2020年安徽省合肥市高考数学二模试卷(文科)(有答案解析)

第1页，共17页 2020年安徽省合肥市高考数学二模试卷（文科）

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 若集合𝐴={1,3，5，7}，𝐵={𝑥|2𝑥>8}，则𝐴∩𝐵=( )

A. {1} B. {1,3} C. {5,7} D. {3,5，7}

2. 欧拉公式𝑒𝑖𝜃=𝑐𝑜𝑠𝜃+𝑖𝑠𝑖𝑛𝜃把自然对数的底数e，虚数单位i，三角函数𝑐𝑜𝑠𝜃和𝑠𝑖𝑛𝜃联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”若复数z满足(𝑒𝑖𝜋+𝑖)⋅𝑧=𝑖，则|𝑧|=( )

A. 1 B. √22

C.

√32

D.

√2

3.

若实数x，y满足约束条件{2𝑥+𝑦−4≤0,𝑥−𝑦+4≥0,3𝑥+2𝑦−3≥0,则𝑧=2𝑥−𝑦的最小值是( )

A. 16 B. 7 C. −4 D. −5

4. 已知数列{𝑎𝑛}是等差数列，若𝑎2=2，𝑆6=39，则𝑎7=( )

A. 18 B. 17 C. 15 D. 14

5. 在平行四边形ABCD中，若𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =𝐸𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ，AE交BD于F点，则𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ =( )

A. 23𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ +13𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B. 23𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ −13𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C. 13𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ −23𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D. 13𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ +23𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗

6. 函数𝑓(𝑥)=𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑥+𝜑)(𝐴>0,𝜔>0,0<𝜑<𝜋2)的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是( )

A. 函数𝑓(𝑥)的图象可由𝑦=𝐴𝑠𝑖𝑛𝜔𝑥的图象向左平移𝜋6个单位得到

B. 函数𝑓(𝑥)的图象关于直线𝑥=𝜋3对称

C. 函数𝑓(𝑥)在区间[−𝜋3,𝜋3]上单调递增

D. 函数𝑓(𝑥)图象的对称中心为(𝑘𝜋2−𝜋12,0)(𝑘∈𝑍)

7. 若函数𝐹(𝑥)=𝑓(𝑥)−2𝑥4是奇函数，𝐺(𝑥)=𝑓(𝑥)+(12)𝑥为偶函数，则𝑓(−1)=( )

A. −52 B. −54 C. 54 D. 52

8. 《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形(黄)和两个小直角三角形(朱、青).将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为𝑎+𝑏，宽为内接正方形的边长𝑑.由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3.设D为斜边BC的中点，作直角三角形ABC的内接正方形对角线AE，过点A作𝐴𝐹⊥𝐵𝐶于点F，则下列推理正确的是( ) 第2页，共17页

①由图1和图2面积相等可得𝑑=𝑎𝑏𝑎+𝑏；②由𝐴𝐸≥𝐴𝐹可得√𝑎2+𝑏22≥𝑎+𝑏2；

③由𝐴𝐷≥𝐴𝐸可得√𝑎2+𝑏22≥21𝑎+1𝑏；④由𝐴𝐷≥𝐴𝐹可得𝑎2+𝑏2≥2𝑎𝑏．

A. ①②③④ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③

9. 已知函数𝑓(𝑥)={𝑙𝑜𝑔2𝑥,𝑥>1𝑥2−1,𝑥≤1，则𝑓(𝑥)<𝑓(𝑥+1)的解集为( )

A. (−1,+∞) B. (−1,1) C. (−12,+∞) D. (−12,1)

10. 已知𝐹1，𝐹2为椭圆C：𝑥2𝑚+𝑦2=1的两个焦点，若C上存在点M满足𝑀𝐹1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅𝑀𝐹2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则实数m取值范围是( )

A. (0,12]∪[2,+∞) B. [12,1)∪[2,+∞) C. (0,12]∪(1,2] D. [12,1)∪(1,2]

11. 为了实施“科技下乡，精准脱贫”战略，某县科技特派员带着A，B，C三个农业扶贫项目进驻某村，对仅有的四个贫困户进行产业帮扶．经过前期走访得知，这四个贫困户甲、乙、丙、丁选择A，B，C三个项目的意向如表：

扶贫项目 A B C

选择意向贫困户 甲、乙、丙、丁 甲、乙、丙 丙、丁

若每个贫困户只能从自己登记的选择意向中随机选取一项，且每个项目至多有两户选择，则甲乙两户选择同一个扶贫项目的概率为( )

A. 38 B. 58 C. 516 D. 12

12. 某几何体是由一个半球挖去一个圆柱形成的，其三视图如图所示．已知半球的半径为√6，则当此几何体的体积最小时，它的表面积为( )

A. 24𝜋 B. (18+3√3)𝜋 C. 21𝜋 D.

(18+4√2)𝜋

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 曲线𝑓(𝑥)=𝑒𝑥2−𝑒𝑥(𝑒是自然对数的底数)在𝑥=1处的切线方程为______．

14. 若数列{𝑎𝑛}的首项为−1，𝑎𝑛⋅𝑎𝑛+1=−2𝑛，则数列{𝑎𝑛}的前10项之和等于______． 第3页，共17页 15. 已知双曲线𝐶：𝑥22−𝑦2=1的右焦点为点F，点B是虚轴的一个端点，点P为双曲线C左支上的一个动点，则△𝐵𝑃𝐹周长的最小值等于______．

16. 在长方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，𝐴𝐵=1，𝐴𝐷=2，𝐴𝐴1=3，点P是线段𝐵1𝐶上的一个动点，则：

(1)𝐴𝑃+𝐷1𝑃的最小值等于______；

(2)直线AP与平面𝐴𝐴1𝐷1𝐷所成角的正切值的取值范围为______．

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）

17. 已知△𝐴𝐵𝐶的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，𝑡𝑎𝑛𝐴(2𝑐𝑜𝑠𝐶−𝑠𝑖𝑛𝐴)=𝑐𝑜𝑠𝐴−2𝑠𝑖𝑛𝐶．

(1)求角B的大小；

(2)若角B为锐角，𝑏=1，△𝐴𝐵𝐶的面积为√34，求△𝐴𝐵𝐶的周长．

18. 在矩形ABCD中，E，F在边CD上，𝐵𝐶=𝐶𝐸=𝐸𝐹=𝐹𝐷=1，如图(1).沿BE，AF将△𝐶𝐵𝐸和△𝐷𝐴𝐹折起，使平面CBE和平面DAF都与平面ABEF垂直，连结CD，如图(2)．

(1)证明：𝐶𝐷//𝐴𝐵；

(2)求三棱锥𝐷−𝐵𝐶𝐸的体积．

19. 已知圆(𝑥−4)2+(𝑦−4)2=25经过抛物线E：𝑦2=2𝑝𝑥(𝑝>0)的焦点F，且与抛物线E的准线l相切．

(1)求抛物线E的标准方程；

(2)设经过点F的直线m交抛物线E于A，B两点，点B关于x轴的对称点为点C，若△𝐴𝐶𝐹的面积为6，求直线m的方程．

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20. 随着运动app和手环的普及和应用，在朋友圈、运动圈中出现了每天1万步的健身打卡现象，“日行一万步，健康一辈子”的观念广泛流传．“健步达人”小王某天统计了他朋友圈中所有好友(共500人)的走路步数，并整理成如表：

分组

(单位：千步) [0,4) [4,8) [8,12) [12,16) [16,20) [20,24) [24,28) [28,32]

频数 60 240 100 60 20 18 0 2

(1)请估算这一天小王朋友圈中好友走路步数的平均数(同一组中数据以这组数据所在区间中点值作代表)；

(2)若用A表示事件“走路步数低于平均步数”，试估计事件A发生的概率；

(3)若称每天走路不少于8千步的人为“健步达人”，小王朋友圈中岁数在40岁以上的中老年人共有300人，其中健步达人恰有150人，请填写下面2×2列联表．根据列联表判断，有多大把握认为，健步达人与年龄有关？

健步达人 非健步达人 合计

40岁以上

不超过40岁

合计

附：𝐾2=𝑛(𝑎𝑑−𝑏𝑐)2(𝑎+𝑏)(𝑐+𝑑)(𝑎+𝑐)(𝑏+𝑑)．

𝑃(𝐾2≥𝑘) 0.050 0.010 0.001

k 3.841 6.635 10.828

21. 已知函数𝑓(𝑥)=𝑒𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥.(𝑒是自然对数的底数)

(1)求𝑓(𝑥)的单调递减区间；

(2)若函数𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)−2𝑥，证明𝑔(𝑥)在(0,𝜋)上只有两个零点．(参考数据：𝑒𝜋2≈4.8)

第5页，共17页 22. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{𝑥=3𝑐𝑜𝑠𝜑−4𝑠𝑖𝑛𝜑𝑦=125𝑐𝑜𝑠𝜑+95𝑠𝑖𝑛𝜑(𝜑为参数).以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为𝜌𝑠𝑖𝑛(𝜃+𝜋3)=√3．

(1)曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；

(2)若直线l与曲线C交于P，Q两点，𝑀(2,0)，求|𝑀𝑃|+|𝑀𝑄|的值．

23. 已知不等式|𝑥−1|+|3𝑥−5|<𝑚的解集为(32,𝑛)．

(1)求n的值；

(2)若三个正实数a，b，c满足𝑎+𝑏+𝑐=𝑚，证明：𝑏2+𝑐2𝑎+𝑐2+𝑎2𝑏+𝑎2+𝑏2𝑐≥2．

第6页，共17页 -------- 答案与解析 --------

1.答案：C

解析：解：∵集合𝐴={1,3，5，7}，

𝐵={𝑥|2𝑥>8}={𝑥|𝑥>3}，

∴𝐴∩𝐵={5,7}．

故选：C．

求出集合A，B，由此能求出𝐴∩𝐵．

本题考查集合的基本运算，考查指数不等式、交集、并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

2.答案：B

解析：解：由𝑒𝑖𝜃=𝑐𝑜𝑠𝜃+𝑖𝑠𝑖𝑛𝜃，得𝑒𝑖𝜋=𝑐𝑜𝑠𝜋+𝑖𝑠𝑖𝑛𝜋=−1，

则由(𝑒𝑖𝜋+𝑖)⋅𝑧=𝑖，得𝑧=𝑖−1+𝑖=𝑖(−1−𝑖)(−1+𝑖)(−1−𝑖)=12−12𝑖，

∴|𝑧|=√(12)2+(−12)2=√22．

故选：B．

由已知可得𝑒𝑖𝜋=−1，再把(𝑒𝑖𝜋+𝑖)⋅𝑧=𝑖变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，结合复数模的计算公式求解．

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．

3.答案：D

解析：解：作出不等式对应的平面区域(阴影部分)，

由𝑧=2𝑥−𝑦，得𝑦=2𝑥−𝑧，

平移直线𝑦=2𝑥−𝑧，由图象可知当直线𝑦=2𝑥−𝑧经过点A时，直线𝑦=2𝑥−𝑧的截距最大，此时z最小．

由{𝑥−𝑦+4=03𝑥+2𝑦−3=0得{𝑥=−1𝑦=3，

即𝐴(−1,3)，

此时z的最小值为𝑧=−1×2−3=−5，

故选：D．

作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最小值．

本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．

4.答案：B

解析：解：∵数列{𝑎𝑛}是等差数列，𝑎2=2，𝑆6=39，

∴{𝑎1+𝑑=26𝑎1+6×52𝑑=39，