随机过程第一章习题解答
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第一章习题解答
1． 设随机变量X服从几何分布，即：(),0,1,2,kPXkpqk。求X的特征函数，EX及DX。其中01,1pqp是已知参数。
解
0()()jtxjtkkXkftEeepq
0()kjtkkpqe
=0()1jtkjtkppqeqe
又200()kkkkqqEXkpqpkqppp
222()()[()]qDXEXEXP
（其中
000(1)nnnnnnnxnxx）
令
0()(1)nnSxnx
则 10000()(1)1xxnnknxStdtntdtxx
202201()()(1)11(1)1(1)xnndSxStdtdxxxnxxxx
同理 20000(1)2kkkkkkkkkxkxkxx
令20()(1)kkSxkx 则
210010()(1)(1)xkkkkkkStdtktdtkxkx）
2、（1） 求参数为(,)pb的分布的特征函数，其概率密度函数为
1,0()0,0()0,0ppbxbxexpxbppx
（2） 其期望和方差；
（3） 证明对具有相同的参数的b的分布，关于参数p具有可加性。
解 （1）设X服从(,)pb分布，则
10()()pjtxpbxXbftexedxp
1()0()ppjtbxbxedxp
101()()()()(1)pupppppbeubujtbxdujtpbjtbjtb
10(())xppexdx
（2）'1()(0)XpEXfjb
2''221(1)()(0)XppEXfjb
222()()()PDXEXEXb
（4） 若(,)iiXpb 1,2i 则 121212()()()()(1)PPXXXXjtftftftb
1212(,)YXXPPb
同理可得：()()iiPXbftbjt
3、设ln(),()(kZFXEZk并求是常数）。X是一随机变量，()Fx是其分布函数，且是严格单调的，求以下随机变量的特征函数。
（1）(),(0,)YaFXbab是常数；
（2）ln(),()(kZFXEZk并求是常数）。
解 （1）11{()}{()}[()]PFxyPxFyFFyy
（01y） 00()0111yFyyyy
()Fx在区间[0，1]上服从均匀分布
()Fx的特征函数为11001()(1)jtxjtxjtXeftedxejtjt
1()()(1)jbtjbtjtaYXftefateejat
（2）ln()()()[]jtzjtFxZftEeEe
=1ln01jtyedy
=1011jtydyjt
'2()(1)(1)Zftjjt ''23()(1)(2)(1)Zftjjt
()(1)()(1)!(1)kkkkZftkjjt
()1()(0)(1)!kkkZkEZfkj
4、设12nXXX，，相互独立，且有相同的几何分布，试求1nkkX的分布。
解 11()()nkknkkjtxXftEe
=1()knjtxkEe
=11njtkpqe
=(1)njtnpqe
=0()knkjtknkCpqe
1{}()nknkknkPxnkCpq
5、 试证函数(1)()(1)jtjtjteeftne为一特征函数，并求它所对应的随机变量
的分布。
证 （1）000(1)1(1)lim()limlim1(1)1jtjntjtjtjtjtttteeeeftnene
0000(1)1(1)lim()limlimlim1(1)1jtjntjtjtjtjttttteeeftenene (0)1f
0lim()1tft ()ft为连续函数
1111{1()}()(1)iikkikjtjtnnnnnjtjtikikikjtikikjteeeefttene
=11{1()(1)}(1)iiikkkikjtjtjtnnjtjtjtikjtikjteeeeeeene
=()1111[]iknnnjttlikiklen
=1111ikjltnnnikjltiklene
=11111iknnnnjltjltikilkleen
11()0nnikikikftt
非负定
（2）(1)()(1)jtjntjteeftne
=2(1)(1)(1)(1)jtjtjtjtntjjteeeeene
=11njtkken
1{}kPxkn （0,2,kn） 6、证函数21()1ftt为一特征函数，并求它所对应的随机变量的分布。
解 （1）11()nnikikikftt
=22111101()1nnnnikikikikikttM （1,max{}ikijnMtt）
且()ft连续(0)1f ()ft为特征函数
（2）2211111()[]11()211fttjtjtjt
=(1)(1)001[]2jtxjtxedxedx
=12jtxxedx
=12xjtxeedx
1()2xPxe
7、设12nXXX，，相互独立同服从正态分布2(,)N，试求n 维随机向量12(,,)nXXX的分布，并求出其均值向量和协方差矩阵，再求X11niiXn的率密度函数。
解 121(,,)()innxiiPxxxPx
2122()1exp{}2(2)niinnxa
又 iX的特征函数为：2212()exp{}iXftjatt
12221,12211(,)()exp{()}nnnXXXniiiiiftttftjatt
均值向量为{,,}
协方差矩阵为222(,,)Bdiag
又22121()(,,)()exp{]nttttnnnnnXiftffjatt
8、设X．Y相互独立，且（1）分别具有参数为(,)mp及(,)np分布；（2）分别服从参数为12(,),(,)pbpb的分布。求X+Y的分布。
解（1）0()knjtxjtxxxnxXknkxftePeCpq
=0()nitxxnxnxpeCq
=0()npnjtxxnqxqeC
=(1)pnjtnqqe
=()jtnqpe
则 12,1,2()()()jtjtmnXYfttpeqpeq
()()()()jtmnXYXYftftftpeq
(,)XYbmnp
（2） 112()12()(1)()(1)(,)pXppXYjtftbjtftbXYppb
9、已知随机向量（X、Y）的概率密度函数为
2214[1()],1,1(,)0,xyxyxypxy其他
求其特征函数。
解 12()12(,){}jtxtyfttEe
＝1211()331411(1)jxtyexyxydy
＝11133122210[cos()sin]jtxedxtyjxyxytydy
＝12121sinsintttt
10、已知四维随机向量1234(,,,)XXXX服从正态分布，均值向量为0，协方差矩阵为44,()klBE1234求（XXXX）。
解
14441414014(,)(,)()[](,)ttfttEXXjtt
又'1142(,)exp[]ftttBt
＝441211exp{}klklkltt
其中111213212223243132333441424344B cov(,)klklXX (,1,2,3,4)kl
12341324E1234（XXXX）=
11、设123XXX，和相互独立，且都服从N（0，1），试求随机变量112212YXXYXX和组成的随机向量12（Y，Y）的特征函数。
解 12,33,1231(,,)exp{}XXXkkkftttjtx
＝3321211exp{}kkjtxkkket
＝123,,1234(,,)XXXfuuuu
＝222112122exp{[(())]}uuuu
12、设123XXX，和相互独立，都服正态分布2N（0，），试求：
（1） 随机向量123（X，X，X）的特征函数。
（2） 设112123123,,,SXSXXSXXX，求随机向量123(,,)SSS的特征函数。
（3） 121232YXXYXX和组成的随机向量12（Y，Y）的特征函数。
解（１）12322,,121(,,)2XXXfttt
（２）12,3,123112233(,,){exp[()]}SSSftttEjtststs
