2018-2019学年福建省福州市高三(上)期末数学试卷(文科)(解析版)

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2018-2019学年福建省福州市高三（上）期末数学试卷（文科）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1．（5分）集合A＝{x∈N||x|≤2}，B＝{x|x2﹣2＜0}，则A∩B＝（ ）

A． B．{0，1} C．{0，1，2}

D．

2．（5分）复数z＝1﹣2i

，则＝（ ）

A．2i B．﹣2 C．﹣2i D．2

3．（5分）随机抽取某中学甲班9名同学、乙班10名同学，获得期中考试数学成绩的茎叶

图如图：估计该中学甲、乙两班数学成绩的中位数分别是（ ）

A．75，84 B．76，83 C．76，84 D．75，83

4．（5分）如图，为一圆柱切削后的几何体及其正视图，则相应的侧视图可以是（ ）

A

． B

． C

． D

．

5．（5分）已知cos2α+3cosα＝1，则cosα＝（ ）

A

． B

． C

． D

．

6．（5分）已知点（0，3）到双曲线C

：＝1（a＞0，b＞0）的渐近线的距离为2，

则C的离心率是（ ）

A

． B

． C

． D

．

7．（5分）等比数列{a

n}的前n项和为S

n，若S

2＝2，S

3＝﹣6，则S

5＝（ ）

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A．18 B．10 C．﹣14 D．﹣22

8．（5分）函数f（x）＝2x2﹣ln|x|的部分图象大致为（ ）

A

． B

．

C

． D

．

9．（5分）已知函数f（x）＝sin2x+2sin2x﹣1在[0，m]单调递增，则m的最大值是（ ）

A

． B

． C

． D．π

10．（5分）如图，已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F且斜率为1的直线依次交抛物线

及圆（x﹣1）2+y2

＝于点A，B、C、D四点，则|AB|+|CD|的值是（ ）

A．6 B．7 C．8 D．9

11．（5分）在边长为1的正方形ABCD中，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，

若＝

λ

+，则λ+μ的最大值是（ ）

A．3 B．2 C．2 D．4

12．（5分）已知函数f（x）＝|x3﹣3x﹣2a|+a（a∈R），对于任意x

1，x

2∈[0，2]，|f（x

1）﹣f

（x

2）|≤3恒成立，则a的取值范围是（ ）

A．

[

，] B．[﹣1，1] C．[0

，] D．[0，1]

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

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13．（5分）已知向量，

，若，则m＝

14．（5分）若实数x，y

满足约束条件，则3x+y的最大值是 ．

15．（5分）已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30°，

若△SAB的面积为8，则该圆锥外接球的表面积是 ．

16．（5分）在△ABC中，已知AC＝6，BC＝8，cos（A﹣B）

＝，则sin（B﹣C）＝ ．

三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．（12分）已知等差数列{a

n}的前n项为S

n，且S

5＝15，a

2+a

3＝5．

（Ⅰ）求数列{a

n}的通项公式；

（Ⅱ）求数列的前n项和T

n．

18．（12分）如图，在平行四边形ABCM中，D为CM的中点，以AD为折痕将△ADM折

起，使点M到达点P的位置，且平面ABCD⊥平面PAD，E是PB中点，AB＝2BC．

（Ⅰ）求证：CE∥平面PAD；

（Ⅱ）若AD＝2，AB＝4，求三棱锥A﹣PCD的高．

19．（12分）已知椭圆E

：＝1（a＞b＞0

）的离心率为

，点在E上．

（Ⅰ）求E的方程；

（Ⅱ）设直线l：y＝kx+2与E交于A，B

两点，若＝2，求k的值．

20．（12分）随着我国中医学的发展，药用昆虫的使用相应愈来愈多．每年春暖以后至寒冬

前，是昆虫大量活动与繁殖季节，易于采集各种药用昆虫．已知一只药用昆虫的产卵数y

与一定范围内的温度x有关，于是科研人员在3月份的31天中随机挑选了5天进行研究，

现收集了该种药用昆虫的5组观测数据如表：

日期 2日 7日 15日 22日 30日

温度x/℃ 10 11 13 12 8

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产卵数y/个 23 25 30 26 16

（Ⅰ）从这5天中任选2天，记这两天药用昆虫的产卵分别为m，n，求事件“m，n均

不小于25”的概率；

（Ⅱ）科研人员确定的研究方案是：先从这五组数据中任选2组，用剩下的3组数据建

立y关于x的线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．

（ⅰ）若选取的是3月2日与30日的两组数据，请根据3月7日、15日和22日这三天

的数据，求出y关于x的线性回归方程；

（ⅱ）若由线性回归方程得到的估计数据与选出的检验数据的误差均不超过2个，则认

为得到的线性回归方程是可靠的，试问（ⅰ）中所得的线性回归方程是否可靠？

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝，＝

﹣•．

21．（12分）已知函数f（x）＝（x﹣1）e1﹣x．

（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

（Ⅱ）函数f（x）与函数y＝x2﹣4x+m（m∈R）的图象总有两个交点，设这两个交点的

横坐标分别为x

1，x

2．

（ⅰ）求m的取值范围；

（ⅱ）求证：x

1+x

2＞4．

请考生在第（22）、（23）二题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按

所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-4：

坐标系与参数方程]

22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，

α为l的倾斜角），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线E的极坐

标方程为ρ＝4sinθ，三条直线θ＝（ρ∈R），θ＝（ρ∈R），θ＝（ρ∈R）与曲线

E分别交于不同于极点的三点A，B，C．

（Ⅰ）求证：|OA|+|OC|＝|OB|；

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（Ⅱ）直线l过A，B两点，求y

0与α的值．

[选修4-5：不等式选讲]

23．已知函数f（x）＝|2x+a|+3a，a∈R．

（Ⅰ）若对于任意x∈R，总有f（x）＝f（4﹣x）成立，求a的值；

（Ⅱ）若存在x∈R，使得f（x）≤﹣|2x﹣1|+a成立，求a的取值范围．

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2018-2019学年福建省福州市高三（上）期末数学试卷（文

科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1．【解答】解：集合A＝{x∈N||x|≤2}＝{x∈N|﹣2≤x≤2}＝{0，1，2}，

B＝{x|x2﹣2＜0}＝{x|﹣＜x＜}，

则A∩B＝{0，1}．

故选：B．

2．【解答】解：复数z＝1﹣2i，

则

＝

＝

＝＝2．

故选：D．

3．【解答】解：根据茎叶图知，甲班9名同学的成绩从小到大依次为：

52，66，72，74，76，76，78，82，96，

中位数是76；

乙班10名同学的成绩从小到大依次为：

62，74，74，78，82，84，85，86，88，92，

中位数是×（82+84）＝83．

故选：B．

4．【解答】解：圆柱被不平行于底面的平面所截，得到的截面为椭圆，

结合正视图，可知侧视图最高点在中间，

故选：C．

5．【解答】解：∵cos2α+3cosα＝1，

∴2cos2α+3cosα﹣2＝0，

则cosα

＝或cosα＝﹣2（舍），

故选：C．

6．【解答】解：双曲线C

：＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线设为y

＝x，即为bx

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﹣ay＝0，

可得点P（0，3

）到渐近线的距离为＝2，

即有3a＝2c，

可得e

＝

＝．

故选：A．

7．【解答】解：根据题意得，q≠1

∴a+a

2＝2 ①

a

3＝﹣8 ②

又a

1（1+q）＝2，a

1q2＝﹣8

∴q2＝﹣4﹣4q

解得q＝﹣2，a

1＝﹣2

∴S

5＝﹣22

故选：D．

8．【解答】解：函数f（x）＝2x2﹣ln|x|为偶函数，则其图象关于y轴对称，排除B；

当x＞0时，f（x）＝2x2﹣lnx，f′（x）＝4x

﹣．

当x∈（0

，）时，f′（x）＜0，当x∈

（，+∞）时，f′（x）＞0．

∴f（x）在（0

，

）上为减函数，在（，+∞）上为增函数，

∴f（x）有极小值f

（

）＝＞0．

结合选项可得，函数f（x）＝2x2﹣ln|x|的部分图象大致为A．

故选：A．

9．【解答】解：f（x）＝sin2x+2sin2x﹣1＝sin2x﹣cos2x

＝．

由，

得，k∈Z．

取k＝0，可得f（x）的一个增区间为

[]．

∵函数f（x）＝sin2x+2sin2x﹣1在[0，m]单调递增，