高中数学校本教程系列(一)

高中数学竞赛校本教材目录§1数学方法选讲（1） (1)§2数学方法选讲（2） (11)§3集合 (22)§4函数的性质 (30)§5二次函数(1) (41)§6二次函数(2) (55)§7指、对数函数,幂函数 (63)§8函数方程 (73)§9三角恒等式与三角不等式 (76)§10向量与向量方法 (85)§11数列 (95)§12递推数列 (102)§13数学归纳法 (105)§14不等式的证明 (111)§15不等式的应用 (122)§16排列，组合 (130)§17二项式定理与多项式 (134)§18直线和圆，圆锥曲线 (143)§19立体图形，空间向量 (161)§20平面几何证明 (173)§21平面几何名定理 (180)§22几何变换 (186)§23抽屉原理 (194)§24容斥原理 (205)§25奇数偶数 (214)§26整除 (222)§27同余 (230)§28高斯函数 (238)§29覆盖 (245)§29涂色问题 (256)§30组合数学选讲 (265)§1数学方法选讲（1）同学们在阅读课外读物的时候，或在听老师讲课的时候，书上的例题或老师讲解的例题他都能听懂，但一遇到没有见过面的问题就不知从何处入手。

看来，要提高解决问题的能力，要能在竞赛中有所作为，首先得提高分析问题的能力，这就需要学习一些重要的数学思想方法。

例题讲解一、从简单情况考虑华罗庚先生曾经指出：善于“退”，足够的“退”，退到最原始而又不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窍。

从简单情况考虑，就是一种以退为进的一种解题策略。

【校本教材】《高中数学思想与方法》校本课程中学校本课程中学数学思想与常用方法中学数学组目录前言 0波利亚的怎样解题表 (1)第一章高中数学常用的数学思想 (8)函数与方程的思想方法 (9)分类讨论的思想方法 (13)特殊与一般的思想方法 (15)数形结合的思想方法 (17)化归与转化的思想方法 (21)或然与必然的思想方法 (23)有限与无限的思想方法 (25)第二章高中数学解题基本方法 (28)配方法 (28)换元法 (31)待定系数法 (34)反证法 (38)定义法 (41)数学归纳法 (44)序言美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。

而当我们解题时遇到一个新问题，总想用熟悉的题型去“套”，这只是满足于解出来，只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法。

高考试题十分重视对于数学思想方法的考查，特别是突出考查能力的试题，其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。

我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题，形成能力，提高数学素质，使自己具有数学头脑和眼光。

高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查：常用数学方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等；数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等；数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳和演绎等；常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想等。

数学思想方法与数学基础知识相比较，它有较高的地位和层次。

数学知识是数学内容，可以用文字和符号来记录和描述，随着时间的推移，记忆力的减退，将来可能忘记。

而数学思想方法则是一种数学意识，只能够领会和运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决，掌握数学思想方法，不是受用一阵子，而是受用一辈子，即使数学知识忘记了，数学思想方法也还是对你起作用。

数学思想方法中，数学基本方法是数学思想的体现，是数学的行为，具有模式化与可操作性的特征，可以选用作为解题的具体手段。

立体几何初步第一章空间几何体引言学习立体几何初步的准备（一课时）11.1 空间几何体的结构1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征（第一课时）1.1.2 简单几何体的结构特征（第二课时）1.2 空间几何体的三视图和直观图1.2.1 空间几何体的三视图（第一课时）1.2.2 空间几何体的直观图（第二课时）1.3 空间几何体的表面积和体积1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积和体积（第一课时）1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积和体积（第二课时）1.3.2 球的体积和表面积（第三课时）附录1引言学习立体几何初步的准备（一课时）教具：三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱，三棱锥、四棱锥、五棱锥、六棱锥，三棱台（由三棱锥截得）、四棱台（由四棱锥截得），圆柱，圆锥，圆台，球，5个小正方体，6根短胶棒，2根铁丝，一张长方形纸板，一块正方形豆腐。

一、展示学习目标1. 利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形观察图形，认识图形，了解多面体与旋转体，相信自己对学习立体几何初步有很好的基础。

2. 自己动手制作简单的立体几何模型，初步感知空间几何体；展示的问题与学生的认知相适应，与 现实生活相联系，激发学生学习的积极性与主动性；在平面内与空间中思考问题，出现认知冲突，激发学 习兴趣。

二、问题情境引入在生活实践中，人们在研究物体的形状、大小和位置关系时，认识了各种各样的几何图形。

例如：线 段、三角形、四边形、圆、长方体、球等等。

在初中，我们主要研究了平面图形，现在我们要开始学习的 是立体图形，即研究空间中的点、线、面、体。

在现实生活中，我们的周围存在着各种各样的物体，它们具有不同的几何形状。

由这些物体抽象出来的空间图形叫做 空间几何体。

在我们生活周围中有不少有特色的建筑物，你能举出一些例子吗？这些建筑 的几何结构特征如何？师生所列举的建筑物基本上都是由柱、锥、台、球等这些几何体组合而成的，你能通过观察，根据某种标准对这些空间几何体进行分类吗?问题1:学生观察(1) — ( 16)这些实物图片，思考：(1)—( 16)这些实物具有什么样的几何结 构特征？ 如何把这16个实物分为两类？分类的标准是什么？ (学生观察思考，发现这些物体可分为两类•其中(2),(5),(7),(9),(13),(14),(15),(16)具有相同的特点：组成几何体的每个面都是平面图形 ，并且都是平面多边形；(1),(3),(4),(6),(8),(10),(11),(12) 具有相同的特点：组成它们的面不全是平面图形 .)活动1想一想，我们应该给上述两大类几何体取个什么名称才好呢？1. 由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体。

第一章集合与函数概念1.1集合1．1.1集合的含义与表示第1课时集合的含义[目标] 1.通过实例，能说出集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；2.记住集合元素的特性以及常用数集；3.会用集合元素的特性解决相关问题．[重点] 用元素与集合的“属于”关系判断元素与集合的关系；用集合元素的特性解答相关问题．[难点] 集合元素特性的应用.知识点一元素与集合的含义[填一填]1．定义(1)元素：一般地，把所研究的对象统称为元素，常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，常用大写拉丁字母A，B，C，…表示．2．集合相等：指构成两个集合的元素是一样的．3．集合中元素的特性：确定性、互异性和无序性．[答一答]1．以下对象的全体能否构成集合？(1)河北《红对勾》书业的员工；(2)平昌冬奥会速滑比赛中滑得很快的选手；(3)一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象上的若干个点；(4)不超过2 019的非负数．提示：(1)能构成集合．河北《红对勾》书业的员工是确定的，因此有一个明确的标准，可以确定出来．所以能构成一个集合．(2)“滑得很快”无明确的标准，对于某位选手是否“滑得很快”无法客观地判断，因此，“平昌冬奥会速滑比赛中滑得很快的选手”不能构成一个集合．(3)“若干个点”是模糊的概念，因此与之对应的对象都是不确定的，自然它们不能构成集合，故“一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象上的若干个点”不能构成一个集合．(4)任给一个实数x，可以明确地判断x是不是“不超过 2 019的非负数”，即“0≤x≤2 019”与“x<0或x>2 019”，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过2 019的非负数”能构成一个集合．2．若集合A由0,1与x三个元素组成，则x的取值有限制吗？为什么？提示：有限制，x≠0且x≠1.因为集合中的任意两个元素必须是互异的．知识点二元素与集合的关系[填一填]如果a是集合A中的元素，就说a属于(belong to)集合A，记作a∈A；如果a不是集合A中的元素，就说a不属于(not belong to)集合A，记作a∉A.[答一答]3．若集合A是由元素1,2,3,4所组成的集合，问1与A,5与A有什么关系？提示：1∈A,5∉A.知识点三常用数集及表示[填一填][答一答]4．常用的数集符号N，N*，N＋有什么区别？提示：(1)N为非负整数集(即自然数集)，而N*或N＋表示正整数集，不同之处就是N 包括元素0，而N*或N＋不包括元素0.(2)N*和N＋的含义是一样的，初学者往往误记为N*或N＋，为避免出错，对于N*和N 可形象地记为“星星(*)在天上，十字架(＋)在地下”．＋5．用符号“∈”或“∉”填空． (1)1∈N *；(2)－3∉N ；(3)13∈Q ；； (5)－12∈R.类型一 集合的概念[例1] 下列所给的对象能构成集合的是________． (1)所有的正三角形；(2)高一数学必修1课本上的所有难题； (3)比较接近1的正数全体；(4)某校高一年级的16岁以下的学生；(5)平面直角坐标系内到原点距离等于1的点的集合； (6)参加里约奥运会的年轻运动员． [答案] (1)(4)(5)[解析] (1)能构成集合．其中的元素需满足三条边相等；(2)不能构成集合．因“难题”的标准是模糊的，不确定的，故不能构成集合； (3)不能构成集合．因“比较接近1”的标准不明确，所以元素不确定，故不能构成集合；(4)能构成集合．其中的元素是“16岁以下的学生”；(5)能构成集合．其中的元素是“到坐标原点的距离等于1的点”；(6)不能构成集合．因为“年轻”的标准是模糊的，不确定的，故而不能构成集合．判断元素能否构成集合，关键是集合中元素的确定性，即能否找到一个明确的评判标准来衡量元素是否为集合中的元素，若标准明确则可以构成集合，否则不可以.[变式训练1] 下列对象能组成集合的是( D ) A ．3的所有近似值B ．某个班级中学习好的所有同学C ．2018年全国高考数学试卷中所有难题D．屠呦呦实验室的全体工作人员解析：D中的对象都是确定的，而且是不同的．A中的“近似值”，B中的“学习好”，C中的“难题”标准不明确，不满足确定性，因此A，B，C都不能构成集合．类型二集合中元素的特性命题视角1：集合元素的互异性[例2]已知集合A中含有两个元素a和a2，若1∈A，求实数a的值．[分析]本题中已知集合A中有两个元素且1∈A，根据集合中元素的特点需分a＝1或a2＝1两种情况，另外还要注意集合中元素的互异性．根据集合中元素的确定性，可以解出字母的所有可能值，再根据集合中元素的互异性对集合中的元素进行检验．另外，利用集合中元素的特性解题时，要注意分类讨论思想的应用．[解]若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1.当a＝1时，a＝a2，集合A有一个元素，∴a≠1.当a＝－1时，集合A含有两个元素1，－1，符合互异性．∴a＝－1.当一个集合中的元素含字母时，可根据题意结合集合中元素的确定性求出集合中字母的所有取值，再根据集合中元素的互异性进行检验.[变式训练2](1)若集合M中的三个元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是(D)A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形(2)由a2,2－a,4组成一个集合A，且集合A中含有3个元素，则实数a的取值可以是(C)A．1B．－2C．6D．2解析：(1)集合中任何两个元素不相同．(2)由题意知a2≠4,2－a≠4，a2≠2－a，解得a≠±2，且a≠1.结合选项知C正确．故选C.命题视角2：集合元素的无序性[例3] 集合A 中含有三个元素0，ba ，b ，集合B 中含有三个元素1，a ＋b ，a ，若A ，B 两个集合相等，求a 2 019＋b 2 019的值．[分析] 由两个集合相等，所含元素相同列出a ，b 的关系式，解出a 与b ，再求a 2 019＋b 2 019的值．[解] 由两个集合相等易知a ≠0，a ≠1，故a ＋b ＝0，且b ＝1或ba ＝1.若b ＝1，由a ＋b ＝0得a ＝－1，经验证，符合题意；若ba ＝1，则a ＝b ，结合a ＋b ＝0，可知a ＝b ＝0，不符合题意．综上知a ＝－1，b ＝1. 所以a 2 019＋b 2 019＝(－1)2 019＋12 019＝0.两个集合相等，元素相同，因为集合元素无序，所以要进行讨论.同时还需要对集合求值问题代入验证，注意集合中元素的互异性.[变式训练3] 集合A 由1,3,5,7四个元素组成，已知实数a ，b ∈A ，那么ab 的不同值有( B )A ．12个B ．13个C ．16个D ．17个解析：a ，b 是集合A 的元素，ab 的值会因a ，b 的顺序不同而不同．a ，b 所取的值按顺序分别为：1,1；3,3；5,5；7,7；1,3；3,1；1,5；5,1；1,7；7,1；3,5；5,3；3,7；7,3；5,7；7,5，其对应的ab 有13个不同的值．类型三 元素与集合的关系[例4] (1)给出下列关系：①12∈R ；②2∉Q ；③|－3|∉N ；④|－3|∈Q ；⑤0∉N . 其中正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4(2)集合A 中的元素x 满足63－x ∈N ，x ∈N ，则集合A 中的元素为________．[答案] (1)B (2)0,1,2[解析] (1)12是实数；2是无理数；|－3|＝3是自然数；|－3|＝3是无理数；0是自然数．故①②正确，③④⑤不正确．(2)由63－x ∈N ，x ∈N 知x ≥0，63－x≥0，且x ≠3，故0≤x <3.又x ∈N ，故x ＝0,1,2. 当x ＝0时，63－0＝2∈N ，当x ＝1时，63－1＝3∈N ，当x ＝2时，63－2＝6∈N .故集合A 中的元素为0,1,2.判断一个元素是否属于某一集合，就是判断这个元素是否满足该集合元素的条件.若满足，就是“属于”关系；若不满足，就是“不属于”关系.特别注意，符号“∈”与“∉”只表示元素与集合的关系.[变式训练4] 已知不等式3x ＋2>0的解集为M . (1)试判断元素－1,0与集合M 的关系；(2)若a －1是集合M 中的元素，求a 的取值范围． 解：(1)∵3×(－1)＋2＝－1<0， ∴－1不是集合M 中的元素，∴－1∉M . 又3×0＋2＝2>0，∴0是集合M 中的元素，∴0∈M . (2)∵a －1∈M ，∴3(a －1)＋2>0. ∴3a >1，∴a >13.1．下列各组对象不能构成集合的是( B ) A ．某中学所有身高超过1.8米的大个子 B ．约等于0的实数 C ．某市全体中学生D ．北京大学建校以来的所有毕业生解析：由于“约等于0”没有一个明确的标准，因此B 中对象不能构成集合．2．下列命题中，正确命题的个数是( C )①集合N *中最小的数是1；②若－a ∉N *，则a ∈N *；③若a ∈N *，b ∈N *，则a ＋b 的最小值是2；④x 2＋4＝4x 的解集是{2,2}． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：N *是正整数集，最小的正整数是1，故①正确；当a ＝0时，－a ∉N *，a ∉N *，故②错误；若a ∈N *，则a 的最小值是1，同理，b ∈N *，b 的最小值也是1，∴当a 和b 都取最小值时，a ＋b 取最小值2，故③正确；由集合中元素的互异性，知④是错误的．3．已知a ，b 是非零实数，代数式|a |a ＋|b |b ＋|ab |ab 的值组成的集合是M ，则下列判断正确的是( B )A ．0∈MB ．－1∈MC ．3∉MD ．1∈M解析：当a ，b 全为正数时，代数式的值是3；当a ，b 全是负数时，代数式的值是－1；当a ，b 是一正一负时，代数式的值是－1.综上可知B 正确．4．集合A 由元素－1和2构成，集合B 是方程x 2＋ax ＋b ＝0的解，若A ＝B ，则a ＋b ＝－3.解析：∵A ＝B ，∴方程x 2＋ax ＋b ＝0的解是－1或2. ∴a ＝－1，b ＝－2，∴a ＋b ＝－3.5．已知集合A 由a 2－a ＋1，|a ＋1|两个元素构成，若3∈A ，求a 的值． 解：∵3∈A ，∴a 2－a ＋1＝3或|a ＋1|＝3. ①若a 2－a ＋1＝3，则a ＝2或a ＝－1.当a ＝2时，|a ＋1|＝3，此时集合A 中含有两个3，因此应舍去． 当a ＝－1时，|a ＋1|＝0≠3，满足题意． ②若|a ＋1|＝3，则a ＝－4或a ＝2(舍去)． 当a ＝－4时，a 2－a ＋1＝21≠3，满足题意． 综上可知a ＝－1或a ＝－4.——本课须掌握的三大问题1．理解集合的概念，关键是抓住集合中元素的三个特性：确定性、互异性和无序性．特别是处理含有参数的集合问题时，一定要注意集合中元素的互异性，即在求出参数的取值或取值范围后，一定要检验集合中元素的互异性．2．关于特定集合N ，N *(N ＋)，Z ，Q ，R 等的意义是约定俗成的，解题时作为已知使用，不必重述它们的意义．3．对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A”与“a∉A”这两种结果，“∈”与“∉”具有方向性，左边是元素，右边是集合．学习至此，请完成课时作业1第2课时集合的表示[目标] 1.掌握集合的两种表示方法(列举法和描述法)；2.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合．[重点] 集合的两种表示方法及其运用．[难点] 对描述法表示集合的理解.知识点一列举法[填一填]把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{__}”括起来表示集合的方法叫做列举法．{}表示“所有”的含义，不能省略，元素之间用“，”隔开，而不能用“、”；书写时不需要考虑元素的顺序．[答一答]1．实数集也可以写成{实数}，那么能写成{实数集}或{全体实数}吗？提示：不能，因为花括号“{}”表示“所有、全部”的意思．2．列举法能表示元素个数很少的有限集，那么可以用列举法表示无限集吗？提示：对于所含元素有规律的无限集也可以用列举法表示，如正自然数集可以用列举法表示为{1,2,3,4,5，…}．3．集合{(1,2)}与{(2,1)}是否为相等集合？提示：不是．知识点二 描述法[填一填]1．用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法． 2．具体方法在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．[答一答]4．集合{x |x >3}与集合{t |t >3}表示同一个集合吗？提示：虽然两个集合的代表元素的符号(字母)不同，但实质上它们均表示大于3的所有实数，故表示同一个集合．类型一 用列举法表示集合[例1] (1)若集合A ＝{(1,2)，(3,4)}，则集合A 中元素的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4(2)用列举法表示下列集合．①不大于10的非负偶数组成的集合； ②方程x 2＝x 的所有实数解组成的集合； ③直线y ＝2x ＋1与y 轴的交点所组成的集合；④方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x －y ＝－1的解．[答案] (1)B (2)见解析[解析] (1)集合A ＝{(1,2)，(3,4)}中有两个元素(1,2)和(3,4)．(2)解：①因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是{0,2,4,6,8,10}．②方程x 2＝x 的解是x ＝0或x ＝1，所以方程的解组成的集合为{0,1}．③将x ＝0代入y ＝2x ＋1，得y ＝1，即交点是(0,1)，故两直线的交点组成的集合是{(0,1)}．④解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，x －y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1.∴用列举法表示方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x －y ＝－1的解集为{(0,1)}．用列举法表示集合应注意的三点,(1)应先弄清集合中的元素是什么，是数还是点，还是其他元素；(2)集合中的元素一定要写全，但不能重复；(3)若集合中的元素是点时，则应将有序实数对用小括号括起来表示一个元素.[变式训练1] 用列举法表示下列集合： (1)15的正约数组成的集合； (2)所有正整数组成的集合；(3)直线y ＝x 与y ＝2x －1的交点组成的集合． 解：(1){1,3,5,15}．(2)正整数有1,2,3，…，所求集合用列举法表示为{1,2,3，…}．(3)方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y ＝2x －1的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，所求集合用列举法表示为{(1,1)}．类型二 用描述法表示集合[例2] 用描述法表示下列集合： (1)不等式2x －7<3的解集A ；(2)二次函数y ＝x 2＋1的函数值组成的集合B ； (3)被3除余2的正整数的集合C ；(4)平面直角坐标系内坐标轴上的点组成的集合D .[分析] 先确定集合元素的符号，再把元素的共同特征通过提炼加工后写在竖线后面． [解] (1)解2x －7<3得x <5， 所以A ＝{x |x <5}．(2)函数值组成的集合就是y 的取值集合，所以B ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈R }．(3)被3除余2的正整数可以表示为3n ＋2(n ∈N )，所以集合C ＝{x |x ＝3n ＋2，n ∈N }． (4)平面直角坐标系中坐标轴上的点的共同特征是至少有一个坐标为0， 所以D ＝{(x ，y )|x ·y ＝0，x ∈R ，y ∈R }．(1)用描述法表示集合，应先弄清集合的属性，是数集、点集还是其他的类型.一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序实数对来代表其元素.(2)若描述部分出现元素记号以外的字母时，要对新字母说明其含义或指出其取值范围.[变式训练2] 用描述法表示下列集合： (1)函数y ＝－x 的图象上所有点组成的集合； (2)方程x 2＋22x ＋121＝0的解集；(3)数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合；(4)⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，12，35，23，57，…. 解：(1){(x ，y )|y ＝－x ，x ∈R ，y ∈R }． (2){x |x ＝－11}．(3)数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合等于绝对值大于3的实数组成的集合，则数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合可表示为{x ∈R ||x |>3}．(4)先统一形式13，24，35，46，57，…，找出规律，集合表示为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝n n ＋2，n ∈N *.类型三 两种方法的灵活应用[例3] 用适当的方法表示下列集合：(1)方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＝14，3x ＋2y ＝8的解组成的集合；(2)1 000以内被3除余2的正整数组成的集合； (3)所有的正方形组成的集合；(4)抛物线y ＝x 2上的所有点组成的集合．[分析] (1)中的元素个数很少，用列举法表示；(2)是有限集，但个数较多，用描述法；(3)(4)是无限集，用描述法表示．[解] (1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －3y ＝14，3x ＋2y ＝8，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2，故该集合用列举法可表示为{(4，－2)}．该集合也可用描述法表示为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －3y ＝14，3x ＋2y ＝8.(2)设集合的代表元素是x ，则该集合用描述法可表示为{x |x ＝3k ＋2，k ∈N ，且k ≤332}．(3)集合用描述法表示为{x |x 是正方形}或{正方形}． (4)集合用描述法表示为{(x ，y )|y ＝x 2}．当集合的元素个数很少(很容易写出全部元素)时，常用列举法表示集合；当集合的元素个数较多(不易写出全部元素)时，常用描述法表示集合.对一些元素有规律的无限集，也可用列举法表示.如正奇数集也可写为{1，3，5，7，9，…}.但值得注意的是，并不是每一个集合都可以用两种方法表示出来.[变式训练3] 用适当的方法表示下列集合： (1)大于2且小于5的有理数组成的集合； (2)24的所有正因数组成的集合；(3)平面直角坐标系内与坐标轴距离相等的点的集合． 解：(1)用描述法表示为{x |2<x <5，且x ∈Q }． (2)用列举法表示为{1,2,3,4,6,8,12,24}．(3)在平面直角坐标系内，点(x ，y )到x 轴的距离为|y |，到y 轴的距离为|x |，所以该集合用描述法表示为{(x ，y )||y |＝|x |}．1．集合{x ∈N |x <5}的另一种表示方法是( A ) A ．{0,1,2,3,4} B ．{1,2,3,4} C ．{0,1,2,3,4,5}D ．{1,2,3,4,5}解析：由题x ∈N ，且x <5，∴x 的值为0,1,2,3,4，用列举法表示为{0,1,2,3,4}．2．方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －2y ＝－1的解集是( C )A ．{x ＝1，y ＝1}B ．{1}C ．{(1,1)}D ．{(x ，y )|(1,1)}解析：方程组的解集中元素应是有序数对形式，排除A ，B ，而D 中的条件是点(1,1)，不含x ，y ，排除D.3．集合{x |x ＝a ，a <36，x ∈N }，用列举法表示为{0,1,2,3,4,5}． 解析：由a <36，可得a <6，即x <6，又x ∈N ，故x 只能取0,1,2,3,4,5. 4．能被2整除的正整数的集合，用描述法可表示为{x |x ＝2n ，n ∈N ＋}． 解析：正整数中所有的偶数均能被2整除． 5．用适当的方法表示下列集合：(1)已知集合P ＝{x |x ＝2n,0≤n ≤2，且n ∈N }； (2)能被3整除且大于4小于15的自然数组成的集合； (3)x 2－4的一次因式组成的集合；(4)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，x －y ＝－1的解所组成的集合．解：(1)用列举法表示为P ＝{0,2,4}．(2)可用列举法表示为{6,9,12}；也可用描述法表示为{x |x ＝3n ，4<x <15，且n ∈N }． (3)用列举法表示为{x ＋2，x －2}．(4)可用列举法表示为{(1,2)}，也可用描述法表示为{(x ，y )|x ＝1，y ＝2}．——本课须掌握的两大问题1．表示集合的要求：(1)根据要表示的集合元素的特点，选择适当方法表示集合，一般要符合最简原则． (2)一般情况下，元素个数无限的集合不宜用列举法表示，描述法既可以表示元素个数无限的集合，也可以表示元素个数有限的集合．2．在用描述法表示集合时应注意：(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合或其他形式．(2)元素具有怎样的属性．当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑．学习至此，请完成课时作业2 学科素养培优精品微课堂 “形似异质”的集合的表示开讲啦 集合的类型有多种形式，可以是数集、点集、图形集或是其他类型的集合，判断它是哪种类型的集合主要根据代表元素的类型来判断．[典例] 有下面三个集合：①A ＝{x ∈R |y ＝x 2＋1}；②B ＝{y ∈R |y ＝x 2＋1}；③C ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1，x ∈R ，y ∈R }．它们是不是相同集合，为什么？[分析] 分析各集合中代表元素是哪种类型以及对各元素所具有的属性作出判断． [解] 对于集合A ，其代表元素为x ，x 属于实数，因此它表示数集，又元素所满足的条件为y ＝x 2＋1，它表示函数y ＝x 2＋1中自变量x 的取值范围，因为函数y ＝x 2＋1中自变量x 的取值范围是R ，故A ＝R ；对于集合B ，其代表元素为y ，y 属于实数，因此它表示数集，又元素所满足的条件为y ＝x 2＋1，它表示函数y ＝x 2＋1的函数值y ，故B ＝{y |y ≥1}；对于集合C ，其代表元素为(x ，y )，它表示坐标平面中的点的坐标，又元素所满足的条件为y ＝x 2＋1，它表示函数y ＝x 2＋1图象上的点．综上所述，集合A 、B 、C 是不同的集合．[名师点评] 理解描述法表示的集合，关键是对符号语言所表达的含义要正确理解．认识它时，一要看集合的代表元素是什么，它反映了集合元素的类型，以此确定集合的类型；二要看代表元素所具有的属性，即它要满足什么条件，以此确定集合中元素的组成部分．[对应训练] 判断下列说法是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)整数集Z ＝{x |x ＝n ＋1，n ∈Z }．( √ ) (2){y |y ＝x 2}≠{x |y ＝x }．( × )(3)两条直线y ＝2x 与y ＝x －1的交点构成集合M ，集合N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2xy ＝x －1，则M ＝N .( √ )(4)M ＝{(x ，y )|x ＋y ＝4，x ，y ∈N *}＝{(0,4)，(1,3)，(2,2)}．( × )解析：(1)整数集是个无限集，x ＝n ＋1，n ∈Z 能表示任意一个整数，所有的整数也能写成这种形式，故(1)正确．{y |y ＝x 2}表示通过计算y ＝x 2得到的所有y 值的集合，也可以理解为二次函数y ＝x 2图象上所有点的纵坐标的取值集合，即{y |y ＝x 2}表示非负实数集；{x |y ＝x }表示满足y ＝x 的所有x 的取值集合，因此x 可以取任意非负实数，即{x |y ＝x }表示非负实数集．两者表示的数集完全一样，故(2)错误．集合N 是一个点集，描述集合M 采用的是自然语言，二者含义一样，故(3)正确．集合M 是由满足x ＋y ＝4，且x ，y 均为正整数的x ，y 构成的点集，易知M ＝{(1,3)，(2,2)，(3,1)}，故(4)错误.1.1.2 集合间的基本关系[目标] 1.记住集合间的包含关系，会判断两个简单集合的关系；2.能写出给定集合的子集；3.记住集合相等与空集的含义以及空集与其他集合的关系．[重点] 集合间关系及集合间关系的判断；写出给定集合的子集；空集与其他集合的关系．[难点] 集合间的关系及应用．知识点一子集的有关概念[填一填]1．Venn图通常用平面上封闭曲线的内部代表集合．用Venn图表示集合的优点：形象直观．2．子集(1)自然语言：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A的任何一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集．(2)符号语言：记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A含于B”(或“B包含A”)．(3)图形语言：用Venn图表示．3．真子集如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，我们称集合A是集合B的真子集，记作A B(B A)．4．集合相等如果集合A是集合B的子集(A⊆B)，且集合B是集合A的子集(B⊆A)，此时，集合A 与集合B中的元素是一样的，因此集合A和集合B相等，记作A＝B.[答一答]1．若A⊆B，则A中的元素是B中的元素的一部分，对吗？提示：不对，A中的元素是B的一部分或是B的全部．2．“∈”与“⊆”有什么区别？提示：“∈”表示元素与集合之间的关系，而“⊆”表示集合与集合之间的关系．3．“”与“<”一样吗？提示：不一样，“”表示集合与集合之间的关系；“<”表示两实数间的关系．4．如何判断两个集合是否相等？提示：方法一：根据两个集合中的元素是否完全相同进行判断；方法二：根据集合相等的定义，即是否同时满足A⊆B且B⊆A.知识点二空集[填一填]不含任何元素的集合叫做空集，记为∅，并规定：空集是任何集合的子集．[答一答]5．0，{0}，∅，{∅}有何区别？提示：知识点三子集、真子集的性质[填一填]由子集、真子集和空集的概念可得：(1)空集是任何集合的子集，即∅⊆A；(2)任何一个集合是它自身的子集，即A⊆A；(3)空集只有一个子集，即它自身；(4)对于集合A，B，C，由A⊆B，B⊆C可得A⊆C；(5)对于集合A，B，C，由A B，B C可得A C.[答一答]6．(1)对于集合A、B、C，如果A⊆B，B⊆C，则A⊆C，若A B，B⊆C呢？(2)若∅A，则A≠∅对吗？提示：(1)A C.(2)对．类型一确定集合的子集、真子集[例1](1)已知集合M满足{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}，求所有满足条件的集合M.(2)填写下表，并回答问题：12n数及非空真子集的个数呢？[解](1)由题意可以确定集合M必含有元素1,2，且至少含有元素3,4,5中的一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：含有3个元素：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}；含有4个元素：{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}；含有5个元素：{1,2,3,4,5}．故满足条件的集合M为{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}．(2)}的所有子集的个数是212n是2n－1，非空真子集的个数是2n－2.1.有限集子集的确定问题，求解关键有三点：(1)确定所求集合；(2)合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出，一般按元素从少到多的顺序逐个写出满足条件的集合；,(3)注意两个特殊的集合，即空集和集合本身.2.若集合A中有n个元素，则集合A有2n个子集，(2n－1)个真子集，(2n－1)个非空子集，(2n－2)个非空真子集，该结论可在选择题或填空题中直接使用.[变式训练1]试写出满足条件∅M{0,1,2}的所有集合M.解：因为∅M{0,1,2}．所以M为{0,1,2}的非空真子集．所以M中的元素个数为1或2，当M中只有1个元素时，M可以是{0}，{1}，{2}；当M中有2个元素时，M可以是{0,1}，{0,2}，{1,2}；所以M可以是{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}．类型二集合间关系的判断及应用命题视角1：利用子集的定义判断集合间的关系[例2](1)已知集合M＝{x|x2－3x＋2＝0}，N＝{0,1,2}，则集合M与N的关系是() A．M＝N B．N MC．M N D．N⊆M(2)已知集合A＝{x|x＝3k，k∈Z}，B＝{x|x＝6k，k∈Z}，则A与B之间最适合的关系是()A．A⊆B B．A⊇BC．A B D．A B[答案](1)C(2)D[解析](1)由已知得集合M＝{1,2}．由真子集的定义可知M N.(2)因为A中元素是3的整数倍，而B中的元素是3的偶数倍，所以集合B是集合A的真子集．判断两集合关系的步骤：(1)先对所给集合进行化简.(2)搞清两集合中元素的组成，也就是弄清楚集合由哪些元素组成，即把集合间关系的判断转化为相应集合元素之间的关系来判断.[变式训练2]指出下列各组集合之间的关系：(1)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；(2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；(3)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．解：(1)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．(2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A B.(3)法1：两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故N M.法2：由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，所以N M.命题视角2：利用Venn图理解集合间的关系[例3]能正确表示集合M＝{x|0≤x≤2}和集合N＝{x|x2－x＝0}关系的Venn图是下图中的()[答案] B[解析]N＝{0,1}M.用封闭的曲线的内部表示集合，这种图形称为Venn图，是描述集合关系的图形语言，它可以是圆、矩形、椭圆等.通过图形可直观看出两个集合是否有公共元素，甚至还可以解决集合内元素的个数问题，在后续课的学习中Venn图的图解功能再进一步体会.[变式训练3] 已知集合A ＝{x |x 2＝x ，x ∈R }，集合A 与非空集合B 的关系如图所示，则满足条件的集合B 的个数为( B )A ．1B ．2C ．3D ．4 解析：∵A ＝{x |x 2＝x ，x ∈R }＝{0,1}，又B A ，且B 为非空集合，∴B 可以为{0}或{1}．故选B.命题视角3：利用数轴理解集合间的关系[例4] 已知A ＝{x |x <－2或x >3}，B ＝{x |4x ＋m <0}，当A ⊇B 时，求实数m 的取值范围．[分析] 解决本题可用数形结合的方法画出数轴来分析． [解] 集合A 在数轴上表示如图．要使A ⊇B ，则集合B 中的元素必须都是A 中的元素， 即B 中元素必须都位于阴影部分内，那么由4x ＋m <0，即x <－m 4知，－m4≤－2，即m ≥8，故实数m 的取值范围是m ≥8.在数轴上表示集合A 与B 时要注意，端点处都是空心点，所以当－m4＝－2时，集合B 为{x |x <－2}，仍满足A ⊇B .这种利用子集关系求参数的问题，借助数轴分析时，要验证参数能否取到端点值.[变式训练4] 已知集合A ＝{x |1≤x ≤2}，B ＝{x |1≤x ≤a ，a ≥1}． (1)若AB ，求a 的取值范围；(2)若B ⊆A ，求a 的取值范围． 解：(1)若A B ，则集合A 中的元素都在集合B 中，且B 中有不在A 中的元素，则a >2.(2)若B ⊆A ，则集合B 中的元素都在集合A 中，则a ≤2.因为a ≥1，所以1≤a ≤2.1．已知集合A ＝{x |x 是平行四边形}，B ＝{x |x 是矩形}，C ＝{x |x 是正方形}，D ＝{x |x 是菱形}，则有( B )A ．A ⊆B B ．C ⊆B C ．D ⊆CD ．A ⊆D解析：正方形是邻边相等的矩形．2．已知集合M ＝{－1,0,1}，N ＝{y |y ＝x 2，x ∈M }，则( B ) A ．MNB ．NMC ．M ＝ND ．M ，N 的关系不确定解析：由题意，得N ＝{0,1}，故N M .3．已知集合A {1,2,3}，且A 中至少含有一个奇数，则这样的集合A 有5个．解析：∵A{1,2,3}，∴A 中至多含有2个元素．∵A 中至少有一个奇数，∴A 可能为{1}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，共5个．4．已知∅{x |x 2－x ＋a ＝0}，则实数a 的取值范围是a ≤14.解析：∵∅{x |x 2－x ＋a ＝0}．∴{x |x 2－x ＋a ＝0}≠∅，即方程x 2－x ＋a ＝0有解，∴Δ＝1－4a ≥0，∴a ≤14.5．已知集合B ＝{－1,0,1}，若A ⊆B ，试写出所有满足条件的集合A . 解：当A ＝∅时，满足条件；当A 是单元素集合时，满足条件的集合A 有{－1}，{0}，{1}；当A 是含两个元素的集合时，满足条件的集合A 有{－1,0}，{－1,1}，{0,1}； 当A 是含三个元素的集合时，满足条件的集合A 为{－1,0,1}．故满足条件的集合A 有∅，{－1}，{0}，{1}，{－1,0}，{－1，1}，{0,1}，{－1,0,1}．——本课须掌握的三大问题1．写出一个集合的所有子集，首先要注意两个特殊子集：∅和自身；其次依次按含有一个元素的子集、含有两个元素的子集、含有三个元素的子集……写出子集．2．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在解决形如A ⊆B 类问题时， 需分类讨论A ＝∅与A ≠∅两种情况．3．要证明A ＝B ，只需要证明A ⊆B 且B ⊆A 成立即可．即可设任意x 0∈A ，证明x 0∈B 从而得出A ⊆B .又设任意y 0∈B ，证明y 0∈A ，从而得到B ⊆A ，进而证明得到A ＝B .。

高中数学竞赛校本教材§5二次函数(1)二次函数是最简单的非线性函数之一，而且有着丰富内涵。

在中学数学数材中，对二次函数和二次方程，二次三项式及二次不等式以及它们的基本性质，都有深入和反复的讨论与练习。

它对近代数学，乃至现代数学，影响深远，为历年来高考数学考试的一项重点考查内容，历久不衰，以它为核心内容的重点试题，也年年有所变化，不仅如此，在全国及各地的高中数学竞赛中，有关二次函数的内容也是非常重要的命题对象。

因此，必须透彻熟练地掌握二次函数的基本性质。

学习二次函数的关键是抓住顶点（-b/2a，(4ac-b2)/4a），顶点的由来体现了配方法（y=ax2+bx+c=a(x+b/2a)2+(4ac-b2)/4a）；图象的平移归结为顶点的平移（y=ax2→y=a(x-h)2+k）；函数的对称性（对称轴x=-b/2a，f (-b/2a+x)=f (-b/2a-x)，x∈R），单调区间（-∞，-b/2a），[-b/2a,+∞]、极值（(4ac-b2)/4a），判别式（Δb2-4ac）与X轴的位置关系（相交、相切、相离）等，全都与顶点有关。

一、“四个二次型”概述（一元）二次函数→a=0→↑↑（一元）二次三项式→a=0→ax2+bx+c(a≠0)↓↓↓↓↓↓↓↓→a=0→↓↓↓一元二次不等式ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a≠0)→a=0→观察这个框图，就会发现：在a≠0的条件下，从二次三项式出发，就可派生出一元二次函数，一元二次方程和一元二次不等式来。

故将它们合称为“四个二次型”。

其中二次三项式ax2+bx+c(a≠0)像一颗心脏一样，支配着整个“四个二次型”的运动脉络。

而二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，犹如“四个二次型”的首脑或统帅：它的定义域即自变量X的取值范围是全体实数，即n∈R；它的解析式f(x)即是二次三项式ax2+bx+c(a≠0)；若y=0，即ax2+bx+c=0（a≠0），就是初中重点研究的一元二次方程；若y>0或y<0，即ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0（a≠0），就是高中一年级重点研究的一元二次不等式，它总揽全局，是“四个二次型”的灵魂。

高一数学校本教材《数学在生活中的应用》课题：数学在生活中的应用本课题分三个部分： 1、分段函数模型在实际问题中的应用2、概率在生活中的应用3、函数在现实生活中的应用第一部分：分段函数在实际问题中的应用数学应用意识的考查是高考命题的指导思想，考查应用意识是通过解答应用问题来体现的，考查的重点是客观事物的数学化，这个过程主要是依据现实生活的背景，提炼相关的数量关系，构造数学模型，将现实问题转化为数学问题，并加以解决。

我们会遇到如关于醉酒驾车问题、工作安排问题、学生听课注意力问题、通讯话费问题、阶梯电价问题、计程车计费问题、停车费问题、中的应用举例加以说明。

一、醉酒驾车问题实际问题(核心) 数学模型 (关键) 还原说明 (验证) 模型的解(目的)分析模型(重点)举例1. 某驾驶员喝了m 升酒后，血液中的酒精含量f(x)(毫克/毫升)随时间x(小时)变化的规律近似地满足表达式f(x)=()⎪⎩⎪⎨⎧>⋅≤≤-1,10,531532x x x x 。

《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚》规定: 驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.02毫克/毫升.此驾驶员至少要过______小时后才能开车。

(精确到1小时)分析:本题为分段函数型。

根据解答分段函数“对号入座”的解题原则，分别利用两段函数表达式求解。

解析:当0≤x ≤1时,f(x)为增函数，f(x)≥50-2=0.04>0.02；当x>1时, f(x)=()x 3153⋅≤0.02得()x 31≤301，3x ≥30, 33=27<30, 34=81>30,x ≥4,故该驾驶员至少要过4小时后才能开车.二、工作安排问题举例2. 某车间有50名工人，要完成150件产品的生产任务，每件产品由3个A 型零件和1个B 型零件配套组成，每个工人每小时能加工5个A 型零件或者3个B 型零件，现在把这些工人分成两组同时工作(分组后人数不再进行调整)，每组加工同一种型号的零件。

高中数学竞赛校本教材目录§1数学方法选讲（1） (1)§2数学方法选讲（2） (11)§3集合 (22)§4函数的性质 (30)§5二次函数(1) (41)§6二次函数(2) (55)§7指、对数函数,幂函数 (63)§8函数方程 (73)§9三角恒等式与三角不等式 (76)§10向量与向量方法 (85)§11数列 (95)§12递推数列 (102)§13数学归纳法 (105)§14不等式的证明 (111)§15不等式的应用 (122)§16排列，组合 (130)§17二项式定理与多项式 (134)§18直线和圆，圆锥曲线 (143)§19立体图形，空间向量 (161)§20平面几何证明 (173)§21平面几何名定理 (180)§22几何变换 (186)§23抽屉原理 (194)§24容斥原理 (205)§25奇数偶数 (214)§26整除 (222)§27同余 (230)§28高斯函数 (238)§29覆盖 (245)§29涂色问题 (256)§30组合数学选讲 (265)§1数学方法选讲（1）同学们在阅读课外读物的时候，或在听老师讲课的时候，书上的例题或老师讲解的例题他都能听懂，但一遇到没有见过面的问题就不知从何处入手。

看来，要提高解决问题的能力，要能在竞赛中有所作为，首先得提高分析问题的能力，这就需要学习一些重要的数学思想方法。

例题讲解一、从简单情况考虑华罗庚先生曾经指出：善于“退”，足够的“退”，退到最原始而又不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窍。

从简单情况考虑，就是一种以退为进的一种解题策略。

竞赛讲座一 函数的性质第一讲 函数的单调性一．学习目标会判断较复杂的函数的单调区间，能利用函数的单调性解决最值问题及解不等式、解方程。

二．知识要点单调性的定义，复合函数的单调性，抽象函数的单调性三．例题讲解例1.已知⎩⎨⎧>≤+-=1)(xlog )1( 4)13()(x x a x a x f a 是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是 （A ）(0,1)（B ）1(0,)3 （C ）11[,)73（D ）1[,1)7 【答案】C【解析】由题意知)1(log )(>=x x x f a 在),1(+∞上为减函数，所以10<<a ①，)1(4)13()(<+-=x a x a x f 在)1,(-∞上为减函数，所以013<-a ②，且当1=x 时，1log 41)13(a a a ≥-⨯- ③，由①②③得答案为C.例2 已知函数x x x f -+=1)(，判断该函数在区间[),0∞+上的单调性，并说明理由．【讲解】用定义判断。

设0≤1x ＜2x ,)()(21x f x f -=11+x −1x −12+x +2x=112121+++-x x x x +1212x x x x +- =(1x −2x )(11121+++x x −121x x +) ∵1121+++x x ＞12x x +＞0,∴11121+++x x ＜121x x + 又∵1x ＜2x ∴(1x −2x )(11121+++x x −121x x +)＞0 ∴)()(21x f x f > ∴该函数在区间[),0∞+上的单调递增。

例3. 已知f ( x )=－x 2 + 2x + 8，g ( x ) = f ( 2－x 2 )，求g ( x )的单调增区间．【讲解】很明显这是一个复合函数的单调性问题，所以应“分层剥离”为两个函数t =－x 2+2 ① y = f ( t ) =－t 2 + 2t + 8 ②对于②f ( t ) =2)1(--t +9,可知当)1,(-∞∈t 时是增函数，当),1(+∞∈t 时是减函数。

第一讲 数学思维的变通性一、概念数学问题千变万化，要想既快又准的解题，总用一套固定的方案是行不通的，必须具有思维的变通性——善于根据题设的相关知识，提出灵活的设想和解题方案。

根据数学思维变通性的主要体现，本讲将着重进行以下几个方面的训练： （1）善于观察（2）善于联想（3）善于将问题进行转化（1）观察能力的训练任何一道数学题，都包含一定的数学条件和关系。

要想解决它，就必须依据题目的具体特征，对题目进行深入的、细致的、透彻的观察，然后认真思考，透过表面现象看其本质，这样才能确定解题思路，找到解题方法。

虽然观察看起来是一种表面现象，但它是认识事物内部规律的基础。

所以，必须重视观察能力的训练，使学生不但能用常规方法解题，而且能根据题目的具体特征，采用特殊方法来解题。

例1 已知d c b a ,,,都是实数，求证.)()(222222d b c a d c b a -+-≥+++思路分析 从题目的外表形式观察到，要证的 结论的右端与平面上两点间的距离公式很相似，而 左端可看作是点到原点的距离公式。

根据其特点，证明 不妨设),(),,(d c B b a A 如图1－2－1所示， 则.)()(22d b c a AB -+-=,,2222d c OB b a OA +=+=在OAB ∆中，由三角形三边之间的关系知：AB OB OA ≥+ 当且仅当O 在AB 上时，等号成立。

因此，.)()(222222d b c a d c b a -+-≥+++例2 已知x y x 62322=+，试求22y x +的最大值。

解 由 x y x 62322=+得.20,0323,0.3232222≤≤∴≥+-∴≥+-=x x x y x x y又,29)3(2132322222+--=+-=+x x x x y x ∴当2=x 时，22y x +有最大值，最大值为.429)32(212=+--思路分析 要求22y x +的最大值，由已知条件很快将22y x +变为一元二次函数,29)3(21)(2+--=x x f 然后求极值点的x 值，联系到02≥y ，这一条件，既快又准地求出最大值。

高中数学回归课本校本教材1——献给2009年赣马高级中学高三考生集合与简易逻辑（一）基础知识1. 定义：集合是高中数学中最原始的不定义的概念，只给出描述性的说明。

某些确定的且不同的对象集在一起就成为集合。

组成集合的对象叫做元素。

已知集合{}{}M=M N N =直线，圆，则的元素个数为0（1）用大写字母A ，B ，C……表示集合；用小写字母a ，b ，c……表示元素（2）集合的性质：集合元素具有确定性、无序性和互异性. 在求有关集合问题时，尤其要注意元素的互异性，“确定性”，是指任意元素是否属于这一集合是确定的。

具体地讲，设A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则或者是A 的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。

①任何一个集合A 是它本身的子集,记为A A ⊆；②空集是任何集合的子集,记为A ∅⊆；③空集是任何非空集合的真子集；注意:条件为A B ⊆,在讨论的时候不要遗忘了A =∅的情况，如：2{|210}A x a x x =--=,如果A R +=∅,求a 的取值.(答：0a≤；讨论a 为零；方程有两个负数或零根，无解即空集) ④含n 个元素的集合的子集个数为2n ；真子集(非空子集)个数为21n -；非空真子集个数为22n -；如：下列四组对象，不能构成集合的是 （ C ）A 方程2240x x ++=的实数解B 所有大于3的实数C 接近于0的无限小的实数D 倒数等于它自身的实数如：已知集合A ={1，3，a}，集合B ={1，a 2－a ＋1}，如果B ⊆A ，求a 的值．1，2（3）元素与集合的关系：有属于，不属于关系两种。

元素a 属于集合A ，记作a A ∈；元素a 不属于集合A ，记作a A ∉（4）几种集合的命名：有限集：含有有限个元素的集合；空 集：不包含任何元素的集合叫做空集，用∅表示； 无限集：含有无限个元素的集合；自然数集：N ；正整数集：N *或N +；整数集：Z ；有理数集：Q ；实数集：R ；复数集：C ；（5）集合的表示方法(一) 列举法：把元素一一列举在大括号内的表示方法，注意：凡是以列举法形式出现的集合，往往考察元素的互异性。