当前位置：文档之家 › 随机过程习题

随机过程习题

  • 格式：doc
  • 大小：343.50 KB
  • 文档页数：22

习题一

1. 某战士有两支枪，射击某目标时命中率分别为0.9及0.5，若随机地用一支枪，射击一发子弹后发现命中目标，问此枪是哪一支的概率分别为多大？

2. 设随机变量X的概率密度为

f（x）＝00012xxxA

求：（1）常数A; (2)分布函数F（x）；（3）随机变量Y＝lnX的分布函数及概率分布。

3. 设随机变量（X, Y）的概率密度为

f (x , y) = Asin (x + y ), 0x ,y2

求：(1) 常数A ；（2）数学期望EX，EY； （3） 方差DX ，DY；(4) 协方差及相关系数。

4. 设随机变量X服从指数分布

000)(xxkexfkx 0k

求特征函数)(x,并求数学期望和方差。

5. 设随机变量X与Y相互独立，且分别服从参数为1 和2的泊松分布，试用特征函数求Z = X＋Y 随机变量的概率分布。

6．一名矿工陷进一个三扇门的矿井中。第一扇门通到一个隧道，走两小时后他可到达安全区。第二扇门通到又一隧道，走三个小时会使他回到这矿井中。第三扇门通到另一隧道，走五个小时后，仍会使他回到这矿井中。假定矿井中漆黑一团，这矿工总是等可能地在三扇门中选择一扇，让我们计算矿工到达安全区的时间X的矩母函数。

7． 设 （X， Y） 的分布密度为

（1）

其他，,010,10xy4),(yxyx

（2）

其他，,010,10xy8),(yxyx

问X，Y是否相互独立？

8. 设（X，Y）的联合分布密度为

X Y —1 2

—1

0

1 31 91

0 

 91

问： （1）， 取何值时X，Y不相关；

（2），取何值时相互独立。

习题二

１．设有两个随机变量X、Ｙ相互独立，它们的概率度分别为)(xfX和)(yfY，定义如下随机过程：

YtXtZ)(，Rt

试求)(tZ的均值函数)(tm和相关函数),(21ttR。

２．从t=0开始每隔21秒丢掷一次硬币（均匀的），对每一个丢掷的时刻t，规定随机变量

X(t)=

掷出反面当时刻掷出正面当时刻tttt,2,cos

试求：（1）F（21；x1），F（xt11；）（2）F（21，1；x1，x2）。

３．袋中有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t对应随机变量

时取得白球如果时取得红球如果（tetttXt,,3)

试求这个随机过程的一维分布函数族。

４．设在时间区间t,0内来到某商店的顾客数X(t)是参数λ的泊松过程。nY为第n个顾客来到的时刻，求nY的分布函数。

5. 设通过十字路口的车流可以看做泊松过程，如果1分钟内没有车子通过的概率为0.2，求2分钟内有多于一辆车通过的概率。

6.令)(tN表示t,0时间内（单位：分）顾客到达某商店的人数，设}{tN是泊松过程。根据历史资料统计分析，顾客到达该商店的强度是每小时30人。求两个顾客相继到达的时间间隔短于4分钟的概率。

7.一质点从坐标原点出发在数轴上做随机游动，每隔1秒以概率p向右移动一格（1单位长），或以概率q=1—p向左移动一格，以X（n）表示质点在第n秒至n+1秒之间的位置（坐标），则随机过程

，，，，210n)(nX

由于质点随机游动的独立性，它是一个独立增量过程。求X（n）的概率分布及增量X（t+）—X（t）的概率分布。

8. 求随机过程tXtXsin)(的一维概率密度，其中为常数，X~)1,0(N。

9.设复随机过程Z（t）=nkkA1etik，01t，其中Ak（1nk）是相互独立且服从N (0，2k)的随机变量，k(1)nk是常数，试求复随机过程Z（t）的均值函数与自相关函数。

10.设0t)(，tX为一个独立增量过程，且X（0）=0，证明X(t)是个马氏过程。

11.设随机过程VtXtX0)(，Tt，其中0X，V是相互独立的标准正态分布变量，试证)(tX是一个正态过程。

12.设2)(AtVtStX，0t，其中S、V、A为相互独立的正态分布变量，试证)(tX是一个正态过程。

习题三

1. 一质点在区间[0,4]中的0,1,2,3,4上作随机游动,移动的规则是:在0点以概率1向右移动一个单位,在1,2,3点上各以概率1/3向左,向右移动一个单位或留在原处,试求转移概率矩阵.

2. 一个圆周上共有N格（按顺时针排列），一个质点在该圆周上作随机游动，移动的规则是：质点总是以概率p顺时针游动一格，以概率q=1-p逆时针游动一格。试求移动概率矩阵。

3. 一个质点在全直线的整数点上作随机游动，移动的规则是：以概率p从i移动到i-1，以概率q从i移到i+1，以概率r停留在i，且r+p+q=1，试求转移概率矩阵。

4. 波利亚（polya）罐子模型

波利亚（polya）罐子模型可描述如下：一个罐子装有r格红球，l个黑球，现随机地从罐中取出一个球，记录其颜色，然后将这个球放回罐中，并且再加进a个同颜色的球。持续地进行这一实验过程，设Xn表示第n次试验结束时罐中实有红球的数目：

Xn=i，ir， I={0，1，2，···，}

不论在时刻n时如何转移到i的，系统在时刻n+1时，必转移到状态i+a或i，因此，{ Xn，n0}是马氏链。使求它的一步转移概率，并说明此链不是时间齐次的马氏链。

5. 设袋中有a个球，球为黑色的或白色的，今随机地从袋中取一个球，然后放回一个不同颜色的球。若在袋里有k个白球，则称系统处于状态k，试用马尔可夫链描述这个模型(称为爱伦菲斯特模型)，并求转移概率矩阵。

6．设水库的蓄水情况分为三个状态：空库、半库、蓄满。并分别记为1，2，3。在不同季节水库蓄水状态可能转变，设它为齐次马氏链，其转移矩阵为

2.07.01.04.03.03.01.05.04.01P

初始分布行矩阵为8.01.01.0)0(P，试求)2(P并指出经过两个季节水库蓄满的概率。

7． 一个开关有两个状态：开、关，分别记为1，2。设

2n,21n,1开关处于状态在时刻开关处于状态在时刻nX

又设开关现在开着时，经过单位时间后为开或闭的概率都是1/2；而现在关着时，经过单位时间后，他仍然关着的概率是1/3，开着的概率为2/3。

（1） 试写出马氏链0,nXn的一步转移矩阵；

（2） 设开始时开关处于状态1，求经过二步转移开关仍处于状态1的概率。

8． 设马氏链的状态空间为}3,2,1{I,其进一步转移矩阵为 32310313131021211P

试研究各状态间的关系。

9．设马氏链0,nXn的状态空间2,1,0I,其一步转移矩阵为

32310414121021211P

试研究各状态间的关系，并画出状态传递图。

10．设马氏链0,nXn的状态空间3,2,1,0I,其一步转移矩阵为

1000818141210021210021211P

试研究各状态间的关系，并画出状态传递图。

合集下载

随机过程习题与答案

随机过程习题与答案

西 南 交 通 大 学

本科生考试试卷B

课程名称 随 机 过 程

二零零三年二零零四年第一学期 考试日期

班级 学号 姓名 成绩

一顾客来到服务台要求服务当服务台中的服务员都正在为别的顾客服务时来到的顾客就要排队等待服务顾客的到达是随机的每个顾客所需服务时间也是随机的若令为t时刻的队长)(tX即正在被服务的顾客和等待服务的顾客的总数目Y(t)为t时刻来到的顾客所需等待时间

}),({},),({TttYTttX∈∈是随机过程吗为什么

二试写出随机过程

),( ) sin()(+∞−∞∈Θ+=ttAtXω的任意两个样本函数并画出其图形 1若A是在(上均匀分布的随机变量)1 ,1−−ω在(0, 2π)上服从均匀分布

而Θ为常数 2若A服从上均匀分布)1 ,1(−Θ服从(0, 2π)上均匀分布而ω为常数

三一书亭用邮寄订阅销售杂志订阅的顾客数是强度为6的一个泊松过程每

位顾客订阅1年2年3年的概率分别为0.20.30.5彼此如何订阅是相互独立的每订阅一年店主即获利5元设Y(t)是[0, t)时段内店主从订阅中所获得总收入试求 1)]([tYE即[0, t)时段内总收入的平均收入 2)]([tYD

四在电报信号传输中信号是由不同的电流符号给出CC−,且对于任意的t

电路中电流X(t)具有概率分布

21

21)(

ipCCtX−

因电流的发送有一个任意的持续时间电流变换符号的时间是随机的设X(t)

在[0, t)内变量的次数N(t)为强度λ的泊松过程试讨论{的平稳

性}0),(≥ttX

五若每隔一分钟观察噪声电压以X(n)表示第n分钟观察噪声电压所得结果

则X(n)为一随机变量}1),({≥nnX为一随机过程此过程是马氏过程吗为什么

六一质点在圆周上作随机游动圆周上共有N格质点以概率p顺时针游动一格以概率逆时针移动一格pq−=1试用马氏链描述游动过程并确定状态空间及转移概率矩阵

七设一齐次马氏链的概率转移图如下图}0),({≥nnX且已知其初始分布为

随机过程习题

随机过程习题

随机过程复习

一、回答：

1、什么是宽平稳随机过程？

2、平稳随机过程自相关函数与功率谱的关系？

3、窄带随机过程的相位服从什么分布？包络服从什么分布？

4、什么是白噪声？性质？

二、计算：

1、随机过程tAtXcos)(+tBsin，其中是常数，A、B是相互独立统计的高斯变量，并且E[A]=E[B]=0，E[2A]=E[2B]=2。求：)(tX的数学期望和自相关函数？

2、判断随机过程)cos()(tAtX是否平稳？其中是常数，A、分别为均匀分布和瑞利分布的随机变量，且相互独立。

21)(f 20； 222)(aAeaaf 0a

3、求随机相位正弦函数)cos()(0tAtX的功率谱密度，其中A、0是常数，为[0,2]内均匀分布的随机变量。

4、求用)(tX自相关函数及功率谱表示的)cos()()(0ttXtY的自相关函数及谱密度。其中，为[0,2]内均匀分布的随机变量，)(tX是与相互独立的随机过程。

5、设随机过程}),cos()({0tYtAtX，其中0是常数，A与Y是相互独立的随机变量，Y服从区间)2,0(上的均匀分布，A服从瑞利分布，其概率密度为 000)(2222xxexxfxA

试证明)(tX为宽平稳过程。

解：（1）)}{cos()()}cos({)(00YtEAEYtAEtmX

20002220)cos(22dyytdxexx 与t无关

（2） )()}({cos)()}cos({)}({)(20222022AEYtEAEYtAEtXEtX

dtetdxexAEtx02220223222221)(，

随机过程习题答案

随机过程习题答案

1、 已知X(t)和Y(t)是统计独立的平稳随机过程，且它们的均值分别为mx和my，它们的自相关函数分别为Rx()和Ry()。（1）求Z(t)=X(t)Y(t)的自相关函数；（2）求Z(t)=X(t)+Y(t)的自相关函数。

答案：

（1）)()()()()()()(tytxtytxEtztzERz

)()()()()()()()()(yxzRRtytyEtxtxERtytx：独立的性质和利用

（2）)()()()()()()(tytxtytxEtztzERz

)()()()()()()()(tytytxtytytxtxtxE

仍然利用x(t)和y(t)互相独立的性质：)(2)()(yyxxzRmmRR

2、 一个RC低通滤波电路如下图所示。假定输入是均值为0、双边功率谱密度函数为n0/2的高斯白噪声。（1）求输出信号的自相关函数和功率谱密度函数；（2）求输出信号的一维概率密度函数。

答案：

（1） 该系统的系统函数为RCssXsYsH11)()()(

则频率响应为jRCjH11)(

而输入信号x(t)的功率谱密度函数为2)(0njPX

该系统是一个线性移不变系统，所以输出y(t)的功率谱密度函数为：

220212/)()()(RCnjHjPjPXY

对)(jPY求傅里叶反变换，就得到输出的自相关函数：

deRCndejPRjjYY22012/21)(21)( R C 电压：y(t) 电压：x(t) 电流：i(t) （2） 线性系统输入为高斯随机过程，则输出也一定是高斯的。因此，为了求输出的一维概率密度函数，仅需知道输出随机过程的均值和方差即可。

随机过程习题及答案

随机过程习题及答案

第二章 随机过程分析

学习指导

1.1.1 要点

随机过程分析的要点主要包括随机过程的概念、分布函数、概率密度函数、数字特征、通信系统中常见的几种重要随机过程的统计特性。

1. 随机过程的概念

随机过程是一类随时间作随机变化的过程，它不能用确切的时间函数描述。可从两种不同角度理解：对应不同随机试验结果的时间过程的集合，随机过程是随机变量概念的延伸。

2. 随机过程的分布函数和概率密度函数

如果ξ(t)是一个随机过程，则其在时刻t1取值ξ(t1)是一个随机变量。ξ(t1)小于或等于某一数值x1的概率为P[ ξ(t1) ≤ x1 ]，随机过程ξ(t)的一维分布函数为

F1(x1, t1) = P[ξ(t1) ≤ x1] (2-1)

如果F1(x1, t1)的偏导数存在，则ξ(t)的一维概率密度函数为

1111111(,)(, ) (2 - 2)Fxtfxtx

对于任意时刻t1和t2，把ξ(t1) ≤ x1和ξ(t2) ≤ x2同时成立的概率

212121122(, ; , )(), () (2 - 3)FxxttPtxtx

称为随机过程? (t)的二维分布函数。如果

2212122121212(,;,)(,;,) (2 - 4)Fxxttfxxttxx

存在，则称f2(x1, x2; t1, t2)为随机过程? (t)的二维概率密度函数。

对于任意时刻t1，t2，…，tn，把

n12n12n1122nn()(),(),,() (2 - 5)LLLFxxxtttPtxtxtx，，，；，，，称为随机过程? (t)的n维分布函数。如果