甘肃省肃南县第一中学2014届高三上学期期中考试数学(理)试题(含答案)

甘肃肃南县第一中学2014届高三上学期期中考试数学（理）试题

第I卷（选择题，共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.

1．若集合，，则所含的元素个数为( )

A. O B. 1 C. 2 D. 3

2．在△ABC中，M是AB边所在直线上任意一点，若CM＝－2CA＋λCB，则λ＝( )

A．1 B．2 C．3 D．4

3．已知na为等差数列，若8951aaa，则)cos(73aa的值为（ ）

A．32 B．32 C．12 D．12

4．对于平面，，和直线a，b，m，n，下列命题中真命题是 （ ）

A.若,,,,amanmn,则a；

B.若//,,,ab则//ab；

C.若//,abb,则//a；

D.若,,//,//abab,则//.

5．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是 （ ）

A．4＋26 B．4＋6 C．4＋22 D．4＋2 }822|{2xZxA}02|{2xxRxB)(BCAR

6．某程序框图如图所示，该程序运行后输出S的值是 （ ）

A. 10 B. 12 C. 100 D. 102

7．已知复数,321iizi是虚数单位，则复数的虚部是( )

A．i101 B．101 C．107 D．i107

8．满足线性约束条件003232yxyxyx 的目标函数yxz的最大值是

A．1 B．23 C．2 D．3

9．设5log4a，25(log3)b，4log5c，则（ ）

A. acb B. bca C. abc D. bac

10．若直角坐标平面内不同的两点,PQ满足条件：①,PQ都在函数yfx的图像上

,PQ关于原点对称，则称点对,PQ是函数yfx的一对②好点对”（注：点对,PQ与,QP看作同一对“友好点“友对”）．若函数，则此函数的“友好点对”有（ ）对．

A． 0 B． 1 C．2 D．3

11．记椭圆围成的区域（含边界）为Ωn（n=1，2，…），当点（x，y）分别221(0)()4(0)ogxxfxxxx

在Ω1，Ω2，…上时，x+y的最大值分别是M1，M2，…，则Mn=（ ）

A． 0 B． C． 2 D． 2

12．设1F，2F是双曲线22221(0,0)xyabab的左右两个焦点，若在双曲线的右支上存在一点P，使22()0OPOFFP（O为原点）且123PFPF，则双曲线的离心率为（ ）．

A．512 B．51 C．31 D．312

第II卷（非选择题，共100分）

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选做题，考生根据要求做答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13．抛物线在处的切线与两坐标轴围成三角形区域为(包含三角形内部与边界).若点是区域内的任意一点,则的取值范围是 ．

14．在数列{an}中，an＝4n－52，a1＋a2＋…＋an＝An2＋Bn，n∈N＋，其中A，B为常数，则AB＝__________.

15．已知函数()sin(2)4fxx， 有如下四个命题：

①点5(,0)8是函数()fx的一个中心对称点；

②若函数()fx表示某简谐运动，则该简谐运动的初相为4；

③若12xx，且12()()1fxfx，则12xxk（0kZk且）；

④若()fx的图像向右平移(0)个单位后变为偶函数，则的最小值是8；

其中正确命题的序号是________ _______．

16．设常数aR,若52axx的二项展开式中7x项的系数为10,则______a. 2xy1xD),(yxPDyx2

三、解答題：本大題共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．(本小題满分12分）

设ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足2coscoscbBaA．

（1）求角A的大小；

（2）若25a，求ABC面积的最大值．

18．(本小題满分12分）

如图，在直三棱柱111ABCABC中，13AAABBC，2AC，D是AC的中点．

（Ⅰ）求证: 1//BC平面1ABD；

（Ⅱ）求二面角11ABDB的余弦值．

19．(本小題满分12分）

某中学作为蓝色海洋教育特色学校，随机抽取100名学生，进行一次海洋知识测试，

按测试成绩分组如下：第一组[65，70），第二组 [70，75），第三组[75，80），第四组 [80，85），第五组 [85，90）（假设考试成绩均在[65，90）内），得到频率分布直方图如图：

（1）求测试成绩在[80，85）内的频率；

（2）从第三、四、五组同学中用分层抽样的方法抽取6名同学组成海洋知识宣讲小组，定期在校内进行义务宣讲，并在这6名同学中随机选取2名参加市组织的蓝色海洋教育义务宣讲队，求第四组至少有一名同学被抽中的的概率．

20．(本小題满分12分）

如图，椭圆E：)0(12222babyax的右焦点2F与抛物线24yx的焦点重合，过2F作与x轴垂直的直线l与椭圆交于S、T两点，与抛物线交于C、D两点，且22CDST．

（Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）若过点(2,0)M的直线与椭圆E相交于两点,AB，设P为椭圆E上一点，且满足OAOBtOP（O为坐标原点），当25||3PAPB时，求实数t的取值范围．

21．(本小題满分12分）

函数的定义域为R，且

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）若上的最小值为，试求f(x)的解析式；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下记试比较与

的大小并证明你的结论．

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答题时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.

22.（本小题满分10分） 选修4—1：几何证明选讲

如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，过点P的割线交圆于B、C两点，弦CD∥AP，AD、BC相交于点E，F为CE上一点，且DE2 = EF·EC.

（Ⅰ）求证：CE·EB = EF·EP；

（Ⅱ）若CE:BE = 3:2，DE = 3，EF = 2，求PA的长.

bxaxf211)(*)(0)(limNnnfn0,0ab41,()[0,1]5ffx且在21),)(()2()1(NnnfffSnnS*111()22nnnN

23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线的极坐标方程为．

（Ⅰ）求的直角坐标方程；

（Ⅱ）直线（为参数）与曲线C交于，两点，与轴交于，求的值．

24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

设函数212)(xxxf

（1）求f(x)≤6 的解集 （2）若f(x)≥m 对任意x∈R恒成立，求m的范围。 yE11||||EAEBxoyC2(cossin)C12:312xtlyttAB

【解析】

（1）由所有频率的和为1，易得测试成绩在[80，85）内的频率；（2）先分别求出第三组、第四组、第五组的人数，再由分层抽样方法得各组应该抽取的人数。用字母表示所研究的事件，用列举法得基本事件的总数以及所研究事件含多少个基本事件，最后利用古典概型公式求得概率．

试题解析：（１）测试成绩在[80，85）内的频率为：10.010.070.060.025 2分

0.2 3分

（２）第三组的人数等于0.065100=30,第四组的人数等于0.2100=20，

第五组的人数等于0.025100=10， 5分

（Ⅱ）由题意知直线的斜率存在.

设：，，，，

由得. ABAB(2)ykx11(,)Axy22(,)Bxy(,)Pxy22(2),1.2ykxxy2222(12)8820kxkxk

，. 6分

21．见解析

【解析】解（Ⅰ）∵f(x)定义域为R，

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)在[0，1]上为增函数， 422644(21)(82)0kkk212k,0.0,2,021aaRxaabxbx若而即1()1lim()0,0,lim()lim121(021)1(21)210,0,0.10(21)bxnnnbbbbfxfnafnababa与矛盾即故)1(,1,2111,21)0(faaf即

（Ⅲ）

22． 2141141,2,2,()1.1254121414xbbxxxbfxa111*,,:22nnkNSn当时证明如下111()11,(1)(2)(3)()141111,*,2222knnnfkffffnnnnkNSn而时