抛物线知识点归纳总结与经典习题

抛物线知识点一、抛物线的定义的应用定义：若()00,y x P 是抛物线c ：()022>=p px y 上一点，F 为抛物线c 的焦点，则2||0p x PF +=。

与焦点弦有关的常用结论设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． (1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24.(2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2θ(θ为AB 的倾斜角)．(3)1|AF |＋1|BF |为定值2p. (4)以AB 为直径的圆与准线相切． (5)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切． 抛物线简单性质抛物线px y 22=(p>0)的焦点F 作一条直线L 和此抛物线相交于A ),(11y x 、B ),(22y x结论1：(1)p x x AB ++=21 (2)若直线L 的倾斜角为θ，则弦长θ2sin 2pAB =p21|CD |1|AB |1=+结论2： (1) 221p y y -= (2) x 1x 2=42p (3) 832p AB S oAB =∆ (4) p FB FA 211=+ 结论3：以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切结论4：连接A 1F 、B 1 F 则 A 1F ⊥B 1F 结论5：（1）AM 1⊥BM 1 （2）M 1F ⊥AB （3）BF AF FM ⋅=21（4）设AM 1 与A 1F 相交于H ，M 1B 与 FB 1相交于Q 则M 1，Q ，F ，H 四点共圆 （5）0=+BE AE K K结论6： （1）、A O 、B 1 三点共线 （2）B ，O ，A 1 三点共线（3）设直线AO 与抛物线的准线的交点为B 1，则BB 1平行于X 轴（4）设直线BO 与抛物线的准线的交点为A 1，则AA 1平行于X 轴结论7：过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦AB 、CD ，则题型一、定义求轨迹方程 1、抛物线的焦点坐标是_________________2 、抛物线28y x =的焦点到准线的距离是（ ）（A ）1 (B) 2 (C) 4 (D) 8 3、在抛物线 上有一点 ，它到焦点的距离是20，则 点的坐标是_________．4、若点P (x ，y )到点F (0,2)的距离比它到直线y ＋4＝0的距离小2，则P (x ，y )的轨迹方程为A ．y 2＝8x B ．y 2＝－8x C ．x 2＝8y D ．x 2＝－8y 5、方程表示（ ）A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆6、已知点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为（ ）A ．43- B ．1- C ．34-D ．12-8、已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y 。

一、 第一讲: 抛物线标准方程 二、 考点、热点回顾一、定义: 在平面内,及一个定点F 和一条定直线l(l 不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫抛物线.即：的轨迹是抛物线。

则点若M MNMF,1 三、 (定点F 叫做抛物线的焦点, 定直线l 叫做抛物线的准线。

)标准方程:设定点F 到定直线l 的距离为p(p 为已知数且大于0).取过焦点F 且垂直于准线l 的直线为x 轴, x 轴及l 交于K, 以线段KF 的垂直平分线为y 轴, 建立直角坐标系抛物线上的点M(x, y)到l的距离为d, 抛物线是集合p={M||MF|=d}.化简后得: y2=2px(p＞0).由于焦点和准线在坐标系下的不同分布情况, 抛物线的标准方程有四种情形(列表如下)：二、典型例题(2)例1.(1)已知抛物线的标准方程是y2=6x, 求它的焦点坐标和准线方程；已知抛物线的焦点坐标是F(0, -2), 求它的标准方程．方程是x2=-8y.例2.根据下列所给条件, 写出抛物线的标准方程:(1)焦点是F(3, 0)；(3)焦点到准线的距离是2.答案是：(1)y2=12x；(2)y2=-x；(3)y2=4x, y2=-4x, x2=4y, x2=-4y．三、课堂练习1.抛物线y2＝4x的焦点到准线的距离是________答案：2解析: 解析: 抛物线y2＝4x的焦点F(1,0), 准线x＝－1.∴焦点到准线的距离为2.2.分别求适合下列条件的抛物线的标准方程:(1)过点(－3,2)；(2)焦点在直线x－2y－4＝0上.答案：解析: 解: (1)设抛物线方程为y2＝－2px或x2＝2py(p>0), 则将点(－3,2)代入方程得2p＝或2p＝, 故抛物线方程为y2＝－x或x2＝y.(2)①令x＝0, 由方程x－2y－4＝0, 得y＝－2.∴抛物线的焦点为F(0, －2).设抛物线方程为x2＝－2py(p>0), 则由＝2, 得2p＝8. ∴所求抛物线方程为x2＝－8y.②令y＝0，由方程x－2y－4＝0，得x＝4.∴抛物线的焦点为F(4,0).设抛物线方程为y2＝2px(p>0), 则由＝4, 得2p＝16.∴所求抛物线方程为y2＝16x.综上, 所求抛物线方程为y2＝16x或x2＝－8y.3.已知抛物线的顶点在原点, 对称轴是x轴, 抛物线上的点M(-3, m)到焦点的距离等于5, 求抛物线的方程和m的值解法一: 由焦半径关系, 设抛物线方程为y2=-2px(p＞0), 则准线方因为抛物线上的点M(-3, m)到焦点的距离|MF|及到准线的距离得p=4.因此, 所求抛物线方程为y2=-8x.又点M(-3, m)在此抛物线上, 故m2=-8(-3)．解法二: 由题设列两个方程, 可求得p和m. 由学生演板. 由题意在抛物线上且|MF|=5, 故四、课后作业1.分别求适合下列条件的抛物线的标准方程:(1)过点(－3,2)；(2)焦点在直线x－2y－4＝0上.答案：解析: (1)设抛物线方程为y2＝－2px或x2＝2py(p>0), 则将点(－3,2)代入方程得2p＝或2p＝, 故抛物线方程为y2＝－x或x2＝y.(2)①令x＝0, 由方程x－2y－4＝0, 得y＝－2.∴抛物线的焦点为F(0, －2).设抛物线方程为x2＝－2py(p>0), 则由＝2, 得2p＝8. ∴所求抛物线方程为x2＝－8y.②令y＝0，由方程x－2y－4＝0，得x＝4.∴抛物线的焦点为F(4,0).设抛物线方程为y2＝2px(p>0), 则由＝4, 得2p＝16.∴所求抛物线方程为y2＝16x.综上, 所求抛物线方程为y2＝16x或x2＝－8y.2.若抛物线y2＝－2px(p＞0)上有一点M, 其横坐标为－9, 它到焦点的距离为10, 求抛物线方程和M点的坐标.解析: 解: 由抛物线的定义, 设焦点F(－, 0). 则准线为x＝.设M到准线的距离为|MN|,则|MN|＝|MF|＝10, 即－(－9)＝10, ∴p＝2. 故抛物线方程为y2＝－4x.将M(－9，y)，代入抛物线方程得y＝±6. 故M(－9,6)或M(－9，－6)．3.已知抛物线C的焦点F在x轴的正半轴上, 点A(2, )在抛物线内. 若抛物线上一动点P到A.F两点距离之和的最小值为4, 求抛物线C的方程.解析: 解: 设抛物线方程为y2＝2px(p＞0), 其准线为x＝－, 过P点作抛物线准线的垂线, 垂足为H(图略), 由定义知, |PH|＝|PF|.∴|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PH|, 故当H、P、A三点共线时, |PA|＋|PF|最小. ∴|PA|＋|PF|的最小值为＋2＝4, p＝4, 即抛物线C的方程为y2＝8x.4.动圆M经过点A(3,0)且及直线l: x＝－3相切, 求动圆圆心M的轨迹方程.解：设圆M及直线l相切于点N. ∵|MA|＝|MN|, ∴圆心M到定点A(3,0)和定直线x＝－3的距离相等．根据抛物线的定义, M在以A为焦点, l为准线的抛物线上．∵＝3，∴p＝6. ∴圆心M的轨迹方程为y2＝12x.第二讲: 抛物线简单几何性质一、考点、热点回顾定义: 在平面内,及一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫抛物线.补充：1.通径: 通过焦点且垂直对称轴的直线, 及抛物线相交于两点, 连接这两点的线段叫做抛物线的通径。

抛物线练习题带答案,知识点总结(提高版)抛物线重难点复习一．知识点总结标准y22px(p0)2y2px(p0) 方程 x22py(p0) x22py(p0) 图形焦点坐标准线方程范围对称性顶点离心率通径p(,0) 2px 2x0 (p,0) 2px 2x0 p(0,) 2py 2p(0,) 2py 2y0 y轴 y0 y轴 x轴 (0,0) e1 x轴 (0,0) e1 2p (0,0) e1 (0,0) e1 1.参数p的几何意义是焦点到准线的距离。

p越大，抛物线开口越大，反之越小。

2.抛物线C的焦点为F,焦准距为p,M是C上的点p(1)MFminOF;(2)若MF与对称轴垂直，则MFp.2(3)若M(x0,y0)是抛物线y22px(p0)上的点则MFx0(4)若P(x0,y0)是抛物线x22py上的点，则PFy0(5).若MF与抛物线对称轴的夹角为(90)，则MFp 2p 2pp(MFp)orMF(MFp)1cos1cos1(6)以MF为直径的圆与坐标轴相切(MF的中点到坐标轴的距离为MF)23.过焦点F的直线l交抛物线于点A(x1,y1)、B(x2,y2)，记直线l的斜率为k,倾斜角为.2pp2若抛物线C:y2px,则AB(x1x2)p,SAOB 2sin2sin2pp22 若抛物线C:x2py,则AB(y1y2)p，SAOBcos22cos112(3)焦点弦的最小值为2p(通径);AFBFp2p2p2 22若抛物线C:y2px,则y1y2p,x1x2;若抛物线C:x2py,则x1x2p,y1y24422(5)以AB为直径的圆与准线相切MN1AB 2以CD为直径的圆与AB相切与焦点F1．已知抛物线C：yA. 2B. 2C. 4D. 4 【答案】D【解析】x28y，如图。

x的焦点为F，Ax0，y0是C上一点，且AF2y0，则x082 抛物线的几何意义，可知AFAl2y0y02，所以y02，所以x04，故选D。

抛物线知识点总结及练习一、抛物线的定义：平面上给予一直线L 及L 外一定点F ，则平面上所有到直线L 的距离恰等于到定点F 的距离之所有动点P 所形成的图形就称为抛物线，其中L 称为准线，F 称为焦点。

二、名词的认识：(一)对称轴﹕通过焦点F 且与准线L 垂直之直线M ，又简称为轴。

(二)顶 点﹕抛物线与对称轴的交点V 。

(三)焦 距﹕焦点F 与顶点V 的距离VF 。

(四)弦﹕抛物线上任取相异两点A 、B 的连线段。

(五)焦弦﹕过焦点F 的弦AC 。

(六)正焦弦﹕垂直于对称轴的焦弦MN 。

(注) 正焦弦长 MN 是焦距 FV 的 4 倍.三、抛物线的标准式：2y ax bx c =++ 配方 2()y a x h k =-+四、抛物线方程式：标准式焦点准线图形24y cx = F (,0)c :L x c =-0c >0c <24x cy = F (0,)c:L y c =-0c >0c <观念延伸：平移后的抛物线之方程式与其图形则会变成？标准式图形2y k c x h-=-()4()c<c>02-=-x h c y k()4()c<c>0例1：右图是一张科学家所记录的草图。

草图描绘着一颗绕着太阳运行之彗星的轨迹，其中的A、B、C、D、E 五点是科学家观察到彗星所在的位置。

经过仔细的计算，这颗彗星所运行的轨迹是一条抛物线，太阳位于其焦点且其准线是一条水平线。

则根据这张草图，彗星在被观察到的五点A、B、C、D、E与太阳之距离的大小顺序为何？【练习题】右图为一抛物线的部分图形， A、B、C、D、E个点中有一为其焦点。

试判断何点是其焦点？例2：求满足下列各条件的抛物线方程式：(1)焦点 F (2,0)，准线:2L x =- (2)焦点 F (0,3)-，准线:3L y =.【练习题】求满足下列各条件的抛物线方程式：(1) 焦点 F (1,0)-，准线:1L x = (2) 焦点 F (0,4)，准线:4L y =-例3：求抛物线216y x =-的顶点、焦点、准线与正焦弦长。

抛物线姓名：___________ 班级：________________ 得分：________________知识点回顾：1、定义：把平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F ）距离相等的点的轨迹叫做 ，点F 叫做抛物线的 ,直线l 叫做抛物线的 。

2、椭圆的简单几何性质3、抛物线焦点弦性质直线过抛物线px y 22=的焦点与抛物线交于()()2211,,,y x B y x A 两点（1）221221,4p y y p x x -== （2）)(sin 2221的倾斜角为直线AB p p x x AB αα=++= （3）PFB FA 211=+ （4）以弦AB 为直径的圆与准线相切 考点一: 定义和标准方程[例1]设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点．(1) 求点P 到点A (－1,1) 的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值； (2) 若B (3,2)，求 |PB |＋|PF | 的最小值．练习1：已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上的点M （－3，m ）到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m 的值．归纳:运用抛物线的定义解决此类问题，应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化．“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”。

考点二: 抛物线性质[例2] (2013·四川高考)抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是_____________.练习1：抛物线214y x =-的焦点坐标是（ ）． A 1016⎛⎫ ⎪⎝⎭， B 1016⎛⎫-⎪⎝⎭， C (01)-，D (10)-， 练习2：抛物线上一点到直线的距离最短的点的坐标是 （ ）A （1，1）B ．（） C ． D ．（2，4）归纳（1）关键：利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程．（2）技巧：要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解． 考点三: 抛物线与直线[例3] (2012·福建高考)如图，等边三角形OAB 的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E ：x 2＝2py ( p >0)上． (1)求抛物线E 的方程；(2)设动直线l 与抛物线E 相切于点P ，与直线y ＝－1相交于点Q .证明以PQ 为直径的圆恒过y 轴上某定点．2x y =042=--y x 41,21)49,23(练习1：已知过点A (－4,0)的动直线l 与抛物线G ：x 2＝2py (p >0)相交于B ，C 两点．当直线l 的斜率是12时， ＝4 . (1)求抛物线G 的方程；(2)设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围．课后练习：一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1、如果抛物线y 2=ax 的准线是直线x =-1，那么它的焦点坐标为（ ）A ．（1, 0）B ．（2, 0）C ．（3, 0）D ．（－1, 0）2、圆心在抛物线y 2=2x 上，且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是 （ ）A ．x 2+ y 2-x -2 y -=0 B ．x 2+ y 2+x -2 y +1=0 C ．x 2+ y 2-x -2 y +1=0D ．x 2+ y 2-x -2 y +=0 3、一抛物线形拱桥，当水面离桥顶2m 时，水面宽4m ，若水面下降1m ，则水面宽为（ ）A ．mB ． 2mC ．4.5mD ．9m4、平面内过点A （-2，0），且与直线x =2相切的动圆圆心的轨迹方程是（ ）A ． y 2=－2xB ． y 2=－4xC ．y 2=－8xD ．y 2=－16x5、抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上点（-5，m ）到焦点距离是6，则抛物线的方程是 （ ） A ． y 2=-2x B ． y 2=-4x C ． y 2=2x D ． y 2=-4x 或y 2=-36x6、过抛物线y 2=4x 的焦点作直线，交抛物线于A(x 1, y 1) ，B(x 2, y 2)两点，如果x 1+ x 2=6，那么|AB|=（ ） A ．8B ．10C ．6D ．47、把与抛物线y 2=4x 关于原点对称的曲线按向量a 平移，所得的曲线的方程是（ ）A ．B ．C ．D ．8、过点M （2，4）作与抛物线y 2=8x 只有一个公共点的直线l 有 （ ） A ．0条 B ．1条 C ．2条 D ．3条9、过抛物线y =ax 2(a >0)的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则等于（ ） A ．2aB ．C ．4aD ．414166)3,2(-=)2(4)3(2--=-x y )2(4)3(2+-=-x y )2(4)3(2--=+x y )2(4)3(2+-=+x y qp 11+a21a4二、解答题10、过抛物线E ：x 2＝2py (p >0)的焦点F 作斜率分别为k 1，k 2的两条不同直线l 1，l 2，且k 1＋k 2＝2，l 1与E 相交于点A ，B ，l 2与E 相交于点C ，D ，以AB ，CD 为直径的圆M ，圆N (M ，N 为圆心)的公共弦所在直线记为l .(1)若k 1>0，k 2>0，证明： ·<2p 2； (2)若点M 到直线l 的距离的最小值为755，求抛物线E 的方程．11、(2013·广东高考)已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F (0，c )(c >0)到直线l ：x －y －2＝0的距离为322，设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线P A ，PB ，其中A ，B 为切点．(1)求抛物线C 的方程；(2)当点P (x 0，y 0)为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； (3)当点P 在直线l 上移动时，求|AF |·|BF |的最小值．12、已知直线y ＝－2上有一个动点Q ，过点Q 作直线l 1垂直于x 轴，动点P 在l 1上，且满足OP ⊥OQ (O 为坐标原点)，记点P 的轨迹为C .(1)求曲线C 的方程；(2)若直线l 2是曲线C 的一条切线，当点(0,2)到直线l 2的距离最短时，求直线l 2的方程．。

根据抛物线知识点梳理及练习抛物线是数学中的一个重要概念，广泛应用于物理、工程和其他领域。

本文将对抛物线的知识点进行梳理，并提供一些练题供研究和巩固。

1. 抛物线的定义和特点抛物线可以通过以下定义来进行描述：抛物线是平面上一种曲线，其点到焦点的距离等于该点到准线的距离。

主要特点包括：- 顶点：抛物线的最高或最低点称为顶点，记为(V)。

- 焦点：抛物线的焦点是准线与对称轴的交点。

- 准线：平行于对称轴，且与焦点的距离等于对称轴的曲线。

- 对称轴：通过顶点和焦点的一条直线为对称轴，对称轴上各点到焦点的距离相等。

2. 抛物线的方程和表示方法抛物线的方程可以使用以下形式表示：- 标准形式：y = ax^2 + bx + c- 顶点形式：y = a(x - h)^2 + k- 描述形式：(x - h)^2 = 4p(y - k)其中，a是抛物线的开口方向和形状因子，h和k分别是顶点的横坐标和纵坐标，p是焦点到对称轴的距离。

3. 抛物线的性质和运动学应用抛物线具有一些重要的性质和运动学应用：- 对称性：关于对称轴具有对称性，即抛物线上的任意一点到对称轴的距离相等。

- 最值点：顶点是抛物线的最高或最低点，根据抛物线的开口方向可确定是极大值还是极小值。

- 轨迹：抛物线的轨迹可以描述物体自由落体运动的路径。

- 抛物线方程应用：抛物线方程可以应用于弹道学、反射面天线和卫星轨迹等计算中。

练题1. 写出以下抛物线的方程形式：- 顶点在(2, 3)，开口向上的抛物线。

- 焦点在(-1, 4)，准线为y = 3，开口向下的抛物线。

2. 抛物线的准线为x = -1，焦点在(2, 5)，开口向上，请写出抛物线的标准形式方程。

3. 抛物线的焦点在(3, 4)，顶点在(1, 2)，请写出抛物线的顶点形式方程。

参考答案1.- y = a(x - 2)^2 + 3- (x + 1)^2 = -8(y - 4)2. y = (1/4)(x + 1)^2 + 53. y = (1/2)(x - 1)^2 + 2以上是对抛物线知识点的梳理和一些练习题的提供，希望能对学习和理解抛物线有所帮助。

抛物线基础知识和典型例题（加强班） 1、抛物线定义：平面内到 和 距离 的点的轨迹叫抛物线， 叫抛物线的焦点， 叫做抛物线的准线。

(特别注意：定点必须在定直线外，否则，轨迹将退化为一条直线)．2、抛物线的标准方程和焦点坐标及准线方程① px y 22=，开口向 ，焦点为 ，准线为 ．② px y 22-=，开口向 ，焦点为 ，准线为 ．③ py x 22=，开口向 ，焦点为 ，准线为 ．④ py x 22-=，开口向 ，焦点为 ，准线为 ．3、抛物线的几何性质：对)0(22>=p px y 进行讨论．① 点的范围： 、 ．② 对称性：抛物线关于 轴对称， 对称中心．③离心率=e ． ④ 焦半径：设F 是抛物线的焦点，),(o o y x P 是抛物线上一点，则=PF ．⑤ 焦点弦：设AB 是过抛物线焦点的一条弦(焦点弦)i) 若),(11y x A ，),(22y x B ，则AB ＝ ，12x x = ，12y y = .ii) 若AB 所在直线的倾斜角为θ()0≠θ则AB ＝ ．特别地，当θ2π=时，弦AB 为抛物线的通径，且AB ＝ ．iii) AOB S ∆= （表示成p 与θ的关系式）． iv)||1||1BF AF +为定值，且等于 ． 4、直线与抛物线的位置关系的判断直线，抛物线，，消y 得：（1）当 时，直线l 与抛物线的对称轴平行或重合，直线l 与抛物线 ，有 交点；（2）当 时， 若Δ＞0，直线l 与抛物线 ，两个不同交点；若Δ=0，直线l 与抛物线 ，一个切点；若Δ＜0，直线l 与抛物线 ， 公共点。

（3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗？为什么？5、直线与抛物线的位置关系的常见问题-------“弦长，中点弦，对称，面积等问题”（1）弦长公式：（2）中点弦斜率公式：（3）常用面积计算方法：基础知识例1、已知抛物线顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上的点()3,A n -到焦点的距离为5，求抛物线的方程和n 的值．变式训练1：求顶点在原点，对称轴是x 轴，并且顶点与焦点的距离等于6的抛物线方程．例2、已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 与C 相交于A B 、．(1)若163AB =，求直线l 的方程； (2)求AB 的最小值．变式训练2：过抛物线24y x =的焦点作一条直线与抛物线相交于A B 、两点，它们的横坐标之和等于2， 则这样的直线（ ） .A 有且仅有一条 .B 有且仅有两条 .C 有无数条.D 不存在例3、若()3,2,A F 为抛物线22y x =的焦点，P 为抛物线上任意一点，求PF PA +的最小值及取得最小值时的P 的坐标．变式训练3：（2008·辽宁10）已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为 .变式训练4：一个酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的方程是22(020)x y y =≤≤，在杯内放入一个玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径r 的取值范围是例4、设1122(,)(,)A x y B x y ，两点在抛物线22y x =上，l 是AB 的垂直平分线．(1)当且仅当12x x +取何值时，直线l 经过抛物线的焦点F ？证明你的结论？(2)当直线l 的斜率为2时，求直线l 在y 轴上的截距（即纵截距）的取值范围．变式训练5：正方形ABCD 中，一条边AB 在直线4y x =+上，另外两顶点C D 、在抛物线2y x =上，求正方形ABCD 的面积．变式训练6：已知直线b x y +=与以椭圆22134x y +=的上焦点为焦点,顶点在坐标原点O 的抛物线交于A B 、两点, 若△OAB 是以角O 为直角的三角形，求b 的值例5、(2011·江西高考)已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点，斜率为的直线交抛物线于112212(,),B(,)()A x y x y x x <两点，且9AB =.(1)求该抛物线的方程； (2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC ＝OA +λOB ，求λ的值．例6、(2011·湖南高考)已知平面内一动点P 到点(1,0)F 的距离与点P 到y 轴的距离的差等于1.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线12,l l ，设1l 与轨迹C 相交于点,A B ，2l 与轨迹C 相交于点,D E ，求AD •EB 的最小值.例7、已知点(1,)M y 在抛物线()2:20C y px p =>上，M 点到抛物线C 的焦点F 的距离为2， 直线1:2l y x b =-+与抛物线C 交于,A B 两点． (1)求抛物线C 的方程； (2)若以AB 为直径的圆与x 轴相切，求该圆的方程．。

抛物线经典结论和例题1. 直线与抛物线的位置关系直线,抛物线* •廿,J"7 = fc+i才二2砂，消y得：+2（妬-p）x+护二0（1）当k=0时，直线I与抛物线的对称轴平行，有一个交点；（2）当k #0 时，A>0，直线I与抛物线相交，两个不同交点；Y0 ,直线丨与抛物线相切，一个切点；A<0，直线I与抛物线相离，无公共点。

（3）若直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线必相切吗？（不一定）2. 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法直线I : y = kx • b 抛物线-■' ''-- :，（P一0）①联立方程法：y =kx +b 2 2 2丿2= k x +2（kb — p）x+b =0y =2px设交点坐标为A（x i, yj , B（X2, y2），则有：'0 ,以及X i，X2,X i X2，还可进一步求出% y2二b kx2 b 二k（x「x2） 2b ，2 2%丫2=(kx 「b)(kx 2 b)二 k X 1X 2 kb(x 〔 x ?) b在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如二卫，即 kAB=JX i -X 2y i y2y o y o y o同理，对于抛物线X 2=2py(p =0)，若直线丨与抛物线相交于 A 、M(xO,y O )是弦AB 的中点，则有隔二需瓷讦(注意能用这个公式的条件：1)直线与抛物线有两个不同的交点 斜率存在，且不等于零)一、抛物线的定义及其应用 例1、设P 是抛物线y2 = 4x 上的一个动点.⑴求点P 到点A(- 1,1)的距离与点P 到直线x = — 1的距离之和的最小值; ⑵a.相交弦AB 的弦长AB ==i k 2(论 x 2)2—4x^2 = i k 2yi - y 2 -「k!、® y 2)2—4y i y 2二 i Wb. 中点 M (x o , y o ), x oX i X 2 y i y 2丁，yo =W②点差法:设交点坐标为A(x i ，yj ， B(X 2,y 2)，代入抛物线方程，得y 22=2px 2将两式相减，可得(yi -y 2)(y i y 2)=2p(Xi -X 2)所以庶-池a. 在涉及斜率问题时，k AB2p y i y 2b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段AB 的中点为M (X o , y °)，B 两点，点，2)直线的若B(3,2),求|PB|+ |PF|的最小值.例2、设M(xO, y0)为抛物线C: x2二8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F 为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则yO的取值范围是()A. (0,2)B. [0,2]C. (2,+^) D . [2, +^)二、抛物线的标准方程和几何性质例3、抛物线y2= 2px(p>0)的焦点为F,准线为I,经过F的直线与抛物线交于A、B两点，交准线于C点，点A在x轴上方，AK丄l,垂足为K,若|BC匸2|BF| , 且|AF| 4 ，贝U △AKF的面积是()A. 4B. 3C. 4 ；3D. 8例4、过抛物线y2= 2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A、B,交其准线I 于点C,若|BC| = 2|BF|,且|AF| = 3则此抛物线的方程为()3 9A. y2=尹B. y2= 9xC. y2= D . y2= 3x三、抛物线的综合问题例5、已知过抛物线y2= 2px(p>0)的焦点,斜率为2：2的直线交抛物线于A(X1, y", Bg y2)(X1<X2)两点,且|AB匸9.(1)求该抛物线的方程;(2)O为坐标T T T原点，C为抛物线上一点,若OC二OA+ XOB,求硝值.例6、已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1.(1) 求动点P的轨迹C的方程；(2) 过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l i，12,设l i与轨迹C相交于点A,B, 12与轨迹C相交于点D , E,求AD •岸B的最小值例7、已知点M(1, y)在抛物线C：y2= 2px(p>0) 上, M点到抛物线C的焦点F1的距离为2,直线I: y = —-x+ b与抛物线C交于A, B两点.2(1)求抛物线C的方程；⑵若以AB为直径的圆与x轴相切，求该圆的方程•练习题1.已知抛物线x2= ay的焦点恰好为双曲线y2—x2^2的上焦点，则a等于()A. 1B. 4C. 8D. 162.抛物线-4x2上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是()1715715A.—B.—C.D.161616163. (2011辽宁高考)已知F是拋物线y2= x的焦点，A, B是该拋物线上的两点,7.设抛物线y 2= 8x 的焦点为F ,准线为I , P 为抛物线上一点,PA 丄I ,10.已知抛物线的顶点在原点,对称轴为y 轴，抛物线上一点Q(-3, m)到焦 点的距离是5,则抛物线的方程为 _________ .11 .已知抛物线y 2= 4x 与直线2x +y -4 = 0相交于A 、B 两点，抛物线的焦点|AF|+ |BF| = 3, 则线段AB 的中点到y 轴的距离为4. 5. 3 A- 4B. 15 c.— 47 D- 4已知抛物线 A .相离y 2二2px ,以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是B. 相交C. 相切 D .不确定已知F 为抛物线y 2 = 8x 的焦点,过F 且斜率为1的直线交抛物线于 点，则||FA| - |FB||的值等于B. 8C .D . 166.在y = 2x 2上有一点P ,它到A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小 ,则点P 的坐标是A . (-2,1)B . (1,2)C . (2,1)D . (- 1,2)A 为垂足.如果直线AF 的斜率为-「3, 那么|PF 匸A. 4 .'3B . 8168.抛物线的顶点在原点，准线方程为 x = — 2,抛物线的方程 (A . y2= — 8xB . y2=8xC . y2 = — 4xD . y2= 4x9以抛物线x 2= 16y 的焦点为圆心,且与抛物线的准线相切的圆的方程为为 F ,那么 I F A | + | FB | = ____________ .12.过抛物线y2= 4x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1 , y1), B(x2, y2)两点, 若x1 + x2 = 6,那么|AB|等于 _________ 13 .根据下列条件求抛物线的标准方程：(1)抛物线的焦点是双曲线16x 2— 9y 2= 144的左顶点； ⑵过点P(2, — 4).14.已知点A(— 1,0), B(1,— 1),抛物线C : y 2= 4x , O 为坐标原点,过点A 的动直线I 交抛物线C 于M , P 两点，直线MB 交抛物线C 于另一点Q.若向量解析一、抛物线的定义及其应用OM 与OP 的夹角为一，求厶POM 的面积.4例1、⑴如图，易知抛物线的焦点为F(1,0),准线是x =— 1.由抛物线的定义知：点P 到直线x 二一1的距离等于点P 到焦点F 的距离. 于是，问题转化为：在曲线上求一点P ，使点P 到点A(— 1,1)的距离与点P 到 F(1,0)的距离之和最小.显然，连结AF 交曲线于P 点，则所求的最小值为|AF|, 即为丐.(2)如图，自点B 作BQ 垂直准线于Q ，交抛物线于点P1，则|P1Q| = |P1F|.则有 |PB| + |PF| >|P1B| + |P1Q|= |BQ| = 4.即|PB|+ |PF|的最小值为 4.例2、解析：圆心到抛物线准线的距离为p ，即p = 4，根据已 知只要|FM|>4即 可•根据抛物线定|FM| = y0 + 2由y0 + 2>4，解得y0>2，故y0的取值范围是 (2，+^). 二、抛物线的标准方程和几何性质例3、设点A(X 1，y 1)，其中y 1>0.由点B 作抛物线的准线的垂线，垂足为•则|BF|=|BB 1|；又|CB|= 2|FB|，因此有 |CB|= 2|BB|, cosZCBB 1 =1 n n p；,/CBB 1 = j.即直线AB 与x 轴的夹角为［.又|AF| = |AK| = X 1 +； = 4，因此因此△ AKF 的面积等于! |AK|y 1=：M X 2 ；3 = 4 '3.例4 .分别过点A 、B 作AA 1、BB 1垂直于I ，且垂足分别为B 1，由已知条件 |BC| = 2|BF|得 |BC| = 2|BB 1|，A/BCBi = 30。

抛物线及其性质知识点⼤全和经典例题及解析抛物线及其性质【考纲说明】1、掌握抛物线的简单⼏何性质，能运⽤性质解决与抛物线有关问题。

2、通过类⽐，找出抛物线与椭圆，双曲线的性质之间的区别与联系。

【知识梳理】1．抛物线定义：平⾯内到⼀定点F和⼀条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线．2．抛物线四种标准⽅程的⼏何性质：3．抛物线)0(22>=p px y 的⼏何性质：(1)范围因为p>0，由⽅程可知x ≥0，所以抛物线在y 轴的右侧，当x 的值增⼤时，|y |也增⼤，说明抛物线向右上⽅和右下⽅⽆限延伸． (2)对称性：对称轴要看⼀次项，符号决定开⼝⽅向．(3)顶点（0，0），离⼼率：1=e ，焦点(,0)2p F ，准线2px -=，焦准距p ． (4) 焦点弦：抛物线)0(22>=p px y 的焦点弦AB ，),(11y x A ,),(22y x B ,则p x x AB ++=21||．弦长|AB|=x 1+x 2+p,当x 1=x 2时，通径最短为2p 。

4．焦点弦的相关性质：焦点弦AB ，),(11y x A ,),(22y x B ，焦点(,0)2pF (1) 若AB 是抛物线22(0)y px p =>的焦点弦（过焦点的弦），且11(,)A x y ，22(,)B x y ，则：2124p x x =，212y y p =-。

(2) 若AB 是抛物线22(0)y px p =>的焦点弦，且直线AB 的倾斜⾓为α，则22sin P AB α=（α≠0）。

(3) 已知直线AB 是过抛物线22(0)y px p =>焦点F ,112AF BF AB AF BF AF BF AF BF p++===?? (4) 焦点弦中通径最短长为2p 。

通径：过焦点垂直于焦点所在的轴的焦点弦叫做通径．(5) 两个相切：○1以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切.○2过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂⾜为直径端点的圆与焦点弦相切。