2020-2021学年福建省福州市八县(市)一中高三(上)期中数学试卷 (解析版)

2020-2021学年福建省福州市八县（市）一中高三（上）期中数学试卷

一、选择题（共8小题）.

1．已知集合A＝{x∈Z|x2﹣5x﹣6≤0}，B＝{x|2＜2x＜128}，则A∩B＝（ ）

A．{x|1＜x≤6} B．{2，3，4，5，6}

C．{x|1≤x≤6} D．{﹣1，0，1，2，3，4，5，6}

2．已知p：“函数y＝x2+2ax+1在（1，+∞）上是增函数”，q：“a＞﹣2”，则p是q的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

3．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且函数f（x）在[0，+∞）上是减函数，如果f（3）＝﹣1，则不等式f（x﹣1）+1≥0的解集为（ ）

A．（﹣∞，2] B．[2，+∞） C．[﹣2，4] D．[1，4]

4．如图是一个正方体的展开图，则在该正方体中（

）

A．直线AB与直线CD平行

B．直线AB与直线CD相交

C．直线AB与直线CD异面垂直

D．直线AB与直线CD异面且所成的角为60°

5．记Sn为正项等比数列{an}的前n项和，若S2＝1，S4＝5，则S7＝（ ）

A．S7＝10 B． C． D．

6．已知m＞0，n＞0，m+4n＝2，则的最小值为（ ）

A．36 B．16 C．8 D．4 7．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，），其图象相邻两条对称轴之间的距离为，将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位后，得到的图象关于原点对称，那么函数y＝f（x）的图象（ ）

A．关于点对称 B．关于点对称

C．关于直线对称 D．关于直线对称

8．已知可导函数f（x）的定义域为（﹣∞，0），其导函数f′（x）满足xf'（x）﹣2f（x）＞0，则不等式f（2020+x）﹣（x+2020）2f（﹣1）＜0的解集为（ ）

A．（﹣∞，﹣2021） B．（﹣2021，﹣2020）

C．（﹣2021，0） D．（﹣2020，0）

二、选择题（共4小题）.

9．已知复数z满足z（2﹣i）＝i（i为虚数单位），复数z的共轭复数为，则（ ）

A．

B．＝﹣

C．复数z的实部为﹣1

D．复数z对应复平面上的点在第二象限

10．已知A（2，4），B（4，1），C（9，5），D（7，8），如下四个结论正确的是（ ）

A．

B．四边形ABCD为平行四边形

C．与夹角的余弦值为

D．

11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，acosB+bsinA＝c，则下列结论正确的是（ ）

A．tanC＝2 B．

C． D．△ABC的面积为6

12．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝BB1，D是AC的中点，O为A1C的中点．点P是BC1上的动点，则下列说法正确的是（ ）

A．当点P运动到BC1中点时，直线A1P与平面A1B1C1所成的角的正切值为

B．无论点P在BC1上怎么运动，都有A1P⊥OB1

C．当点P运动到BC1中点时，才有A1P与OB1相交于一点，记为Q，且

D．无论点P在BC1上怎么运动，直线A1P与AB所成角都不可能是30°

三、填空题（共4小题）.

13．若cos（﹣θ）＝，则sin2θ＝

．

14．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2﹣3n﹣1，则an＝ ．

15．在三棱锥P﹣ABC中，平面PAB垂直平面ABC，，∠BAC＝120°，则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为 ．

16．函数f（x）满足f（1+x）＝f（1﹣x），当x＞1时，，若f2（x）﹣2mf（x）+4m＝0有8个不同的实数解，则实数m的取值范围是 ．

四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

17．（10分）设数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝3an﹣3．

（1）求{an}的通项公式；

（2）若bn＝，求数列{bn}的前n项和．

18．（12分）在①，②，

③（2a﹣b）sinA+（2b﹣a）sinB＝2csinC这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答．

已知△ABC的角A，B，C对边分别为a，b，c，，而且_____．

（1）求∠C；

（2）求△ABC周长的范围．

19．（12分）已知如图①，在菱形ABCD中，∠A＝60°且AB＝2，E为AD的中点，将△ABE沿BE折起使，得到如图②所示的四棱锥A﹣BCDE．

（1）求证：平面ABE⊥平面ABC；

（2）若P为AC的中点，求二面角P﹣BD﹣A的余弦值．

20．（12分）如图，有一生态农庄的平面图是一个半圆形，其中直径长为2km，C、D两点在半圆弧上满足AD＝BC，设∠COB＝θ，现要在此农庄铺设一条观光通道，观光通道由AB，BC，CD和DA组成．

（1）若，求观光通道l的长度；

（2）用θ表示观光通道的长l，并求观光通道l的最大值；

21．（12分）已知函数f（x）＝x•eax的极值为．

（1）求a的值并求函数f（x）在x＝1处的切线方程；

（2）已知函数，存在x∈（0，+∞），使得g（x）≤0成立，求m得最大值．

22．（12分）已知函数．

（1）当时，讨论函数y＝f（x）的单调性；

（2）若不等式f（x）≥1在x∈[0，+∞）时恒成立，求实数a的取值范围；

（3）证明：．

参考答案

一、选择题（每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知集合A＝{x∈Z|x2﹣5x﹣6≤0}，B＝{x|2＜2x＜128}，则A∩B＝（ ）

A．{x|1＜x≤6} B．{2，3，4，5，6}

C．{x|1≤x≤6} D．{﹣1，0，1，2，3，4，5，6}

【分析】求出集合A与集合B，由此能求出A∩B．

解：∵集合A＝{x∈Z|x2﹣5x﹣6≤0}＝{x∈Z|﹣1≤x≤6}＝{﹣1，0，1，2，3，4，5，6}，

B＝{x|2＜2x＜128}＝{x|1＜x＜7}，

∴A∩B＝{2，3，4，5，6}．

故选：B．

2．已知p：“函数y＝x2+2ax+1在（1，+∞）上是增函数”，q：“a＞﹣2”，则p是q的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【分析】p：“函数y＝x2+2ax+1＝（x+a）2+1﹣a2在（1，+∞）上是增函数”，可得﹣a≤1，解得a范围，根据充分必要条件的定义，即可判断出结论．

解：p：“函数y＝x2+2ax+1＝（x+a）2+1﹣a2在（1，+∞）上是增函数”，

∴﹣a≤1，解得a≥﹣1．

q：“a＞﹣2”，

∵{a|a＞﹣1}⫋{a|a≥﹣2}．

∴p⇒q，q推不出p，

则p是q的充分不必要条件．

故选：A．

3．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且函数f（x）在[0，+∞）上是减函数，如果f（3）＝﹣1，则不等式f（x﹣1）+1≥0的解集为（ ）

A．（﹣∞，2] B．[2，+∞） C．[﹣2，4] D．[1，4]

【分析】根据题意可得f（x）在[0，+∞）上为减函数，进而分析可得f（x﹣1）+1≥0⇒f（x﹣1）≥﹣1⇒f（x﹣1）≥f（3）⇒f（|x﹣1|）≥f（3）⇒|x﹣1|≤3，解可得x的取值范围，即可得答案．

解：函数f（x）是定义在R上的偶函数，且函数f（x）在[0，+∞）上是减函数，

所以f（x）在（﹣∞，0）上是增函数，

由f（3）＝﹣1，则不等式f（x﹣1）+1≥0⇒f（x﹣1）≥﹣1⇒f（x﹣1）≥f（3）⇒f（|x﹣1|）≥f（3）⇒|x﹣1|≤3，

解之可得﹣2≤x≤4，

故不等式的解集为[﹣2，4]．

故选：C．

4．如图是一个正方体的展开图，则在该正方体中（

）

A．直线AB与直线CD平行

B．直线AB与直线CD相交

C．直线AB与直线CD异面垂直

D．直线AB与直线CD异面且所成的角为60°

【分析】先把正方体折成一个正方体，再判断各个选项是否正确即可．

解：把下图红框的正方形当作底面把这个正方体折起来，

折起来之后如图所示，

易得AB与CD异面，故AB错误；

因为AE∥CD，

所以直线AB与直线CD所成的角即为∠BAE＝60°，

所以D正确，C错误，

故选：D．

5．记Sn为正项等比数列{an}的前n项和，若S2＝1，S4＝5，则S7＝（ ）

A．S7＝10 B． C． D．

【分析】利用等比数列前n项和公式列出方程组，求出首项和公比，由此能求出这个数列的前7项和．

解：∵Sn为正项等比数列{an}的前n项和，S2＝1，S4＝5，

∴，解得a1＝，q＝2，

∴S7＝＝．

故选：D．

6．已知m＞0，n＞0，m+4n＝2，则的最小值为（ ） A．36 B．16 C．8 D．4

【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．

【解答】解；m＞0，n＞0，m+4n＝2，

则＝（）（m+4n）×＝（8+）＝（8+8）＝8，

当且仅当且m+4n＝2即n＝，m＝1时取等号，

故选：C．

7．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，），其图象相邻两条对称轴之间的距离为，将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位后，得到的图象关于原点对称，那么函数y＝f（x）的图象（ ）

A．关于点对称 B．关于点对称

C．关于直线对称 D．关于直线对称

【分析】由题意利用正弦函数的周期性求得ω，再利用正弦函数图象的对称性，函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．

解：∵函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，），

其图象相邻两条对称轴之间的距离为•＝，

∴ω＝4，f（x）＝sin（4x+φ）．

将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位后，

可得y＝sin（4x++φ）的图象．

若得到的图象关于原点对称，则 +φ＝π，即φ＝，

那么函数y＝f（x）＝sin（4x+）．

令4x+＝kπ，求得x＝﹣，k∈Z，故f（x）的图象关于点（﹣，0）对称，故A对B不对．

令4x+＝kπ+，求得x＝+，k∈Z，故f（x）的图象关于直线x＝+，k∈Z 对称，故CD都不对，