初一数学整数的分拆竞赛教程含例题练习及答案

整数分拆1．一般的有，把一个整数表示成两个数相加，当两个数相近或相等的时候，乘积最大．也就是把整数分拆成两个相等或者相差1的两个整数．2．一般的有，把自然数m分成n个自然数的和，使其乘积最大，则先把m进行对n的带余除法，表示成m=np+r，则分成r个(p+1)，(n－r)个P．3．把自然数S (S＞1)分拆为若干个自然数的和(没有给定是几个)，则分开的数当中最多有两个2，其他的都是3，这样它们的乘积最大．4．把自然数分成若干个互不相等的整数，则先把它表示成2+3+4+5+…+n形式，当和等于原数则可以，若不然，比原数大多少除去等于它们差的那个自然数．如果仅大于1，则除去2，再把最大的那个数加1．5．若自然数N有k个大于1的奇约数，则N共有k种表示为两个或两个以上连续自然数之和的方法．即当有m个奇约数表示的乘积，则有奇约数2m－1个奇约数．6．共轭分拆．我们通过下面一个例子来说明共轭分拆：如：10=4+2+2+1+1，我们画出示意图，我们将其翻转(将图左上到右下的对角线翻转即得到)：，可以对应的写成5+3+l+1，也是等于10，即是10的另一种分拆方式．我们把这两种有关联的分拆方式称为互为共轭分拆．1．写出13=1+3+4+5的共轭分拆．2．电视台要播出一部30集电视连续剧，若要每天安排播出的集数互不相等．则该电视连续剧最多可以播出几天?3．若干只同样的盒子排成一列，小聪把42个同样的小球放在这些盒子里然后外出，小明从每支盒子里取出一个小球，然后把这些小球再放到小球数最少的盒子里去。

再把盒子重排了一下．小聪回来，仔细查看，没有发现有人动过小球和盒子．问：一共有多少只盒子?4．机器人从自然数1开始由小到大按如下规则进行染色：凡能表示为两个不同合数之和的自然数都染成红色，不符合上述要求的自然数染成黄色(比如23可表示成两个不同合数15和8之和，23要染红色；1不能表示为两个不同合数之和，1染黄色)．问：要染成红色的数由小到大数下去，第2000个数是多少?请说明理由．5.在整数中，有用2个以上的连续自然数的和来表达一个整数的方法．例如9：9=4+5，9=2+3+4，9有两个用2个以上连续自然数的和来表达它的方法.(1)请写出只有3种这样的表示方法的最小自然数．(2)请写出只有6种这样的表示方法的最小自然数．6.从整数1开始不改变顺序的相加，中途分为两组，使每组的和相等.如从1到3的话，1+2=3；从1到20的话：1+2+3+...+14=15+16+17+ (20)请问：除上述两例外，能够列出这样的最短的整数算式是从1到几?7．把一个整数写成非零自然数的和的形式．如果所用的几个自然数相同，只是写的顺序不同，也只算做一种方法．另外，只使用一个自然数，也算做一种方法．(1)比如，把6用三个以内的自然数的和来表示的方法有如下七种：6，5+1，4+2，3+3，4+l+1，3+2+1，2+2+2．请问：把50用三个以内的自然数的和来表示的方法有几种?(2)比如，把7用3以下的自然数的和来表示的方法有如下八种：3+3+1，3+2+2，3+2+1+1，2+2+2+l，3+1+1+1+1，2+2+l+1+1，2+1+1+1+1+1，1+l+1+1+1+1+1．请问：把50用3以下的自然数的和来表示的方法有几种?8．洗衣服要打好肥皂，揉搓得很充分，再拧一下，当然不可能全拧干．假设使劲拧紧后，衣服上还留有1千克带污物的水．现在有清水18千克，假设每次用来漂洗的水都是整数千克，试问留下的污物最少是洗涤前的几分之几?。

整数的分拆1. 将50分拆成10个质数之和，要求其中最大的质数尽可能的大，那么这个最大的质数是？2. 将60分拆成10个质数之和，要求最大的质数尽可能小，那么其中最大的质数是?3. 将2003拆成两个自然数之和，使其中一个是11的倍数且这个数尽可能小，而另一个是13的倍数且尽可能大，那么这两个数分别是？4. 将2002写成若干个连续自然数之和，有多少种方法？5. 有面值为1分、2分、5分的硬币各4枚，用它们去支付2角3分。

问：有多少种不同的支付方法？6. 3个孩子分20个苹果，每人至少1个，分得的苹果个数是整数，则分配方法共有多少种？7. 能写成两个合数之和的自然数称为“好数”。

那么在1到88的自然数中，“好数”有多少个？8. 从1，2，3，4，5，6，…中去掉不能表示为3个合数之和的那些数之后，剩下的数从小到大排的第95个数是？9. 1，2，3，…，12这12个数，配成六对，有五对的两数之和分别是4，6，14，20，21，那么还有一对的两数之积为？10. 对于一个自然数n ，如果能找到非零自然数k 和l ，使得n k l kl =++，则称n 为“好数”，3＝1＋1＋1，所以3是好数。

在1，2，…，46中，这46个自然数中，“好数”有多少个？11. 将37拆成若干个不同的质数之和，有多少种不同的拆法？将每一种分拆所得的质数相乘，那么所得乘积中，最小的是哪个？12. 将20表示成一些合数之和，这些合数的乘积的最大是？13. 将23写成若干个不相同自然数之和，使得这些自然数的乘积达到最大，这个乘积是?14. 若有8分和15分的邮票可以无限制的取用，但有些邮资，比如9，29等等不能够刚好凑成，那么只用8分和15分的邮票不能凑成的最大邮资是多少分？15. 有很多种方法可以将2001写成25个自然数之和，对于每一种写法，这25个自然数均有相应的最大公约数，那么这个最大公约数的最大值是？16. 某个自然数可以表示成9个连续自然数之和，也能表示成10个连续自然数之和，还可以表示成11个连续自然数之和，那么符合以上条件的最小自然数是？17. 222222615134=+=++可以断定26最多可以表示成3个互不相同的非零自然数的平方和。

整数拆分题目
【原创实用版】
目录
1.整数拆分题目的概述
2.整数拆分的方法
3.整数拆分题目的应用实例
4.整数拆分题目的解题技巧
5.总结
正文
1.整数拆分题目的概述
整数拆分题目是数学中的一类问题，主要涉及到如何将一个整数拆分成若干个整数的和。

这类题目在数学竞赛、中学数学教学及其他领域中都有广泛的应用。

整数拆分题目既考查了学生的逻辑思维能力，又锻炼了他们的计算能力。

2.整数拆分的方法
整数拆分题目的解法有很多，常见的方法有：
（1）直接法：根据题目要求，直接寻找整数的拆分方法。

（2）试错法：通过尝试不同的拆分组合，逐步逼近答案。

（3）数学归纳法：利用数学归纳法寻找整数拆分的规律。

（4）利用数列求和公式：根据数列求和公式，将整数拆分问题转化为求和问题。

3.整数拆分题目的应用实例
例如，有一个整数 100，要求拆分成若干个整数的和，且这些整数都
是 1 到 10 之间的数，问如何拆分？
4.整数拆分题目的解题技巧
（1）善于观察，发现题目中的规律。

（2）熟练掌握数列求和公式，将问题转化为求和问题。

（3）在实际解题过程中，可以先尝试用直接法解决，如果遇到困难，再考虑使用其他方法。

5.总结
整数拆分题目是数学中常见的一类问题，具有一定的挑战性。

通过掌握不同的解题方法，可以提高我们解决这类问题的能力。

初中数学竞赛：整数的分拆整数的分拆，就是把一个自然数表示成为若干个自然数的和的形式，每一种表示方法，就是自然数的一个分拆。

整数的分拆是古老而又有趣的问题，其中最著名的是哥德巴赫猜想。

在国内外数学竞赛中，整数分拆的问题常常以各种形式出现，如，存在性问题、计数问题、最优化问题等。

例1 电视台要播放一部30集电视连续剧，若要求每天安排播出的集数互不相等，则该电视连续剧最多可以播几天？分析与解：由于希望播出的天数尽可能地多，所以，在每天播出的集数互不相等的条件下，每天播放的集数应尽可能地少。

我们知道，1+2+3+4+5+6+7=28。

如果各天播出的集数分别为1，2，3，4，5，6，7时，那么七天共可播出28集，还剩2集未播出。

由于已有过一天播出2集的情形，因此，这余下的2集不能再单独于一天播出，而只好把它们分到以前的日子，通过改动某一天或某二天播出的集数，来解决这个问题。

例如，各天播出的集数安排为1，2，3，4，5，7，8或1，2，3，4，5，6，9都可以。

所以最多可以播7天。

说明：本题实际上是问，把正整数30分拆成互不相等的正整数之和时，最多能写成几项之和？也可以问，把一个正整数拆成若干个整数之和时，有多少种分拆的办法？例如：5=1+1+1+1+1=1+1+1+2，=1+2+2 =1+1+3=2+3 =1+4，共有6种分拆法（不计分成的整数相加的顺序）。

例2 有面值为1分、2分、5分的硬币各4枚，用它们去支付2角3分。

问：有多少种不同的支付方法？分析与解：要付2角3分钱，最多只能使用4枚5分币。

因为全部1分和2分币都用上时，共值12分，所以最少要用3枚5分币。

当使用3枚5分币时，5×3=15，23-15=8，所以使用2分币最多4枚，最少2枚，可有23=15+（2+2+2+2），23=15+（2+2+2+1+1），23=15+（2+2+1+1+1+1），共3种支付方法。

当使用4枚5分币时，5×4=20，23-20=3，所以最多使用1枚2分币，或不使用，从而可有23=20+（2+1），23=20+（1+1+1），共2种支付方法。

初中数学因式分解(一)因式分解是代数式恒等变形的基本形式，是解决数学问题的有力工具．是掌握因式分解对于培养学生解题技能，思维能力，有独特作用．1．运用公式法整式乘法公式，反向使用，即为因式分解(1)a2-b2=(a+b)(a-b)；(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．几个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；(7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数；(8)a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)，其中n为偶数；(9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1)，其中n为奇数．分解因式，根据多项式字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．例1 分解因式：(1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4； (2)x3-8y3-z3-6xyz；(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab；(4)a7-a5b2+a2b5-b7．例2 分解因式：a3+b3+c3-3abc．例3 分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1．2．拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．例4 分解因式：x3-9x+8．例5 分解因式：(1)x9+x6+x3-3； (2)(m2-1)(n2-1)+4mn；(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4； (4)a3b-ab3+a2+b2+1．3．换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．例6 分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-12．例7 分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90．例8 分解因式：(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2．例9分解因式：6x4+7x3-36x2-7x+6．例10 分解因式：(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)．练习一1．分解因式：(2)x10+x5-2；(4)(x5+x4+x3+x2+x+1)2-x5．2．分解因式：(1)x3+3x2-4；(2)x4-11x2y2+y2；(3)x3+9x2+26x+24；(4)x4-12x+323．3．分解因式：(1)(2x2-3x+1)2-22x2+33x-1； (2)x4+7x3+14x2+7x+1；(3)(x+y)3+2xy(1-x-y)-1；(4)(x+3)(x2-1)(x+5)-20．初中数学因式分解(一)答案多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．1．运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1)a2-b2=(a+b)(a-b)；(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．下面再补充几个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；(7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数；(8)a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)，其中n为偶数；(9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1)，其中n为奇数．运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．例1 分解因式：(1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4；(2)x3-8y3-z3-6xyz；(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab；(4)a7-a5b2+a2b5-b7．解 (1)原式=-2x n-1y n(x4n-2x2ny2+y4)=-2x n-1y n[(x2n)2-2x2ny2+(y2)2]=-2x n-1y n(x2n-y2)2=-2x n-1y n(x n-y)2(x n+y)2．(2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z)=(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)．(3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2＝(a-b)2+2c(a-b)+c2=(a-b+c)2．本小题可以稍加变形，直接使用公式(5)，解法如下：原式=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b)=(a-b+c)2(4)原式=(a7-a5b2)+(a2b5-b7)=a5(a2-b2)+b5(a2-b2)=(a2-b2)(a5+b5)=(a+b)(a-b)(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)=(a+b)2(a-b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)例2 分解因式：a3+b3+c3-3abc．本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)．分析我们已经知道公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3的正确性，现将此公式变形为a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)．这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导．解原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc=［(a+b)3+c3］-3ab(a+b+c)=(a+b+c)［(a+b)2-c(a+b)+c2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)．说明公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变形为a3+b3+c3-3abc显然，当a+b+c=0时，则a3+b3+c3=3abc；当a+b+c＞0时，则a3+b3+c3-3abc≥0，即a3+b3+c3≥3abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立．如果令x=a3≥0，y=b3≥0，z=c3≥0，则有等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论．例3 分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1．分析这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x15开始，x的次数顺次递减至0，由此想到应用公式a n-b n来分解．解因为x16-1=(x-1)(x15+x14+x13+…x2+x+1)，所以说明在本题的分解过程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技巧，这一技巧在等式变形中很常用．2．拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．例4 分解因式：x3-9x+8．分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．解法1 将常数项8拆成-1+9．原式=x3-9x-1+9=(x3-1)-9x+9=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法2 将一次项-9x拆成-x-8x．原式=x3-x-8x+8=(x3-x)+(-8x+8)=x(x+1)(x-1)-8(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3．原式=9x3-8x3-9x+8=(9x3-9x)+(-8x3+8)=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)=(x-1)(x2+x-8)．解法4 添加两项-x2+x2．原式=x3-9x+8=x3-x2+x2-9x+8=x2(x-1)+(x-8)(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．说明由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．例5 分解因式：(1)x9+x6+x3-3；(2)(m2-1)(n2-1)+4mn；(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4；(4)a3b-ab3+a2+b2+1．解 (1)将-3拆成-1-1-1．原式=x9+x6+x3-1-1-1=(x9-1)+(x6-1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+2x3+3)=(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3)．(2)将4mn拆成2mn+2mn．原式=(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn=(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2)=(mn+1)2-(m-n)2=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)．(3)将(x2-1)2拆成2(x2-1)2-(x2-1)2．原式=(x+1)4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(x-1)4=［(x+1)4+2(x+1)2(x-1)2+(x-1)4]-(x2-1)2=［(x+1)2+(x-1)2]2-(x2-1)2=(2x2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3)．(4)添加两项+ab-ab．原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab=(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1)=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1)=a(a-b)［b(a+b)+1]+(ab+b2+1)=[a(a-b)+1](ab+b2+1)=(a2-ab+1)(b2+ab+1)．说明 (4)是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式．这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验．3．换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．例6 分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-12．分析将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将x2+x看作一个整体，并用字母y来替代，于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了．解设x2+x=y，则原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10=(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)=(x-1)(x+2)(x2+x+5)．说明本题也可将x2+x+1看作一个整体，比如今x2+x+1=u，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试．例7 分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90．分析先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合．解原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90=[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90=(2x2+5x+3)(2x2+5x+2)-90．令y=2x2+5x+2，则原式=y(y+1)-90=y2+y-90=(y+10)(y-9)=(2x2+5x+12)(2x2+5x-7)=(2x2+5x+12)(2x+7)(x-1)．说明对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的基础．例8 分解因式：(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2．解设x2+4x+8=y，则原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x)=(x2+6x+8)(x2+5x+8)=(x+2)(x+4)(x2+5x+8)．说明由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式．例9分解因式：6x4+7x3-36x2-7x+6．解法1 原式=6(x4+1)＋7x(x2-1)-36x2=6［(x4-2x2+1)+2x2］+7x(x2-1)-36x2=6[(x2-1)2+2x2]+7x(x2-1)-36x2=6(x2-1)2+7x(x2-1)-24x2=[2(x2-1)-3x］［3(x2-1)+8x]=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．说明本解法实际上是将x2-1看作一个整体，但并没有设立新元来代替它，即熟练使用换元法后，并非每题都要设置新元来代替整体．解法2原式=x2[6(t2+2)+7t-36]=x2(6t2+7t-24)=x2(2t-3)(3t+8)=x2[2(x-1/x)-3][3(x-1/x)+8]=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．例10 分解因式：(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)．分析本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令u=x+y，v=xy，用换元法分解因式．解原式=[(x+y)2-xy]2-4xy[(x+y)2-2xy]．令x+y=u，xy=v，则原式=(u2-v)2-4v(u2-2v)=u4-6u2v+9v2=(u2-3v)2=(x2+2xy+y2-3xy)2=(x2-xy+y2)2．。

整数拆分题目（最新版）目录1.整数拆分题目的概念与意义2.整数拆分题目的解题思路与方法3.整数拆分题目的实际应用案例4.整数拆分题目的拓展与提高正文一、整数拆分题目的概念与意义整数拆分题目是数学领域中的一类问题，主要涉及到如何将一个整数拆分成若干个整数的和。

这类题目在各种数学竞赛、考试中都有出现，对于培养学生的逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力具有重要意义。

二、整数拆分题目的解题思路与方法1.穷举法：对于一些简单的整数拆分题目，可以通过穷举法找到答案。

即尝试将整数拆分成若干个整数的和，直到找到符合条件的拆分方法为止。

2.递推法：对于一些较复杂的整数拆分题目，可以通过递推法求解。

即先找到一个初始的拆分方法，然后根据题目的条件，递推找到更优的拆分方法。

3.构造法：对于一些特殊的整数拆分题目，可以通过构造法求解。

即通过创造一些新的数或者式子，使得问题得以简化，从而找到拆分方法。

4.利用数学定理和性质：在解决整数拆分题目时，还可以运用一些数学定理和性质，如抽屉原理、裴蜀定理等，以提高解题效率。

三、整数拆分题目的实际应用案例例如，有一个整数 100，需要拆分成若干个整数的和，使得这些整数都是 1 到 10 之间的数，问如何拆分？通过穷举法、递推法或构造法，可以找到一个符合条件的拆分方法，即 100 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 +7 + 8 + 9 + 10。

四、整数拆分题目的拓展与提高1.拓展到有理数拆分问题：在整数拆分题目的基础上，可以将问题拓展到有理数领域，即如何将一个有理数拆分成若干个有理数的和。

2.限制条件：在整数拆分题目中，可以增加一些限制条件，如拆分后的整数必须满足一定的顺序、不能重复使用等，以提高题目的难度。

1．如果要把10块糖全部放到3个相同的盒子里，不能有空盒．那么一共有多少种不同的放法？A.4B.5C.8D.36来源：2015·乐乐课堂·练习难度：简单类型：选择题答案：C2．如果要把7块糖全部放到3个相同的盒子里，不能有空盒．那么一共有多少种不同的放法？A.4B.6C.8D.15来源：2015·乐乐课堂·练习难度：简单类型：选择题答案：A3．如果要把6块糖全部放到3个相同的盒子里，不能有空盒．那么一共有多少种不同的放法？A.3B.6C.9D.10来源：2015·乐乐课堂·练习难度：简单类型：选择题答案：A4．如果要把10块糖全部放到3个相同的盒子里，并且每个盒子里至少有2块糖．那么一共有多少种不同的放法？A.3B.4C.9D.15来源：2015·乐乐课堂·练习难度：简单类型：选择题答案：B5．如果要把7块糖全部放到3个相同的盒子里，并且每个盒子里至少有2块糖．那么一共有多少种不同的放法？A.1B.3C.4D.15来源：2015·乐乐课堂·练习难度：中等类型：选择题答案：A6．如果要把8块糖全部放到3个相同的盒子里，并且每个盒子里至少要有2块糖．那么一共有多少种不同的放法？A.1B.2C.5D.6来源：2015·乐乐课堂·练习难度：简单类型：选择题答案：B7．如果要把10个苹果分成3堆，并且每堆苹果数量都不相同．那么一共有多少种不同的分法？A.3B.4C.8D.24来源：2015·乐乐课堂·练习难度：中等类型：选择题答案：B8．如果要把9个苹果分成3堆，并且每堆苹果数量都不相同．那么一共有多少种不同的分法？A.3B.1C.7D.18来源：2015·乐乐课堂·练习难度：简单类型：选择题答案：A9．如果要把8个苹果分成3堆，并且每堆苹果数量都不相同．那么一共有多少种不同的分法？A.12B.5C.4D.2来源：2015·乐乐课堂·练习难度：中等类型：选择题答案：D10．如果要把10块糖全部放到3个相同的盒子里，不能有空盒，并且每个盒子里最多有6块糖．那么一共有多少种不同的放法？A.4B.6C.8D.27来源：2015·乐乐课堂·练习难度：中等类型：选择题答案：B首页上一页1234下一页尾页11．如果要把7块糖全部放到3个相同的盒子里，不能有空盒，并且每个盒子里最多有4块糖．那么一共有多少种不同的放法？A.12B.6C.4D.3来源：2015·乐乐课堂·练习难度：中等类型：选择题答案：D12．如果要把8块糖全部放到3个相同的盒子里，不能有空盒，并且每个盒子里最多只能有4块糖．那么一共有多少种不同的放法？A.1B.2C.3D.12来源：2015·乐乐课堂·练习难度：中等类型：选择题答案：C13．乐乐要把8个糖果分给饭饭、炜炜和文文，要求每人至少有1个糖果，而且文文必须分得2个糖果．那么，共有多少种不同的分法？A.3B.5C.10D.15来源：2014·乐乐课堂·练习难度：简单类型：选择题答案：B14．乐乐要把5个糖果分给饭饭、炜炜和文文，要求每人至少有1个糖果，而且文文必须分得2个糖果．那么，共有多少种不同的分法？A.1B.2C.4D.3来源：2014·乐乐课堂·练习难度：中等类型：选择题答案：B15．乐乐要把6个糖果分给饭饭、炜炜和文文，要求每人至少有1个糖果，而且文文必须分得3个糖果．那么，共有多少种不同的分法？A.6B.4C.2D.1来源：2014·乐乐课堂·练习难度：中等类型：选择题答案：C16．乐乐要把5个糖果放到3个不同的盒子里，每个盒子都要有糖果．请问有多少种不同的放法？A.3B.5C.6D.9来源：2014·乐乐课堂·练习难度：简单类型：选择题答案：C17．乐乐要把4个糖果放到3个不同的盒子里，每个盒子都要有糖果．请问有多少种不同的放法？A.2B.3C.10D.15来源：2014·乐乐课堂·练习难度：简单类型：选择题答案：B18．乐乐要把8个糖果放到3个不同的盒子里，每个盒子至少有2个糖果．请问有多少种不同的放法？A.6B.15C.18D.21来源：2014·乐乐课堂·练习难度：简单类型：选择题答案：A19．乐乐要把5个糖果放到3个不同的盒子里．每个盒子都得有，并且最多只能放2个糖果．请问有多少种不同的放法？A.1B.2C.3D.6来源：2014·乐乐课堂·练习难度：简单类型：选择题答案：C20．乐乐要把4个糖果放到3个不同的盒子里．每个盒子都得有，并且最多只能放2个糖果．请问有多少种不同的放法？A.3B.5C.6D.15来源：2014·乐乐课堂·练习难度：简单类型：选择题答案：A首页上一页1234下一页尾页21．乐乐要把8个糖果放到3个不同的盒子里．每个盒子里都得有，并且最多只能放3个糖果．请问有多少种不同的放法？A.3B.5C.15D.21来源：2014·乐乐课堂·练习难度：中等类型：选择题答案：A22．星星要把8个娃娃全部分给大雁、小燕子和旦旦，要求每人都要有娃娃，而且小燕子的娃娃要比旦旦的少．请问有多少种不同的分法？A.3B.15C.9D.21来源：2014·乐乐课堂·练习难度：简单类型：选择题答案：C23．饭饭要把7个娃娃全部分给星星、燕燕和旦旦，要求每人都要有娃娃，而且星星的娃娃要比燕燕的少．请问有多少种不同的分法？A.1B.6C.12D.18来源：2014·乐乐课堂·练习难度：简单类型：选择题答案：B24．乐乐要把6个娃娃全部分给山山、东东和亮亮，要求每人都要有娃娃，而且山山的娃娃要比东东的少．请问有多少种不同的分法？A.4B.6C.10D.16来源：2014·乐乐课堂·练习难度：简单类型：选择题答案：A25．星星要把8根冰棍全部分给大雁、小燕子和旦旦，要求每人都要有冰棍，而且大雁分到的比小燕子少，小燕子分到的比旦旦少．请问有多少种不同的分法？A.1B.2C.3D.4来源：2014·乐乐课堂·练习难度：中等类型：选择题答案：B26．文文要把9根冰棍全部分给大雁、小燕子和旦旦，要求每人都要有冰棍，而且大雁分到的比小燕子少，小燕子分到的比旦旦少．请问有多少种不同的分法？A.1B.2C.3D.4来源：2014·乐乐课堂·练习难度：中等类型：选择题答案：C27．杨杨要把10根冰棍全部分给大雁、小燕子和旦旦，要求每人都要有冰棍，而且大雁分到的比小燕子少，小燕子分到的比旦旦少．请问有多少种不同的分法？A.1B.2C.3D.4来源：2014·乐乐课堂·练习难度：困难类型：选择题答案：D28．乐乐要把4个糖果全部分给饭饭、炜炜和文文，每人至少有1个糖果，那么，共有多少种不同的分法？A.2B.3C.4D.5来源：2014·乐乐课堂·练习难度：简单类型：选择题答案：B29．乐乐要把5个糖果全部分给饭饭、炜炜和文文，每人至少分到一个糖果，那么，共有多少种不同的分法？A.6B.5C.4D.3来源：2014·乐乐课堂·练习难度：中等类型：选择题答案：A30．杨杨要把5块巧克力全部分给笑笑、山山和东东，每人至少分到一块巧克力，那么，共有多少种不同的分法？A.7B.6C.5D.4来源：2014·乐乐课堂·练习难度：简单类型：选择题答案：B首页上一页1234下一页尾页31．星星要把4个梨全部放到三个不同的盒子里，每个盒子里都要有梨，那么，共有多少种不同的放法？A.4B.3C.2D.1来源：2014·乐乐课堂·练习难度：简单类型：选择题答案：B32．乐乐要把6个糖果全部放到三个不同的盒子里，每个盒子里都要有糖果，那么，共有多少种不同的放法？A.10B.8C.6D.4来源：2014·乐乐课堂·练习难度：中等类型：选择题答案：A33．亮亮要把5个苹果全部放到三个不同的盒子里，每个盒子里都要有苹果，那么，共有多少种不同的放法？A.3B.4C.5D.6来源：2014·乐乐课堂·练习难度：中等类型：选择题答案：D34．乐乐要把8个糖果全部分给饭饭、炜炜和文文，每人至少有1个糖果，其中有一人分到4个糖果．那么，共有多少种不同的分法？A.3B.6C.9D.21来源：2014·乐乐课堂·练习难度：困难类型：选择题答案：C35．乐乐要把8个糖果全部分给饭饭、炜炜和文文，每人至少有一个糖果，其中有一人分到5个糖果．那么，共有多少种不同的分法？A.2B.4C.21D.6来源：2014·乐乐课堂·练习难度：困难类型：选择题答案：D36．乐乐要把10个糖果全部分给饭饭、炜炜和文文，每人至少有一个糖果，其中有一人分到5个糖果．那么，共有多少种不同的分法？A.4B.8C.36D.12来源：2014·乐乐课堂·练习难度：困难类型：选择题答案：D首页上一页1234下一页尾页。

数学初中竞赛整数专题训练一．选择题1．下列说法正确的是（）A．所有合数都是偶数B．两个相邻的正整数互素C．所有的素数是奇数D．因为10÷0.5＝20，所以10能被0.5整除2．大家都知道，八点五十五可以说成九点差五分，有时这样表达更清楚．这启发人们设计了一种新的加减记数法．比如：9写成，；198写成，；7683写成，．总之，数字上画一杠表示减去它，按这个方法请计算＝（）A．1990 B．2134 C．2068 D．30243．假设一家旅馆一共有30个房间，分别编以1～30三十个号码，现在要在每个房间的钥匙上刻上数字，要求所刻的数字必须使服务员很容易辨认是哪一个房间的钥匙，而使局外人不容易猜到．现在有一种编码的方法是：在每把钥匙上刻上两个数字，左边的一个数字是这把钥匙原来的房间号码除以5所得的余数，而右边的一个数字是这把钥匙原来的房间号码除以7所得的余数，那么刻的数是36的钥匙所对应的原来房间应该是（）号．A．28 B．23 C．20 D．134．若x1，x2，x3，x4，x5为互不相等的正奇数，满足（2005﹣x1）（2005﹣x2）（2005﹣x3）（2005﹣x4）（2005﹣x5）＝242，则x12+x22+x32+x42+x52的未位数字是（）A．1 B．3 C．5 D．75．观察下列算式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256…根据上述算式中的规律，你认为22130的个位数字是（）A．2 B．4 C．6 D．86．将1，2，3，4，5，6，7，8这八个数分别填写于一个圆周八等分点上，使得圆周上任两个相邻位置的数之和为质数，如果圆周旋转后能重合的算作相同填法，那么不同的填法有（ ） A ．4种B ．8种C ．12种D ．16种7．23，33和43分别可以按如下方式分裂成2个、3个和4个连续奇数的和，23＝3+5，33＝7+9+11，43＝13+15+17+19，63也能按此规律进行分裂，则63分裂出的奇数中最大的是（ ） A ．41B ．39C ．31D ．298．在不大于100的自然数中，既不是完全平方数（平方根是整数）也不是完全立方数（立方根是整数）的数的概率有（ ） A ．B ．C ．D ．9．若自然数n 使得作竖式加法n +（n +1）+（n +2）时均不产生进位现象，便称n 为“连绵数”．如因为12+13+14不产生进位现象，所以12是“连绵数”；但13+14+15产生进位现象，所以13不是“连绵数”，则小于100的“连绵数”共有（ ）个． A ．9B ．11C ．12D ．1510．已知一列数a 1，a 2，a 3，…，a n ，…中，a 1＝0，a 2＝2a 1+1，a 3＝2a 2+1，…，a n +1＝2a n +1，…．则a 2004﹣a 2003的个位数字是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．811．设完全平方数M 的个位与十位数码交换后得到另一个完全平方数N （M ＞N ）．则符合条件的M 的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．多于312．若b 是无理数，且ab +9＝3a +3b ，则a 2012的个位上的数字是（ ） A ．9 B ．7C ．3D ．1二．填空题13．使得5×2m +1是完全平方数的整数m 的个数为 ． 14．设四位数满足a 3+b 3+c 3+d 3+1＝10c +d ，则这样的四位数的个数为 ．15．有两个三位数相乘所得得乘法算式：×＝，其中A ≠B ，并且B ，C ，D ，E ，F ，G 这六个字母恰好代表化成小数后循环节中的六个数字（顺序不一定相同），则A +B ＝ ．16．将小王与小孙现在的年龄按从左至右的顺序排列得到一个四位数，这个数为完全平方数，再过31年，将他们的年龄按同样方式排列，又得到一个四位数，这个数仍然为完全平方数，则小王现在的年龄是 岁．17．对于正整数m ，若m ＝pq （p ≥q ＞0，且p ，q 为整数），当p ﹣q 最小时，则称pq 为m 的“最佳分解”，并规定f （m ）＝（如：12的分解有12×1，6×2，4×3，其中，4×3为12的最佳分解，则f （12）＝）．关于f （m ）有下列判断：①f （27）＝3；②f （13）＝；③f （2018）＝；④f （2）＝f （32）；⑤若m 是一个完全平方数，则f （m ）＝1．其中，正确判断的序号是 ．18．让我们轻松一下，做一个数字游戏：第一步：取一个自然数n 1＝5，计算n 12+1，将所得结果记为a 1； 第二步：算出a 1的各位数字之和得n 2，计算n 22+1，结果为a 2；第三步：算出a 2的各位数字之和得n 3，再计算n 32+1，结果为a 3；…依此类推，则a 10＝ ．19．已知55＝3125，56＝15625，57＝78125，58＝390625，…，则52013的末4位数是 ． 20．是一个三位的自然数，已知，这个三位数是218；聪明的小亮在解决这种问题时，采取列成连减竖式的方法（见图）确定要求的自然数，请你仿照小亮的作法，解决这种问题．如果是一个四位的自然数，且，那么，这个四位数是 ．三．解答题 21．是不符合多项顶式运算法则的，因此这个等式是错误的．但当x 、y 取某些特殊数值时，这个等式可以成立，例如：x ＝y ＝0时，等式成立；x ＝5，y ＝9的，等式成立；我们称使得，成立的一对有理数x 、y 为“巧合数对”，记作（x ，y ）．（1）若（x ，1）是“巧合数对”，则有理数x ＝ ．（2）若（x，y）是“巧合数对”，试归纳、猜想有理数x、y应满足的关系式是．（3）求6a﹣13b﹣3（5a﹣6b+2）的值，其中（a，b）是“巧合数对”．22．一个三位自然数（百位上的数字为a，十位上的数字为b，个位上的数字为c）．若满足a+c＝b，则称这个三位数为“和悦数”，并规定．如231，因为它的百位上的数字2与个位上的数字1之和等于十位上的数字3．所以231是“和悦数”，所以．（1）请任意写出两个“和悦数”，并猜想任意一个“和悦数”是否是11的倍数，请说明理由；（2）已知有两个十位上的数字相同的“和悦数”m，n（m＞n），若F（m）﹣F（n）＝5，求m﹣n的值．23．阅读材料，解决问题：由31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，38＝6561，…，不难发现3的正整数幂的个位数字以3、9、7、1为一个周期循环出现，由此可以得到：因为3100＝34×25，所以3100的个位数字与34的个位数字相同，应为1；因为32009＝34×502+1，所以32009的个位数字与31的个位数字相同，应为3．（1）请你仿照材料，分析求出299的个位数字及999的个位数字；（2）请探索出22010+32010+92010的个位数字；（3）请直接写出92010﹣22010﹣32010的个位数字．24．三位数可表示为100x+10y+z，若三位数能被n整除，将其首位数字放到末尾，得到新数能被n+1整除，再次将其首位数字放到末尾，得到新数能被n+2整除，则称这个三位数是n的一个“行进数“（n≠1）．规定F（）＝．例如，402能被3整除，024能被4整除，240能被5整除，则三位数402是3的一个“行进数”；再如324能被2整除，243能被3整除，432能被4整除，则三位数324是2的一个“行进数”，且F（324）＝＝9（1）F（542）＝，282是的一个“行进数”．（2）若三位数是3的一个“行进数”，且x≠0，请求出满足条件的所有，并求出F（）的最大值．25．在求两位数乘两位数时，可以用“列竖式”的方法进行速算，如图给出了部分速算过程．（1）根据前3个“列竖式”的速算方法，可得a＝，b＝，c＝，d＝，e＝，f＝；（2）根据前3个“列竖式”的速算方法，在速算“31×”时，给出了部分过程如图所示．则这个两位数可能为．26．阅读材料：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a、b、c为常数）的根均为整数，称该方程为“快乐方程”，我们发现任何一个“快乐方程”的判别式△＝b2﹣4ac 一定为完全平方数规定F（a，b，c）＝为该“快乐方程”的“快乐数”，若有另一个“快乐方程”px2+qx+r＝0（p≠0，（p、q、r为常数）的“快乐数”为F（p，q，r）且满足|rF（a，b，c）﹣cF（p，q，r）|＝0，则称F（a，b，c）与F（p，q，r）互为“乐呵数”例如“快乐方程”x2﹣2x﹣3＝0的两根均为整数，其判别式△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣3）＝16＝42其“快乐数”F（1，﹣2，﹣3）＝（1）“快乐方程”x2﹣4x+3＝0的“快乐数”为，若关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣3）x+m2﹣4m﹣5＝0（m为整数，且5＜m＜22）是“快乐方程”，求其“快乐数”（2）若关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x+m+1＝0与x2﹣（n+2）x+2n＝0（m，n均为整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“乐呵数”，求n的值．27．对于一个四位自然数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同且均不为0，它的千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，那么称这个数n为“平衡数”．对于一个“平衡数”，从千位数字开始顺次取出三个数字构成四个三位数，把这四个三位数的和与222的商记为F（n）．例如：n＝1526，因为1+6＝2+5，所以1526是一个“平衡数”，从千位数字开始顺次取出三个数字构成的四个三位数分别为152、526、261、615，这四个三位数的和为：152+526+261+615＝1554，1154÷222＝7，所以F（1526）＝7．（1）写出最小和最大的“平衡数”n，并求出对应的F（n）的值；（2）若s，t都是“平衡数”，其中s＝10x+y+3201，t＝1000m+10n+126（0≤x≤9，0≤y ≤8，1≤m≤9，0≤n≤7，x，y，m，n都是整数），规定：k＝，当F（s）+F （t）是一个完全平方数时，求k的最大值．参考答案一．选择题1．解：∵9是合数，但是9不是偶数， ∴选项A 不符合题意；∵两个相邻的正整数的公约数只有1， ∴两个相邻的正整数互素， ∴选项B 符合题意；∵2是素数，但是2不是奇数，2是偶数， ∴选项C 不符合题意；∵0.5不是整数，∴不能说10能被0.5整除， ∴选项D 不符合题意． 故选：B ． 2．解：由题意知＝5000﹣201+30＝4829，＝3000﹣240+1＝2761， ∴＝4829﹣2761＝2068，故选：C ．3．解：∵1～30中，除以5余3的有：8，13，18，23，28， 1～30中，除以7余6的有：13，20，27， ∴刻的数是36的钥匙所对应的原来房间应该是13． 故选：D ．4．解：（2005﹣x 1）（2005﹣x 2）（2005﹣x 3）（2005﹣x 4）（2005﹣x 5）＝242， 而242＝2×（﹣2）×4×6×（﹣6）， （2005﹣x 1）2+（2005﹣x 2）2+…（2005﹣x 5）2 ＝22+（﹣2）2+42+62+（﹣6）2＝96，即5×20052+2005×2×（x1+x2+x3+x4+x5）+（x12+x22+x32+x42+x52）的末位数为96，由上式可知：5×20052的末位数为5，2005×2×（x1+x2+x3+x4+x5）的末位数为0，而96的末位数为6，所以6﹣5＝1，即x12+x22+x32+x42+x52的末位数为1．故选：A．5．解：2n的个位数字是2，4，8，6四个一循环，所以2130÷4＝532…2，则22130的末位数字是4．故选：B．6．解：∵相邻两数和为奇质数，则圆周上的数奇偶相间，∴8的两侧为3，5，而7的两侧为4，6，∴剩下两数1，2必相邻，且1与4，6之一邻接，考虑三个模块【4，7，6】，【5，8，3】，【1，2】的邻接情况，得到4种填法．故选：A．7．解：由23＝3+5，分裂中的第一个数是：3＝2×1+1，33＝7+9+11，分裂中的第一个数是：7＝3×2+1，43＝13+15+17+19，分裂中的第一个数是：13＝4×3+1，53＝21+23+25+27+29，分裂中的第一个数是：21＝5×4+1，63＝31+33+35+37+39+41，分裂中的第一个数是：31＝6×5+1，所以63“分裂”出的奇数中最大的是6×5+1+2×（6﹣1）＝41．故选：A．8．解：∵0﹣100中的完全平方数有：0，1，4，9，16，25，36，49，64，81，100；完全立方数有：0，8，27，64；∴0﹣100的自然数中既不是完全平方数与也不是完全立方数的共有101﹣11﹣4+2＝88个；∴在不大于100的自然数中，既不是完全平方数（平方根是整数）也不是完全立方数（立方根是整数）的数的概率为．故选：D．9．解：根据题意个位数需要满足要求：∵n+（n+1）+（n+2）＜10，即N＜2.3，∴个位数可取0，1，2三个数，∵十位数需要满足：3n＜10，∴n＜3.3，∴十位可以取0，1，2，3四个数，故四个数的连绵数共有3×4＝12个．故选：C．10．解：∵a1，a2，a3，…，a n，…中，个位数字每4个数一循环，∴a2004的个位数字是7，a2003的个位数字是3，则a2004﹣a2003的个位数字是7﹣3＝4．故选：B．11．解：设原来完全平方数M的个位数码是a，十位数码是b，则交换后得到另一个完全平方数N的个位数码是b，十位数码是a，因为M＞N，所以两个数的差是（10b+a）﹣（10a+b）＝10b+a﹣10a﹣b＝9b﹣9a＝9（b﹣a），设M＝x2，N＝y2，则M﹣N＝x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝9（b﹣a），由于完全平方数个位上只能是0（不合题意），1，4，5，6，9，则b﹣a＝1，2，3，4，5，8，9，则有（不合题意舍去），（不合题意舍去），（不合题意舍去），（不合题意舍去），，解得，即M＝196，N＝169（符合题意），（不合题意舍去），（不合题意舍去），（不合题意舍去），（不合题意舍去），（不合题意舍去），（不合题意舍去），（不合题意舍去），（不合题意舍去），（不合题意舍去），（不合题意舍去），（不合题意舍去），（不合题意舍去），（不合题意舍去），（不合题意舍去），（不合题意舍去），（不合题意舍去），（不合题意舍去），（不合题意舍去）．只有一组解符合要求，因此符合条件的M是196，个数为1．故选：A．12．解：ab+9＝3a+3b，（a﹣3）（b﹣3）＝0，∵b是无理数，∴a﹣3＝0，∴a＝3；∵31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，可知3n的个位数字是3，9，7，1四个一循环，2012÷4＝503，∴a2012的个位上的数字是1．故选：D．二．填空题（共8小题）13．解：设5×2m+1＝n2（其中n为正整数），则5×2m＝n2﹣1＝（n+1）（n﹣1），∵5×2m是偶数，∴n为奇数，设n＝2k﹣1（其中k是正整数），则5×2m＝4k（k﹣1），即5×2m﹣2＝k（k﹣1）．显然k＞1，∵k和k﹣1互质，∴或或，解得：k＝5，m＝4．因此，满足要求的整数m只有1个．故答案为：1．14．解：根据题意可得：a，b，c，d是小于10的自然数，∵a3+b3+c3+d3+1＝10c+d，∴可得a3+b3+c3+d3+1是两位数，∴a，b，c，d均为小于5的自然数，∴如果c＝1，d＝0，则a＝2，b＝0，此时这个四位数为2010，如果c＝1，d＝1，则a＝2，b＝0，此时这个四位数为2011，如果c＝1，d＝2，则a＝1，b＝1，此时这个四位数为1112，如果c＝2，找不到符合要求的数，如果c＝3，d＝0，则a＝1，b＝1，此时这个四位数为1130，如果c＝3，d＝1，则a＝1，b＝1，此时这个四位数为1131，如果c＝4，则c3＝64，不符合题意，故此四位数可能为：2010或2011或1112或1130或1131．故答案为：5．15．解：∵＝0.，∴数字B为1，4，2，8，5，7中，其中的一个，则B必定是1、2、4、5、7、8中的一个，即一个三位数可能是111、222、444、555、777、888中的一个，因为乘积是6位数，所以，A＞1根据乘积的个位数字与B相同，当B＝1时，A＝1，不符合题意，舍去，当B＝2时，A＝1（舍）或6，∴666×222＝147825，刚好符合题意，∴A+B＝6+2＝8，当B＝4，A＝1（舍）或6，∴666×444＝295704，不符合题意，当B＝5时，A＝1（舍）或3或5（舍）或7或9，333×555＝184815，不符合题意，777×555＝431235，不符合题意，999×555＝554445，不符合题意，当B＝7时，A＝1（舍），当B＝8时，A＝1（舍）或6，∴666×888＝591408，不符合题意，所以A+B＝2+6＝8，故答案为：8．16．解：设小王年龄为x岁，小孙年龄为y岁，可得，100x+y＝m2，100（x+31）+y+31＝n2，两式相减得100×31+31＝n2﹣m2，31×101＝（n﹣m）（n+m），∴，解得，，∴100x+y＝352＝1225，∴x＝12，y＝25，即：小王现在的年龄是12岁，故答案为：12．17．解：①∵27的分解有27×1，9×3，∴9×3为27的最佳分解，则f（12）＝＝，故说法①错误；②∵13的分解有13×1，∴13×1为13的最佳分解，则f（13）＝，故说法②正确；③∵2018的分解有2018×1，1009×2，∴1009×2为2018的最佳分解，则f（2018）＝，故说法③错误；④∵2的分解有2×1，∴2×1为2的最佳分解，则f（2）＝，∵32的分解有32×1，16×2，8×4，∴8×4为32的最佳分解，则f（22）＝＝，∴f（2）＝f（32），故说法④正确；⑤∵m是一个完全平方数，设m＝n2（m＞0），∴n×n为m的最佳分解，则f（m）＝＝1，故说法⑤正确，∴正确判断的序号为②④⑤，故答案为②④⑤．18．解：∵a1＝26；因为2+6＝8，所以a2＝65；因为6+5＝11，所以a3＝122；因为1+2+2＝5，所以a4＝a1．发现：每3个一循环，则10÷3＝3…1，则a10＝a1＝26．∴a10＝a1＝26．故答案为：26．19．解：由题意可知，5的乘方的末4位数字末4位数字从5次方开始以3125、5625、8125、0625四个数字为一循环，∵2013÷4＝503…1，∴52013的末4位数字与55的末4位数字相同是3125．故答案为：3125．20．解：如图，∵运算结果2993的百位与十位上都是9，∴在进行减法运算时需要借位，∴a＝3，∵10+b﹣a＝9+1，解得：b＝3，∴a+b＝6，∵十位数字是9，∴c≠0，∵个位数字为3，且a+b+c+3＞9，∴个位相减时也需借位，∴10+c﹣b﹣a＝9+1，解得：c＝6，∵10+d﹣c﹣b﹣a＝3，∴d＝5．∴这个四位数是3365．故答案为：3365．三．解答题（共7小题）21．解：（1）把y＝1代入﹣＝得，，解得，x＝，故答案为；（2）∵﹣＝，∴，去分母得，6x﹣10y＝15x﹣15y，移项得，15x﹣6x＝15y﹣10y，合并得，9x＝5y，即：y＝x，故答案为y＝x；（3）∵（a．b）是“巧合数对”，∴b＝a，∴6a﹣13b﹣3（5a﹣6b+2）＝6a﹣13b﹣15a+18b﹣6＝﹣9a+5b﹣6＝﹣9a+5×a﹣6＝﹣6．22．解：（1）设三位自然数为，（1≤a≤9，0＜b≤9，0＜c≤9的整数），∵三位数是“和悦数”，∴b＝a+c，取a＝2，c＝5，则b＝7，∴三位数为275，取a＝5，c＝3，则b＝8，∴三位数为583，任意一个“和悦数”是11的倍数，设三位自然数为，∵三位数是“和悦数”，∴b＝a+c，∴三位数为100a+10（a+c）+c＝110a+11c＝11（10a+c），∵a，c整数，∴10a+c是整数，∴11（10a+c）能被11整除，即：任意一个“和悦数”是11的倍数；（2）设两个十位上的数字相同的“和悦数”为m＝，n＝，（a≥e，当a＝e时，c＞d），则b＝a+c＝e+d，∴c﹣d＝e﹣a，c＝b﹣a．d＝b﹣e．∴F（m）＝a•c＝a（b﹣c），F（n）＝e•d＝e（b﹣e），∵F（m）﹣F（n）＝5，∴a•（b﹣a）﹣e（b﹣e）＝ab﹣a2﹣eb﹣e2＝（ab﹣eb）﹣（a2﹣e2）＝b（a﹣e）﹣（a+e）（a﹣e）＝（a﹣e）（b﹣a﹣e）＝5，∵a，b，e是整数，∴a﹣e＝1或a﹣e＝5，∴m﹣n＝（100a+10b+c）﹣（100e+10b+d）＝（110a+11c）﹣（110e+11d）＝110（a﹣e）+11（c﹣d）＝110（a﹣e）﹣11（a﹣e）＝99（a﹣e）＝99或495．23．解：（1）由21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，不难发现2的正整数幂的个位数字以2、4、8、6为一个周期循环出现，由此可以得到：∵299＝24×24+3，∴299的个位数字与23的个位数字相同，应为8．不难发现9的正整数幂的个位数字以9、1为一个周期循环出现，由此可以得到：∵999＝92×49+1，∴999的个位数字与91的个位数字相同，应为9．（2）∵22010＝24×502+2，∴22010的个位数字与22的个位数字相同，应为4；∵32010＝34×502+2，∴32010的个位数字与32的个位数字相同，应为9；∵92010＝92×1005，∴92010的个位数字与92的个位数字相同，应为1．∴4+9+1＝14．∴22010+32010+92010的个位数字为4；（3）92010﹣22010﹣32010的个位数字为21﹣4﹣9＝8．24．解：根据题意得，F（542）＝＝11，∵282能被2整除，828能被3整除，282能4整除，∴三位数282是3的一个“行进数”，故答案为11，2；（2）∵三位数是3的一个“行进数”，∴400+10x+y能被3整除，100x+10y+4能被4整除，100y+40+x能被5整除，而100y+40+x能被5整除，∴x＝0（舍）或x＝5，而400+10x+y能被3整除，∴400+10×5+y＝450+y能被3整除，∴y能被3整除，∴y＝0或3或6或9，而100x+10y+4能被4整除，当y＝0时，100×5+10×0+4＝504能被4整除，符合题意，∴原三位数为450，F（450）＝＝9，当y＝3时，100×5+10×3+4＝534不能被4整除，不符合题意，当y＝6时，100×5+10×6+4＝564能被4整除，符合题意，∴原三位数为456，F（456）＝＝15，当y＝9时，100×5+10×9+4＝594不能被4整除，不符合题意，∴F（）的最大值为15．25．解：（1）由题意得，第二行的前两格是，两个十位数字相乘，积如果是一位数前面补0，后两格是，两个个位数字相乘，积如果是一位数前面补0，如：2×7＝14，3×8＝24，第三行的前三格是，第一个两位数字的个位数字乘以第二个两位数的十位数字再加上第一个两位数的十位数字乘以第二个两位数的个位数字，如图：2×8+3×7＝16+21＝37，第四行，同列的两个数相加，如果大于9，进一位；64×87＝5568，6×8＝48，4×7＝28，6×7+4×8＝42+32＝74，如图，所以，a＝4，b＝8，c＝2，d＝8，e＝7，f＝4，故答案为：4，8，2，8，7，4；（2）由（1）的规律得，3×y+1×x＝10x+6，∴y＝3x+2，∵x，y是两位数的十位数字和个位数字，∴1≤x≤9，0≤y≤9的整数，∴0≤3x+2≤9，∴﹣≤x≤，∴0＜x≤，∴x＝1或x＝2，当x＝1时，y＝5，即：两位数为15，当x＝2时，y＝8，即：两位数为28，即：满足条件的两位数为15或28，故答案为15或28．26．解：（1）方程：x2﹣4x+3＝0的“快乐数F（1，﹣4，3）＝＝﹣1，x2﹣（2m﹣3）x+m2﹣4m﹣5＝0，△＝b2﹣4ac＝4m+29，∵5＜m＜22，即：49＜4m+29＜117，4m+29＝64或81或100，m＝13，m＝（舍去），m＝（舍去），方程变为：x2﹣23x+112＝0，则F（1，﹣23，112）＝112﹣＝﹣，故：答案是﹣1，其“快乐数”数是﹣；（2）x2﹣（m﹣1）x+m+1＝0，△＝（﹣m+1）2﹣4（m+1）＝（m﹣3）2﹣12，设：△＝a2，则：（m﹣3+a）（m﹣3﹣a）＝12，（m﹣3+a）＝6或2或﹣6或﹣2，（m﹣3﹣a）＝2或6或﹣2或﹣6，解得：m＝7或﹣1，方程变为：x2﹣6x+8＝0或x2+2x＝0；x2﹣（n+2）x+2n＝0，△＝（n﹣2）2，F[1，﹣（n+2），2n]＝﹣，当m＝7时，2n×（﹣1）﹣8×[﹣]＝0，解得：n＝1或4，当m＝﹣1时，2n×（﹣1）﹣0＝0，解得：n＝0，故：n＝0或1或4．27．解：（1）最小的平衡数为1234，F（1234）＝（123+234+341+412）÷222＝5，最大的平衡数为9876，F（9876）＝（987+876+769+698）÷222＝15；（2）∵s＝10x+y+3201，t＝1000m+10n+126∴s＝，t＝，∴+++＝320+x+200+10x+y+1+100x+10y+10+3+100y+100+32 ＝111x+111y+666，∴F（s）＝＝，∵s是平衡数，故y＝x﹣2，∴F（s）＝＝x+2，同理：F（t）＝＝，∵t是平衡数，∴m＝n﹣3，1≤m≤9，0≤n≤7∴F（t）＝n+3，∵0≤y≤8，∴0≤y＝x﹣2≤8，∴2≤x≤10，∵0≤x≤9．∴2≤x≤9，∴4≤x+2≤11，同理：7≤n+3≤10，∴11≤F（s）+F （t ）≤21，∵F（s）+F（t）是一个完全平方数，∴x+n＝11，∵0≤x≤9，0≤n≤7，x，n都是整数∴x＝6，n＝5或x＝5，n＝6当x＝6，n＝5时，F（s）＝8，F（t）＝8，∴k＝＝0当x＝5，n＝6时，F（s）＝7，F（t）＝9，∴k＝＝＝﹣∴k的最大值为0．21。

分解数字方法练习题一、基本分解1. 将数字24分解成两个正整数的和。

2. 将数字50分解成两个质数的和。

3. 将数字18分解成两个偶数的和。

4. 将数字45分解成两个奇数的和。

5. 将数字63分解成一个奇数和一个偶数的和。

二、因数分解1. 将数字36进行因数分解。

2. 将数字48进行因数分解。

3. 将数字60进行因数分解。

4. 将数字84进行因数分解。

5. 将数字100进行因数分解。

三、平方数分解1. 将数字25分解成一个平方数和一个正整数的和。

2. 将数字49分解成一个平方数和一个正整数的和。

3. 将数字64分解成一个平方数和一个正整数的和。

4. 将数字81分解成一个平方数和一个正整数的和。

5. 将数字100分解成一个平方数和一个正整数的和。

四、质因数分解1. 将数字42进行质因数分解。

2. 将数字56进行质因数分解。

3. 将数字72进行质因数分解。

4. 将数字90进行质因数分解。

5. 将数字121进行质因数分解。

五、混合分解1. 将数字54分解成一个质数和一个合数的和。

2. 将数字75分解成一个偶数和一个奇数的和。

3. 将数字99分解成一个平方数和一个非平方数的和。

4. 将数字144分解成一个立方数和一个非立方数的和。

5. 将数字198分解成一个质因数和一个非质因数的和。

六、进阶分解1. 将数字120分解成三个正整数的和，且这三个数互不相同。

2. 将数字200分解成四个正整数的和，且这四个数中有一个是质数。

3. 将数字360分解成五个正整数的和，且这五个数中有三个是偶数。

4. 将数字500分解成六个正整数的和，且这六个数中有四个是奇数。

5. 将数字800分解成七个正整数的和，且这七个数中有三个是质数。

七、数字组合分解1. 将数字30分解成两个数的乘积，其中一个数是10的倍数。

2. 将数字65分解成两个数的乘积，其中一个数是5的倍数。

3. 将数字77分解成两个数的乘积，其中一个数是11的倍数。

初一数学竞赛讲座第1讲数论的方法技巧（上）数论是研究整数性质的一个数学分支，它历史悠久，而且有着强大的生命力。

数论问题叙述简明，“很多数论问题可以从经验中归纳出来，并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚，但要证明它却远非易事”。

因而有人说：“用以发现天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。

任何学生，如能把当今任何一本数论教材中的习题做出，就应当受到鼓励，并劝他将来从事数学方面的工作。

”所以在国内外各级各类的数学竞赛中，数论问题总是占有相当大的比重。

数学竞赛中的数论问题，常常涉及整数的整除性、带余除法、奇数与偶数、质数与合数、约数与倍数、整数的分解与分拆。

主要的结论有：1．带余除法：若a，b是两个整数，b＞0，则存在两个整数q，r，使得a=bq+r （0≤r＜b），且q，r是唯一的。

特别地，如果r=0，那么a=bq。

这时，a被b整除，记作b|a，也称b是a 的约数，a是b的倍数。

2．若a|c，b|c，且a，b互质，则ab|c。

3．唯一分解定理：每一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即其中p1＜p2＜…＜p k为质数，a1，a2，…，a k为自然数，并且这种表示是唯一的。

（1）式称为n的质因数分解或标准分解。

4．约数个数定理：设n的标准分解式为（1），则它的正约数个数为：d（n）=（a1+1）（a2+1）…（a k+1）。

5．整数集的离散性：n与n+1之间不再有其他整数。

因此，不等式x＜y与x≤y-1是等价的。

下面，我们将按解数论题的方法技巧来分类讲解。

一、利用整数的各种表示法对于某些研究整数本身的特性的问题，若能合理地选择整数的表示形式，则常常有助于问题的解决。

这些常用的形式有：1．十进制表示形式：n=a n10n+a n-110n-1+…+a0；2．带余形式：a=bq+r；4．2的乘方与奇数之积式：n=2m t，其中t为奇数。

例1 红、黄、白和蓝色卡片各1张，每张上写有1个数字，小明将这4张卡片如下图放置，使它们构成1个四位数，并计算这个四位数与它的各位数字之和的10倍的差。