有理数的乘除法

有理数乘除法运算有理数是指可以表示为两个整数的比值的数，包括整数、分数和小数。

有理数乘除法运算是基于有理数的乘法和除法进行的运算。

乘法是指将两个有理数相乘，而除法是指将一个有理数除以另一个有理数。

本文将详细介绍有理数乘除法运算的定义、性质和应用。

一、有理数乘法运算有理数乘法运算的定义是：对于任意两个有理数a和b，它们的乘积记作a×b，满足以下性质：1. 乘法交换律：a×b=b×a，对于任意的有理数a和b，它们的乘积与次序无关。

2. 乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c)，对于任意的有理数a、b和c，它们的乘积满足结合律。

3. 乘法分配律：a×(b+c)=a×b+a×c，对于任意的有理数a、b和c，乘法对加法满足分配律。

有理数乘法运算的应用非常广泛。

例如，在分数的乘法中，我们可以将分子与分子相乘，分母与分母相乘，然后将得到的积化简为最简分数。

又如，在计算小数的乘法时，我们可以直接对小数进行乘法运算，注意小数点的位置即可。

二、有理数除法运算有理数除法运算的定义是：对于任意两个有理数a和b（b≠0），它们的商记作a÷b，满足以下性质：1. 除法的定义：a÷b=c，当且仅当a=b×c，即a除以b得到商c。

2. 除法分配律：(a+b)÷c=(a÷c)+(b÷c)，对于任意的有理数a、b 和c（c≠0），除法对加法满足分配律。

在有理数除法运算中，需要注意除数不能为0，否则将出现除数为0的错误。

若除数为0，则除法运算没有意义。

有理数乘除法运算的应用非常广泛，尤其在实际生活和工作中。

例如，在购物时，我们常常需要计算商品的价格与数量的乘积，从而得到总价；在工程计算中，我们需要计算材料的价格与用量的乘积，从而得到总成本。

除法运算也同样重要，例如，在分配任务时，我们需要将总工作量按人数进行平均分配，这就涉及到除法运算。

一、有理数乘法1. 有理数乘法法则(1)两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘;(2)任何数同0相乘，都得0.例1: (1)(—3)X 9(2)(-12)X(-2)(3)3 591654(4) 56 4 1(5)(-2012)X(+ 8)X 0X(-5 40.5 )X( - 1999)2、倒数(1) 定义：乘积为1的两个有理数数互为倒数。

倒数不能独立存在。

1(2) 若a^0,则a的倒数是匚，0没有倒数；a若a、b互为倒数，则ab=1；倒数为本身的数是土 1.(一个数的倒数与原数的符号是一致的).例2：倒数是3的数是 ____ ; a+b (a+b M 0)的倒数是.例3: a与b互为相反数，x与y互为倒数，c的绝对值等于2，求a|b +xy- 1c.3、有理数乘法法则的推广(1)几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定•当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正•再把绝对值相乘.(2)几个有理数相乘，有一个因数为0,积就为0.注意：进行有理数乘法运算时先定符号后定值； 第一个因数是负数时，可省略括 号.例如：判断下列算式积的符号并计算结果：(1)3 X (-5) X (-2) ;(2)3 X (-5) X (-2)X (-4)；(3) -3 X (-5) X (-2) X (-4) X (-3) X (-6) ; (4)(-2) X (-3) X 0X (-4);4、有理数的乘法运算律小学学习的乘法运算律(交换律、结合律、分配律)都适用于有理数乘法.计算 下列式子比较可以说明：(1) 5 X (-6) ,(-6) X 5;(2)[ 3X (-4) ]X (-5) ,3X[ (-4) X (-5) ];(3)5 X[ 3+(-7)], 5X 3+5X (-7)11 6 + 12 ) X (-24)⑶ 5 X (-11 )-(-6) X (-11 )-1 172二、有理数的除法有理数的除法法则：(1)除以一个不等于0的数等于乘以这个数的倒数，即 a 十例 4.(1)4 X (- 0.17) X( -25)⑵( 1361b=a x (b^ 0)b(2)两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.(3)0除以任何一个不为0的数，都得0.注意：1.0不能做除数；2.做有理数的除法运算时，一般的，不能整除的情况下, 应用法则(1)，能整除时，应用法则(2); 3.有理数的除法是有理数的乘法的逆运算。

第五讲：有理数的乘法除法知识点：1、 有理数的乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘 ②任何数与0相乘均为0；2、 倒数：在有理数中仍然成立，即乘积是1的两个数互为倒数；3、积的符号与负因数个数之间的关系：几个不是0的数相乘，当负因数的个数为偶数时，积是正数；当负因数的个数为奇数时，积是负数；几个数相乘时，当有因数是0时，积为0；4、有理数的乘法运算律：①乘法交换律：ab=ba; ②乘法结合律：(ab)c=a(bc);③乘法分配律： a(b+c)=ab+ac;5、有理数的除法法则：除以一个不为0的数，等于乘以其倒数；即：)0(1≠⨯=÷b ba b a 6、两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任一不为0的数，都得0；7、在有理数的加减乘除混合运算中，若无括号，则按照先“先乘除后加减”的顺序进行运算；一、填空题1、5×（－2.4）＝____，（－1.25）×8＝____，（－6.5）×（－65）×0×0.001＝_____。

2、－8的倒数是_____，－4与51的差的倒数是____。

3、绝对值小于1000的所有整数的积是_______。

4、a ，b 若互为相反数，x ，y 互为倒数，c 的绝对值为2，则124a b xy c ++-＝______。

5、如果四个有理数相乘，积为负数，那么负因数的个数为____________。

6、若是,,,a b c d 是互不相等的整数，且abcd ＝9，则a b c d +++＝_________。

7、在有理数－5，－3，－2，4中任取三个数相乘，所得积中最大的是_____。

8、若0,0,0a b c ><<，则abc ___0，ab c -___0，45(36)y y -+ac b -____0。

9、当a ＝_____时，11a -没有意义；当a ＝______时，32a +没有意义。

有理数乘除法法则口诀有理数的乘除法法则是数学中的基本知识点。

它们是我们解决有理数运算题目的有力工具，能够帮助我们快速准确地得出答案。

下面，让我们通过口诀的方式来学习有理数的乘除法法则。

乘法法则口诀：同号正，异号负，积求正负。

这句口诀非常简洁明了地概括了有理数乘法法则的重要内容。

根据它，我们可以总结出以下规律：当两个有理数的符号相同时，它们的乘积为正数；当两个有理数的符号不同时，它们的乘积为负数。

举个例子说明一下，比如正数2和正数3相乘，它们的符号相同，根据乘法法则口诀，它们的乘积是正数6。

再比如，负数-4和负数-5相乘，它们的符号相同，所以它们的乘积是正数20。

除法法则口诀：除法就是乘法，倒数作法所得法。

这句口诀简洁明了地概括了有理数除法法则的重要内容。

根据它，我们可以总结出以下规律：将除法转化为乘法，然后利用倒数的概念来进行运算。

比如，如果我们要计算正数8除以正数2，我们可以将除法转化为乘法：8除以2等于8乘以倒数的2/1。

然后，我们知道任何数的倒数都是除以该数的结果，所以2的倒数是1/2。

因此，我们可以将8乘以1/2，得到的结果是4。

再举个例子，如果我们要计算负数-10除以正数2，我们同样可以将除法转化为乘法，并计算出负数-10乘以倒数的2/1。

根据倒数的概念，正数2的倒数是1/2。

所以，我们可以将-10乘以1/2，得到的结果是负数-5。

通过以上口诀的指导，我们可以快速准确地进行有理数的乘除运算。

同号正，异号负，是乘法法则的核心思想，而除法法则则是将除法转化为乘法，并利用倒数的概念来进行计算。

掌握了这些法则，我们就能够轻松解答有理数的乘除题目，提高我们的数学能力。

希望大家能够善于运用乘除法则，更好地掌握有理数的运算技巧。

有理数的乘除法上课时间：授课教师：知识要点：1. 有理数的乘法法则：两数相乘同号得正，异号得负，绝对值相乘。

任何数与0相乘，积为02. 有理数乘法运算步骤：（1）先判断积的符号（2）再把绝对值相乘。

有理数的乘法符号法则多个有理数相乘时积的符号由负因数个数决定，当负因数个数为奇数时，积为负；当负因数个数为偶数时，积为正，积的绝对值等于各个因数的绝对值的积。

3. 乘法交换律：ab＝ba乘法结合律：a（bc）＝（ab）c乘法分配律：a（b＋c）＝ab＋ac4. 有理数的除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；倒数的意义：乘积是1的两个数互为倒数；重难点：掌握有理数的乘除法法则【典型例题】例1. 计算：（1）5×（－4）（2）（－4）×（－9）（3）（－0.6）×（－5）（4）37×（－79）例2. 计算：（1）（－4）×9×（－2.5） （2）（111436＋－）×（－48）例3. 计算（－16）÷5×15例4、%).25()215(5.2425.0)41()370(-⨯-+⨯+-⨯-例4. 中百超市推出如下优惠方案：（1）一次性购物不超过100元，不享受优惠；（2）一次性购物超过100元，但不超过300元一律九折；（3）一次性购物超过300元一律八折；某人两次购物分别付款80元，252元，如果他将这两次所购商品一次性购买，则应付款（ ）。

A. 288元 B. 332元 C. 288元或316元 D. 332元或363元练习：1.如果,1=ab 且,52-=a 那么.______=b2. 计算：2.54-⨯=_______;______;)5(0=-⨯._________)5()4(=-⨯- 3如果a >0，b ＜0，那么a ·b________0．若a<0，b<0，则ab________0；若a>0，b >0，则ab_________0； 4.(1)_____]6[)3(]6)3[(7⨯⨯-=⨯-⨯ (2).21______)8(]21)41[()8(⨯+⨯-=+-⨯-5.李明同学有5，＋是________.【模拟试题】 一. 选择题1、一件标价为250元的商品，若该商品按八折销售，则该商品的实际售价是（ ）A. 180元B. 200元C. 240元D. 250元2. 如果b a ＞0，c b＞0，则下列说法错误的是（ ）A. ac ＜0B. ab ＞0C. ac ＞0D. bc ＞0 3. 下列说法错误的是（ ）A. 小于－1的数的倒数大于其本身；B. 大于1的数的倒数小于其本身C. 一个数的倒数不可能等于它本身D. （m －n ）（其中m ≠n ）的倒数是n m -14. 下列说法不正确的是（ ） A. 一个数与它的倒数之积是1B. 两个数的积为1，这两个数互为倒数C. 一个数与它的相反数之商是1D. 两数之商为－1，这两个数互为相反数。

有理数的乘除法有理数是由整数和分数组成的数，可以进行乘除法运算。

有理数的乘除法规则相对简单，但需要理解清楚并应用正确的运算法则。

乘法运算有理数的乘法规则如下：1. 正数乘以正数，或者负数乘以负数，结果为正数。

例如：3 ×4 = 12(-2) × (-3) = 62. 正数乘以负数，或者负数乘以正数，结果为负数。

例如：2 × (-5) = -10(-3) × 6 = -183. 任何数乘以0，结果为0。

例如：5 × 0 = 0(-2) × 0 = 0除法运算有理数的除法规则如下：1. 正数除以正数，或者负数除以负数，结果为正数。

例如：8 ÷ 2 = 4(-6) ÷ (-3) = 22. 正数除以负数，或者负数除以正数，结果为负数。

例如：6 ÷ (-3) = -2(-15) ÷ 5 = -33. 0除以任何非零数的结果为0。

例如：0 ÷ 7 = 00 ÷ (-9) = 04. 非零数除以0是没有意义的，为无穷大。

例如：5 ÷ 0 = 无穷大(-3) ÷ 0 = 无穷大应用示例：1. 计算：12 × (-4) ÷ (-3) × 2根据乘法和除法的运算规则：12 × (-4) ÷ (-3) × 2 = -48 ÷ (-3) × 2 = 16 × 2 = 322. 计算：(-7) ÷ 3 × (-5) ÷ 2根据乘法和除法的运算规则：(-7) ÷ 3 × (-5) ÷ 2 = -2.333 × (-2.5) = 5.825总结有理数的乘除法运算较为简单，只要掌握了乘法和除法运算规则，就能够正确地进行计算。

在实际问题中，有理数的乘除法运算经常会出现，因此对于这些运算规则的掌握非常重要。

§有理数的乘除法（第1教时）★目标预设一、知识与能力较熟练地进行有理数的乘法运算，发展观察，归纳，猜想，验证等能力。

二、过程与方法经历探索有理数乘法法则的过程，灵活运用归纳，猜想，化归等掌握新知识。

三、情感、态度、价值观注意学生的学习积极性、主动性的调动，增强学生学习数学的自信心。

★教学重难点一、教学重点：会进行有理数的乘法运算二、教学难点：有理数法则的推导★教学准备1、学生每一人备一只计算机；2、投影仪、幻灯片★预习导学预习课本P36～38，并完成填空部分★教学过程一、创设情景，谈话导入我们已经熟悉正数及0的乘法运算，引入负数以后，怎样进行有理数的乘法运算呢二、精讲点拨，质疑问难1．幻灯演示课本P34、35引例，启发，引导学生回答问题并列出算式，总结两数相乘积的符号：正数乘正数积为____数，负数乘负数积为____ 数。

正数乘负数积为____数，负数乘正数积为____ 数。

乘积的绝对值等于各乘数绝对值的2.教师引导学生总结法则内容：同号两数相乘，得正，并把绝对值相乘异号两数相乘，得负，并把绝对值相乘0与任何数相乘，结果是_________有理数相乘的运算顺序是先确定积的_______ ,再确定积的_________2．学生分组讨论：P39的观察、思考部分，组内推荐一名同学回答、观察、思考部分的问题，教师点评。

引导学生总结：⑴几个有理数相乘，如果其中有因数为0，则积等于____ ⑵几个不是0的数相乘，负因数的个数是 ______时，积是正数，负因数的个数是_______时，积是负数⑶几个有理数相乘，先确定积的______，后把它们按顺序依次___________三、课堂活动，强化训练例1． 计算：（1）（—3）×9 ⎪⎭⎫⎝⎛-21×（－2）引导学生总结：（1）乘积是1的两个数互为倒数（2）举几个互为倒数的例子学生练习书P37例2：用正负数表示气温的变化量，上升为正，下降为负，登山队攀登一座高峰，每登高1Km 气温的变化量为－60C ，攀登3Km 后，气温有什么变化例3．计算：（1）()⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯-4159653（2）()415465⨯⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⨯-注：学生板练，学生点评，教师总结学生练习书P38例4．用计算机计算：（－51）×（－14）学生练习书P39注：学生总结用计算器计算乘法的步骤四、延升拓展，巩固内化例5．（1）当a ＞0时，a___2a ，当a ＜0时，a___2a（2）如果数ab=1，则数a 与b 的关系是_______例6，五个数相乘，积为负，则其中正因数的个数为（） A 0 B 2 C 4 D 0，2或4例7．计算：（1）（－6）×（＋8）－（－5）×（－9）（2）12×()⎪⎭⎫⎝⎛⨯--⎪⎭⎫ ⎝⎛-3122311（3）－1＋0×（－1）－（－1）×（－1）－（－1）×0×（－1）例8、417165⨯教师讲解后，并引导学生总结法则内容五．布置作业,当堂反馈作业 P47，1、2、3§ 有理数的乘除法（第2教时）★ 目标预设一．知识与能力 巩固有理数乘法法则，能运用乘法律运算简化计算二．过程与方法 经历探索、归纳总结乘法运算的过程，进一步发展学生的观察，归纳，猜测，验证能力一、 情感、态度、价值观 培养学生语言表达能力，以及与他人沟通，交往能力★ 教学重难点一．重点 运用运算律使运算简化二．难点 正确运算运算律，使运算简化★ 预习导学：1计算（1）5×（－6） （2） （－6）×5（3）()[]()543-⨯-⨯ （4） 3×()()[]54-⨯-2．计算（1）5()[]73-+⨯=5×（ ）=________（2）5×3＋5×（－7）=____－_____ =_______★ 教学过程：一、创设情景，谈话导入上一节课我们学习了有理数的乘法，下面我们一起看预习导学部分已做过的题目二、精讲点拨 质疑问难上面我们做过的题目中，你发现了什么吗在有理数运算中，乘法的交换律、结合律以及分配律还成立吗请大家换一些数试一试，（分四人小组进行互助组内交流、合作、讨论）引导学生充分发表意见，并总结：乘法的交换律、结合律、分配律在和理数范围内仍成立: 乘法的交换律：a ·b=乘法的结合律：（a ·b ）·c=乘法的分配律：a （b+c ）=三、课堂活动，强化训练a) 用两种方法计算12216141⨯⎪⎭⎫⎝⎛-+解法1：解法2：比较上面两种解法，它们在运算顺序上有什么区别解法2用了什么运算律哪种解法运算量小四、延伸拓展，巩固内化例2 计算：（1）⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⨯⎪⎭⎫⎝⎛-41283246315（2） ⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯21752127575213（3） ()36727199-⨯（4）49×9999（5）()()()5.1231408325.0⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-⨯⨯-⨯-学生分组练习后，各派一名学生板练，在学生练习过程中，对不能熟练简便运算的学生个别辅导，引导他们观察，探索学生练习书P47例3： 我们用字母X 表示任意一个有理数，2与X 的乘积记为2X ，3与X 的乘积记为3X ，则式子2X+3X 是2X 与3X 的和，2X 、3X 叫做这个式子的项，2与3分别叫做这两个项的系数。