高中数学选修2-2金版教程1-2-1

新课程标准数学选修2—2第一章课后习题解答第一章 导数及其应用 3．1变化率与导数 练习（P6）在第3 h 和5 h 时，原油温度的瞬时变化率分别为1-和3. 它说明在第3 h 附近，原油温度大约以1 ℃／h 的速度下降；在第5 h 时，原油温度大约以3 ℃／h 的速率上升. 练习（P8） 函数()h t 在3t t =附近单调递增，在4t t =附近单调递增. 并且，函数()h t 在4t 附近比在3t 附近增加得慢. 说明：体会“以直代曲”的思想. 练习（P9）函数()r V =(05)V ≤≤的图象为根据图象，估算出(0.6)0.3r '≈，(1.2)0.2r '≈.说明：如果没有信息技术，教师可以将此图直接提供给学生，然后让学生根据导数的几何意义估算两点处的导数. 习题1.1 A 组（P10）1、在0t 处，虽然1020()()W t W t =，然而10102020()()()()W t W t t W t W t t tt--∆--∆≥-∆-∆.所以，企业甲比企业乙治理的效率高.说明：平均变化率的应用，体会平均变化率的内涵. 2、(1)(1)4.9 3.3h h t h t tt∆+∆-==-∆-∆∆，所以，(1) 3.3h '=-.这说明运动员在1t =s 附近以3.3 m ／s 的速度下降. 3、物体在第5 s 的瞬时速度就是函数()s t 在5t =时的导数.(5)(5)10s s t st tt∆+∆-==∆+∆∆，所以，(5)10s '=.因此，物体在第5 s 时的瞬时速度为10 m ／s ，它在第5 s 的动能213101502k E =⨯⨯= J.4、设车轮转动的角度为θ，时间为t ，则2(0)kt t θ=>.由题意可知，当0.8t =时，2θπ=. 所以258k π=，于是2258t πθ=.车轮转动开始后第3.2 s 时的瞬时角速度就是函数()t θ在 3.2t =时的导数.(3.2)(3.2)25208t t tt θθθππ∆+∆-==∆+∆∆，所以(3.2)20θπ'=.因此，车轮在开始转动后第3.2 s 时的瞬时角速度为20π1s -. 说明：第2,3,4题是对了解导数定义及熟悉其符号表示的巩固.5、由图可知，函数()f x 在5x =-处切线的斜率大于零，所以函数在5x =-附近单调递增. 同理可得，函数()f x 在4x =-，2-，0，2附近分别单调递增，几乎没有变化，单调递减，单调递减. 说明：“以直代曲”思想的应用.6、第一个函数的图象是一条直线，其斜率是一个小于零的常数，因此，其导数()f x '的图象如图（1）所示；第二个函数的导数()f x '恒大于零，并且随着x 的增加，()f x '的值也在增加；对于第三个函数，当x 小于零时，()f x '小于零，当x 大于零时，()f x '大于零，并且随着x 的增加，()f x '的值也在增加. 以下给出了满足上述条件的导函数图象中的一种.说明：本题意在让学生将导数与曲线的切线斜率相联系. 习题3.1 B 组（P11）1、高度关于时间的导数刻画的是运动变化的快慢，即速度；速度关于时间的导数刻画的是速度变化的快慢，根据物理知识，这个量就是加速度.2、说明：由给出的()v t 的信息获得()s t 的相关信息，并据此画出()s t 的图象的大致形状. 这个过程基于对导数内涵的了解，以及数与形之间的相互转换.3、由（1）的题意可知，函数()f x 的图象在点(1,5)-处的切线斜率为1-，所以此点附近曲线呈下降趋势. 首先画出切线的图象，然后再画出此点附近函数的图象. 同理可得（2）（3）某点处函数图象的大致形状. 下面是一种参考答案.说明：这是一个综合性问题，包含了对导数内涵、导数几何意义的了解，以及对以直代曲思想的领悟. 本题的答案不唯一. 1．2导数的计算 练习（P18） 1、()27f x x '=-，所以，(2)3f '=-，(6)5f '=. 2、（1）1ln 2y x '=； （2）2x y e '=；（3）4106y x x '=-； （4）3sin 4cos y x x '=--； （5）1sin33x y '=-； （6）y '=习题1.2 A 组（P18） 1、()()2S S r r S r r r rrπ∆+∆-==+∆∆∆，所以，0()lim (2)2r S r r r r ππ∆→'=+∆=.2、()9.8 6.5h t t '=-+.3、()r V '=4、（1）213ln 2y x x '=+； （2）1n x n x y nx e x e -'=+；（3）2323sin cos cos sin x x x x xy x-+'=； （4）9899(1)y x '=+；（5）2x y e -'=-； （6）2sin(25)4cos(25)y x x x '=+++.5、()8f x '=-+. 由0()4f x '=有 048=-+，解得0x =.6、（1）ln 1y x '=+； （2）1y x =-.7、1x y π=-+.8、（1）氨气的散发速度()500ln 0.8340.834t A t '=⨯⨯.（2）(7)25.5A '=-，它表示氨气在第7天左右时，以25.5克／天的速率减少.习题1.2 B 组（P19） 1、（1）（2）当h 越来越小时，sin()sin x h xy h+-=就越来越逼近函数cos y x =.（3）sin y x =的导数为cos y x =.2、当0y =时，0x =. 所以函数图象与x 轴交于点(0,0)P . x y e '=-，所以01x y ='=-.所以，曲线在点P 处的切线的方程为y x =-.2、()4sin d t t '=-. 所以，上午6:00时潮水的速度为0.42-m ／h ；上午9:00时潮水的速度为0.63-m ／h ；中午12:00时潮水的速度为0.83-m ／h ；下午6:00时潮水的速度为 1.24-m ／h.1．3导数在研究函数中的应用 练习（P26）1、（1）因为2()24f x x x =-+，所以()22f x x '=-.当()0f x '>，即1x >时，函数2()24f x x x =-+单调递增； 当()0f x '<，即1x <时，函数2()24f x x x =-+单调递减. （2）因为()x f x e x =-，所以()1x f x e '=-.当()0f x '>，即0x >时，函数()x f x e x =-单调递增； 当()0f x '<，即0x <时，函数()x f x e x =-单调递减. （3）因为3()3f x x x =-，所以2()33f x x '=-.当()0f x '>，即11x -<<时，函数3()3f x x x =-单调递增； 当()0f x '<，即1x <-或1x >时，函数3()3f x x x =-单调递减. （4）因为32()f x x x x =--，所以2()321f x x x '=--. 当()0f x '>，即13x <-或1x >时，函数32()f x x x x =--单调递增；当()0f x '<，即113x -<<时，函数32()f x x x x =--单调递减.2、3、因为2()(0)f x ax bx c a =++≠，所以()2f x ax b '=+. （1）当0a >时，()0f x '>，即2b x a >-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递增； ()0f x '<，即2b x a <-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递减.（2）当0a <时，()0f x '>，即2b x a <-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递增； ()0f x '<，即2b x a>-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递减.4、证明：因为32()267f x x x =-+，所以2()612f x x x '=-. 当(0,2)x ∈时，2()6120f x x x '=-<，因此函数32()267f x x x =-+在(0,2)内是减函数. 练习（P29）1、24,x x 是函数()y f x =的极值点，其中2x x =是函数()y f x =的极大值点，4x x =是函数()y f x =的极小值点. 2、（1）因为2()62f x x x =--，所以()121f x x '=-. 令()1210f x x '=-=，得112x =.当112x >时，()0f x '>，()f x 单调递增；当112x <时，()0f x '<，()f x 单调递减.所以，当112x =时，()f x 有极小值，并且极小值为211149()6()212121224f =⨯--=-.（2）因为3()27f x x x =-，所以2()327f x x '=-. 令2()3270f x x '=-=，得3x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即3x <-或3x >时；②当()0f x '<，即33x -<<时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：注：图象形状不唯一.因此，当3x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为54；当3x =时，()f x 有极小值，并且极小值为54-.（3）因为3()612f x x x =+-，所以2()123f x x '=-. 令2()1230f x x '=-=，得2x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即22x -<<时；②当()0f x '<，即2x <-或2x >时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当2x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为10-；当2x =时，()f x 有极大值，并且极大值为22（4）因为3()3f x x x =-，所以2()33f x x '=-. 令2()330f x x '=-=，得1x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即11x -<<时；②当()0f x '<，即1x <-或1x >时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当1x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为2-；当1x =时，()f x 有极大值，并且极大值为2练习（P31）（1）在[0,2]上，当112x =时，2()62f x x x =--有极小值，并且极小值为149()1224f =-.又由于(0)2f =-，(2)20f =.因此，函数2()62f x x x =--在[0,2]上的最大值是20、最小值是4924-.（2）在[4,4]-上，当3x =-时，3()27f x x x =-有极大值，并且极大值为(3)54f -=；当3x =时，3()27f x x x =-有极小值，并且极小值为(3)54f =-；又由于(4)44f -=，(4)44f =-.因此，函数3()27f x x x =-在[4,4]-上的最大值是54、最小值是54-. （3）在1[,3]3-上，当2x =时，3()612f x x x =+-有极大值，并且极大值为(2)22f =.又由于155()327f -=，(3)15f =.因此，函数3()612f x x x =+-在1[,3]3-上的最大值是22、最小值是5527.（4）在[2,3]上，函数3()3f x x x =-无极值. 因为(2)2f =-，(3)18f =-.因此，函数3()3f x x x =-在[2,3]上的最大值是2-、最小值是18-. 习题1.3 A 组（P31）1、（1）因为()21f x x =-+，所以()20f x '=-<. 因此，函数()21f x x =-+是单调递减函数. （2）因为()cos f x x x =+，(0,)2x π∈，所以()1sin 0f x x '=->，(0,)2x π∈.因此，函数()cos f x x x =+在(0,)2π上是单调递增函数.（3）因为()24f x x =--，所以()20f x '=-<. 因此，函数()24f x x =-是单调递减函数. （4）因为3()24f x x x =+，所以2()640f x x '=+>. 因此，函数3()24f x x x =+是单调递增函数.2、（1）因为2()24f x x x =+-，所以()22f x x '=+.当()0f x '>，即1x >-时，函数2()24f x x x =+-单调递增. 当()0f x '<，即1x <-时，函数2()24f x x x =+-单调递减. （2）因为2()233f x x x =-+，所以()43f x x '=-. 当()0f x '>，即34x >时，函数2()233f x x x =-+单调递增. 当()0f x '<，即34x <时，函数2()233f x x x =-+单调递减.（3）因为3()3f x x x =+，所以2()330f x x '=+>. 因此，函数3()3f x x x =+是单调递增函数. （4）因为32()f x x x x =+-，所以2()321f x x x '=+-. 当()0f x '>，即1x <-或13x >时，函数32()f x x x x =+-单调递增.当()0f x '<，即113x -<<时，函数32()f x x x x =+-单调递减.3、（1）图略. （2）加速度等于0.4、（1）在2x x =处，导函数()y f x '=有极大值； （2）在1x x =和4x x =处，导函数()y f x '=有极小值； （3）在3x x =处，函数()y f x =有极大值； （4）在5x x =处，函数()y f x =有极小值.5、（1）因为2()62f x x x =++，所以()121f x x '=+. 令()1210f x x '=+=，得112x =-.当112x >-时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当112x <-时，()0f x '<，()f x 单调递减.所以，112x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为211149()6()212121224f -=⨯---=-.（2）因为3()12f x x x =-，所以2()312f x x '=-. 令2()3120f x x '=-=，得2x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即2x <-或2x >时；②当()0f x '<，即22x -<<时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当2x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为16；当2x =时，()f x 有极小值，并且极小值为16-.（3）因为3()612f x x x =-+，所以2()123f x x '=-+. 令2()1230f x x '=-+=，得2x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即2x <-或2x >时；②当()0f x '<，即22x -<<时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当2x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为22；当2x =时，()f x 有极小值，并且极小值为10-.（4）因为3()48f x x x =-，所以2()483f x x '=-. 令2()4830f x x '=-=，得4x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即2x <-或2x >时；②当()0f x '<，即22x -<<时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当4x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为128-；当4x =时，()f x 有极大值，并且极大值为128.6、（1）在[1,1]-上，当112x =-时，函数2()62f x x x =++有极小值，并且极小值为4724.由于(1)7f -=，(1)9f =，所以，函数2()62f x x x =++在[1,1]-上的最大值和最小值分别为9，4724.（2）在[3,3]-上，当2x =-时，函数3()12f x x x =-有极大值，并且极大值为16； 当2x =时，函数3()12f x x x =-有极小值，并且极小值为16-. 由于(3)9f -=，(3)9f =-，所以，函数3()12f x x x =-在[3,3]-上的最大值和最小值分别为16，16-. （3）在1[,1]3-上，函数3()612f x x x =-+在1[,1]3-上无极值.由于1269()327f -=，(1)5f =-，所以，函数3()612f x x x =-+在1[,1]3-上的最大值和最小值分别为26927，5-.（4）当4x =时，()f x 有极大值，并且极大值为128.. 由于(3)117f -=-，(5)115f =，所以，函数3()48f x x x =-在[3,5]-上的最大值和最小值分别为128，117-. 习题3.3 B 组（P32）1、（1）证明：设()sin f x x x =-，(0,)x π∈. 因为()cos 10f x x '=-<，(0,)x π∈ 所以()sin f x x x =-在(0,)π内单调递减因此()sin (0)0f x x x f =-<=，(0,)x π∈，即sin x x <，(0,)x π∈. 图略 （2）证明：设2()f x x x =-，(0,1)x ∈. 因为()12f x x '=-，(0,1)x ∈所以，当1(0,)2x ∈时，()120f x x '=->，()f x 单调递增，2()(0)0f x x x f =->=；当1(,1)2x ∈时，()120f x x '=-<，()f x 单调递减，2()(1)0f x x x f =->=；又11()024f =>. 因此，20x x ->，(0,1)x ∈. 图略（3）证明：设()1x f x e x =--，0x ≠. 因为()1x f x e '=-，0x ≠所以，当0x >时，()10x f x e '=->，()f x 单调递增，()1(0)0xf x e x f =-->=；当0x <时，()10x f x e '=-<，()f x 单调递减，()1(0)0xf x e x f =-->=；综上，1x e x ->，0x ≠. 图略 （4）证明：设()ln f x x x =-，0x >. 因为1()1f x x'=-，0x ≠所以，当01x <<时，1()10f x x'=->，()f x 单调递增，()ln (1)10f x x x f =-<=-<；当1x >时，1()10f x x'=-<，()f x 单调递减，()ln (1)10f x x x f =-<=-<；当1x =时，显然ln 11<. 因此，ln x x <. 由（3）可知，1x e x x >+>，0x >.. 综上，ln x x x e <<，0x > 图略2、（1）函数32()f x ax bx cx d =+++的图象大致是个“双峰”图象，类似“”或“”的形状. 若有极值，则在整个定义域上有且仅有一个极大值和一个极小值，从图象上能大致估计它的单调区间.（2）因为32()f x ax bx cx d =+++，所以2()32f x ax bx c '=++.下面分类讨论：当0a ≠时，分0a >和0a <两种情形： ①当0a >，且230b ac ->时，设方程2()320f x ax bx c '=++=的两根分别为12,x x ，且12x x <，当2()320f x ax bx c '=++>，即1x x <或2x x >时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递增； 当2()320f x ax bx c '=++<，即12x x x <<时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递减. 当0a >，且230b ac -≤时，此时2()320f x ax bx c '=++≥，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递增. ②当0a <，且230b ac ->时，设方程2()320f x ax bx c '=++=的两根分别为12,x x ，且12x x <，当2()320f x ax bx c '=++>，即12x x x <<时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递增； 当2()320f x ax bx c '=++<，即1x x <或2x x >时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递减. 当0a <，且230b ac -≤时，此时2()320f x ax bx c '=++≤，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递减 1．4生活中的优化问题举例 习题1.4 A 组（P37）1、设两段铁丝的长度分别为x ，l x -，则这两个正方形的边长分别为4x ，4l x -，两个正方形的面积和为 22221()()()(22)4416xl x S f x x lx l -==+=-+，0x l <<.令()0f x '=，即420x l -=，2l x =.当(0,)2lx ∈时，()0f x '<；当(,)2lx l ∈时，()0f x '>.因此，2l x =是函数()f x 的极小值点，也是最小值点.所以，当两段铁丝的长度分别是2l 时，两个正方形的面积和最小.2、如图所示，由于在边长为a 的正方形铁片的四角截去 四个边长为x 的小正方形，做成一个无盖方盒，所以无 盖方盒的底面为正方形，且边长为2a x -，高为x . （1）无盖方盒的容积2()(2)V x a x x =-，02a x <<.（2）因为322()44V x x ax a x =-+，所以22()128V x x ax a '=-+. 令()0V x '=，得2a x =（舍去），或6a x =.当(0,)6ax ∈时，()0V x '>；当(,)62a ax ∈时，()0V x '<.因此，6a x =是函数()V x 的极大值点，也是最大值点.所以，当6a x =时，无盖方盒的容积最大.3、如图，设圆柱的高为h ，底半径为R ， 则表面积222S Rh R ππ=+ 由2V R h π=，得2Vh Rπ=.因此，2222()222VV S R RR R RRππππ=+=+，0R >.令2()40V S R R Rπ'=-+=，解得R =.当R ∈时，()0S R '<；当)R ∈+∞时，()0S R '>.因此，R =()S R 的极小值点，也是最小值点.此时，22Vh R Rπ===.所以，当罐高与底面直径相等时，所用材料最省. 4、证明：由于211()()nii f x x a n==-∑，所以12()()nii f x x a n='=-∑. 令()0f x '=，得11nii x an==∑，可以得到，11nii x a n==∑是函数()f x 的极小值点，也是最小值点.这个结果说明，用n 个数据的平均值11nii a n=∑表示这个物体的长度是合理的，这就是最小二乘法的基本原理. 5、设矩形的底宽为x m ，则半圆的半径为2x m ，半圆的面积为28x π2m ，（第3题）矩形的面积为28x a π-2m ，矩形的另一边长为()8a xxπ-m因此铁丝的长为22()(1)244xa xa l x x x xxπππ=++-=++，0x <<令22()104a l x xπ'=+-=，得x =.当x ∈时，()0l x '<；当x ∈时，()0l x '>.因此，x =()l x 的极小值点，也是最小值点.所以，当底宽为时，所用材料最省.6、利润L 等于收入R 减去成本C ，而收入R 等于产量乘单价. 由此可得出利润L 与产量q 的函数关系式，再用导数求最大利润. 收入211(25)2588R q p q q q q =⋅=-=-，利润2211(25)(1004)2110088L R C q q q q q =-=--+=-+-，0200q <<.求导得1214L q '=-+ 令0L '=，即12104q -+=，84q =.当(0,84)q ∈时，0L '>；当(84,200)q ∈时，0L '<；因此，84q =是函数L 的极大值点，也是最大值点.所以，产量为84时，利润L 最大,习题1.4 B 组（P37）1、设每个房间每天的定价为x 元，那么宾馆利润21801()(50)(20)7013601010x L x x x x -=--=-+-，180680x <<.令1()7005L x x '=-+=，解得350x =.当(180,350)x ∈时，()0L x '>；当(350,680)x ∈时，()0L x '>. 因此，350x =是函数()L x 的极大值点，也是最大值点. 所以，当每个房间每天的定价为350元时，宾馆利润最大. 2、设销售价为x 元／件时，利润4()()(4)()(5)b xL x x a c c c x a x bb -=-+⨯=--，54b a x <<.令845()0c ac bcL x x b b+'=-+=，解得458a b x +=.当45(,)8a bx a +∈时，()0L x '>；当455(,)84a b bx +∈时，()0L x '<. 当458a b x +=是函数()L x 的极大值点，也是最大值点.所以，销售价为458a b +元／件时，可获得最大利润.1．5定积分的概念练习（P42）83.说明：进一步熟悉求曲边梯形面积的方法和步骤，体会“以直代曲”和“逼近”的思想. 练习（P45）1、22112()[()2]()i i i i i s s v t nnn n n n'∆≈∆=∆=-+⋅=-⋅+⋅，1,2,,i n = . 于是 111()nnni i i i i is s s v t n==='=∆≈∆=∆∑∑∑2112[()]ni i n n n ==-⋅+⋅∑ 22211111()()()2n n n n n n n n -=-⋅--⋅-⋅+2231[12]2n n =-++++31(1)(21)26n n n n ++=-⋅+111(1)(1)232n n=-+++取极值，得1111115lim [()]lim [(1)(1)2]323nnn n i i is v n nnn→∞→∞====-+++=∑∑说明：进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想. 2、223km.说明：进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想，熟悉求变速直线运动物体路程的方法和步骤.练习（P48）234x dx =⎰. 说明：进一步熟悉定积分的定义和几何意义.从几何上看，表示由曲线3y x =与直线0x =，2x =，0y =所围成的曲边梯形的面积4S =.习题1.5 A 组（P50） 1、（1）10021111(1)[(1)1]0.495100100i i x dx =--≈+-⨯=∑⎰；（2）50021111(1)[(1)1]0.499500500i i x dx =--≈+-⨯=∑⎰；（3）100021111(1)[(1)1]0.499510001000i i x dx =--≈+-⨯=∑⎰.说明：体会通过分割、近似替换、求和得到定积分的近似值的方法. 2、距离的不足近似值为：18112171310140⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（m ）； 距离的过剩近似值为：271181121713167⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（m ）. 3、证明：令()1f x =. 用分点 011i i n a x x x x x b -=<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，在每个小区间1[,]i i x x -上任取一点(1,2,,)i i n ξ=作和式11()nni i i b a f x b a nξ==-∆==-∑∑，从而11limnb an i b a dx b a n→∞=-==-∑⎰，说明：进一步熟悉定积分的概念. 4、根据定积分的几何意义，0⎰表示由直线0x =，1x =，0y =以及曲线y =所围成的曲边梯形的面积，即四分之一单位圆的面积，因此04π=⎰.5、（1）03114x dx -=-⎰.由于在区间[1,0]-上30x ≤，所以定积分031x d x -⎰表示由直线0x =，1x =-，0y =和曲线3y x =所围成的曲边梯形的面积的相反数.（2）根据定积分的性质，得1013331111044x dx x dx x dx --=+=-+=⎰⎰⎰.由于在区间[1,0]-上30x ≤，在区间[0,1]上30x ≥，所以定积分131x dx -⎰等于位于x 轴上方的曲边梯形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积.（3）根据定积分的性质，得20233311115444x dx x dx x dx --=+=-+=⎰⎰⎰由于在区间[1,0]-上30x ≤，在区间[0,2]上30x ≥，所以定积分231x dx -⎰等于位于x 轴上方的曲边梯形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积.说明：在（3）中，由于3x 在区间[1,0]-上是非正的，在区间[0,2]上是非负的，如果直接利用定义把区间[1,2]-分成n 等份来求这个定积分，那么和式中既有正项又有负项，而且无法抵挡一些项，求和会非常麻烦. 利用性质3可以将定积分231x dx -⎰化为02331x dx x dx -+⎰⎰，这样，3x 在区间[1,0]-和区间[0,2]上的符号都是不变的，再利用定积分的定义，容易求出031x d x -⎰，230x dx ⎰，进而得到定积分231x dx -⎰的值. 由此可见，利用定积分的性质可以化简运算.在（2）（3）中，被积函数在积分区间上的函数值有正有负，通过练习进一步体会定积分的几何意义.习题1.5 B 组（P50）1、该物体在0t =到6t =（单位：s ）之间走过的路程大约为145 m.说明：根据定积分的几何意义，通过估算曲边梯形内包含单位正方形的个数来估计物体走过的路程. 2、（1）9.81v t =.（2）过剩近似值：8111899.819.8188.292242i i =⨯⨯⨯=⨯⨯=∑（m ）； 不足近似值：81111879.819.8168.672242i i =-⨯⨯⨯=⨯⨯=∑（m ）（3）49.81tdt ⎰；49.81d 78.48t t =⎰（m ）.3、（1）分割在区间[0,]l 上等间隔地插入1n -个分点，将它分成n 个小区间：[0,]l n ，2[,]l l n n，……，(2)[,]n l l n-，记第i 个区间为(1)[,]i l iln n-（1,2,i n = ），其长度为 (1)il i llx n n n -∆=-=.把细棒在小段[0,]l n ，2[,]l l n n ，……，(2)[,]n ll n-上质量分别记作： 12,,,n m m m ∆∆∆ ，则细棒的质量1nii m m==∆∑.（2）近似代替当n 很大，即x ∆很小时，在小区间(1)[,]i l il n n-上，可以认为线密度2()x x ρ=的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于任意一点(1)[,]i i l iln nξ-∈处的函数值2()i i ρξξ=. 于是，细棒在小段(1)[,]i l il n n -上质量 2()i i i lm x nρξξ∆≈∆=（1,2,i n = ）.（3）求和得细棒的质量 2111()nnni i ii i i l m m x nρξξ====∆≈∆=∑∑∑.（4）取极限细棒的质量 21lim ni n i l m nξ→∞==∑，所以2lm x dx =⎰..1．6微积分基本定理 练习（P55）（1）50； （2）503； （3）533-； （4）24；（5）3ln 22-； （6）12； （7）0； （8）2-.说明：本题利用微积分基本定理和定积分的性质计算定积分. 习题1.6 A 组（P55） 1、（1）403； （2）13ln 22--； （3）9ln 3ln 22+-；（4）176-； （5）2318π+； （6）22ln 2e e --.说明：本题利用微积分基本定理和定积分的性质计算定积分.2、3300sin [cos ]2xdx x ππ=-=⎰. 它表示位于x 轴上方的两个曲边梯形的面积与x 轴下方的曲边梯形的面积之差. 或表述为：位于x 轴上方的两个曲边梯形的面积（取正值）与x 轴下方的曲边梯形的面积（取负值）的代数和.习题1.6 B 组（P55） 1、（1）原式＝22111[]222x ee =-； （2）原式＝4611[sin 2]224x ππ=-；（3）原式＝3126[]ln 2ln 2x=.2、（1）cos 1sin [][cos cos()]0m x m xdx m m m mππππππ--=-=---=⎰；（2）sin 1cos [sin sin()]0m x m xdx m m mmππππππ--=|=--=⎰； （3）21cos 2sin 2sin []224m x x m xm xdx dx mπππππππ----==-=⎰⎰；（4）21cos 2sin 2cos []224m xx m x m xdx dx mπππππππ---+==+=⎰⎰.3、（1）0.20222()(1)[]49245245t ktkttkttg g g g g g s t e dt t et et ekk kkkk----=-=+=+-=+-⎰.（2）由题意得 0.2492452455000t t e -+-=.这是一个超越方程，为了解这个方程，我们首先估计t 的取值范围. 根据指数函数的性质，当0t >时，0.201t e -<<，从而 5000495245t <<， 因此，500052454949t <<.因此50000.2749245 3.3610e-⨯-≈⨯，52450.2749245 1.2410e-⨯-≈⨯，所以，70.271.2410245 3.3610t e ---⨯<<⨯.从而，在解方程0.2492452455000t t e -+-=时，0.2245t e -可以忽略不计. 因此，.492455000t -≈，解之得 524549t ≈（s ）.说明：B 组中的习题涉及到被积函数是简单的复合函数的定积分，可视学生的具体情况选做，不要求掌握.1．7定积分的简单应用 练习（P58） （1）323； （2）1.说明：进一步熟悉应用定积分求平面图形的面积的方法与求解过程. 练习（P59） 1、52533(23)[3]22s t dt t t =+=+=⎰（m ）.2、424003(34)[4]402W x dx x x =+=+=⎰（J ）.习题1.7 A 组（P60） 1、（1）2； （2）92.2、2[]b ba aq q q q W kdr kkkrr ab==-=-⎰.3、令()0v t =，即40100t -=. 解得4t =. 即第4s 时物体达到最大高度. 最大高度为 42400(4010)[405]80h t dt t t =-=-=⎰（m ）.4、设t s 后两物体相遇，则2(31)105ttt dt tdt +=+⎰⎰，解之得5t =. 即,A B 两物体5s 后相遇. 此时，物体A 离出发地的距离为523500(31)[]130t dt t t +=+=⎰（m ）.5、由F kl =，得100.01k =. 解之得1000k =. 所做的功为 0.120.10010005005W ldl l ==|=⎰（J ）.6、（1）令55()501v t t t=-+=+，解之得10t =. 因此，火车经过10s 后完全停止.（2）1021000551(5)[555ln(1)]55ln 1112s t dt t t t t=-+=-++=+⎰（m ）.习题1.7 B 组（P60） 1、（1）a a-⎰表示圆222x y a +=与x 轴所围成的上半圆的面积，因此22a aa π-=⎰（2）1]x dx ⎰表示圆22(1)1x y -+=与直线y x =所围成的图形（如图所示）的面积，因此，21111]114242x dx ππ⨯=-⨯⨯=-⎰.2、证明：建立如图所示的平面直角坐标系，可设抛物线的 方程为2y ax =，则2()2bh a =⨯，所以24h a b=.从而抛物线的方程为 224h y x b=.于是，抛物线拱的面积23220224422()2[]33bb h h S h x dx hx x bh bb=-=-=⎰.3、如图所示.解方程组223y x y x ⎧=+⎨=⎩得曲线22y x =+与曲线3y x =交点的横坐标11x =，22x =. 于是，所求的面积为122201[(2)3][3(2)]1x x dx x x dx +-+-+=⎰⎰.4、证明：2[]()R h R hRRM m M m M mh W Gdr GGrrR R h ++==-=+⎰.第一章 复习参考题A 组（P65）1、（1）3； （2）4y =-.2、（1）22sin cos 2cos x x xy x+'=； （2）23(2)(31)(53)y x x x '=-+-；（3）22ln ln 2xxy x x'=+； （4）2422(21)x x y x -'=+.3、32G M m F r'=-.4、（1）()0f t '<. 因为红茶的温度在下降.（第1（2）题）（第2题）（2）(3)4f '=-表明在3℃附近时，红茶温度约以4℃／min 的速度下降. 图略. 5、因为()f x =()f x '=.当()0f x '=>，即0x >时，()f x 单调递增；当2()0f x '=<，即0x <时，()f x 单调递减.6、因为2()f x x px q =++，所以()2f x x p '=+. 当()20f x x p '=+=，即12p x =-=时，()f x 有最小值.由12p -=，得2p =-. 又因为(1)124f q =-+=，所以5q =.7、因为2322()()2f x x x c x c x c x=-=-+， 所以22()34(3)()f x x cx c x c x c '=-+=--. 当()0f x '=，即3c x =，或x c =时，函数2()()f x x x c =-可能有极值.由题意当2x =时，函数2()()f x x x c =-有极大值，所以0c >. 由于所以，当3c x =时，函数2()()f x x x c =-有极大值. 此时，23c =，6c =.8、设当点A 的坐标为(,0)a 时，A O B ∆的面积最小. 因为直线A B 过点(,0)A a ，(1,1)P ， 所以直线A B 的方程为001y x a x a--=--，即1()1y x a a =--.当0x =时，1a y a =-，即点B 的坐标是(0,)1aa -.因此，A O B ∆的面积21()212(1)AO B a aS S a a a a ∆===--.令()0S a '=，即2212()02(1)a aS a a -'=⋅=-. 当0a =，或2a =时，()0S a '=，0a =不合题意舍去.由于所以，当2a =，即直线A B 的倾斜角为135︒时，A O B ∆的面积最小，最小面积为2. 9、D .10、设底面一边的长为x m ，另一边的长为(0.5)x +m. 因为钢条长为14.8m. 所以，长方体容器的高为14.844(0.5)12.88 3.2244x x xx --+-==-.设容器的容积为V ，则32()(0.5)(3.22)2 2.2 1.6V V x x x x x x x ==+-=-++，0 1.6x <<.令()0V x '=，即26 4.4 1.60x x -++=. 所以，415x =-（舍去），或1x =.当(0,1)x ∈时，()0V x '>；当(1,1.6)x ∈时，()0V x '<. 因此，1x =是函数()V x 在(0,1.6)的极大值点，也是最大值点. 所以，当长方体容器的高为1 m 时，容器最大，最大容器为1.8 m 3.11、设旅游团人数为100x +时，旅行社费用为2()(100)(10005)5500100000y f x x x x ==+-=-++(080)x ≤≤. 令()0f x '=，即105000x -+=，50x =.又(0)100000f =，(80)108000f =，(50)112500f =. 所以，50x =是函数()f x 的最大值点.所以，当旅游团人数为150时，可使旅行社收费最多. 12、设打印纸的长为x cm 时，可使其打印面积最大. 因为打印纸的面积为623.7，长为x ，所以宽为623.7x，打印面积623.7()(2 2.54)(2 3.17)S x x x=-⨯-⨯23168.396655.9072 6.34x x=--，5.0898.38x <<.令()0S x '=，即23168.3966.340x-=，22.36x ≈（负值舍去），623.727.8922.36≈.22.36x =是函数()S x 在(5.08,98.38)内唯一极值点，且为极大值，从而是最大值点.所以，打印纸的长、宽分别约为27.89cm ，22.36cm 时，可使其打印面积最大. 13、设每年养q 头猪时，总利润为y 元. 则 21()20000100300200002y R q q q q =--=-+-(0400,)q q N <≤∈.令0y '=，即3000q -+=，300q =.当300q =时，25000y =；当400q =时，20000y =.300q =是函数()y p 在(0,400]内唯一极值点，且为极大值点，从而是最大值点. 所以，每年养300头猪时，可使总利润最大，最大总利润为25000元.14、（1）2； （2）22e -； （3）1；（4）原式＝2222200cos sin (cos sin )[sin cos ]0cos sin x x dx x x dx x x x xπππ-=-=+=+⎰⎰；（5）原式＝22001cos sin 2[]224x x xdx πππ---==⎰.15、略. 说明：利用函数图象的对称性、定积分的几何意义进行解释.16、2.17、由F kl =，得0.0490.01k =. 解之得 4.9k =. 所做的功为 20.30.30.10.14.9 4.90.1962lW ldl ==⨯|=⎰（J ）第一章 复习参考题B 组（P66）1、（1）43()10210b t t '=-⨯. 所以，细菌在5t =与10t =时的瞬时速度分别为0和410-. （2）当05t ≤<时，()0b t '>，所以细菌在增加；当55t <<+()0b t '<，所以细菌在减少.2、设扇形的半径为r ，中心角为α弧度时，扇形的面积为S . 因为212S r α=，2l r r α-=，所以2l rα=-.222111(2)(2)222l S r r lr r r α==-=-，02l r <<.令0S '=，即40l r -=，4l r =，此时α为2弧度.4l r =是函数()S r 在(0,)2l内唯一极值点，且是极大值点，从而是最大值点.所以，扇形的半径为4l 、中心角为2弧度时，扇形的面积最大.3、设圆锥的底面半径为r ，高为h ，体积为V ，那么222r h R +=. 因此，222231111()3333V r h R h h R h h ππππ==-=-，0h R <<.令22103V R h ππ'=-=，解得3h R =.容易知道，3h R =是函数()V h 的极大值点，也是最大值点.所以，当3h R =时，容积最大.把3h R =代入222r h R +=，得3r R =.由2R r απ=，得3α=.所以，圆心角为3α=时，容积最大.4、由于28010k =⨯，所以45k =.设船速为x km ／h 时，总费用为y ，则2420204805y x x x=⨯+⨯960016x x=+，0x >令0y '=，即29600160x-=，24x ≈.容易知道，24x =是函数y 的极小值点，也是最小值点. 当24x =时，960020(1624)()9412424⨯+÷≈（元／时）所以，船速约为24km ／h 时，总费用最少，此时每小时费用约为941元. 5、设汽车以x km ／h 行驶时，行车的总费用2390130(3)14360xy x x=++⨯，50100x ≤≤令0y '=，解得53x ≈（km ／h ）. 此时，114y ≈（元）容易得到，53x ≈是函数y 的极小值点，也是最小值点.因此，当53x ≈时，行车总费用最少. 所以，最经济的车速约为53km ／h ；如果不考虑其他费用，这次行车的总费用约是114元. 6、原式＝4044422022[]2xxxx x e dx e dx e dx ee e e -----=+=-+|=+-⎰⎰⎰.7、解方程组 2y kxy x x=⎧⎨=-⎩ 得，直线y kx =与抛物线2y x x =-交点的横坐标为0x =，1k -. 抛物线与x 轴所围图形的面积2312100111()[]23236xxS x x dx =-=-=-=⎰.由题设得112()2k k S x x dx kxdx --=--⎰⎰31221001()[]23k kk xx x kx dx x ---=--=-⎰3(1)6k -=.又因为16S =，所以31(1)2k -=. 于是12k =-.说明：本题也可以由面积相等直接得到11122()()kkkx x kx dx kxdx x x dx -----=+-⎰⎰⎰，由此求出k 的值. 但计算较为烦琐.。

高中数学选修教材2-2高中数学选修课程系列2-2----人民教育出版社从具体物理实例入手，诉诸于直观，不严格、不细致。

第一章导数及其应用1.1 变化率与导数气球膨胀率高台跳水导数的概念与几何意义1.2 导数的计算几个常见函数的导数基本初等函数的导数公式记导数的运算法则1.3 导数在研究函数中的应用函数的单调性与导数函数的极值与导数函数的最大（小）值与导数1.4 生活中的优化问题举例海报版面尺寸的设计饮料瓶大小对饮料公司利润的影响磁盘的最大存储问题1.5 定积分的概念曲边梯形的面积汽车行驶的路程定积分的概念1.6 微积分基本定理1.7 定积分的简单应用定积分在几何中的应用定积分在物理中的应用第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理合情推理：归纳和类比–> 猜想演绎推理：三段论–> 证明2.2 直接证明与间接证明直接证明：综合法和分析法间接证明：反证法（reduction to absurdity）根号2是无理数2.3 数学归纳法一种特殊的证明方法，主要用于研究与正整数有关的数学问题两个步骤：归纳奠基和归纳递推第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念回顾从自然数逐步扩充到实数系的过程，从实数到复数。

复数的几何意义3.2复数代数形式的四则运算复数代数行驶的加减运算及其几何意义事实上，从有理数到实数的扩充过程，是人类思辨的理性主义的伟大胜利，是现代抽象数学兴起和发展的界石。

●第一次数学危机公元前五百多年的古希腊时代，毕达哥拉斯学派万物皆是数正方形的对角线与其边长是不可公度的！●十九世纪，德国数学家康托尔(Cantor)证明了，比起有理数来，无理数多的“不可胜数”，它构成了被称之为“实数”的数系的绝对主体。

●实数的构造：1. 德国数学家戴德金(Dedekind) 戴德金分割2. 康托尔有理数基本列●实数的连续性。

数学高中选修2一2教案
教学内容：一元二次方程
教学目标：
1. 掌握一元二次方程的概念和基本性质。

2. 掌握用因式分解法、配方法、公式法等解一元二次方程的方法。

3. 能够应用一元二次方程解决实际问题。

教学重点：一元二次方程的解法及应用。

教学难点：问题实际应用。

教学过程：
一、导入（5分钟）
教师引出一元二次方程的概念，让学生回顾一元一次方程的解法，引出一元二次方程。

二、讲解与示范（15分钟）
1. 讲解一元二次方程的解法：因式分解法、配方法、公式法。

2. 通过例题进行示范，让学生掌握解题方法。

三、练习与讨论（20分钟）
1. 学生个别练习，巩固解题方法。

2. 学生分组讨论解决实际问题的一元二次方程。

四、课堂小结（5分钟）
教师对一元二次方程的解法进行总结，强调应用能力的培养。

五、作业布置（5分钟）
布置相关练习题，巩固学生学习成果。

以上就是本课的教学内容，希望能够帮助学生更好地理解和掌握一元二次方程的知识。

祝学习顺利！。

1.2.2一、选择题1．函数y ＝x －(2x －1)2的导数是( )A ．3－4xB ．3＋4xC ．5＋8xD ．5－8x解析：∵y ＝x －(2x －1)2＝－4x 2＋5x －1，∴y ′＝－8x ＋5.答案：D2．函数y ＝cos(1＋x 2)的导数是( )A ．2x sin(1＋x 2)B ．－sin(1＋x 2)C ．－2x sin(1＋x 2)D ．2cos(1＋x 2)解析：∵y ′＝[cos(1＋x 2)]′＝－sin(1＋x 2)·(1＋x 2)′＝－2x sin(1＋x 2)．答案：C3．已知函数f (x )＝ax 2－1且f ′(1)＝2，则实数a 的值为( )A ．1B ．2 C. 2 D ．a >0解析：∵f ′(x )＝12(ax 2－1)－12·2ax ＝ax ax 2－1， ∴f ′(1)＝a a －1＝2.∴a ＝2，故选B. 答案：B 4．函数y ＝x 2＋12x －1的导数是( ) A.2＋x x 2＋1·(2x －1)2B ．－2＋x1＋x 2·(2x －1)2C.4x 2－x ＋2(2x －1)2D.4x 2－x ＋2(2x －1)2x 2＋1解析：y ′＝(x 2＋12x －1)′ ＝(x 2＋1)′(2x －1)－x 2＋1·(2x －1)′(2x －1)2 ＝12x 2＋1·(x 2＋1)′(2x －1)－2·x 2＋1(2x －1)2＝－2＋x1＋x 2·(2x －1)2，故选B. 答案：B5．若函数f (x )＝x m ＋ax 的导数f ′(x )＝2x ＋1，则数列{1f (n )}(n ∈N *)的前n 项和S n 是( ) A.n n ＋1B.n ＋2n ＋1C.n n －1D.n ＋1n解析：因为f ′(x )＝2x ＋1，所以m ＝2，a ＝1，所以f (x )＝x 2＋x ，所以1f (n )＝1n 2＋n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1(n ∈N *)．所以前n 项和S n ＝(1－12)＋(12－13)＋(13－14)＋…＋(1n －1n ＋1)＝1－1n ＋1＝n n ＋1，故选A. 答案：A6．若函数f (x )＝－1b·e ax 的图象在x ＝0处的切线l 与圆C ：x 2＋y 2＝1相离，则点P (a ，b )与圆C 的位置关系是( )A ．在圆外B ．在圆内C ．在圆上D ．不能确定解析：f (0)＝－1b ，又f ′(x )＝－a b ·e ax ，k ＝f ′(0)＝－a b ，所以切线l 的方程为y ＝－a b x －1b，即ax ＋by ＋1＝0，由圆心到直线的距离d ＝1a 2＋b2>1，得a 2＋b 2<1，即点P 在圆内，故选B.答案：B二、填空题7．若f (x )＝log 3(2x －1)，则f ′(2)＝________.解析：∵f ′(x )＝[log 3(2x －1)]′＝1(2x －1)ln3(2x －1)′＝2(2x －1)ln3，∴f ′(2)＝23ln 3.答案：23ln 38．函数y ＝sin 2x 的图象在点A (π6，14)处的切线的斜率是________． 解析：∵y ′＝(sin 2x )′＝2sin x (sin x )′＝2sin x cos x ＝sin2x ，∴y ′|x ＝π6＝sin π3＝32，∴曲线在点A (π6，14)处的切线的斜率为32. 答案：329．曲线y ＝x ＋1x －4在点x ＝8处的切线方程是________． 解析：∵y ′＝(x ＋1x －4)′＝12(x ＋1x －4)－12·x －4－(x ＋1)(x －4)2 ＝12x －4x ＋1·－5(x －4)2， ∴f ′(8)＝12·23·(－516)＝－548. 又∵f (8)＝32， ∴切线方程为5x ＋48y －112＝0.答案：5x ＋48y －112＝0三、解答题10．求下列函数导数：(1)y ＝sin(2x ＋3)；(2)y ＝(x ＋1x)2； (3)y ＝log 2(x 2＋2x ＋3)；(4)y ＝3x 2＋2x ＋3.解：(1)∵(1)y ＝sin(2x ＋3)是由y ＝sin u 和u ＝2x ＋3复合而成，∴y ′＝(sin u )′u ·(2x ＋3)′x ＝cos u ·2＝2cos(2x ＋3)．(2)解法一：y ′＝2(x ＋1x )(x ＋1x)′ ＝2(x ＋1x )(1－1x 2)＝2x －2x3. 解法二：∵y ＝x 2＋2＋1x2，∴y′＝(x2＋2＋1x2)′＝2x－2x3.(3)y′＝1(x2＋2x＋3)ln2·(x2＋2x＋3)′＝2x＋2(x2＋2x＋3)ln2.11．已知函数f(x)＝e－x(cos x＋sin x)，将满足f′(x)＝0的所有正数x从小到大排成数列{x n}．求证：数列{f(x n)}为等比数列．证明：f′(x)＝－e－x(cos x＋sin x)＋e－x(－sin x＋cos x)＝－2e－x sin x，由f′(x)＝0，得－2e－x sin x＝0，解得x＝nπ，n∈Z.从而xn ＝nπ(n＝1,2,3……)，f(x n)＝(－1)n e－nπ，所以f(x n＋1)f(x n)＝－e－π.所以数列{f(x n)}是公比为q＝－e－π的等比数列．12．曲线y＝e2x cos3x在(0,1)处的切线与直线C的距离为5，求直线C的方程．解：由曲线y＝e2x cos3x，得y′＝(e2x)′cos3x＋e2x(cos3x)′＝2e2x cos3x－3e2x sin3x，∴y′|x＝0＝2.∴经过点(0,1)的切线方程为y－1＝2x，即y＝2x＋1.设直线C的方程为y＝2x＋b，由题意得5＝|b－1|5，∴b＝6或b＝－4.∴直线C的方程为y＝2x＋6或y＝2x－4.。

§1.2 导数的运算1.2.1 常见函数的导数 课时目标 1.理解各个公式的证明过程，进一步理解运用概念求导数的方法.2.掌握常见函数的导数公式.3.灵活运用公式求某些函数的导数．1．几个常用函数的导数：(kx ＋b)′＝______(k ，b 为常数)；C ′＝______ (C 为常数)；(x)′＝______；(x 2)′＝______；(x 3)′＝______；⎝⎛⎭⎫1x ′＝________；(x)′＝________. 2．基本初等函数的导数公式： (x α)′＝________(α为常数)(a x )′＝________ (a>0，且a ≠1) (log a x)′＝1xlog a e ＝______ (a>0，且a ≠1) (e x )′＝______(ln x)′＝______(sin x)′＝________(cos x)′＝________一、填空题1．下列结论不正确的是________．(填序号)①若y ＝3，则y ′＝0；②若y ＝1x，则y ′＝－12x ； ③若y ＝－x ，则y ′＝－12x； ④若y ＝3x ，则y ′＝3.2．下列结论：①(cos x)′＝sin x ；②⎝⎛⎭⎫sin π3′＝cos π3；③若y ＝1x 2，则f ′(3)＝－227.其中正确的有______个．3．设f 0(x)＝sin x ，f 1(x)＝f ′0(x)，f 2(x)＝f ′1(x)，…，f n ＋1(x)＝f ′n (x)，n ∈N ，则f 2 010(x )＝________.4．已知曲线y ＝x 3在点P 处的切线斜率为k ，则当k ＝3时的P 点坐标为__________．5．质点沿直线运动的路程s 与时间t 的关系是s ＝5t ，则质点在t ＝4时的速度为__________．6．若函数y ＝f (x )满足f (x －1)＝1－2x ＋x 2，则y ′＝f ′(x )＝________.7．曲线y ＝cos x 在点A ⎝⎛⎭⎫π6，32处的切线方程为__________________． 8．曲线y ＝x 2上切线倾斜角为π4的点是__________． 二、解答题9．求下列函数的导数．(1)y ＝log 4x 3－log 4x 2；(2)y ＝2x 2＋1x－2x ； (3)y ＝－2sin x 2⎝⎛⎭⎫2sin 2 x 4－1.10.已知曲线y ＝x 2上有两点A (1,1)，B (2,4)．求： (1)割线AB 的斜率k AB ；(2)在[1,1＋Δx ]内的平均变化率；(3)点A 处的切线斜率k AT ；(4)点A 处的切线方程．能力提升11．假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p (单位：元)与时间t (单位：年)有如下函数关系：p (t )＝p 0(1＋5%)t ，其中p 0为t ＝0时的物价，假定某种商品的p 0＝1，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？(注ln 1.05≈0.05，精确到0.01)1．求函数的导数，可以利用导数的定义，也可以直接使用基本初等函数的导数公式．2．对实际问题中的变化率问题可以转化为导数问题解决．答 案知识梳理1．k 0 1 2x 3x 2 －1x 2 12x2. (x α)′＝αx α－1(α为常数)(a x )′＝a x ln_a (a >0，且a ≠1)(log a x )′＝1x log a e ＝1x ln a(a >0，且a ≠1) (e x )′＝e x(ln x )′＝1x(sin x )′＝cos_x(cos x )′＝－sin_x作业设计1．②解析 y ′＝⎝⎛⎭⎫1x ′＝(x －12)′＝－12x －32＝－12x x. 2．1解析 直接利用导数公式．因为(cos x )′＝－sin x ，所以①错误；sin π3＝32，而⎝⎛⎭⎫32′＝0，所以②错误； ⎝⎛⎭⎫1x 2′＝(x －2)′＝－2x －3，则f ′(3)＝－227， 所以③正确．3．－sin x解析 f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )＝cos x ，f 2(x )＝f ′1(x )＝－sin x ，f 3(x )＝f ′2(x )＝－cos x ，f 4(x )＝f ′3(x )＝sin x ，….由此继续求导下去，发现四个一循环，从0到2 010共2 011个数，2 011＝4×502＋3，所以f 2 010(x )＝f 2(x )＝－sin x .4．(－1，－1)或(1,1)解析 y ′＝3x 2，∵k ＝3，∴3x 2＝3，∴x ＝±1，则P 点坐标为(－1，－1)或(1,1)．5.110523 解析 s ′＝155t 4.当t ＝4时，s ′＝15·1544＝110523. 6．2x解析 ∵f (x －1)＝1－2x ＋x 2＝(x －1)2，∴f (x )＝x 2，f ′(x )＝2x .7．x ＋2y －3－π6＝0 解析 ∵y ′＝(cos x )′＝－sin x ，∴k ＝－sin π6＝－12， ∴在点A 处的切线方程为y －32＝－12⎝⎛⎭⎫x －π6， 即x ＋2y －3－π6＝0. 8.⎝⎛⎭⎫12，14解析 设切点坐标为(x 0，x 20)，则tan π4＝f ′(x 0)＝2x 0，∴x 0＝12. ∴所求点为⎝⎛⎭⎫12，14.9．解 (1)∵y ＝log 4x 3－log 4x 2＝log 4x ，∴y ′＝(log 4x )′＝1x ln 4. (2)∵y ＝2x 2＋1x －2x ＝2x 2＋1－2x 2x ＝1x. ∴y ′＝⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x 2. (3)∵y ＝－2sin x 2⎝⎛⎭⎫2sin 2 x 4－1 ＝2sin x 2⎝⎛⎭⎫1－2sin 2 x 4 ＝2sin x 2cos x 2＝sin x . ∴y ′＝(sin x )′＝cos x .10．解 (1)k AB ＝4－12－1＝3. (2)平均变化率Δy Δx ＝(1＋Δx )2－1Δx ＝2Δx ＋(Δx )2Δx＝2＋Δx . (3)∵y ′＝2x ，∴k ＝f ′(1)＝2，即点A 处的切线斜率为k AT ＝2.(4)点A 处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.11．解 ∵p 0＝1，∴p (t )＝(1＋5%)t ＝1.05t .根据基本初等函数的导数公式表，有p ′(t )＝(1.05t )′＝1.05t ·ln 1.05.∴p ′(10)＝1.0510·ln 1.05≈0.08(元/年)．因此，在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨。

教学目标：1．理解两个函数的和(或差)的导数法则，学会用法则求一些函数的导数；2．理解两个函数的积的导数法则，学会用法则求乘积形式的函数的导数；3．能够综合运用各种法则求函数的导数．教学重点：函数的和、差、积、商的求导法则的推导与应用．教学过程：一、问题情境1．问题情境．（1）常见函数的导数公式：（默写）（2）求下列函数的导数：23y x ＝； 2x y ＝； 2log y x ＝．（3）由定义求导数的基本步骤（三步法）．2．探究活动．例1 求2y x x ＝＋的导数．思考 已知()()f x g x ''，，怎样求[]()()f x g x '＋呢？二、建构数学函数的和差积商的导数求导法则：三、数学运用例2 求下列函数的导数：（1）2()sin f x x x ＝＋； （2）323()622g x x x x ＝－－＋． 例3 求下列函数的导数：（1）()sin h x x x ＝； （2）()2ln f x x x ＝；练习 课本P22练习1～5题．点评 正确运用函数的四则运算的求导法则．四、拓展探究问题1 求下列函数的导数：（1）11x y x －＝＋； （2）44sin cos 44x x y ＝＋； （3）y ； （4）sin ln y x x x ⋅⋅＝． 点评 求导数前的变形，目的在于简化运算；如遇求多个积的导数，可以逐层分组进行；求导数后应对结果进行整理化简．问题2 设()(1)(2)(3)f x x x x x ＝＋＋＋(4)x ＋，求(0)f '． 问题3 已知π()()sin cos 2f x f x x '＝＋，则π()4f ＝ ． 五、回顾小结函数的和差积商的导数求导法则．六、课外作业1．见课本P26习题1．2第1，2，5～7题．2．补充：已知点P (－1，1)，点Q (2，4)是曲线y ＝x 2上的两点，求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．。

•选修1－2•1．1回归分析的基本思想及其初步应用课前自主预习KEQIANZIZHUYUXI【基础导学】线性回归模型从某大学随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如下表：关系吗？导思1不是，相关关系．导疑2如何表示身高和体重的关系？导思2画散点图，由图可知，样本点散布在一条直线附近，因此可用回归直线表示变量间的相关关系．导疑3求根据女大学生身高预报体重的回归方程．导思3作散点图：选取身高为自变量x ，体重为因变量y ，由散点图知，身高和体重有比较好的线性相关关系，因而可用回归直线y ＝bx ＋a 来近似刻画它们之间的关系．由《数学3》的知识可知，未知参数b 和a 的最小二乘法估计分别为b ^和a ^，代入公式得：b ^＝∑i ＝18(x i －x )(y i －y )∑i ＝18(x i －x )2＝0.849a ^＝y －b ^x ＝－85.712于是线性回归直线的方程为：y ^＝0.849x －85.712.导果 1.函数关系是一种确定性关系，而相关关系是一种非确定性关系．2．(1)回归分析回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．(2)回归直线方程方程y ^＝b ^x ＋a ^是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )的回归方程，其中a ^，b ^是待定参数，其最小二乘估计分别为：⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧b ^＝∑i ＝1n(x i－x )(y i－y )∑i ＝1n(x i－x )2＝∑i ＝1nx i y i－n x y∑i ＝1nx 2i－n x 2，a ^＝y －b ^x ，其中x ＝1n ∑i ＝1n x i ，y ＝1n ∑i ＝1ny i ，(x ，y )称为样本点的中心．(3)线性回归模型线性回归模型y ＝bx ＋a ＋e ，其中a 和b 为模型的未知参数，e 称为随机误差．线性回归分析上述的问题中，我们已求得身高预报体重的回归方程是：y ^＝0.849x －85.712.导疑1 身高为172 cm 的女大学生的体重一定是60.316 kg 吗？如果不是你能解释一下原因吗？导思1 不一定，原因是受随机误差的影响．导疑2 预报值y ^与真实值y 之间的误差大了好还是小了好？导思2 小了好．导疑3 如何衡量回归方程的拟合效果？导思3 残差平方和，残差图，相关指数R 2.导果 1.残差：对于样本点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )的随机误差的估计值e ^i ＝y i －y ^i 称为相应于点(x i ，y i )的残差，∑ni ＝1(y i －y ^i )2称为残差平方和．2．残差图：利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，也可用其他测量值，这样作出的图称为残差图．3．R2＝1－∑ni＝1(y i－y^i)2∑n i＝1(y i－y－)2，R2越接近于1，表示回归的效果越好．【知识拓展】预报变量的变化与解释变量和随机误差的关系预报变量的变化程度可以分解为解释变量引起的变化程度与残差变量的变化程度之和，其中这个变化与解释变量和随机误差(即残差平方和)有关的程度是由相关指数R2的值决定的．在线性回归模型中，R2表示解释变量对预报变量变化的贡献率．R2越接近于1，表示解释变量和预报变量的线性相关性越强；反之，R2越小，说明随机误差对预报变量的效应越大．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)残差平方和越小，线性回归方程的拟合效果越好．()(2)在画两个变量的散点图时，预报变量在x轴上，解释变量在y 轴上．()(3)R2越接近于1，线性回归方程的拟合效果越好．()答案(1)√(2)×(3)√2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为________．(2)在残差分析中，残差图的纵坐标为________．(3)如果发现散点图中所有的样本点都在一条直线上，则残差平方和等于________，解释变量和预报变量之间的相关系数等于________．答案(1)正相关(2)残差(3)01或－1课堂互动探究 KETANGHUDONGTANJIU 题型一 求线性回归方程例1 某班5名学生的数学和物理成绩如下表：(1)(2)求物理成绩y 对数学成绩x 的回归直线方程； (3)一名学生的数学成绩是96，试预测他的物理成绩． [解] (1)散点图如图(2)x －＝15×(88＋76＋73＋66＋63)＝73.2， y －＝15×(78＋65＋71＋64＋61)＝67.8.∑5i ＝1x i y i ＝88×78＋76×65＋73×71＋66×64＋63×61＝25054.∑5i ＝1x 2i ＝882＋762＋732＋662＋632＝27174.所以b ^＝∑5i ＝1x i y i －5x －y－∑5i ＝1x 2i －5x－2＝25054－5×73.2×67.827174－5×73.22≈0.625. a ^＝y －－b ^x －＝67.8－0.625×73.2＝22.05. 所以y 对x 的回归直线方程是y ^＝0.625x ＋22.05. (3)x ＝96，则y ^＝0.625×96＋22.05≈82， 即可以预测他的物理成绩约是82.求线性回归方程的步骤(1)列出散点图．从直观上分析数据间是否存在线性相关关系．(2)计算x －，y －，∑ni ＝1x 2i ，∑ni ＝1x i y i .(3)代入公式求出y ^＝b ^x ＋a ^中参数b ^，a ^的值． (4)写出回归方程并对实际问题作出估计．[跟踪训练1] 已知x 、y 的取值如下表所示：从散点图分析，y 与x 线性相关，且y ＝0.95x ＋a ^，则a ^的值为( ) A ．0.95 B ．2 C ．4.5 D ．2.6答案 D解析 计算x ＝2，y ＝4.5；代入得a ^＝2.6.[跟踪训练2] 某种产品的广告费用支出x 与销售额y (单位：百万元)之间有如下的对应数据：(1)(2)求线性回归方程；(3)试预测广告费用支出为10百万元时的销售额． 解 (1)散点图如图所示：(2)列出下表，并用科学计算器进行有关计算：所以，x ＝255＝5，y ＝2505＝50，∑i ＝15x 2i ＝145，∑i ＝15x i y i ＝1380.于是可得b ^＝∑i ＝15x i y i －5x y∑i ＝15x 2i －5x 2＝1380－5×5×50145－5×52＝6.5， a ^＝y －b ^x ＝50－6.5×5＝17.5.所以所求的线性回归方程为y ^＝6.5x ＋17.5.(3)根据(2)中求得的线性回归方程，当广告费用支出为10百万元时，y ^＝6.5×10＋17.5＝82.5(百万元)，即广告费用支出为10百万元时，销售额大约为82.5百万元. 题型二 线性回归分析例2 已知某种商品的价格x (元)与需求量y (件)之间的关系有如下一组数据：求y 对x [解] x －＝15(14＋16＋18＋20＋22)＝18， y －＝15(12＋10＋7＋5＋3)＝7.4，∑5i ＝1x 2i ＝142＋162＋182＋202＋222＝1660，∑5i ＝1x i y i ＝14×12＋16×10＋18×7＋20×5＋22×3＝620，所以，b ^＝∑5i ＝1x i y i －5x －y－∑5i ＝1x 2i －5x－2＝620－5×18×7.41660－5×182＝－1.15， a ^＝y －－b ^x －＝7.4＋1.15×18＝28.1， 所以所求回归直线方程是y ^＝－1.15x ＋28.1. 列出残差表：所以，∑5i ＝1(y i －y ^i )2＝0.3，∑5i ＝1(y i －y －)2＝53.2，R 2＝1－∑5i ＝1 (y i －y ^i )2∑5i ＝1(y i －y －)2≈0.994，所以回归模型的拟合效果很好．一般地，求出回归直线方程后，通过估计值求出残差的平方和以及相关指数R 2来对回归模型的好坏作出评判，事实上R 2＝1－残差平方和总偏差平方和，而总偏差平方和是固定不变的，所以残差平方和越小，R 2就越大，拟合效果就越好；残差平方和越大，R 2就越小，拟合效果就越差.[跟踪训练3] 关于x 与y 有如下数据：为了对x ，y 甲：y ^＝6.5x ＋17.5，乙：y ^＝7x ＋17，试比较哪个模型拟合的效果更好．解 由题意得y －＝50.由甲模型可得y i －y ^i 与y i －y －的关系如下表：∴∑5i ＝1(y i －y i )2＝(－0.5)2＋(－3.5)2＋102＋(－6.5)2＋0.52＝155，∑5i ＝1(y i －y －)2＝(－20)2＋(－10)2＋102＋02＋202＝1000，∴R 2甲＝1－∑5i ＝1 (y i －y ^i )2∑5i ＝1(y i －y －)2＝1－1551000＝0.845. 由乙模型可得y i －y ^i 与y i －y －的关系如下表：∴∑5i ＝1(y i －y i )2＝(－1)2＋(－5)2＋82＋(－9)2＋(－3)2＝180，∑5 i＝1(y i－y－)2＝(－20)2＋(－10)2＋102＋02＋202＝1000，∴R2乙＝1－∑5i＝1(y i－y^i)2∑5i＝1(y i－y－)2＝1－1801000＝0.82.∵0.845>0.82，∴R2甲>R2乙，∴甲模型的拟合效果比乙模型的拟合效果好．题型三非线性回归分析例3为了研究某种细菌随时间x变化繁殖的个数，收集数据如下：(1)点图；(2)描述解释变量与预报变量之间的关系；(3)计算残差、相关指数R2.[解](1)由表中数据作散点图如图所示．(2)由散点图看出样本点分布在一条指数函数y ＝c 1e c 2x 的图象的周围，其中c 1和c 2是待定系数．于是令z ＝ln y ，则z ＝bx ＋a (a ＝ln c 1，b ＝c 2)，因此变换后的样本点应该分布在直线z ＝bx ＋a 的周围，因此可以用线性回归模型来拟合z 与x 的关系，则变换后的样本数据如下表：由表中数据得到线性回归方程z ＝0.69x ＋1.112. 因此细菌繁殖个数关于时间的回归方程为 y ^＝e 0.69x ＋1.112. (3)列出残差表：∑6i ＝1e ^2i ＝∑6i ＝1(y i －y ^i )2＝3.1643，∑6i ＝1(y i －y －i )2＝25553.3， R 2＝1－3.164325553.3≈0.9999.故解释变量天数对预报变量繁殖个数解释了99.99%，说明该回归模型拟合效果非常好．非线性回归问题有时并不给出经验公式．这时我们可以画出已知数据的散点图，把它与学过的各种函数(幂函数、指数函数、对数函数等)图象作比较，挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数，然后采用适当的变量变换，把问题化为线性回归分析问题，使之得到解决．其一般步骤为：[跟踪训练4] 某种图书每册的成本费y (元)与印刷册数x (千册)有关，经统计得到数据如下：检测每册书的成本费y 与印刷册数的倒数1x 之间是否具有线性相关关系？如有，求出y 对x 的回归方程．解 首先作变量置换u ＝1x ，题目所给数据变成如下表所示的数据：可以求得r ＝∑ni ＝1(u i －u －)(y i －y －)∑n i ＝1(u i －u －)2∑ni ＝1(y i －y －)2≈0.9998.由于r ≈0.9998>0.75，因此，变量y 与u 之间具有较强的线性相关关系，并且b ^≈8.973，a ^＝y －－b ^u －≈1.125.最后回代u ＝1x 可得y ^＝1.125＋8.973x . 因此y 与x 的回归方程为y ^＝1.125＋8.973x .1.回归分析的步骤(1)确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量．(2)画出解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系(如是否存在线性关系等)．(3)由经验确定回归方程的类型(如观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^)．(4)按一定规则(如最小二乘法)估计回归方程中的参数．(5)得出结果后分析残差图是否有异常(如个别数据对应残差过大，残差呈现不随机的规律性等)．若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等．2.刻画回归效果的三种方法(1)残差图法，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内说明选用的模型比较合适．(2)残差平方和法：残差平方和∑i ＝1n (y i －y ^i )2越小，模型的拟合效果越好．(3)相关指数法：R 2＝1－∑i ＝1n (y i －y ^i )2∑i ＝1n(y i －y )2越接近1，表明回归的效果越好.随堂达标自测 SUITANGDABIAOZICE 1．关于回归分析，下列说法错误的是( ) A ．回归分析是研究两个具有相关关系的变量的方法 B ．散点图中，解释变量在x 轴，预报变量在y 轴 C ．回归模型中一定存在随机误差 D ．散点图能明确反映变量间的关系答案 D解析 用散点图反映两个变量间的关系时，存在误差． 2．甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量x ，y 的回归模型时，分别选择了4种不同模型，计算可得它们的相关指数R 2分别如下表：) A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁答案 A解析 相关指数R 2越大，表示回归模型的效果越好．3．设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ^＝0.85x －85.71，则下列结论中不正确的是( )A ．y 与x 具有正的线性相关关系B ．回归直线过样本点的中心(x －，y －)C ．若该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kgD ．若该大学某女生身高为170 cm ，则可断定其体重必为58.79 kg 答案 D解析 本题考查线性回归方程的特征与性质，意在考查考生对线性回归方程的了解，解题思路：A 、B 、C 均正确，是回归方程的性质，D 项是错误的，线性回归方程只能预测学生的体重．选项D 应改为“若该大学某女生身高为170 cm ，则估计其体重大约为58.79 kg ”．4．某单位为了了解用电量y 度与气温x ℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：由表中数据得线性回归方程y ＝bx ＋a 中b ＝－2，预测当气温为－4 ℃时，用电量的度数约为________ ℃.答案 68解析 x －＝10，y －＝40，回归方程过点(x －，y －)， ∴40＝－2×10＋a . ∴a ＝60.∴y ^＝－2x ＋60.令x ＝－4，∴y ^＝(－2)×(－4)＋60＝68.5．在一段时间内，某种商品的价格x (元)和需求量y (件)之间的一组数据为：求出y 对⎝ ⎛⎭⎪⎫参考数据：∑i ＝15x 2i ＝1660，∑i ＝15x i y i ＝3992 解 从画出的散点图(图略)可看出，这些点在一条直线附近，可用线性回归模型来拟合数据．由题中数据可得x －＝18，y －＝45.4.由公式计算得b ^＝－2.35，a ^＝y －－b ^x －＝87.7. 故y 对x 的线性回归方程为y ^＝－2.35x ＋87.7. 列表：所以∑5i ＝1(y i －y ^i )2＝8.3，∑5i ＝1(y i －y －)2＝229.2.相关指数R 2＝1－∑5i ＝1 (y i －y ^i )2∑5i ＝1(y i －y －)2≈0.964.因为0.964很接近于1，所以该模型的拟合效果好． 课后课时精练 KEHOUKESHIJINGLIAN时间：40分钟满分：75分一、选择题(每小题5分，共30分)1．设有一个回归方程为y ^＝3－5x ，当变量x 增加一个单位时( ) A ．y 平均增加3个单位 B ．y 平均减少5个单位 C ．y 平均增加5个单位 D ．y 平均减少3个单位 答案 B解析 －5是斜率的估计值，说明x 每增加一个单位，y 平均减少5个单位．2．四名同学根据各自的样本数据研究变量x ，y 之间的相关关系，分别得到以下结论：①y 与x 负相关且y ^＝2.347x －6.423； ②y 与x 负相关且y ^＝－3.476x －5.648； ③y 与x 正相关且y ^＝5.437x ＋8.493；④y 与x 正相关且y ^＝－4.326x －4.578. 其中一定不正确的是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④答案 D解析 线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，当b ^>0时，y 与x 正相关；当b ^<0时，y 与x 负相关．由此可知①④一定不正确，故选D.3．设(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )是变量x 和y 的n 个样本点，直线l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图)，以下结论中正确的是( )A ．x 和y 的相关系数为直线l 的斜率B ．x 和y 的相关系数在0到1之间C ．当n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数一定相同D ．直线l 过点(x －，y －) 答案 D解析 因为相关系数是用来衡量x ，y 之间的线性关系的强弱的量，且相关系数r ∈[－1,1]，由图象知，x 与y 之间为负相关，r 应在－1和0之间，故A 、B 错误．C 中n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数可以不相同，所以C 错误．根据回归直线一定经过样本中心点可知D 正确．所以选D.4．从某高中随机选取5名高三男生，其身高和体重的数据如下表所示：根据上表可得回归直线方程：y ＝0.56x ＋a ，据此模型预报身高为172 cm 的高三男生的体重为( )A ．70.09 kgB ．70.12 kgC ．70.55 kgD ．71.05 kg答案 B解析 x －＝160＋165＋170＋175＋1805＝170， y －＝63＋66＋70＋72＋745＝69. ∵回归直线过点(x －，y －)，∴将点(170,69)代入回归直线方程y ^＝0.56x ＋a ^上，故69＝0.56×170＋a ^，计算得a ^＝－26.2，故y ^＝0.56x －26.2，当x ＝172 cm ，则其体重为70.12 kg.5．在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )(n ≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )都在直线y ＝12x ＋1上，则这组样本数据的相关系数为( )A ．－1B ．0 C.12 D ．1 答案 D解析 根据样本相关系数的定义可知，当所有样本点都在直线y ＝12x ＋1上时，相关系数为1.6．给定x 与y 的一组样本数据，求得相关系数r ＝－0.690，则( ) A ．y 与x 的线性相关性很强 B ．y 与x 的相关性很强 C ．y 与x 正相关 D ．y 与x 负相关 答案 D解析 因为r <0，所以y 与x 负相关；又|r |∈[0.75,1]才表示y 与x 具有很强的线性相关性，所以选D.二、填空题(每小题5分，共15分)7．已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为(4,5)，则回归直线方程是________．答案 y ^＝1.23x ＋0.08解析 由斜率的估计值为1.23，且回归直线一定经过样本点的中心(4,5)，可得y ^－5＝1.23(x －4)，即y ^＝1.23x ＋0.08.8．在研究气温和热茶销售杯数的关系时，若求得相关指数R 2≈0.85，则表明气温解释了________的热茶销售杯数变化，而随机误差贡献了剩余的________，所以气温对热茶销售杯数的影响比随机误差的影响大得多．答案 85% 15%解析 相关指数R 2的意义．9．某化工厂为预测某产品的回归率y ，需要研究它和原料有效成分含量之间的相关关系，现取了8对观测值．计算得∑i ＝18x i ＝52，∑i ＝18y i ＝228，∑i ＝18x 2i ＝478，∑i ＝18x i y i ＝1849，则y 对x 的线性回归方程是______________．答案 y ^＝2.62x ＋11.47解析 ∵x ＝528＝132，y ＝572，∴b ^＝∑i ＝18x i y i －8x y∑i ＝18x 2i －8x 2＝2.62，又a ^＝y －b ^x ＝11.47，∴y ^＝2.62x ＋11.47.三、解答题(每小题10分，共30分)10．某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天100颗种子中的发芽数，得到如下资料：性回归方程，剩下的2组数据用于回归方程检验．(1)若选取12月1日和12月5日这两日的数据进行检验，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^；(2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的．试问(1)中所得到的线性回归方程是否可靠？若可靠，请预测温差为14 ℃时的发芽数．解 (1)由数据，求得x ＝12，y ＝27， 由公式，求得b ^＝52，a ^＝y －b ^x －＝－3， 所以y 关于x 的线性回归方程为y ^＝52x －3. (2)当x ＝10时，y ^＝52×10－3＝22，|22－23|<2； 当x ＝8时，y ^＝52×8－3＝17，|17－16|<2. 因此得到的线性回归方程是可靠的． 当x ＝14时，有y ^＝52×14－3＝35－3＝32， 所以预测温差为14 ℃时的发芽数为32颗．11．某运动员训练次数与运动成绩之间的数据关系如下：(1)(2)求出线性回归方程；(3)作出残差图，并说明模型的拟合效果； (4)计算R 2，并说明其含义．解 (1)作出该运动员训练次数(x )与成绩(y )之间的散点图，如图所示(2)可求得x ＝39.25，y ＝40.875，∑i ＝18x 2i ＝12656，∑i ＝18x i y i ＝13180，∴b ^＝∑i ＝18 (x i －x )(y i －y )∑i ＝18(x i －x )2＝∑i ＝18x i y i －8x y∑i ＝18x 2i －8x 2≈1.0415，a ^＝y －b ^x ＝－0.003875，∴线性回归方程为y ^＝1.0415x －0.003875. (3)作残差图如图所示．由图可知，残差点比较均匀地分布在水平带状区域中，说明选用的模型比较合适．(4)相关指数R 2＝0.9855.说明了该运动员的成绩的差异有98.55%是由训练次数引起的．12．下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明；(2)建立y 关于t 的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．附注：参考数据：∑7i ＝1y i ＝9.32，∑7i ＝1t i y i ＝40.17,∑7i ＝1(y i －y )2＝0.55，7≈2.646.参考公式：相关系数r ＝∑ni ＝1 (t i －t )(y i －y )∑ni ＝1(t i －t )2∑ni ＝1(y i －y )2，回归方程y ^＝a ^＋b ^t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b ^＝∑ni ＝1 (t i －t )(y i －y )∑ni ＝1(t i －t )2，a ^＝y －b ^ t .解 (1)由折线图中数据和附注中参考数据得t ＝4，∑7i ＝1 (t i －t )2＝28，∑7i ＝1 (y i －y )2＝0.55，∑7i ＝1(t i －t )(y i －y )＝∑7i ＝1t i y i －t ∑7i ＝1y i ＝40.17－4×9.32＝2.89，r ≈ 2.890.55×2×2.646≈0.99. 因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系．(2)由y ＝9.327≈1.331及(1)得b ^＝∑7i ＝1(t i －t )(y i －y )∑7i ＝1(t i －t )2＝2.8928≈0.10，a ^＝y －b ^t ≈1.331－0.10×4≈0.93. 所以，y 关于t 的回归方程为y ^＝0.93＋0.10t . 将2016年对应的t ＝9代入回归方程得 y ^＝0.93＋0.10×9＝1.83.所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量约为1.83亿吨．1．2独立性检验的基本思想及其初步应用课前自主预习KEQIANZIZHUYUXI【基础导学】为研究吸烟是否对患肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地调查了9965人，得到如下结果(单位：人)：吸烟与患肺癌列联表导疑1导思1分类变量．导疑2能否直观判断“吸烟和患肺癌”是否有关？有哪些方法？导思2能直观判断“吸烟和患肺癌”有关．方法一：由吸烟和患肺癌列联表可以粗略估计出：在不吸烟样本中，有0.54%患肺癌；在吸烟样本中，有2.28%患肺癌．直观上得出结论：吸烟人群更容易患肺癌．方法二：用等高条形图展示列联表数据的频率特征．通过等高条形图，很容易直判断“吸烟和患肺癌”有关．导疑3 直观判断“吸烟和患肺癌有关”的可靠性如何？导思3 用独立性检验方法判断：K 2＝9965×(7775×49－42×2099)27817×2148×9874×91≈56.632P (K 2≥6.635)≈0.010∴在犯错误概率不超过0.010的条件下，认为“吸烟和患肺癌有关”．导果 1.分类变量和列联表(1)分类变量变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量．(2)列联表①定义：列出的两个分类变量的频数表，称为列联表． ②2×2列联表．一般地，假设有两个分类变量X 和Y ，它们的取值分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为2．(1)等高条形图和表格相比，更能直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，常用等高条形图展示列联表数据的频率特征．(2)观察等高条形图发现a a ＋b 和cc ＋d 相差很大，就判断两个分类变量之间有关系．3．独立性检验【知识拓展】 独立性检验思想的理解独立性检验的基本思想类似于数学中的反证法，要确认两个分类变量有关系这一结论成立的可信程度，首先假设该结论不成立，即假设结论“两个分类变量没有关系”成立，在该假设下我们构造的随机变量K 2应该很小，如果由观测数据计算得到的K 2的观测值很大，则在一定程度上说明假设不合理，根据随机变量K 2的含义，可以通过P (K 2≥6.635)≈0.01来评价假设不合理的程度，由实际计算出K 2≥6.635，说明假设不合理的程度约为99%，即两个分类变量有关系这一结论成立的可信程度为99%.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)分类变量中的变量与函数中的变量是同一概念．( ) (2)列联表频率分析法、等高条形图可初步分析两分类变量是否有关系，而独立性检验中K 2取值则可通过统计表从数据上说明两分类变量的相关性的大小．( )(3)独立性检验的方法就是反证法．( ) 答案 (1)× (2)√ (3)×2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)为了调查高中生的性别与是否喜欢踢足球之间有无关系，一般需要收集以下数据________．(2)若观测值k≈7.8，得到的正确结论是在犯错误的概率不超过________的前提下认为“爱好该项运动与性别有关”．(3)独立性检验中，假设H0：变量x与变量y没有关系．则在H0成立的情况下，估计概率P(K2≥6.635)≈0.01表示的意义是变量x与变量y________(填“有关系”或“无关系”)的概率是99%.答案(1)男女生中喜欢和不喜欢踢足球的人数(2)1%(3)有关系课堂互动探究KETANGHUDONGTANJIU题型一独立检验的基本思想例1在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是()①若K2的观测值满足K2≥6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；②从独立性检验可知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病；③从统计量中得知有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推断出现错误．A．①B．①③C．③D．②[解析]因为随机变量K2的观测值满足K2≥6.635，所以在犯错误的概率不超过5%的前提下认为吸烟与患肺病有关系，只有③正确，故选C.[答案] C对相关性检验结果的理解相关性检验的结果是一种相关关系，而不是确定性关系，是反映有关和无关的概率．独立性检验的基本思想类似于反证法，要确定两个分类变量有关系这一结论成立的可信程度，首先假设该结论不成立，即假设结论“两个分类变量没有关系”成立，在假设下，我们构造的统计量K2应该很小．如果由观测数据计算得到的K2值很大，则在一定程度上说明假设不合理，再根据不合理的程度与临界值的关系作出判断．[跟踪训练1]给出下列实际问题：①一种药物对某种病的治愈率；②两种药物治疗同一种病是否有区别；③吸烟者得肺病的概率；④吸烟人群是否与性别有关系；⑤网吧与青少年的犯罪是否有关系．其中，用独立性检验可以解决的问题有()A．①②③B．②④⑤C．②③④⑤D．①②③④⑤答案 B解析独立性检验主要是对两个分类变量是否有关系进行检验，主要涉及两种变量对同一种事物的影响，或者是两种变量在同一问题上体现的区别等．[跟踪训练2]为了解高中生作文成绩与课外阅读量之间的关系，某研究机构随机抽取了60名高中生，通过问卷调查，得到以下数据：下说法正确的是()A．没有充足的理由认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关B．有0.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关C．有99.9%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关D．有99.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关答案 D解析因为9.643>7.879，根据临界值表知P(K2≥7.879)≈0.005，因此在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关，即有99.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关.题型二用等高条形图判断两个变量是否相关例2为考察某种药物预防疾病的效果进行动物试验，得到如下列联表：药物效果试验列联表[解]根据列联表所给的数据可得出服用药患病的频率为10 55≈0.18，未服用药患病的频率为2050＝0.4，两者的差距是|0.18－0.4|＝0.22，两者相差很大，作出等高条形图如图所示，因此服用药与患病之间有关系的程度很大．细解等高条形图(1)绘制等高条形图时，列联表的行对应的是高度，两行的数据不相等，但对应的条形图的高度是相同的；两列的数据对应不同的颜色．(2)等高条形图中有两个高度相同的矩形，每一个矩形中都有两种颜色，观察下方颜色区域的高度，如果两个高度相差比较明显⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫即a a ＋b 和c c ＋d 相差很大，就判断两个分类变量之间有关系．[跟踪训练3] 网络对现代人的生活影响较大，尤其是对青少年．为了解网络对中学生学习成绩的影响，某地区教育主管部门从辖区初中生中随机抽取了1000人调查，发现其中经常上网的有200人，这200人中有80人期末考试不及格，而另外800人中有120人不及格．利用图形判断学生经常上网与学习成绩是否有关．解 根据题目所给的数据得到如下2×2列联表：得出等高条形图如图所示：比较图中网格条的高可以发现，经常上网不及格的频率明显高于经常上网及格的频率，因此可以认为经常上网与学习成绩有关.题型三由K2进行独立性检验例3某校对学生课外活动进行调查，结果整理成下表：0.005的前提下，认为“喜欢体育还是文娱与性别有关系”？[解]其等高条形图如图所示．由图可以直观地看出喜欢体育还是喜欢文娱与性别在某种程度上有关系，但只能作粗略判断，具体判断方法如下：假设“喜欢体育还是喜欢文娱与性别没有关系”，∵a＝21，b＝23，c＝6，d＝29，n＝79.∴K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)＝79×(21×29－23×6)2(21＋23)×(6＋29)×(21＋6)×(23＋29)≈8.106.且P(K2≥7.879)≈0.005，即我们得到的K2的观测值k≈8.106超过7.879这就意味着：“喜欢体育还是文娱与性别没有关系”这一结论成立的可能性小于0.005，即在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“喜欢体育还是喜欢文娱与性别有关．”独立性检验的具体做法(1)根据实际问题的需要确定允许推断“两个分类变量有关系”犯错误的概率的上界α，然后查表确定临界值k0.(2)利用公式K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)计算随机变量K2的观测值k.(3)利用k与k0之间的关系进行推断．[跟踪训练4]在一次天气恶劣的飞机航程中，调查了男女乘客在飞机上晕机的情况：男乘客晕机的有24人，不晕机的有31人；女乘客晕机的有8人，不晕机的有26人．请你根据所给数据判定：在天气恶劣的飞机航程中，男乘客是否比女乘客更容易晕机？附：解 根据题意，列出2×2列联表如下：假设在天气恶劣的飞机航程中男乘客不比女乘客更容易晕机． 由公式可得K 2的观测值 k ＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )＝89×(24×26－31×8)255×34×32×57≈3.689>2.706，故在犯错误的概率不超过0.10的前提下，认为“在天气恶劣的飞机航程中男乘客比女乘客更容易晕机”．1.利用列联表直接计算a a ＋b 和c c ＋d ，如果两者相差很大，就判断两个分类变量之间有关系．2.在等高条形图中展示列联表数据的频率特征，比较图中两个深色条的高可以发现两者频率不一样而得出结论．这种直观判断的不足之处在于不能给出推断“两个分类变量有关系”犯错误的概率．。

第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理§2.1.1 合情推理与演绎推理（一）【内容分析】：归纳是重要的推理方法，在掌握一定的数学基础知识（如数列、立体几何、空间向量等等）后，对数学问题的探究方法加以总结，上升为思想方法。

【教学目标】：1、知识与技能：（1）结合数学实例，了解归纳推理的含义（2）能利用归纳方法进行简单的推理，2、过程与方法：通过课例，加深对归纳这种思想方法的认识。

3、情感态度与价值观：体验并认识归纳推理在数学发现中的作用。

【教学重点】：（1）体会并实践归纳推理的探索过程（2）归纳推理的局限【教学难点】：引导和训练学生从已知的线索中归纳出正确的结论)，试归纳出→如何证明：将递推公式变时命题成立，再证由这两步，可以归纳出什么结论？ （目的：渗【练习与测试】： （基础题）1）数列2,5,11,20,,47,x …中的x 等于（ ） A ．28 B ．32 C ．33 D ．272）从222576543,3432,11=++++=++=中得出的一般性结论是_____________。

3)定义,,,A B B C C D D A ****的运算分别对应下图中的(1)、(2)、(3)、(4)，那么下图中的（A ）、（B ）所对应的运算结果可能是（ ）.（1） 4） （A A.,B D A D ** B.,B D A C ** C.,B C A D ** D.,C D A D ** 4)有10个顶点的凸多面体，它的各面多边形内角总和是________．5)在一次珠宝展览会上，某商家展出一套珠宝首饰，第一件首饰是1颗珠宝， 第二件首饰是由6颗珠宝(图中圆圈表示珠宝)构成如图1所示的正六边形， 第三件首饰如图2， 第四件首饰如图3， 第五件首饰如图4， 以后每件首饰都在前一件上，按照这种规律增加一定数量的珠宝，使它构成更大的正六变形，依此推断第6件首饰上应有_______________颗珠宝，第n 件首饰所用珠宝总数为_________________颗.6)已知n n a n na 11+=+（n=1.2. …）11=a 试归纳这个数列的通项公式答案：1）B 523,1156,20119,-=-=-=推出2012,32x x -==2）2*1...212...32(21),n n n n n n n N ++++-+++-=-∈ 注意左边共有21n -项 3）B4）（n-2）3605） 91,1+5+9+…4n+1=2n 2+3n+1 6） a 1=1,a 2=21 a 3=31… a n =n1（中等题）1）观察下列的图形中小正方形的个数，则第n 个图中有 个小正方形.2）-1 ．3 ．-7 ．15 ．( ) ，63 ， ， ， 括号中的数字应为（ ） A.33 B.-31 C.-27 D.-57 3)设平面内有n 条直线（n ≥ 3），其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，若用表示 n 条直线交点的个数，则 f （4 ）=( ) A.3 B.4 C.5 D.64)顺次计算数列:1,1+2+1,1+2+3+2+1,1+2+3+4+3+2+1,的前4项,由此猜测123...)1()1(...321++++-++-++++=n n n a n 的结果. 答案：1）1+2+3+4+…+(n+1)=)2)(1(21++n n 2）B 正负相间，3＝1+2，7＝3+22，15＝7+23，15+24＝31，31+25＝63 3）C4）依次为，1，22，32，42，所以a n =n 2（难题）1)．迄今为止，人类已借助“网格计算”技术找到了630万位的最大质数。

高中数学教案选修全套【选修2-2教案｜全套】目录目录 (I)第一章导数及其应用 (1)§1.1.1变化率问题 (1)导数与导函数的概念 (4)§1.1.2导数的概念 (6)§1.1.3导数的几何意义 (9)§1.2.1几个常用函数的导数 (13)§1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 (16)§1.2.2复合函数的求导法则 (20)§1.3.1函数的单调性与导数（2课时） (23)§1.3.2函数的极值与导数（2课时） (28)§1.3.3函数的最大（小）值与导数（2课时） (32)§1.4生活中的优化问题举例（2课时） (35)§1.5.3定积分的概念 (39)第二章推理与证明 (43)合情推理 (43)类比推理 (46)演绎推理 (49)推理案例赏识 (51)直接证明--综合法与分析法 (53)间接证明--反证法 (55)数学归纳法 (57)第3章数系的扩充与复数的引入 (68)§3.1数系的扩充和复数的概念 (68)§3.1.1数系的扩充和复数的概念 (68)§3.1.2复数的几何意义 (71)§3.2复数代数形式的四则运算 (74)§3.2.1复数代数形式的加减运算及几何意义 (74)§3.2.2复数代数形式的乘除运算 (78)第一章 导数及其应用§1.1.1变化率问题教学目标：1．理解平均变化率的概念； 2．了解平均变化率的几何意义；3．会求函数在某点处附近的平均变化率教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 教学难点：平均变化率的概念． 教学过程： 一．创设情景为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线;三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。