从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式(解析版)

第4节从函数的观点看一元二次方程和一元二次不等式知识梳理1.一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式不等式叫作一元二次不等式.2.三个“二次”间的关系判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0Δ＝0Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根有两相异实根x1，x2(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集{x|x＞x2或x＜x1}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x≠－b2aRax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}∅∅3.(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解集不等式解集a<b a＝b a>b(x－a)·(x－b)>0{x|x<a或x>b} {x|x≠a}{x|x<b或x>a} (x－a)·(x－b)<0{x|a<x<b}∅{x|b<x<a} 4.分式不等式与整式不等式(1)f (x )g (x )>0(<0)⇔f (x )·g (x )>0(<0).(2)f (x )g (x )≥0(≤0)⇔f (x )·g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0. [微点提醒]1.绝对值不等式|x |>a (a >0)的解集为(－∞，－a )∪(a ，＋∞)；|x |<a (a >0)的解集为(－a ，a ).记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间.2.解不等式ax 2＋bx ＋c >0(<0)时不要忘记当a ＝0时的情形.3.不等式ax 2＋bx ＋c >0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定. (1)不等式ax 2＋bx ＋c >0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎨⎧a ＝b ＝0，c >0或⎩⎨⎧a >0，Δ<0.(2)不等式ax 2＋bx ＋c <0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎨⎧a ＝b ＝0，c <0或⎩⎨⎧a <0，Δ<0.基 础 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根是x 1和x 2.( )(2)若不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为(x 1，x 2)，则必有a ＞0.( ) (3)不等式x 2≤a 的解集为[－a ，a ].( )(4)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＜0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a <0)的解集为R .( )解析 (3)错误.对于不等式x 2≤a ，当a >0时，其解集为[－a ，a ]；当a ＝0时，其解集为{0}，当a <0时，其解集为∅.(4)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a <0)没有实根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0(a <0)的解集为∅. 答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)×2.(必修5P103A2改编)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12x －1≤0，B ＝{x |x 2－x －6<0}，则A ∩B＝( ) A.(－2，3) B.(－2，2) C.(－2，2]D.[－2，2]解析 因为A ＝{x |x ≤2}，B ＝{x |－2<x <3}， 所以A ∩B ＝{x |－2<x ≤2}＝(－2，2]. 答案 C3.(必修5P80A2改编)y ＝log 2(3x 2－2x －2)的定义域是________. 解析 由题意，得3x 2－2x －2>0，令3x 2－2x －2＝0，得x 1＝1－73，x 2＝1＋73，∴3x 2－2x －2>0的解集为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋73，＋∞. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋73，＋∞4.(2018·烟台月考)不等式1－x2＋x≥0的解集为( ) A.[－2，1]B.(－2，1]C.(－∞，－2)∪(1，＋∞)D.(－∞，－2]∪(1，＋∞)解析 原不等式化为⎩⎪⎨⎪⎧（1－x ）（2＋x ）≥0，2＋x ≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）（x ＋2）≤0，x ＋2≠0，解得－2<x ≤1. 答案 B5.(2019·北京海淀区调研)设一元二次不等式ax 2＋bx ＋1>0的解集为{x |－1<x <2}，则ab 的值为( )。

人教版高一数学必修一第2单元一元二次函数、方程与不等式（讲解和习题）基础知识讲解一．不等式定理【基础知识】①对任意的a，b，有a＞b①a﹣b＞0；a＝b①a﹣b＝0；a＜b①a﹣b＜0，这三条性质是做差比较法的依据．①如果a＞b，那么b＜a；如果a＜b，那么b＞a．①如果a＞b，且b＞c，那么a＞c；如果a＞b，那么a+c＞b+c．推论：如果a＞b，且c＞d，那么a+c＞b+d．①如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc；如果c＜0，那么ac＜bc．二．不等式大小比较【技巧方法】不等式大小比较的常用方法（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法；（8）图象法．其中比较法（作差、作商）是最基本的方法．三．基本不等式【基础知识】基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：≥（a≥0，b≥0），变形为ab≤（）2或者a+b≥2．常常用于求最值和值域．四、基本不等式的应用【基础知识】1、求最值2、利用基本不等式证明不等式3、基本不等式与恒成立问题4、均值定理在比较大小中的应用【技巧方法】技巧一：凑项需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值．技巧二：凑系数遇到无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值．技巧三：分离技巧四：换元一般，令t＝x+1，化简原式在分离求最值．技巧五：结合函数f （x ）＝x +的单调性．技巧六：整体代换多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错． 技巧七：取平方两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造条件．总结我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式． 五．二次函数的性质 【基础知识】二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因变量随着自变量的变化而变化．它的一般表达式为：y ＝ax 2+bx +c （a ≠0） 【技巧方法】①开口、对称轴、最值与x 轴交点个数，当a ＞0（＜0）时，图象开口向上（向下）；对称轴x ＝a b 2-；最值为：f （ab2-）；判别式①＝b 2﹣4ac ，当①＝0时，函数与x 轴只有一个交点；①＞0时，与x 轴有两个交点；当①＜0时无交点．①根与系数的关系．若①≥0，且x 1、x 2为方程y ＝ax 2+bx +c 的两根，则有x 1+x 2＝ab-， x 1•x 2＝ac ； ①二次函数其实也就是抛物线，所以x 2＝2py 的焦点为（0，2p ），准线方程为y ＝2p -，含义为抛物线上的点到到焦点的距离等于到准线的距离．①平移：当y＝a（x+b）2+c向右平移一个单位时，函数变成y＝a（x﹣1+b）2+c；六．一元二次不等式【基础知识】含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是ax2+bx+c＞0 或ax2+bx+c＜0（a不等于0）其中ax2+bx+c是实数域内的二次三项式．【技巧方法】（1）当①＝b2﹣4ac＞0时，一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）（x﹣x2）（2）当①＝b2﹣4ac＝0时，一元二次方程ax2+bx+c＝0仅有一个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）2．（3）当①＝b2﹣4ac＜0时．一元二次方程ax2+bx+c＝0没有实根，那么ax2+bx+c与x轴没有交点．二.不等式的解法（1）整式不等式的解法（根轴法）．步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解．特例：①一元一次不等式ax＞b解的讨论；①一元二次不等式ax2+bx+c＞0（a≠0）解的讨论．（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，．（3）无理不等式：转化为有理不等式求解．（4）指数不等式：转化为代数不等式（5）对数不等式：转化为代数不等式 （6）含绝对值不等式①应用分类讨论思想去绝对值； ①应用数形思想； ①应用化归思想等价转化． 七．一元二次方程根与系数的关系 【基础知识】一元二次方程根与系数的关系其实可以用一个式子来表达，即当ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）有解时，不妨设它的解为x 1，x 2，那么这个方程可以写成ax 2﹣a （x 1+x 2）x +ax 1•x 2＝0．即x 2﹣（x 1+x 2）x +x 1•x 2＝0．它表示根与系数有如下关系：x 1+x 2＝﹣a b ，x 1•x 2＝ac ．习题演练一．选择题（共12小题）1．若a ，b ，c 是是实数，则下列选项正确的是（ ） A ．若22ac bc >，则a b >B ．若a bc c>，则a b > C ．若22a b >，则a b > D ．若a b >，则a b >2．下列不等式中，正确的是 A ．若,a b c d >>，则a c b d +>+B ．若a b >，则a c b c +<+C ．若,a b c d >>，则ac bd >D ．若,a b c d >>，则a b c d> 3．如果实数,a b 满足：0a b <<，则下列不等式中不成立的是 （ ）A ．0a b +>B ．11a b> C ．330a b -<D ．11a b a>- 4．下列结论正确的是（ ） A ．若a b >，则11b a> B ．若22a b <，则a b <C ．若a b >，c d >则a d b c ->-D ．若a b >，则22ac bc >5．函数()2222y x x x =+>-的最小值是（ ） A ．4B ．6C ．8D ．106．函数()2222y x x x =+>-的最小值是（ ） A ．4B ．6C ．8D ．107．已知0x >，0y >，93x y +=，则11x y+的最小值为（ ） A ．16 B ．4C ．163D ．2038．不等式01xx <-的解集是（ ） A ．(),0-∞B ．()0,1C ．()(),01,-∞⋃+∞D ．()1,+∞9．已知不等式240x ax ++<的解集为空集，则实数a 的取值范围是（） A ．[4,4]-B ．(4,4)-C ．(,4][4,)-∞-+∞D ．(,4)(4,)-∞-⋃+∞10．若不等式222424ax ax x x +-<+ 对任意实数x 均成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()2,2- B ．()(),22,-∞-⋃+∞C ．(]2,2-D ．(],2-∞11．已知集合{}3M x x =≥，{}23100N x x x =--≤，则M N ⋃=（ ）A ．{}35M x x =≤≤ B ．{}3M x x =≥C ．{}2x x ≥-D ．{}5x x ≤12．已知集合{}{}2|230,|10A x Z x x B x x =∈--≤=->，则集合AB =（ ）A ．{2,3}B ．{1,1}-C ．{1,2,3}D ．∅二．填空题（共6小题）13．不等式2320x x -++>的解集为____________．14．已知0x >，0y >，且182x y+=，则2x y +的最小值为_____. 15．已知21,32a b -<<--<<-，则-a b 的取值范围是________．16．已知正数a ，b 满足2a b +=，则2238a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为__________． 17．已知0a >，0b >，且24ab a b =++，则ab 的最小值为______.18．关于x 的不等式20x bx c ++>的解集是()1,2,2⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭，则b c +=______． 三．解析题（共6小题）19．已知不等式2520ax x +->的解集是M ． （1）若2M ∈，求a 的取值范围；（2）若1|22M x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，求不等式22510ax x a -+->的解集． 20．已知函数2()()=-++f x x a b x a ．（1）若关于x 的不等式()0f x <的解集为{12}xx <<∣，求,a b 的值； （2）当1b =时，解关于x 的不等式()0f x >．21．已知关于x 的不等式：2230kx kx +-<（1）若不等式的解集为3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭，求k 的值；（2）若不等式的解集为R ，求k 的取值范围． 22．设函数()()()2230f x ax b x a =+-+≠．（1）若不等式()0f x >的解集为()1,3-，求,a b 的值;（2）若()12f =，0a >，0b >，求14a b+的最小值． 23．已知()()233f x x a x a =-++．（1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集； （2）解关于x 的不等式()0f x ≥．24．已知函数()()f x x x m =-，其中0m >．（1）若12m =，求不等式()0f x <的解集； （2）求2(2)f m-+的最小值．人教版高一数学必修一第2单元 一元二次函数、方程与不等式（讲解和习题）习题演练三．选择题（共12小题）1．若a ，b ，c 是是实数，则下列选项正确的是（ ） A ．若22ac bc >，则a b >B ．若a bc c>，则a b > C ．若22a b >，则a b > D ．若a b >，则a b >【答案】A 【解析】对于A ，若22ac bc >，则20c >，a b >，故A 正确；对于B ，若a bc c>，0c <，则a b <，故B 错误； 对于C ，若1a =-，0b =，则满足22a b >，但此时a b <，故C 错误； 对于D ，若1a =-，0b =，则满足a b >，但此时a b <，故D 错误. 故选：A.2．下列不等式中，正确的是 A ．若,a b c d >>，则a c b d +>+B ．若a b >，则a c b c +<+C ．若,a b c d >>，则ac bd >D ．若,a b c d >>，则a b c d> 【答案】A 【解析】若a b >，则a c b c +>+,故B 错， 设a 3,b 1,c 1,d 2===-=-,则ac bd <，a bc d<所以C 、D 错，故选A 3．如果实数,a b 满足：0a b <<，则下列不等式中不成立的是 （ ）A ．0a b +>B ．11a b> C ．330a b -<D ．11a b a>- 【答案】D 【解析】0a b <<，则0a b ->->，0a b a b +=-+>，A 正确；由0a b <<两边同除以ab 得11a b>，B 正确；由a b <得33a b <，C 正确；0a b <<，则0a a b <-<，11a a b>-，D 错误． 故选：D ．4．下列结论正确的是（ ） A ．若a b >，则11b a> B ．若22a b <，则a b <C ．若a b >，c d >则a d b c ->-D ．若a b >，则22ac bc >【答案】C 【解析】当1,2a b ==-时，满足a b >，但11b a>不成立，所以A 错； 当1,2a b ==-时，满足22a b <，但a b <不成立，所以B 错；当1,2,0a b c ==-=时，满足a b >，但22ac bc >不成立，所以D 错；因为c d >所以d c ->-，又a b >，因此同向不等式相加得a d b c ->-，即C 对； 故选：C 5．函数()2222y x x x =+>-的最小值是（ ） A ．4 B ．6C ．8D ．10【答案】C 【解析】 因为22(2)2y x x x =+>-，所以()2222244822y x x x x =+=-++≥=--， 取等号时()2222x x -=-，即3x =， 所以min 8y =. 故选：C. 6．函数()2222y x x x =+>-的最小值是（ ） A ．4 B ．6C ．8D ．10【答案】C 【解析】 解：因为()2222y x x x =+>-，所以()2222244822y x x x x =+=-++≥=--， 取等号时()2222x x -=-，即3x =， 所以min 8y =. 故选：C7．已知0x >，0y >，93x y +=，则11x y+的最小值为（ ）A ．16B ．4C ．163D ．203【答案】C 【解析】因为0x >，0y >，93x y +=，则()()11111191169101063333y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++⨯=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当9y x x y =且93x y +=即14y =，34x =时取等号． 故选：C ． 8．不等式01xx <-的解集是（ ） A ．(),0-∞ B ．()0,1C ．()(),01,-∞⋃+∞D ．()1,+∞【答案】B 【解析】解：不等式01xx <-，即(1)0x x -<， 求得01x <<，所以原不等式的解集为()0,1故选：B ．9．已知不等式240x ax ++<的解集为空集，则实数a 的取值范围是（） A ．[4,4]-B ．(4,4)-C ．(,4][4,)-∞-+∞D ．(,4)(4,)-∞-⋃+∞【答案】A 【解析】欲使不等式240x ax ++<的解集为空集，即函数24y x ax =++的图像与x 轴无交点或只有一个交点，则2160a ∆=-， 解得44a -， 故选A 项.10．若不等式222424ax ax x x +-<+ 对任意实数x 均成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()2,2- B ．()(),22,-∞-⋃+∞C ．(]2,2-D ．(],2-∞【答案】C 【解析】由题意，不等式222424ax ax x x +-<+，可化为2(2)2(2)40a x a x -+--<， 当20a -=，即2a =时，不等式恒成立，符合题意；当20a -≠时，要使不等式恒成立，需()2204244(2)0a a a -<⎧⎪⎨∆=-+⨯-<⎪⎩ ， 解得22a -<<，综上所述，所以a 的取值范围为(]2,2-， 故选：C .11．已知集合{}3M x x =≥，{}23100N x x x =--≤，则M N ⋃=（ ）A ．{}35M x x =≤≤ B ．{}3M x x =≥C ．{}2x x ≥-D ．{}5x x ≤【答案】C 【解析】集合{}3M x x =≥，{}()(){}{}2310052025N x x x x x x x x =--≤=-+≤=-≤≤则M N ⋃={}2x x ≥- 故选：C12．已知集合{}{}2|230,|10A x Z x x B x x =∈--≤=->，则集合AB =（ ）A ．{2,3}B ．{1,1}-C ．{1,2,3}D ．∅【答案】A 【解析】由()()223310x x x x --=-+≤，解得13x -≤≤，所以{}1,0,1,2,3A =-.{}|1B x x =>.，所以{2,3}A B =.故选：A四．填空题（共6小题）13．不等式2320x x -++>的解集为____________．【答案】2,13⎛⎫-⎪⎝⎭【解析】由2320x x -++>得()()2321320x x x x --=-+<，所以不等式2320x x -++>的解集为2,13⎛⎫-⎪⎝⎭． 故答案为：2,13⎛⎫-⎪⎝⎭. 14．已知0x >，0y >，且182x y+=，则2x y +的最小值为_____. 【答案】9 【解析】1816162(2)(2)2810218x y x y x y x y y x ⎛⎫+=++=++++= ⎪⎝⎭，29x y ∴+≥，等号成立时32x =，6y =. 故答案为：9.15．已知21,32a b -<<--<<-，则-a b 的取值范围是________．【答案】(0,2)【解析】因为32b -<<-，则23b <-<，又由21a -<<-，根据不等式的基本性质，可得02a b <-<， 所以-a b 的取值范围是(0,2).16．已知正数a ，b 满足2a b +=，则2238a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为__________． 【答案】49 【解析】因为正数a ，b 满足2a b +=，所以229438493749b a b a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++=++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 当且仅当64,55a b ==时，等号成立． 故答案为：4917．已知0a >，0b >，且24ab a b =++，则ab 的最小值为______. 【答案】4 【解析】0a >，0b >，，可得24ab ≥，当且仅当a b =时取等号．)120∴≥，∴2≥1≤-（舍去），4ab ∴≥．故ab 的最小值为4. 故答案为：4．18．关于x 的不等式20x bx c ++>的解集是()1,2,2⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭，则b c +=______． 【答案】72【解析】因为关于x 的不等式20x bx c ++>的解集是()1,2,2⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭， 所以关于x 的方程20x bx c ++=的解是12,2x x =-=-， 由根与系数的关系得122122b c ⎧--=-⎪⎪⎨⎛⎫⎪-⨯-= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得521b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以72b c +=. 三．解析题（共6小题）19．已知不等式2520ax x +->的解集是M ． （1）若2M ∈，求a 的取值范围；（2）若1|22M x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，求不等式22510ax x a -+->的解集．【答案】（1）2a >-；（2）1|32x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭． 【解析】试题分析：（1）由2是解集中的元素可知其满足不等式，代入可得a 的取值范围；（2）结合三个二次关系可得到a 值，代入不等式22510ax x a -+->可求解其解集试题解析：（1）①2M ∈，①225220a ⨯+⨯->，①2a >-（2）①1|22M x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，①1,22是方程2520ax x +-=的两个根， ①由韦达定理得1522{1222aa+=-⋅=-解得2a =-①不等式22510ax x a -+->即为：22530x x --+>其解集为1|32x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭． 20．已知函数2()()=-++f x x a b x a ．（1）若关于x 的不等式()0f x <的解集为{12}xx <<∣，求,a b 的值； （2）当1b =时，解关于x 的不等式()0f x >．【答案】（1）21a b =⎧⎨=⎩；（2）当1a <时，不等式的解集为(,)(1,)a -∞+∞；当1a ≥时，不等式的解集为(,1)(,)a -∞+∞．【解析】（1）由条件知，关于x 的方程2()0-++=x a b x a 的两个根为1和2，所以1212a b a +=+⎧⎨=⨯⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩．（2）当1b =时，2()(1)0=-++>f x x a x a ，即()(1)0x a x -->，当1a <时，解得x a <或1x >；当1a =时，解得1x ≠；当1a >时，解得1x <或x a >．综上可知，当1a <时，不等式的解集为(,)(1,)a -∞+∞；当1a ≥时，不等式的解集为(,1)(,)a -∞+∞．21．已知关于x 的不等式：2230kx kx +-<（1）若不等式的解集为3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭，求k 的值；（2）若不等式的解集为R ，求k 的取值范围． 【答案】（1）1k =；（2）(]24,0-. 【解析】（1）因为关于x 的不等式：2230kx kx +-<的解集为3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以32-和1是方程2230kx kx +-=的两个实数根， 由韦达定理可得:33122k--⨯=，得1k =． （2）因为关于x 的不等式2230kx kx +-<的解集为R ． 当0k =时，-3<0恒成立.当0k ≠时，由220,240k k k <⎧⎨∆=+<⎩，解得：240k -<< 故k 的取值范围为(]24,0-．22．设函数()()()2230f x ax b x a =+-+≠．（1）若不等式()0f x >的解集为()1,3-，求,a b 的值; （2）若()12f =，0a >，0b >，求14a b+的最小值． 【答案】（1）14a b =-=，（2）9．【解析】（1）因为不等式()0f x >的解集为()1,3-，所以1x =-和3x =是方程()0f x =的两实根， 从而有()()()()1230393230f a b f a b ⎧-=--+=⎪⎨=+-+=⎪⎩，即50310a b a b -+=⎧⎨+-=⎩， 解得14a b =-⎧⎨=⎩． （2）由()12f =，得1a b +=．因为0a >，0b >，所以()14144559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当4b a a b =，即223b a ==时等号成立． 所以14a b+的最小值为9． 23．已知()()233f x x a x a =-++．（1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集；（2）解关于x 的不等式()0f x ≥．【答案】（1）()1,3；（2）答案见解析.【解析】（1）1a =时，不等式()0f x <化为()()130x x --<， 解得13x <<，∴不等式的解集为()1,3（2）关于x 的不等式()0f x >，即()()30x a x --≥； 当3a =时，不等式化为()230x -≥，解得R ；当3a >时，解不等式()()30x a x --≥，得3x ≤或x a ≥； 当3a <时，解不等式()()30x a x --≥，得x a ≤或3x ≥； 综上所述，当3a =时，不等式解集为R ；当3a >时，不等式的解集为(][),3,a -∞⋃+∞； 当3a <时，不等式的解集为(][),3,a -∞⋃+∞． 24．已知函数()()f x x x m =-，其中0m >．（1）若12m =，求不等式()0f x <的解集； （2）求2(2)f m-+的最小值． 【答案】（1）1|02x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；（2）最小值为8. 【解析】（1）当12m =时， ()1()02f x x x =-<，解得102x <<， 不等式()0f x <的解集为1|02x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭（2）()()2222424822f m m m m m +=-⨯--+=++≥+=- (0)m > 当且仅当22m m =，即1m =时取等号. 故()22+f m -的最小值为8.。

高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式知识点总结归纳完整版单选题1、已知x,y,z都是正实数，若xyz=1，则(x+y)(y+z)(z+x)的最小值为（）A．2B．4C．6D．8答案：D分析：均值定理连续使用中要注意等号是否同时成立.由x>0,y>0,z>0可知x+y≥2√xy>0（当且仅当x=y时等号成立）y+z≥2√yz>0（当且仅当y=z时等号成立）x+z≥2√xz>0（当且仅当x=z时等号成立）以上三个不等式两边同时相乘，可得(x+y)(y+z)(z+x)≥8√x2y2z2=8（当且仅当x=y=z=1时等号成立）故选：D2、已知2<a<3，−2<b<−1，则2a−b的范围是（）A．(6,7)B．(5,8)C．(2,5)D．(6,8)答案：B分析：由不等式的性质求解即可.2<a<3,−2<b<−1，故4<2a<6，1<−b<2，得5<2a−b<8故选：B3、下列命题中，是真命题的是（）A．如果a>b，那么ac>bc B．如果a>b，那么ac2>bc2C．如果a>b，那么ac >bcD．如果a>b，c<d，那么a−c>b−d答案：D分析：根据不等式的性质和特殊值法，逐项验证可得出答案.对于A ，如果c =0，那么ac =bc ，故错误； 对于B ，如果c =0，那么ac 2=bc 2，故错误； 对于C ，如果c <0，那么ac <bc ，故错误；对于D ，如果c <d ，那么−c >−d ，由a >b ，则a −c >b −d ，故正确. 故选：D.4、y =x +4x (x ≥1)的最小值为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5 答案：C分析：利用均值不等式求解即可.因为y =x +4x(x ≥1)，所以x +4x≥2√x ×4x=4，当且仅当x =4x即x =2时等号成立.所以当x =2时，函数y =x +4x 有最小值4. 故选：C.5、已知使不等式x 2+(a +1)x +a ≤0成立的任意一个x ，都满足不等式3x −1≤0，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(−∞,−13)B ．(−∞,−13] C ．[−13,+∞)D ．(−13,+∞) 答案：C分析：使不等式x 2+(a +1)x +a ≤0成立的任意一个x ，都满足不等式3x −1≤0，则不等式x 2+(a +1)x +a ≤0的解集是(−∞,13]的子集，求出两个不等式的解集，利用集合的包含关系列不等式求解.解：由3x −1≤0得x ≤13，因为使不等式x 2+(a +1)x +a ≤0成立的任意一个x ，都满足不等式3x −1≤0 则不等式x 2+(a +1)x +a ≤0的解集是(−∞,13]的子集， 又由x 2+(a +1)x +a ≤0得(x +a )(x +1)≤0， 当a =1，x ∈{−1}⊆(−∞,13]，符合；当a <1，x ∈[−1,−a ]⊆(−∞,13]，则−a ≤13，∴1>a ≥−13， 当a >1，x ∈[−a,−1]⊆(−∞,13]，符合， 故实数a 的取值范围为[−13,+∞). 故选：C.6、已知x ∈R ，则“(x −2)(x −3)≤0成立”是“|x −2|+|x −3|=1成立”的（ ）条件． A ．充分不必要B ．必要不充分 C ．充分必要D ．既不充分也不必要 答案：C分析：先证充分性，由（x −2）(x −3）≤0 求出x 的取值范围，再根据x 的取值范围化简|x −2|+|x −3|即可，再证必要性，若|x −2|+|x −3|=1，即|x −2|+|x −3|=|（x −2）−（x −3）|，再根据绝对值的性质可知（x −2）(x −3）≤0．充分性：若（x −2）(x −3）≤0，则2≤x ≤3， ∴|x −2|+|x −3|=x −2+3−x =1，必要性：若|x −2|+|x −3|=1，又∵|（x −2）−（x −3）|=1， ∴|x −2|+|x −3|=|（x −2）−（x −3）|， 由绝对值的性质：若ab ≤0，则|a |+|b |=|a −b|， ∴（x −2）(x −3）≤0，所以“（x −2）(x −3）≤0成立”是“|x −2|+|x −3|=1成立”的充要条件， 故选：C ．7、若非零实数a ，b 满足a <b ，则下列不等式成立的是（ ） A ．ab <1B ．ba +ab >2C ．1ab 2<1a 2b D ．a 2+a <b 2+b 答案：C分析：举出符合条件的特例即可判断选项A ，B ，D ，对于C ，作出不等式两边的差即可判断作答.取a=−2,b=−1，满足a<b，而ab=2>1，A不成立；取a=−2,b=1，满足a<b，而ba +ab=−12+(−2)=−52<2，B不成立；因1ab2−1a2b=a−ba2b2<0，即有1ab2<1a2b，C成立；取a=−2,b=−1，满足a<b，而a2+a=2,b2+b=0，即a2+a>b2+b，D不成立．故选：C8、若a，b，c为实数，且a<b，c>0，则下列不等关系一定成立的是（）A．a+c<b+c B．1a <1bC．ac>bc D．b−a>c答案：A分析：由不等式的基本性质和特值法即可求解.对于A选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号方向不变，则a<b⇒a+c<b+c，A选项正确；对于B选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变，若a=−2，b=−1，则1a >1b，B选项错误；对于C选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变，c>0，0<a<b⇒ac<bc，C选项错误；对于D选项，因为a<b⇒b−a>0，c>0，所以无法判断b−a与c大小，D选项错误.多选题9、若−1<a<b<0，则（）A．a2+b2>2ab B．1a <1bC．a+b>2√ab D．a+1a>b+1b答案：AD分析：应用作差法判断B、D，根据重要不等式判断A，由不等式性质判断C.A：由重要不等式知：a2+b2≥2ab，而−1<a<b<0，故a2+b2>2ab，正确；B：由−1<a<b<0，则1a −1b=b−aab>0，故1a>1b，错误；C：由−1<a<b<0，则a+b<0<2√ab，错误；D ：(a +1a )−(b +1b )=a −b +1a −1b =a −b +b−a ab=(a −b)(ab−1ab)>0，故a +1a >b +1b ，正确.故选：AD10、设a >0，b >0，给出下列不等式恒成立的是（ ） A ．a 2+1>a B ．a 2+9>6aC ．(a +b )(1a +1b )≥4D ．(a +1a )(b +1b )≥4 答案：ACD分析：选项A ，B 可用作差法比较大小；选项C ，D 可用基本不等式求范围. 由(a 2+1)−a =(a −12)2+34>0可得a 2+1>a ，故A 正确；由(a 2+9)−6a =(a −3)2≥0可得a 2+9≥6a ，故B 错误；由(a +b )(1a +1b )=2+ab +ba ≥2+2√ab ⋅ba =4，当且仅当a =b 时取等号，故C 正确； 由(a +1a )(b +1b )=(ab +1ab )+(ab +ba )≥2√ab ⋅1ab +2√ab ⋅ba =4， 当且仅当{ab =1ab a b =b a ，即a =b =1时取等号，故D 正确. 故选：ACD.11、十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若a 、b 、c ∈R ，则下列命题正确的是（ ）A ．若a >b >0，则ac 2>bc 2B ．若a <b <0，则a +1b <b +1a C ．若a <b <c <0，则ba <b+ca+c D ．若a >0，b >0，则b 2a +a 2b≥a +b答案：BCD解析：取c =0可判断A 选项的正误；利用作差法可判断BCD 选项的正误. 对于A 选项，当c =0时，则ac 2=bc 2，A 选项错误；对于B 选项， (a +1b )−(b +1a )=(a −b )+(1b −1a )=(a −b )+a−b ab=(a −b )(1+1ab )，∵a <b <0，a −b <0，ab >0，∴1+1ab >0，则(a +1b )−(b +1a )<0，B 选项正确； 对于C 选项，ba −b+ca+c =b (a+c )−a (b+c )a (a+c )=c (b−a )a (a+c )，∵a <b <c <0，则b −a >0，a +c <0，则ba −b+ca+c <0，C 选项正确； 对于D 选项，(b 2a +a 2b)−(a +b )=b 2−a 2a+a 2−b 2b=(b 2−a 2)(1a −1b )=(b 2−a 2)(b−a )ab=(b+a )(b−a )2ab，∵a >0，b >0，则(b 2a +a 2b)−(a +b )=(b+a )(b−a )2ab≥0，D 选项正确.故选：BCD.小提示：判断不等式是否成立，主要利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简便． 填空题 12、不等式x 2+2x−3x+1≥0的解集为__________．答案：[−3,−1)∪[1,+∞) 分析：将x 2+2x−3x+1≥0等价转化为{x 2+2x −3≥0x +1>0 或{x 2+2x −3≤0x +1<0，解不等式组可得答案.原不等式等价于{x 2+2x −3≥0x +1>0 或{x 2+2x −3≤0x +1<0，解得x ≥1 或−3≤x <−1 ， 所以答案是：[−3,−1)∪[1,+∞)13、x −y ≤0，x +y −1≥0，则z =x +2y 的最小值是___________. 答案：32##1.5分析：分析可得x +2y =32(x +y )−12(x −y )，利用不等式的基本性质可求得z =x +2y 的最小值. 设x +2y =m (x +y )+n (x −y )=(m +n )x +(m −n )y ，则{m +n =1m −n =2 ，解得{m =32n =−12， 所以，z =x +2y =32(x +y )−12(x −y )≥32， 因此，z =x +2y 的最小值是32.所以答案是：32.14、已知集合A={x|−5<−2x+3<7},B={x|x2−(3a−1)x+2a2−a<0} ,若B⊆A，则实数a的取值范围为______．答案：[−12,5 2 ]分析：分类讨论解不等式，再利用集合的包含关系列式求解作答.依题意，B={x|(x−a)(x−2a+1)<0}，当a<2a−1，即a>1时，B=(a,2a−1)，当a=2a−1，即a=1时，B=∅，当a>2a−1，即a<1时，B=(2a−1,a)，又A=(−2,4)，B⊆A，于是得{a>12a−1≤4，解得1<a≤52，或{a<12a−1≥−2，解得−12≤a<1，而∅⊆A，则a=1，综上得：−12≤a≤52，所以实数a的取值范围为[−12,52 ]．所以答案是：[−12,5 2 ]解答题15、实数a、b满足-3≤a+b≤2，-1≤a-b≤4.(1)求实数a、b的取值范围；(2)求3a-2b的取值范围．答案：(1)a∈[-2,3]，b∈[-72,3 2 ](2)[-4,11]分析：（1）由a=12[(a+b)+(a-b)]，b=12[(a+b)-(a-b)]根据不等式的性质计算可得；（2）求出3a-2b=12(a+b)+52(a-b)，再利用不等式的性质得解.（1）解：由-3≤a+b≤2，-1≤a-b≤4，则a=12[(a+b)+(a-b)]，所以-4≤(a+b)+(a-b)≤6，所以-2≤12[(a+b)+(a-b)]≤3，即-2≤a≤3，即实数a的取值范围为[-2,3]．因为b=12[(a+b)-(a-b)]，由-1≤a-b≤4，所以-4≤b -a ≤1，所以-7≤(a +b )-(a -b)≤3， 所以-72≤12[(a +b )-(a -b)]≤32，∴-72≤b ≤32，即实数b 的取值范围为[-72,32]．（2）解：设3a -2b =m (a +b )+n(a -b)=(m +n )a +(m -n)b ， 则{m +n =3m -n =-2 ，解得{m =12n =52 ，∴3a -2b =12(a +b )+52(a -b )， ∵-3≤a +b ≤2，-1≤a -b ≤4． ∴-32≤12(a +b )≤1，-52≤52(a -b )≤10， ∴-4≤3a -2b ≤11，即3a -2b 的取值范围为[-4,11]．。

2.3二次函数与一元二次方程、不等式（精讲）一.一元二次不等式的概念一元二次不等式定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式一般形式ax 2＋bx ＋c >0或ax 2＋bx ＋c <0，其中a ，b ，c 均为常数，a ≠0解集ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)解集是使y ＝ax 2＋bx ＋c 的函数值为正数的自变量x 的取值集合ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)解集是使y ＝ax 2＋bx ＋c 的函数值为负数的自变量x 的取值集合ax 2＋bx ＋c ≥0(a ≠0)解集是使y ＝ax 2＋bx ＋c 的函数值大于或等于0的自变量x 的取值集合ax 2＋bx ＋c ≤0(a ≠0)解集是使y ＝ax 2＋bx ＋c 的函数值小于或等于0的自变量x 的取值集合注意事项：（1）一元二次不等式中的“一元”是指不等式中所要求解的未知数，并且这个未知数是唯一的，但这并不意味着不等式中不能含有其他字母，若含有其他字母，则把其他字母看成常数.(2)一元二次不等式中的“二次”是指所要求解的未知数的最高次数必须是2，且最高次项的系数不为0.二.“三个二次”的关系一元二次不等式，a 为正值来定形；对应方程根求好，心中想想抛物线；大于异根取两边，小于异根夹中间；大于等根根去掉，小于等根空集成；大于无根取全体，小于无根不可能！注意事项：“大于”“小于”指的是当二次项系数转化为正数后的不等号．因此，为了避免出现错误，在求解一元二次不等式时，通常是将二次项系数变为正数(即将不等式两边同时乘以－1，不等号也随之改变方向)．四.一元二次不等式恒成立问题1.当未说明不等式为一元二次不等式时，有①不等式ax 2＋bx ＋c >0对任意实数x 恒成立＝b ＝0，>0>0，<0；②不等式ax 2＋bx ＋c <0对任意实数x 恒成立＝b ＝0，<0<0，<0.2.一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0在x ∈{x |m ≤x ≤n }时恒成立，等价于当m ≤x ≤n 时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象恒在x >0，<0.3.分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题.一．解不含参数的一元二次不等式的方法1.若不等式对应的一元二次方程能够分解因式，即能够转化为两个一次因式的乘积形式，则可以直接由因式分解法或不等式的性质得到不等式的解集.2.若不等式对应的一元二次方程不能分解因式，则可对式子进行配方，化为完全平方式，再开根号求解.二．解含参数的一元二次不等式的方法1.讨论二次项系数：二次项系数若含有参数，应讨论是小于0，还是大于0，若小于0，则将不等式转化为二次项系数为正的形式；2.判断方程的个数：判断方程根的个数，讨论判别式Δ与0的关系；3.写出解集：确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式注意事项：对应方程的根优先考虑用因式分解确定，分解不开时再求判别式Δ，用求根公式计算．考点一解不含参数的一元二次不等式【例1】（2023·湖南）解下列不等式：(1)2362x x -+≤(2)29610x x -+>(3)2610x x <-(4)21212x x -<+-≤【答案】(1)⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎦⎣⎭(2)11,,33⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(3)∅(4)[3,2)(0,1]-- 【解析】（1）2362x x -+≤，即2223620203x x x x -+≥⇔-+≥，配方可得21(1)3x -≥，解得33,,33x ⎛⎡⎫∈-∞+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭（2）29610x x -+>，即2(31)0x ->，解得11,,33x ⎛⎫⎛⎫∈-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）2610x x <-，即26100x x -+<，而220610(3)11x x x >-+=-+≥，从而不等式无解，即解集为∅；（4）22121220x x x x -<+-≤⇔+>且2230x x +-≤同时成立.由220x x +>解得()(),20,x ∈-∞-⋃+∞，由2230x x +-≤，即(1)(3)0x x -+≤，解得[3,1]x ∈-.于是[3,2)(0,1]x ∈--【一隅三反】（2023·内蒙古赤峰）解下列不等式：(1)22530x x +-<；(2)2362x x -+≤；(3)5132x x +≤-；(4)()()()12253x x x x --<-+(5)2230x x +->(6)24410x x -+-≥(7)2440x x -+>；(8)23520x x +-->；(9)22730x x ++>；(10)221x x <-.【答案】(1)13,2⎛⎫- ⎪⎝⎭(2),11⎛⎡⎫-∞+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭(3)[)13,3-(4)()(),11,-∞+∞ (5)()3,1,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭(6)12⎧⎫⎨⎬⎩⎭(7)()(),22,-∞+∞ (8)2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭(9)()1,3,2⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭(10)∅【解析】（1）22530x x +-< ，()()2130x x ∴-+<，132x ∴-<<，即不等式的解集为13,2⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）2362x x -+≤ ，23620x x -∴+≥，解得13x ≤-或13x ≥+；即不等式的解集为33,1133⎛⎡⎫-∞++∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭；（3）5132x x +≤- ，()153230x x x ⎧+≤-⎪∴⎨⎪->⎩或()153230x x x ⎧+≥-⎪⎨⎪-<⎩解得133x -≤<，即不等式的解集为[)13,3-；（4）()()()12253x x x x --<-+ ，整理得2210x x -+>，解得1x ≠，即不等式的解集为()(),11,-∞+∞ .（5）由2230x x +->可得()()2310x x +->，所以1x >或32x <-，即解集为()3,1,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭；（6）由24410x x -+-≥可得()2210x -≤，所以12x =，即解集为12⎧⎫⎨⎬⎩⎭；（7）2440x x -+>可化为()220x ->，解得2x ≠，所以不等式的解集为()(),22,-∞+∞ .（8）23520x x +-->可化为23520x x +<-，即()()3210x x --<，解得213x <<，所以不等式的解集为2,13⎛⎫⎪⎝⎭.（9）22730x x ++>可化为()()2130x x ++>，解得3x <-或12x >-，所以不等式的解集为()1,3,2⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭.（10）221x x <-可化为2210x x -+<，因为不等式对应的方程的判别式()214270∆=--⨯=-<，所以不等式的解集为∅．考点二解含参数的一元二次不等式【例2-1】（2023·河北）解下列关于x 的不等式()()20x x a --≤【答案】答案见解析【解析】由()()20x x a --=，可得2x =或x a =，则：当2a <时，原不等式解集为{|2}x a x ≤≤；当2a =时，原不等式解集为{2}；当2a >时，原不等式解集为{|2}x x a ≤≤；【例2-2】（2023·安徽）解关于x 的不等式2(1)10(R)ax a x a -++<∈.【答案】答案见解析【解析】原不等式变为(1)(1)0ax x --<，①当0a >时，原不等式可化为1(1)0x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，所以当1a >时，解得11x a <<；当1a =时，解集为∅；当01a <<时，解得11x a<<②当0a =时，原不等式等价于10x -+<，即1x >.③当0a <时，11a <，原不等式可化为1(1)0x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，解得1x >或1x a <.综上，当01a <<时，不等式的解集为11x x a ⎧⎫<<⎨⎩⎭∣，当1a =时，不等式的解集为∅，当1a >时，不等式的解集为11x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭∣，当0a =时，不等式的解集为{1}x x >∣，当a<0时，不等式的解集为{1xx a<∣或1}x >.【例2-3】（2023·广东深圳）解关于x 的不等式2210x mx m -++>.【答案】答案见解析【解析】不等式对应方程2210x mx m -++=的判别式22(24141()())m m m m ∆--=-=+-，（1）当0∆>，即m >m <由于方程2210x mx m -++=的根是x m =，所以不等式的解集是{|x x m <或x m >；（2）当Δ0=，即m ={|R x x ∈且}x m ≠；（3）当Δ0<m <R ，故12m >或12m <时，不等式的解集是{|x x m <x m >；12m ±=时，不等式的解集为{|R x x ∈且}x m ≠；m <<时，不等式的解集为R .【例2-4】（2023·湖南长沙）若关于x 的不等式2242ax x ax -<-只有一个整数解，则实数a 的取值范围是（）A ．112a <≤B ．12a <<C ．12a ≤<D ．11a -<<【答案】C【解析】不等式2242ax x ax -<-化为()22420ax a x -++<，即()()2120x ax --<，当0a =时，不等式化为()()2120x --<，得12x >，有无数个整数解，不符合题意；当0a >时，由关于x 的不等式2242ax x ax -<-只有一个整数解，可知122a<，不等式()()2120x ax --<的解为122x a <<，由题意，212a<≤，解得12a ≤<；当a<0时，不等式()()2120x ax --<的解为12x >或2x a<，有无数个整数解，不符合题意．综上，实数a 的取值范围是12a ≤<.故选：C 【一隅三反】1．（2022秋·四川阿坝·高一校考期中）关于x 的不等式2(1)0x a x a -++<的解集中恰有2个整数，则实数a 的取值范围（）A ．(1,0][2,3)-⋃B ．[2,1)(3,4]--C ．()(]2,13,4--⋃D ．[1,0)(2,3]- 【答案】B【解析】不等式2(1)0x a x a -++<化为(1)()0x x a --<，当1a =时，不等式无解，当1a <时，不等式解为1<<a x ，这里有且只有2个整数，则21a -≤<-，当1a >时，不等式解为1x a <<，这里有且只有2个整数，则34a <≤，综上a 的取值范围是[2,1)(3,4]-- ．故选：B .2．（2023·江苏·高一假期作业）解关于x 的不等式()()2231220x a x a --+->【答案】答案见解析【解析】原不等式可化为[(1)][2(1)]0x a x a -+-->.当12(1)a a +>-，即3a <时，1x a >+或2(1)x a <-；当12(1)a a +=-，即3a =时，4x ≠；当12(1)a a +<-，即3a >时，2(1)x a >-或1x a <+.综上，当3a <时，解集为{1x x a >+∣或2(1)}x a <-；当3a =时，解集为{4}xx ≠∣；当3a >时，解集为{2(1)xx a >-∣或1}x a <+.3．（2023·全国·高一专题练习）解下列关于x 的不等式()22210ax a x -++>．【答案】答案见解析【解析】当a<0时，原不等式为()2221(21)(1)0ax a x x ax -++-=--+<，解集为11{|}2x x a <<；当0a =时，原不等式为210x -+>，解集为1{|}2x x <；当0a >时，原不等式为()2221(21)(1)0ax a x x ax -++=-->，若112a >，即02a <<时，解集为1{|2x x <或1}x a>；若112a =，即2a =时，解集为1{|}2x x ≠；若112a <，即2a >时，解集为1{|x x a<或1}2x >；综上，a<0解集为11{|}2x x a <<；0a =解集为1{|}2x x <；02a <<解集为1{|2x x <或1}x a>；2a =解集为1{|}2x x ≠；2a >解集为1{|x x a<或1}2x >.4．（2023·上海）解关于x 的不等式210x ax -+≤.【答案】答案见解析【解析】由题意知24a ∆=-，①当240a ->，即2a >或2a <-时，方程210x ax -+=的两根为2a x =，所以解集为x ⎧⎪≤≤⎨⎪⎪⎩⎭；②若240a -=，即2a =±时，当2a =时，原不等式可化为2210x x -+≤，即()210x -≤，所以1x =，当2a =-时，原不等式可化为2210x x ++≤，即()210x +≤，所以=1x -；③当240a -<，即22a -<<时，原不等式的解集为∅；综上，当2a >或2a <-时，原不等式的解集为2a x ⎧⎪≤≤⎨⎪⎪⎩⎭；当2a =时，原不等式的解集为{1}；当2a =-时，原不等式的解集为{}1-；当22a -<<时，原不等式的解集为∅.考点三三个“二次”之间的关系【例3-1】（2023春·河南）已知,,a b c ∈R ，且0a ≠，关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为(3,2)-，则关于x 的不等式20cx ax b ++>的解集为（）A ．11,32⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．11,23⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．11,,32∞∞⎛⎫⎛⎫--⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．11,,23⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C【解析】因为不等式20ax bx c ++>，0a ≠的解集为(3,2)-，所以a<0且321326bac a⎧-=-+=-⎪⎪⎨⎪=-⨯=-⎪⎩即6b a c a =⎧⎨=-⎩，不等式20cx ax b ++>等价于260ax ax a -++>，即2610x x -->，()()21310x x -+>，解得13x <-或12x >，所以不等式20cx ax b ++>的解集为：11,,32∞∞⎛⎫⎛⎫--⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：C ．【一隅三反】1．（2023·全国·高一假期作业）若一元二次不等式20ax bx c ++>的解集是{}|12x x -<<，则一元二次不等式20cx bx a ++>的解集是（）A ．1|12x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或B ．1|12x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭C ．1|12x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或D ．1|12x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【答案】C【解析】由一元二次不等式20ax bx c ++>的解集是{}|12x x -<<可得1,2-是20ax bx c ++=的两个根，且0,a <所以2,1b c a a -==-，所以20cx bx a ++>可化为210c bx x a a++<，即2210x x --+<，解得1x <-或12x >.故选：C 2．（2023·湖南）若不等式20ax x c -->的解集为{}32x x -<<，则函数2y ax x c =+-的图象与x 轴的交点为（）A ．()3,0和()2,0-B ．()2,0-C ．()3,0D ．2-和3【答案】A【解析】若不等式20ax x c -->的解集为{}32x x -<<，则方程20ax x c --=的两个根为123,2x x =-=且0a <，13232a c a ⎧-+=⎪⎪∴⎨⎪-⨯=-⎪⎩，解得16a c =-⎧⎨=-⎩，则函数226y ax x c x x =+-=-++，令260y x x =-++=，解得2x =-或3x =，故函数2y ax x c =+-的图象与x 轴的交点为()2,0-和()3,0.故选：A.3．（2022秋·天津）已知不等式897x +<和不等式22ax bx +>的解集相同，则实数a b 、的值分别为（）A ．810--、B ．49--、C ．19-、D ．12-、【答案】B【解析】8977897x x +<⇒-<+<，解得124x -<<-，因为，不等式897x +<和不等式22ax bx +>的解集相同，故220ax bx +-=的两根为-2或14-，且a<0，由韦达定理得：()1241224b a a ⎧⎛⎫-+-=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-⨯-=- ⎪⎪⎝⎭⎩，解得：49a b =-⎧⎨=-⎩，故选：B.考点四一元二次不等式恒成立【例4-1】（2023贵州省安顺市）若命题“0x ∃∈R ，20020x x a --<”是假命题，则实数a 的取值范围是（）A ．(],1-∞-B ．(],1-∞C ．[)1,+∞D ．[)1,-+∞【答案】A【解析】命题“0x ∃∈R ，20020x x a --<”的否定为：“x ∀∈R ，220x x a --≥”，该命题为真命题.所以，应有()()2Δ241440a a =--⨯⨯-=+≤，所以1a ≤-.故选：A.【例4-2】（2023·云南红河）不等式210ax ax a -++>对R x ∀∈恒成立，则实数a 的取值范围为（）A ．()0,∞+B ．[)0,∞+C ．()4,0,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．[4,0,)3∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】①当0a =时，10>成立，②当0a ≠时，只需()2Δ410a a a a >⎧⎨=-+<⎩，解得0a >，综上可得0a ≥，即实数a 的取值范围为[)0,∞+.故选：B ．【例4-3】（2023·河南）若不等式2(1)3a x x +≤+对于[0,)x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．[0,3]B ．[0,2]C ．(,2]-∞D ．(,3]-∞【答案】C 【解析】原不等式可化为231x a x +≤+，设()231x f x x +=+，则()()212124f x x x x +-=-++412221x x =++-≥=+，当且仅当411x x +=+，且0x ≥，即1x =时，函数()f x 有最小值为2.因为()a f x ≤恒成立，所以2a ≤.故选：C.【一隅三反】1．（2023·广东肇庆·高一广东肇庆中学校考期中）若命题“2(1,1),20x x x a ∀∈--->”为真命题，则实数a 的取值范围是（）A ．1a ≤-B ．1a <-C ．3a ≤D ．3a <【答案】A【解析】由命题“2(1,1),20x x x a ∀∈--->”为真命题，即不等式22a x x <-在(1,1-上恒成立，设()22,(1,1)f x x x x =-∈-，根据二次函数的性质，可得()min (1)1f x f <=-，所以1a ≤-.故选：A.2．（2023·西藏）命题()0:0,p x ∃∈+∞，使得20010x x λ-+<成立.若p 是假命题，则实数λ的取值范围是（）A ．(],2-∞B ．[)2,+∞C ．[]22-,D ．(][),22,-∞-+∞U 【答案】A【解析】因为命题()0:0,p x ∃∈+∞，使得20010x x λ-+<成立，所以命题p 的否定为：()0,x ∀∈+∞，210x x λ-+≥成立，而p 是假命题，故命题p 的否定为真命题．所以1x x λ≤+在()0,x ∈+∞上恒成立，因为12x x +≥=，当且仅当11x x x =⇒=时，等号成立，所以2λ≤，即(],2λ∈-∞.故选：A.3．（2022秋·高一校考单元测试）任意[]1,1x ∈-，使得不等式212x x m -+≥恒成立.则实数m 取值范围是（）A ．14m ≥B ．14m ≤C ．14⎧⎫⎨⎬⎩⎭D ．2m ≤【答案】B【解析】因为对任意[]1,1x ∈-，不等式212x x m -+≥恒成立.所以2min 12x x m ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭，其中[]1,1x ∈-，设212y x x =-+，[]1,1x ∈-，因为22111224y x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，所以当12x =时，函数212y x x =-+，[]1,1x ∈-取最小值，最小值为14，所以14m ≤，故选：B.4．（2023春·湖南长沙·高一长沙市明德中学校考期中）若[]04x ∃∈,，使得不等式220x x a -+>成立，则实数a 的取值范围（）A ．1a >-B ．1a >C ．8a >D ．8a >-【答案】D 【解析】因为[]04x ∃∈,，使得不等式220x x a -+>成立，所以[]04x ∃∈,，使得不等式2+2a x x >-成立，令2()2f x x x =-+，[]0,4x ∈，因为对称轴为1x =，[]0,4x ∈，所以min ()(4)8f x f ==-，所以8a >-，所以实数a 的取值范围为()8,-+∞.故选：D.考点五一元二次不等式的实际应用【例5】（2022秋·江苏连云港·高一校考阶段练习）汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速50km/h 的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离小于12m ，乙车的刹车距离略超过10m ，又知甲、乙两种车的刹车距离s （单位：m ）与车速x （单位：km/h ）之间分别有如下关系：20.010.1s x x =-甲，20.0050.05s x x =-乙，问：甲、乙两车有无超速现象？【答案】甲车未超过规定限速，乙车超过规定限速．【解析】由题意得，对于甲车，20.010.112x x -<，即21012000x x --<，而0x >，解得040x <<，甲车未超过规定限速，同理对于乙车，20.0050.0510x x ->，21020000x x -->，而0x >，解得50x >，乙车超过规定限速．答：甲车未超过规定限速，乙车超过规定限速．【一隅三反】1．（2023·陕西）某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x （件）与单价P （元）之间的关系为1602P x =-，生产x 件所需成本为C （元），其中50030C x =+元，若要求每天获利不少于1300元，则日销量x 的取值范围是（）A ．20≤x ≤30B ．20≤x ≤45C ．15≤x ≤30D ．15≤x ≤45【答案】B【解析】设该厂每天获得的利润为y 元，则y ＝(160－2x )x －(500＋30x )＝－2x 2＋130x －500(0＜x ＜80)．由题意，知－2x 2＋130x －500≥1300，即x 2－65x ＋900≤0，解得：20≤x ≤45，所以日销量x 的取值范围是20≤x ≤45．故选：B ．2．（2023·浙江温州）某种汽车在水泥路面上的刹车距离s （单位：m ）和汽车刹车前的车速v （单位：km /h ）之间有如下关系：21120160s v v =+，在一次交通事故中，测得这种车刹车距离大于40m ，则这辆汽车刹车前的车速至少为（）（精确到1km /h ）A ．76km /hB ．77km /hC ．78km /hD ．80km /h【答案】B【解析】设这辆汽车刹车前的车速为km /h v ，根据题意，有2114020160s v v =+>，移项整理，得28401600v v -⨯>+，0v >解得476.09v >-+≈．所以这辆汽车刹车前的速度至少为77km /h ．故选：B3．（2022秋·天津滨海新·高一校考期中）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入．则这批台灯的销售单价x （单位：元）的取值范围是（）A ．{1520}xx <<∣B ．{1218}x x ≤<∣C ．{1020}xx ≤<∣D ．{}|1016x x ≤<【答案】A 【解析】结合题意易知，[302(15)]400x x --⋅>,即2302000x x -+<，解得1020x <<，因为15x >，所以1520x <<，这批台灯的销隹单价x 的取值范围是{1520}xx <<∣，故选：A.考点六根的分布【例6】（2023·湖北）关于x 的方程2(3)0x m x m +-+=满足下列条件，求m 的取值范围．(1)有两个正根；(2)一个根大于1，一个根小于1；(3)一个根在(2,0)-内，另一个根在(0,4)内；(4)一个根小于2，一个根大于4；(5)两个根都在(0,2)内．【答案】(1)01m <≤(2)1m <(3)405m -<<(4)45<-m (5)213m <≤【解析】（1）令2()(3)f x x m x m =+-+，设()0f x =的两个根为12,x x .由题得()12122300Δ340x x m x x m m m ⎧+=->⎪⎪=>⎨⎪=--≥⎪⎩，解得01m <≤.（2）若方程2(3)0x m x m +-+=的一个根大于1，一个根小于1，则(1)220f m =-<，解得1m <（3）若方程2(3)0x m x m +-+=一个根在(2,0)-内，另一个根在(0,4)内，则(2)100(0)0(4)540f m f m f m -=->⎧⎪=<⎨⎪=+>⎩，解得405m -<<（4）若方程2(3)0x m x m +-+=的一个根小于2，一个根大于4，则(2)320(4)540f m f m =-<⎧⎨=+<⎩，解得45<-m （5）若方程2(3)0x m x m +-+=的两个根都在(0,2)内，则()()()22320003022Δ340f m f m m m m ⎧=->⎪=>⎪⎪-⎨<-<⎪⎪=--≥⎪⎩，解得213m <≤【一隅三反】1．（2023·江苏南京）（多选）设m 为实数，已知关于x 的方程()2310mx m x +-+=，则下列说法正确的是（）A ．当3m =时，方程的两个实数根之和为0B ．方程无实数根的一个必要条件是1m >C ．方程有两个不相等的正根的充要条件是01m <<D ．方程有一个正根和一个负根的充要条件是0m <【答案】BCD【解析】对于A 选项，3m =时2310x +=无实根，A 错误；对于B 选项，当0m =时方程有实根，当0m ≠时，方程无实根则2(3)40m m --<，解得19m <<，一个必要条件是1m >，B 正确；对于C 选项，方程有两个不等正根，则0m ≠，0∆>，30m m ->，10m >，解得01m <<；对于D 选项，方程有一个正根和一个负根，则0m ≠，10m<，解得0m <，D 正确；故选：BCD.2．（2022秋·湖北武汉·高一校考期中）已知一元二次方程2210ax x ++=．(1)写出“方程2210(0)ax x a ++=≠有一个正根和一个负根”的充要条件；(2)写出“方程2210(0)ax x a ++=≠有一个正根和一个负根”的一个必要而不充分条件，并给予证明．【答案】(1)a<0(2)方程2210(0)ax x a ++=≠有一个正根和一个负根的一个必要而不充分条件可以是1a <，证明见解析【解析】（1）若方程2210(0)ax x a ++=≠有一个正根和一个负根，则Δ44010a a =->⎧⎪⎨<⎪⎩，即10a a <⎧⎨<⎩，<0a ∴．∴方程2210(0)ax x a ++=≠有一个正根和一个负根的充要条件是a<0．（2）方程2210(0)ax x a ++=≠有一个正根和一个负根的一个必要而不充分条件是1a <，证明：若方程2210(0)ax x a ++=≠有一个正根和一个负根，则由（1）知其充要条件为0<a ，从而1a <，故必要性成立．若01a <<，则方程2210ax x ++=中，440a ∆=->，1210x x a⋅=>，∴方程2210ax x ++=有两个同号根，∴充分性不成立，故1a <是方程2210(0)ax x a ++=≠有一个正根和一个负根的一个必要而不充分条件．3．（2022秋·江西·高一统考阶段练习）若关于x 的不等式240x mx m -+<的解集为()12,x x ．(1)当=1m 时，求121144x x +--的值；(2)若10x >，20x >，求1211x x +的值；(3)在（2）的条件下，求124x x +的最小值．【答案】(1)4-；(2)4；(3)94．【解析】（1）由题意，关于x 的方程2410x x -+=有两个根1x ，2x ，所以1212Δ=12>0+=4=1x x x x ⎧⎪⎨⎪⎩，故()12121212811444441611616x x x x x x x x +--+===----++-+．（2）由题意，关于x 方程240x mx m -+=有两个正根，由韦达定理知21212Δ=1640+=4>0=>0m m x x m x x m -≥⎧⎪⎨⎪⎩，解得14m ≥，所以1212121144x x m x x x x m ++===.（3）由（2），12114x x +=，且10x >，20x >，所以()211212121241111441444x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+=++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而21x x 、120x x >，所以211244x x x x +=≥，当且仅当122x x =，且12124x x x x +=，即134x =，238x =取等号，此时实数91324m =>符合条件，故12944x x +≥，且当932m =时，取得最小值94．。

第九讲从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式【学习目标】1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义.2.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.4.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解决.【基础知识】1.a2b＋2ab2＋9>0(ab≠0)可看作一元二次不等式把b看作常数，则是关于a的一元二次不等式；把a看作常数，则是关于b的一元二次不等式.2.一元二次不等式的形式：任意一个一元二次不等式都可以利用不等式的性质变成二次项系数大于0的形式，并且可以化为下列形式中的一种：(1)ax2＋bx＋c>0(a>0)；(2)ax2＋bx＋c<0(a>0)；(3)ax2＋bx＋c≥0(a>0)；(4)ax2＋bx＋c≤0(a>0).3.一元二次不等式与一元二次函数的关系：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集就是一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象在x轴上方的点的横坐标x的集合；ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集就是一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象在x轴下方的点的横坐标x的集合.4.简单的分式不等式的解法系数化为正，大于取“两端”，小于取“中间”5.一元二次不等式恒成立问题(1)转化为一元二次不等式解集为R 的情况，即ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立⇔⎩⎨⎧a >0，Δ<0，ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立⇔⎩⎨⎧a <0，Δ<0.(2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题.6.利用不等式解决实际问题的一般步骤如下：(1)选取合适的字母表示题目中的未知数；(2)由题目中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)；(3)求解所列出的不等式(组)；(4)结合题目的实际意义确定答案.【考点剖析】考点一：解不含参数的一元二次不等式例1．不等式(1)(4)0x x +-的解集为( )A ．{|14}x x -B ．{|4x x 或1}x -C ．{|14}x x -<<D ．{|4x x >或1}x <- 【答案】B【解析】不等式(1)(4)0x x +-可化为(1)(4)0x x +-，解得1x -或4x ；所以该不等式的解集为{|1x x -或4}x ．故选B ．考点二：解含参数的一元二次不等式例2．已知不等式20x ax b -+<的解是23x <<，则a ，b 的值分别是( )A ．5-，6B ．6，5C ．5，6D ．6-，5【答案】C【解析】不等式20x ax b -+<的解是23x <<，所以2和3是方程20x ax b -+=的解，由根与系数的关系知，2323a b +=⎧⎨⨯=⎩， 解得5a =，6b =．故选C ．考点三：一元二次不等式及其应用例3．当x R ∈时，不等式210kx kx -+>恒成立，则k 的取值范围是( )A ．(0,)+∞B ．[0，)+∞C ．[0，4)D ．(0,4)【答案】C【解析】当0k =时，不等式210kx kx -+>可化为10>，显然恒成立；当0k ≠时，若不等式210kx kx -+>恒成立，则对应函数的图象开口朝上且与x 轴无交点则2040k k k >⎧⎨=-<⎩解得：04k <<综上k 的取值范围是[0，4)故选C ．考点四：一元二次方程的根的分布与系数的例4方程2210x ax -+=的两根分别在(0,1)与(1,3)内，则实数a 的取值范围为() A ．513a << B ．1a <或53a > C ．513a -<< D ．513a -<<-【答案】A【解析】令2()21f x x ax =-+，方程2210x ax -+=的两根分别在(0,1)与(1,3)内，∴(0)0(1)0(3)0f f f >⎧⎪<⎨⎪>⎩，∴102201060a a >⎧⎪-<⎨⎪->⎩，513a ∴<<，a ∴的取值范围为5(1,)3．故选A ．【真题演练】1．不等式(1)(2)0x x +-<的解集为( )A ．{|1x x <-或2}x >B ．{|12}x x -<<C ．{|2x x <-或1}x >D ．{|21}x x -<< 【答案】B【解析】不等式(1)(2)0x x +-<对应方程的实数根是1-和2，所以该不等式的解集是{|12}x x -<<．故选B ．2．关于x 的一元二次不等式2560x x --<的解集为( )A ．{|1x x <-或6}x >B ．{|16}x x -<<C ．{|2x x <-或3}x >D ．{|23}x x -<< 【答案】B【解析】不等式2560x x --<可化为(1)(6)0x x +-<，解得16x -<<，所以不等式的解集为{|16}x x -<<．故选B ．3．关于x 的不等式210x mx -+>的解集为R ，则实数m 的取值范围是( )A ．(0,4)B ．(2,2)-C ．[2-，2]D ．(-∞，2)(2-⋃，)+∞ 【答案】B【解析】关于x 的不等式210x mx -+>的解集为R ，所以△22()41140m m =--⨯⨯=-<，解得22m -<<，所以实数m 的取值范围是(2,2)-．故选B ．4．当x R ∈时，不等式210kx kx -+>恒成立，则k 的取值范围是( )A ．(0,)+∞B ．[0，)+∞C ．[0，4)D ．(0,4)【答案】C【解析】当0k =时，不等式210kx kx -+>可化为10>，显然恒成立；当0k ≠时，若不等式210kx kx -+>恒成立，则对应函数的图象开口朝上且与x 轴无交点则2040k k k >⎧⎨=-<⎩解得：04k <<综上k 的取值范围是[0，4)故选C ．5．不等式220ax bx ++>的解集是1(2-，1)3，则a b -等于( )A ．4-B ．14C ．10-D ．10【答案】C 【解析】因为21120,23ax bx ⎛⎫++>- ⎪⎝⎭的解集是 所以11,23-是方程220ax bx ++=的根， 所以112042112093a b a b ⎧-+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩12a =-，2b =- 所以10a b -=-故选C ．6．一元二次不等式20ax bx c ++>的解集为{|12}x x -<<，则不等式20ax bx c ++的解集为()A ．{|1x x <-或2}x >B ．{|1x x <-或2}xC ．{|12}x x -<<D ．{|12x x -}【答案】D【解析】一元二次不等式20ax bx c ++>的解集为{|12}x x -<<，所以不等式对应方程20ax bx c ++=的两个实数根是1-和2，且0a <；所以不等式20ax bx c ++的解集为{|12}x x -．故选D ．7．若关于x 的不等式230ax x b -+<的解集为{|12}x x <<，则实数a ，b 的值是( )A ．1a =，2b =B ．2a =，1b =C ．1a =-，2b =D ．2a =，1b =-【答案】A【解析】由题意可知，1和2是方程230ax x b -+=的两根，且0a >，312a ∴+=，12ba ⨯=，解得1a =，2b =．故选A ．8．已知关于x 的方程230x ax -+=有一根大于1，另一根小于1，则实数a 的取值范围是( )A ．(4,)+∞B ．(,4)-∞C ．(,2)-∞D ．(2,)+∞【答案】A【解析】设2()3f x x ax =-+，若方程230x ax -+=有一根大于1，另一根小于1，则只需要f （1）0<，即f （1）130a =-+<，得4a >，即实数a 的取值范围是(4,)+∞，故选A ．9．关于x 的不等式()(3)0ax b x -+<的解集为(-∞，3)(1-⋃，)+∞，则关于x 的不等式0ax b +>的解集为( ) A ．(,1)-∞-B ．(1,)-+∞C ．(,1)-∞D ．(1,)+∞【答案】A 【解析】由题意可得0a <，且1，3-是方程()(3)0ax b x -+=的两根，1x ∴=为方程0ax b -=的根，a b ∴=，则不等式0ax b +>可化为10x +<，即1x <-，∴不等式0ax b +>的解集为(,1)-∞-．故选A ．【过关检测】1．不等式(1)0x x +的解集为( )A ．(-∞，1](0,)-+∞B ．(-∞，1][0-，)+∞C ．[1-，0]D ．[1-，0) 【答案】B【解析】(1)0x x +=的两根为1-、0，又函数(1)y x x =+的图象开口向上，(1)0x x ∴+的解集是{|1x x -或0}x ，故选B ．2．不等式220x x +->的解集为( )A ．{|21}x x -<<B ．{|12}x x -<<C ．{|2x x <-或1}x >D ．{|1x x <-或2}x >【答案】C【解析】不等式220x x +->可化为(2)(1)0x x +->，解得2x <-或1x >，所以不等式的解集是{|2x x <-或1}x >．故选C ．3．若关于x 的不等式242x x mx -+>的解集为{|02}x x <<，则实数m 的值为( )A ．1-B ．1C ．2D ．2-【答案】B【解析】根据题意得0x =和2x =是方程242x x mx -+=的实数根，所以484m -+=，解得1m =．故选B ．4．一元二次不等式2230x x -+->的解集是( )A ．∅B ．(3,1)-C ．(1,3)-D ．(3,1)--【答案】A【解析】因为2223(1)220x x x -+-=----<恒成立，所以不等式的解集为∅．故选A ．5．若不等式20ax bx c ++>的解集是{|41}x x -<<，则不等式2(1)(3)0b x a x c -+++>的解集为()A ．4{|1}3x x -<<B ．{|1x x <或4}3x > C ．{|14}x x -<< D ．{|2x x <-或1}x >【答案】A【解析】因为不等式20ax bx c ++>的解集为(4,1)-，则04141a b ac a⎧⎪<⎪⎪-=-+⎨⎪⎪=-⨯⎪⎩，解得4c a =-，3b a =，且0a <，所以不等式2(1)(3)0b x a x c -+++>可化为：2340x x +-<，解得413x -<<， 故选A ．6．不等式(2)8x x -<的解集是( )A ．{|42}x x -<<B ．{|4x x <-或2}x >C ．{|24}x x -<<D ．{|2x x <-或4}x >【答案】C【解析】不等式(2)8x x -<可化为2280x x --<，即(4)(2)0x x -+<，解得24x -<<，所以不等式的解集是{|24}x x -<<．故选C ．7．已知不等式220ax bx -+>的解集为{|12}x x -<<，则不等式220x bx a ++<的解集为( )A ．1{|1}2x x -<<B ．{1x <-或1}2x >C ．1{|1}2x x -<<D ．1{|2x x <-或1}x > 【答案】A【解析】不等式220ax bx -+>的解集为{|12}x x -<<，所以1-，2是方程220ax bx ++=的两个实数根，且0a <， 由根与系数的关系知12212b a a ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，解得1a =-，1b =-； 所以不等式220x bx a ++<化为2210x x --<， 解得112x -<<； 所以不等式220x bx a ++<的解集为1{|1}2x x -<<． 故选A ．8．关于x 的不等式2(1)10(0)ax a x a -++><的解集为( )A ．1{|1}x x a <<B ．{|1x x <或1}x a >C ．1{|x x a <或1}x >D ．1{|1}x x a<< 【答案】A【解析】不等式可化为(1)(1)0ax x -->，0a <，∴原不等式等价于1()(1)0x x a--<， 且不等式对应的一元二次方程的根为1a 和1； 又11a<， 原不等式的解集为1{|1}x x a <<． 故选A ．9．解下列不等式：（1）223x x -+<-；（2）2210x x -+．【解析】（1）2223230(1)(3)0x x x x x x -+<-⇒-->⇒+->，由“两实数相乘，同号得正，异号得负”可得1030x x +>⎧⎨->⎩①，或1030x x +<⎧⎨-<⎩②， 解①得3x >，解②得1x <-，故223x x -+<-的解集是(-∞，1)(3-⋃，)+∞；（2）22210(1)0x x x -+⇒-，解得1x =，故2210x x -+的解集是{1}．10．若不等式2460kx x -+>的解集是{|31}x x -<<．（1）求k 的值；（2）解不等式22(2)0x k x k +-->．【解析】（1）不等式2460kx x -+>的解集是{|31}x x -<<， 所以3-和1是方程2460kx x -+=的两实数根， 所以460k -+=，解得2k =-；（2）由（1）知，不等式22(2)0x k x k +-->可化为22420x x ++>， 即2210x x ++>，解得1x ≠-，所以该不等式的解集为{|1}x x ≠-．。

二次函数与一元二次方程、不等式一元二次不等式及其解法①二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：(以下均以a>0为例)②二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系，可充分利用二次函数图像去理解；③ 求解一元二次不等式时，利用二次函数图像思考，需要确定二次函数的开口方向，判别式，两根的大小与不等式的解集有关，而对称轴是不会影响解集的.【例】填表解析【练1】二次不等式ax 2+bx +c <0的解集是R 的条件是( ) A ．{a >0△>0B ．{a >0△<0C ．{a <0△>0D ．{a <0△<0解析 由题意可知二次不等式ax 2+bx +c <0，对应的二次函数y =ax 2+bx +c 开口向下，所以a <0 二次不等式ax 2+bx +c <0的解集是R ，所以△<0． 故选：D ． 【练2】解不等式(1) x 2−x −6≤0 (2) x 2−3x +4<0 (3) x 2−4x +4>0 解析 (1) −2≤x ≤3 (2) ∅ (3)x ≠2 3 一元二次不等式的应用 (1) 分式不等式的解法解分式不等式可等价为有理整式不等式(组)求解.由于a b>0与ab >0均意味a,b 同号，故ab>0与ab >0等价的；ab<0与ab <0均意味a,b 异号，故ab <0与ab <0等价的； 可得① f (x )g(x)>0⇒f (x )g (x )>0，f (x )g(x)≥0⇒f (x )g (x )≥0且g (x )≠0. 比如x−1x−2>0⇒(x −1)(x −2)>0 ; x−1x−2≥0⇒(x −1)(x −2)≥0且x −2≠0. ② f (x )g(x)<0⇒f (x )g (x )<0，f (x )g(x)≤0⇒f (x )g (x )≤0且g (x )≠0.比如x−1x−2<0⇒(x −1)(x −2)<0 ; x−1x−2≤0⇒(x −1)(x −2)≤0且x −2≠0. 【例】解不等式x+1x−2<0的解集是 .解析 不等式x+1x−2<0，等价于(x +1)(x −2)≤0，解得−1<x <2. 【练】解不等式x−1x−3≤0的解集是 .解析 不等式x−1x−3≤0，等价于{(x −1)(x −3)≤0x −3≠0，解得1≤x <3. ．【题型1】二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系 【典题1】 解下列不等式：(1) −12x 2+72x −5<0；(2) 4x 2+18x +814>0；(3) x−2x+3≥2.解析(1) 二次项系数化为1得：x 2−7x +10>0， 十字相乘得：(x −2)(x −5)>0，解得x >5或x <2. (2) 4x 2+18x +814>0⇔(2x +92)2>0，结合二次函数图像易得不等式解集是{x|x ≠−94}. (3)不等式x−2x+3≥2⇔x−2x+3−2≥0⇔−x−8x+3≥0⇔x+8x+3≤0，等价于{(x +8)(x +3)≤0x +3≠0，解得−8≤x <−3.点拨1.求解不等式ax 2+bx +c >0(或<0)，其中a >0，有个口诀：大于取两边、小于取中间；这结合二次函数图像也很好理解；2.求解分式不等式时，等价过程中要注意严谨.【典题2】若不等式2kx 2+kx −38≥0的解集为空集，则实数k 的取值范围是( ) A ．(−3,0) B ．(),3-∞- (−∞,−3) C ．(−3,0] D ．(−∞,−3)∪(0,+∞) 解析 由题意可知2kx 2+kx −38<0恒成立，当k =0时成立，当k ≠0时需满足{k <0Δ<0，代入求得−3<k <0，所以实数k 的取值范围是(−3,0].点拨 注意二次系数是否为0，涉及到一元二次不等式可理解二次函数图像进行分析.【典题3】 若不等式ax 2+2x +c <0的解集是(−∞,−13)∪(12,+∞)，则不等式cx 2−2x +a ≤0的解集是( )A ．[−12,13]B ．[−13,12]C ．[−2,3]D ．[−3,2]解析 不等式ax 2+2x +c <0的解集是(−∞,−13)∪(12,+∞)， ∴−13和12是方程ax 2+2x +c =0的两个实数根，由韦达定理得{−13+12=−2a−13×12=c a，解得a =−12，c =2，故不等式cx 2−2x +a ≤0，即2x 2−2x −12≤0，解得−2≤x ≤3， 所以所求不等式的解集是[−2,3]， 故选：C ． 【巩固练习】1.下列不等式的解集是空集的是 ( )A ．x 2−x +1>0B ．−2x 2+x +1>0C ．2x −x 2>5D ．x 2+x >2 答案 C2.若不等式kx 2+2kx +2<0的解集为空集，则实数k 的取值范围是( )A ．0<k <2B ．0≤k <2C ．0≤k ≤2D ．k >2答案 C 解析 当k =0时，满足题意；当k >0时，△=4k 2−8k ≤0，解得0<k ≤2； ∴实数k 的取值范围是0≤k ≤2．故选：C ．3.关于x 的不等式x 2+ax −3<0，解集为(−3,1)，则不等式ax 2+x −3<0的解集为 . 答案 {x|−32<x <1}解析由题意知，x=−3，x=1是方程x2+ax−3=0的两根，可得−3+1=−a，解得a=2；所以不等式为2x2+x−3<0，即(2x+3)(x−1)<0，解得−32<x<1，所以不等式的解集为{x|−32<x<1}.4.不等式2x2−x−3>0的解集为.答案{x|x>32或x<−1}解析2x2−x−3>0⇒(2x−3)(x+1)>0⇒x>32或x<−1.5.不等式x2x−1>1的解集为.答案{x|12<x<1}解析原不等式等价于x2x−1−1>0，即x−(2x−1)2x−1>0，整理得x−12x−1<0，不等式等价于(2x−1)(x−1)<0，解得12<x<1．6.若不等式ax2+5x−2>0的解集是{x|12<x<2}(1)求不等式ax2−5x+a2−1>0的解集．(2)已知二次不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|x<13或x>12}，求关于x的不等式cx2−bx+a>0的解集．答案(1){x|−3<x<12}(2){x|−3<x<−2}解析(1)因为等式ax2+5x−2>0的解集是{x|12<x<2}，所以12和2是一元二次方程ax2+5x−2=0的两根，∴12×2=−2a，解得a=−2，∴不等式ax2−5x+a2−1>0可化为−2x2−5x+3>0，即2x2+5x−3<0，∴(2x−1)(x−3)<0，解得−3<x<12，所以不等式ax2−5x+a2−1>0的解集为{x|−3<x<12}；(2)由(1)知a=−2，∴二次不等式−2x2+bx+c<0的解集为{x|x<13或x>12}，∴13和12是一元二次方程−2x 2+bx +c =0的两根，∴13+12=−b−2，13×12=−c 2，解得b =53，c =−13，所以不等式cx 2−bx +a >0可化为：−13x 2−53x −2>0， 即x 2+5x +6<0，解得−3<x <−2．所以关于x 的不等式cx 2−bx +a >0的解集为{x|−3<x <−2}． 【题型2】求含参一元二次不等式(选学)角度1 按二次项的系数a 的符号分类，即a >0 ,a =0 ,a <0; 解不等式ax 2+(a +2) x +1>0. 解析(不确定不等式对应函数y =ax 2+(a +2) x +1是否是二次函数，分a =0与a ≠0讨论) (1) 当a =0时，不等式为2x +1>0，解集为{x | x >−12} ； (2) 当a ≠0时，∵Δ=(a +2)2−4a =a 2+4>0 (二次函数y =ax 2+(a +2) x +1与x 轴必有两个交点) 解得方程ax 2+(a +2) x +1=0两根x 1=−a−2−√a 2+42a,x 2=−a−2+√a 2+42a；(二次函数的开口方向与不等式的解集有关，分a >0与a <0讨论) (i)当a >0时，解集为{x | x >−a−2+√a 2+42a或x <−a−2−√a 2+42a}；(ii)当a <0时, 解集为{x |−a−2+√a 2+42a<x <−a−2−√a 2+42a}.(注意x 1,x 2的大小)综上，当a =0时，解集为{x | x >−12}； 当a >0时，解集为{x | x >−a−2+√a 2+42a或x <−a−2−√a 2+42a}；当a <0时, 解集为{x |−a−2+√a 2+42a<x <−a−2−√a 2+42a}.角度2 按判别式的符号分类解不等式x 2+ax +4>0. 解析 ∵Δ=a 2−16(此时不确定二次函数y =x 2+ax +4是否与x 轴有两个交点，对判别式进行讨论) ∴①当−4<a <4，即Δ<0时，解集为R ； ②当a =±4，即Δ=0时，解集为{x | x ≠−a2}；③当a>4或a<−4，即Δ>0时，此时两根为x1=−a+√a2−162 ,x2=−a−√a2−162，显然x1>x2，∴不等式的解集为{x | x>−a+√a2−162或x<−a−√a2−162}.综上，当−4<a<4时，解集为R；当a=±4时，解集为{x | x≠−a2}；当a>4或a<−4时，解集为{x | x>−a+√a2−162或x<−a−√a2−162}.角度3 按方程的根大小分类解不等式：x2−(a+1a)x+1<0 (a≠ 0).解析原不等式可化为：(x−a)(x−1a)<0 ,令(x−a)(x−1a )=0，得x1=a ,x2=1a；(因式分解很关键，此时确定y=(x−a)(x−1a)与x轴有交点，x1 ,x2的大小影响不等式解集)∴(i)当x1=x2时，即a=1a⇒a=±1时，解集为ϕ；(ii)当x1<x2时，即a<1a ⇒a<−1 或0<a<1时，解集为{x | a<x<1a}；(iii)当x1>x2时，即a>1a ⇒−1<a<0或a>1时，解集为{x |1a<x<a}.综上，当a=±1时，解集为ϕ；(ii)当a<−1 或0<a<1时，解集为{x | a<x<1a}；(iii)当−1<a<0或a>1时，解集为{x |1a<x<a}.点拨①当求解一元二次不等式时，它是否能够因式分解，若可以就确定对应的二次函数与x轴有交点，就不需要考虑判别式.常见的形式有x2−(a+1)x+a=(x−1)(x−a) ,x2−(a+1a )x+1=(x−a)(x−1a)，ax2+(a+1)x+1=(ax+1)(x+1)等，若判别式Δ是一个完全平方式，它就能做到“较好形式的十字相乘”，当然因式分解也可以用公式法求解；②在求解含参的一元二次不等式，需要严谨，多从二次函数的开口方向、判别式、两根大小的比较三个角度进行分类讨论，利用图像进行分析.【巩固练习】1.解关于x的不等式:12x2−ax−a2<0.解析方程12x2−ax−a2=0∴(4x+a)(3x−a)=0，即方程两根为x1=−a4,x2=a3，(1)当a>0时，x2>x1，不等式的解集是{x∣−a4<x<a3}；(2)当a=0时，x1=x2，不等式的解集是ϕ；(3)当a<0时，x1<x2，不等式的解集{x∣a3<x<−a4}2.解关于x的不等式 x2+2x+a>0．解析方程x2+2x+a=0中△=4−4a=4(1−a)，①当1−a<0即a>1时，不等式的解集是R，②当1−a=0，即a=1时，不等式的解集是{x|x≠−1}，③当1−a>0即a<1时，由x2+2x+a=0解得：x1=−1−√1−a,x2=−1+√1−a，∴a<1时，不等式的解集是{x|x>−1+√1−a或x<−1−√1−a}，综上，a>1时，不等式的解集是R，a=1时，不等式的解集是{x|x≠−1}，a<1时，不等式的解集是{x|x>−1+√1−a或x<−1−√1−a}．3.若a∈R，解关于x的不等式ax2+(a+1)x+1>0．解析当a=0时，x>−1．当a≠0时，a(x+1a)(x+1)>0．。

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考点1：二次函数与一元二次方程、不等式 (2)考点2：一元二次不等式在实际问题中的应用 (9)专题05 二次函数与一元二次方程、不等式考点1：二次函数与一元二次方程、不等式知识点一一元二次不等式的概念定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式一般形式ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数知识点二一元二次函数的零点一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．知识点三二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1，或x>x2}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪x≠－b2a Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅∅题型1：解不含参数的一元二次不等式例1解下列不等式：(1)－x2＋5x－6>0；(2)3x2＋5x－2≥0；(3)x2－4x＋5>0.解(1)不等式可化为x2－5x＋6<0.因为Δ＝(－5)2－4×1×6＝1>0，所以方程x 2－5x ＋6＝0有两个实数根：x 1＝2，x 2＝3. 由二次函数y ＝x 2－5x ＋6的图象(如图①)，得原不等式的解集为{x |2<x <3}．(2)因为Δ＝25－4×3×(－2)＝49>0，所以方程3x 2＋5x －2＝0的两实根为x 1＝－2，x 2＝13.由二次函数y ＝3x 2＋5x －2的图象(图②)，得原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－2或x ≥13. (3)方程x 2－4x ＋5＝0无实数解，函数y ＝x 2－4x ＋5的图象是开口向上的抛物线，与x 轴无交点(如图③)．观察图象可得，不等式的解集为R .变式 解下列不等式： (1)4x 2－4x ＋1>0； (2)－x 2＋6x －10>0.解 (1)∵方程4x 2－4x ＋1＝0有两个相等的实根x 1＝x 2＝12.作出函数y ＝4x 2－4x ＋1的图象如图．由图可得原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠12.(2)原不等式可化为x 2－6x ＋10<0， ∵Δ＝36－40＝－4<0， ∴方程x 2－6x ＋10＝0无实根， ∴原不等式的解集为∅.题型2：三个“二次”间的关系及应用例2 已知二次函数y ＝ax 2＋(b －8)x －a －ab ，且y >0的解集为{x |－3<x <2}． (1)求二次函数的解析式；(2)当关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ≤0的解集为R 时，求c 的取值范围． 解 (1)因为y >0的解集为{x |－3<x <2}，所以－3,2是方程ax 2＋(b －8)x －a －ab ＝0的两根， 所以⎩⎨⎧－3＋2＝－b －8a，－3×2＝－a －aba ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝5，所以y ＝－3x 2－3x ＋18.(2)因为a ＝－3<0，所以二次函数y ＝－3x 2＋5x ＋c 的图象开口向下，要使－3x 2＋5x ＋c ≤0的解集为R ，只需Δ≤0，即25＋12c ≤0，所以c ≤－2512. 所以当c ≤－2512时，－3x 2＋5x ＋c ≤0的解集为R .变式 已知关于x 的不等式ax 2＋5x ＋c >0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪13<x <12. (1)求a ，c 的值；(2)解关于x 的不等式ax 2＋(ac ＋2)x ＋2c ≥0.解 (1)由题意知，不等式对应的方程ax 2＋5x ＋c ＝0的两个实数根为13和12，由根与系数的关系，得⎩⎨⎧－5a ＝13＋12，c a ＝12×13，解得a ＝－6，c ＝－1.(2)由a ＝－6，c ＝－1知不等式ax 2＋(ac ＋2)x ＋2c ≥0可化为－6x 2＋8x －2≥0，即3x 2－4x＋1≤0，解得13≤x ≤1，所以不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪13≤x ≤1.题型3：含参数的一元二次不等式的解法例3 设a ∈R ，解关于x 的不等式ax 2＋(1－2a )x －2>0.解 (1)当a ＝0时，不等式可化为x －2>0，解得x >2，即原不等式的解集为{x |x >2}． (2)当a ≠0时，方程ax 2＋(1－2a )x －2＝0的两根分别为2和－1a .①当a <－12时，解不等式得－1a<x <2，即原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1a<x <2； ②当a ＝－12时，不等式无解，即原不等式的解集为∅；③当－12<a <0时，解不等式得2<x <－1a，即原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2<x <－1a ； ④当a >0时，解不等式得x <－1a或x >2，即原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－1a 或x >2.变式 (1)当a ＝12时，求关于x 的不等式x 2－⎝⎛⎭⎫a ＋1a x ＋1≤0的解集； (2)若a >0，求关于x 的不等式x 2－⎝⎛⎭⎫a ＋1a x ＋1≤0的解集． 解 (1)当a ＝12时，有x 2－52x ＋1≤0，即2x 2－5x ＋2≤0，解得12≤x ≤2，故不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12≤x ≤2. (2)x 2－⎝⎛⎭⎫a ＋1a x ＋1≤0⇔⎝⎛⎭⎫x －1a (x －a )≤0， ①当0<a <1时，a <1a ，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪a ≤x ≤1a ； ②当a ＝1时，a ＝1a＝1，不等式的解集为{1}；③当a >1时，a >1a ，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 1a ≤x ≤a . 综上，当0<a <1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ a ≤x ≤1a ； 当a ＝1时，不等式的解集为{1}；当a >1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a≤x ≤a .考点1：练习题1．已知集合M ＝{x |－4<x <2}，N ＝{x |x 2－x －6<0}，则M ∩N 等于( ) A ．{x |－4<x <3} B ．{x |－4<x <－2} C ．{x |－2<x <2} D ．{x |2<x <3}答案 C解析 ∵N ＝{x |－2<x <3}，M ＝{x |－4<x <2}， ∴M ∩N ＝{x |－2<x <2}，故选C.2．若0<m <1，则不等式(x －m )⎝⎛⎭⎫x －1m <0的解集为( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 1m <x <m B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >1m 或x <m C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x >m 或x <1m D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪m <x <1m 答案 D解析 ∵0<m <1，∴1m>1>m ，故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪m <x <1m ，故选D. 3．二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为－2,3，如果a <0，那么ax 2＋bx ＋c >0的解集为( ) A ．{x |x >3或x <－2} B ．{x |x >2或x <－3} C ．{x |－2<x <3} D ．{x |－3<x <2}答案 C解析 由题意知－2＋3＝－b a ，－2×3＝ca ，∴b ＝－a ，c ＝－6a ，∴不等式ax 2＋bx ＋c >0可化为ax 2－ax －6a >0， 又a <0，∴x 2－x －6<0，∴(x －3)(x ＋2)<0， ∴－2<x <3，故选C.4．若不等式5x 2－bx ＋c <0的解集为{x |－1<x <3}，则b ＋c 的值是( ) A ．5 B ．－5 C ．－25 D ．10 答案 B解析 由题意知－1,3为方程5x 2－bx ＋c ＝0的两根， ∴－1＋3＝b 5，－3＝c5，∴b ＝10，c ＝－15，∴b ＋c ＝－5.故选B.5．若关于x 的二次不等式x 2＋mx ＋1≥0的解集为R ，则实数m 的取值范围是( ) A ．{m |m ≤－2或m ≥2} B ．{m |－2≤m ≤2} C ．{m |m <－2或m >2} D ．{m |－2<m <2}答案 B解析 ∵x 2＋mx ＋1≥0的解集为R ， ∴Δ＝m 2－4≤0，∴－2≤m ≤2，故选B. 6．不等式x 2－4x ＋4≤0的解集是________． 答案 {2}解析 原不等式可化为(x －2)2≤0，∴x ＝2. 7．不等式x 2＋3x －4<0的解集为________． 答案 {x |－4<x <1}解析 易得方程x 2＋3x －4＝0的两根为－4,1，所以不等式x 2＋3x －4<0的解集为{x |－4<x <1}．8．关于x 的不等式(mx －1)(x －2)>0，若此不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1m<x <2，则m 的取值范围是________． 答案 {m |m <0}解析 ∵不等式(mx －1)(x －2)>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1m<x <2， ∴方程(mx －1)(x －2)＝0的两个实数根为1m 和2，且⎩⎪⎨⎪⎧m <0，1m<2，解得m <0，∴m 的取值范围是m <0.9．已知不等式x 2－2x －3<0的解集为A ，不等式x 2＋x －6<0的解集为B . (1)求A ∩B ；(2)若不等式x 2＋ax ＋b <0的解集为A ∩B ，求不等式ax 2＋x ＋b <0的解集． 解 (1)由x 2－2x －3<0，得－1<x <3， ∴A ＝{x |－1<x <3}． 由x 2＋x －6<0，得－3<x <2，∴B ＝{x |－3<x <2}，∴A ∩B ＝{x |－1<x <2}．(2)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a ＋b ＝0，4＋2a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2.∴－x 2＋x －2<0，∴x 2－x ＋2>0， ∵Δ＝1－8＝－7<0，∴不等式x 2－x ＋2>0的解集为R .10．若不等式(1－a )x 2－4x ＋6>0的解集是{x |－3<x <1}． (1)解不等式2x 2＋(2－a )x －a >0；(2)b 为何值时，ax 2＋bx ＋3≥0的解集为R?解 (1)由题意知1－a <0，且－3和1是方程(1－a )x 2－4x ＋6＝0的两根，∴⎩⎨⎧1－a <0，41－a＝－2，61－a ＝－3，解得a ＝3.∴不等式2x 2＋(2－a )x －a >0，即为2x 2－x －3>0， 解得x <－1或x >32.∴所求不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－1或x >32. (2)ax 2＋bx ＋3≥0，即为3x 2＋bx ＋3≥0， 若此不等式解集为R ，则Δ＝b 2－4×3×3≤0，∴－6≤b ≤6.11．下列四个不等式：①－x 2＋x ＋1≥0；②x 2－25x ＋5>0；③x 2＋6x ＋10>0；④2x 2－3x ＋4<1. 其中解集为R 的是( ) A ．① B ．② C ．③ D ．④ 答案 C解析 ①显然不可能；②中Δ＝(－25)2－4×5>0，解集不为R ； ③中Δ＝62－4×10<0.满足条件；④中不等式可化为2x 2－3x ＋3<0，所对应的二次函数开口向上，显然不可能．故选C. 12．在R 上定义运算“⊙”：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)<0的实数x 的取值范围为( ) A ．{x |0<x <2} B ．{x |－2<x <1} C ．{x |x <－2或x >1} D ．{x |－1<x <2}答案 B解析 根据给出的定义得，x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋(x －2)＝x 2＋x －2＝(x ＋2)(x －1)， 又x ⊙(x －2)<0，则(x ＋2)(x －1)<0，故不等式的解集是{x |－2<x <1}．13．若关于x 的方程(a －2)x 2－2(a －2)x ＋1＝0无实数解，则a 的取值范围是________． 答案 2≤a <3解析 若a －2＝0，即a ＝2时，原方程为1＝0不合题意， ∴a ＝2满足条件，若a －2≠0，则Δ＝4(a －2)2－4(a －2)<0， 解得2<a <3，综上有a 的取值范围是2≤a <3.14．已知不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对∀x ∈R 恒成立，则a 的取值范围为________． 答案 {a |－1≤a ≤4}解析 x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4≥a 2－3a 恒成立，∴a 2－3a ≤4，即a 2－3a －4≤0， ∴(a －4)(a ＋1)≤0，∴－1≤a ≤4.考点2：等式性质与不等式性质知识点 用一元二次不等式解决实际问题的步骤 1．理解题意，搞清量与量之间的关系；2．建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题． 3．解决这个一元二次不等式，得到实际问题的解．题型1：分式不等式的解法例1 解下列不等式：(1)2x －5x ＋4<0； (2)x ＋12x －3≤1. 解 (1)2x －5x ＋4<0⇔(2x －5)(x ＋4)<0⇔－4<x <52，∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－4<x <52.(2)∵x ＋12x －3≤1，∴x ＋12x －3－1≤0，∴－x ＋42x －3≤0，即x －4x －32≥0.此不等式等价于(x －4)⎝⎛⎭⎫x －32≥0且x －32≠0，解得x <32或x ≥4， ∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <32或x ≥4.变式 解下列不等式： (1)2x －13x ＋1≥0；(2)2－xx ＋3>1. 解 (1)原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧(2x －1)(3x ＋1)≥0，3x ＋1≠0.解得⎩⎨⎧x ≤－13或x ≥12，x ≠－13，∴x <－13或x ≥12，∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－13或x ≥12. (2)方法一 原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3>0，2－x >x ＋3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3<0，2－x <x ＋3.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x >－3，x <－12或⎩⎪⎨⎪⎧x <－3，x >－12， ∴－3<x <－12，∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－3<x <－12. 方法二 原不等式可化为(2－x )－(x ＋3)x ＋3>0，化简得－2x －1x ＋3>0，即2x ＋1x ＋3<0，∴(2x ＋1)(x ＋3)<0，解得－3<x <－12.∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－3<x <－12.题型2：一元二次不等式的实际应用例2 某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a 万担．政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x (x >0)个百分点，预测收购量可增加2x 个百分点．(1)写出降税后税收y (万元)与x 的关系式；(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x 的取值范围．解 (1)降低税率后的税率为(10－x )%，农产品的收购量为a (1＋2x %)万担，收购总金额为200a (1＋2x %)万元．依题意得y ＝200a (1＋2x %)(10－x )%＝150a (100＋2x )(10－x )(0<x <10)． (2)原计划税收为200a ×10%＝20a (万元)．依题意得150a (100＋2x )(10－x )≥20a ×83.2%， 化简得x 2＋40x －84≤0，解得－42≤x ≤2.又因为0<x <10，所以0<x ≤2.即x 的取值范围为{x |0<x ≤2}．变式 北京、张家口2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x 元．公司拟投入16(x 2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x 5万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量a 至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？此时该商品每件定价多少元？解 (1)设每件定价为t 元，依题意得⎝⎛⎭⎫8－t －251×0.2t ≥25×8， 整理得t 2－65t ＋1 000≤0，解得25≤t ≤40.所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．(2)依题意得当x >25时，不等式ax ≥25×8＋50＋16(x 2－600)＋x 5有解， 等价于当x >25时，a ≥150x ＋x 6＋15有解． 由于150x ＋x 6≥2150x ·x 6＝10，当且仅当150x ＝x 6，即x ＝30时等号成立， 所以a ≥10.2.故当该商品改革后的销售量a 至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．考点2：练习题1．不等式3x －12－x≥1的解集是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 34≤x ≤2 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 34≤x <2 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x >2或x ≤34 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≥34 答案 B解析 不等式3x －12－x ≥1，移项得3x －12－x－1≥0， 即x －34x －2≤0，可化为⎩⎪⎨⎪⎧ x －34≥0，x －2<0或⎩⎪⎨⎪⎧x －34≤0，x －2>0， 解得34≤x <2，则原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪34≤x <2， 故选B.2．与不等式x －32－x≥0同解的不等式是( ) A ．(x －3)(2－x )≥0B ．0<x －2≤1 C.2－x x －3≥0 D ．(x －3)(2－x )>0答案 B解析 解不等式x －32－x≥0，得2<x ≤3， A ．不等式(x －3)(2－x )≥0的解是2≤x ≤3，故不正确．B ．不等式0<x －2≤1的解是2<x ≤3，故正确．C ．不等式2－x x －3≥0的解是2≤x <3，故不正确． D ．不等式(x －3)(2－x )>0的解是2<x <3，故不正确．故选B.3．若关于x 的不等式ax －b >0的解集为{x |x >1}，则关于x 的不等式ax ＋b x －2>0的解集为( ) A ．{x |x >1或x <－2}B ．{x |1<x <2}C ．{x |x >2或x <－1}D ．{x |－1<x <2}答案 C解析 x ＝1为ax －b ＝0的根，∴a －b ＝0，即a ＝b ，∵ax －b >0的解集为{x |x >1}，∴a >0，故ax ＋b x －2＝a (x ＋1)x －2>0， 等价为(x ＋1)(x －2)>0.∴x >2或x <－1.4．已知不等式－x 2＋4x ≥a 2－3a 在R 上有解，则实数a 的取值范围为( )A ．{a |－1≤a ≤4}B ．{a |－1<a <4}C ．{a |a ≥4或a ≤－1}D ．{a |－4≤a ≤1} 答案 A解析 由题意知，原不等式可化为－(x －2)2＋4≥a 2－3a 在R 上有解，∴a 2－3a ≤4，即(a －4)(a ＋1)≤0，∴－1≤a ≤4，故选A.5．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入．则这批台灯的销售单价x (单位：元)的取值范围是( )A ．{x |10≤x <16}B ．{x |12≤x <18}C ．{x |15<x <20}D ．{x |10≤x <20} 答案 C解析 设这批台灯的销售单价为x 元，则[30－(x －15)×2]x >400，即x 2－30x ＋200<0，∴10<x <20，又∵x >15，∴15<x <20.故选C.6．若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |－1<x <2}，则不等式2a ＋b x ＋c >bx 的解集为________．答案 {x |x <0}解析 由题意知，－1,2为ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－a ，c ＝－2a 且a <0， ∴不等式2a ＋b x ＋c >bx 可化为a x－2a >－ax ， ∵a <0，即1x －2<－x ，即(x －1)2x<0， ∴x <0.7．现有含盐7%的食盐水200克，生产含盐5%以上、6%以下的食盐水，设需要加入含盐4%的食盐水为x 克，则x 的取值范围是________．答案 {x |100<x <400}解析 5%<x ·4%＋200·7%x ＋200<6%， 解得x 的取值范围是{x |100<x <400}．8．某种汽车在水泥路面上的刹车距离(刹车距离是指汽车刹车后由于惯性往前滑行的距离)s m和汽车车速x km/h 有如下关系：s ＝118x ＋1180x 2.在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离不小于40 m ，那么这辆汽车刹车前的车速不低于________ km/h.答案 80解析 根据题意，得118x ＋1180x 2≥40. 移项整理，得x 2＋10x －7 200≥0.显然Δ>0，x 2＋10x －7 200＝0有两个实数根，即x 1＝80，x 2＝－90，然后，根据二次函数y ＝x 2＋10x －7 200的图象(图略)，得不等式的解集为{x |x ≤－90或x ≥80}．在这个实际问题中，x >0，所以这辆汽车刹车前的车速不低于80 km/h.9．解关于x 的不等式a －x x ＋1>0(a ∈R )． 解 原不等式可化为x －a x ＋1<0， 即(x ＋1)(x －a )<0，①当a ＝－1时，x ∈∅；②当a >－1时，{x |－1<x <a }；③当a <－1时，{x |a <x <－1}．综上，a ＝－1时，不等式的解集为∅，a >－1时，不等式的解集为{x |－1<x <a }，a <－1时，不等式的解集为{x |a <x <－1}．10．某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x (0<x <1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x ，同时预计年销售量增加的比例为0.6x ，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．(1)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x 应在什么范围内？ 解 (1)由题意得y ＝[12(1＋0.75x )－10(1＋x )]×10 000×(1＋0.6x )(0<x <1)，整理得y ＝－6 000x 2＋2 000x ＋20 000(0<x <1)．(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须有⎩⎪⎨⎪⎧ y －(12－10)×10 000>0，0<x <1， 即⎩⎪⎨⎪⎧－6 000x 2＋2 000x >0，0<x <1， 解得0<x <13， 所以投入成本增加的比例x 应在0<x <13的范围内． 11．不等式x 2－x －2x －2>0的解集为( ) A ．{x |x >－1且x ≠2}B ．{x |x >－1}C ．{x |－1<x <2}D ．{x |x <－1或x >2} 答案 A解析 原不等式可化为(x －2)(x ＋1)x －2>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，x －2≠0，∴x >－1且x ≠2.故选A. 12．若a >0，b >0，则不等式－b <1x<a 的解集为( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x <－1b 或x >1a B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ －1a <x <1b C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－1a 或x >1bD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1b <x <0或0<x <1a 答案 A解析 原不等式可化为⎩⎨⎧1x >－b ，1x <a ，即⎩⎨⎧ bx ＋1x >0，ax －1x >0， 可得⎩⎨⎧ x <－1b 或x >0，x <0或x >1a ， 故不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x <－1b 或x >1a . 13．不等式x 2－2x －2x 2＋x ＋1<2的解集为( ) A ．{x |x ≠－2}B ．RC ．∅D ．{x |x <－2或x >2} 答案 A解析 ∵x 2＋x ＋1>0恒成立，∴原不等式⇔x 2－2x －2<2x 2＋2x ＋2⇔x 2＋4x ＋4>0⇔(x ＋2)2>0，∴x ≠－2.∴不等式的解集为{x |x ≠－2}．14．在一个限速40 km /h 的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m ，乙车的刹车距离略超过10 m ．又知甲、乙两种车型的刹车距离s m 与车速x km/h 之间分别有如下关系：s 甲＝0.1x ＋0.01x 2，s 乙＝0.05x ＋0.005x 2.这次事故的主要责任方为________．答案 乙车解析 由题意列出不等式s 甲＝0.1x ＋0.01x 2>12，s 乙＝0.05x ＋0.005x 2>10.分别求解，得x 甲<－40或x 甲>30.x 乙<－50或x 乙>40.由于x >0，从而得x 甲>30 km /h ，x 乙>40 km/h.经比较知乙车超过限速，应负主要责任．。

从函数的观点看一元二次方程与一元二次不等式从函数的角度来看，一元二次方程和一元二次不等式都是关于一个未知数的二次函数。

一元二次不等式是只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式不等式。

而一元二次方程则是有两相异实根或有两相等实根的二次函数。

对于一元二次方程，判别式Δ＝b²－4ac可以判断其有无实根以及实根的情况。

当Δ＞0时，方程有两相异实根x1和x2；当Δ＝0时，方程有两相等实根x1＝x2；当Δ＜0时，方程没有实数根。

而对于一元二次不等式，其解集可以通过判别式2Δ的符号来确定。

当2Δ＞0时，解集为{x|x＞x2或x＜x1}；当2Δ＝0时，解集为{x|x＝x1或x＝x2}；当2Δ＜0时，解集为{x|x1＜x＜x2}。

此外，对于分式不等式和整式不等式，我们可以通过乘上一个不等式来确定其符号。

具体而言，对于f(x)/g(x)>0(0(<0)；对于f(x)/g(x)≥0(≤0)，我们则需要同时满足f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.在解不等式时，我们需要注意绝对值不等式的解集，以及当a＝0时的特殊情况。

同时，要结合函数图象来确定___成立的条件。

针对一些疑误辨析，我们可以判断：(1)错误，解集为(－∞，x1)∪(x2，＋∞)时，并不能确定方程的两个根；(2)正确，解集为(x1，x2)时，a必须大于0；(3)错误，解集为x≤a时，其实为(-∞，a]。

4.已知函数$f(x)=-x+ax+b-b+1(a\in R,b\in R)$，对任意实数$x$都有$f(1-x)=f(1+x)$成立，当$x\in[-1,1]$时，$f(x)>0$恒成立，则$b$的取值范围是()解析：由$f(1-x)=f(1+x)$可得$-1+a+b-b+1=1+a-b-b+1$，即$a=0$，代入$f(x)>0$恒成立的条件，可得$b\in(-1,0)\cup(2,+\infty)$，故选项为$\textbf{(C)}$。