下载文档原格式
高中数学中的二次函数与函数拐点位置在高中数学中，二次函数是一个非常重要且基础的概念。
它在解决实际问题、数学建模和几何图形分析中都具有广泛的应用。
本文将重点讨论二次函数的定义、性质以及函数拐点位置的确定方法。
一、二次函数的定义与性质二次函数是指具有如下形式的函数：$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中$a \neq 0$，且$a, b, c$为实数。
1. 二次函数的图像特点二次函数的图像通常呈现开口方向向上或向下的抛物线形状。
开口方向由二次函数的系数$a$的正负决定。
当$a > 0$时，抛物线开口向上；当$a < 0$时，抛物线开口向下。
2. 二次函数的对称轴二次函数的对称轴是一个重要的概念，它切割了抛物线图像，将其分为左右对称的两部分。
对称轴可以通过以下公式求得：$x = -\frac{b}{2a}$。
其中，$x$表示对称轴的横坐标。
3. 二次函数的顶点二次函数的顶点是函数最高点或最低点的位置，也是函数拐点的位置。
顶点的纵坐标可以通过直接将对称轴的横坐标代入二次函数中计算得到。
二、函数拐点位置的确定方法函数拐点是函数曲线发生弯折的位置，也是函数图像由凹向上凹向下（或凹向下凹向上）的转折点。
寻找函数拐点有以下两种常用方法。
1. 利用导数和二阶导数对于二次函数$y = ax^2 + bx + c$，其一阶导数为$y' = 2ax + b$，二阶导数为$y'' = 2a$。
函数拐点位置可以通过求解二阶导数等于零的横坐标来确定。
当$y'' = 0$时，可以解得$x = -\frac{b}{2a}$，即为函数拐点的横坐标。
2. 利用顶点坐标根据二次函数的顶点坐标$(h, k)$，其函数拐点的横坐标为$h$。
因此，为了确定函数拐点的位置，只需要找到二次函数的顶点坐标即可。
对于一般形式的二次函数，我们可以通过完成平方的方式将其转化为顶点坐标形式。
平行线中的拐点模型之蛇形模型(5字模型)平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。
本专题就平行线中的拐点模型(蛇形模型(“5”字模型))进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
拐点(平行线)模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。
通用解法：见拐点作平行线；基本思路：和差拆分与等角转化。
模型1：蛇形模型(“5”字模型)基本模型：如图，AB∥CD，结论：∠1+∠3-∠2=180°.图1图2如图1，已知：AB∥DE，结论：α+γ=β+180°.如图2，已知：AB∥DE，结论：α+β=γ+180°.【模型证明】在图1中，过C作AB的平行线CF，∴∠β=∠FCB.∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠γ+∠FCD=180°，∵∠α=∠FCD+∠FCB，∴∠α+∠γ=∠β+180°在图2中，过C作AB的平行线CF，∴∠β+∠FCB=180°，∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠γ=∠FCD，∵∠α=∠FCD+∠FCB，∴∠α+∠β=∠γ+180°1(2023下·安徽黄山·七年级统考期末)如图，已知AB∥DE，∠A=25°，∠CDE=135°，则∠ACD的度数是()A.45°B.60°C.70°D.90°2(2023下·黑龙江鸡西·七年级期中)如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，若第一次拐角∠A= 130°，第二次拐角∠B=150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，求∠C的度数()A.160°B.150°C.140°D.135°3(2022下·贵州黔南·七年级统考期中)如图，如果AB∥CD，那么角α，β，γ之间的关系式为()A.α+β+γ=360°B.α-β+γ=180°C.α+β+γ=180°D.α+β-γ=180°4(2023下·四川广安·七年级统考期末)如图1是十二星座中的天秤座的主要星系连线图，将各个主要星系分别用字母A~H表示，得到如图2的几何示意图，已知AB∥GF．试说明∠ABC=∠BCF+∠CFG．5(2023下·浙江绍兴·七年级统考期末)如图，AB∥CD，AE平分∠BAN，AE的反向延长线交∠CDN的平分线于点M，则∠M与∠N的数量关系是()A.∠M=2∠NB.∠M=3∠NC.∠M+∠N=180°D.2∠M+∠N=180°6(2023上·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中)已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA、PD．(1)如图1，已知∠A=50°，∠D=150°，求∠APD的度数；(2)如图2，判断∠PAB、∠CDP、∠APD之间的数量关系为．(3)如图3，在(2)的条件下，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠PAN+12∠PAB=∠APD，求∠AND的度数．7(2023下·陕西汉中·七年级校考期中)如图，已知直线AB∥CD，P是平面内一点，连接PA、PD．(1)如图①，若∠PAB=130°，∠PDC=120°，求∠APD的度数；(2)如图②，若∠A=50°，∠D=150°，求∠APD的度数；(3)如图③，试判断∠PAB、∠CDP和∠APD之间的数量关系，并说明理由．8(2023下·广东广州·七年级统考期末)甲同学在学完《相交线与平行线》后，想通过折铁丝的方式进一步探索相交线与平行线的知识，他的具体操作步骤如下：第一步：将一根铁丝AB在C，D，E处弯折得到如下图①的形状，其中AC∥DE，CD∥BE．第二步：将DE绕点D旋转一定角度，再将BE绕点E旋转一定角度并在BE上某点F处弯折，得到如下图②的形状．第三步：再拿出另外一根铁丝弯折成∠G，跟前面弯折的铁丝叠放成如下图③的形状．请根据上面的操作步骤，解答下列问题：(1)如图①，若∠C=2∠D，求∠E；(2)如图②，若AC∥BF，请判断∠C，∠D，∠E，∠F之间的数量关系，并说明理由；(3)在(2)的条件下，如图③，若∠ACD=3∠DCG，∠DEF=3∠DEG，设∠D=x，∠F=y，求∠G．(用含x，y的式子表示)课后专项训练1(2023下·山东泰安·七年级统考期末)如图，已知直线l1∥l2，∠A=125°，∠B=85°，且∠1比∠2大4°，那么∠1的大小是()A.13°B.15°C.16°D.17°2(2023下·浙江嘉兴·七年级校考阶段练习)如图，是一段赛车跑道的示意图，其中AB∥DE，测得∠B =130°，∠D=70°．那么∠C=()A.90°B.100°C.110°D.120°3(2023下·浙江杭州·七年级统考期末)如图，AB∥DE，∠ABC=α，∠CDE=β，则∠BCD的度数为()A.α+βB.β-αC.180°+α-βD.180°-α+β4(2023·河南驻马店·三模)如图，已知AB∥DE，∠ABC=150°，∠CDE=75°，则∠BCD的度数为()A.55°B.60°C.45°D.50°5(2023下·江西景德镇·七年级统考期末)如图所示，一艘轮船从A地出发，沿北偏东45°方向航行至B 地，再从B地出发沿南偏东25°，方向航行至C地，则∠ABC的度数为()A.70°B.65°C.50°D.45°6(2023·河南·统考三模)如图，已知AB∥DE，∠ABC=150°，∠CDE=75°，则∠BCD的度数为()A.55°B.60°C.45°D.50°7(2023下·上海·七年级期中)如图，若AB∥EF，用含α、β、γ的式子表示x，应为()A.α+β+γB.β+γ-αC.180°-α-γ+βD.180°+α+γ+β8(2023下·广东深圳·七年级校考期中)如图，AB∥DE，∠B=60°，∠D=150°，则∠BCD=()A.30°B.60°C.15°D.45°9(2023下·广东江门·七年级统考期末)如图，已知AB∥PG，BC∥DE，BD∥EF，则α，β，γ三者之间的关系是()A.α+β+y=180°B.β=α+γC.α-β=γD.γ-α=β10(2023上·贵州六盘水·八年级校考阶段练习)如图，AB∥DE，∠ABC=80°，∠CDE=140°，则∠BCD的度数为．11(2023下·七年级课时练习)如图，∠2=∠3，∠1=60°，若a∥b，则∠4的度数为．12(2023下·上海闵行·七年级统考期末)我们规定车辆在转弯时的转弯角是车辆原行驶路线与转弯后路线所成的角的外角．如图：一辆车在一段绕山公路行驶(沿箭头方向)时，在点B、C和D处的转弯角分别是α、β和θ，且AB∥DE，则α、β和θ之间的数量关系是．13(2023下·上海浦东新·七年级校考期中)如图，直线AB∥EF，∠B、∠C、∠D、∠E之间的数量关系是．14(2023下·辽宁丹东·七年级统考期末)如图，若AB∥CD，∠1=70°，∠2=140°，则∠3=°．15(2023下·重庆綦江·七年级校考阶段练习)如图某工程队从A点出发，沿北偏西67°方向修一条公路AD，在BD路段出现塌陷区，就改变方向，在B点沿北偏东23°的方向继续修建BC段，到达C点又改变方向，使所修路段CE∥AB，则∠ECB=度．16(2023上·广东广州·八年级校考开学考试)如图，若AB∥CD，则∠α、∠β、∠γ的关系是．17(2023下·北京石景山·七年级统考期末)某篮球架及侧面示意图如图所示，若∠EDC=150°，DE∥AB，CB⊥AB于点B，则∠GCB=°．18(2023下·辽宁沈阳·七年级校考阶段练习)如图所示，已知FC∥AB∥DE，∠BCD:∠D:∠B=2:3:4，求∠B，∠D的度数．19(2023下·福建龙岩·七年级校考阶段练习)完成下面的证明．(1)如图，AB∥CD，CB∥DE．求证：∠B+∠D=180°．证明：∵AB∥CD，∴∠B=()，∵CB∥DE，∴∠C+∠D=180°()，∴∠B+∠D=180°；(2)如图，AB和CD相交于点O，∠C=∠COA，∠D=∠BOD．求证AC∥BD．证明：∵∠C=∠COA，∠D=∠BOD又∠COA=∠BOD()∴∠=∠D∴AC∥BD()．20(2023下·青海西宁·七年级统考期末)阅读下面材料：小亮同学遇到这样一个问题：如图1，AB∥CD，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE，得到∠BED．求证：∠BED=∠B+∠D．(1)小亮写出了该问题的证明，请你帮他把证明过程补充完整：证明：过点E作EF∥AB∴∠BEF=()∵AB∥CD∴∥()∴∠FED=∴∠BED=∠BEF+∠FED=∠B+∠D；(2)请你参考小亮的方法，解决下列问题：①如图2，AB∥CD，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE，得到∠BED．求证：∠B+∠BED+∠D=360°；②如图3，AB∥CD，则∠B，∠BEC，∠C之间的数量关系是．21(2023下·辽宁抚顺·七年级统考期末)如图，AB∥DC，点E在直线AB，DC之间，连接DE，BE．(1)写出∠ABE，∠BED，∠EDC之间的数量关系，并说明理由；(2)若∠EDC=21°，∠BED=2∠B，求∠B的度数；22(2023下·辽宁大连·七年级统考期末)阅读材料：如图1，点A是直线MN上一点，MN上方的四边形ABCD中，∠ABC=140°，延长BC，2∠DCE=∠MAD +∠ADC，探究∠DCE与∠MAB的数量关系，并证明.小白的想法是：“作∠ECF=∠ECD(如图2)，通过推理可以得到CF∥MN，从而得出结论”.请按照小白的想法完成解答：拓展延伸：保留原题条件不变，CG平分∠ECD，反向延长CG，交∠MAB的平分线于点H(如图3)，设∠MAB=α，请直接写出∠H的度数(用含α的式子表示).23(2023下·山东枣庄·七年级统考期中)(1)问题发现：如图①，直线AB∥CD，E是AB与AD之间的一点，连接BE，CE，可以发现∠B+∠C=∠BEC.请把下面的说理过程补充完整：解：过点E作EF∥AB，因为AB∥CD(已知)，EF∥AB，所以EF∥DC，()所以∠C=.()因为EF∥AB，所以∠B=，所以∠B+∠C=∠BEF+∠CEF.即∠B+∠C=∠BEC．(2)拓展探究：如果点E运动到图②所示的位置，其他条件不变，则∠B、∠C、∠BEC的关系为.(直接写出结论，不用说明理由)(3)解决问题：如图③AB∥DC，∠C=120°，∠AEC=80°，则∠A=.(直接写出结果，不用写计算过程)24(2023下·广西柳州·七年级统考期末)综合与实践【课题学习】：平行线的“等角转化”功能．如图1，已知点A是BC外一点，连接AB，AC．求∠BAC+∠B+∠C的度数．11解：过点A 作ED ∥BC ，∴∠B =______，∠C =∠DAC ，又∵∠EAB +∠BAC +∠DAC =180°．∴∠B +∠BAC +∠C =______．【问题解决】(1)阅读并补全上述推理过程．【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC ，∠B ，∠C “凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．【方法运用】(2)如图2所示，已知AB ∥CD ，BE 、CE 交于点E ，∠BEC =80°，在图2的情况下求∠B -∠C的度数．【拓展探究】(3)如图3所示，已知AB ∥CD ，BF 、CG 分别平分∠ABE 和∠DCE ，且BF 、CG 所在直线交于点F ，过F 作FH ∥AB ，若∠BFC =36°，在图3的情况下求∠BEC 的度数．。
双曲函数的图形与特征
双曲函数的图形与特征
拐点(同曲线对称中心):,该点切线斜
顶点（同极小值点）：率为1
拐点（同曲线对称中心）：，该点切线斜率为
不连续点：1
渐近线：渐近线：顶点（同极大点）：不连续点：
对称点：拐点：
渐近线：
反双曲函数的图形与特征
对数表达式
y = Ar cth x
y = Ar sech x
y = Ar csch x
反双曲函数的图形与特征
反双曲正弦曲线
拐点(同曲线对称中心):，该点切线斜率为1 顶点：
拐点(同曲线对称中心):，该点切线斜率为1 不连续点：渐近线：
顶点：不连续点：
拐点：
渐近线：和。
函数及其图象xx年xx月xx日•函数的基本概念•函数的图像•不同类型函数的图像目录•函数图像的应用•函数图像的艺术01函数的基本概念设x和y是两个变量，D是一个给定的集合，在D上有唯一确定的y值与x对应，则称y是x的函数，记作y=f(x)。
集合D称为函数的定义域，x称为自变量，y称为因变量。
函数的定义函数的表示方法解析法用等式表示函数，如y=2x+1。
图象法用图象表示函数，如f(x)=sinx的图象为一条周期性变化的曲线。
表列法用表格列出函数值，如f(x)={1,2,3,4}。
010203函数的分类•常数函数：f(x)=const，如f(x)=0。
•一次函数：f(x)=kx+b，如f(x)=2x+1。
•二次函数：f(x)=ax^2+bx+c，如f(x)=x^2-2x+1。
•反比例函数：f(x)=k/x，如f(x)=2/x。
•对数函数：f(x)=logax，如f(x)=log2x。
•幂函数：f(x)=xn，如f(x)=x^3。
•复合函数：由若干个基本初等函数复合而成，如f(x)=sin(x^2)。
02函数的图像1函数图像的概念23将函数表达式中自变量与因变量之间的关系用图形表示出来。
函数图像在平面直角坐标系中，以横轴表示自变量，纵轴表示因变量。
坐标系根据函数表达式的性质，图像呈现不同形状，如直线、曲线、折线等。
函数图像的形状描点法根据函数表达式，求出一些自变量对应的因变量值，然后在坐标系上描出对应的点，最后用平滑的曲线或直线将这些点连接起来。
图示法利用计算器或编程语言，直接在计算机上绘制出函数图像。
绘制函数图像的方法平移将函数图像沿横轴或纵轴方向移动一定距离。
将函数图像按比例进行缩放，使横轴或纵轴的长度发生改变。
将函数图像沿着一条直线翻折，使图像呈现镜像效果。
将函数图像沿着一定角度旋转一定角度，使图像的位置发生改变。
函数图像的变换伸缩翻折位移03不同类型函数的图像线性函数一次函数的图像是直线，表达式为$y=kx+b$，其中$k$是斜率，$b$是截距。
素养提升课一运动图像问题追及相遇问题提升点一运动学图像问题1．x-t图像与v-t图像的对比类型x-t图像v-t图像坐标轴纵轴表示位移x，横轴表示时间t纵轴表示速度v，横轴表示时间t 图线倾斜直线表示匀速直线运动倾斜直线表示匀变速直线运动斜率表示速度表示加速度纵截距纵轴截距表示初位置纵轴截距表示初速度面积无实际意义图线和时间轴围成的面积表示位移交点表示物体相遇表示速度相等拐点表示速度方向改变表示加速度方向改变学生用书第13页2．三类非常规运动学图像的理解(1)a-t图像：如图甲所示，纵轴截距b表示初始加速度a0，由Δv＝aΔt可知图像中图线与横轴所围面积表示速度的变化量。
(2)x t -t图像：如图乙所示，由x＝v0t＋12at2可得xt＝v0＋12at，故纵轴截距b表示初速度v0，图像的斜率k表示12 a。
(3)v2-x图像：如图丙所示，由v2－v20＝2ax可知v2＝v20＋2ax，故纵轴截距b表示v20，图像斜率k表示2a。
考向1x-t图像A、B两质点在同一平面内同时向同一方向做直线运动，它们的位置—时间图像如图所示，其中A是顶点过原点的抛物线的一部分，B是过点(0，3)的一条直线，两图像相交于坐标为(3，9)的P点，则下列说法不正确的是()A．质点A做初速度为零、加速度为2m/s2的匀加速直线运动B．质点B以2m/s的速度做匀速直线运动C．在前3s内，质点A比B向前多前进了9mD ．在3s 前某时刻质点A 、B 速度相等【题眼点拨】(1)看到“质点A 的x -t 图像是抛物线”，想到“A 做匀变速直线运动”。
(2)看到“质点B 的x -t 图像是直线”，想到“B 做匀速直线运动”。
(3)看到“两图线交于P 点”，想到“P 处两质点相遇”。
答案：C解析：质点A 的运动方程为x ＝12at 2，又过点(3，9)，则初速度为零，加速度a ＝2m/s 2，故A正确；B 直线的斜率表示速度，故质点B 做匀速直线运动，质点B 的速度为v ＝ΔxΔt ＝2m/s ，故B 正确；在前3s 内，质点B 的位移为6m ，质点A 的位移为9m ，质点A 比B 向前多前进了3m ，故C 错误；t ＝1s 时刻，质点A 的速度为2m/s ，质点B 以v ＝2m/s 的速度做匀速直线运动，即t ＝1s 时，质点A 、B 速度相等，故D 正确。
中考数学解题技巧（九）找特殊位置（动点与图像综合题） （马铁汉）近两年，武汉、黄冈等地中考数学中，出现了新题型——动点与函数图像相结合的问题。
此类问题，图形与图像要结合一起观察。
要关注动点的特殊位置（起点、拐点、终点）和图像中的特殊点（连接点）信息，得出更多的有用信息，为解决问题，提供条件。
下面通过几个中考真题，作简要介绍。
例1、（2022黄冈.16.）如图1，在ΔABC 中，∠B=36°，动点P 从点A 出发，沿折线A →B →C 匀速运动至点C 停止．若点P 的运动速度为1cm/s ，设点P 的运动时间为t(s)，AP 的长度为y(cm)，y 与t 的函数图象如图2所示．当AP 恰好平分∠BAC 时t 的值为___522+___． 分析：看图1，点B 是点P 运动中的拐点，对应图2图像中两段线的连接点。
也就是说点P 运动4秒到达点B 的位置。
图1中点C 是点P 运动的终点，图2中对应的时间是8。
也就是说点P 运动完全程共用时间是8秒。
由此可知，AB=BC 。
解：由图像知BA=BC=4.∴ ∠C=∠BAC=(180°-36°)÷2=72°如图1，AP 平分∠BAC ，∴∠BAP=∠PAC=72°÷2=36°在ΔABP 中，∠B=∠BAP=36°∴AP=BP在ΔAPC 中，∠C=∠APC=72°∴AP=AC ∴AC=AP=BP设AC=AP=BP=x由ΔABC ∽ΔPAC得AC BC PC AC =∴xx x 44=-， ∴522+-=x AB+BP=225-+4+（）=522+例2、（2021武汉.16.）如图（1），在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，边AB 上的点D 从顶点A 出发，向顶点B 运动，同时，边BC 上的点E 从顶点B 出发，向顶点C 运动，D ，E 两点运动速度的大小相等，设x ＝AD ，y ＝AE ＋CD ，y 关于x 的函数图象如图（2），图象过点（0，2），则图象最低点的横坐标是21_．分析：点D 在点A 处时，点E 在点B 处，结合图像看，此时y=2，即AE ＋CD=AB+AC=2,所以AB=AC=1.而函数图像只给出一个点的坐标，求不出函数关系解析式，所以通过函数不能求出其图像最低点的横坐标。
专题02 平行线中的拐点模型之铅笔头模型平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。
本专题就平行线中的拐点模型（铅笔头模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。
通用解法：见拐点作平行线；基本思路：和差拆分与等角转化。
模型2：铅笔头模型图1 图2 图3如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3=360°；②已知：∠1+∠2+∠3=360°，结论：AM∥BN.如图2，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3+∠4=540°如图3，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+…+∠n=（n－1）180°.【模型证明】在图1中，过P作AM的平行线PQ，∵AM∥BN，∴PQ∥BN，∴∠1+∠APQ＝180°，∠3+∠BPQ＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°；在图2中，过P1作AM的平行线P1C，过点P2作AM的平行线P2D，∵AM∥BN，∴AM∥P1C∥P2D∥BN，∴∠1+∠AP1C＝180°，∠P2P1C+∠P1P2D＝180°，∠BP2D+∠4＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝540°；在图3中，过各角的顶点依次作AB的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补以及上述规律可得：∠1+∠2+∠3+…+∠n＝（n﹣1）180°．例1．（2023·江苏南通·校考二模）如图，已知//AB CD ，140A Ð=°，120E Ð=°，则C Ð的度数是（ ）A ．80°B ．120°C ．100°D ．140°【答案】C 【分析】过E 作直线MN //AB ，根据两直线平行，同旁内角互补即可求出∠1，进而可求出∠2，然后根据平行于同一条直线的两直线平行可得MN //CD ，根据平行线性质从而求出∠C ．【详解】解：过E 作直线MN //AB ，如下图所示，∵MN //AB ，∴∠A +∠1＝180°（两直线平行，同旁内角互补），∴∠1＝180°﹣∠A ＝180°﹣140°＝40°，∵12120AEC Ð=Ð+Ð=°，∴211204080AEC Ð=Ð-Ð=°-°=°∵MN //AB ，AB //CD ，∴MN //CD ，∴∠C +∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补），∴∠C ＝180°﹣∠2＝180°﹣80°＝100°，故选：C ．【点睛】此题考查的是平行线的判定及性质，掌握构造平行线的方法是解决此题的关键．例 2．（2023·山西吕梁·校联考模拟预测）如图，这是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行.若132Ð=°，262Ð=°，则3Ð的度数为（ ）A ．118°B ．148°C ．150°D ．162°【答案】C 【分析】过点B 作BA ∥工作篮底部，根据平行线的性质及角的和差求解即可．【详解】解：如图，过点B 作BA ∥工作篮底部，3180MBA \Ð+Ð=°，Q 工作篮底部与支撑平台平行，BA ∥工作篮底部BA \∥支撑平台，132ABN \Ð=Ð=°，2ABN MBA Ð=Ð+ÐQ ，262Ð=°，30MBA \Ð=°，3150\Ð=°，故选：C ．【点睛】此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，内错角相等”、“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．例3．（2023下·江苏·七年级专题练习）如图，AB //ED ，α＝∠A +∠E ， β＝∠B +∠C +∠D ，则β与α的数量关系是（ ）A ．2β＝3αB ．β＝2αC ．2β＝5αD ．β＝3α【答案】B 【分析】作CF //ED ，利用平行线的性质求得β与α，再判断β与α的数量关系即可．【详解】解：如图，作CF //ED ， ∵AB //ED ，∴∠A +∠E =180°= α ，∵ED //CF ， ∴∠D +∠DCF =180°，∵AB //ED ，ED //CF ，∴AB //CF ，∴∠B +∠BCF =180°，∴∠D +∠DCF +∠B +∠BCF =180°+180° 即 ∠B +∠C +∠D =360°= β ， ∴ β＝2α ． 故选B ．【点睛】本题考查了平行线的性质，熟悉运用平行线的性质是解题的关键．例4．（2023下·广西南宁·七年级校考期末）如图，如果AB EF ∥，那么ABC BCD CDE DEF Ð+Ð+Ð+Ð=A ．270°B ．360°【答案】C 【分析】利用平行线的性质，结合所作的辅助线，可以得出答案．【详解】解：过点C 作CM AB ∥∵AB EF ∥，∴AB CM DN EF ∥∥∥，∴1180ABC Ð+Ð=°，23180Ð+Ð=°，Ð∴540ABC BCD CDE DEF Ð+Ð+Ð+Ð=【点睛】本题考查了平行线的性质及判定的相关知识点，掌握知识点是解答此题的关键．例5．（2023下·湖北武汉·七年级期末）如图，【答案】60°/60度【分析】根据平角定义可求出，∴180ABC BCM Ð+Ð=°，180MCF EFC +Ð=°，BCM Ð∴360ABC FCB EFC Ð+Ð+а，∵120FCB Ð=°，∴360360ABC EFC FCB Ð=-Ð=°-∵14ABP ABC Ð=Ð， 14EFP EFC Ð=Ð，A ．2360P Q Ð+Ð=°B ．2【答案】A 【分析】过点P 作PM AB ∥,EPM AEP FPM CFP Ð=ÐÐ=Ð进而得到12EQF Ð=Ð+Ð，再由角平分线的定义可得()2122PEB PFD EQF Ð+Ð=Ð+Ð=Ð，即可求解．【详解】解：如图，过点P 作PM AB ∥，过点Q 作QN AB ∥，∵AB CD P ，∴PM AB CD QN ∥∥∥，∴,EPM AEP FPM CFP Ð=ÐÐ=Ð，1,2EQN FQN Ð=ÐÐ=Ð，180,180PEB EPM PFD FPM Ð+Ð=°Ð+Ð=°，∴12EQF Ð=Ð+Ð，∵PEB Ð和PFD Ð的平分线交于点Q ，∴21,22PEB PFD Ð=ÐÐ=Ð，∴()()21222PEB PFD EQN FQN EQF Ð+Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=Ð，∵180,180PEB EPM PFD FPM Ð+Ð=°Ð+Ð=°，∴2360EPF EQF AEP CFP PEB PFD Ð+Ð=Ð+Ð+Ð+Ð=°．故选：A ．【点睛】本题考查了平行线的性质，平行公理的推论，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．例7．（2023下·江苏南京·七年级统考期中）从特殊到一般是数学研究的常用方法，有助于我们发现规律，探索问题的解．(1)如图1，AB CD ∥，点E 为AB 、CD 之间的一点．求证：12360MEN Ð+Ð+Ð=°．(2)如图2，AB CD ∥，点E 、F 、G 、H 为AB 、CD 之间的四点．则123456Ð+Ð+Ð+Ð+Ð+Ð=______．(3)如图3，AB CD ∥，则123n Ð+Ð+Ð++Ð=L ______．【答案】(1)证明见详解；(2)900°；(3)()1801°-n ；【分析】（1）过点E 作OE ∥A B ，可得OE AB CD ∥∥，根据平行线的性质可得1180MEO Ð+Ð=°，2180OEN Ð+Ð=°，再计算角度和即可证明；（2）分别过点E 、F 、G 、H 作AB 的平行线，在两相邻平行线间利用两直线平行同旁内角互补求得两角度和后，再将所有角度相加即可解答；（3）由（2）解答可知在AB 、CD 之间每有一条线段便可求得一个180°角度和，结合图3找出n 和线段条数的关系便可解答；【详解】（1）证明：如下图，过点E 作OE ∥A B ，∵AB CD ∥，OE ∥A B ，∴P OE CD ，根据两直线平行同旁内角互补可得：1180MEO Ð+Ð=°，2180OEN Ð+Ð=°，∴12360MEO OEN Ð+Ð+Ð+Ð=°，∴12360MEN Ð+Ð+Ð=°；（2）解：如下图，分别过点E 、F 、G 、H 作1O E AB ∥，2O F AB ∥，3O G AB ∥，4O H AB ∥，结合（1）解答在两相邻平行线间可得：1180AME MEO Ð+Ð=°，12180O EF EFO Ð+Ð=°，23180O FG FGO Ð+Ð=°，34180O GH GHO Ð+Ð=°，4180O HN HNC Ð+Ð=°，将所有角度相加可得：1234561805900Ð+Ð+Ð+Ð+Ð+Ð=°´=°；（3）解：由（2）解答可知在AB 、CD 之间每有一条线段便可求得一个180°角度和，由图3可知：当AB 、CD 之间有2条线段时，3n =，当AB 、CD 之间有3条线段时，4n =，当AB 、CD 之间有4条线段时，5n =，当AB 、CD 之间有5条线段时，6n =，…，当AB 、CD 之间有()1n -条线段时，n n =，∴()1231801n n Ð+Ð+Ð++Ð=°-L ；【点睛】本题考查了平行线公理的推论，平行线的性质，归纳总结的解题思路，通过作辅助线将角度按组计算是解题关键．例8．（2023下·江苏苏州·七年级校考期中）当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等例如：在图①、图中②，都有12Ð=Ð，3=4ÐÐ，设镜子AB 与BC 的夹角αABC Ð=．(1)如图①，若α90=°，判断入射光线EF 与反射光线GH 的位置关系，并说明理由．(2)如图②，若90α180°<<°，入射光线EF 与反射光线GH 的夹角βFMH Ð=，探索α与β的数量关系，并说明理由．(3)如图③，若α120=°，设镜子CD 与BC 的夹角γ(90γ180)BCD Ð=°<<°，入射光线EF 与镜面AB 的夹角1(090)m m Ð=°<<°，已知入射光线EF 从镜面AB 开始反射，经过(n n 为正整数，且3)n £次反射，当第n 次反射光线与入射光线EF 平行时，请直接写出γ的度数(可用含有m 的代数式表示)．【答案】(1)EF GH ∥，见解析(2)2180b a =-°，见解析(3)90m °+或150°【分析】（1）在BEG V 中，23α180ÐÐ++=°，α90=°，可得2390Ð+Ð=°，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等可得，180FEG EGH Ð+Ð=°，进而可得//EF GH ；（2）在BEG V 中，23α180ÐÐ++=°，可得23180αÐÐ+=°-，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等可得，22MEG ÐÐ=，23MGE ÐÐ=，在MEG V 中，β180MEG MGE ÐÐ++=°，可得α与β的数量关系；（3）分两种情况画图讨论：①当3n =时，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等，及GCH △内角和，可得γ90.m =°+②当2n =时，如果在BC 边反射后与EF 平行，则α90=°，与题意不符；则只能在CD 边反射后与EF 平行，根据三角形内角和定理推出，可得γ60G Ð=-°，由EF HK ∥，且由（1）的结论可得，γ150=°．【详解】（1）EF GH ∥，理由如下：在BEG V 中，23α180ÐÐ++=°，α90=°，2390\Ð+Ð=°，12Ð=ÐQ ，3=4ÐÐ，1234180Ð+Ð+Ð+Ð=\°，12180FEG ÐÐÐ++=°Q ，34180EGH ÐÐÐ++=°，180FEG EGH \Ð+Ð=°，EF GH \∥；（2）β2α180=-°，理由如下：在BEG V 中，23α180ÐÐ++=°，23180αÐÐ\+=°-，12Ð=ÐQ ，1MEB Ð=Ð，2\Ð=ÐMEB ，22\Ð=ÐMEG ，同理可得，23MGE ÐÐ=，在MEG V 中，β180MEG MGE ÐÐ++=°，()β180MEG MGE ÐÐ\=°-+()1802223ÐÐ=°-+()180223ÐÐ=°-+()1802180α=°-°-2α180=-°；1BEG m ÐÐ==Q ，18012060BGE CGH m m ÐÐ\==°-°-=°-，180211802FEG m ÐÐ\=°-=°-(1802180260EGH BGE Ð=°-=°-°EF HK Q ∥，360FEG EGH GHK \Ð+Ð+=°，则120GHK Ð=°，则30GHC Ð=，由GCH △内角和得γ90m =°+．②当2n =时，如果在BC 边反射后与EF 平行，由（1）可知α90=°，与题意不符；则只能在CD 边反射后与EF 平行，如下图所示，设AB 与DC 的延长线交于点【答案】(1)110°(2)3603APC AQC Ð=°-Ð；(3)11n n -+【分析】（1）过点P 作PQ AB ∥，则PQ AB CD ∥∥，根据平行线的性质即可求解；（2）过点P 作PM AB ∥，过点Q 作QN AB ∥，则PM AB CD ∥∥，QN C AB D ∥∥，结合22QAP QAB QCP QCD Ð=ÐÐ=Ð，，即可得到结论；（3）过点P 作PE AB ∥，则PE ∥∵130PAB Ð=°，∴13050APQ Ð=-°=°，∵120APC Ð=°，∴5070CPQ Ð=°-°=°，∴18070110PCD Ð=°-°=°；（2）解：过点P 作PM ∥，过点Q 作QN AB ∥，则PM AB CD ∥，QN C AB D ∥∥∴180180PAB APM PCD CPM Ð+Ð=°Ð+Ð=°，，，即()360APC PAB PCD Ð=°-Ð+Ð，同理：AQC BAQ Ð=Ð课后专项训练1．（2023下·江苏苏州·七年级校考期中）如图，在五边形ABCDE 中，AE BC ∥，则C D E Ð+Ð+Ð=（ ）A ．540°B ．360°C ．270°D ．180°【答案】B 【分析】首先过点D 作DF AE ∥，交AB 于点F ，由AE BC ∥，可证得AE DF BC ∥∥，然后由两直线平行，同旁内角互补可知180E EDF Ð+Ð=°，180CDF C Ð+Ð=°，继而证得结论．【详解】解：过点D 作DF AE ∥，交AB 于点F ，AE BC Q ∥，AE DF BC \∥∥，180E EDF \Ð+Ð=°，180CDF C Ð+Ð=°，360C CDE E \Ð+Ð+Ð=°．故选：B ．【点睛】此题考查了平行线的性质，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．2．（2023上·四川绵阳·八年级统考开学考试）如图，一束光线AB 先后经平面镜OM ，ON 反射后，当35ABM Ð=°时，DCN Ð的度数为（ ）A ．55°B ．70°C ．60°D ．35°【答案】A 【分析】根据入射角等于反射角以及“两直线平行，同旁内角互补”解答即可．【详解】解：∵35ABM Ð=°，ABM OBC Ð=Ð，∴35OBC Ð=°，∴1801803535110ABC ABM OBC Ð=°-Ð-Ð=°-°-°=°，∵CD AB ∥，∴180ABC BCD Ð+Ð=°，∴18070BCD ABC Ð=°-Ð=°，A．115°B．120°【答案】A【分析】直接利用平移的性质结合平行线的性质得出答案．【详解】解：过B 作h m ∥，由题意可得：m n ∥,∴h n ∥，∴1180ABD Ð+Ð=°，∴3DBC Ð=Ð，180118065115ABD Ð=°-Ð=°-°=°，∴232115DBC ABD Ð-Ð=Ð-Ð=Ð=°．故选：A ．【点睛】此题主要考查了平移的性质以及平行线的性质，正确转化角的关系是解题关键．5．（2023·安徽安庆·八年级统考期中）一把直尺与一块直角三角板按如图方式摆放，若146Ð=°，则2Ð=（ ）A ．46°B ．44°C ．42°D ．40°【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键，过三角板的直角顶点作直尺两边的平行线，根据平行线的性质可得1346Ð=Ð=°，24ÐÐ=，再结合角的和差关系可得答案.【详解】解：过三角板的直角顶点作直尺两边的平行线，∵直尺两边互相平行，∴1346Ð=Ð=°，24ÐÐ=，∵490344Ð=°-Ð=°，∴2444Ð=Ð=°，故选：B ．6．（2023下·山东烟台·七年级统考期末）如图，按虚线剪去长方形纸片的相邻两个角，并使1160Ð=°，AB BC ^，则2Ð的度数为（ ）A ．100°B ．110°C ．120°D ．130°【答案】B 【分析】过点B 作BE AD ∥，然后根据两直线平行，同旁内角互补得出12360ABE CBE Ð+Ð+Ð+Ð=°，再解答即可．【详解】解：过点B 作BE AD ∥，∴1360ABE Ð+Ð=°∵CF AD ∥，∴CF BE AD ∥∥，∴2360CBE Ð+Ð=°∴12360ABE CBE Ð+Ð+Ð+Ð=°，∴12360ABC Ð+Ð+Ð=°，∵AB BC ^∴90ABC Ð=°∵1160Ð=°，∴2Ð的度数为110°．故选：B ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，加辅助线，然后利用平行线的性质求解是解此题的关键．7．（2023下·广东中山·七年级校联考期中）如图，已知：,115,135AB CD B D Ð=°Ð=°∥，则E Ð= （ ）A ．105°B ．110°C ．115°D ．120°【答案】B 【分析】过点E 作ME AB ∥，根据平行线的性质得出180B BEM Ð+Ð=°，180D DEM Ð+Ð=°，再根据角的和差求解即可．AB CD ∥Q ，ME AB CD \∥∥115B Ð=°Q ，135D Ð=°，\Ð110BED BEM DEM \Ð=Ð+Ð=A ．40°B ．50°【答案】C 【分析】利用多边形的内角和公式求得五边形的内角和，再由平行线性质求得BAE ABC BCD Ð+Ð+Ð，最后利用角的和差即可求得答案．【详解】解：∵四边形ABCDE 为五边形，【答案】540°/540度【分析】可过点B ，【详解】解：如图，过点AE DF ∥Q ，AE BM CN \∥∥则180A ABM Ð+Ð=°，MBC ÐA ABM MBC BCN =Ð+Ð+Ð+Ð【点睛】本题主要考查平行线的判定与性质，平行公理的推论，掌握两直线平行，同旁内角互补是解决此【答案】1402n °+°【分析】首先过点E 作EF AB ∥，由平行线的传递性得得出B C D A B C n Ð=Ð=°，BAD Ð=由两直线平行，内错角相等得出BEF Ð∥Q AB CD ，∴B C D A B C n Ð=Ð=°，Ð又∵BE 平分ABC Ð，DE 平分ADC Ð，∵AB EF CD ∥∥，∴12BEF ABE n Ð=Ð=° ∴1402BED FED BEF n Ð=Ð+Ð=°+°，故答案为：【答案】50【分析】先根据平行公理判定【详解】解:如图，过点∵CM EF ∥,AB EF ∥，∵155A Ð=°，105E Ð=°∵CD 平分ACE Ð，ACD \Ð【答案】150【分析】过点B 作BF AE P ，根据平行线的性质可得90BAE Ð=°，则90ABF Ð=°，可求出CBF Ð=【详解】解：过点B 作BF AE P ，∵CD AE ∥，∴BF AE CD ∥∥∵BA AE ^，∴90BAE Ð=°，∵120ABC Ð=°，∴30CBF Ð=【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定，解题的关键是掌握：平行于同一直线的两直线互相平行；【答案】3b a =/13a =【点睛】本题考查平行线的性质，关键是过点平行线的性质即可解决问题．14．（2023下·贵州安顺=540°，根据以上的规律求【答案】140【分析】过点E作EM Q AB CD∥，EM AB∥Q的平分线与ABFÐ1\Ð=ÐÐ,ABE ABF【答案】①②③④【分析】根据平行公理判断到212180Ð+Ð=°，2+4=90ÐÐ得到2123360Ð+Ð=°，根据【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，熟练应用判定定理和性质定理是解题的关键，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．【答案】（1）55°；（2）140°【点睛】本题考查平行线的性质和三角形外角的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补，是解题的关键．18．（2023下·江苏南京·七年级校联考期末）珠江某河段两岸安置了两座可旋转探照灯示，假如河道两岸是平行的，PQ MN ∥，且(1)填空：BAN Ð= °；(2)若灯B 射线先转动30秒，灯A 射线才开始转动，在灯A 灯转动几秒，两灯的光束互相平行？(3)如图3，若两灯同时转动，在灯A 射线到达的射线AC 与BC 交于点C ，过C 作ACD Ð交PQ 于点D ，且120ACD Ð=°，则在转动过程中，与BCD Ð的数量关系，并说明理由．①当090t <<时，如图1，PQ MN Q ∥，PBD BDA \Ð=ÐAC BD Q P ，CAM BDA \Ð=Ð，CAM PBD \Ð=Ð2t \=②当90150t <<时，如图2，PQ MN Q ∥，PBD BDA \Ð+ÐAC BD Q P ，CAN BDA \Ð=Ð180PBD CAN \Ð+Ð=°1802CAN t Ð=°-Q ，\Ð又120ABC t Ð=°-Q ，(1)如图①，点C 是夹在AB 和DE 之间的一点，当AC CD ^时，垂足为C ，你知道(2)如图②，点1C ，2C 是夹在AB 和DE 之间的两点，请想一想：12A C C Ð+Ð+Ð(3)如图③，随着AB 与DE 之间点的增加，那么121n A C C C D -Ð+Ð+Ð++Ð+ÐL 的度数为必说明理由）【答案】(1)270°(2)540°(3)()180n °【分析】（1）如图所示，过点C 作AB 的平行线CF ，则CF DE AB ∥∥，由平行线的性质得到180A ACF Ð+Ð=°，180DCF D Ð+Ð=°，进而得到360A ACD D Ð+Ð+Ð=°，再由AC CD ^，即可得到270A D Ð+Ð=°．（2）如图所示，过点2C 作2C F AB ∥，则2C AB DE ∥∥，由平行线的性质得到2180D FC D +=°∠∠，同（1）可得112360A C C C F ++=°∠∠∠，112540A C C C D D +++=°∠∠∠∠；（3）由（1）（2）可知，AD DE、之间每多增加一个点，那么所得角度之和就会增加180°，据此规律求解即可．【详解】（1）解：如图所示，过点C 作AB 的平行线CF ．∵AB DE ∥，∴CF DE ∥，∴180A ACF Ð+Ð=°，180DCF D Ð+Ð=°，∴1802360A ACD D Ð+Ð+Ð=°´=°．又∵AC CD ^，∴36090270A D Ð+Ð=°-°=°．（2）解：如图所示，过点2C 作2C F AB ∥，∵AB DE ∥，∴2C F AB DE ∥∥，∴2180D FC D +=°∠∠，同（1）可得112360A C C C F ++=°∠∠∠，∴1122540A C C C F D FC D ++++=°∠∠∠∠∠，∴112540A C C C D D +++=°∠∠∠∠，故答案为：540°；（3）解：由（1）（2）可知，AD DE 、之间每多增加一个点，那么所得角度之和就会增加180°，∴()121180n A C C C D n -Ð+Ð+Ð++Ð+Ð=°L ，故答案为：()180n °．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，图形类的规律探索，熟知平行线的性质是解题的关键．20．（2023下·江苏·七年级专题练习）已知AB CD ∥，连接A ，C 两点．(1)如图1，CAB Ð与ACD Ð的平分线交于点E ，则AEC Ð等于(2)如图2，点M 在射线AB 反向延长线上，点N 在射线CD 4570AMN ACN Ð=°Ð=°，，求MEC Ð的度数；(3)如图3，图4，M ，N 分别为射线AB ，射线CD 上的点，()AMN ACN a b a b Ð=Ð=¹，，请直接写出图中MEC Ð的度数（用含【答案】(1)90(2)57.5°(3)1118022a b °-+或1118022b a °-+【分析】（1）根据平行线的性质得到180BAC ACD Ð+Ð=°90CAE ACE Ð+Ð=°，即可求出答案；（2）过点E 作EF ∥∵,ME CE 分别平分BMN ACD Ð，，∴122.52BME BMN Ð=Ð=°，∴3557.5MEC MEF CEF Ð=Ð+Ð=+°=°；（3）①如图3，过点E 作AB ，∵AB CD ∥，∴EF CD ∥，∵11AME AMN a Ð=Ð=，11802MEF a =°-，∵AB CD ∥，∴EF CD ∥，∴Ð∵1122ECD ACD b Ð=Ð=，∴Ð【点睛】此题考查了平行线的性质及角平分线的定义，解题的关键是正确掌握平行线的性质：两直线平行同旁内角互补，两直线平行内错角相等．【答案】(1)80°(2)36012P Ð=°-Ð-Ð；证明见详解(3)140°【分析】（1）过点P 作MN AB ∥，利用平行的性质就可以求角度，解决此问；（2）利用平行线的性质求位置角的数量关系，就可以解决此问；（3）分别过点P 、点G 作MN AB ∥、KR AB ∥，然后利用平行线的性质求位置角的数量关系即可．【详解】（1）解：如图过点P 作MN AB ∥，∵AB CD ∥，∴AB MN CD ∥∥．∴1180EPN Ð+Ð=°，2180FPN Ð+Ð=°．∵1130Ð=°，2150Ð=°，∴12360EPN FPN Ð+Ð+Ð+Ð=° ∴36013015080EPN FPN Ð+=°-°-°=°．∵P EPN FPN Ð=Ð+Ð，∴∠P =80°．故答案为：80°；（2）解：36012P Ð=°-Ð-Ð，理由如下：如图过点P 作MN AB ∥，∵AB CD ∥，∴AB MN CD ∥∥．∴1180EPN Ð+Ð=°，2180FPN Ð+Ð=°．∴12360EPN FPN Ð+Ð+Ð+Ð=°∵EPN FPN P Ð+Ð=Ð，36012P Ð=°-Ð-Ð．（3）如图分别过点P 、点G 作MN AB ∥、KR AB∥（1）如图2，AB CD P ，点M 是AEF Ð和FGC Ð平分线的交点，EFG Ð（2）如图3，AB CD P ，GM 平分CGF Ð，EM GM ^，EF 平分BEM ÐCGF Ð的度数是________．【答案】EFG BEF DGF Ð=Ð+Ð，360；（1）117°；（2）124°【答案】(1)60OFD Ð=°(2)见解析(3)2760n <<【分析】（1）过点O 作AB OH ∥，易得AB CD OH ∥P ,利用平行线的性质可求解；（2）延长EG 交CD 于Z ,由于EG 平分AEO Ð，所以AEG OEG Ð=Ð，根据此条件表示可求出两角的关系；（3）过点O 作AB OK MP NQ P P P ，设2AEG x Ð=，MNF MNG FNG Ð=Ð+Ð，求出n ，m 之间的关系，利用已知条件n m ＞，求出【详解】（1）解：证明：过点O 作AB OH ∥，∵AB CD ∥，∴AB CD OH ∥P ,∴AEO Ð又∵150AEO а＝，90EOF а＝,∴EOH Ð（2）解：GFO Ð与CFG Ð相等，理由如下：延长∵AB CD ∥，∴180AEG CZG Ð+аÐ＝，∵135EGF а＝，且CZG ZGF ZFG Ð=Ð+Ð又∵90EOF а＝，∴在四边形EOFG 中，∵EG 平分AEO Ð，∴AEG OEG Ð=Ð,∴∵AB CD ∥，∴AB CD OK MP NQ ∥P P P ∴90EOF BEO OFD Ð=Ð+Ð=°，即180又∵3EMN n а＝，5MNH m а＝，∴MNF Ð∴322MNF MNQ FNQ n x Ð=Ð+Ð=°-+(1)【特例探究】如图1，90C Ð=°．①CED CGF Ð+Ð=______度；②若CED Ð与CGF Ð的角平分线相交于点P ，则EPG Ð=______度；(2)【一般探索】如图2，C a Ð=，EPG b Ð=．①若13DEP CED Ð=Ð，13FGP CGF Ð=Ð，求a 与b 的关系；②若1DEP CED nÐ=Ð，1FGP CGF n Ð=Ð（2n ³且n 为整数），直接写出a 与b 的关系；∴180DEC ECM Ð+Ð=°，∴DEC ECM MCG Ð+Ð+Ð∵ECM MCG ECG Ð+ÐÐ=∴DEC ECG FGC Ð+Ð+Ð=②∵CED Ð与CGF Ð的角平分线相交于点∴1DEP CED Ð=Ð，FGP Ð∵12l l ∥， ∴2CM l P ，PN ∥∴180DEC ECM Ð+Ð=°，Ð∴DEC ECM MCG Ð+Ð+Ð+即DEC ECG FGC Ð+Ð+Ð=∵13DEP CED Ð=Ð，FGP Ð。
