江苏省南京市、盐城市高三数学第一次模拟考试试题
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南京市、盐城市2015届高三年级第一次模拟考试
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.
1．设集合2,0,Mx，集合0,1N，若NM，则x ▲ .
答案：1
2．若复数aizi（其中i为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数a ▲ .
答案：－1
3．在一次射箭比赛中，某运动员5次射箭的环数依次是9,10,9,7,10，则该组数据的方差是 ▲ .
答案：65
4．甲、乙两位同学下棋，若甲获胜的概率为0.2，甲、乙下和棋的概率为0.5，则乙获胜的概率为
▲ .
答案：0.3
解读：为了体现新的《考试说明》，此题选择了互斥事件，选材于课本中的习题。
5．若双曲线222(0)xyaa的右焦点与抛物线24yx的焦点重合，则a ▲ .
答案：22
6．运行如图所示的程序后，输出的结果为 ▲
.
答案：42
解读：此题的答案容易错为22。
7．若变量,xy满足202300xyxyx，则2xy的最大值为 ▲ .
答案：8
8．若一个圆锥的底面半径为1，侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的体积为 ▲ .
答案：33
9．若函数()sin()(0)6fxx图象的两条相邻的对称轴之间的距离为2，且该函数图象关于点0(,0)x成中心对称，0[0,]2x，则0x ▲ .
答案：512
10．若实数,xy满足0xy，且22loglog1xy，则22xyxy的最小值为 ▲ .
答案：4 i←1
S←0
While i＜8
i←i + 3
S←2´i + S
End While
Print S
第6题图 11．设向量(sin2,cos)a，(cos,1)b，则“//ab”是“1tan2”成立的 ▲ 条件 (选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”) .
答案：必要不充分
12．在平面直角坐标系xOy中，设直线2yx与圆222(0)xyrr交于,AB两点，O为坐标原点，若圆上一点C满足5344OCOAOB，则r ▲ .
答案：10
解读：方法1：（平面向量数量积入手）22225325539244164416OCOAOBOAOAOBOB，即：222225159+cos16816rrrAOBr，整理化简得：3cos5AOB，过点O作AB的垂线交AB于D，则23cos2cos15AOBAOD，得21cos5AOD，又圆心到直线的距离为222OD，所以222212cos5ODAODrr，所以210r，10r.
方法2：（平面向量坐标化入手）设11,Axy，22,Bxy,,Cxy,由5344OCOAOB得125344xxx，125344yyy，
则22222222121211112222535325251525251544441616816168xyxxyyxyxyxyxy
由题意得，222112225251516168rrrxyxy，联立直线2yx与圆222(0)xyrr的方程，由韦达定理可解得：10r.
方法3：（平面向量共线定理入手）由5344OCOAOB得153288OCOAOB，设OC与AB交于点M，则AMB、、三点共线。由AMO与BMO互补结合余弦定理可求得4=5ABr，过点O作AB的垂线交AB于D，根据圆心到直线的距离为222OD，得222225rr，解得210r，10r.
13．已知()fx是定义在[2,2]上的奇函数，当(0,2]x时，()21xfx，函数2()2gxxxm. 如果对于1[2,2]x，2[2,2]x，使得21()()gxfx，则实数m的取值范围是 ▲ .
答案：[5,2]
14．已知数列na满足11a，21aa，*1||2()nnnaanN，若数列21na单调递减，数列2na单调递增，则数列na的通项公式为na ▲ . 答案：(2)13n（ 说明：本答案也可以写成21,321,3nnnn为奇数为偶数）
二、解答题：
15．在平面直角坐标系xOy中，设锐角的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点11(,)Pxy，将射线OP绕坐标原点O按逆时针方向旋转2后与单位圆交于点22(,)Qxy.
记12()fyy.
（1）求函数()f的值域；
（2）设ABC的角,,ABC所对的边分别为,,abc，
若()2fC，且2a，1c，求b.
解：（1）由题意，得12sin,sin()cos2yy， ………4分
所以()sincos2sin()4f， ………………6分
因为(0,)2，所以3(,)444，故()(1,2]f. ………………8分
（2）因为()2sin()24fCC，又(0,)2C，所以4C， ………………10分
在ABC中，由余弦定理得2222coscababC，即2212222bb，
解得1b. ………………14分
（说明：第（2）小题用正弦定理处理的，类似给分）
16．(本小题满分14分)
如图，在正方体1111ABCDABCD中，,OE分别为1,BDAB的中点.
（1）求证：//OE平面11BCCB；
（2）求证：平面1BDC平面1BDE.
证明（1）：连接1BC，设11BCBCF，连接OF， ………2分
因为O，F分别是1BD与1BC的中点，所以//OFDC，且12OFDC，
又E为AB中点，所以//EBDC，且12EBDC，
从而//,OFEBOFEB，即四边形OEBF是平行四边形， B A C D B1 A1 C1 D1
E F O x y
P Q
O α
第15题图
B A C D B1 A1 C1 D1
E
第16题图 O x y
O l
A B
F
P
第17题图 · 所以//OEBF， ……………6分
又OE面11BCCB，BF面11BCCB，
所以//OE面11BCCB. ……………8分
（2）因为DC面11BCCB，1BC面11BCCB，
所以1BCDC， ………… 10分
又11BCBC，且1,DCBC面1BDC，1DCBCC，
所以1BC面1BDC，…………12分
而1//BCOE，所以OE面1BDC，又OE面1BDE，
所以面1BDC面1BDE. ………14分
17．在平面直角坐标系xOy中，椭圆2222:1(0)xyCabab的右
准线方程为4x，右顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，斜率为2
的直线l经过点A，且点F到直线l的距离为255.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）将直线l绕点A旋转，它与椭圆C相交于另一点P，当,,BFP
三点共线时，试确定直线l的斜率.
解：（1）由题意知，直线l的方程为2()yxa，即220xya， ……………2分
右焦点F到直线l的距离为222555ca，1ac， ……………4分
又椭圆C的右准线为4x，即24ac，所以24ac，将此代入上式解得2,1ac，23b，
椭圆C的方程为22143xy； ……………6分
（2）由（1）知(0,3)B，(1,0)F， 直线BF的方程为3(1)yx， ……………8分
联立方程组223(1)143yxxy，解得85335xy或03xy（舍），即833(,)55P， …………12分
直线l的斜率330()3358225k. ……………14分
其他方法： B A C D B1 A1 C1 D1
E
第16题图 方法二: 由（1）知(0,3)B，(1,0)F， 直线BF的方程为3(1)yx，由题(2,0)A，显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为(2)ykx，联立方程组3(1)(2)yxykx，解得23333kxkkyk，代入椭圆解得：332k或32k，又由题意知，303kyk得0k或3k，所以332k.
方法三：由题(2,0)A，显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为(2)ykx，联立方程组22(2)143ykxxy，得2222431616120kxkxk，221643APkxxk，
所以2222168624343Pkkxkk,21243Pkyk，当,,BFP三点共线时有，BPBFkk，
即22212334386143kkkk，解得332k或32k，又由题意知，303kyk得0k或3k，所以332k.
18．某地拟模仿图甲建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓线如图乙所示：曲线AB是以点E为圆心的圆的一部分，其中(0,)Et（025t，单位：米）；曲线BC是抛物线250(0)yaxa的一部分；CDAD，且CD恰好等于圆E的半径. 假定拟建体育馆的高50OB米.
（1）若要求30CD米，AD245米，求t与a的值；
（2）若要求体育馆侧面的最大宽度DF不超过75米，求a的取值范围；
（3）若125a，求AD的最大值.
（参考公式：若()fxax，则1()2fxax）
解：（1）因为50CDt，解得20t. …………… 2分
此时圆222:(20)30Exy，令0y，得105AO，
所以245105145ODADAO，将点(145,30)C代入250(0)yaxa中，
解得149a. ………第18题-甲 x y
