。

（2）、 经典振动可处处为0，即没有振动。

但量子力学中则没有()0r ψ=
的态，因
()2
3
1r d r ψ∞
-∞
=⎰
或一不为零的常数。

(3) 若1122(,)()()r t c r c r ψψψ=+
，经典认为是一个新的振动态，即以()r ψ
来描述物理量在空间的波动，不能说物理量可能作1()r ψ 波动，或者可能作2()r ψ 波动。

但对量子力学来说，体系可能处于1()r ψ
态，也可能处于2()r ψ 态。

但不会处于其他态3()r ψ
态（312,a a a ≠）。

因测量力学量A 所得的测量值是不会为3a 的。

应该强调指出，有时在处理物理问题时，常常对函数()r ψ 展开，()()n n n
r c r ψϕ=
∑。

对经典物理学来说，这仅是一个数学处理，如傅立叶分解。

这仅表明有各种波相干，但并不能说，振荡发生在某一频率上。

但量子力学中的态叠加原理则赋于这一展开以新的物理含意：测量力学量A ，可能测得值仅为0n c ≠的n a 值，其几率2
n c ∝，即系数n c 不仅仅是展开系数，而是正比于取n a 值的几率振幅。

(4) 它反映了一个非常重要的性质，而这在经典物理学中是很难被接受的。

我们知道一个动量为1p 的自由粒子是以一个平面波1111(,)exp ()p p r t C i p r E t ψ⎡⎤=⋅-⎣⎦
描述，动量为2p
的自由粒子是以平面波()
2222(,)exp p p r t C i p r E t ψ⎡⎤=⋅-⎣⎦ 描述。

如体系（一个自由粒子）可能处
于这两个态，则表明体系所处的态为
()()1
2
1122(,)exp exp p p r t C i p r E t C i p r E t ψ⎡⎤⎡⎤=⋅-+⋅-⎣⎦⎣⎦
，
可是这个态没有确定的动量p （当你预言动量的测量值时）。

但(,)r t ψ
也是描述自由粒子的可能态。

事实上，描述自由粒子状态的最普遍的形式为
()3
(,)()exp p r t C p i p r E t d p ψ⎡⎤=⋅-⎣⎦⎰ 而22p p E m
=
至于究竟处于哪个具体状态，那应由一定的条件来定()C p。

所以，量子力学允许体系处于这样一个态中，在这个态中，某些物理量没有确定值（而从经典物理学看只能有一定值）。

另外，值得注意的是：在态叠加中重要的是系数12,c c （如1ψ，2ψ给定）。

对于1122c c ψψψ=+，这时ψ完全被12,c c 所决定. 12c c ⎛⎫
⎪⎝⎭
完全可替代ψ来描述该态（以后要讨论）. (5) 态叠加原理的直接后果是要求波函数满足的方程，必须是线性齐次方程。

例1.
高斯波包（The Gaussian wave packet ）
一个质量为m 的自由粒子，其()C p 为高斯分布22
2
02()1422(,0)()x p p x C P e
σσπ--=
，
求相应的粒子波包(,0)x ψ。

解：由付立叶变换得
()(
22
02
22
202
2
2
02012
()4
212
()244
122
2
41222,0,0()12 ()(2)12 ((2) (
x x x x i p x iP x P P x
x x
i x x P P iP x x x iP x x C p e e
dP e e
σσσ
σσσ
ψπσ
ππσ
ππ∞
+∞-
--∞
-∞-
--
-
-
+===
⋅⋅==⎰⎰⎰
2
2
0144
2
1)2x iP x e e σπσ
-⋅ ∴ 高斯分布的付氏变换成另一个高斯分布
22
(,0)(,0)1c p dp x dx ψ==⎰⎰
这是一个0t =，位置在区域[], σσ-（位置几率明显不为0），而动量在区域00, 22p p σσ⎡
⎤
-+
⎢⎥⎣⎦
（动量几率明显不为0区域）。