高考数学一轮复习第11章统计与统计案例3第3讲变量间的相关关系统计案例教案理
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1 第3讲 变量间的相关关系、统计案例
1．变量间的相关关系
常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系．
2．两个变量的线性相关
(1)从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫回归直线．
(2)从散点图上看，点分布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点分布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关．
(3)回归方程为y^＝b^x＋a^，其中b^＝，a^＝y－－b^x－．
(4)相关系数
当r>0时，表明两个变量正相关；
当r<0时，表明两个变量负相关．
r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系，通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性．
3．独立性检验
(1)2×2列联表：假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称2×2列联表)为：
y1 y2 总计
x1 a b a＋b
x2 c d c＋d
总计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d
(2)K2统计量
K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）(其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量)．
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)相关关系与函数关系都是一种确定性的关系，也是一种因果关系．( ) 2 (2)利用散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用线性关系表示．( )
(3)只有两个变量有相关关系，所得到的回归模型才有预测价值．( )
(4)事件X，Y的关系越密切，由观测数据计算得到的K2的观测值越大．( )
(5)通过回归方程y^＝b^x＋a^可以估计和观测变量的取值和变化趋势．( )
答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√ (5)√
某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，则其回归直线方程可能是( )
A.y^＝－10x＋200 B.y^＝10x＋200
C.y^＝－10x－200 D.y^＝10x－200
解析：选A.因为商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，所以b^<0，排除B，D.
又因为x＝0时，y>0，所以应选A.
某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度(支持和不支持两种态度)的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算K2＝7.069，则所得到的统计学结论是：有多少的把握认为“学生性别与支持该活动有关系”．( )
附：
P(K2≥k0) 0.100 0.050 0.025 0.010
0.001
k0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
A.0.1% B．1%
C．99% D．99.9%
解析：选C.因为7.069与附表中的6.635最接近，所以得到的统计学结论是：有1－0.010＝0.99＝99%的把握认为“学生性别与支持该活动有关系”．
下面是一个2×2列联表
y1 y2 总计
x1 a 21
73
x2 2 25 27
总计 b 46
则表中a、b处的值分别为________．
解析：因为a＋21＝73，所以a＝52.
又因为a＋2＝b，所以b＝54.
答案：52、54
已知x，y的取值如下表，从散点图可以看出y与x线性相关，且回归方程为y^＝0.95x＋a^，则a^＝________．
x 0 1 3 4 3 y 2.2 4.3 4.8
6.7
解析：由已知得x－＝2，y－＝4.5，因为回归方程经过点(x－，y－)，所以a^＝4.5－0.95×2＝2.6.
答案：2.6
相关关系的判断
[典例引领]
已知变量x和y满足关系y＝－0.1x＋1，变量y与z正相关．下列结论中正确的是( )
A．x与y正相关，x与z负相关
B．x与y正相关，x与z正相关
C．x与y负相关，x与z负相关
D．x与y负相关，x与z正相关
【解析】 因为y＝－0.1x＋1的斜率小于0，故x与y负相关．因为y与z正相关，可设z＝b^y＋a^，b^>0，则z＝b^y＋a^＝－0.1b^x＋b^＋a^，故x与z负相关．
【答案】 C
判定两个变量正、负相关性的方法
(1)画散点图：点的分布从左下角到右上角，两个变量正相关；点的分布从左上角到右下角，两个变量负相关．
(2)相关系数：r>0时，正相关；r<0时，负相关．
(3)线性回归方程中：b^>0时，正相关；b^<0时，负相关．
[通关练习]
1．对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1，2，…，10)，得散点图如图①，对变量u，v有观测数据(ui，vi)(i＝1，2，…，10)，得散点图如图②.由这两个散点图可以判断( )
A．变量x与y正相关，u与v正相关
B．变量x与y正相关，u与v负相关
C．变量x与y负相关，u与v正相关 4 D．变量x与y负相关，u与v负相关
解析：选C.由散点图可得两组数据均线性相关，且图①的线性回归方程斜率为负，图②的线性回归方程斜率为正，则由散点图可判断变量x与y负相关，u与v正相关．
2．某公司在2017年上半年的收入x(单位：万元)与月支出y(单位：万元)的统计资料如表所示：
月份 1月份 2月份 3月份 4月份 5月份 6月份
收入x 12.3 14.5 15.0 17.0 19.8
20.6
支出y 5.63 5.75
5.82 5.89 6.11 6.18
根据统计资料，则( )
A．月收入的中位数是15，x与y有正线性相关关系
B．月收入的中位数是17，x与y有负线性相关关系
C．月收入的中位数是16，x与y有正线性相关关系
D．月收入的中位数是16，x与y有负线性相关关系
解析：选C.月收入的中位数是15＋172＝16，收入增加，支出增加，故x与y有正线性相关关系．
线性回归方程及其应用(高频考点)
线性回归问题是高考中的热点问题，考查形式可以是小题，也可以是解答题．高考中对线性回归问题的考查主要有以下三个命题角度：
(1)由回归直线方程求参数值；
(2)求回归直线方程；
(3)利用回归方程进行预测．
[典例引领]
角度一 由回归直线方程求参数值
(2017·高考山东卷)为了研究某班学生的脚长x(单位：厘米)和身高y(单位：厘米)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为y^＝b^x＋a^.已知i＝110 xi＝225 i＝110 y i＝1 600，b^＝4.该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为( )
A．160 B．163
C．166 D．170
【解析】 由题意可知y^＝4x＋a^，又x－＝22.5，y－＝160，因此160＝22.5×4＋a^，所以a^＝70，因此y^＝4x＋70.当x＝24时，y^＝4×24＋70＝96＋70＝166. 5 【答案】 C
角度二、三 求回归直线方程并进行预测
(2016·高考全国卷Ⅲ)下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．
注：年份代码1－7分别对应年份2008－2014.
(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；
(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．
附注：
参考数据：i＝17 yi＝9.32，i＝17 tiyi＝40.17, i＝17 （yi－y－）2＝0.55，7≈2.646.
参考公式：相关系数r＝
回归方程y^＝a^＋b^t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
【解】 (1)由折线图中数据和附注中参考数据得
2.89，
r＝2.890.55×2×2.646≈0.99.
因为y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系． 6 (2)由y－＝9.327≈1.331及(1)得b^＝＝2.8928≈0.103，
a^＝y－－b^t≈1.331－0.103×4≈0.92.
所以，y关于t的回归方程为y^＝0.92＋0.10t.
将2016年对应的t＝9代入回归方程得y^＝0.92＋0.10×9＝1.82.
所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量约为1.82亿吨．
求回归直线方程的步骤
[提醒] 利用回归直线方程进行预测是对总体的估计，此估计值不是准确值．
(2018·石家庄市教学质量检测(二))为了解某地区某种农产品的年产量x(单位：吨)对价格y(单位：千元/吨)和年利润z的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如下表：
x 1 2 3 4 5
y 7.0 6.5 5.5 3.8
2.2
(1)求y关于x的线性回归方程y^＝b^x＋a^；
(2)若每吨该农产品的成本为2千元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量为多少时，年利润z取到最大值？(保留两位小数)
参考公式：b^＝∑ni＝1 （xi－x－）（yi－y－）∑ni＝1 （xi－x－）2＝∑ni＝1xiyi－nx－y－∑ni＝1x2i－nx－2，
a^＝y－－b^x－.
解：(1) x－＝3，y－＝5，∑5i＝1xiyi＝62.7，∑5i＝1x2i＝55，
解得b^＝－1.23，a^＝8.69，
所以y^＝8.69－1.23x.
(2)年利润z＝x(8.69－1.23x)－2x
＝－1.23x2＋6.69x，
所以当x≈2.72时，年利润z最大．
