广东省中山市2010-2011学年高三第一学期期末统一考试-数学试卷(理科)

中山市高二级2012—2013学年度第一学期期末统一考试数学试卷（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试用时120分钟．第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．在△ABC 中，60A =︒，75B =︒，c =20，则边a 的长为 A．B．C．D．2．不等式(50)(60)0x x -->的解集是 A ．(,50)-∞B ．(60,)+∞C ．(50,60)D ．(,50)(60,)-∞+∞3．十三世纪初，意大利数学家斐波那契（Fibonacci ，1170～1250）从兔子繁殖的问题，提出了世界著名数学问题“斐波那契数列”，该数列可用递推公式121,1,2;, 3.n n n n F F F n --=⎧=⎨+≥⎩由此可计算出8F = A ．8B ．13C ．21D ．344．函数()ln f x x x =的单调递减区间是 A ．(0,)eB ．(,)e +∞C ．1(0,)eD ．1(,)e +∞5．等差数列{}n a 的前n 项和12...n n S a a a =+++，若1031S =，20122S =，则30S = A ．153B ．182C ．242D ．2736．关于双曲线22916144y x -=，下列说法错误的是 A ．实轴长为8，虚轴长为6 B ．离心率为54C ．渐近线方程为43y x =±D ．焦点坐标为(5,0)±7．下列命题为真命题的是 A ．x ∀∈N ，32x x >B ．0x ∃∈R ，200220x x ++≤C ．“3x >”是“29x >”的必要条件D ．函数2()f x ax bx c =++为偶函数的充要条件是0b =8．已知函数32()f x x ax bx c =+++，x ∈[-2，2]表示的曲线过原点，且在x ＝±1处的切线斜率均为-1，有以下命题：① f （x ）的解析式为：3()4f x x x =-，x ∈[-2，2]；② f （x ）的极值点有且仅有一个； ③ f （x ）的最大值与最小值之和等于零. 则下列选项正确的是（ ）. A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卡相应横线上） 9．一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18，则它的第2项为 .10．与椭圆221259x y +=焦点相同的等轴双曲线的标准方程为 . 11．小明用TI-Nspire™ CAS 中文图形计算器作出函数1()(2)(3),[4,4]8f x x x x x =+-∈-的图像如右图所示，那么不等式()0f x ≥的解集是 .（用区间表示）12．已知(2,1,3)a = ，(4,2,)b x =-，且a b ⊥ ，则||a b -=.13．在周长为定值P 的扇形中，当半径为 时，扇形的面积最大，最大面积为 . 14．已知抛物线2()2f x x x =-上一点(3,(3))P f 及附近一点'(3,(3))P x f x +∆+∆，则割线'PP 的斜率为'(3)(3)PP f x f k x+∆-==∆ ，当x ∆趋近于0时，割线趋近于点P 处的切线，由此可得到点P 处切线的一般方程为 .三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.） 15．（13分）已知函数()(2)(3)f x x x x =+-.（1）求导数()f x '； （2）求()f x 的单调区间.16．（13分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)()n S n n N n*∈均在直线12y x =+上.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设123n a n b +=，n T 是数列{}n b 的前n 项和，试求n T .17．（13分）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c . （1）若边BC 上的中线AD 记为a m，试用余弦定理证明：a m =. （2）若三角形的面积S =2221()4a b c +-，求∠C 的度数.18．（13分）某厂生产甲、乙两种产品每吨所需的煤、电和产值如下表所示.但国家每天分配给该厂的煤、电有限, 每天供煤至多56吨，供电至多450千瓦，问该厂如何安排生产，使得该厂日产值大？最大日产值为多少?19．（14分）如图，在长方体1AC 中，12,AB BC AA ==E 、F 分别是面11AC 、面1BC 的中心．以D 为坐标原点，DA 、DC 、D D 1所为直线为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系，试用向量方法解决下列问题：（1）求异面直线AF 和BE 所成的角；（2）求直线AF 和平面BEC 所成角的正弦值．AA 1BC D B 1C 1D 1 EF20. （14分）已知椭圆的一个顶点为(0,1)A-，焦点在x轴上, 右焦点到直线0x y-+的距离为3．（1）求椭圆的标准方程；（2）设椭圆与直线(0)=时，求y kx m k=+≠相交于不同的两点M、N，当AM AN实数m的取值范围.中山市高二级2012—2013学年度第一学期期末统一考试高二数学试卷（理科）答案一、选择题：ACCCD DDB二、填空题：9. 8； 10. 22188x y -=； 11. [2,0][3,4]- ；； 13. 4P ，216P ； 14. 112x +∆，11180x y --=. （前空3分，后空2分）三、解答题：15． 解：（1）由原式得32()6f x x x x =--，……………（3分）∴2()326f x x x '=--. ……（6分） （2）令()0f x '<x <<， ……………（9分）令()0f x '>，解得x <x >，……………（11分）所以()f x的单调递减区间为， ……………（12分）单调递增区间为(-∞，)+∞. ……………（13分）16. 解：（1）依题意得，1,2n S n n =+即212n S n n =+. ……………（2分）当n≥2时， 221111()(1)(1)2222n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=-⎢⎥⎣⎦; ………（5分） 当n=1时，2111311121222a S ==+⨯==⨯-. ……………（6分） 所以*12()2n a n n N =-∈.……………（7分）（2）由（1）得12233n a n n b +==，……………（8分） 由2(1)2123393n n n n b b ++===，可知{}n b 为等比数列. ……………（10分） 由21139b ⨯==，……………（11分）故19(19)99198n n n T +--==-. ……（13分）17．解：（1）在ABD ∆中，222()2cos 22a ac m B a c +-=； ……………（2分）在ABC ∆中，222cos 2c a b B c a+-= .……………（4分）∴ 222222()2222a ac m c a b a c a c +-+-=， ………………（5分）化简为：2222222222()424a a c ab bc a m c +-+-=+-=， ∴ a m =.………………（7分） （2）由S =2221()4a b c +-，得12ab sin C =12cos 4ab C .………………（10分） ∴ tan C =1，得C =45︒.………………（13分）18. 解：设该厂每天安排生产甲产品x 吨，乙产品y 吨，则日产值812z x y =+，…（1分）线性约束条件为735620504500,0x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩.…………（3分）作出可行域.…………（6分）把812z x y =+变形为一组平行直线系8:1212zl y x =-+，由图可知，当直线l 经过可行域上的点M 时，截距12z最大，即z 取最大值. 解方程组73562050450x y x y +=⎧⎨+=⎩，得交点(5,7)M ，……………（10分） max 85127124z =⨯+⨯=.……………（12分）所以，该厂每天安排生产甲产品5吨，乙产品7吨，则该厂日产值最大，最大日产值为124万元.………………（13分）19. 解：（1）A （2，0，0），F （1，2），∴((1,AF BE =-=-- ， ……（4分） ∴ 1210AF BE →→∙=-+=.……（6分）所以AF 和BE 所成的角为90︒ . ……（7分）（2）设平面BEC 的一个法向量为(,,),n x y z =又 (2,0,0),BC =-(1,BE =--则：20n BC x ∙=-=，0n BE x y ∙=--=.∴0x =， 令1z =，则：y =,∴ n →=. …………（10分）∴ ,AF nCOS AF n AF n∙<>===∙. ……………（12分）设直线AF 和平面BEC 所成角为θ，则：Sin θ=. 即 直线AF 和平面BEC……………（14分）20. 解：（1）依题意可设椭圆方程为 2221(1)x y a a+=> ，……………（1分）则右焦点F . ……（2分）3=, 解得：23a =.……………（4分） 故 所求椭圆的标准方程为：2213x y +=.……………（5分）（2）设P 为弦MN 的中点，联立2213y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ ， ………………（6分）消y 得： 222(31)63(1)0k x mkx m +++-=. ………………（7分）由于直线与椭圆有两个交点， 0,∴∆>即 2231m k <+ ① …………（8分）23231M N p x x mk x k +∴==-+， 从而 231p p my kx m k =+=+，21313p Ap py m k k x mk+++∴==-. 又 ,AM AN AP MN =∴⊥，则： 23113m k mk k++-=- ，即： 2231m k =+ ② ，……………（12分）把②代入①得：22m m >，解得： 02m <<； 由②得：22103m k -=>，解得：12m > . 所以，122m <<.………………（14分）。

中山市高三级2013—2014学年度第一学期期末统一考试数学试卷（理科）本试卷共4页，20小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上。

3、不可以使用计算器。

4、考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设复数113i z =-，21i z =-，则12z z +在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设全集U 是实数集,R {}22,M x x x =><-或{}2430N x x x =-+> 则图中阴影部分所表示的集合是 （ ） A ．{|21}x x -≤< B ．{|22}x x -≤≤ C ．{|12}x x <≤D ．{|2}x x < 3．已知平面向量()21=，a ，()2x =-，b ，若a ∥b ， 则a +b 等于( ) A ．()2,1-- B ．()2,1C ．()3,1-D ．()3,1-4．定义某种运算a S b =⊗，运算原理如上图所示，则式子131100lg ln )45tan 2(-⎪⎭⎫⎝⎛⊗+⊗e π的值为（ ）A ．4B ．8C ．11D ．13 5．把边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使得平面⊥ABD 平面CBD，形成三棱锥ABD C -的正视图与俯视图如下图所示，则侧视图的面积为 （ ） ABCD ．6①两个变量间的相关系数r 越小，说明两变量间的线性相关程度越低；②命题p ：“R ∈∃0x ，01020>--x x ”的否定p ⌝：“R ∈∀x ，012<--x x ”；③用相关指数2R 来刻画回归效果，若2R 越大，则说明模型的拟合效果越好； ④若23.0=a ，3.02=b ，2log 3.0=c ，则b ac <<． A ．①③④B ．①④C ．③④D ．②③（第2题图）（第4题图）7．对a ∀、b R ∈，运算“⊕”、“⊗”定义为：a b ⊕=,().()a a b b a b <⎧⎨≥⎩，a b ⊗=,().()a a b b a b ≥⎧⎨<⎩，则下列各式其中不恒成立的是（ ）⑴a b a b a b =+⊗+⊕⑵a b a b a b =-⊗-⊕ ⑶[][]a b a b a b =⋅⊗⋅⊕ ⑷[][]a b a b a b =÷⊗÷⊕ A ．⑴、⑶ B ． ⑵、⑷C ．⑴、⑵、⑶D ．⑴、⑵、⑶、⑷8. 已知函数)(x f y =)(R x ∈满足(2)2()f x f x +=，且[1,1]x ∈-时，()1f x x =-+，则当[10,10]x ∈-时，)(x f y =与4()log g x x =的图象的交点个数为( )A ．13B ．12C ．11D ．10二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．9．已知函数3log ,0()2,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则1(())9f f = .10．如图，一不规则区域内，有一边长为1米的正方形，向区域内随机地撒1000颗黄豆，数得落在正方形区域内（含边界）的黄豆数为 375 颗，以此实验数据为依据可以估计出该不规则图形的面积为 平方米.（用分数作答）11．在二项式521x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，含4x 的项的系数是 ．12．已知20πα<<,=+)6cos(πα53,则=αcos .13．已知数列{}n a 为等差数列，若23a =，1612a a +=，则789a a a ++= .14．如图, //AB MN ，且2OA OM =，若OP xOA yOB =+， 15．（其中,x y R ∈），则终点P 落在阴影部分（含边界）时16．，21y x x +++的取值范围是 .三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本题满分12分）设平面向量)sin ,(cos x x =，1)2b = ，函数()1f x a b =⋅+ . （Ⅰ）求函数)(x f 的值域和函数的单调递增区间;（Ⅱ）当9()5f α=,且263ππα<<时,求2sin(2)3πα+的值.某校从参加高三年级期末统考测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）估计这次测试数学成绩的平均分和众数；（Ⅱ）假设在[90，100]段的学生的数学成绩都不相同，且都超过94分．若将频率视为概率，现用简单随机抽样的方法，从95，96，97，98，99，100这6个数中任意抽取2个数，有放回地抽取了3次，记这3次抽取中，恰好是两个学生的数学成绩的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望E ξ． 17．（本小题满分14分）如图，在底面是矩形的四棱锥ABCD P -中，PA ⊥平面ABCD ， 2==AB PA ，4=BC . E 是PD 的中点，（Ⅰ）求证：平面PDC ⊥平面PAD ；（Ⅱ）求二面角D AC E --的余弦值； （Ⅲ）求直线CD 与平面AEC 所成角的正弦值18．（本小题满分14分）数列{n a }的前n 项和为n S ，2131(*)22n n S a n n n N +=--+∈． （Ⅰ）设n n b a n =+，证明：数列{}n b 是等比数列； （Ⅱ）求数列{}n nb 的前n 项和n T ； （Ⅲ）若1n n n b c b =-，数列{}n c 的前n 项和n T ，证明：n T <53．P B E D C A已知函数()xf x e kx =-，.（Ⅰ）若0k >，且对于任意0)(,>∈x f R x 恒成立，试确定实数k 的取值范围； （Ⅱ）设函数)()()(x f x f x F -+=，求证：1ln (1)ln (2)ln ()ln(2)()2n nF F F n e n N +*+++>+∈20．（本题满分14分）已知函数2()()f x x x a =-，2()(1)g x x a x a =-+-+（其中a 为常数）； （Ⅰ）如果函数()y f x =和()y g x =有相同的极值点，求a 的值；（Ⅱ）设0a >，问是否存在0(1,)3a x ∈-，使得00()()f x g x >，若存在，请求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．（Ⅲ）记函数()[()1][()1]H x f x g x =-⋅-，若函数()y H x =有5个不同的零点，求实数a 的取值范围．中山市高三级2013—2014学年度第一学期期末统一考试理科数学参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．DAAD BCBC二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分． 9.14 ; 10. 8311. 10;12.； 13. 45； 14. 4[,4]3三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．解： 依题意)(x f ⋅=)sin ,(cos xx 11)1sin 122x x +=++………（2分） sin()13x π=++ ………………………………………………（4分）（Ⅰ） 函数)(x f 的值域是[]0,2；………………………………………………（5分）令πππππk x k 22322+≤+≤+-，解得52266k x k ππππ-+≤≤+………………（7分） 所以函数)(x f 的单调增区间为5[2,2]()66k k k Z ππππ-++∈.……………………（8分） （Ⅱ）由9()sin()1,35f παα=++=得4sin()35πα+=,因为2,63ππα<<所以,23ππαπ<+<得3cos()35πα+=-,………………………（10分）2sin(2+)sin 2()33ππαα=+ 432sin()cos()23355ππαα=++=-⨯⨯ 2425=-……………………………………………………………………（12分）16. 解：（I ）利用中值估算抽样学生的平均分：45×0.05+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.05 =72. ……………（3分） 众数的估计值为75分 ……………（5分） 所以，估计这次考试的平均分是72分． ……………（6分） （注：这里的众数、平均值为估计量，若遗漏估计或大约等词语扣一分）（II ）从95， 96，97，98，99，100中抽2个数的全部可能的基本结果数是2615C =， 有15种结果，学生的成绩在[90，100]段的人数是0.005×10×80=4（人），这两个数恰好是两个学生的数学成绩的基本结果数是246C =，两个数恰好是两个学生的数学成绩的概率62.155P == ……………（8分） 随机变量ξ的可能取值为0、1、2、3，则有．∴3323()()(),0,1,2,355k k k P k C k ξ-===∴变量ξ的分布列为：…………（10分）E ξ8365454601231251251251255=⨯+⨯+⨯+⨯=…………（12分） 解法二. 随机变量ξ满足独立重复试验,所以为二项分布, 即2~(3,)5B ξ………（10分）26355E np ξ==⨯= …………（12分）17．解法一：（Ⅰ）ABCD PA 平面⊥ ，ABC CD 平面⊂，CD PA ⊥∴. ---------------------------------------------------------------------------------（2分） 是矩形ABCD , CD AD ⊥∴.而A AD PA =⋂, ,PA AD ⊂平面PADPAD CD 平面⊥∴. ………………………（4分） PDC CD 平面⊂PDC PAD ∴⊥平面平面.………………………（5分） （Ⅱ）连结AC 、EC ，取AD 中点O ， 连结EO ， 则PA EO //, ∵⊥PA 平面ABCD ， ∴⊥EO 平面ABCD . 过O 作AC OF ⊥交AC 于F ，连结EF ，则 EFO ∠就是二面角D AC E --所成平面角. ………………………（7分） 由2=PA ，则1=EO .在ADC Rt ∆中，h AC CD AD ⨯=⨯ 解得=h 554.因为O 是AD 的中点，所以552=OF . ………………………（8分）而1=EO ，由勾股定理可得553=EO . ………………………（9分）32553552cos ===∠EF OF EFO . ………………………（10分）（Ⅲ）延长AE ，过D 作DG 垂直AE 于G ，连结CG ，又∵AE CD ⊥，∴AE ⊥平面CDG ， 过D 作DH 垂直CG 于H ， 则DH AE ⊥, 所以⊥DH 平面AGC , 即⊥DH 平面AEC ，所以CD 在平面ACE 内的射影是CH ，DCH ∠是直线与平面所成的角.………………………（12分）554514sin sin =⨯=⋅=∠⋅=∠⋅=AE OE AD OAE AD DAG AD DG . 2=CD 556425516=+⨯=∴CG . 32556554sin ===∠∴CG DG DCG .……………（14分）解法二：以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，则A (0，0，0) , B (2，0，0), C (2，4，0) , D (0，4，0) ，E (0，2，1) , P (0，0，2) . ……………………（2分）∴AB ＝(2，0，0) , AD ＝(0，4，0) , AP＝(0，0，2) , CD ＝(－2，0，0) , AE＝(0，2，1) , AC ＝(2，4，0) . ……………………（3分）PB EDC AOFGH（Ⅰ）0=⋅AD CD , AD CD ⊥∴.又0=⋅AP CD , AP CD ⊥∴ .………………………（5分）A AD AP =⋂ , PAD CD 平面⊥∴,而PDC CD 平面⊂,∴平面PDC ⊥平面PAD . ………（7分） （Ⅱ）设平面AEC 的法向量=()z y x ,,,令1=z ，则()1,,y x =.由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00AC n 即()()()()⎪⎩⎪⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=+=+⇒⎩⎨⎧=⋅=⋅21104201200,4,21,,01,2,01,,y x y x y y x y x∴=⎪⎭⎫⎝⎛-1,21,1. ………………………（9分） 平面ABC 的法向量AP ＝(0，0，2) , 322232,cos =⨯==〉〈AP n .所以二面角D AC E --所成平面角的余弦值是32. ……………………（11分）（Ⅲ）因为平面的法向量是n =⎪⎭⎫⎝⎛-1,21,1，而CD ＝(－2，0，0) .所以322232cos -=⨯-==θ . ………………………（13分）直线CD 与平面AEC 所成角的正弦值 32. ………………………（14分）18．【解析】（I ）因为213122n n a S n n +=--+，所以 ① 当1=n 时，121-=a ，则112a =-， ………………………………（1分）② 当2n ≥时，21113(1)(1)122n n a S n n --+=----+，……………………（2分）所以121n n a a n --=--，即12()1n n a n a n -+=+-，所以11(2)2n n b b n -=≥，而11112b a =+=， ……………………（3分）所以数列{}n b 是首项为12，公比为12的等比数列，所以12nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭．…………（4分）（II ）由(1)得2n n nnb =．所以 ①n n n n n T 221..........242322211432+-+++++=-， ②1232221..........24232212--+-+++++=n n n nn T ， ……………（5分）②-①得：n n n nT 221......2121112-++++=-， ……………（7分）n n nn n n T 2222211211+-=--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=.……………（9分） （III ）由(I)知121n nc =-……………（10分）（1）当1n =时，11151213c ==<-成立； ……………（11分）（2）当2n ≥时，2221(32)210n n n ----⋅=-≥ ，2112132nn n c -∴=≤-⋅， ………………（13分）所以221111212511[1()]1[1()]113232323312nn n n n k T -=≤+=+⋅-=+-<+=⋅-∑. ………（14分） （本题放缩方法不唯一,请酌情给分）19. 解:（Ⅰ）由()()f x f x -=可知()f x 是偶函数． 于是()0f x >对任意x ∈R 成立等价于()0f x >对任意0x ≥成立．………（1分） 由()e 0xf x k '=-=得ln x k =．①当(01]k ∈，时，()e 10(0)xf x k k x '=->->≥． 此时()f x 在[0)+∞，上单调递增． 故()(0)10f x f =>≥，符合题意．…（3分） ②当(1)k ∈+∞，时，ln 0k >．当变化时'的变化情况如下表： ……………………（4分）依题意，ln 0k k k ->，又11e k k >∴<<，．综合①，②得，实数k 的取值范围是0e k <<． ………………（7分） （Ⅱ）()()()e e0xxF x f x f x -=+-=+> ，112212ln ()ln ()ln[()()]x x x x F x F x e e e e --∴+=++又1122()()xxxxe e e e --++=12121212121212()()e e e e e e 2e 2x xx x x xx xx xx x x x+-+--++-+++++>++>+， ……………………（10分）1ln (1)ln ()ln(e 2)n F F n +∴+>+，11l n (2)l n (1)l n (e2)l n ()l n (1)l n (e2).n n F F n F n F +++->++>+……………………（12分）由此得:12[ln (1)ln (2)ln ()][ln (1)ln ()][ln (2)ln (1)][ln ()ln (1)]ln(e 2)n F F F n F F n F F n F n F n ++++=+++-+++>+故1ln (1)ln (2)ln ()ln(e 2)2n n F F F n n +*+++>+∈N ，成立. ………………（14分）20．解：（I ）2322()()2f x x x a x ax a x =-=-+，则22()34(3)()f x x ax a x a x a '=-+=--，令()0f x '=，得x a =或3a ，而()g x 在12a x -=处有极大值，∴112a a a -=⇒=-，或1323a aa -=⇒=；综上：3a =或1a =-． ………………………………（3分） （II ）假设存在，即存在(1,)3a x ∈-，使得22()()()[(1)]f x g x x x a x a x a -=---+-+2()()(1)x x a x a x =-+-+2()[(1)1]0x a x a x =-+-+>，当(1,)3a x ∈-时，又0a >，故0x a -<，则存在(1,)3ax ∈-，使得2(1)10x a x +-+<， ………………………………（4分）1当123a a ->即3a >时，2(1)1033a a a ⎛⎫⎛⎫+-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得332a a ><-或，3a ∴>； ………………………………（5分）2当1123a a--≤≤即03a <≤时，24(1)04a --<得13a a <->或，………（6分） a ∴无解；综上：3a >． ………………………………（7分）（III ）据题意有()10f x -=有3个不同的实根，()10g x -=有2个不同的实根，且这5个实根两两不相等．（ⅰ）()10g x -=有2个不同的实根，只需满足1()1132a g a a ->⇒><-或； ………………………………（8分）（ⅱ）()10f x -=有3个不同的实根，1 当3aa >即0a <时，()f x 在x a =处取得极大值，而()0f a =，不符合题意，舍； ………………………………（9分）2 当3aa =即0a =时，不符合题意，舍；3当3a a <即0a >时，()f x 在3a x =处取得极大值，()13a f a >⇒>a > ………………………………（10分）因为（ⅰ）（ⅱ）要同时满足，故a >（注：343>a 也对）…………………（11分）下证：这5个实根两两不相等，即证：不存在0x 使得0()10f x -=和0()10g x -=同时成立；若存在0x 使得00()()1f x g x ==，由00()()f x g x =，即220000(1)x x ax a x a -=-+-+（），得20000(1)0x a x ax x --++=（），当0x a =时，00()()0f x g x ==，不符合，舍去；当0x a ≠时，既有200010x ax x -++= ①；又由0()1g x =，即200(1)1x a x a -+-+= ②； 联立①②式，可得0a =；而当0a =时，32()[()1][()1](1)(1)0H x f x g x x x x =-⋅-=----=没有5个不同的零点，故舍去，所以这5个实根两两不相等．综上，当2a >时，函数()y H x =有5个不同的零点． ………………………（14分）。

中山市高三2010—2011学年统一考试试卷理科物理注意事项；1、本试卷分为第一卷和第二卷。

满分l00分，考试时间90分钟。

2、答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用2B铅笔涂写在答题卡上。

每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。

写在试题卷上的答案无效。

3、考试结束后，监考人员将答题卡收回。

第一卷(选择题，共48分)一．单项选择题：(本题共6小题，每小题4分，共24分。

每小题给出的四个选项中只有一项满足题设要求，选对得4分；不选、错选或多选不得分。

)1．下列几个关于力学问题的说法中正确的是A．手压桌面时，由于手发生了形变，所以受到向上的支持力B．放在斜面上的物体，其重力沿垂直斜面的分力就是物体对斜面的压力C．伽利略的理想斜面实验说明力不是维持物体运动的原因D．摩擦力的方向一定与物体的运动方向在同一直线上2．如图1是某物体做直线运动的v-t图象，由图象可得到的正确结果是2A．t=1s时物体的加速度大小为l.0m／s2B. t=5s时物体的加速度太小为0.75m／sC．第3s内物体的位移为1.5mD．物体在加速过程的位移比减速过程的位移大3．如图2所示，实线是一簇未标明方向的由点电荷Q产生的电场线，若带电粒子q(|Q|>>|q|）由a运动到b，电场力做负功。

已知在a、b两点粒子所在位置的电势分别为U a、U b，则下列判断正确的是A．若Q为正电荷，则q带正电，U a>U bB．若Q为正电荷，则q带正电，U a<U bC．若Q为负电荷，则q带正电，U a>U bD．若Q为负电荷，则q带正电，U a<U b4．如图3所示的电路中，闭合开关后，将滑动变阻器R的滑片P向上移动，则有A．V1表读数变小B．V2表读数变大C．A表读数变小D ．电源的功率变小5．如图4所示，在阴极射线管正下方平行放置一根通有足够强直流电流的长直导线，且导线中电流方向水平向右，则阴极射线将会A. 向下偏转B. 向上偏转 C ．向纸内偏转 D ．向纸外偏转6．如图5所示，木块在拉力F 作用下，沿水平方向向右做匀速直线运动，则力F 与摩擦力的合力方向一定是A ．向上偏右B ．向上偏左C ．水平向左D ．竖直向上二、双项选择题(本大题共6小题，每小题4分，共24分。

)x 广东省中山市2010—2011学年度第一学期期末统一考试高二数学试卷（理科）本试卷分第I 卷（选择题）、第II 卷（非选择题）两部分。

共150分，考试时间120分钟。

第I 卷（选择题 共40分）注意事项：1、答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上。

3、不可以使用计算器。

4、考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交。

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1A (,0]-∞ D ．(,0][5,)-∞+∞2 A 221(1)2nn n -- D ．1221(1)2n nn --- 3A 34D ．1625 4A ．函数()f x 在(2,3)-内单调递增 B ．函数()f x 在(4,0)-内单调递减 C ．函数()f x 在3x =处取极大值 D ．函数()f x 在4x =处取极小值5．等差数列{}n a 的前n 项和12...n n S a a a =+++， 若1031S =，20122S =，则40S =6．长为3.5m 的木棒斜靠在石堤旁，木棒的一端在离堤足1.4m 的地面上，另一端在沿堤上2.8m 的地方，堤对地面的倾斜角为α，则坡度值tan α等于 A B ．516C D ．1157．已知0,0a b >>，且1a b +=，则11ab a b++的最小值是 A ．2B ．C ．174D ．88．已知p ：函数2()1f x x mx =++有两个零点， q ：x R ∀∈，244(2)10x m x +-+>．若p q ∨为真，p q ∧为假，则实数m 的取值范围为A ．(,2)[3,)-∞-+∞B ．(,2)(1,2][3,)-∞-+∞C ．(1,2][3,)+∞D ．(,2)(1,2]-∞-第II 卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中的横线上） 9．等差数列8，5，2，…的第30项是 .10．经过点(1,3)A -，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程为 .11．当x y 、满足不等式组11y x y x y ≤⎧⎪≥-⎨⎪+≤⎩时，目标函数2t x y =+的最小值是 .12．圆222()()x a y b r -+-=经过原点的一个充要条件是 .13．正三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线24y x =上，则这个正三角形的边长为 .14．物体沿直线运动过程中，位移s 与时间t 的关系式是2()3s t t t =+. 我们计算在t 时刻的附近区间[,]t t t +∆内的平均速度()()s t t s t v t+∆-==∆，当t ∆趋近于0时，平均速度v 趋近于确定的值，即瞬时速度，由此可得到t 时刻的瞬时速度为 .三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.） 15．（13分）等比数列{}n a 的公比为q ，第8项是第2项与第5项的等差中项. （1）求公比q ；（2）若{}n a 的前n 项和为n S ，判断396,,S S S 是否成等差数列，并说明理由.16．（13分）已知某精密仪器生产总成本C （单位：万元）与月产量x （单位：台）的函数关系为1004C x =+，月最高产量为150台，出厂单价p （单位：万元）与月产量x 的函数关系为21125801800p x x =+-. （1）求月利润L 与产量x 的函数关系式()L x ；（2）求月产量x 为何值时，月利润()L x 最大？最大月利润是多少？17．（13分）第四届中国国际航空航天博览会于2010年11月在珠海举行，一次飞行表演中，一架直升飞机在海拔800m 的高度飞行，从空中A 处测出前下方海岛两侧海岸P 、Q 处的俯角分别是45°和30°（如右图所示）. （1）试计算这个海岛的宽度PQ .（2）若两观测者甲、乙分别在海岛两侧海岸P 、Q 处同时测得飞机的仰角为45和30，他们估计P 、Q 两处距离大约为600m ，由此试估算出观测者甲（在P 处）到飞机的直线距离.18．（14分）如图，四棱锥P ABCD -的底面A B C D 为一直角梯形，其中,B A A DC DA D ⊥⊥，2,CD AD AB PA ==⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点．（1）试用,,AD AP AB 表示BE ，并判断直线BE 与平面PAD 的位置关系； （2）若BE ⊥平面PCD ，求异面直线PD 与BC 所成角的余弦值．19．（14分）已知函数3221()(2)3f x x ax a a x =-++，a R ∈.（1）当2a =-时，求()f x 在闭区间[]1,1-上的最大值与最小值；（2）若线段AB ：()2302y x x =+≤≤与导函数()y f x '=的图像只有一个交点，且交点在线段AB 的内部，试求a 的取值范围．20．（13分）过直角坐标平面xOy 中的抛物线()220y px p =>的焦点F 作一条倾斜角为4π的直线与抛物线相交于A 、B 两点.（1）求直线AB 的方程；（2）试用p 表示A 、B 之间的距离； （3）证明：AOB ∠的大小是与p 无关的定值.参考公式：2222224A A BB A B A B A B x y xy x x x x p x x p ⎡⎤++=+++⎣⎦中山市高二级2010—2011学年度第一学期期末统一考试数学试卷（理科）答案一、选择题：DDAB DA C B二、填空题：9. －79； 10. 22188y x -=； 11. －3； 12. 222a b r +=；15.（2 当121q -，981S q =-，21163[1(]141a a S q q=--=--.（11分）能构成等差数列16.解：（1）2321111()(25)(1004)21100801800180080L x px C x x x x x x x =-=+--+=-++-，其中0150x <≤. ……（4分） （2）221111'()21(1512600)(120)(105)60040600600L x x x x x x x =-++=---=--+.…（6分） 令'()0L x =，解得120x = （105x =-舍）. ……（7分）xzy因此，当120x =时，()L x 取最大值. …（10分）所以，月产量为120台时，月利润()L x 最大，最大月利润为(120)1640L =万元.…（13分）17. 解：（1）在Rt ACP ∆中，tan PCCAP AC=∠， 则800tan 45800PC =⨯︒=. ……（3分） 在Rt ACQ ∆中，tan QCCAQ AC=∠， 则800tan60QC =⨯︒= ……（5分） 所以，800PQ QC PC =-=（m ）. ……（6分）（2）在APQ ∆中，600PQ =，30AQP ∠=︒，453015PAQ ∠=︒-︒=︒.……（7分）根据正弦定理，得600sin30sin15PA =︒︒， ……（9分） 则600sin30600sin30PA ︒︒===.…（13分）18.C（1）(0,BE a =所以112BE AD AP =+， ……（5分） BE ⊄平面PAD ，//BE ∴平面PAD . ……（7分）（2）BE ⊥平面PCD ，BE PC ∴⊥，即0BE PC ⋅=.(2,2,)PC a a b =-，22202b BE PC a ∴⋅=-=，即2b a =. ……（10分）(0,2,2),(,2,0)PD a a BC a a =-=， ……（11分）所以异面直线PD 与BC . ……（14分）19. 解：（1）当2a =-时，321()23f x x x =+. ……（1分）求导得2()4(4)f x x x x x '=+=+. ……（2分） 令()0f x '=，解得：4x =-或0x =． ……（3分）列表如下： ……（6分）3（2）22()22y f x x ax a a '==-++. ……（8分） 联立方程组2222,2 3.y x ax a a y x ⎧=-++⎨=+⎩……（9分）得()2221230.x a x a a -+++-= ……（10分）设22()2(1)23g x x a x a a =-+++-，则方程()0g x =在区间()0,2内只有一根, 相当于(0)(2)0g g ⋅<，即()()2223230,a a a a +-⋅--< ……（12分） 解得 31a -<<-或13a <<. ……（14分）20.解：（1）焦点(,0)2p F ，过抛物线焦点且倾斜角为4π的直线方程是2py x =-. …（3分）（2）由222y p xp y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩22304p x px ⇒-+=23,4A B A B p x x p x x ⇒+==4A B AB x x p p ⇒=++=. ……（8分）（3）2222222cos 2AO BO ABx y x y x x y y AOB AO BO+-+++----∠==()22A B A B p p x x x x -++=== ……（12分） ∴AOB ∠的大小是与p 无关的定值. ……（13分）1题：教材《必修⑤》 P76 预备题 改编，考查一元二次不等式求解. 2题：教材《必修⑤》 P67 2（2）改编，考查写数列通项公式. 3题：教材《选修1-1》 P40 例4 改编，考查椭圆几何性质.4题：教材《选修1-1》 P98 第4题改编，考查利用导数研究函数性质. 5题：教材《必修⑤》 P44 例2改编，考查等差数列性质及前n 项和 6题：教材《必修⑤》 P16 习题改编，考查利用余弦定理解三角形 9题：教材《必修⑤》 P38 例1（1）改编，考查等差数列通项公式 10题：教材《选修1-1》 P54 A 组第6题改编，考查双曲线方程与性质 11题：教材《必修⑤》 P91 第1(1)题改编，考查线性规划问题 12题：教材《选修1-1》 P12 第4题改编，考查充要条件.13题：教材《选修1-1》 P64 B 组第2题改编，考查抛物线方程及性质 14题：教材《选修1-1》 P74 导数概念的预备题 改编，考查导数概念15题：教材《必修⑤》 P61 第6题 改编，考查等差数列、等比数列的通项与前n 项和. 16题：教材《选修1-1》 P104 第6题 改编，考查导数的应用. 17题：教材《必修⑤》 P19 第4题 改编，考查解三角形.。

2023-2024学年广东省中山市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知x，y是实数，则“x＞y”是“x2＞y2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．将√43⋅√2化成分数指数幂的形式是（）A．276B．2176C．213D．2563．已知全集U＝{1，2，3，4，5}，A∩B＝{2，4}，A∪B＝{1，2，3，4}，则（）A．2∈A，2∉B B．3∈A，3∈B C．4∈A，4∉B D．5∉A，5∉B4．已知函数f（x）＝x2﹣4x+5在[m，n]上的值域是[1，10]，则n﹣m的最大值是（）A．3B．6C．4D．85．函数f（x）＝log2（x2﹣4x+3）的单调递增区间是（）A．[2，+∞）B．[3，+∞）C．（3，+∞）D．（﹣∞，2]6．已知数f(x)=a1−e x−2是奇函数，则实数a的值是（）A．1B．﹣2C．4D．﹣47．已知a＞b＞c＞d，则下列不等式一定成立的是（）A．ac＞bd B．ae c＞be dC．e a•e c＞e b•e d D．aln（c﹣d）＞bln（c﹣d）8．如图，在半径为1m的圆周上，一只红蚂蚁和一只黑蚂蚁同时从点A（1，0）出发，按逆时针匀速爬行，设红蚂蚁每秒爬过α弧度，黑蚂蚁每秒爬过β弧度（0＜α＜β＜π），两只蚂蚁第2秒时均爬到第二象限，第15秒时又都回到点A．若两只蚂蚁的爬行速度大小保持不变，红蚂蚁从点A顺时针匀速爬行，黑蚂蚁同时从点A逆时针匀速爬行，则它们从出发后到第二次相遇时，黑蚂蚁爬过的路程为（）cm．A ．125π B ．157π C ．154π D ．13π6二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．下列函数中，既是奇函数，又是R 上的增函数的是（ ） A ．y ＝x ﹣1B ．y ＝x |x |C ．y ＝x 3D ．y ＝x 210．已知正数x ，y 满足x +y ＝2，则（ ） A ．√xy 的最大值为1B ．x 2+y 2的最大值为2C ．√x +√y 的最小值为2D ．2x +1y 的最小值为32+√211．给定函数f(x)=2xx 2+1（）A ．f （x ）的图像关于原点对称B ．f （x ）的值域是[﹣1，1]C ．f （x ）在区间[1，+∞）上是增函数D ．f （x ）有三个零点12．设偶函数f （x ）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），且满足f （2）＝0，对于任意x 1，x 2∈（0，+∞），x 1≠x 2，都有x 22n f(x 1)−x 12n f(x 2)x 2−x 1＜0(n ∈N)成立，则（ ）A ．不等式f(2x+1)x ＞0的解集为(12，+∞)∪(−32，−12)∪(−12，0) B ．不等式f(2x+1)x ＞0的解集为(12，+∞)∪(−32，12)C ．不等式f(x)x 2024＞0的解集为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D ．不等式f(x)x 2024＞0的解集为（﹣2，0）∪（0，2）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．计算：lg 52+23lg 8＝ ．14．已知函数f （x ），给出三个性质： ①f （x ）定义域为（﹣∞，+∞）； ②f （x ）是奇函数；③f （x ）在（0，+∞）上是减函数．写出一个同时满足性质①．性质②和性质③的函数解析式，f （x ）＝ ．15．依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依据《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）．2019年1月1日起，个税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为：个税税额＝应纳税所得额×税率﹣速算扣除数，应纳税所得额的计算公式为：应纳税所得额＝综合所得收入额﹣基本减除费用﹣专项扣除﹣专项附加扣除﹣依法确定的其他扣除．其中，基本减除费用为每年60000元，税率与速算扣除数见表：李华全年综合所得收入额为249600元，假定缴纳的专项扣除基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是8%，2%，1%，9%，专项附加扣除是52800元，依法确定其他扣除是4560元，则他全年应缴纳的综合所得个税是 元． 16．（3分）已知函数f(x)=x +16x−10，x ∈(0，+∞)，则f （x ）的零点之和为 ；若方程|f （x ）|＝m （m ＞0）有四个不相等的实根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1+x 2+x 3+x 4＝ ． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．（10分）已知tanα=13，求下列各式的值．（1）sinα−2cosα2sinα−cosα；（2）sin αcos α+2．18．（12分）若集合A ＝{x |x 2+5x ﹣6＝0}，B ＝{x |x 2+2（m +1）x +m 2﹣3＝0}． （1）若m ＝0，写出A ∪B 的子集个数； （2）若A ∩B ＝B ，求实数m 的取值范围．19．（12分）函数的性质通常指函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、零点等．已知f(x)=14−x 2． （1）研究并证明函数y ＝f （x ）的性质；（2）根据函数y ＝f （x ）的性质，画出函数y ＝f （x ）的大致图象．20．（12分）对于函数f（x），若在定义域内存在实数x，满足f（﹣x）＝f（x），则称f（x）为“局部偶函数”．（1）已知函数f（x）＝x3+x+1，试判断f（x）是否为“局部偶函数”，并说明理由；（2）若f（x）＝x[4x+（2m﹣1）•2x+3]为定义在区间（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的“局部偶函数”，求实数m的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）的定义域为R，值域为（0，+∞），且对任意m，n∈R，都有f（m+n）＝f（m）f（n）．φ(x)=f(x)−1f(x)+1．（1）求f（0）的值，并证明φ（x）为奇函数．（2）若x＞0，f（x）＞1，且f（3）＝4，证明f（x）为R上的增函数，并解不等式φ(x)＞15 17．22．（12分）已知函数g(x)=sin2x−cosx+a，x∈(π2，π)有两个零点．（1）求实数a的取值范围；（2）设x1，x2是g（x）的两个零点，证明：x1+x2＜3π2．2023-2024学年广东省中山市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知x，y是实数，则“x＞y”是“x2＞y2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：若x＝0，y＝﹣1，满足x＞y，但x2＞y2不成立．若x＝﹣1，y＝0，满足x2＞y2，但x＞y不成立，∴“x＞y”是“x2＞y2”的既不充分不必要条件．故选：D．2．将√43⋅√2化成分数指数幂的形式是（）A．276B．2176C．213D．256解：√43⋅√2=413×212=(22)13×212=223+12=276．故选：A．3．已知全集U＝{1，2，3，4，5}，A∩B＝{2，4}，A∪B＝{1，2，3，4}，则（）A．2∈A，2∉B B．3∈A，3∈B C．4∈A，4∉B D．5∉A，5∉B解：因为全集U＝{1，2，3，4，5}，A∩B＝{2，4}，A∪B＝{1，2，3，4}，则2∈A，2∈B，故A错，3∉A∩B，故B错，4∈A∩B，则C错误，5∉A∩B，故D正确，故选：D．4．已知函数f（x）＝x2﹣4x+5在[m，n]上的值域是[1，10]，则n﹣m的最大值是（）A．3B．6C．4D．8解：f（x）＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，因为值域为[1，10]，所以要取到最小值1，必须取到对称轴，又对称轴两边距离越大，则区间长度越大，令f（x）＝10，得x＝﹣1或x＝5，所以当n＝5，m＝﹣1时（n﹣m）max＝6．故选：B．5．函数f（x）＝log2（x2﹣4x+3）的单调递增区间是（）A．[2，+∞）B．[3，+∞）C．（3，+∞）D．（﹣∞，2]解：根据题意，对于f（x）＝log2（x2﹣4x+3），设t＝x2﹣4x+3，则y＝log2t，必有t＝x2﹣4x+3＞0，解可得t＞3或t＜1，即函数的定义域为（﹣∞，1）∪（3，+∞），在区间（﹣∞，1）上，t＝x2﹣4x+3为减函数，y＝log2t为增函数，则f（x）在（﹣∞，1）上为减函数，在区间（3，+∞）上，t＝x2﹣4x+3为增函数，y＝log2t为增函数，则f（x）在（3，+∞）上为增函数，则函数f（x）＝log2（x2﹣4x+3）的单调递增区间是（3，+∞）．故选：C．6．已知数f(x)=a1−e x−2是奇函数，则实数a的值是（）A．1B．﹣2C．4D．﹣4解：因为f(x)=a1−e x−2是奇函数，所以f（﹣x）＝﹣f（x）恒成立，即a1−e−x−2＝2−a1−e x，整理得，ae x﹣a＝4e x﹣4，即a＝4．故选：C．7．已知a＞b＞c＞d，则下列不等式一定成立的是（）A．ac＞bd B．ae c＞be dC．e a•e c＞e b•e d D．aln（c﹣d）＞bln（c﹣d）解：对于选项A：不妨令a＝2，b＝1，c＝﹣2，d＝﹣3，此时a＞b＞c＞d，但ac＝﹣4＜﹣3＝bd，故选项A错误；对于选项B：因为c＞d，所以e c＞e d，不妨令a＝﹣e d，b＝﹣e c，此时a＞b，但ae c＝﹣e c+d＝﹣be d，故选项B错误；对于选项C：由a＞b＞c＞d，所以e a＞e b＞e c＞e d＞0，则e a•e c＞e b•e d，选项C正确；对于选项D：若a＞b，不妨令c＝2，d＝1，此时c＞d，而aln（c﹣d）＝0＝bln（c﹣d），故选项D错误．故选：C．8．如图，在半径为1m的圆周上，一只红蚂蚁和一只黑蚂蚁同时从点A（1，0）出发，按逆时针匀速爬行，设红蚂蚁每秒爬过α弧度，黑蚂蚁每秒爬过β弧度（0＜α＜β＜π），两只蚂蚁第2秒时均爬到第二象限，第15秒时又都回到点A．若两只蚂蚁的爬行速度大小保持不变，红蚂蚁从点A顺时针匀速爬行，黑蚂蚁同时从点A逆时针匀速爬行，则它们从出发后到第二次相遇时，黑蚂蚁爬过的路程为（）cm．A ．125π B ．157π C ．154π D ．13π6解：（1）由已知得12π＜2α＜2β＜π，所以14π＜α＜β＜12π①，15α＝2k π，k ∈N *②．15β＝2n π，n ∈N * ③，且k ＜n ， 结合①②③式得14π＜2k 15π＜2n 15π＜12π，k ，n ∈N *，且k ＜n ，解得k ＝2，n ＝3，解得α=415π，β=615π， 它们从点A 出发后第二次相遇时，用的时间为t 秒， 所以（α+β）t ＝2×2π，即(415π+615π)t =2×2π．解得t ＝6， 则黑蚂蚁爬过的距离为l =615π×6×1=125π(cm)． 故选：A ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．下列函数中，既是奇函数，又是R 上的增函数的是（ ） A ．y ＝x ﹣1B ．y ＝x |x |C ．y ＝x 3D ．y ＝x 2解：对于A ，y ＝x ﹣1不是奇函数，不符合题意，对于B ，y ＝x |x |={x 2，x ≥0−x 2，x ＜0既是奇函数，又是R 上的增函数，符合题意，对于C ，y ＝x 3是幂函数，既是奇函数，又是R 上的增函数，符合题意， 对于D ，y ＝x 2，是二次函数，是偶函数，不符合题意， 故选：BC ．10．已知正数x ，y 满足x +y ＝2，则（ ） A ．√xy 的最大值为1B ．x 2+y 2的最大值为2C ．√x +√y 的最小值为2D ．2x +1y 的最小值为32+√2解：正数x ，y 满足x +y ＝2， 可得A 中，由基本不等式可得√xy ≤x+y2=1，当且仅当x ＝y ＝1时取等号，所以可得√xy 的最大值为1，A 正确；B 中，因为x 2+y 2≥(x+y)22=2，当且仅当x ＝y ＝1时取等号，所以x 2+y 2的最小值为2，所以B 不正确；C 中，因为2＝x +y ≥(√x+√y)22，当且仅当x ＝y ＝1时取等号，所以√x +√y 的最大值为2，所以C 不正确；D 中，2x +1y =（2x +1y ）•12•（x +y ）=12（2+1+2y x +x y ）≥12（3+2√2y x ⋅x y ）=12（3+2√3）=√3+32，当且仅当2y x =xy，即x ＝4﹣2√2，y ＝2√2−2时取等号，所以D 正确．故选：AD ． 11．给定函数f(x)=2xx 2+1（ ） A ．f （x ）的图像关于原点对称 B ．f （x ）的值域是[﹣1，1] C ．f （x ）在区间[1，+∞）上是增函数 D ．f （x ）有三个零点解：根据题意，依次分析选项： 对于A ，函数f(x)=2x x 2+1，其定义域为R ，有f （﹣x ）=−2xx 2+1=−f （x ），则函数f （x ）为奇函数，其图形关于原点对称，A 正确； 对于B ，f （x ）=2xx 2+1，由基本不等式x 2+1≥2|x |，则有|f （x ）|≤1，即f （x ）的值域是[﹣1，1]，B 正确；对于C ，f （1）＝1，f （2）=45，f （x ）在区间[1，+∞）上一定不是增函数，C 错误；对于D ，f （x ）=2xx 2+1=0，解可得x ＝0，函数f （x ）只有一个零点，D 错误； 故选：AB ．12．设偶函数f （x ）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），且满足f （2）＝0，对于任意x 1，x 2∈（0，+∞），x 1≠x 2，都有x 22n f(x 1)−x 12n f(x 2)x 2−x 1＜0(n ∈N)成立，则（ ）A ．不等式f(2x+1)x ＞0的解集为(12，+∞)∪(−32，−12)∪(−12，0) B ．不等式f(2x+1)x ＞0的解集为(12，+∞)∪(−32，12)C ．不等式f(x)x 2024＞0的解集为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D ．不等式f(x)x 2024＞0的解集为（﹣2，0）∪（0，2）解：当 n ＝0时，即f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0，∴y ＝f （x ）在（0，+∞）上为增函数，∵偶函数f （x ） 的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）， ∴y ＝f （x ）在（﹣∞，0）上为减函数，当x ＞0时，f(2x+1)x＞0，∴x ＞0时，有2x +1＞2，解得x ＞12，当x ＜0时，f(2x+1)x ＞0，得f （2x +1）＜0＝f （﹣2），∴0＞2x +1＞﹣2或0＜2x +1＜2，解得−32＜x ＜−12或−12＜x ＜0∴B 错误，A 正确； 令g （x ）=f(x)x 2024， 则g(x 1)−g(x 2)x 2−x 1=f(x 1)x 12024−f(x 2)x 22024x 1−x 2=x 22024f(x 1)−x 12024f(x 2)(x 1x 2)2024(x 1−x 2)＞0，∴g （x ）在（0，+∞）上单调递增， ∵f （﹣x ）＝f （x ）， ∴g （﹣x ）=f(−x)(−x)2024=f(x)x 2024=g （x ）， 即g （x ）为偶函数，g （2）＝0， 由g （x ）=f(x)x 2024＞0可得|x |＞2，解得x ＞2或x ＜﹣2，C 正确，D 错误． 故选：AC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．计算：lg 52+23lg 8＝ 2 ．解：原式＝2lg 5+23×3lg 2＝2lg 5+2lg 2＝2（lg 5+lg 2）＝2，故答案为：2．14．已知函数f （x ），给出三个性质： ①f （x ）定义域为（﹣∞，+∞）； ②f （x ）是奇函数；③f （x ）在（0，+∞）上是减函数．写出一个同时满足性质①．性质②和性质③的函数解析式，f （x ）＝ ﹣x 3（答案不唯一） ． 解：令f （x ）＝﹣x 3，则f（x）定义域为（﹣∞，+∞），满足①；又f（﹣x）＝（﹣x）3＝﹣x3＝﹣f（x），∴f（x）是奇函数，满足②；又f（x）＝﹣x3在（0，+∞）上是减函数，满足③，故答案为：﹣x3（答案不唯一）．15．依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依据《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）．2019年1月1日起，个税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为：个税税额＝应纳税所得额×税率﹣速算扣除数，应纳税所得额的计算公式为：应纳税所得额＝综合所得收入额﹣基本减除费用﹣专项扣除﹣专项附加扣除﹣依法确定的其他扣除．其中，基本减除费用为每年60000元，税率与速算扣除数见表：李华全年综合所得收入额为249600元，假定缴纳的专项扣除基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是8%，2%，1%，9%，专项附加扣除是52800元，依法确定其他扣除是4560元，则他全年应缴纳的综合所得个税是5712元．解：专项扣除总额为：249600×（8%+2%+1%+9%）＝49920元，应纳税所得额为：249600﹣60000﹣52800﹣4560﹣49920＝82320元，个税税额为：82320×10%﹣2520＝5712元，故答案为：5712．16．（3分）已知函数f(x)=x+16x−10，x∈(0，+∞)，则f（x）的零点之和为10；若方程|f（x）|＝m（m＞0）有四个不相等的实根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4＝20．解：由题意可知，令f（x）＝x+16x−10＝0，即x2﹣10x+16＝0，解得x＝2或x＝8，故函数在（0，+∞）内的零点为2和8，所以f （x ）的零点之和为10．方程|f （x ）|＝m （m ＞0）有四个不相等的实数根x 1，x 2，x 3，x 4，即为y ＝|f （x ）|，x ∈（0，+∞）与y ＝m 的四个交点的横坐标，方程|f （x ）|＝m （m ＞0）即|x +16x−10|＝m ，x ∈（0，+∞），即|x 2﹣10x +16|＝mx ， 当f （x ）≥0即x 2﹣10x +16≥0时，方程可转化为x 2﹣10x +16＝mx 即x 2﹣（10+m ）x +16＝0； 当x 2﹣10x +16＜0 时，方程可转化为x 2﹣10x +16＝﹣mx 即x 2﹣（10﹣m ）x +16＝0；故要有四个实数根，则两种情况都有两个不同的实数根，不妨设x 1，x 4为x 2﹣（10+m ）x +16＝0的两根，则x 1+x 4＝1＝10+m ，则x 2，x 3为x 2﹣（10﹣m ）x +16＝0的两根，则x 2+x 3＝10﹣m ，则x 1+x 2+x 3+x 4＝10+m +10﹣m ＝20；故答案为：10；20．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）已知tanα=13，求下列各式的值． （1）sinα−2cosα2sinα−cosα； （2）sin αcos α+2．解：tanα=13， （1）sinα−2cosα2sinα−cosα=tanα−22tanα−1=13−22×13−1=5； （2）sin αcos α+2=sinαcosαsin 2α+cos 2α+2=tanαtan 2α+1+2=13109+2=2310． 18．（12分）若集合A ＝{x |x 2+5x ﹣6＝0}，B ＝{x |x 2+2（m +1）x +m 2﹣3＝0}．（1）若m ＝0，写出A ∪B 的子集个数；（2）若A ∩B ＝B ，求实数m 的取值范围．解：（1）当m ＝0时，B ＝{1，﹣3}，∵A ＝{x |x 2+5x ﹣6＝0}＝{﹣6，1}，∴A ∪B ＝{﹣6，﹣3，1}，集合元素个数为3个，故A ∪B 的子集个数为23＝8．（2）∵A ∩B ＝B ，∴B ⊆A ，Δ＝4（m +1）2﹣4（m 2﹣3）＝8m +16，当Δ＜0，即m ＜﹣2时，B ＝∅，符合题意，当Δ＝0，即m ＝﹣2时，B ＝{1}，符合题意，当Δ＞0，即m ＞﹣2时，若B ⊆A ，则B ＝{﹣6，1}，即{−2(m +1)=−5m 2−3=−6，方程组无解， 综上所述，m 的取值范围为（﹣∞，﹣2]．19．（12分）函数的性质通常指函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、零点等．已知f(x)=14−x 2． （1）研究并证明函数y ＝f （x ）的性质；（2）根据函数y ＝f （x ）的性质，画出函数y ＝f （x ）的大致图象．解：（1）函数f （x ）的定义域为：（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，2）∪（2，+∞），函数的值域为（﹣∞，0）∪[14，+∞）函数f （x ）为偶函数， 函数f （x ）在区间[0，2），（2，+∞）上上为增函数，在区间（﹣∞，﹣2），（﹣2，0]上为减函数， 由方程f （x ）＝0无解，所以函数无零点；（2）由（1）中函数的性质，可得y ＝f （x ）的图象如图所示：20．（12分）对于函数f（x），若在定义域内存在实数x，满足f（﹣x）＝f（x），则称f（x）为“局部偶函数”．（1）已知函数f（x）＝x3+x+1，试判断f（x）是否为“局部偶函数”，并说明理由；（2）若f（x）＝x[4x+（2m﹣1）•2x+3]为定义在区间（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的“局部偶函数”，求实数m的取值范围．解：（1）f（﹣x）＝﹣x3﹣x+1，令f（﹣x）＝f（x），得x3+x＝0，解得x＝0，∴存在x＝0满足f（﹣x）＝f（x），故f（x）是“局部偶函数”；（2）由f（﹣x）＝f（x），得4x+4﹣x+（2m﹣1）（2x+2﹣x）+6＝0，令t＝2x+2﹣x（t＞2），得t2+（2m﹣1）t+4＝0，则1−2m=t+4t在t∈（2，+∞）上有解，∴1﹣2m＞4，即m＜−3 2，故m的取值范围为(−∞，−32 )．21．（12分）已知函数f（x）的定义域为R，值域为（0，+∞），且对任意m，n∈R，都有f（m+n）＝f（m）f（n）．φ(x)=f(x)−1f(x)+1．（1）求f（0）的值，并证明φ（x）为奇函数．（2）若x＞0，f（x）＞1，且f（3）＝4，证明f（x）为R上的增函数，并解不等式φ(x)＞15 17．解：（1）令m＝n＝0，得f（0）＝f（0）f（0），又函数f（x）的值域为（0，+∞），∴f（0）＝1．证明：∵f（0）＝f（﹣x+x）＝f（﹣x）f（x），∴f(−x)=1f(x)，∴φ(−x)=f(−x)−1f(−x)+1=1f(x)−11f(x)+1=1−f(x)1+f(x)=−φ(x)，∴φ（x）为奇函数．（2）证明：任取x1＜x2，x1，x2∈R，f（x1）﹣f（x2）＝f（x1）﹣f（x2﹣x1+x1）＝f（x1）﹣f（x2﹣x1）f（x1）＝f（x1）[1﹣f（x2﹣x1）]．∵x1＜x2，∴x2﹣x1＞0，∵当x＞0时，f（x）＞1，∴f（x2﹣x1）＞1，∴1﹣f（x2﹣x1）＜0．又函数f（x）的值域为（0，+∞），∴f（x1）[1﹣f（x2﹣x1）]＜0，即f（x1）＜f（x2），∴f（x）为R上的增函数．由φ(x)=1517，即f(x)−1f(x)+1＞1517，化简得f（x）＞16．∵f（3）＝4，∴16＝f（3）f（3）＝f（6），∴f（x）＞f（6）．又f（x）为R上的增函数，∴x＞6，故φ(x)＞1517的解集为{x|x＞6}．22．（12分）已知函数g(x)=sin2x−cosx+a，x∈(π2，π)有两个零点．（1）求实数a的取值范围；（2）设x1，x2是g（x）的两个零点，证明：x1+x2＜3π2．解：（1）已知g（x）＝sin2x﹣cos x+a＝﹣cos2x﹣cos x+a+1，函数定义域为（π2，π），令g（x）＝0，可得cos2x+cos x＝a+1，不妨令t＝cos x，﹣1＜t＜0，所以−14≤cos2x+cos x＝t2+t＜0，当a+1≥0，即a≥﹣1时，方程t2+t＝a+1无解；当a+1＜−14，即a＜−54时，方程t2+t＝a+1无解；当a+1=−14，即a=−54时，方程t2+t＝a+1有且仅有一个解t=−12；当−14＜a+1＜0，即−54＜a＜﹣1时，方程t2+t＝a+1有两个解，分别为t1=−12+√a+54，t2=−12−√a+54，所以cos x=−12±√a+54各有一解，此时函数g（x）有两个零点，综上，要使函数g（x）有两个零点，此时实数a的取值范围为（−54，﹣1）；（2）证明：当f（x）有两个零点时，不妨令t1＝cos x1，t2＝cos x2，由（1）知t1，t2为t2+t＝a+1两解，则t1+t2＝﹣1，所以cos x1+cos x2＝﹣1，对等式两边同时平方得cos2x1+2cosx1cosx2+cos2x2=1，因为x1，x2∈(π2，π)，所以cos x1＜0，cos x2＜0，可得2cos x1cos x2＞0，所以cos2x1+cos2x2＜1，则cos2x1＜sin2x2=cos2(3π2−x2)，又π2＜x2＜π，所以π2＜3π2−x2＜π，此时cos(3π2−x2)＜0，所以cosx1＞cos(3π2−x2)，易知y＝cos x在(π2，π)上单调递减，则x1＜3π2−x2，故x1+x2＜3π2．。

2024-2025学年深圳市高一上第一次月考试卷数学试卷注意事项:1.答题前，请将姓名、准考证号和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定的位置上，并将条形码粘贴好.2.本卷考试时间120分钟，满分150分.3.作答选择题时，选出每题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案.作答非选择题时，用黑色字迹的钢笔或签字笔将答写在答题卡指定区域内.作答综合题时，把所选题号的信息点框涂黑，并作答.写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效.4.考试结束后，谙将答题卡交回.一、单选题（共8小题，共40分）1.命题“210,0x x x ∃>-<”的否定为（）A.210,0x x x ∃>-≥ B.210,0x x x ∃≤-≥C.210,0x x x∀>-≥ D.210,0x x x∀≤-≥【答案】C 【解析】【分析】由存在量词命题的否定是全称量词命题，写出命题的否定.【详解】命题“210,0x x x ∃>-<”的否定为“210,0x x x∀>-≥”.故选：C2.从甲地到乙地通话m 分钟的电话费由() 1.0612m f m <>⎛⎫=+⎪⎝⎭（元）决定，其中0m >，m <>是不小于m 的最小整数（如：33<>=， 3.84<>=， 5.16<>=），则从甲地到乙地通话时间为7.3分钟的电话费为（）A.4.24元B.4.77元C.5.30元D.4.93元【答案】C【解析】【分析】由函数解析式，结合m <>的定义计算可得解.【详解】7.3(7.3) 1.0612f <>⎛⎫=+ ⎪⎝⎭81.061 5.32⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，故选：C.3.若函数()f x 的定义域为R ，则“(2)(3)f f <”是“()f x 是增函数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据充分条件以及必要条件的定义，结合函数单调性以及举反例的方法，可得答案.【详解】充分性：当()2f x x =时，显然()()23f f <，但()f x 在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，故“(2)(3)f f <”是“()f x 是增函数”的非充分条件；必要性：由()f x 是增函数，且32>，则()()23f f <，故“(2)(3)f f <”是“()f x 是增函数”的必要条件；故选：B.4.甲、乙两人解关于x 的不等式20x bx c ++<，甲写错了常数b ，得到的解集为{}6<<1x x -；乙写错了常数c ，得到的解集为{}1<<4x x ．那么原不等式的解集为（）A.{}1<<6x x B.{}1<<4x x - C.{}4<<1x x - D.{}1<<6x x -【答案】D 【解析】【分析】根据韦达定理即可求解.【详解】解：根据韦达定理得，()166c =⨯-=-，145b -=+=原不等式的两根12,x x 满足121256x x b x x c +=-=⎧⎨==-⎩，解得：121,6x x =-=，故解集为：{}1<<6x x -，故选：D.5.函数[)2235,4,22x y x x +=∈---的值域为（）.A.5317,142⎛⎫⎪⎝⎭B.5317,142⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.5317,142⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.5317,142⎛⎤⎥⎝⎦【答案】B 【解析】【分析】分离系数，得到[)22235113,4,222x y x x x +==+∈----，结合二次函数，求出值域即可.【详解】[)22235113,4,222x y x x x +==+∈----，当[)4,2x ∈--时，222111111(4,16](2,14][,12224x x x ∈∈-∈⇒⇒-.则21153173[,)2142x +∈-.故选：B.6.已知不等式2320ax x -+>的解集为(,1)(,)b -∞+∞ ，则,a b 的取值分别为（）A.3，1-B.2，1C.1-，3D.1，2【答案】D 【解析】【分析】根据一元二次不等式的解集，结合一元二次方程根与系数的关系即可解题.【详解】由不等式2320ax x -+>的解集为(,1)(,)b -∞+∞ ，则1和b 为方程2320ax x -+=的两根，且0a >，所以3121b a b a ⎧+=⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩，解得1,2a b ==.故选：D7.设()f x 是定义在R 上的奇函数，在(,0)-∞上递减，且(3)0f -=，则不等式()0xf x <的解集为（）A.{|30x x -<<或3}x >B.{|3x x <-或3}x >C.{|3x x <-或03}x <<D.{|30x x -<<或03}x <<【答案】B 【解析】【分析】根据函数的奇偶性和单调性得到函数值的正负范围，讨论0x >和0x <，0x =得到答案.【详解】()f x 是定义在R 上的奇函数，在(,0)-∞上递减，且(3)0f -=，故函数在(),3-∞-上时，()0f x >，在()3,0-上()0f x <，在()0,3上()0f x >，在()3,+∞上()0f x <.()0xf x <，当0x >时，()0f x <，故3x >；当0x <时，()0f x >，3x <-；易知0x =时不成立.综上所述：{|3x x x ∈<-或3}x >.故选：B .【点睛】本题考查了解不等式，意在考查学生的计算能力和转化能力.8.对于集合M ，N ，定义{},M N x x M x N -=∈∉且，()()M N M N N M ⊕=-- ，设94A y y ⎧⎫=≥-⎨⎬⎩⎭，{}0B y y =<，则A B ⊕=A.9,04⎛⎤- ⎥⎝⎦B.9,04⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C.[)9,0,4⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ D.()9,0,4⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ 【答案】C 【解析】【分析】由根据定义先求出集合A B -和集合B A -，再求这两个集合的并集可得A B ⊕，得解.【详解】因为94A y y ⎧⎫=≥-⎨⎬⎩⎭，{}0B y y =<，{|0}A B y y ∴-=≥,9{|}4B A y y -=<-,所以()(){}[)990|,0,44A B A B B A y y y y ⎧⎫⎛⎫⊕=-⋃-=≥⋃<-=-∞-⋃+∞⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭故选C ．【点睛】本题考查集合的交、并、补集的运算，解题时注意理解A B -和B A -的含义，属于基础题.二、多选题（共4小题，共20分）9.下表表示y 是x 的函数，则（）x 05x <<510x ≤<1015x ≤<1520x ≤≤y2345A.函数的定义域是(0,20]B.函数的值域是[2,5]C.函数的值域是{}2,3,4,5D.函数是增函数【答案】AC 【解析】【分析】观察表格可知定义域以及值域，此函数为分段函数，在各自的区间内都是常函数，即可判断.【详解】由表格可知：函数的定义域是(0,20]，值域是{}2,3,4,5，此函数为分段函数，在各自的区间内都是常函数，故函数不是增函数；故选：AC.10.已知243fx =-，则下列结论错误的是（）A.()11f =B.2()21f x x =-C.()f x 是偶函数D.()f x 有唯一零点【答案】BC 【解析】【分析】利用换元法求得函数的解析式，再一一判断选项即可.t =，则2()21(0)f t t t =-≥.所以()11f =，即A 正确；由2()21(0)f x x x =-≥，即B 错；因为定义域为0,+∞不关于原点对称，故不是偶函数，C 错；由()2()210,0f x x x =-=≥得2x =，即D 正确故选：BC11.给出以下四个命题，其中为真命题的是（）A.函数y 与函数y 表示同一个函数B.若函数(2)f x 的定义域为[0,2]，则函数()f x 的定义域为[0,4]C.若函数()y f x =是奇函数，则函数()()y f x f x =--也是奇函数D.函数1y x=-在(,0)(0,)-∞+∞ 上是单调增函数【答案】BC 【解析】【分析】通过具体函数求解定义域即可判断A ，抽象函数求定义域即可判断B ，利用函数奇偶性的判定方法即可判断C ，利用反比例函数单调性即可判断D.【详解】对A 选项，y =，240x -≥，2x ≥或2x ≤-，故其定义域为(][),22,-∞-+∞U ，而后者y =2020x x +≥⎧⎨-≥⎩，解得2x ≥，其定义域为[2,)+∞，定义域不同，故函数不同，所以A错误；对B 选项，[][]0,2,20,4x x ∈∴∈ ，所以函数()f x 的定义域为[]0,4，故B 正确；对C 选项，设()()()h x f x f x =--，根据()f x 为奇函数，则()h x 定义域关于原点对称，且()()()()()()h x f x f x f x f x h x -=--=---=-⎡⎤⎣⎦，故其为奇函数，C 正确，对D 选项，反比例函数1y x=-在(),0-∞,()0,+∞上单调递增，不能取并集，中间应用逗号或者“和”隔开，故D 错误.故选：BC.12.下列命题正确的是（）A.若对于1x ∀，2x ∈R ，12x x ≠，都有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +>+，则函数=在R 上是增函数B.若对于1x ∀，2x ∈R ，12x x ≠，都有()()12121f x f x x x ->--，则函数()y f x x =+在R 上是增函数C.若对于x ∀∈R ，都有()()1f x f x +<成立，则函数=在R 上是增函数D.若对于x ∀∈R ，都有()f x ，()g x 为增函数，则函数()()y f x g x =⋅在R 上也是增函数【答案】AB 【解析】【分析】利用函数的单调性定义结合举反例的方法对选项逐一分析即可.【详解】()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +>+，化简为()()()()12120x x f x f x -->，设21x x >，则21()()f x f x >，设21x x <，则21()()f x f x <，故函数()f x 在R 上是增函数，故A 正确；设21x x >，由()()12121f x f x x x ->--得()()1212f x f x x x -<-+，即()()1122f x x f x x +<+，设21x x <，由()()12121f x f x x x ->--得()()1212f x f x x x ->-+，即()()1122f x x f x x +>+，故函数()y f x x =+在R 上是增函数，故B 正确；令()[]f x x =，表示不超过x 的最大的整数，满足()()1f x f x +>，但()f x 在R 上不是增函数；故C 错误；令()()f x g x x ==，则()f x ，()g x 为增函数，但函数()()2y f x g x x =⋅=在R 上不单调，故D 错误.故选：AB .三、填空题（共4小题，共20分）13.A ={}|03x x <<，{}|24B x x =<<，则A B ⋃=___________.【答案】{}|04x x <<【解析】【分析】根据并集的定义计算可得；【详解】解：因为{} |03A x x =<<，{} |24B x x =<<所以{}|04A B x x =<< 故答案为：{}|04x x <<14.若“2,1000x mx mx ∀∈++>R ”是真命题，则m 的取值范围是__________.【答案】[0,400)【解析】【分析】分0m =和0m ≠两种情况分析不等式成立条件，求出m 的取值范围.【详解】因为“2,1000x mx mx ∀∈++>R ”是真命题当0m =时，1000>恒成立，符合题意，当0m ≠时，由20,4000,m m m >⎧⎨-<⎩解得0400m <<，故m 的取值范围是[)0,400.故答案为：[)0,400.15.已知函数()()11xf x x x =>-，())2g x x =≥，若存在函数()(),F x G x 满足：()()()()()(),G x F x f x g x g x f x =⋅=，学生甲认为函数()(),F x G x 一定是同一函数，乙认为函数()(),F x G x 一定不是同一函数，丙认为函数()(),F x G x 不一定是同一函数，观点正确的学生是_________.【答案】甲【解析】【分析】由题意求出()(),F x G x 的解析式,依据两函数为同一函数的条件:定义域和对应关系相同,即可得出结论.【详解】 ()()11xf x x x =>-,())2g x x =≥,()()11xf x x x ∴=>-,())21x F x x x ∴==≥-,()()()G x g x f x =,())21G x x x x ∴=≥-,解得())2G x x =≥,所以()())2F x G x x ==≥.故答案为:甲【点睛】本题主要考查两函数为同一函数的条件：定义域和对应关系相同；正确求出两函数的解析式和定义域是求解本题的关键;属于易错题;16.已知函数()2cos ,,22f x x x x ππ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦，则满足()06f x f π⎛⎫> ⎪⎝⎭的0x 的取值范围为__________．【答案】[,(,]2662ππππ-- 【解析】【分析】由题意得函数()f x 是偶函数，且()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，则由()06f x f π⎛⎫> ⎪⎝⎭得06x π>，解出即可．【详解】解：∵()2cos ,,22f x x x x ππ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦，∴()()()2cos f x x x -=---()2cos x x f x =-=，∴函数()f x 是偶函数，∴()()f x fx =，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2y x =和cos y x =-均为增函数，则()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，∵()06f x f π⎛⎫> ⎪⎝⎭，∴06x π>，∴026x ππ-<<-，或062x ππ<<，故答案为：[,)(,]2662ππππ-- ．【点睛】本题主要考查偶函数的对称性的应用，考查利用函数的单调性解抽象不等式，考查推理能力与转化能力，属于中档题．四、解答题（共6小题，共70分）17.（1）设0x y <<，试比较22()()x y x y +-与22()()x y x y -+的大小；（2）已知a ，b ，x ，(0,)∈+∞y 且11,x y a b>>，求证：x y x a y b >++．【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1（2）利用作差法，即可证明x yx a y b>++．【详解】（1）解：2222()()()()x y x y x y x y +---+222()[()()]x y x y x y =-+-+2()xy x y =--；因为0x y <<，所以0xy >，0x y -<，所以2()0xy x y -->，所以2222()()()()x y x y x y x y +->-+；（2）证明：()()x y bx ayx a y b x a y b --=++++，因为11a b>且a ，(0,)b ∈+∞，所以0b a >>；又因为0x y >>，所以0bx ay >>，所以x y x a y b>++．【点睛】本题考查了代数式的比较大小问题，常用作差法比较大小，属于基础题．18.求下列不等式的解集.（1）202735x x <---<；（2）1123x x +≤-【答案】（1）13,2⎛⎫--⎪⎝⎭（2）[)3,4,2⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）将不等式组转化为2202732735x x x x ⎧<---⎨---<⎩，再分别解出各个一元二次不等式，即可得解；（2，解得即可.【小问1详解】因为202735x x <---<，即2202732735x x x x ⎧<---⎨---<⎩，解不等式20273x x <---，即()()2130x x ++<，解得132x -<<-；解不等式22735x x ---<，即22780x x ++>，又227152782048x x x ⎛⎫++=++> ⎪⎝⎭恒成立，所以不等式22780x x ++>的解集为R ，综上，不等式组的解集为13,2⎛⎫--⎪⎝⎭.【小问2详解】由1123x x +≤-，即()123023x x x +--≤-，即4023x x -≥-，等价于()()4230230x x x ⎧--≥⎨-≠⎩，解得4x ≥或32x <，所以不等式1123x x +≤-的解集为[)3,4,2∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪⎝⎭.19.冰墩墩（Bing Dwen Dwen ）、雪容融（Shuey Rhon Rhon ）分别是2022年北京冬奥会、冬残奥会的吉祥物．冬奥会来临之际，冰墩墩、雪容融玩偶畅销全国．小雅在某网店选中两种玩偶，决定从该网店进货并销售，第一次小雅用1400元购进了冰墩墩玩偶15个和雪容融玩偶5个，已知购进1个冰墩墩玩偶和1个雪容融玩偶共需136元，销售时每个冰墩墩玩偶可获利28元，每个雪容融玩偶可获利20元．（1）求两种玩偶的进货价分别是多少？（2）第二次小雅进货时，网店规定冰墩墩玩偶的进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍．小雅计划购进两种玩偶共40个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少元？【答案】（1）冰墩墩的进货价为72元，雪容融的进货价为64元（2）冰墩墩进货2416个；最大利润是992元【解析】【分析】（1）先设冰墩墩的进货价为x 元，雪容融的进货价为y 元．再根据题意列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；（2）先设冰墩墩进货a 个，则雪容融进货()40a -个，利润为w 元，再根据题意可以写出w 和a 的函数关系式，再根据题意求得a 的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求得利润的最大值．【小问1详解】设冰墩墩的进货价为x 元，雪容融的进货价为y 元．得1361551400x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得7264x y =⎧⎨=⎩，所以冰墩墩的进货价为72元，雪容融的进货价为64元．【小问2详解】设冰墩墩进货a 个，则雪容融进货()40a -个，利润为w 元，则()2820408800w a a a =+-=+，因为0a >，所以w 随a 增大而增大，又因为冰墩墩进货量不能超过雪容融进货量的1.5倍，即()0 1.540a a <≤-，解得024a <≤，所有当24a =时，w 最大，此时4016a -=，824800992w =⨯+=，答：冰墩墩进货24个，雪容融进货16个时，获得最大利润，最大利润为992元．20.某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元，为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出()*N x x ∈名员工从事第三产业，调整出的员工平均每人每年创造利润为310500x a ⎛⎫- ⎪⎝⎭万元()0a >，剩余员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2%x .（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？（2）在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a 的取值范围是多少？【答案】（1）500名（2）(]0,5【解析】【分析】（1）求出剩下1000x -名员工创造的利润列不等式求解；（2）根据题意得到3110(10(1000)(1)500500x a x x x -≤-+，转化为210001500x a x≤++在(]0,500x ∈上恒成立，结合基本不等式，即可求解.【小问1详解】由题意得：()()10100010.2%101000x x -+≥⨯，即25000x x -≤，又0x >，所以0500x <≤.即最多调整500名员工从事第三产业.【小问2详解】从事第三产业的员工创造的年总利润为310500⎛⎫- ⎪⎝⎭x a x 万元，从事原来产业的员工的年总利润为()11010001500x x ⎛⎫-+⎪⎝⎭万元，则()()31010100010.2%500x a x x x ⎛⎫-≤-+ ⎪⎝⎭所以223110002500500x ax x x x -≤+--所以221000500x ax x ≤++，即210001500x a x≤++恒成立，因为210004500x x +≥=，当且仅当21000500x x =，即500x =时等号成立.所以5a ≤，又0a >，所以05a <≤，即a 的取值范围为(]0,5.21.已知函数()2f x x x=+.（1）判断()f x 的奇偶性，并证明你的结论；（2）用函数单调性的定义证明函数()f x 在)+∞上是增函数；（3）当[]1,3x ∈时，求函数(f x 的值域.【答案】（1）奇函数，证明见解析（2）证明见解析（3）113⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）利用奇偶性的定义判断即可；（2）利用函数单调性的定义证明即可；（3）判断出()f x 在[]1,3x ∈上的单调性可得答案.【小问1详解】()f x 为奇函数，证明如下，函数()2f x x x=+的定义域为{}|0x x ≠，关于原点对称，又()()22f x x x f x x x ⎛⎫-=--=-+=- ⎪⎝⎭，所以()f x 为奇函数；【小问2详解】设12>≥x x ，()()()121212*********x x f x f x x x x x x x x x --=+--=-，因为12>≥x x ，所以122x x >，120x x ->，所以()12121220x x x x x x -->，()()12f x f x >，所以函数()f x在)+∞上是增函数；【小问3详解】设121x x ≤<<，()()()121212*********x x f x f x x x x x x x x x --=+--=-，因为121x x ≤<<，所以1202x x <<，120x x -<，所以()12121220x x x x x x -->，()()12f x f x >，所以函数()f x在⎡⎣上是减函数，由（2）知，函数()f x在⎤⎦上是增函数又f =+=()21131f =+=，()2113333f =+=，所以函数()f x的值域为113⎡⎤⎢⎥⎣⎦.22.某企业用1960万元购得一块空地，计划在该空地建造一栋8,()x x x N ≥∈层，每层2800平方米的楼房.经测算，该楼房每平方米的平均建筑费用为56570x +(单位：元).（1）当该楼房建多少层时，每平方米的平均综合费用最少?最少为多少元?（2）若该楼房每平方米的平均综合费用不超过2000元，则该楼房最多建多少层?（注：综合费用=建筑费用＋购地费用）【答案】（1）建10层时，每平方米的平均综合费用最少为1965元（2）12层【解析】【分析】根据综合费用=建筑费用＋购地费用，可列出函数表达式，再利用基本不等式可求解；根据第一问的表达式列出不等式，求解即可求出答案.【小问1详解】设该楼房每平方米的平均综合费用为y 元，则4196010700056570705652800y x x x x⨯=++=++，因为70007027001400x x +≥⨯=，当且仅当700070x x=，即10x =时，等号成立，所以当该楼房建10层时，每平方米的平均综合费用最少，且最小值为7007005651965++=元.【小问2详解】由（1）可知该楼房每平方米的平均综合费用700070565,y x x=++则7000705652000,x x ++≤即2412000x x -+≤，即()(258)20x x --≤，解得812.5x ≤≤.因为,x N ∈所以该楼房最多建12层.。

广东省中山市2010届高三上学期期末考试数学试卷（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试用时120分钟．注意事项：1、答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上。

3、不可以使用计算器。

4、考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交。

第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．已知3()lg ,(2)f x x f ==则A ．lg 2B ．lg 8C ．1lg8 D ．1lg 232．01()x x e dx --⎰=A ．312e-+ B ．–1C ．11e-- D ．32-3．已知两直线m 、n ，两平面α、β，且βα⊂⊥n m ,．下面有四个命题： 1）若n m ⊥则有,//βα； 2）βα//,则有若n m ⊥； 3）βα⊥则有若,//n m ； 4）n m //,则有若βα⊥． 其中正确命题的个数是 A ．０B ．１C ．2D ．34．函数y=sin x 的图象按向量平移后与函数y=2-cos x 的图象重合，则是 A ．3(,2)2π-- B ．3(,2)2π- C ．(,2)2π- D ．(,2)2π- 5．如图，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为3和4，过直角顶点的侧棱长为4，且垂直于底面，该三棱锥的正视图是6．对变量x, y 有观测数据（i x ，i y ）（i=1，2，…，10），得散点图1；对变量u ，v 有观测数据（i u ，i v ）（i=1，2，…，10），得散点图2. 由这两个散点图可以判断A B C D 5 x z 3 4 4 4 4 4 3A．变量x 与y 正相关，u 与v 正相关B．变量x 与y 正相关，u 与v 负相关C．变量x 与y 负相关，u 与v 正相关D．变量x 与y 负相关，u 与v 负相关7．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是A．甲地：总体均值为3，中位数为4 .B．乙地：总体均值为1，总体方差大于0 .C．丙地：中位数为2，众数为3 .D．丁地：总体均值为2，总体方差为3 .8．以平行六面体ABCD—A′B′C′D′的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出两个三角形，则这两个三角形不共面的概率p为A．385367B．385376C．385192D．38518第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：(本大题共6小题，每小题5分，共30分.)9．若复数z 满足z (1+i) =1－i (i是虚数单位)，则其共轭复数z=_______.10．命题“,cos1x x∀∈≤R”的否定是.11．在二项式251()xx-的展开式中，含4x的项的系数是_______.12．平面内满足不等式组1≤x+y≤3，—1≤x—y≤1，x≥0，y≥0的所有点中，使目标函数z=5x+4y 取得最大值的点的坐标是13．将全体正整数排成一个三角形数阵：图15图2第14题5按照以上排列的规律，第n 行(3)n ≥从左向右的第3个数为 ．14．某地区为了解70~80岁老人的日平均睡眠时间（单位： 小时），随机选择了50位老人进行调查．下表是这50位老 人日睡眠时间的频率分布表．在上述统计数据的分析中，右边是一部分计算算法 流程图，则输出的S 的值是 ．三、解答题：（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．(本小题满分12分)已知：函数,0(),0a x x f x a x -≤⎧=⎨>⎩（0>a ）．解不等式：12)(<-x x f ．16．(本小题满分12分)已知向量)sin ,sin 33(),sin ,(cos x x x x -==，定义函数OQ OP x f ⋅=)(． （1）求)(x f 的最小正周期和最大值及相应的x 值；（2）当⊥时，求x 的值．17．(本小题满分14分)一次国际乒乓球比赛中，甲、乙两位选手在决赛中相遇，根据以往经验，单局比赛甲选手胜乙选手的概率为０．６，本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的选手获胜，比赛结束．设全局比赛相互间没有影响，令ξ为本场比赛甲选手胜乙选手的局数（不计甲负乙的局数），求ξ的概率分布和数学期望（精确到0.0001）．12 3 4 5 6 7 8 9 10 ………………………18．(本小题满分14分)如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧P为侧棱SD上的点．（Ⅰ）求证：AC⊥SD；（Ⅱ）若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大小；19．(本小题满分14分)已知数列,5}{1=aan的首项前n项和为S n，且S n+1=2S n+n+5（n∈N*）．（Ⅰ）证明数列}1{+na是等比数列；（Ⅱ）令)1(1)(,)(221fxxfxaxaxaxf nn'=+++=处的导数在点求函数.20．(本小题满分14分)已知A、B、C是直线l上的不同的三点，O是直线外一点，向量、、满足()[]032ln1232=⋅-+-⋅⎪⎭⎫⎝⎛+-OCyxOBxOA，记)(xfy=．（1）求函数)(xfy=的解析式；（2）若⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈31,61x，31ln>a,证明：不等式[]xxfxa3)(lnln/->-成立；（3）若关于x的方程bxxf+=2)(在[]1,0上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围．数学试卷（理科）答案一、选择题DACB BCDA二、填空题9. i；10. ,cos1x x∃∈>R11．10；12．（2，1）；ABDPS13.262n n-+；14. 6.42三、解答题15．解：1）当0≤x时，即解12<--xxa，即0222>-+-xax，不等式恒成立，即0≤x；2）当0>x时，即解12<-xa，即02)2(<-+-xax，因为22>+a，所以22+<<ax．由1）、2）得，原不等式解集为}22,0|{+<<≤axxx或．16．解：（1）xxxxf2sincossin33)(+-=11(sin22)22x x=1)23xπ=+22,Tπωπω===．当5,12x k k Zππ=-∈时，()f x取最大值12+．（2）当⊥时，()0f x=，即1)023xπ+=，解得6x k kπππ=+或，k Z∈．17．解：甲选手胜乙选手的局数作为随机变量ξ，它的取值共有0、1、2、3四个值.1)当ξ=0时,本场比赛共三局,甲选手连负三局,P(ξ=0)=（1-0.6）3=0.064;2)当ξ=1时,本场比赛共四局,甲选手负第四局,且前三局中,甲胜一局,P(ξ=1)=13330.6(10.6)0.1152C⨯-=;3)当ξ=2时,本场比赛共五局,甲选手负第五局,且前四局中,甲胜二局,P(ξ=2)=22340.6(10.6)0.13824C⨯-=;4)当ξ=3时,本场比赛共三局、或四局、或五局．其中共赛三局时，甲连胜这三局；共赛四局时，第四局甲胜，且前三局中甲胜两局；共赛五局时，第五局甲胜，且前四局中甲胜两局；P(ξ=３)=323232340.60.6(10.6)0.6(10.6)C C+⨯-+⨯-=0.68256ξEξ=0⨯P(ξ=0)+ 1⨯P(ξ=1)+2⨯P(ξ=2)+3⨯P(ξ=３)=0⨯0.064+1⨯0.1152+2⨯0.13824+3⨯0.68256=2.43926≈2.4394.18．解法一：（Ⅰ）连BD，设AC交BD于O，由题意SO AC⊥．在正方形ABCD中，AC BD⊥，所以AC SBD⊥平面,得AC SD⊥.(Ⅱ)设正方形边长a，则SD=．又2OD=，所以60=∠SDO,连OP，由（Ⅰ）知AC SBD⊥平面，所以AC OP⊥,且AC OD⊥,所以POD∠是二面角P AC D--的平面角．由SD PAC⊥平面,知SD OP⊥，所以030POD∠=,即二面角P AC D--的大小为030．解法二：（Ⅰ）；连BD,设AC交于BD于O，由题意知SO ABCD⊥平面.以O为坐标原点，OB OC OS，，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立坐标系O xyz-如图．设底面边长为a，则高SO=．于是),(,0,0)S D a-，(0,,0)2C a，(0,,0)2OC=，(,0,)2SD=-，所以，0OC SD⋅=故OC SD⊥，从而AC SD⊥(Ⅱ)由题设知，平面PAC的一个法向量(,0,)22DS a=，平面DAC的一个法向量)0,0,)2OS a=，设所求二面角为θ，则c o s2O S D SO S D Sθ⋅==,所求二面角的大小为030 19．解：解：（Ⅰ）由已知,521++=+nSSnn∴,42,21++=≥-nSSnnn时两式相减，得,1)(211+-=--+nnnnSSSS即,121+=+nnaa从而).1(211+=++nnaa当n=1时，S2=2S1+1+5，∴62121+=+aaa又,11,521=∴=aa从而).1(2112+=+aa故总有.*),1(211Nnaann∈+=++又∵,01,51≠+∴=naa从而.2111=+++nnaa即61}1{1=++aan是以为首项，2为公比的等比数列.（Ⅱ）由（Ⅰ）知.123-⨯=nna nnxaxaxaxf+++=221)(1212)(-+++='∴nnxnaxaaxf .从而nnaaaf+++='212)1()123()123(2)123(2-⨯++-⨯+-⨯=nnAB CDPSONE)21()2222(32n n n +++-⨯++⨯+=2)1()]22(2[31+-++-⨯=+n n n n n 2)1(]222[311+-+-⨯=++n n n n n.62)1(2)1(31++-⋅-=+n n n n20．解：（1）()[]y x x ⋅-++⋅⎪⎭⎫⎝⎛+=32ln 1232 A 、B 、C 三点共线，∴ 1)32ln(1232=-+++y x x∴ )32ln(232x x y ++=（2） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈31,61x ，31ln >a ，则x a ln >又由（1）得，x x x f 3323)(/++=，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈31,61x ，则03233)(/>+=-x x x f ∴ 要证原不等式成立，只须证：xx a 323lnln ++> （*） 设xxx x x h 323ln 323ln ln )(+=++=．()()()03223233323332)(2/>+=+⋅-+⋅+=x x x x x x x x h ∴ )(x h 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈31,61x 上均单调递增，则)(x h 有最大值31ln )31(=h ，又因为31ln >a ，所以)(x h a >在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈31,61x 恒成立．∴ 不等式（*）成立，即原不等式成立． （3）方程b x x f +=2)(即 b x x x =++-)32ln(2232令)32ln(223)(2x x x x ++-=ϕ， ∴ ()()x x x x x x x x 321313321923323)(2/+-+=+-=-++=ϕ 当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈31,0x 时，0)(/<x ϕ，)(x ϕ单调递减，当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈1,31x 时，0)(/>x ϕ，)(x ϕ单调递增，∴)(x ϕ有极小值为⎪⎭⎫⎝⎛31ϕ＝213ln -即为最小值．又()2ln 0=ϕ，()215ln 1-=ϕ，又215ln -－2ln＝03425ln 21425ln 2125ln>⨯>=e e∴ -5ln 212ln >． ∴ 要使原方程在[0，1]上恰有两个不同实根，必须使≤<-b 213ln 2ln ．。

中山市2005—2006学年度第一学期期末统一检测高三数学试卷本试卷分第I 卷（选择题）、第II 卷（非选择题）两部分。

共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题共50分）注意事项：1、答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上。

3、考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交。

一、选择题：（每题5分，共50分）1、已知集合A={0，2，3}，B={a ab x x ,|=、A b ∈}，且b a ≠，则B 的子集的个数是A 、4B 、8C 、16D 、152、平面向量与向量)2,1(-=a 夹角为090=，则=A 、（2，1）或)1,2(--B 、)1,2(-或)1,2(-C 、（2，1）D 、)1,2(-- 3、下列各式中，值为21的是 A 、sin15°cos15° B 、6sin 6cos22ππ-C 、30tan 130tan 2- D4、不等式11log 2≥-xx 的解集为 A 、(]1,-∞- B 、[)+∞-,1 C 、[)0,1- D 、(]()+∞-∞-,01, 5、设a 、b 是异面直线，那么A 、必然存在唯一的一个平面同时平行a 、bB 、必然存在唯一的一个平面同时垂直a 、bC 、过a 存在唯一的一个平面平行于bD 、过a 存在唯一的一个平面垂直于b 6、若i z 432+=，则z 的一个值为（ ）A 、1-2iB 、1+2iC 、2-iD 、2+i7、如图，点P 在正方形ABCD 所在的平面外，PD ⊥平面ABCD ，PD=AD ，则PA 与BD 所成角的度数为A 、30°B 、45°C 、60°D 、90° 8、已知等差数列{}n a 满足10121a a a +++ =0，则有 A 、01011>+a a B 、01011<+a aC 、5151=aD 、0993=+a a 9、设a 、+∈R b ，且4=+b a ，则有（ ）A 、211≥ab B 、111≥+ba C 、2≥ab D 、41122≥+b a 10、已知定义域为R 的函数)(x f 满足)4()(+-=-x f x f ，当2>x 时，)(x f 单调递增，如果421<+x x 且0)2)(2(21<--x x ，则)()(21x f x f +的值A 、恒小于0B 、恒大于0C 、可能为0D 、可正可负中山市2005—2006学年度第一学期期末统一检测高三数学试卷第II 卷（非选择题 满分100分）二、填空题（每题5分，共20分）11、若nxx )2(+的展开式中的第5项为常数项，则=n ； 12、623lim 2232--++-→x x xx x x 的值为 ； 13、在ΔABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知A=60°，1=b ，三角形ABC 的面积为3，则a 的值为 ； 14、规定记号“⊗”表示一种运算，即),(为正实数b a b a ab b a ++=⊗，若31=⊗k ，则k 的值为 ；函数x k x f ⊗=)(的值域为 ；三、解答题（本大题共6小题，共80分） 15．（本小题13分） 若a =2sin2(cos x x +，)2sin x -，2sin 2(cos x x -=，)2cos 2x ,设x f ⋅=)(;(1)求 )(x f 的最小正周期；(7分) (2)若12[π∈x ，]65π，求 )(x f 的值域。

中山市高一级2009—2010学年度第一学期期末统一考试数学科试卷本试卷分第I 卷（选择题）、第II 卷（非选择题）两部分。

共100分，考试时间100分钟。

注意事项：1、答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上。

3、不可以使用计算器。

4、考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交。

5、参考公式：球的表面积公式S 球24R π=，其中R 是球半径．锥体的体积公式V锥体13Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．台体的体积公式V 台体1()3h S S '=+，其中,S S '分别是台体上、下底面的面积，h是台体的高． 球的体积公式V球343R π=，其中R 是球半径． 第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题(本大题共10小题，每题4分，共40分，每小题给出的4个选项中，只有一选项是符合题目要求的)1． 已知集合A={x ︱x ≤a =则下列关系正确的是A ．a A ⊄B ．a A ∈C. a A ∉D ．{}a A ∈2． 已知两条相交直线a ，b ，//a 平面α，则b 与α的位置关系是A ．b ⊂平面αB ．b ⊥平面αC ．//b 平面αD ．b 与平面α相交，或//b 平面α3． 设0.7log 0.8a =, 1.1log 0.9b =, 则A ．0b a >>B ．0a b >>C ．0a b >>D ．0b a >> 4． 如果两个球的体积之比为8:27，那么两个球的表面积之比为A ．8:27B ．2:3C ．4:9D ．2:95．已知函数⎩⎨⎧>≤=)0(log )0(3)(2x x x x f x ，那么1[()]8f f 的值为A ． 27B ．127C ．27-D ．127-6．某学生从家里去学校上学，骑自行车一段时间，因自行车爆胎，后来推车步行，下图中横轴表示出发后的时间，纵轴表示该生离学校的距离，则较符合该学生走法的图是7．函数()lg f x x x=-的零点所在的大致区间是 A ．(9,10) B ．(8,9) C ．(7,8)D ．(6,7)8．如图，三棱柱111A B C ABC -中，侧棱1AA ⊥底面111A B C ，底面三角形111A B C 是正三角形，E 是BC 中点，则下列叙述正确的是 A ．1CC 与1B E 是异面直线 B ．AC ⊥平面11ABB A C ．11//AC 平面1AB ED ．AE ，11B C 为异面直线，且11AE B C ⊥9．已知m ，n 是两条不重合的直线，α，β，γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题： ①若,,m m αβ⊥⊥则//αβ； ②若,,αγβγ⊥⊥则//αβ；③若,,//,m n m n αβ⊂⊂则//αβ；A 1B 1C 1ABEC④若m ，n 是异面直线，,//,,//,m m n n αββα⊂⊂则//αβ．其中真命题是A ．①和④B ．①和③C ．③和④D ．①和②10．圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为A ．023=-+y xB ．043=-+y xC ．043=+-y xD ．023=+-y x第Ⅱ卷（非选择题 共68分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的横线上） 11．过点(0,1),(2,0)A B 的直线的方程为 .12．已知各面均为等边三角形的四面体的棱长为2，则它的表面积是 13．有一个几何体的三视图及其尺寸如下：则该几何体的体积为 ；表面积为 ．14．已知定义在R 上的奇函数f (x )，当x >0时，2()1f x x x =+-，那么x <0时，f (x )= .三、解答题：（本大题共 5 小题，共 44分。

红岭中学（红岭教育集团）2025届⾼三第⼆次统⼀考试数学(说明:本试卷考试时间为120分钟,满分为150分)⼀、选择题（本⼤题共8⼩题，每题5分，共40分，每⼩题的4个选项中仅有⼀个选项是正确的,请将你认为正确的答案的代号涂在答题卡上）1．设全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（）A．B．C．D．2．化简等于（）A．B．C．D．3．已知等差数列和的前项和分别为、，若，则（）A．B．C．D．4．甲、⼄、丙、丁、戊共5名同学参加100⽶⽐赛，决出第1名到第5名的名次．⽐赛结束后甲说：“我不是第1名”，⼄说：“我不是第5名”．根据以上信息，这5⼈的名次排列情况种数为（）A．72B．78C．96D．1205．已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（）A．B．C．D．6．已知函数，若实数a，b，c互不相等，且，则的取值范围是（）A．B．C．D．7.已知，，，其中为⾃然对数的底数，则，，的⼤⼩关系为（）A．B．C．D．8．将⽅程的所有正数解从⼩到⼤组成数列，记，则=（）A．B．C．D．⼆、选择题（本⼤题共3⼩题，每题6分，共18分，每⼩题的4个选项中有多个选项是正确的,少选的按⽐例给分，有选错的得0分，请将你认为正确的答案的代号涂在答题卡上）9．记为数列的前项和，下列说法正确的是（）A．若对，，有，则数列⼀定是等差数列B．若对，，有，则数列⼀定是等⽐数列C．已知，则⼀定是等差数列D．已知，则⼀定是等⽐数列10．已知△ABC的内⻆所对的边分别为，下列四个命题中，正确的命题是（）A．在△ABC中，若sin A＞sin B，则A＞BB．若，则是等腰三⻆形C．若在线段AB上，且，则△ABC的⾯积为8D．若，动点在△ABC所在平⾯内且，则动点的轨迹的⻓度为11．已知矩形，，，将沿对⻆线进⾏翻折，得到三棱锥，在翻折的过程中下列结论成⽴的是（）A．三棱锥的体积最⼤值为B．三棱锥的外接球体积不变C．异⾯直线与所成⻆的最⼤值为D．与平⾯所成⻆余弦值最⼩值为三、填空题（本⼤题共3⼩题，每题5分，共15分，请将答案填写在答题卷相应位置上）12．盒中有a个红球，b个⿊球，今随机地从中取出⼀个，观察其颜⾊后放回，并加上同⾊球c个，再从盒中抽取⼀球，则第⼆次抽出的是⿊球的概率是.13．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点M在双曲线C的右⽀上，，若与C的⼀条渐近线垂直，垂⾜为N，且，其中O 为坐标原点，则双曲线C的标准⽅程为.14．已知函数有三个不同的零点，其中则的值为.四、解答题（共77分，请将答案填写在答题卷相应位置上，答错位置不给分，要求要有必要的⽂字叙述和推理说明）15．(本⼩题13分)设正项数列的前n项和为，且，当时，．(1)求数列的通项公式；(2)设数列满⾜，且，求数列的通项公式．16．(本⼩题15分)如图，、、为圆锥三条⺟线，.(1)证明:；(2)若圆锥侧⾯积为为底⾯直径，，求平⾯PAB和平⾯PAC所成⻆的余弦值．17．(本⼩题15分)已知椭圆：的离⼼率为，右顶点与的上，下顶点所围成的三⻆形⾯积为．(1)求的⽅程；(2)不过点的动直线与交于，两点，直线与的斜率之积恒为，证明直线过定点,并求出这个定点．18．(本⼩题17分)已知函数．(1)若的极⼤值为，求的值；(2)当时，若，使得，求的取值范围．19.(本⼩题17分)法国数学家费⻢在给意⼤利数学家托⾥拆利的⼀封信中提到“费⻢点”，即平⾯内到三⻆形三个顶点距离之和最⼩的点，托⾥拆利确定费⻢点的⽅法如下：①当的三个内⻆均⼩于120∘时，满⾜∠AOB=∠BOC=∠COA=120∘的点O为费⻢点；②当有⼀个内⻆⼤于或等于120∘时，最⼤内⻆的顶点为费⻢点．请⽤以上知识解决下⾯的问题：已知的内⻆A,B,C所对的边分别为a,b,c，点M为的费⻢点，且cos2A+ cos2B−cos2C=1．(1)求C；(2)若c=4，求MA⋅MB+MB⋅MC+MC⋅MA的最⼤值；(3)若MA+MB=t MC，求实数t的最⼩值．。