2020年安徽省合肥市高考数学一模试卷2 (含答案解析)

第1页，共18页 2020年安徽省合肥市高考数学一模试卷2

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 已知𝑧𝑖=2−𝑖，则复数z的虚部为( )

A. −𝑖 B. 2 C. −2𝑖 D. −2

2. 设集合，𝐵={2,3}，则𝐴∪𝐵=( )

A. {−1,0，1，2，3} B. {1,2，3}

C. [−1,2] D. [−1,3]

3. 执行如图所示的程序框图，则输出的𝑖=( )

A. 4

B. 5

C. 6

D. 7

4. 设𝑆𝑛为等差数列{𝑎𝑛}的前n项和，且4+𝑎5=𝑎6+𝑎4，则𝑆9=( )

A. 72 B. 36 C. 18 D. 9

5. “𝑎=−2”是“函数𝑓(𝑥)=|𝑥−𝑎|在区间[−2,+∞)上为单调递增函数”的( )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

6. 下图为国家统计局发布的2014～2018年国内生产总值条形图．则下列说法错误的是( ) 第2页，共18页 A. 2014年的增长率最高

B. 从2014年到2018年生产总值逐年增长

C. 2015年的增长率比上一年的增长率低一些

D. 2018年在上一年生产总值基础上增加的数量大于2017年在上一年生产总值基础上增加的数量

7. 对于直线m，n与平面𝛼，下列推理正确的是( )

A. 𝑚//𝑛，𝑛⊂𝛼⇒𝑚//𝛼 B. 𝑚⊥𝑛，𝑛⊂𝛼⇒𝑚⊥𝛼

C. 𝑚//𝛼，𝑛⊂𝛼⇒𝑚//𝑛 D. 𝑚⊥𝛼，𝑛⊂𝛼⇒𝑚⊥𝑛

8. 在(1√𝑥−2𝑥)9的展开式中，常数项是( )

A. 𝐶93 B. −𝐶93 C. 8𝐶93 D. −8𝐶93

9. 如图是某几何体的三视图，其中侧视图是一个边长为2的正三角形，则该几何体的体积为( )

A. 43√3 B. 4 C. 4√3 D. 8√3 第3页，共18页 10. 某商场通过转动如图所示的质地均匀的6等分的圆盘进行抽奖活动，当指针指向阴影区域时为中奖．规定每位顾客有3次抽奖机会，但中奖1次就停止抽奖．假设每次抽奖相互独立，则顾客中奖的概率是( )

A. 427

B.

13

C. 59 D. 1927

11. 设双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎>0,𝑏>0)的左、右焦点分别为𝐹1，𝐹2，O为坐标原点，若双曲线上存在点M满足|𝑀𝐹1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|𝑀𝑂⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|𝑀𝐹2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，则双曲线的离心率为( )

A. 6 B. 3 C. √6 D. √3

12. 若函数有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是( )

A. 𝑎>1 B. −1<𝑎<0 C. 𝑎<1 D. 0<𝑎<1

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 已知x，y满足约束条件{𝑥+𝑦⩾2,2𝑥+𝑦⩽4,4𝑥−𝑦⩾−1,则𝑧=𝑦+2𝑥+2的取值范围是________．

14. 已知向量𝑎⃗ =(−1,3)，𝑏⃗ =(3,𝑡)，若𝑎⃗ ⊥𝑏⃗ ，则|2𝑎⃗ +𝑏⃗ |=______．

15. 在锐角△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐶=1，𝐵=2𝐴，则AC的取值范围为_______．

16. 在平面直角坐标系xOy中，点𝐴𝑖(2𝑖,𝑖+(−1)𝑖⋅𝑖2)(𝑖∈𝑁∗)，记△𝐴2𝑖−1𝐴2𝑖𝐴2𝑖+1的面积为𝑆𝑖，则∑𝑆𝑖=𝑛𝑖=1________．

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）

17. 已知函数𝑓(𝑥)=𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥+cos2𝑥.

(Ⅰ)求𝑓(𝑥)的最小正周期；

(Ⅱ)若𝑓(𝑥)在区间[−3𝜋8,𝑚]上单调递增，求实数m的最大值．

第4页，共18页 18. 如图，在四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝑃𝐴⊥底面ABCD，且𝐴𝐵⊥𝐵𝐶，𝐴𝐷//𝐵𝐶，𝑃𝐴=𝐴𝐵=𝐵𝐶=2𝐴𝐷，E是PC的中点．

(1)求证：𝐷𝐸⊥平面PBC；

(2)求二面角𝐴−𝑃𝐷−𝐸的余弦值．

19. 为了解一种植物的生长情况，抽取一批该植物样本测量高度(单位：𝑐𝑚)，其频率分布直方图如图所示

(1)求该植物样本高度的平均数𝑥−和样本方差𝑠2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)

(2)假设该植物的高度Z服从正态分布𝑁(𝜇,𝑎2)，其中𝜇近似为平均数𝑥−，𝑎2近似为样本方差𝑠2，利用该正态分布求𝑃(64.5<𝑍<96)

附：√110≈10.5，若𝑍～𝑁(𝜇,𝑎2)，则𝑃(𝜇−ɛ<𝑍<𝜇+ɛ)=0.6826，𝑃(𝜇−2ɛ<𝑍<𝜇+2ɛ)=0.9544． 第5页，共18页

20. 已知椭圆C：𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)的离心率为√22，若圆𝑥2+𝑦2=𝑎2被直线𝑥−𝑦−√2=0截得的弦长为2

(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；

(Ⅱ)已知点A、B为动直线𝑦=𝑘(𝑥−1)，𝑘≠0与椭圆C的两个交点，问：在x轴上是否存在定点M，使得𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值？若存在，试求出点M的坐标和定值；若不存在，请说明理由．

21. 已知函数𝑓(𝑥)=𝑥2𝑒−𝑎𝑥，其中𝑎>0，e是自然对数的底数，𝑒=2.71828…．

(Ⅰ)求𝑓(𝑥)的单调区间；

(Ⅱ)求𝑓(𝑥)在[1,2]上的最大值．

第6页，共18页

22. 在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为：{𝑥=2+2cos𝜃𝑦=2sin𝜃(𝜃为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l的极坐标方程为𝜃=𝛼(𝜌>0)．

(1)将圆C的参数方程化为极坐标方程；

(2)设点A的直角坐标为(1,√3)，射线l与圆C交于点B不同于点𝑂)，求△𝑂𝐴𝐵面积的最大值．

23. 已知函数𝑓(𝑥)=|𝑥−2|+|3𝑥+𝑎|．(1)当𝑎=1时，解不等式𝑓(𝑥)≥5；

(2)若存在𝑥0满足𝑓(𝑥0)+2|𝑥0−2|<3，求实数a的取值范围．

第7页，共18页 -------- 答案与解析 --------

1.答案：D

解析：解：由𝑧𝑖=2−𝑖得𝑧=2−𝑖𝑖=2𝑖−1=−1−2𝑖，

则复数z的虚部为−2，

故选：D．

根据复数的运算法则进行化简，结合虚部的定义进行求解即可．

本题主要考查复数的概念的应用，结合复数的运算法则是解决本题的关键．

2.答案：B

解析：

【分析】

本题考查并集的求法，考查并集、不等式等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．

先分别求出集合A，B，由此能求出𝐴∪𝐵．

【解答】

解：∵集合

，

𝐵={2,3}，

∴𝐴∪𝐵={1,2，3}．

故选B．

3.答案：D

解析：

【分析】

本题考查循环结构的程序框图，根据框图，模拟运行求解即可．

【解答】

解： 由框图，

第一次循环，𝑎=4，𝑖=3，

第二次循环，𝑎=43=64，𝑖=5，

第三次循环，𝑎=45=1024，𝑖=7，

第四次循环，𝑎=47>1024，此时退出循环，

所以输出的i的值为7． 第8页，共18页 故选D．

4.答案：B

解析：

【分析】

本题考查等差数列的前n项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

推导出4+𝑎5=2𝑎5，从而𝑎5=4，再由𝑆9=92(𝑎1+𝑎9)，能求出结果．

【解答】

解：𝑆𝑛为等差数列{𝑎𝑛}的前n项和，且4+𝑎5=𝑎6+𝑎4，

∴4+𝑎5=2𝑎5，

解得𝑎5=4，

∴𝑆9=92(𝑎1+𝑎9)=9𝑎5=36．

故选B．

5.答案：A

解析：解：要使函数𝑓(𝑥)=|𝑥−𝑎|在区间[−2,+∞)上为单调递增函数，

则𝑎≤−2，

∴“𝑎=−2”是“函数𝑓(𝑥)=|𝑥−𝑎|在区间[−2,+∞)上为单调递增函数”的充分不必要条件．

故选：A．

结合函数单调性的定义和性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．

本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用绝对值函数的性质是解决本题的关键．

6.答案：D

解析：

【分析】

本题主要考查统计中条形图的应用，属于基础题．

根据图表逐项判断即可．

【解答】

解：由国家统计局发布的2014～2018年国内生产总值条形图，

A选项，2014年的增长率最高，正确；

B选项，从2014年到2018年生产总值逐年增长，正确；

C选项，2015年的增长率比上一年的增长率低一些，正确；

D选项，2018年在上一年生产总值基础上增加的数量为900309−820754=79555，小于2017年在