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九年级上册数学笔记整理人教版一、一元二次方程。
（一）定义。
1. 只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程。
- 一般形式：ax² + bx + c = 0(a≠0)，其中ax²是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。
（二）解法。
1. 直接开平方法。
- 对于方程x² = p(p≥0)，解得x = ±√(p)。
- 例如，方程(x - 3)² = 4，则x - 3 = ±2，x = 3±2，即x = 1或x = 5。
2. 配方法。
- 步骤：- 把方程化为ax²+bx = - c的形式。
- 在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即x²+(b)/(a)x+((b)/(2a))² = - (c)/(a)+((b)/(2a))²。
- 把左边写成完全平方式(x+(b)/(2a))²，然后用直接开平方法求解。
- 例如，对于方程x²+6x - 7 = 0，移项得x²+6x = 7，配方得x² + 6x+9 = 7 + 9，即(x + 3)²=16，解得x=-3±4，x = 1或x=-7。
3. 公式法。
- 对于一元二次方程ax²+bx + c = 0(a≠0)，其求根公式为x=(-b±√(b² -4ac))/(2a)。
- 其中b² - 4ac叫做判别式，记作Δ=b² - 4ac。
- 当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根。
- 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根。
- 当Δ<0时，方程没有实数根。
- 例如，方程2x² - 3x - 2 = 0，其中a = 2，b=-3，c=-2，Δ=(-3)²-4×2×(-2)=9 + 16 = 25>0，根据公式x=(3±√(25))/(4)=(3±5)/(4)，解得x = 2或x =-(1)/(2)。
人教版小学九年级上册数学知识点总结一、数与代数（一）一元一次不等式与不等式组1.一元一次不等式的概念一元一次不等式是只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不为0，左右两边为整式的不等式。
通常形式为ax + b > c, ax + b < c 或ax + b ≥ c, ax + b ≤ c，其中a, b, c为常数，且a ≠ 0。
2.一元一次不等式的解法解一元一次不等式与解一元一次方程类似，但不等号方向在乘以或除以负数时会发生变化。
3.一元一次不等式组的概念由几个一元一次不等式组成的不等式组称为一元一次不等式组。
4.一元一次不等式组的解法先分别解每个不等式，然后找出它们的公共解集。
（二）分式的运算1.分式的加减分式的加减需要先通分，然后进行分子相加减、分母不变的运算。
2.分式的乘除分式的乘除可以直接进行分子乘分子、分母乘分母的运算，或分子除分子、分母除分母的运算。
3.分式的混合运算分式的混合运算需要遵循运算的优先级，先进行乘除运算，再进行加减运算。
（三）二次根式的运算1.二次根式的加减二次根式的加减需要先化为最简二次根式，然后合并同类项。
2.二次根式的乘除二次根式的乘除可以直接进行运算，注意结果要化为最简二次根式。
3.二次根式的混合运算二次根式的混合运算需要遵循运算的优先级，先进行乘除运算，再进行加减运算。
二、空间与图形（一）相似三角形1.相似三角形的概念对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
2.相似三角形的判定•两角对应相等，则两三角形相似。
•两边对应成比例且夹角相等，则两三角形相似。
•三边对应成比例，则两三角形相似。
3.相似三角形的性质相似三角形的对应边成比例，对应角相等。
4.相似三角形的应用相似三角形在实际问题中有广泛应用，如测量距离、计算高度等。
（二）锐角三角函数1.锐角三角函数的定义正弦、余弦、正切是锐角三角函数的三种基本函数。
•正弦（sine）：对边与斜边的比，记作sinθ。
一、一元二次方程1. 定义•等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
一般形式为：ax² + bx + c = 0（a ≠ 0）。
2. 解法•配方法：通过配成完全平方形式来解一元二次方程。
步骤包括：移项、除二次项系数、配方、开平方。
•公式法：利用一元二次方程的求根公式x = [-b ± √(b² - 4ac)] / (2a)（当b² - 4ac ≥ 0时）求解。
•因式分解法：将方程的一边化为0，另一边分解为两个一次因式的积，从而转化为求解两个一元一次方程。
3. 根与系数的关系•若一元二次方程x² + px + q = 0的两个根为x₁和x₂，则有：x₁ + x₂ = -p，x₁x₂ = q。
二、实际问题与一元二次方程1. 应用步骤•审：读懂题目，弄清题意，明确已知量和未知量以及它们之间的等量关系。
•设：设出未知数。
•列：列出方程，这是关键步骤，需找出能够表达应用题全部含义的相等关系，并列出含有未知数的等式。
•解：解方程，求出未知数的值。
•验：检验方程的解是否保证实际问题有意义，符合题意。
•答：写出答案。
2. 常见类型•数字问题：如三个连续整数、连续偶数（奇数）的表示。
•增长率问题：设初始量为a，终止量为b，平均增长率或降低率为x，则经过两次的增长或降低后的等量关系为a(1±x)² = b。
•利润问题：常用关系式有总利润=总销售价-总成本，或总利润=单位利润×总销售量，或利润=成本×利润率。
•图形的面积问题：根据图形的面积与图形的边等高等相关元素的关系，将图形的面积用含有未知数的代数式表示出来，建立一元二次方程。
三、二次函数1. 定义•一般地，形如y = ax² + bx + c（a, b, c是常数，a ≠ 0）的函数，叫做二次函数。
2. 性质•抛物线的开口方向由a的符号决定：a > 0时，开口向上；a < 0时，开口向下。
第二十一章一元二次方程定义等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项特殊形式（只要满足a≠0，b，c可以为任意实数）三种形式二次项系数一次项系数常数项ax2=0(a≠0)a00 ax2+c=0(a≠0)a0c ax2+bx=0(a≠0)a b0一元二次方程的根使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.直接开平方法定义利用平方根的意义直接开平方求一元二次方程的方法叫做直接开平方法总结一般的，对于可化为 x2=p的方程①当p > 0时，方程有两个不相等的实数根x1=√p，x2=−√p；②当p = 0时，方程有两个相等的实数根x1=x2=0；③当p < 0时，方程无实数根.配方法定义通过配成完全平方的形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。
即把方程化为(x+n)2=p的形式总结一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成(x+n)2=p①当p > 0时，方程有两个不等的实数根x1=−n−√p，x2=−n+√p①当p = 0 时，方程有两个相等的实数根x1=x2=−n①当p < 0时，因为对任意实数x，都有(x + n)2≥0，所以方程无实数根.方法步骤一移常数项，并将二次项系数化为1；二配完全平方,等号两边同时加上一次项系数一半的平方。
（常数项等于一次项系数一半的平方）x2+px+(p2)2=(x+p2)2三写成(x+n)2=p；四直接开平方法解方程.配方步骤ax2+bx+c=0（前提先化为一般式）移项得：ax2+bx=−c........移常数项系数化为1：x2+b a x=−c a........二次项系数化为1配方：x2+b a x+(b2a)2=−c a+(b2a)2.....配常数项，等号两边同时加上一次项系数一半的平方(x+b2a)2=b2−4ac4a2开方：x+b2a=±√b2−4ac2ax=−b±√b2−4ac2a公式法根的判别式定义：一般地，式子△=b2−4ac叫做一元二次方程根的判别式求根公式的定义当Δ=b2−4ac≥0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根可写为x=−b±√b2−4ac2a的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式.判别式△=b2−4ac的根的情况判别式的情况根的情况根△=b2−4ac>0两个不相等的实数根x1=−b+√b2−4ac2a，x2=−b−√b2−4ac2a△=b2−4ac=0两个相等的实数根x1=x2=−b2a△=b2−4ac<0没有实数根△=b2−4ac≥0有实数根方法步骤①把一元二次方程化为一般形式②确定系数a，b，c的值③求出b2−4ac的值，判断根的情况④利用求根公式因式分解法定义使方程化为两个一次式的乘积等于0 的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次. 这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.基本思想如果 a · b = 0，那么 a = 0 或 b = 0.方法步骤一移——使方程的右边为0；二分——将方程的左边因式分解；三化——将方程化为两个一元一次方程；四解——写出方程的两个解因式分解的四种方法①提公因式法：ma+mb=m(a+b)②平方差：a2−b2=(a+b)(a−b)③完全平方：a2+2ab+b2=(a+b)2；a2−2ab+b2=(a−b)2④十字相乘法一元二次方程的根与系数的关系（△=b2−4ac≥0）ax2+bx+c=0(a≠0)两根之和x1+x2=−ba两根之积x1x2=cax12+x22=(x1+x2)2−2x1x2(x1−x2)2=(x1+x2)2−4x1x21x1+1x2=x1+x2x1x2x1x2+x2x1=x12+x22x1x2=(x1+x2)2−2x1x2x1x2|x1−x2|=√(x1−x2)2=√(x1+x2)2−4x1x2类型公式及方法传播问题传染源为1，传染率为x，则第一轮后共有(1+x)人第二轮后共有x(x+1)人两次共传染为： 1 + x + x (x+1) = n数字问题三个连续整数：若设中间的一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1。
人教版初三上册数学知识点汇总初三上册数学课程涵盖了多个重要的数学概念和技巧，为学生进入高中数学学习打下坚实的基础。
以下是针对人教版初三上册数学知识点的一个全面汇总，旨在帮助学生更好地理解和掌握相关内容。
一、不等式1.不等式的定义：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。
2.不等式的解：对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。
3.不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。
4.求不等式的解集：这个过程叫做解不等式。
5.用数轴表示不等式：不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
6.一元一次不等式：不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。
7.解一元一次不等式的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、将x项的系数化为1。
8.一元一次不等式组：几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。
几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。
二、二次根式1.二次根式的定义：形如√(a)（a≥0）的式子叫做二次根式。
二次根式必须满足：含有二次根号“√”；被开方数必须是非负数。
2.积的算术平方根：积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积。
3.二次根式的乘法法则：满足乘法交换律和结合律。
4.二次根式比较大小的方法：利用近似值比大小；把二次根式的系数移入二次根号内，然后比大小；分别平方，然后比大小。
5.商的算术平方根：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。
6.二次根式的除法法则：分母有理化的方法是：分式的分子与分母同乘分母的有理化因式，使分母变为整式。
人教版九年级上册数学知识点一、集合与不等式1. 集合的概念集合是由一些确定的元素构成的整体。
用大写字母A、B、C等表示集合，元素用小写字母a、b、c等表示。
2. 集合的运算（1）交集运算：集合A与集合B的交集，表示为A∩B，表示同时属于A和B的元素组成的集合。
（2）并集运算：集合A与集合B的并集，表示为A∪B，表示属于A或B的元素组成的集合。
（3）差集运算：集合A与集合B的差集，表示为A-B或A\B，表示属于A但不属于B的元素组成的集合。
（4）补集运算：集合A相对于全集U的补集，表示为A'或A^c，表示不属于A的元素组成的集合。
3. 不等式不等式是含有不等号的数学陈述。
常见的不等号有大于号（>）、大于等于号（≥）、小于号（<）和小于等于号（≤）。
二、平面图形的认识1. 点、线、线段和射线的概念（1）点：空间中没有长度、宽度和高度的位置，用大写字母表示。
（2）线段：由两个端点以及连接两个端点的线段本身组成。
（3）射线：起点为给定点的一条直线，并且从起点向某个方向延伸，用带箭头的线段表示。
2. 平面图形的分类（1）三角形：由三条线段组成的图形。
（2）四边形：由四条线段组成的图形。
（3）多边形：由多条线段组成的图形。
3. 常见平面图形的性质（1）正方形：四条边相等且都垂直。
（2）长方形：相邻两条边相等且都垂直。
（3）平行四边形：对边平行且对边相等。
三、整式与分式1. 代数式与整式（1）代数式：用字母和数字相结合表示数的式子。
（2）整式：只含有字母、数字和运算符的代数式。
2. 分式分式是包含分子和分母的算式，分式的值一般是一个有理数。
四、分数的计算1. 分数运算（1）分数的加减运算：先找到两个分数的公共分母，然后将分子相加（或相减），再将结果的分子写在分数线上。
（2）分数的乘法运算：将两个分数的分子相乘，分母相乘。
（3）分数的除法运算：先将除数与被除数的分子和分母交换位置，再按照分数的乘法运算进行计算即可。
人教版九年级数学上册知识点人教版九年级数学上册知识点概述一、实数与代数表达式1. 实数的概念与性质- 正实数、负实数、零- 实数的四则运算- 实数的大小比较2. 代数表达式的运算- 整式的加法与减法- 乘法分配律- 幂的乘方与积的乘方- 单项式与多项式的乘法- 多项式的因式分解3. 二次根式的运算- 二次根式的定义- 二次根式的乘法与除法- 二次根式的加法与减法- 完全平方公式与平方差公式二、方程与不等式1. 一元一次方程与不等式- 方程的解法- 含绝对值的一元一次方程- 一元一次不等式的解集2. 二元一次方程组- 代入法与消元法- 方程组的解的情况3. 一元二次方程- 一元二次方程的解法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法）- 一元二次方程根的判别式三、平面图形的性质1. 平行线与角- 平行线的判定与性质- 同位角、内错角、同旁内角- 角的平分线2. 三角形的性质- 三角形的内角和外角- 等腰三角形与等边三角形的性质- 三角形的中位线定理3. 特殊三角形- 直角三角形的性质与勾股定理- 直角三角形的判定- 含30°角的直角三角形的性质4. 平行四边形与圆- 平行四边形的性质与判定- 圆的基本性质- 圆周角与圆心角的关系- 扇形与弧长四、空间图形的性质1. 空间图形的观察- 视图的画法- 空间图形的展开图2. 空间图形的测量- 体积的计算- 表面积的计算五、统计与概率1. 统计- 数据的收集与整理- 频数与频率- 统计图表的绘制与解读2. 概率- 随机事件的概率- 概率的计算- 用树状图法解决简单的概率问题以上是人教版九年级数学上册的主要知识点概述。
这些知识点构成了九年级数学课程的核心内容，学生需要掌握这些概念、公式和解题方法，以便在数学学习中取得良好的成绩。
教师和家长应指导学生通过练习和应用这些知识点，加深理解和记忆，提高解题能力。
人教版九年级上册数学课本知识点归纳总结全九年级上册数学课本知识点归纳第21章一元二次方程一、学习目标1、明白一元二次方程的概念2、学会一元二次方程的解法3、了解方程的根与系数的关系4、掌握一元二次方程的实际应用二、重点一、一元二次方程 1、一元二次方程含有一具未知数(一元)，同时未知数的最高次数是2(二次)的整式方程叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的普通形式)0(02≠=++a c bx ax ，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。
二、落次----解一元二次方程1．落次：把一元二次方程化成两个一元一次方程的过程(别管用啥办法解一元二次方程，基本上要一元二次方程落次)2、直截了当开平办法利用平方根的定义直截了当开平方求一元二次方程的解的办法叫做直截了当开平办法。
直截了当开平办法适用于解形如x 2=b 或b a x =+2)(的一元二次方程。
依照平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0 ≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b0时，方程有两个实数根。
当ac b 42-=0时，方程有两个相等实数根。
当ac b 42-＜0时，方程没有实数根。
5、因式分解法：先将一元二次方程因式分解，化成两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分不等于0，从而实现落次，这种解叫因式分解法。
这种办法简单易行，是解一元二次方程最常用的办法。
三、一元二次方程根的判不式根的判不式：一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判不式，通常用“?”来表示，即ac b 42-=?四、一元二次方程根与系数的关系假如方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，由求根公式)04(2422≥--± -=ac b a ac b b x 可算出a b x x -=+21，a cx x =21。
人教版九年级数学上册知识点整理完整版
一、代数与函数
1.代数简介
①常数：数值不变的量。
②变量：数量可能改变的量。
③代数式：由数、字母、加减乘除号、括号等符号组成的式子。
④同类项：指含有相同字母并且指数相同的项。
⑤合并同类项：指将同类项合并成一个项。
⑥因式分解：将代数式表示成幂或较简单的代数式，叫做因式分解。
⑦方程式&方程：一个代数式与另一个代数式在等号两边，称
为方程式，且方程式构成了等式。
2.一次函数
①函数：将自变量的某个取值代入函数中得到唯一的因变量的值，称为函数。
②自变量：输入的值
③函数表达式：用代数式表示函数的式子称为函数表达式
④一次函数：函数表达式中，最高次项是一次幂的函数叫一次函数，也叫线性函数。
⑤斜率：函数： y = kx + b ，函数图象的斜率 k，即为直线的斜率。
3.二次函数
①二次函数：函数表达式中，最高次项是二次幂的函数，叫做二次函数。
②二次函数的一般式：f(x) = ax² + bx + c（a≠0）
③二次函数的顶点：二次函数图象的转折点，称为顶点。
④二次函数的对称轴：图象关于 x = -b/ 2a 对称的直线，称为二次函数的对称轴。
⑤二次函数的最小值/最大值：二次函数）的顶点纵坐标所对
应的函数值，是二次函数的最小值或最大值。
4.函数的研究
①函数图象的基本性质：函数的零点、函数值的正负、单调性、奇偶性、周期性、对称性、渐近线等。
②函数的零点：函数 f(x) = 0 的解叫做函数的零点。
即 f(x) = 0 时 x 的解。
③函数类型：函数分类标准通常有函数的定义域和值域、图象、函数表达式等。
二、图形的认识
1.图形的一些概念
①线段：由两个端点所组成的线段,叫做线段。
②射线：在一个端点处向一个方向上延伸的线段,叫做射线。
③直线：没有端点,在一个方向上延伸的线段,称为直线。
④平行线：永远不会相交的两条直线叫做平行线。
⑤垂直平分线：在一条直线上，垂直于该线段、且等分该线段的线，称为垂直平分线。
⑥角：两条射线共同有一个端点，所成的图形称为角。
⑦圆的周长：圆周长的公式为：C = 2πr ，其中π≈3.14 。
⑧圆的面积：圆面积的公式为：S = πr²。
2.相似形
①相似形：具有相同形状的两个图形，称为相似形。
②相似比：在相似形中，相应边长度之比叫做相似比。
③周长比：相似形的周长比等于相似比。
④面积比：相似形的面积比等于相似比的平方。
⑤特殊全等三角形：等腰三角形、等边三角形。
三、平面直角坐标系
1.平面直角坐标系
①平面直角坐标系：平面上向两个方向各无穷远的两条相互垂
直的直线，称为坐标轴。
称为平面直角坐标系。
②坐标：在平面直角坐标系上，每个点都有一个对应的坐标，
就叫做这个点的坐标。
分别为横坐标和纵坐标。
2.中点公式和距离公式
①中点公式：线段的中心点即为两个端点的中点，中点公式为：M （ x1+y1[2], x1+y2[2]）。
②距离公式：点 A(x1, y1) 与点 B(x2, y2) 之间的距离,叫
做点 A 与点 B 的距离（简称 AB 的距离）。
AB 的距离公式
为 d（AB）=√（x2-x1[2]+y2-y1[2]）。
③坐标系上的勾股定理：设三角形的三个顶点在坐标系上
A(X1,Y1) , B(X2,Y2) , C(X3,Y3) 形成的三角形,则 C
( BC² = AC²+AB² )。
四、三角函数
1.三角函数
①正弦函数：y=sin x （0≤x≤360°）。
②余弦函数：y=cos x （0≤x≤360°）。
③正切函数：y=tan x（Kπ<x<(k+1)π，k∈Z ）。
2.某角的三角函数值
①正切值的简化：tan 135° = tan(180°- 45°) = -tan 45° = -1 。
②余角公式： sin（90°-α）=cosα ,cos（90°-α）
=sinα 。
③辅助角公式：sin（π+α）=- sinα ,cos（π+α）=-
cosα 。
④万能公式：sin²α+cos²α=1 、1+tan²α=sec²α 、
1+cot²α=csc²α 。
五、常用公式与定理
1.常用公式
①乘幂方与除幂方：a¹⁰ⁿ/ a⁴ⁿ=a⁶ⁿ。
②乘方的乘积：(a×b)³=a³×b³。
③等积问题：（1+x）×（1-x）=1-x²。
④勾股定理：直角三角形的直角边的平方等于斜边的平方减去另一直角边的平方，即 a²+b²=c²。
2.定理
①放缩定理：对于任意不为 0 的实数 a 和正整数 m，有
aⁿ×aⁿ= a m ,aⁿ/aⁿ= a ⁰ =1。
②相乘减法公式：对于任意实数 a 和 b，有 a²-
b²=(a+b)×(a-b)，a⁴-b⁴=(a²+b²)×(a²-b²)。
③中位线定理：连接三角形锐角顶点和对边中点的线段，叫做对边的中位线，中位线平行于对边，并等于对边的一半。
④正弦定理：在任意三角形 ABC 中，设 a、b、c 分别为 BC、AC、AB 三边的长，α、β、γ 分别为∠A、∠B、∠C 的角度，则有sinα/a=sinβ/b=sinγ/c。
⑤余弦定理：在任意三角形 ABC 中，设 a、b、c 分别为 BC、AC、AB 三边的长，α、β、γ 分别为∠A、∠B、∠C 的角度，则有 c² = a²+b²-2abcosγ。
六、数列
1.数列
①数列：是一列按照顺序排列的数字。
②等差数列：相邻两项的公差相等的数列，叫等差数列。
③等差数列的通项公式：an=a₁+(n-1)d，其中，an 是第 n 项，a₁是首项，d 为公差，n 是项数。
④通项公式求和：Sn=(a₁+an)×n/2，即S = 1/2 × n × [a₁+a n ]（其中，a n 是数列第 n 项，a₁是数列首项，
n 为项数）。
2.等比数列
①等比数列：相邻两项的比值相等的数列，叫等比数列。
②等比数列的通项公式：an =a₁×qn-1。
③求和公式：S = a₁( qⁿ - 1)/(q-1)。
七、概率
1.随机事件的概率
①随机事件：根据试验结果是否与某事件有关，可把试验的每一结果分成事件与非事件。
②样本空间：样本空间是表示试验所有可能结果的集合。
③事件的概率：事件的概率是指事件出现的可能性大小的运算。
P(A)表示事件 A 的概率。
④互斥事件：两个事件如果有公共结果出现，那么就不能同时出现的两个事件，叫做互斥事件。
如果在一个很多次试验中，事件 A 发生 k 次，事件 B 发生 m 次，则有：P(A或 B)=
P(A)+P(B)-P(A∩ B)，其中P(A∩ B)是既发生事件 A，又发
生事件 B 的概率。
⑤条件概率：在众多随机事件中，当出现了某些状况后，我们需要求在这个状况下某个事件发生产生的概率，这时就需要用到条件概率（或叫后验概率）。
P(A∣B) 表示在事件 B 发生
的情况下，事件 A 发生的概率。
2.样本与样本调查的设计规程
①在样本调查中，要运用某些方法，从样本中选出一部分进行调查，然后通过样本推知总体的特征及数量。
②样本调查的三种方法：随机抽样、分层抽样、整群抽样。
③回归分析：把模型中每个变量与研究对象间的相互交感关系量化，得到相应的解释数值，以数值化的方式来描述各变量间的相互关系。
八、数据统计
1.统计平均数
①算数平均数：一组数据之和除以数据的个数，就叫做算数平均数。
μ=1/n∑ xi,i=1,2,...,n 。
②中位数：将一组数据从大到小排列，居于中间的那个数叫做中位数。
③众数：出现次数最多的数据记做这组数据的众数。
2.数据的离散程度
①离差：观测值与平均数之差，就叫做离差。
②方差：各离差的平方数值的平均数，就叫做方差。
其中
σ²=1/n∑（xi-μ）²。
③标准差：离均差的平方和的算术平方根叫做样本标准差。
其中S=√[1/n∑（xi-μ）²] 。
3.概率论与数理统计的应用
①正态分布：当观测值围绕着平均数呈对称分布时，这样的数据分布式叫正态分布。
②标准正态分布：平均数为 0，标准差为 1 的正态分布。
③中心极限定理：当样本容量（n）趋近大数时，样本均值的分布趋近于正态分布。
