江苏省南京市、盐城市高三数学第二次模拟考试试题苏教版
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南京市2014届高三年级第二次模拟考试
数 学 2014.03
注意事项：
1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．
2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题．．纸．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．
参考公式：
柱体的体积公式：V＝Sh，其中S为柱体的底面积，h为柱体的高．
圆柱的侧面积公式：S侧＝2πRh，其中R为圆柱的底面半径，h为圆柱的高．
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）
1．函数f(x)＝lnx＋1－x的定义域为 ▲ ．
2．已知复数z1＝－2＋i，z2＝a＋2i(i为虚数单位，a∈R)．若z1z2为实数，则a的值为 ▲ ．
3．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1000名学生的成绩，并根据这1000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图)，则成绩在[300，350)内的学生人数共有 ▲ ．
4．盒中有3张分别标有1，2，3的卡片．从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为 ▲ ．
5．已知等差数列{an}的公差d不为0，且a1，a3，a7成等比数列，则a1d的值为 ▲ ．
6．执行如图所示的流程图，则输出的k的值为 ▲ ．
7．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的图象如下图所示，则f(π3)150 200 250 300 350 400 450 0.005 a
0.001 0.004 0.003
O 成绩/分
频率组距
(第3题图)
k←1 开始
输出k
结束 S＞6 S←1
Y N S←S＋(k－1)2 k←k＋1
(第6题图)
y
2 的值为 ▲ ．
8．在平面直角坐标系xOy中，双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线与抛物线y2＝4x的准线相交于A，B两点．若△AOB的面积为2，则双曲线的离心率为 ▲ ．
9．表面积为12π的圆柱，当其体积最大时，该圆柱的底面半径与高的比为 ▲ ．
10．已知|OA→|＝1，|OB→|＝2，∠AOB＝2π3，OC→＝12OA→＋14OB→，则OA→与OC→的夹角大小为 ▲ ．
11．在平面直角坐标系xOy中，过点P(5，3)作直线l与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，若OA⊥OB，则直线l的斜率为 ▲ ．
12．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝x2，当x＞1时，f(x＋1)＝f(x)＋f(1)，且．
若直线y＝kx与函数y＝f(x)的图象恰有5个不同的公共点，则实数k的值为 ▲ ．
13．在△ABC中，点D在边BC上，且DC＝2BD，AB∶AD∶AC＝3∶k∶1，则实数k的取值范围为 ▲ ．
14．设函数f(x)＝ax＋sinx＋cosx．若函数f(x)的图象上存在不同的两点A，B，使得曲线y＝f(x)在点A，B处的切线互相垂直，则实数a的取值范围为 ▲ ．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.
1．(0，1] 2．4 3．300 4．59 5．2 6．4 7．1
8．5 9．12 10．60° 11．1或723 12．22－2 13．(53，73) 14．[－1，1]
二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）
15．(本小题满分14分)
如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥PB，
BP＝BC，E为PC的中点．
（1）求证：AP∥平面BDE；
（2）求证：BE⊥平面PAC．
15．证：（1）设AC∩BD＝O，连结OE．
因为ABCD为矩形，所以O是AC的中点．
因为E是PC中点，所以OE∥AP． …………………………………………4分
因为AP/平面BDE，OE平面BDE，
所以AP∥平面BDE． …………………………………………6分
（2）因为平面PAB⊥平面ABCD，BC⊥AB，平面PAB∩平面ABCD＝AB，
所以BC⊥平面PAB． ………………………………………8分
因为AP平面PAB，所以BC⊥PA．
因为PB⊥PA，BC∩PB＝B，BC，PB平面PBC，
所以PA⊥平面PBC． …………………………………………12分
因为BE平面PBC，所以PA⊥BE．
因为BP＝PC，且E为PC中点，所以BE⊥PC．
因为PA∩PC＝P，PA，PC平面PAC，
所以BE⊥平面PAC． …………………………………………14分
16．(本小题满分14分)
在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点是坐标原点，始边为x轴的正半轴，终边与单位圆O交 P
B C D E
A
(第15题图) 于点A(x1 ，y1 )，α∈(π4，π2)．将角α终边绕原点按逆时针方向旋转π4，交单位圆于点B(x2，y2)．
（1）若x1＝35，求x2；
（2）过A，B作x轴的垂线，垂足分别为C，D，记△AOC及
△BOD的面积分别为S1，S2，且S1＝43S2，求tanα的值．
16．解：（1）解法一：因为x1＝35，y1＞0，所以y1＝1－x21＝45．
所以sinα＝45，cosα＝35．
………………………2分
所以x2＝cos(α＋π4)＝cosαcosπ4－sinαsinπ4＝－210． …………………………………6分
解法二：因为x1＝35，y1＞0，所以y1＝1－x21＝45．A(35，45)，则OA→＝(35，45)，…………2分
OB→＝(x2，y2)， 因为OA→·OB→＝|OA→||OB→|cos∠AOB，所以35x2＋45y2＝2
2 ……4分
又x22＋y22＝1，联立消去y2得50 x22－302x2－7＝0
解得x2＝－2
10或7210，又x2＜0，所以x2＝－2
10． ………………………6分
解法三：因为x1＝35，y1＞0，所以y1＝1－x21＝45． 因此A(35，45)，所以tanα＝43．………2分
所以tan(α＋π4)＝1＋tanα1－tanα＝－7，所以直线OB的方程为y＝－7x ……………4分
由y＝－7x，x2＋y2＝1．得x＝±2
10，又x2＜0，所以x2＝－2
10． …………………6分
（2）S1＝12sinαcosα＝－14sin2α． …………………………………………8分
因为α∈(π4，π2)，所以α＋π4∈(π2，3π4)．
所以S2＝－12sin(α＋π4)cos(α＋π4)＝－14sin(2α＋π2)＝－14cos2α．……………………………10分
因为S1＝43S2，所以sin2α＝－43cos2α，即tan2α＝－43． …………………………………12分
所以2tanα1－tan2α＝－43，解得tanα＝2或tanα＝－12． 因为α∈(π4，π2)，所以tanα＝2．………14分
17．(本小题满分14分) A B
D O C x y
(第16题图) 如图，经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M、N (异于村庄A)，要求PM＝PN＝MN＝2(单位：千米)．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)．
解法一：设∠AMN＝θ，在△AMN中，MNsin60°＝AMsin(120°－θ)．
因为MN＝2，所以AM＝433sin(120°－θ) ． ………………………………………2分
在△APM中，cos∠AMP＝cos(60°＋θ)． …………………………………………6分
AP2＝AM2＋MP2－2 AM·MP·cos∠AMP
＝163sin2(120°－θ)＋4－2×2×433 sin(120°－θ) cos(60°＋θ) ………………………………8分
＝163sin2(θ＋60°)－1633 sin(θ＋60°) cos(θ＋60°)＋4
＝83[1－cos (2θ＋120°)]－833 sin(2θ＋120°)＋4
＝－83[3sin(2θ＋120°)＋cos (2θ＋120°)]＋203
＝203－163sin(2θ＋150°)，θ∈(0，120°)． …………………………………………12分
当且仅当2θ＋150°＝270°，即θ＝60°时，AP2取得最大值12，即AP取得最大值2 3．
答：设计∠AMN为60时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．……………………………………14分
解法二(构造直角三角形)：
设∠PMD＝θ，在△PMD中，
∵PM＝2，∴PD＝2sinθ，MD＝2cosθ． ……………2分
在△AMN中，∠ANM＝∠PMD＝θ，∴MNsin60°＝AMsinθ，
AM＝433sinθ，∴AD＝433sinθ＋2cosθ，(θ≥π2时，结论也正确)．……………6分 A P
M N
B C
第17题图 D A P
M N
B C
(第17题图)
