高考数学一轮复习 第十章 统计、统计案例 第3讲 变量相关关系与统计案例教案 理(含解析)

第3讲 变量相关关系与统计案例

基础知识整合

1．变量间的相关关系

(1)常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关系是一种非□01确定性关系．

(2)从散点图上看，点分布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为□02正相关，点分布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为□03负相关．

2．回归方程与回归分析

(1)线性相关关系与回归直线

如果散点图中点的分布从整体上看大致在□04一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．

(2)回归方程

①最小二乘法：求回归直线使得样本数据的点到回归直线的□05距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法．

②回归方程：方程y^＝b^x＋a^是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的回归方程，其中a^，b^是待定数．  b^＝i＝1n

xi－xyi－yi＝1n xi－x2＝i＝1nxiyi－nx yi＝1nx2i－nx2，a^＝y－b^x.

(3)回归分析

①定义：对具有□06相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．

②样本点的中心：在具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中，x＝1n(x1＋…＋xn)，

y＝1n(y1＋…＋yn)，a^＝y－b^x，(x，y)称为样本点的中心．

③相关系数r＝i＝1n xi－xyi－yi＝1n xi－x2i＝1n yi－y2，当r>0时，两变量□07正相关；当r<0时，两变量□08负相关；当|r|≤1且|r|越接近于1，相关程度□09越强；当|r|≤1且|r|越接近于0，相关程度□10越弱．

3．独立性检验 (1)独立性检验的有关概念

①分类变量

可用变量的不同“值”表示个体所属的□11不同类别的变量称为分类变量．

②2×2列联表 假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为

(2)独立性检验

利用随机变量K2＝nad－bc2a＋bc＋da＋cb＋d(其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量)来判断“两个变量有关系”的方法称为独立性检验．

步骤如下：

①计算随机变量K2的观测值k，查表确定临界值k0：

②如果k≥k0，就推断“X与Y有关系”，这种推断犯错误的概率不超过P(K2≥k0)；否则，就认为在犯错误的概率不超过P(K2≥k0)的前提下不能推断“X与Y有关系”．

1．相关关系与函数关系的异同

共同点：二者都是指两个变量间的关系；

不同点：函数关系是一种确定性关系，体现的是因果关系，而相关关系是一种非确定性关系，体现的不一定是因果关系，也可能是伴随关系． 2．从散点图看相关性

正相关：样本点分布在从左下角到右上角的区域内；

负相关：样本点分布在从左上角到右下角的区域内．

3．回归直线y^＝b^x＋a^必过样本点的中心．

1．下面是一个2×2列联表

其中a，b处填的值分别为( )

A．94 72 B．52 50

C．52 74 D．74 52

答案 C

解析 由a＋21＝73，得a＝52，a＋22＝b，得b＝74.故选C.

2．(2019·湖北模拟)已知相关变量x和y满足关系y＝－0.1x＋1，相关变量y与z负相关．下列结论中正确的是( )

A．x与y正相关，x与z负相关

B．x与y正相关，x与z正相关

C．x与y负相关，x与z负相关

D．x与y负相关，x与z正相关

答案 D

解析 因为y＝－0.1x＋1的斜率小于0，故x与y负相关．因为y与z负相关，可设z＝b^y＋a^，b^<0，则z＝b^y＋a^＝－0.1b^x＋b^＋a^，故x与z正相关．

3．(2017·重庆高考)已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数x－＝3，y－＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是( )

A.y^＝0.4x＋2.3 B.y^＝2x－2.4

C.y^＝－2x＋9.5 D.y^＝－0.3x＋4.4

答案 A

解析 依题意知，相应的回归直线的斜率应为正，排除C，D.且直线必过点(3,3.5)，代入A，B得A正确．

4．某校为了研究学生的性别与对待某一活动的态度(支持和不支持两种态度)的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算K2＝6.669，则所得到的统计学结论是：

有________的把握认为“学生性别与是否支持该活动有关系”．

附：

答案 99%

解析 因为6.669与附表中的6.635最接近，所以得到的统计学结论是：有1－0.010＝0.99＝99%的把握认为“学生性别与是否支持该活动有关系”．

5．(2019·山西模拟)某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：

根据上表可得回归方程y^＝b^x＋a^中的b^为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额约为________万元． 答案 65.5

解析 由表可计算

x－＝4＋2＋3＋54＝3.5，y－＝49＋26＋39＋544＝42，

因为点(3.5,42)在回归直线y^＝b^x＋a^上，且b^＝9.4，

所以42＝9.4×72＋a^，解得a^＝9.1.

故回归方程为y^＝9.4x＋9.1.令x＝6，得y^＝65.5.

核心考向突破

考向一 线性回归分析

例1 (2019·河南洛阳模拟)某省电视台为了解该省卫视一档成语类节目的收视情况，抽查东、西部各5个城市，得到观看该节目的人数的统计数据(单位：千人)，并画出如下茎叶图，其中一个数字被污损．

(1)求东部各城市观看该节目的观众的平均人数超过西部各城市观看该节目的观众的平均人数的概率；

(2)该节目的播出极大地激发了观众对成语知识学习积累的热情，现从观看节目的观众中随机统计了4位观众学习成语知识的周均时间(单位：小时)与年龄(单位：岁)，并制作了如下对照表：

根据表中数据，试求线性回归方程y^＝b^x＋a^，并预测年龄为50岁的观众周均学习成语知识的时间． 参考公式：b^＝i＝1nxiyi－nx－y－i＝1nx2i－nx2，a^＝y－b^x.

解 (1)设被污损的数字为a，则a有10种情况．

由88＋89＋90＋91＋92>83＋83＋87＋90＋a＋99，

得a<8，

∴有8种情况使得东部各城市观看该节目的观众的平均人数超过西部各城市观看该节目的观众的平均人数，

所求概率为810＝45.

(2)由表中数据，计算得x＝35，y＝3.5，

b^＝i＝14xiyi－4x－y－i＝14x2i－4x2＝525－4×35×3.55400－4×352＝7100，

a^＝y－b^x＝3.5－7100×35＝2120.∴y^＝7100x＋2120.

当x＝50时，y^＝4.55.即预测年龄为50岁的观众周均学习成语知识的时间为4.55小时．

触类旁通

错误! 2回归直线方程y^＝b^x＋a^必过样本点中心x，y.

(3)在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程来估计和预测．

即时训练 1.PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物(也称可入肺颗粒物)．为了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与PM2.5浓度的数据如下表：

(1)根据上表数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y^＝b^x＋a^；

(2)若周六同一时间段车流量是200万辆，试根据(1)求出的线性回归方程预测，此时PM2.5的浓度为多少？

( 参考公式：b^＝∑ni＝1 xi－xyi－y∑ni＝1

xi－x2，a^＝y－b^x；参考数据：∑5i＝1xi＝540，∑5i＝1yi＝420 )

解 (1)由条件可知，

x＝15∑5i＝1xi＝5405＝108，y＝15∑5i＝1yi＝4205＝84，

∑5i＝1 (xi－x)(yi－y)＝(－8)×(－6)＋(－6)×(－4)＋0×0＋6×4＋8×6＝144，

∑5i＝1 (xi－x)2＝(－8)2＋(－6)2＋02＋62＋82＝200. b^＝∑5i＝1 xi－xyi－y∑5i＝1 xi－x2＝144200＝0.72，

a^＝y－b^x＝84－0.72×108＝6.24，

故y关于x的线性回归方程为y^＝0.72x＋6.24.

(2)当x＝200时，y^＝0.72×200＋6.24＝150.24，所以可以预测此时PM2.5的浓度约为150.24微克/立方米．

考向二 两个变量的相关性

角度1 相关关系的判断

例2 为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计某班学生的两科成绩得到如图所示的散点图(x轴、y轴的单位长度相同)，用回归直线方程y^＝b^x＋a^近似地刻画其相关关系，根据图形，以下结论最有可能成立的是( )

A．线性相关关系较强，b的值为1.25

B．线性相关关系较强，b的值为0.83

C．线性相关关系较强，b的值为－0.87

D．线性相关关系较弱，无研究价值

答案 B

解析 由散点图可以看出两个变量所构成的点在一条直线附近，所以线性相关关系较强，且应为正相关，所以回归直线方程的斜率应为正数，且从散点图观察，回归直线方程的斜率应该比y＝x的斜率要小一些，综上可知应选B. 角度2 相关系数的意义

例3 (2017·全国卷Ⅰ)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30 min从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：

经计算得x＝116i＝116xi＝9.97，s＝ 116i＝116 xi－x2＝116i＝116x2i－16x2≈0.212, i＝116 i－8.52≈18.439，i＝116 (xi－x－)(i－8.5)＝－2.78，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i＝1,2，…，16.

(1)求(xi，i)(i＝1,2，…，16)的相关系数r，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小(若|r|<0.25，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小)；

(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(x－3s，x＋3s)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．

①从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？