甘肃省肃南县第一中学2016-2017学年高二下学期期中考试数学(理)试题含答案

学必求其心得，业必贵于专精

甘肃省肃南县第一中学2017年下学期期中考试

高二数学（理)试题

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．

1．已知2213izmmm，2456izm,其中m为实数,i为虚数单位，若120zz，则m的值为（ )

A．4 B．1 C．6 D．0

2．已知复数z满足31212izi(i为虚数单位），则z共轭复数z等于（ ）

A．3455i B．3455i C．3455i D．3455i

3．若椭圆22221xyab（0ab）的离心率为32，则双曲线22221yxab的渐近线方程为( ）

A．2yx B．12yx C．4yx D．14yx

4．已知函数sin23fxxxf，则3f（ ）

A．12 B．0 C．12 D．32

5．3204xdx（ ）

A．213 B．223 C．233 D．253

6．在正方体1111ABCDABCD中，M，N,分别为11AB，1BB的中点，则异面直线AM与CN所成角的余弦值为（ ）

A．32 B．1010 C．25 D．35 学必求其心得，业必贵于专精

7．已知命题p:“1,2x,20xa”，命题q：“xR,2220xaxa”，若命题“pq”是真命题,则实数a的取值范围是( ）

A．,21 B．,21,2 C．1,

D．2,1

8．若函数312fxxx在区间1,1kk上不是单调函数，则实数k的取值范围（ ）

A．3k或11k或3k B．31k或13k

C．22k D．不存在这样的实数k

9．如图，长方形的四个顶点为0,0O，4,0A，4,2B，0,2C，曲线yx经过点B。现将一质点随机投入长方形OABC中，则质点落在图中阴影区域的概率是（ )

A．512 B．12 C．34

D．23

10．点P是双曲线22221xyab（0a，0b）与圆2222xyab在第一象限的交点，1F、2F分别为双曲线左右焦点，且123PFPF，则双曲线的离心率为（ )

A．5 B．102 C．10 D．52 学必求其心得，业必贵于专精

11．已知函数1114ln1xxfxxx,则方程fxax恰有两个不同的实根时，实数a的取值范围是（ )（注：e为自然对数的底数)

A．10,e B．10,4 C．11,4e D．1,e4

12．已知函数yfx对任意的,22x满足cossin0fxxfxx（其中fx是函数fx的导函数)，则下列不等式成立的是（ ）

A．234ff B．234ff

C．023ff D．024ff

第Ⅱ卷（共90分)

二、填空题(每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13．12111xdx ．

14．已知函数exfxax在3,单调递增,则实数a的取值范围是 ．

15．若复数12zai（aR),234zi,且12zz为纯虚数，则1z ．

16．已知33fxxxm，若在区间0,2上任取三个数a、b、c,均存在以fa、fb、fc为边长的三角形，则实数m的取值范围为 ．

三、解答题 （本大题共6小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．已知函数23xfxex.

（1）求曲线yfx在点0,0f处的切线方程；

（2)求函数yfx的极值. 学必求其心得，业必贵于专精

18．如图所示，平面ABCD平面BCEF，且四边形ABCD为矩形，四边形BCEF为直角梯形,BFCE∥，BCCE，4DCCE，2BCBF。

（Ⅰ）求证：AF∥平面CDE；

(Ⅱ）求直线BE与平面ADE所成角的余弦值。

19．已知抛物线C：22ypx（0p）上的一点M的横坐标为3，焦点为F，且4MF。直线l：24yx与抛物线C交于A,B两点.

(Ⅰ）求抛物线C的方程;

（Ⅱ）若P是x轴上一点，且PAB的面积等于9，求点P的坐标。

20．如图，四棱柱1111ABCDABCD中，底面ABCD是矩形，且22ADCD，12AA，13AAD，若O为AD的中点，且1CDAO.

(Ⅰ）求证：1AO平面ABCD；

（Ⅱ)线段BC上是否存在一点P，使得二面角1DAAP的大小为3?若存在，求出BP的长；若不存在，说明理由。

21．已知椭圆C:22221xyab（0ab)的离心率为22，左焦点为1,0F,过点0,2D且斜率为k的直线l交椭圆于A,B两点。

（1）求椭圆C的标准方程； 学必求其心得，业必贵于专精

（2）在y轴上，是否存在定点E，使AEBE恒为定值？若存在,求出E点的坐标和这个定值；若不存在，说明理由.

22．已知函数2lnfxxmx，212gxmxx，Rm令Fxfxgx.

（Ⅰ）当12m时,求函数fx的单调递增区间；

（Ⅱ）若关于x的不等式1Fxmx恒成立,求整数m的最小值。

高二（理科）数学参考答案及评分标准

一、选择题

1-5：BDBAC 6-10：CABDB 11、12：CA

二、填空题

13．22 14．3,e 15．103 16．6,

三、解答题

17．解：(1）由题223xfxexx31xexx，

故03f，又03f，

故曲线yfx在点0,0f处的切线方程为33yx，即330xy；

（2）由0fx可得1x或3x，

如下表所示，得

x ,3 3 3,1 1 1,

fx  0  0 

fx  极大值  极小值 

336fxfe极大,

12fxfe极小.

18．解:(Ⅰ)取CE中点为G，连接DG、FG，

BFCG∥且BFCG, 学必求其心得，业必贵于专精

四边形BFGC为平行四边形，则BCFG∥且BCFG.

四边形ABCD为矩形，BCAD∥且BCAD，

FGAD∥且FGAD，

四边形AFGD为平行四边形，则AFDG∥.

DG平面CDE，AF平面CDE，

AF∥平面CDE.

（Ⅱ）设平面ADE的一个法向量为1111,,nxyz，2,0,0AD，0,4,4DE,则

110,ADnDEn11120440xyz，取11z,得10,1,1n.

2,4,0BE，设直线BE与平面ADE所成角为，则

111sincos,BEnBEnBEn4105252.

所以215cos1sin5

所以BE与平面ADE所成角的余弦值为155

19．解:（Ⅰ）依题意得342p，所以2p

所以抛物线方程为C：24yx

（Ⅱ）联立方程2244yxyx，设11,Axy，22,Bxy,

消去x得2280yy

从而121228yyyy

有弦长公式得114AB21212435yyyy，

设,0Pa，P到直线AB的距离为d，则2220421ad225a, 学必求其心得，业必贵于专精

又12ABPSABd，则2ABPSdAB，

2229535a23a5a或1a，

故点P的坐标为5,0和1,0.

20．(Ⅰ）证明：13AAD，且12AAAD,

1AAD为等边三角形

O为AD的中点 1AOAD，

又1CDAO，且CDADD,

1AO平面ABCD。

（Ⅱ)解：过O作OxAB∥，以O为原点，建立空间直角坐标系Oxyz（如图）

则0,1,0A，10,0,3A，

设1,,0Pm(1,1m）,

平面1AAP的法向量为1,,nxyz，

10,1,3AA,1,1,0APm,

且1113010nAAyznAPxmy，

取1z,得131,3,1nm

平面11AADD的一个法向量为21,0,0n

由题意得121cos,2nn23131311mm，

解得13m或53m（舍去），

当BP的长为23时，二面角1DAAP的值为3 学必求其心得，业必贵于专精

21．解：（1）由已知可得221cac,解得22a，21b

所求的椭圆方程为2212xy.

（2）设点0,2D且斜率为k的直线l的方程为2ykx。

由22122xyykx得22128kxkx60。

则22642412kk216240k

解得：62k或62k

设11,Axy，22,Bxy，则122812kxxk,122612xxk

又121222yykxkx212122kxxkxx2224421kk，

1212yykx2122kxkxx24421k.

设存在点0,Em，则11,AExmy,22,BExmy，

所以12AEBExx21212mmyyyy

22621mmk2224242121kkk

22222241021mkmmk，

要使得AEBEt（t为常数），只要22222241021mkmmtk,