初一数学图形与面积竞赛教程含例题练习及答案

初中数学竞赛：图形与面积一、直线图形的面积在小学数学中我们学习了几种简单图形的面积计算方法，数学竞赛中的面积问题不但具有直观性，而且变换精巧，妙趣横生，对开发智力、发展能力非常有益。

图形的面积是图形所占平面部分的大小的度量。

它有如下两条性质：1．两个可以完全重合的图形的面积相等；2．图形被分成若干部分时，各部分面积之和等于图形的面积。

对图形面积的计算，一些主要的面积公式应当熟记。

如：正方形面积=边长×边长；矩形面积=长×宽；平行四边形面积=底×高； 三角形面积=底×高÷2；梯形面积=（上底+下底）×高÷2。

此外，以下事实也非常有用，它对提高解题速度非常有益。

1．等腰三角形底边上的高线平分三角形面积；2．三角形一边上的中线平分这个三角形的面积；3．平行四边形的对角线平分它的面积；4．等底等高的两个三角形面积相等。

解决图形面积的主要方法有：1．观察图形，分析图形，找出图形中所包含的基本图形；2．对某些图形，在保持其面积不变的条件下改变其形状或位置（叫做等积变形）；3．作出适当的辅助线，铺路搭桥，沟通联系；4．把图形进行割补（叫做割补法）。

例1 你会用几种不同的方法把一个三角形的面积平均分成4等份吗？解：最容易想到的是将△ABC 的底边4等分，如左下图构成4个小三角形，面积都为原来的三 角形面积的41。

另外，先将三角形△ABC 的面积2等分（如右上图），即取BC 的中点D ，连接AD ，则S △ABD=S △ADC ，然后再将这两个小三角形分别2等分，分得的4个小三角形各自的面积为原来大三角形面积的41。

还 有许多方法，如下面的三种。

请你再想出几种不同的方法。

例2 右图中每个小方格面积都是1cm2，那么六边形ABCDEF 的面积是多少平方厘米？分析：解决这类问题常用割补法，把图形分成几个简单的容易求出面积的图形，分别求出面积。

也可以求出六边形外空白处的面积，从总面积中减去空白处的面积，就是六边形的面积。

初一几何竞赛试题及答案一、选择题（每题3分，共15分）1. 下列哪个图形是轴对称图形？A. 任意三角形B. 任意四边形C. 任意五边形D. 等腰三角形答案：D2. 一个圆的半径为5厘米，那么它的周长是多少厘米？A. 10πB. 20πC. 25πD. 30π答案：C3. 一个等腰三角形的底边长为6厘米，腰长为8厘米，那么它的高是多少厘米？A. 4.8B. 6C. 7.2D. 8答案：A4. 下列哪个选项是正确的？A. 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等B. 两条平行线被第三条直线所截，同位角互补C. 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补D. 两条平行线被第三条直线所截，内错角互补答案：C5. 一个直角三角形的两条直角边长分别为3厘米和4厘米，那么它的斜边长是多少厘米？A. 5B. 6C. 7D. 8答案：A二、填空题（每题3分，共15分）6. 如果一个角的补角是120°，那么这个角的度数是______。

答案：60°7. 一个正方形的边长为a，那么它的周长是______。

答案：4a8. 一个等边三角形的边长为b，那么它的高是______。

答案：(b√3)/29. 一个圆的直径为d，那么它的面积是______。

答案：π(d²)/410. 如果一个角的余角是30°，那么这个角的度数是______。

答案：60°三、解答题（每题10分，共70分）11. 已知一个直角三角形的两条直角边长分别为6厘米和8厘米，求这个三角形的面积。

答案：根据直角三角形面积公式，面积 = (底 ×高) / 2 = (6 × 8)/ 2 = 24平方厘米。

12. 已知一个等腰三角形的底边长为10厘米，腰长为13厘米，求这个三角形的周长。

答案：周长 = 底边长 + 2 ×腰长 = 10 + 2 × 13 = 10 + 26 = 36厘米。

F G E 图 2ACBDEA D E A D面积法1、常见规则图形的面积公式；2、等积定理；3、面积比定理。

A 卷1、如图1，凸四边形ABCD 的四边AB 、BC 、CD 、DA 的长分别是3、4、12、13，︒=∠90ABC ，则四边形ABCD 的面积为 .2、如图2，已知ABC ∆中，D 、E 、F 、G 均为BC 边上的点，且CG BD =，BD GF DE 21==， DE EF 3=，若1=∆ABC S ，则图中所有三角形的面积之和为 .3、如图3，□ABCD 的面积是m ，点E 、F 分别平分AB 、BC ，则_______=∆DEF S .图 1ACBDD4、如图4，已知边长为a 的正方形ABCD ，E 为AD 的中点，P 为CE 的中点，那么BPD ∆的面积的值是 .5、如图5，四边形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O 点，如果5=∆ABD S ，6=∆ABC S ，10=∆BCD S ，那么_________=∆OBC S .GFPE 图 4ACBD6、（第5届“希望杯”邀请赛题）在ABC ∆的三边AB 、BC 、CA 上，分别取AD 、BE 、CF ，使AB AD 41=，BC BE 41=，AC CF 41=，则DEF ∆的面积是ABC ∆的面积的（ ） A 、41 B 、83 C 、85 D 、1677、（2004年第15届“希望杯”初二年级竞赛题）如图6，在直角扇形ABC 内，分别以AB 和AC 为直径作半圆，两条半圆弧相交于点D ，整个图形被分成S 1，S 2，S 3，S 4四部分，则S 2和S 4的大小关系是（ ）FECABDS 2图 6 ACBS 1S 4S 3A 、42S SB 、42S S =C 、42S SD 、无法确定8、在矩形ABCD 中，2=AB ，1=BC ，则矩形的内接三角形的面积总比数的（ ）小或相等。

A 、74 B 、1 C 、82 D 、81B 卷9、（第11届“希望杯”邀请赛）在正方形ABCD 中，3=AB ，点E 、F 分别在BC 、CD上，且︒=∠30BAE ，︒=∠15DAF ，则AEF ∆的面积为 .10、（2005年第16届“希望杯”初二年级竞赛题）已知ABC ∆三条高的比是5:4:3，且三条边的长均为整数，则ABC ∆的一条边长可能是（ ）A 、10B 、12C 、14D 、1611、（第14届“希望杯“邀请赛）如图7，将ABC ∆的三边AB ，BC ，CA 分别延长至B '，C '，A '，且使AB B B ='，BC C C 2='，AC A A 3='，若1=∆ABC S ，那么C B A S '''∆是（ ）A 、15B 、16C 、17D 、18GFC DE 图 11ABDGEF A图 8CB12、（2005年第16届“希望杯”初二年级竞赛题）如图8，ABC ∆中，5:3:=AC BC ，四边形BDEC 和ACFG 分均为正方形，已知ABC ∆与正方形BDEC 的面积比是5:3，那么CEF ∆与整个图形的面积比等于 .C 卷13、（第6届“希望杯“邀请赛题）如图9，ABC ∆的面积为218cm ，点D 、E 、F 分别位于AB 、BC 、CA 上，且cm AD 4=，cm DB 5=，如果ABE ∆的面积和四边形DBEF 的面积相等，则ABE ∆C ′A ′B ′A图 7 CBNB的面积是（ ）A 、28cmB 、29cmC 、210cmD 、212cm14、（第7届“希望杯“邀请赛题）如图10，直角AOB ∠内有一点P ，a OP =，︒=∠30POA ，过点P 作一直线MN 与OA 、OB 分别交于M 、N ，使MON ∆的面积最小。

初一数学立体图形竞赛教程含例题练习及答案初一数学竞赛讲座立体图形空间形体的想象能力是小学生的一种重要的数学能力,而立体图形的学习对培养这种能力十分有效。

我们虽然在课本上已经学习了一些简单的立体图形,如正方体、长方体、圆柱体、圆锥体,但有关立体图形的概念还需要深化,空间想象能力还需要提高。

将空间的位置关系转化成平面的位置关系来处理,是解决立体图形问题的一种常用思路。

一、立体图形的表面积和体积计算例 1 一个圆柱形的玻璃杯中盛有水,水面高 2.5cm,玻璃杯内侧的底面积是72cm2,在这个杯中放进棱长6cm的正方体铁块后,水面没有淹没铁块,这时水面高多少厘米?解:水的体积为72×2.5180(cm3),放入铁块后可以将水看做是底面积为72-6×632(cm2)的柱体,所以它的高为180÷325(cm)。

例2 下图表示一个正方体,它的棱长为4cm,在它的上下、前后、左右的正中位置各挖去一个棱长为1cm的正方体,问:此图的表面积是多少?分析:正方体有6个面,而每个面中间有一个正方形的孔,在计算时要减去小正方形的面积。

各面又挖去一个小正方体,这时要考虑两头小正方体是否接通,这与表面积有关系。

由于大正方体的棱长为4cm,而小正方体的棱长为1cm,所以没有接通。

每个小正方体孔共有5个面,在计算表面积时都要考虑。

解:大正方体每个面的面积为4×4-1×115(cm2),6个面的面积和为15×690(cm2)。

小正方体的每个面的面积为1×11(cm2),5个面的面积和为1×55(cm2),6个小正方体孔的表面积之和为5×630(cm2),因此所求的表面积为90+30120(cm2)。

想一想,当挖去的小正方体的棱长是2cm时,表面积是多少?请同学们把它计算出来。

例 3 正方体的每一条棱长是一个一位数,表面的每个正方形面积是一个两位数,整个表面积是一个三位数。

专题25 图形面积的计算例1 196 提示：S △AGW =S △AGF −S △GWF =12×28×（28+14）-12×28×28=12×28×14=28×7=196.例2 D 提示：设△ABC 底边上的高为h ，则12×BC ×h =24 故h=48BC =484CF =12CF =12DE. 设△ABC 底边DE 上的高为ℎ1，△BDE 底边DE 上的高为ℎ2，则h =ℎ1+ℎ2.∴S △ADE +S △BDE =12∙DE ∙ℎ1+12∙DE ∙ℎ2=12∙DE ∙（ℎ1+ℎ2）=12∙DE ∙ℎ=12∙DE ∙12DE =6.例3 2cm .提示：设△ABE 的AE 边上的高为hcm ，DE 长为xcm ，则{5ℎ−12ℎ(5+x )=95ℎ=30，解得DE =2.例4 54提示：2S CE S EA ==丙甲, 2S BE S ED ==丙乙, 12S DE S BE ==丁甲,12S AE S EC ==丁乙. 例5 1133AEC ABC S S == ，1133BGF ABC S S ==.设=x PEC S，=y PFC S则=3x PBC S，=3y PCAS于是133133x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①+②，得243x y +=（），∴16x y +=，即6=1PECF S .例6 设=a ABCD S，因为E,F 分别是AB,BC 的中点，所以a4ADEABFSS==. ∴APDBEPF SS =四边形.如图，连接EF,DF ，则a a==82AEF ADF S S ，.所以a 18=a 42EP PD =.设x AEPS=，则=4x ADP S.由APDBEPF S S =四边形得a x=4x 4-. ∴ ax=20. ∴a a4=205APDS=⨯. 连接AC ，又∵AQ ∥PC ，APQACQS S =， ∴a5ACQADQSS+=. ∴a a 3=a 2510CDQS =-.连接PB ，则a=20EBPAEP SS=. 由1=a 2ABPCDPS S+， 得a a a 3a a22101010CPQABPCDQS S S=--=--=.∴aPQ 110=3a 310CPQ CDQSDQ S==，从而PQ 1=4PD ，1a=420APQAPDS S =.于是a a 3a==201020APQCPQAPCQ S S S+=+梯形. ∴3=20APCQ ABCDS S梯形.A 级1.14提示：POCAOES S=,14ABCD S S =阴影正方形.2. 48.3.()22a 2π-4. 15.625. 5. B.6. C.7. B.8. C.9. 35 提示:连接EF ，EGFABGSS=,EFHDHCSS=.10. 解法一：将△DEK 的面积转化为规则图形的面积之和或差.如图,延长AE 交PK 的延长线于点H.设正方形ABCD，正方形PKPF的边长分别a ， b.则DEKADECDGPKGFHKABCD BEFG EHPF SS S S SSSS=++----正方形正方形矩形=()()()()221111a 44b a a 4a a-4b b 4b 4-b 2222++-+--+-=222221111a 164b a 2a a 2a b 2b 2b+b 2222++---+---=16.解法二：运用等积变形转化问题，连接DB,GE,FK.则∠DBA=∠GEB=45°, ∴DB ∥GE,得GEDGEBS S=，同理GE ∥FK ，得GEKGEFSS=.∴16DEKGEDGEKGEBGEFBEFG SSSSSS =+=+==正方形.B 级1. 2212a 3a π-（或22.58a ）.2. 120 提示：设AB=a ，AD=b ，CE=c ，CF=d.则BE=b-c-，DF=a-d ，c= 12b ，d= 15a ，cd=8. 3. 18.75（π≈3）. 4. 8.5 提示：连HD. 5. 48 12481提示：“生长”n 次后得到n 34⨯边形，面积为原面积的n 114293+-倍.6. B.7. B 提示：过点K 作KH ⊥AB. ∵AB=8，BE=6，∴AE=8+6=14.又∵∠KAE=∠KEA=45°, ∴KH=12AE=7. 111474922AKESAE KH =••=⨯⨯=. 8. B 提示：根据正方形的对称性，只需考虑它的14部分即可. 9. B.10. ⑴当a ＞1时，即B 在OA 上方时，如图. AOBCBOAODBCDA SSS S=+-梯形，∴()()11151a a 22122222=⨯⨯++⨯--⨯⨯，解得a=6.⑵当0≦a ＜1时，即B 在OA 于x 轴之间时，依题意，有()111221a-a 21=5222⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯，解得a=-4（不合题意，舍去）.⑶当a ＜0时，即B 在x 轴下方时，有()()()111122a 221a =5222+⨯-⨯-⨯⨯-⨯⨯-，解得a=-4.综上所述，当a=-4或a=6时，5ABOS =.11. 14AMDAMCSS==. ∵AMGS 为公共部分, ∴AGDCMGS S=.又因为△AMG 与△AMD 的高的高相等（以A 为顶点作高），△MCG 与△MCD 的高相等（以C 为顶点作高），∴AMG OMG AMDMCDS SMGSSMD==,即141142CMGCMG S S -=，解得：1=6CMGS.∴11=2=63S ⨯阴影. 连BG ，设ABCSS =,x DOGS=，y BGFS=.则1332233,,x y S x y S ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 解得12421x S y S ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 同理可得：121.EAHFBISSS == 又13ADC BEAS S == S ，得12532121=-=OCEH HAFI S S S S ⎛⎫= ⎪⎝⎭四形四形 .∴21011321217=--GHISS S ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 故17GHI ABCS S =.。

图形与面积一、直线图形的面积在小学数学中我们学习了几种简单图形的面积计算方法，数学竞赛中的面积问题不但具有直观性，而且变换精巧，妙趣横生，对开发智力、发展能力非常有益。

图形的面积是图形所占平面部分的大小的度量。

它有如下两条性质：1．两个可以完全重合的图形的面积相等；2．图形被分成若干部分时，各部分面积之和等于图形的面积。

对图形面积的计算，一些主要的面积公式应当熟记。

如正方形面积=边长×边长；矩形面积=长×宽；平行四边形面积=底×高；三角形面积=底×高÷2；梯形面积=（上底+下底）×高÷2。

此外，以下事实也非常有用，它对提高解题速度非常有益。

1．等腰三角形底边上的高线平分三角形面积；2．三角形一边上的中线平分这个三角形的面积；3．平行四边形的对角线平分它的面积；4．等底等高的两个三角形面积相等。

解决图形面积的主要方法有：1．观察图形，分析图形，找出图形中所包含的基本图形；2．对某些图形，在保持其面积不变的条件下改变其形状或位置（叫做等积变形）；3．作出适当的辅助线，铺路搭桥，沟通联系；4．把图形进行割补（叫做割补法）。

例1 你会用几种不同的方法把一个三角形的面积平均分成4等份吗？解：最容易想到的是将△ABC的底边4等分，如左下图构成4个小三另外，先将三角形△ABC的面积2等分（如右上图），即取BC的中点D，连接AD，则S△ABC-S△ABC，然后再将这两个小三角形分别2等分，分还有许多方法，如下面的三种。

请你再想出几种不同的方法。

例2 右图中每个小方格面积都是1cm2，那么六边形ABCDEF的面积是多少平方厘米？分析：解决这类问题常用割补法，把图形分成几个简单的容易求出面积的图形，分别求出面积。

也可以求出六边形外空白处的面积，从总面积中减去空白处的面积，就是六边形的面积。

解法1：把六边形分成6块：△ABC，△AGF，△PEF，△EKD，△CDH和正方形GHKP。

专题25 图形面积的计算阅读与思考计算图形的面积是平面几何中常见的基本问题之一，它包括两种主要类型： 1.常见图形面积的计算由于一些常见图形有计算面积的公式，所以，常见图形面积一般用公式来解. 2.非常规图形面积的计算非常规图形面积的计算通常转化为常见图形面积的计算，解题的关键是将非常规图形面积用常规图形面积的和或差来表示.计算图形的面积还常常用到以下知识：（1）等底等高的两个三角形面积相等.（2）等底的两个三角形面积的比等于对应高的比. （3）等高的两个三角形面积的比等于对应底的比. （4）等腰三角形底边上的高平分这个三角形的面积. （5）三角形一边上的中线平分这个三角形的面积. （6）平行四边形的对角线平分它的面积. 熟悉如下基本图形：S 3S 4S 3S 4S 1S 2S 1S 2S 1S 2S 1S 2S 1S 2S 2S 1l 2l 1例题与求解【例1】 如图，在直角△ABC 的两直角边AC ，BC 上分别作正方形ACDE 和CBFG .AF 交BC 于W ，连接GW ，若AC =14，BC =28，则S △AGW =______________．(2013年“希望杯”全国数学邀请赛试题)解题思路：△AGW 的面积可以看做△AGF 和△GWF 的面积之差.WFGEDCBA【例2】 如图，已知△ABC 中的面积为24，点D 在线段AC 上，点F 在线段BC 的延长线上，且BC =4CF .四边形BDCE 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为( )A ．3B ．4C ．5D ．6（2013年全国初中数学竞赛广东试题）解题思路：设△ABC 底边BC 上的高为h .本例关键是通过适当变形找出h 和DE 之间的关系．FC BDEA【例3】 如图，平行四边形ABCD 的面积为30cm 2，E 为AD 边延长线上的一点，EB 与DC 交于F 点，已知三角形FBC 的面积比三角形DEF 的面积大9cm 2，AD =5cm ，求DE 长.（北京市“迎春杯”竞赛试题）解题思路：由面积求相关线段，是一个逆向思维的过程，解题的关键是把条件中图形面积用DE 及其它线段表示．BACFDE【例4】 如图，四边形ABCD 被AC 与DB 分成甲、乙、丙、丁4个三角形，已知BE =80 cm ，CE =60 cm ，DE =40 cm ，AE =30 cm ，问：丙、丁两个三角形面积之和是甲、乙两个三角形面积之和的多少倍？（“华罗庚杯”竞赛决赛试题）解题思路：甲、乙、丙、丁四个三角形面积可通过线段的比而建立联系，找出这种联系是解本例的突破口.丁乙丙甲E BCDA【例5】 如图，△ABC 的面积为1，D ，E 为BC 的三等分点，F ，G 为CA 的三等分点，求四边形PECF 的面积.解题思路：连CP ，设S △PFC =x ，S △PEC =y ，建立x ，y 的二元一次方程组.QP F GEDCBA【例6】如图，E ，F 分别是四边形ABCD 的边AB ，BC 的中点， DE 与AF 交于点P ，点Q 在线段DE 上，且AQ ∥PC .求梯形APCQ 的面积与平行四边形ABCD 的面积的比值．（2013年”希望杯“数学邀请赛试题）解题思路：连接EF ，DF ，AC ，PB ，设S □ABCD =a ，求得△APQ 和△CPQ 的面积.FEPQDCBA能力训练A 级1.如图，边长为1的正方形ABCD 的对角线相交于点O .过点O 的直线分别交AD ，BC 于E ，F ，则阴影部分面积是______.FOEDCB A（海南省竞赛试题）2.如图，在长方形ABCD 中，E 是AD 的中点，F 是CE 的中点，若△BDF 的面积为6平方厘米，则长方形ABCD 的面积是_____________平方厘米.EFDCBA（“希望杯”邀请赛试题）3.如图，ABCD 是边长为a 的正方形，以AB ，BC ，CD ，DA 分别为直径画半圆，则这四个半圆弧所围成的阴影部分的面积是____________.DCBA（安徽省中考试题）4.如图，已知AB ，CD 分别为梯形ABCD 的上底、下底，阴影部分总面积为5平方厘米，△AOB 的面积是0.625平方厘米，则梯形ABCD 的面积是_________平方厘米.DOCBA（“祖冲之杯”邀请赛试题）5.如图，长方形ABCD 中，E 是AB 的中点，F 是BC 上的一点，且CF =BC 31，则长方形ABCD 的面积是阴影部分面积的( )倍.A .2B . 3C . 4D .5DF CBEA6.如图，是一个长为a ，宽为b 的长方形，两个阴影图形都是一对长为c 的底边在长方形对边上的平行四边形，则长方形中未涂阴影部分的面积为( ).A .c b a ab )(+-B . c b a ab )(--C .))((c b c a --D .))((c b c a +-cccc7．如图，线段AB =CD =10cm ，BC 和DA 是弧长与半径都相等的圆弧，曲边三角形BCD 的面积是以D 为圆心、DC 为半径的圆面积的41，则阴影部分的面积是( )． A ．25π B . 100 C .50π D .200CBD A（“五羊杯”竞赛试题）8．如图，一个大长方形被两条线段AB 、CD 中分成四个小长方形，如果其中图形Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的面积分别为8，6，5，那么阴影部分的面积为( )． A .29 B .27 C .310 D ．815 ⅢⅡⅠCBDA9．如图，长方形ABCD 中，E ，F 分别为AD ，BC 边上的任一点，△ABG ，△DCH 的面积分别为15和20，求阴影部分的面积.HGEDCF B A（五城市联赛试题）10.如图，正方形ABCD ，正方形BEFG 和正方形RKPF 的位置如图所示，点G 在线段DK 上，已知正方形BEFG 的边长为4，求△DEK 的面积．RKP GF EC B AD（广西壮族自治区省南宁市中考试题）B 级1.如果图中4个圆的半径都为a ，那么阴影部分的面积为_____________.（江苏省竞赛试题）2.如图，在长方形ABCD 中，E 是BC 上的一点，F 是CD 上的一点，若三角形ABE 的面积是长方形ABCD 面积的31，三角形ADF 的面积是长方形ABCD 面积的52，三角形CEF 的面积为4cm 2，那么长方形ABCD 的面积是_________cm 2.DCFE BA（北京市“迎春杯”邀请赛试题）3.如图，边长为3厘米与5厘米的两个正方形并排放在一起，在大正方形中画一段以它的一个顶点为圆心，边长为半径的圆弧，则阴影部分的面积为___________________.（“希望杯”邀请赛试题）4.如图，若正方形APHM ，BNHP ，CQHN 的面积分别为7，4，6，则阴影部分的面积是_____.CMNDQPB A(“五羊杯”竞赛试题）5.如图，把等边三角形每边三等分，使其向外长出一个边长为原来的31的小等边三角形，称为一次“生长”，在得到的多边上类似“生长”，一共“生长”三次后，得到的多边形的边数=________，面积是原三角形面积的______倍.第2次生长第1次生长原图(“五羊杯”竞赛试题）6.如图，在长方形ABCD 中，AE =BG =BF =21AD =31AB =2，E ，H ，G 在同一条直线上，则阴影部分的面积等于( ).A .8B .12C .16D ．20F BGCHDE A7.如图，边长分别为8cm 和6cm 的两个正方形，ABCD 与BEFG 并排放在一起，连接EG 并延长交AC 于K ，则△AKE 的面积是( ).A .48cm 2B .49cm 2C .50cm 2D ．51cm 2KGFEC B A D（2013年“希望杯”邀请赛试题）8.在一个由8×8个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆，若把圆经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为S 1，把圆周经过的所有小方格的圆外部分的面积之和记为S 2，则21S S 的整数部分是( ).A .0B .1C .2D ．3（全国初中数学联赛试题）9.如图，△ABC 中，点D ，E ，F 分别在三边上，E 是AC 的中点，AD ，BE ，CF 交于一点G ，BD =2DC ，S △GEC =3，S △GDC =4，则△ABC 的面积是( ).A .25B .30C .35D ．40GFE CBDA10.已知O （0，0），A （2，2），B （1，a ），求a 为何值时，S △ABO =5？11.如图，已知正方形ABCD 的面积为1，M 为AB 的中点，求图中阴影部分的面积.GCBMAD（湖北省武汉市竞赛试题）12.如图，△ABC 中，21===FA FB EC EA DB DC .求的面积△的面积△ABC GHI 的值. G IHEDCBFA（“华罗庚金杯”邀请赛试题）专题25 图形面积的计算例1 196 提示：×28×（28+14）-×28×28=×28×14=28×7=196.例2 D 提示：设△ABC 底边上的高为h ，则×BC ×h =24 故h====. 设△ABC 底边DE 上的高为，△BDE 底边DE 上的高为，则h =.∴=+=+）===6.例3 2cm .提示：设△ABE 的AE 边上的高为hcm ，DE 长为xcm ，则，解得DE =2.例4 54提示：2S CE S EA ==丙甲 , 2S BE S ED ==丙乙, 12S DE S BE ==丁甲,12S AE S EC ==丁乙. 例51133AECABCSS == ，1133BGFABCS S ==.设=x PECS ，=y PFCS则=3x PBCS，=3y PCAS于是133133x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①+②，得243x y +=（），∴16x y +=，即6=1PECF S .例6 设=a ABCD S，因为E,F 分别是AB,BC 的中点，所以a4ADEABFSS==. ∴APDBEPF SS =四边形.如图，连接EF,DF ，则a a==82AEF ADF S S ，.所以a 18=a 42EP PD =.设x AEP S=，则=4x ADP S.由APDBEPF SS =四边形得a x=4x 4-. ∴ ax=20. ∴a a4=205APDS =⨯. 连接AC ，又∵AQ ∥PC ，APQACQS S =， ∴a5ACQADQS S+=. ∴a a 3=a 2510CDQS =-.连接PB ，则a=20EBP AEP SS=. 由1=a 2ABPCDPS S+， 得a a a 3a a22101010CPQABPCDQS S S=--=--=.∴aPQ 110=3a 310CPQ CDQSDQ S==，从而PQ 1=4PD ，1a=420APQAPD S S =.于是a a 3a==201020APQCPQAPCQ S S S+=+梯形. ∴3=20APCQ ABCDS S梯形.A 级1.14 提示：POCAOES S=,14ABCD S S =阴影正方形.2. 48.3. ()22a 2π-4. 15.625. 5. B.6. C.7. B.8.C.9. 35 提示:连接EF ，EGFABGSS=,EFHDHCSS=.10. 解法一：将△DEK 的面积转化为规则图形的面积之和或差.如图,延长AE 交PK 的延长线于点H.设正方形ABCD ，正方形PKPF 的边长分别a ， b.则DEKADECDGPKGFHKABCD BEFG EHPF SS S S SSSS=++----正方形正方形矩形=()()()()221111a 44b a a 4a a-4b b 4b 4-b 2222++-+--+-=222221111a 164b a 2a a 2a b 2b 2b+b 2222++---+---=16.解法二：运用等积变形转化问题，连接DB,GE,FK.则∠DBA=∠GEB=45°, ∴DB ∥GE,得GEDGEBS S=，同理GE ∥FK ，得GEKGEFS S=.∴16DEKGEDGEKGEBGEFBEFG SSSSSS =+=+==正方形.B 级1. 2212a 3a π-（或22.58a ）.2. 120 提示：设AB=a ，AD=b ，CE=c ，CF=d.则BE=b-c-，DF=a-d ，c= 12b ，d= 15a ，cd=8. 3. 18.75（π≈3）.4. 8.5 提示：连HD.5. 4812481提示：“生长”n 次后得到n 34⨯边形，面积为原面积的n 114293+-倍.6. B.7. B 提示：过点K 作KH ⊥AB. ∵AB=8，BE=6，∴AE=8+6=14.又∵∠KAE=∠KEA=45°, ∴KH=12AE=7. 111474922AKES AE KH =∙∙=⨯⨯=. 8. B 提示：根据正方形的对称性，只需考虑它的14部分即可. 9. B.10. ⑴当a ＞1时，即B 在OA 上方时，如图. AOBCBOAODBCDA SSS S=+-梯形，∴()()11151a a 22122222=⨯⨯++⨯--⨯⨯，解得a=6.⑵当0≦a ＜1时，即B 在OA 于x 轴之间时，依题意，有()111221a-a 21=5222⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯，解得a=-4（不合题意，舍去）.⑶当a ＜0时，即B 在x 轴下方时，有()()()111122a 221a =5222+⨯-⨯-⨯⨯-⨯⨯-，解得a=-4.综上所述，当a=-4或a=6时，5ABOS =.11. 14AMD AMC SS==. ∵AMGS 为公共部分, ∴AGD CMGSS=.又因为△AMG 与△AMD 的高的高相等（以A 为顶点作高），△MCG 与△MCD 的高相等（以C 为顶点作高），∴AMG OMG AMDMCDSS MGSSMD==,即141142CMGCMG S S -=，解得：1=6CMGS.∴11=2=63S ⨯阴影. 连BG ，设ABCSS =,x DOGS=，y BGFS=.则1332233,,x y S x y S ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 解得12421x S y S⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 同理可得：121.EAHFBISSS == 又13ADCBEAS S== S ，得12532121=-=OCEH HAFIS S S S ⎛⎫= ⎪⎝⎭四形四形 .∴21011321217=--GHISS S ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 故17GHI ABCS S =.。

第十六讲 面积与面积方法【趣题引路】如图16-1（1），五边形ABCDE 是张大爷十年前承包的一块土地的示意图，经过多年开垦荒地，现已变成如图16-1（2）所示的形状，但承包土地与开垦荒地的分界小路（图16-1（2）中的折线CDE ）还保留着.张大爷想过E 点修一条直路，直路修好后，要保持直路左边的土地面积与承包时的一样多，右边的土地面积与开垦的荒地面积一样多，请你用有关的几何知识，按张大爷的要求设计出修路的方案（不计分界小路与直路的占地面积）.（1）写出设计方案，并在图16-1（2）中画出相应的图形； （2）说明方案的设计思路.图16-1（2）（1）MNDEB ADFH图16-2MNCD EBA解析 （1）画法如图16-2，连结EC ，过点D 作DF∥EC，交CM 于点F ，连结EF ，EF 即为所求直路的位置.（2）设EF 交CD 于点H ，由上面得到的结论，可知,ECF ECD S S △△ ,HCFEDH S S △△,ABCDE ABCFE S S 五边形五边形 .ABCDEEFMN S S 五边形四边形【知识延伸】一、整体与部分例1（第12届“希望杯”试题）如图16-3所示，矩形ABCD 的面积是3002cm ，H 、E 、F 分别是AD 、BC 、CD 上的点，且AD=4HD ，BC=3BE ，F 是CD 的中点，求图中阴影部分的面积.解析 解法一： AD=4HD ，∴ AH=34AD.∴ 2133112.5.248ABHABCD S AD AB S cm △ 同上，可得2150.6ECFABCDS Scm △四边形∴ 阴影部分的面积=2137.5ABCDABHECFS S S cm △△图16-4图16-3DCFEHBA解法二：如图16-4，连结BD 、ED. ∵ AD=4HD ， ∴211137.5.248DBHABCD S AD AB S cm △∵BC=3BE ， ∴211150.236BEDABCD S BC CD S cm △∵F 是CD 的中点，BC=3BE ， ∴2112150.2236DFEABCD S DC BC S cm △∴阴影部分的面积为2137.5.DBHBED DFES S S cm △△△点评：不规则图形的面积，我们通常利用整体与部分的关系，将它转化成几个规则图形的和或差. 例2如图16-5，正方形的边长是a ，分别以四条边为直径画半圆，则图中4个半圆弧所围成的阴影部分的面积是.图16-5解析阴影部分的面积=2221()4(1)a .222a a点评：四个半圆重叠成阴影部分，形成了一个正方形，所以四个半圆的面积减去正方形的面积等于阴影部分的面积.二、面积与线段比的相互转化例3如图16-6，梯形ABCD 被对角线分成4个小三角形，已知△A0B 的面积为252cm ，△BOC 的面积为352cm ，那么梯形ABCD 的面积是 2cm .解析 ∵ AB∥DC， ∴,DAB CAB S S △△（同底等高） ∴,DABOABCAB OAB S S S S △△△△图16-63525OCBDA即235.DAO CBOS S cm △△又∵:::25:35,DAO DCO OAB CBOS S AO OCS S △△△△∴249,DOC S cm △ ∴2144.ABCDOABDAODOCCBDS S S S S cm △△△△故选A.点评：利用同底等高，可以将三角形的面积进行转化同时，利用线段之比，可以将面积联系起来 试一试，你能求出题中ABDC的值吗？ 605.847ABD DBCS AB DCS △△ 根据AB AO BODC OC OD、、的值，你能得到什么猜想？ 图16-7（3）CBEDA（2）（1）A BAD BCOOCBDA如果AB//CD ，则有.ABAO BODC OCOD将△AOB 绕着O 点旋转一定的角度，则得到图16-7（2），仍然有AB AO BO DC OCOD ，故得到图16-7（3）中的规律：如果DE//BC ，则有.AD AE DEAB AC BC在AB//CD 的条件下，通过三角形的面积与三角形的底和高的关系，很容易证明.证明略.这一个结论在面积问题、线段比问题中有着广泛的应用.例4（第14届“希望杯”全国初一数学邀请赛第一试试题）如图16-8，△ABC 的面积为252cm ，AE=ED ，BD=2DC ，则阴影部分的面积为 2cm ，四边CDEF 的面积为 2cm图16-9图16-8解析 解法一：如图16-9，连结DF. 设,.DEB AEFS m S n △△∵AE=ED ， ∴,DEBAEBS S m △△.DEF AEFS S n △△∵ BD ＝2DC ,∴ S △FDC ＝12S △FBD ＝12（m ＋n ）． 又∵ S △ABC ＝25 cm 2， ∴ （m ＋n ）＋（m ＋n ）＋12（m ＋n ）＝25 cm 2， ∴ m ＋n ＝10 cm 2，即阴影部分的面积为10 cm 2． ∵ S △DEB ＝12S △ADB ＝12×23S △ABC ＝253cm 2, ∴ S △AEF ＝10－253＝53cm 2, 四边形CDEF 的面积＝S △DEF ＋S △FDC ＝n ＋12（m ＋n ）＝203cm 2． 解法二：如图16－10，连结E C ．C图16－10∵ BD ＝2DC , ∴ S △ADB ＝23S △ABC ＝503cm 2, S △EDC ＝12S △BDE ， ∵ AE ＝ED ， ∴ S △BDE ＝S △AEB ＝12S △ADB ＝253cm 2, ∴ S △EDC ＝12S △BDE ＝256cm 2． ∵∆∆AEF CEFS S ＝AFFC＝∆∆ABF CBF S S ＝∆∆ABE CBE S S ，∵∆∆AEF CEF S S ＝253252536+＝23． 又∵ S △AEF ＋S △CEF ＝S △ABC －S △ABD －S △EDC ＝25－503－256＝256（cm 2）． ∴ S △AEF ＝53cm 2, S △CEF ＝52cm 2,∴ 阴影部分的面积＝253＋53＝10 cm 2，四边形CDEF 的面积＝256＋52＝203（cm 2） 解法三：如图16－11，作DP //AC ，交BF 于点P ． PA BCEF图16－11∵ DP //AC ，AE ＝ED ，BD ＝2DC , ∴DP FC ＝BD BC＝23DP AF ＝DEAE ＝1 ∴AF FC＝23， ∴ S △ABF ＝25S △ABC ＝10 cm 2, 又∵ S △BDE ＝S △AEB ＝12S △ADB ＝253cm 2, ∴ S △BDE ＋S △AEF ＝10 cm 2, S CDEF ＝S △ABC －S △ABF －S △BDE ＝203cm 2． 解法四：如图16－12，作DP //BF ，交AC 于点P ． F EDCBAP图16－12∵ DP //BF ，AE ＝ED ，BD ＝2DC ， ∴DP BF ＝CD BC ＝13， DP EF ＝AD AE ＝2 ∴ EF BF ＝16， ∴EF BE ＝15， ∴ S △AEF ＝15S △AEB ＝15×253＝53（cm 2）∴ S △BDE ＋S △AEF ＝10 cm 2, S CDEF ＝S △ABC －S △ABD －S △AEF ＝203cm 2．解法五：如图16－13，作EP //BC ，交AC 于点P ．PABCDEF图16－13∵ EP //BC ， ∴EP DC ＝AE AD ＝12． ①又∵DC BC ＝13， ② ①×②得 EP BC＝16． ∵ EP //BC ， ∴ EF BF ＝EP BC ＝16，∴EF BE ＝15， ∴ S △AEF ＝15S △AEB ＝15×253＝53（cm 2）,∴ S △BDE ＋S △AEF ＝10 cm 2,S CDEF ＝S △ABC －S △ABD －S △AEF ＝203cm 2． 解法六：如图16－14，作EP //AC ，交BC 于点P ． F ED CBAP图16－14∵ EP //AC , ∴PC DC ＝AE AD ＝12， ①又∵DC BC ＝13② ①×②得 PC BC＝16． ∵ EP //AC , ∴ EF BF ＝PC BC ＝16，∴EF BE ＝15，∴ S △AEF ＝15S △AEB＝15×253＝53（cm 2）, ∴ S △BDE ＋S △AEF ＝10 cm 2, S CDEF ＝S △ABC －S △ABD －S △AEF ＝203cm 2． 点评：解法一的特点是：从已知条件出发，由D 点的位置可得到S △ADB ＝23S △ABC ＝503cm 2, S △ADC ＝13S △ABC ＝253cm 2,E 是AD 的中点，可得S △AEB ＝S △DEB ＝12S △ADB ＝253cm 2．适当地添加辅助线，可以充分地利用线段的比．从解法二的解题过程中，发现要求得△AEF 的面积，关键是求得AF FC 或BEEF，可以用如下方法来求． 如图16－15所示，D 是△ABC 的边BC 上的一点，E 是AD 上的一点，则有∆∆DBE ECD S S ＝∆∆ABD ACD S S ＝∆∆ABE ACE S S ＝BDDCEDCBA图16－15解法三是通过作平行线，将两个已知线段比联系起来解题，想一想，你能求出BEEF吗？ 例5（第11届“希望杯”试题）如图16－16所示，矩形ABCD 的面积是36，在AB 、AD 边上分别取点E 、F ，使得AE ＝3EB ，DF ＝2AF ，DE 与CF 交于O 点，求△FOD 的面积． 解析 解法一：如图16－16所示，过点F 作FG //AB ，交DE 于G ． OGFED CB A图16－16∵ FG //AB ，DF ＝2AF ，∴ FG AE ＝FD AD＝23 ①∵ AE ＝3EB ， ∴AE AB＝34 ② ①×②得 FG AB＝12． 又∵ AB ＝CD ，∴ FG CD ＝12． ∵ FG //CD ， ∴ FO OC ＝FG CD ＝12， ∴FO FC ＝13， ∴ S △FOD ＝13S △FDC ＝13×12×23AD ×CD ＝19S △BCD ＝4解法二：如图16－17所示，过点E 作EG //AD ，交CD 于G ，交FC 于H ．HAB C D EFGO图16－17∵ EG //AD ，AE ＝3EB ，∴HG DF ＝CG CD ＝14， ∴ DF ＝4HG ． ∴ DF ＝2AF , ∴ AD ＝32DF ＝6HG ， ∴ EH ＝EG －HG ＝AD －HG ＝5HG ， ∴OD OE ＝FD EH＝45．连结EF ∴ S △FOD ＝49S △EFD ＝49×12×23AD ×34AB ＝19S △BCD ＝4． 解法三：如图16－18所示，延长DE 交CB 的延长线于点G ． OGFED CB A图16－18∵ CB //AD ，AE ＝3EB ，∴ GB AD ＝BE AE ＝13， ∴ AD ＝3GB ，CG ＝4GB ， ∵ DF ＝2AF , ∴ DF ＝23AD ＝2GB ,∴FO OC ＝DF CG＝12，∴ S △FOD ＝13S △FDC ＝13×12×23AD ×CD ＝19S △BCD ＝4．解法四：如图16－19所示，延长CF 交BA 的延长线于点G ．A B CD EFGO图16－19∵ AB //CD ,DF ＝2AF ,∴ AG CD ＝AF FD ＝12， ∴ CD ＝2AG ． ∵ AE ＝3EB , ∴ AE ＝34AB ＝34CD ＝32AG , ∴ EG ＝AE ＋AG ＝52AG , ∴OD OE ＝CD EG ＝45． 连结EF ,∴ S △FOD ＝49S △EFD ＝49×12×23AD ×34AB ＝19S △BCD ＝4． 解法五：如图16－20所示，过点O 作OG //AB 交AD 于点G ． OGFED CB A图16－20∵ OG //CD //AB , ∴FG FD ＝OGCD, ① DG AD ＝OG AE , ② ①÷②得FG FD ×AD DG ＝AECD, ∴FG DG ＝AE CD ×FD AD＝34×23＝12,∴FO OC＝12 ∴S △FOD ＝13S △FCD ＝13×12×23AD ×CD＝19S △BCD ＝4． 点评：本题根据条件容易求出S △ADE 和S △CDF 的面积，而要求S △FOD 的面积，关键是求得O 点分线段DE 或线段FC 的比．【好题妙解】佳题新题品味例 如图16－21，在⊙O 中，ADB ＝90°，弦AB ＝a ，以B 为圆心，BA 为半径画圆弧交⊙O 于另一点C ，求由两条圆弧所围成的月亮形（图中阴影部分）的面积S ．图16－21解析 AC 是⊙O 的直径，连结BC ，则△ABC 是等腰直角三角形，所以OA ＝12ACa ．所以，以B 为圆心的扇形ABC 的面积S 1＝4π⋅AB 2＝4πa 2, ⊙O 的上半部分面积S 2＝12π⋅OA 2＝4πa 2． 于是，S 2＝S 1．两边同减去公共部（不含阴影的弓形AC ）的面积，得S ＝S △ABC ＝12a 2． 点评：将不规则图形的面积用几个规则图形的面积的和、差表示出来． 中考真题欣赏例【2003年北京海定区中考题）如图1，在方格纸中有四个图形①、②、③、④，其中面积相等的图形是（ ）① ② ③ ④A ．①和②B ．②和③C ．②和④D ．①和④【解析】通过等积变形发现①相当于6个小正方形的面积，②相当于6个小正方形的面积，③相当于8个小正方形的面积，④相当于7个小正方形的面积．巧妙地对图形进行分割或等积变换是解决问题的重要方法． 故选A ．竞赛样题展示例（2000年新加坡数学竞赛题）如图，AD 、BE 、CF 交于△ABC 内一点P ，并将△ABC 分成六个小三角形，其中四个小三角形的面积已在图中给出，求△ABC 的面积．30407084PF E DCBA【解析】设未知的两个小三角形的面积为x 和y ， 则40843070BD x DC y +==+即844703x y +=+① 又70844030AE x EC y +==+即847070x y+=② ①÷②，得金牌之路JINGSAIWANGPAI70470370yy =•+，解得y =35． 再由②得x =56． 因此，S △ABC =315．【点评】引入方程的思想，通过面积比与线段比之间的转化实现目标．·A 级·1．如图，已知△ABC 的面积为1，且12BD CE AF DC EF FD ===．求△DEF 的面积．F EBA2．已知□ABCD 中，E 是AB 的中点，AB =10，AC =9，DE =12，求□ABCD 的面积S ．3．如图，E 、F 是正方形ABCD 的两边AB 、BC 的中点，AF 、CE 交于G 点．若正方形的面积等于1．求四边形AGCD 的面积．GFEDCBA4．如图，△ABC 内三个三角形的面积分别为5、8、10，求四边形AEFD 的面积．1085F E D CBA5．三角形三条高的长度分别为3、4、5.当三边长都取最小整数时，求最短边的长度．6．如图，在直角梯形ABCD 中，底边AB =13，CD =8，AD ⊥AB ，且AD =12．求A 到BC 边的距离．DCBA读金牌之路·圆金牌之梦竞赛王牌·B 级（竞赛演练）·1．如图，长方形ABCD 的面积是150cm 2，E 是AB 的四等分点，F 是BC 的三等分点，G 是CD 的中点，则△EGF 的面积为 ．2．如图所示，长方形APHM 、BNHP 、CQHN 的面积分别为7、4、6，则△DPN 的面积为 ．N3．如图所示，在长方形ABCD 中，E 是AD 的中点，F 是CE 的中点，若△BDF 的面积为6cm 2，则长方形ABCD 的面积是 cm 2．ABDEFC4．如图所示，两个半径为1的14圆的扇形叠放在一起，其中POQO'是正方形，则阴影部分的面积是 ．5．如图所示，△ABC 的面积为1，△BDE 、△DEC 、△ACE 的面积相等，则△ADE 的面积是 ．EDC B AEDA6．（2003年全国初中数学联合竞赛试题）如图所示，△ABC 的面积为1，D 是AB 边上一点，且13AD AB ，在AC 边上取一点E ，使得四边形DECB 的面积为34，则CEEA的值为（ ） A ．12 B ．13 C ．14 D ．15。

七年级数学希望杯、华杯赛备考之面积问题（上）试卷简介: 《面积问题》是各类竞赛常考内容，主要考察学生的空间想象能力和动手操作能力。

本讲主要归纳总结一些常用的求解面积的方法，比如“割补”、“公式”、“容斥原理”等。

一、单选题(共5道，每道20分)1.如图所示，三角形ABC的面积为10，E是AC的中点，O是BE的中点．连结AO，并延长交BC于D，连结CO并延长交AB于F．四边形BDOF的面积是.A.B.C.D.3答案：C解题思路：观察如图，根据等底等高模型，我们知道，E是中点，所以，同理，，.所以，所以△BOD占三角形BOC面积的，即为2.5×=，因此.同理，可以求出，所以试题难度：三颗星知识点：面积问题2.如图，一大一小两个正方形并排放在一起，则图中阴影部分的面积是.A.50B.36C.60D.43答案：C解题思路：“割补法求面积”，以“补”为例.如图，，将整个图形补成一个大的长方形.所以阴影部分面积=大的长方形面积-空白部分面积，即为大长方形面积：10×（10+6）=160，空白部分面积：△ABC：10×10÷2=50，△AMF：（10+6）×（10-6）÷2=32，△CEF：6×6÷2=18.所以阴影部分面积：160-（50+32+18）=60，答案为C试题难度：三颗星知识点：面积问题3.如图，四边形ABCD中，AB//CD,∠ADC=90°且AB=AD,正方形DEFH的边长等于6厘米，则三角形BEH的面积是平方厘米.A.12B.14C.18D.8答案：C解题思路：过B点作BM⊥CD，连接BD.所以相当于两个正方形ABMD、DEFH并列放在一起，所以BD//EH.因此△BEH与△DEH的面积相等，即为：.试题难度：三颗星知识点：面积问题4.如图，正方形ABCD的边长是10cm，BO长是8cm，AE= cm.A.10B.8C.16D.12.5答案：D解题思路：连接BE，△ABE的面积就是正方形面积的一半，为10×10÷2=50.而OB是三角形ABE的高，根据面积公式可以求出AE=50×2÷8=12.5.试题难度：三颗星知识点：面积问题5.如图所示，，两个正方形ABCD与CEFG并排放在一起，连接AG交CE与H，连接AE，HF，则图中阴影部分的面积是平方厘米.A.36个B.50C.32D.34答案：C解题思路：连接EG，连接AC.根据等底等高模型，可知，所以阴影部分面积之和就等于△AEG的面积.图中AC//EG，所以△AEG和△CEG是等底等高的，因此试题难度：四颗星知识点：面积问题。

初中数学七巧板竞赛试题【试题一】几何图形的面积计算题目描述：在一个正方形的七巧板中，每一块板的面积如何计算？请给出计算公式，并计算一个边长为5厘米的正方形七巧板中，每一块板的面积。

解答：正方形七巧板由一个中心正方形和四个等腰直角三角形以及一个平行四边形组成。

中心正方形的边长等于正方形七巧板的边长，四个等腰直角三角形的直角边长等于中心正方形的边长。

平行四边形由两个等腰直角三角形组成，其底和高都等于中心正方形的边长。

计算公式如下：- 中心正方形面积：\[ A_{\text{square}} = a^2 \]- 等腰直角三角形面积：\[ A_{\text{triangle}} = \frac{a^2}{2} \]- 平行四边形面积：\[ A_{\text{parallelogram}} = a^2 \]其中，\( a \) 为正方形七巧板的边长。

以边长为5厘米的正方形七巧板为例，每一块板的面积分别为：- 中心正方形面积：\[ 5^2 = 25 \text{平方厘米} \]- 等腰直角三角形面积：\[ \frac{5^2}{2} = 12.5 \text{平方厘米} \]- 平行四边形面积：\[ 5^2 = 25 \text{平方厘米} \]【试题二】七巧板的组合问题题目描述：使用七巧板的各部分，能否拼成一个大写的英文字母“T”？如果可以，请说明如何拼凑。

解答：是的，可以使用七巧板拼凑出一个大写的英文字母“T”。

具体拼凑方法如下：- 使用中心正方形作为“T”的横杠。

- 将两个等腰直角三角形的直角边沿正方形的一边摆放，构成“T”的竖杠。

- 剩余的两个等腰直角三角形和平行四边形可以放置在“T”的下方或上方，形成“T”的下横杠。

【试题三】七巧板的对称性题目描述：七巧板中的哪几个部分是对称的？请说明它们的对称轴。

解答：七巧板中的中心正方形和平行四边形是对称的。

它们的对称轴如下：- 中心正方形的对称轴有两条，一条是穿过中心点的水平线，另一条是穿过中心点的垂直线。

面积法一、内容提翼.因为面积公式是用线段的代数式表示的，所以面积与线段可以互相转换。

运用面积公式及有关面积性质定理解答儿何题是常用的方法，简称面积法。

.面积公式（略）两个三角形的面积比定理.等高（底）的两个三角形的面积比，等于它们对应的底（高）的比.有一个角相等或互补的两个三角形面积的比等于夹这个角两边的乘积的比.相似三角形面积的比等于它们的相似比的平方.有公共边的两个三角形面积的比等于它们的第三顶点连线被公共边分成的两条线段的比（内分比或外分比K a A如图△ABC和AADC有公共边AC,氽M内分BD o第三顶点连线BD被公共边AC/l\/\内分或外分于点M,//X.则』空十尸汶4。

‘△ADC MD定理④是以公共边为底，面积的比等于它们的对应高的比换成对应线段的比二、例题.求证有一个30度角的菱形，边长是两条对角线的比例中项已知：菱形ABCD中，ZDAC=30°求证：ab2=acxbd证明：作高DE,VZDAE=30°.•.de=L ad=L ab S22S菱形abcd=ACXBD./.AB2=ACXBD.求证：等边三角形内任一点到各边的距离的和是一个定值已知：AABC中，AB=BC=AC,D是形内任一点,DE±BC.DF_LAC,DG±AB,E, F.G是垂足求证：DE+DF+DG是一个定值证明：连结DA,DB.DC,设边长为a,‘△abc=S mbc+S adca+S adabC lah a=-J-a(DE+DF+DG)22.•.DE+DF+DGf...等边三角形的高h,是一个定值，...DE+DF+DG是一个定值本题可推广到任意正n边形，其定值是边心距的n倍f aAD BE CF 1已知：AABC 中，——=——=——=-AB BC CA 3求：萨虬的值'△ABCBE （本题可推广到:1—,---=—，m BC n 竺=顼CA p'△DEh mn P + "1 + 〃 + p - mn - nip - np )S A abc mnP如图RtAABC 被斜边上的高CD 和直角平分线CE 分成3个三角形，已知其中两个面积的值标在图中，求第三个三角形的面积X 。

初一几何竞赛试题及答案1. 选择题：下列哪个选项是正方形的对角线长度的两倍？A. 边长B. 边长的平方C. 边长的根号2倍D. 边长的根号3倍答案：C2. 填空题：在一个等边三角形中，如果边长为a，那么该三角形的高是______。

答案：\(\frac{\sqrt{3}}{2}a\)3. 判断题：如果一个四边形的对角线互相平分，那么这个四边形一定是矩形。

正确错误答案：错误4. 计算题：一个圆的直径是14cm，求这个圆的周长和面积。

答案：周长为\(\pi \times 14\)cm，面积为\(\frac{\pi \times14^2}{4}\)平方厘米。

5. 简答题：请说明如何证明一个三角形是等边三角形。

答案：要证明一个三角形是等边三角形，需要证明其三边相等。

可以通过测量每条边的长度，或者证明其中两个角相等（因为等边三角形的三个角都是60度），从而得出结论。

6. 作图题：给定一个点O，画出一个以O为圆心，半径为5cm的圆。

答案：使用圆规，以O为圆心，将圆规的两脚张开到5cm的距离，旋转一周即可画出圆。

7. 应用题：一个长方形的长是宽的两倍，如果宽为3cm，求长方形的周长。

答案：长方形的长为6cm，周长为\(2 \times (3 + 6) = 18\)cm。

8. 证明题：证明在一个直角三角形中，斜边的中点到直角顶点的距离等于两直角边中点连线的长度。

答案：设直角三角形ABC中，∠C为直角，D为斜边AB的中点。

连接CD，根据直角三角形的性质，CD是斜边AB的中线，因此CD等于AB的一半。

又因为D是AB的中点，所以AD等于BD。

根据中线定理，CD等于AD，因此CD等于两直角边中点连线的长度。

第26讲 图形面积计算初探培优训练1．（2013，菏泽）如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S 1，S 2，则S 1＋S 2的值为( )．A ． 16B ．17C ．18D ．19A2．（2013，安徽）如图，P 为平行四边形ABCD 边AD 上一点，E ，F 分别为PB ，P C 的中点，△PEF ，△PDC ，△P AB 的面积分别为S ，S 1，S 2，若S ＝2，则S 1＋S 2＝__ __.3．（2010，枣庄）如图，边长为2的正方形ABCD 的对角线相交于点O ，过点O 的直线分别交AD ，BC 于点E ，F ，则阴影部分的面积为__ __.FBAECBG F4．（2013，徐州）如图，在正八边形ABCDEFGH 中，四边形BCFG 的面积为20 cm 2，则正八边形的面积为____ cm 2．5．（2010，大理）如图，已知长方形ABCD 的面积为1，A 1，B 1，C 1，D 1分别为AB ，BC ，CD ，DA 的中点．若四边形A 1B 1C 1D 1的面积为S 1，A 2，B 2，C 2，D 2分别为A 1B 1，B 1C 1，C 1D 1，D 1A 1的中点，四边形A 2 B 2 C 2 D 2的面积为S 2，…，依此类推，第n 个四边形A n B n C n D n 的面积记为S n ，则S n ＝__ __.第1题图第2题图第3题图第4题图1C 1D A AB6．（2013，福州）如图，由7个形状、大小完全相同的正六边形组成网格，正六边形的顶点称为格点．已知每个正六边形的边长为1，△ABC 的顶点都在格点上，则△ABC 的面积是__ __. 7．如图，正方形ABCD 的面积是1 cm 2，EF ＝2BF ，则△BC 的面积是__ __cm 2.BAEAB8．（“五羊杯”邀请赛）如图，梯形ABCD 被对角线分为4个小三角形，已知△AOB 和△BOC 的面积分别为25 cm 2和35 cm 2，那么梯形的面积是__ __cm 2.9．（江苏竞赛）如图，正方形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 边上的点，AE ，DE ，BF ，AF 把正方形分成8小块，各小块的面积分别为S 1，S 2，…，S 8，试比较S 3与S 2＋S 7＋S 8的大小，并说明理由．竞赛训练10. （“希望杯”竞赛）如图，S △ABC ＝1，若S △BDE ＝S △DEC ＝S △ACE ，则S △ADE 等于( )．A ．15B ．16C ．17D ．18第5题图第6题图第7题图第8题图BA第9题图BABEFAB11.如图，在长方形ABCD 中，△ABP 的面积为20 cm 2，△CDQ 的面积为35 cm 2．则阴影四边形的面积等于_ ___ cm 2.12．如图，在梯形ABCD 中，E 是AB 的中点，F 是AD 的中点．已知△BEC 的面积为8 cm 2，△ABF 的面积为5 cm 2，则梯形ABCD 的面积为_ ___ cm 2.13．如图，正方形ABCD 的面积是120 cm 2，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，四边形BGHF 的面积是_ ___ cm 2.EBAInt ernat i onal er M at hem at i l er-K ongreB 1998 B erl i nD eut schl and14．（“创新杯”竞赛）如图是德国1998年发行的纪念在柏林召开的国际数学家大会的邮票．它的图案是一个长方形，这个长方形被分割成大小各不相同的11个正方形，如果这个分割图中所有的正方形的边长都是整数，那么这个长方形的周长最小是多少？第10题图第11题图第12题图第13题图第14题图答案 [能力平台]1. B [提示：如图，易知∠DBC ＝45°，所以BR ＝MR ＝RC ＝3，设EH ＝a ，则ED，AE ＝6，而EF， 所以a)，解得a ＝， 所以S 2＝2＝8，所以S 1＋S 2＝9＋8＝17.]2.8. [提示：因为EF 是△PBC 的中位线，所以S : S △PBC ＝1:4，因为S ＝2，所以S △PBC ＝8，又因为S △PBC ＝12S □ABCD ，所以S 1＋S 2＝S △PBC ＝8.] 3.1. [提示：S △AOE ＝S △COF ，∴S 阴影＝S △AOD ＝14S 正方形ABCD ＝14×22＝1.] 4.40. [提示：如图所以，连接AD ，HE ，设正八边形的边长为a ，根据正八边形的性质易知图中标注的垂直关系成立， 所以AMa ，BG ＝a， 所以S 梯形ABGH ＝S 梯形CGEF ＝12( a ＋a)a ＝12( a 22)，S 矩形BCFG ＝a (a )＝a 2a 2＝20，所以S 正八边形ABCDEFGH ＝40.] 5.12n . [提示：112S S =，21211112222S S ==⨯=，322311112222S S ==⨯=，…，∴12n nS =.] 6. [提示：做辅助线如图所示，点D 在格点上，根据正六边形的性质，可得∠ADC ＝90°，AB ＝2，CD ＝S △ABC ＝12AB ·CD ＝12×2×.] 7.16. [提示：连接EC ，则S △BEC ＝12S 正方形ABCD ，S △BCF ＝13S △BEC .] 8.144. [提示：S △AOD ＝S △BOC ＝35 cm 2，AOD DOCABO BOC S S DO S BO S ==△△△△，得S △DOC ＝49 cm 2.] 9. S 3＝S 2＋S 7＋S 8 . 理由如下：∵ S 1＋S 3＋S 6＝S 4＋S 3＋S 5＝S 1＋S 2＋S 6＋S 7＋S 8＝12S 正方形，得 S 1＋S 3＋S 6＝S 1＋S 2＋S 6＋S 7＋S 8，故S 3＝S 2＋S 7＋S 8 .10.B [提示：由S △BDE ＝S △DEC ，得BD ＝DC ，又S △BCE ＝2S △ACE ，∴BE ＝2AE ，于是2ADES S =△BDE△， NA FBE 第1题图第4题图CB G F因此S△ADE＝12S△BDE＝12×13S△ACB＝12×13＝16.]11.55. [提示：连接EF，则S△ABP＝S△EFP，S△CDQ＝S△EFQ，∴S阴影＝S△EFP＋S△EFQ＝S△ABP＋S△CDQ＝20＋35＝55.]12.26. [提示：连接FC，AC，则S△ACD＝2S△AFC＝2S△ABF＝10 cm2，S△ABC＝2S△BEC＝16 cm2，∴S梯形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝10＋16＝26 cm2.]13.14. [提示：连接GF，易知S△BEC＝S△BDF＝S△FDC＝120×14＝30 cm2；由对称性知S△BEC＝S△BEF，而S△BGF＝S△GFC；∴S△BGF＝30÷3＝10 cm2，故S△GFD＝20 cm2，S△DFC＝30 cm2，∴S△EFP:S△EFQ＝S△ABP:S△CDQ＝2:3，∴S△GFH＝10×223+＝4 cm2；∴S阴影＝10＋4＝14 cm2.]14. 706. [设最小、次小和中间小正方形的边长依次为x，y，z（如图，正方形的边长均写在正方形内），则其他正方形的边长如图所示.从而，最大正方形的边长为x＋3y＋2z＝3y＋8x－z，化简得7x＝3z. ①又考虑长方形的宽，可得6x＋5y＋2z＝3x＋8y＋z，化简得3x－3y＋z＝0. ②由①②得73169x zx y=⎧⎨=⎩，由于x，y，z都是正整数，则x的最小值为9，从而y和z的最小值依次为16，21.此时长方形的边长分别为：96177652176x yx y z+=⎧⎨++=⎩，因此所求最小周长为(176＋177)×2＝706.]。

七年级希望杯竞赛中的面积问题七年级希望杯竞赛中的面积问题1.如图，纸上画了四个大小一样的圆，圆心分别是A，B，C，D，直线m通过A，B，直线n通过C，D，用S表示一个圆的面积，如果四个圆在纸上盖住的总面积是5(S－1)，直线m，n之间被圆盖住的面积是8，阴影部分的面积S1，S2，S3满足关系式S3=13S1=13S2,求S．2.图中表示阴影部分面积的代数式是( )A．ad+bc．B．c(b-d)+d(a-c)．C．ad+c(b-d)．D．ab-cd．3．如图26是一个长为a，宽为b的矩形．两个阴影图形都是一对长为c的底边在矩形对边上的平行四边形．则矩形中未涂阴影部分的面积为( )A.ab-(a+b)c．B．ab-(a-b)c． C．(a-c)(b-c)．D．(a-c)(b+c)．4.如图2．将面积为a2的小正方形与面积为b2的大正方形放在一起(a＞0,b＞0)．则三角形ABC的面积是_______．5.如图3，是某个公园ABCDEF，M为AB的中点，N为CD的中点，P为DE的中点，Q为FA 的中点，其中游览区APEQ与BNDM 的面积和是900平方米，中间的湖水面积为361平方米，其余的部分是草地，则草地的总面积是______平方米．6.如图28，十三个边长为正整数的正方形纸片恰好拼成一个大矩形（其中有三个小正方形的边长已标出字母x，y，z）．试求满足上述条件的矩形的面积最小值．7.在矩形ABCD中,放入六个形状、大小相同的长方形，所标尺寸如图9所示．试求图中阴影部分的总面积(写出分步求解的简明过程)8．如图4，O为圆心，半径OA=OB=r，∠AOB=90°，点M在OB上，OM=2MB，用r的式子表示阴影部分的面积是_____．9．ABCD和EBFG都是正方形，尺寸如图5所示，则阴影部分的面积是_____(cm2)．10．如图8，两条线段AB、CD将大长方形分成四个小长方形，其中S1面积是8，S2的面积是6，S3的面积是5．则阴影三角形的面积是_____．11．如图9，已知△ABC中，∠C=90°，AC=1.5BC,在AC上取点D,使得AD=0.5BC,量得BD=1cm,则△AB D的面积是________cm2.12.如图2△ABC的面积是1平方厘米，DC=2BD，AE=3ED，则△ACE的面积是______平方厘米．13．如图3，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD分为四个部分，△AOB的面积是1平方千米，△BOC的面积是2平方千米，△COD的面积是3平方千米，公园陆地的总面积是6.92平方千米，那么人工湖的面积是______平方千米．14.在长方形ABCD中,M是CD边的中点,DN是以A为圆心的一段圆弧,KN是以B为圆心的一段圆弧,AN=a,BN=b,则图7中阴影部分的面积是_______.15.如图4，长方形ABCD中，△ABP的面积为20平方厘米，△CDQ的面积为35平方厘米，则阴影四边形的面积等于______平方厘米．16.如图4所示, ΔABC 中,点P 在边AB 上,AP=13AB,Q 点在边BC 上,BQ=4BC ,R 点在CA 边上,CR=15CA,已知阴影ΔPQR 的面积是19平方厘米,那么△ABC 的面积是______平方厘米．17．梯形ABCD 如图4所示，AB 、CD 分别为梯形上下底，已知阴影部分总面积为5平方厘米，△AOB 的面积是0.625平方厘米.则梯形ABCD 的面积是________平方厘米. 18.如图8所示，S △ABC ＝1，若S △BDE ＝S △DEC ＝S △ACE ，则S △ADE ＝ ( )A.51 B.61 C.71 D.81. 19.图10,中,两个半径为1的14圆扇形'''AO B 与AOB 叠放在一起,POQO ,是正方形,则整个阴影图形的面积是__________.20.如图，矩形ABCD 的面积为1，BE:EC ＝5:2，DF:CF ＝2:1，则三角形AEF 的面积的大小为________。

海伦，古希腊数学家、测量学家和工程师，在数学史上，他以出色解决几何测量问题而闻名．他提出了不少计算图形面积和体积的精确或近似公式，其中包括著名的已知三角形三边，求三角形面积的“海伦公式”．26．图形面积的计算 解读课标面积是平面几何中一个重要概念，计算图形面积是平面几何中最常见的基本问题之一，与面积相关的知识有：1．常见图形面积计算公式；2．等底等高的两个三角形面积相等；3．等高（或等底）两个三角形面积的比等于对应底（或高）的比． 面积的计算主要是求一些非常规图形的面积．非常规图形面积的计算往往可转化为常规图形面积的计算，在转化的过程中常用到恰当连线、图形割补、等积变形、代数化等知识方法． 熟悉以下基本图形．问题解决例1 如图，梯形ABCD 被对角线分为4个小三角形，AOB △和BOC △的面积分别为225cm 和，梯形的面积是__________2cm ．隐含多对面积相等的三角形，要求梯形的面积需求出DOC △的，过线段的比把三角形面积联系起来． 例2 如图，正方形ABCD 和CEFG 的边长分别为m 、n ，那么AEG △的面积的值（ ）．A ．只与m 的大小有关B ．只与n 的大小有关C ．与m 、n 的大小都有关D ．与m 、n 的大小都无关试一试 略例3 如图，三角形ABC 内的线段BD 、CE 相交于点O ，已知OB OD =，2OC OE =．设三角形BOE 、三角形BOC 、三角形COD 和四边形AEOD 的面积分别为1S 、2S 、3S 、4S ． （1）求13:S S 的值；（2）如果22S =，求4S 的值．试一试 恰当连线（如连OA ），把线段比转化为对应的三角形面积比．对于（2），设AOE S x =△，利用三角形面积之间的关系建立方程．例4 如图，ABC △的面积为1，D 、E 为AC 的三等分点，F 、G 为BC 的三等分点．S 2S 1S 1S2S 1S 2S 3S 4S 1S 2S 4S 3ODC BAGF ED CBAE OD CBA求：（1）四边形PECF 的面积； （2）四边形PFGN 的面积．试一试 （1）连CP ，设PCF S x =△，PCE S y =△，可建立关于x ，y 的方程组，解题的关键是把相关图形的面积用x ，y 的代数式表示，并利用等分点导出隐含图形的面积；（2）连NC ，仿（1），先求出BNC △的面积，再得出BNG △面积，进而可求四边形PFGN 的面积．例5 如图①，已知正方形ABCD 的面积为1，M 为AB 的中点．求图中阴影部分的面积．解法1 如图①，14AMD AMC S S ==△△，AMG S △为公共部分，所以AGD MCG S S =△△，因为AMG △与AMD△的高相等（以A 为顶点作高），MCG △与MCD △的高相等（以C 为顶点作高），所以AMG MCG AMD MCD S S MG S S MD==△△△△，即141142MCG MCG S S -=△△， 解得16MCG S =△，11263S =⨯=阴影．解法2 如图②，连接GB ，由正方形的对称性得ABG AGD S S =△△， 又1122AMG ABG AGD S S S ==△△△，所以2211=22212343AGD AMD S S S =⨯=⨯⨯=+阴影△△． 解法3 如图③，连接BD 、BG ，设BD 、AC 交于点O ，AMG S x =△，因为14AMD AOD ABCD S S S ==△△，所以GOD AOD AGD AMD AGD AMG S S S S S S x =-=-==△△△△△△． 又BOG GOD S S x ==△△，BMG AMG S S x ==△△， 因为AOB AGM GOB BMG S S S S =++△△△△， 即14x x x =++，所以112x =． 所以()123AGD MCG AMD AMG S S S S S =+=-=阴影△△△△．皮克公式例6 用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形．设格点多边形的面积为S ，它各边上格点的个数和为x ．P Q M NGF E D CBA 图①图②图③（1）上图中的格点多边形，其内部都只有一个格点，它们的面积与各边上格点的个数和的对应关系如． 2个格点．此时所画的各个多边形的面积S 与它各边上格点的个数和x 之间的关系式是：S =___________．（3）请你继续探索，当格点多边形内部有且只有n 个格点时，猜想S 与x 有怎样的关系？ 试一试 本例是按多边形内部的点来分情况探究的．对于（3），可以研究当多边形内部的点数为3、4、5等的情况，从特殊到一般作出猜想． 数学冲浪 知识技能广场1．如图，一个大正方形被2条线段分割成2个小正方形和2个长方形，如果2175cm S =，2215cm S =，那么大正方形的面积S =_____________2cm ．2．图中最大正方形的边长是10cm ，那么，阴影部分的总面积是__________2cm ．3．如图，将边长为4cm 的等边ABC △沿边BC 向右平移2cm 得DEF △，DE 与AC 交于点G ，则:ABC ABFD S S =四边形△_____________．4．把三张大小相同的正方形卡片A ，B ，C 叠放在一个底面为正方形的盒底上，底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．若按图①摆放时，阴影部分的面积为1S ；若按图②摆放时，阴影部分的面积为2S ，则1S ____________2S （填“>”、“<”或“=”）．④③②①S 4S 3S 2S 1GF EDCBA图①图②5．如图，在直角扇形ABC 中，分别以AB 、AC 为直径作半圆，两条半圆弧相交于点D ，整个图形被分成1S 、2S 、3S 、4S 四部分，则2S 与4S 的大小关系是（ ）． A ．24S S < B ．24S S = C ．24S S > D ．无法确定的6．已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A 、B 两点在小方格的顶点上，位置如图所示，点C 也在小方格的顶点上，且以A 、B 、C 为顶点的三角形的面积为1个平方单位，则点C 的个数为（ ）．A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个7．如图，在长方形ABCD 中，11223AE BG BF AD AB =====，E 、H 、G 在同一条直线上，则阴影部分的面积等于（ ）．A ．8B ．12C ．16D ．208．如图，凸四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O 点，若三角形AOD 的面积是2，三角形COD的面积是1，三角形COB 的面积是4，则四边形ABCD 的面积是（ ）． A ．16 B ．15 C ．14 D ．139．如图，正方形ABCD 、正方形BEFG 和正方形RKPF 的位置如图所示，点G 在线段DK 上，已知正方形BEFG 的边长为4，求DEK △的面积．10．如图，ABC △的边30cm AB =，25cm AC =，点D 、F 在AC 上，点E 、G 在AB 上，::::1:2:3:4:5ADE DEF EFG FGC GBC S S S S S =△△△△△，求AD 和GE 的长．S 4S 3S 2S1D CB ADODCBA思维方法天地11．如图，若长方形APHM 、BNHP 、CQHN 的面积分别为7、4、6，则阴影部分的面积是__________．12．如图，三角形ABC 的面积为1，:2:1BD DC =，E 是AC 的中点，AD 与BE 相交于点P ，那么四边形PDCE 的面积为______________．13．如图，长方形ABCD 中，60cm AD =，45cm AB =，Q 为CD 的中点，在BC 上取一点P ，使APQ △的面积等于2900cm ，则BP =_______________．14．如图，若P 为平行四边形ABCD 内的一点，且5PAB S =△，2PAD S =△，则PAC S =△______________．15．如图，ABCD 是平行四边形，E 在AB 上，F 在AD 上，1214BCE CDF ABCD S S S ==⋅=平行四边形△△，则CE F S =△___________．16．如图，大圆中有4个面积相等的小圆，已知小圆半径为5cm ，大圆半径等于小圆直径，则空白部分的面积是__________2cm （π取3）．GF ED CBAPE DCBAABCD PQPHDAF EDC BA。

第15章 面积问题与面积方法15.1.1★如图，（b ）、（c ）、（d ）、（e ）中直线AP 与直线BC 交于点D ，则:（a ）中有ABD ACD S BD CD S =△△;(b ）、（c ）、（d ）、(e ）中有ABPACPS BD CD S =△△。

(a)CDBADP A CBP D CB A PBAPCDBA(e)(d)(c)(b)解析 只要作相应的高,并运用比例即可.15.1.2★若ABC △中有一点P ，延长AP 、BP 、CP ，分别交对边于点D 、E 、F ，则1PD PE PFDA EB FC++=。

CDBPEFA解析 如图，易证BPC ABC S PD DA S =△△,APC ABC S PE EB S =△△，APBABCS PF FC S =△△，三式相加即得结论.15.1.3★求证：若点A 、B 、C 、D 是一直线上依次的任意四个不同点,点P 是直线外一点，则有sin sin sin sin APC BPD AC BDBPC APD BC AD∠⋅∠⋅=∠⋅∠⋅。

解析 如图,PDC B Asin sin APC BPC S AC PA PC APCBC S PB PC BPC⋅⋅∠==⋅⋅∠△△ sin sin PA APCPB BPC∠=∠,sin sin PBD APD S BD BP BPDAD S AP APD∠==∠△△， 两式相乘，即得结论。

评注 这个定理叫交比定理，在这里作为例子是为了强调交比（即上述比值）是一个重要的不变量，交比为2时，四点称为调和点列，此时AB CD BC AD ⋅=⋅,这种情形在几何中十分常见。

15。

1。

4★★如图，设BD p CD =，CE q AE =,AFr BF=，试用p 、q 、r 表示PQR ABC S S △△。

BDRPEQFA解析 用面积比或梅氏定理得出，1(1)DQ QA r p =+，于是1AQC ACD ABC AQ rS S S AD r pr==++△△△以及ABRS △与BPC S △的表达式,最后算得2(1)(1)(1)(1)PQR ABCS pqr S r pr p pq q qr -=++++++△△。