随机过程习题解答第1,2章

习题1

1. 令X(t)为二阶矩存在的随机过程，试证它是宽平稳的当且仅当EX(s)与E[X(s)X(s+t)]都不依赖s.

证明：充分性：若X(t)为宽平稳的，则由定义知

EX(t)=， EX(s)X(s+t)=r(t) 均与s无关

必要性：若EX(s)与EX(s)X(s+t)都与s无关，说明

EX(t)=常数， EX(s)X(s+t)为t的函数

2. 记1U，．．．，nU为在（０,１）中均匀分布的独立随机变量，对0 < t , x < 1

定义

I( t , x)=，，，，txtx01

并记X(t)=),(11nkkUtIn，10t，这是1U，．．．，nU的经验分布函数。

试求过程X（t）的均值和协方差函数。

解： EIkUt,= PtUk= t ，

D),(kUtI= EIkUt,－2),(kUtEI

= t－2t= t(1－t)

jk， cov),(),(jkUsIUtI，=EI(t,kU)I(s,jU)－EI(t, kU)EI(s, jU)

= st－st=0

k = j ， cov),(),(jkUsIUtI，= EI(t,kU)I(s,jU)－st

= min(t,s)－st

EX(t)=),(11nkkUtEIn=nktn11= t

cov)(),(sXtX=),(),,(cov1),(),,(cov1212jkjknkkkUsIUtInUsIUtIn

=nksttsn12),min(1－

=sttsn－),min(1

3.令1Z，2Z为独立的正态分布随机变量，均值为0，方差为2，为实数，定义过程tSinZtCosZtX21.试求tX的均值函数和协方差函数，它是宽平稳的吗？

Solution: 221,0~,NZZ. 02221EZEZ.

221ZDZD，0,21ZZCov,0tEX，sSinZsCosZtSinZtCosZEsXtXCov2121,

tCosSinZZstSinCosZZstSinSinZtCosCosZE12212221

02stSinSinstCosCos

=stCos2

tX为宽平稳过程.

4.Poisson过程0,ttX满足（i）00X；(ii)对st，sXtX服从均值为st的Poisson分布；（iii）过程是有独立增量的.试求其均值函数和协方差函数.它是宽平稳的吗？

Solution tXtXEtEX0，ttXD

stsXtEXsXtXCov,

tssEXsXsXtXE22

tssEXsXD220

tsss22

tss1

显然tX不是宽平稳的.

5. tX为第4题中的Poisson过程，记tXtXty1，试求过程ty的均值函数和协方差函数，并研究其平稳性.

Solution 1tEy, tyD Cov(y(t),y(s))=Ey(t)y(s)-Ey(t)y(s)

=E(x(t+1)-x(t))(x(s+1)-x(s))-2

(1) 若 s+1

(2) 若ts>t-1, 则

Cov(y(t),y(s))=E[x(t+1)-x(s+1)+x(s+1)-x(t)][x(s+1)-x(t)+x(t)-x(s)] -2

=E(x(t+1)-x(s+1))(x(s+1)-x(t))+E(x(t+1)-x(s+1))(x(t)-x(s))

+E(x(s+1)-x(t))+E(x(s+1)-x(t))(x(t)-x(s))- 2

=(s+1-t)= -(t-s)- 2

(3) 若t

Cov(y(t),y(s))= E [x(t+1)-x(s)+x(s)-x(t)] [x(s+1)-x(t+1)+x(t+1)-x(s)]- 2

=(x(t+1)-x(s))(x(s+1)-x(t+1))+E(x(t+1)-x(s))(x(t+1)-x(s))

+E(x(s)-x(t))(x(s+1)-x(t+1))+E(x(s)-x(t))(x(t+1)-x(s))- 2

=0+(t+1-s)+0-2

=+(t-s)- 2

(4) 若s>t+1 Cov(y(t),y(s))=0-2=-2

由此知，故方差只与t-s有关，与t,s无关

故此过程为宽平稳的。

6，令z 1和z2是独立同分布的随机变量，P(z1=-1)=P(z2=1)=1/2

记x(t)=z1cost+z2sint, tR,试证：x(t)是宽平稳的，它是严平稳吗？

证明：Ez1=0, Ez12=(-1) 2×1/2+12×1/2=1/2+1/2=1=D(z1)

Cov(z1,z2)=0

Ext=0

cov(xt,xs)=E(xt,xs)=E(z12costcoss+z22sintsins+z1z2costsins+z1z2sintcoss)

coscossinsin00cos()tststs

故()xt为宽平稳的。

而

显然，x(t)与x(t+h)的分布不相等，故不是严平稳的。

7、试证：若01,,.....ZZ为独立同分布的随机变量，定义01...nnXZZZ,则{nx，n0}是独立增量过程。

Proof: 1...nmnnnmXXZZ与01,,...,nZZZ相互独立，

故nmnXX与nX相互独立。

8、若12,...XX为独立随机变量，还要添加什么条件才能确保它是严平稳的随机过程？

Solution:添加12,...XX，同分布的条件。

9.令X和Y是从单位圆内的均匀分布中随机选取一点所得的横坐标和纵坐标，试计算条件概率：P（2234XYXY）

Solution: 1(,)2xyPXYfxydxdy ()xt cossintt cossintt cossintt cossintt

P 14 14 14 14

()xth cos(()sin())thth cos(()sin())thth cos()sin()thth

P 14 14 14

()xth cos()sin()thth

P 14 P（2234XYXY）2291435243(,)11142()28PXYXYrddrPXY＝

10.粒子依参数为λ的Poisson分布进入计数器，两粒子到达的时间间隔T1，T2，…是独立的参数为λ的指数分布随机变量。记S是[0,1]时段中的粒子总数，时间区间I∈[0,1],其长度记为|I|.试证明P（T1∈I,S=1）=P（T1∈I,T1+T2>1）,并由此计算P(T1∈I|S=1)=|I|.

Proof。{T1∈I,S=1}表明在I内来到了一个粒子，在[0,1]-I内再也没有来到粒子，也就是说第二个粒子的到来在[0,1]之后，即T1+T2>1.(T1+T2为第二个粒子来到的时间)。从而

P{T1∈I,S=1}=P{T1∈I,T1+T2>1}

P（T1∈I|S=1）= P（T1∈I,S=1）/P(S=1)

= P(T1∈I,T1+T2>1)/P(S=1) S~P(λ)

={λ|I|e-λ|I|*(λ(1-|I|))0*e-λ(1-|I|)}/λe-λ

=|I|

11.X,Y为两独立随机变量且分布相同，证明E(x|x+y=z)=E(y|x+y=z).并试求基于x+y=z的x的最佳预报，并求出预报误差 E（x-φ(x+y)）2

Proof：因x与y独立，且分布相同，则x|x+y=z =d y|x+y=z

故 E(x|x+y=z)=E(y|x+y=z)

而 E(x+y|x+y=z)=z,故E（x|x+y=z）=z/2

用任意的φ（z）来对x做预报，预报误差为：

E（x-φ（z））2=E(x- E(x|x+y=z)+ E(x|x+y=z) -φ（z）)2

=E(x- E(x|x+y=z))2+E(E(x|x+y=z) -φ（z）)2

+2E(x- E(x|x+y=z)) *(E(x|x+y=z) -φ（z）)

= E(x- E(x|x+y=z))2+E(E(x|x+y=z) -φ（z）)2

≥E(x- E(x|x+y=z))2

取等号，当且仅当φ（z）= E（x|x+y=z）

预报误差E（x-φ（x+y））2=E(x-z/2)2

12、气体分子的速度V有三个垂直分量xV，yV，zV，它们的联合分布密度依Maxwell-Boltzman定律为

vvvfvvvzyx321,,,, 2321TTvvv2exp232221 ,

其中k是Boltzman 常数，T为绝对温度，给定分子的总动能为e. 试求分子沿x 方向的动量的绝对值的期望值。

解：由于xV，yV，ZV的联合密度函数为

vvvfvvvzyx321,,,, 2321TTvvv2exp232221

2321TkTv2exp21 .2321T.

kTv2exp22 .2321TkTv2exp23

因此，xV，yV，ZV互相独立，且xV，yV，ZV都服从正态分布N (0，κT) .故气体分子的总动能为