bethe_bloch 定理

（计算前的）验证一、检验赝势的好坏：（一）方法：对单个原子进行计算；（二）要求：1、对称性和自旋极化均采用默认值；2、ENCUT要足够大；3、原胞的大小要足够大，一般设置为15 Å足矣，对某些元素还可以取得更小一些。

（三）以计算单个Fe原子为例：1、INCAR文件：SYSTEM = Fe atomENCUT = 450.00 eVNELMDL = 5 ! make five delays till charge mixing，详细意义见注释一ISMEAR = 0SIGMA=0.12、POSCAR文件：atom15.001.00 0.00 0.000.00 1.00 0.000.00 0.00 1.001Direct0 0 03、KPOINTS文件：（详细解释见注释二。

）AutomaticGamma1 1 10 0 04、POTCAR文件：（略）注释一：关键词“NELMDL”:A）此关键词的用途：指定计算开始时电子非自洽迭代的步数（即NELMDL gives the number of non-selfconsistent steps at the beginning），目的是make calculations faster。

“非自洽”指的是保持charge density 不变，由于Charge density is used to set up the Hamiltonian, 所以“非自洽”也指保持初始的哈密顿量不变。

B）默认值（default value）:NELMDL = -5 (当ISTART=0, INIWA V=1, and IALGO=8时)NELMDL = -12 (当ISTART=0, INIWA V=1, and IALGO=48时)NELMDL = 0 (其他情况下)NELMDL might be positive or negative.A positive number means that a delay is applied after each ionicmovement -- in general not a convenient option. （在每次核运动之后）A negative value results in a delay only for the start-configuration. （只在第一步核运动之前）C）关键词“NELMDL”为什么可以减少计算所需的时间？Charge density is used to set up the Hamiltonian, then the wavefunctions are optimized iteratively so that they get closer to the exact wavefunctions of this Hamiltonian. From the optimized wavefunctions a new charge density is calculated, which is then mixed with the old input-charge density. A brief flowchart is given below.（参自Manual P105页）一般情况下，the initial guessed wavefunctions是比较离谱的，在前NELMDL次非自洽迭代过程中保持charge density不变、保持初始的哈密顿量不变，只对wavefunctions进行优化，在得到一个与the exactwavefunctions of initial Hamiltonian较为接近的wavefunctions后，再开始同时优化charge density。

bethe bloch公式Bethe Bloch公式是描述带电粒子在物质中能量损失的经典公式。

它是由Hans Bethe和Felix Bloch于1930年代提出的，是研究粒子在物质中运动特性的重要工具之一。

Bethe Bloch公式可以用来计算带电粒子在物质中的平均能量损失率，即每单位长度内的能量损失。

公式的表达式如下：$\frac{dE}{dx} = K z^2 \frac{Z}{A} \frac{1}{\beta^2} \left[\frac{1}{2} \ln\frac{2m_e c^2 \beta^2 \gamma^2 T_{\text{max}}}{I^2} - \beta^2 - \frac{\delta(\beta\gamma)}{2}\right]$其中，$\frac{dE}{dx}$表示单位长度内的能量损失，$K$是一个常数，$z$是粒子的电荷数，$Z$是物质的原子序数，$A$是物质的质量数，$\beta$是粒子的速度与光速的比值，$\gamma$是粒子的洛伦兹因子，$T_{\text{max}}$是物质的最大电离能，$I$是物质的平均电离能，$\delta(\beta\gamma)$是一个修正因子。

Bethe Bloch公式的推导基于经典电动力学和量子力学的原理，考虑了粒子在物质中与原子核和电子的相互作用。

通过该公式，我们可以研究带电粒子在不同物质中的能量损失情况，从而了解粒子在物质中的传输特性。

公式中的各参数对能量损失的影响是不同的。

粒子的电荷数$z$和物质的原子序数$Z$对能量损失有正比的影响，即电荷数越大、原子序数越大，能量损失越大。

物质的质量数$A$则对能量损失有反比的影响，即质量数越大，能量损失越小。

粒子的速度与质量数的比值$\beta$和洛伦兹因子$\gamma$也对能量损失有影响。

当粒子的速度接近光速时，$\beta$接近1，能量损失增大。

而当洛伦兹因子增大时，能量损失减小。

bethe bloch公式Bethe Bloch公式是描述带电粒子在物质中能量损失的重要公式。

它是由Hans Bethe和Felix Bloch在1933年独立提出的，用于解释带电粒子经过物质时的能量损失规律。

本文将介绍Bethe Bloch 公式的基本原理、推导过程以及应用领域。

Bethe Bloch公式描述了带电粒子在物质中的能量损失与其速度、电荷、质量以及物质的密度和原子数密度之间的关系。

其基本形式为：-（dE/dx）= K * Z * (z^2 / A) * (1 / β^2) * [0.5 * ln(2 * m_e * β^2 * γ^2 * T_max / I^2) - β^2 - δ - 2 * C / Z]其中，（dE/dx）表示单位路径长度内的能量损失，K是常数，Z是入射粒子的电荷数，z是物质中原子的电荷数，A是物质的质量数，β是入射粒子的速度与光速的比值，γ是入射粒子的洛伦兹因子，T_max是最大可能的能量转移，I是物质的平均激发能，δ是修正因子，C是修正常数。

Bethe Bloch公式的推导过程相对复杂，涉及到量子力学和统计物理等领域的知识。

在此不做详细讨论，仅简单介绍其基本思路。

首先，假设入射粒子与物质中原子发生库仑散射，利用量子力学的散射理论得到入射粒子的平均能量损失。

然后，考虑入射粒子与物质中电子的相互作用，根据电磁理论和统计物理的方法，得到修正因子和修正常数。

最终，将这些结果合并得到Bethe Bloch公式。

Bethe Bloch公式在高能物理、核物理、医学物理等领域有着重要的应用。

在高能物理实验中，可以利用该公式来估计带电粒子在探测器中的能量损失，从而实现粒子鉴别和能量测量。

在核物理研究中，可以利用该公式来研究带电粒子与物质的相互作用，从而揭示物质的性质和结构。

在医学物理领域，可以利用该公式来计算带电粒子在人体组织中的能量损失，从而指导肿瘤治疗中的粒子放疗。

值得注意的是，Bethe Bloch公式适用于高能带电粒子，即入射粒子的能量高于几十兆电子伏特。

非弹性碰撞过程及电子阻止本领自本世纪三十年代量子力学诞生以来，入射粒子在固体中的电子阻止本领一直是一个较活跃的研究领域。

特别是近30年以来，随着实验测试手段的不断提高，人们可以较精确地测量电子阻止本领的值，这又进一步地促进了人们对电子阻止本领的理论研究。

一般地，研究电子阻止本领的主要理论方法有：量子力学扰动理论、线性介电响应理论、量子散射理论、半唯象理论及经验理论（公式）。

本章将分别对上述理论给以简单介绍。

4.1 高速离子的电子阻止本领 − 量子力学扰动理论描述 （一）非弹性散射截面考虑由一个入射粒子和一个靶原子组成的系统。

在0=t 时刻，入射粒子同靶原子之间不发生相互作用，系统处于未扰动状态。

这时系统的哈密顿量为a p H H H ˆˆˆ0+=，其中p H ˆ和a H ˆ分别为入射粒子的哈密顿量和孤立靶原子的哈密顿量。

与0ˆH 相对应的系统的本征函数为nu ，本征值为n E 。

当在0>t 时，入射粒子与靶原子开始相互作用，设系统的波函数为)(t ψ，满足如下薛定谔方程)()ˆˆ()(0t V H tt i ψ+=∂ψ∂η（4.1-1） 其中V ˆ是它们之间的相互作用势。

将)(t ψ按0ˆH 的本征函数nu 展开： ]/)(exp[)()(00ηt t iE u t a t n n n n --=ψ∑∞= （4.1-2）其中)(t a n 为展开系数。

将（4.1-2）式代入方程（4.1-1），并利用波函数n u 的正交性，可以得到关于展开系数)(t a n 的方程)](ex p[)()(00t t i t a V dt t da i mn m m mn n --=∑∞=ωη (4.1-3) 其中η/)(n m mn E E -=ω为系统从本征态n u 跃迁到本征态m u 的频率，⎰=m n nm u V u d V ˆ*τ (4.1-4)则为跃迁矩阵元，其中τd 表示空间体积元。

再根据波函数)(t ψ的归一性，很容易得到展开系数)(t a n 所满足的归一化条件1)(20=∑∞=t a n n (4.1-5）对于高速入射粒子，相互作用势V ˆ相对0ˆH 是个小量，这样可以采用微扰理论来求解方程(4.1-3)。

名词解释：波粒二象性:wave-particle duality,是指同时具有波和粒子的特征,一切微观粒子都具有波粒二象性,满足 , ,其中为能量, 为频率, 为动量, 为波长。

Bohr原子模型：Bohr's model of atom，是指通过将围绕原子核周围旋转的电子的角动量量子化，各元素的电子均获得各自既定能量轨道的原子模型。

波函数：wavefunction(Ψ)- a wave representing the spatial distribution of a “particle”. 波函数 - 代表“粒子”空间分布的波，是量子力学中描写微观系统状态的函数。

物质波：matter wave，又称德布罗意波，是指物质在空间中某点某时刻可能出现的几率，其中概率的大小受波动规律的支配。

晶格: lattice,由原子或原子团周期性排列组成,可以在空间中无限延伸.格点: lattice point,在空间中具有相同环境的点.密堆: close packing, 也称最密堆积,是原子的一种排列方式，在最密堆积中，许多等径球并置在一起，其空间利用率达到最大。

配位数: coordination number (CN),中央原子相邻原子的总数.初级平移矢量: primitive translation vectors, 是坐标系的三个坐标轴的单位矢量,即:T ( 1, 0, 0 ) = a1;T ( 0, 1, 0 ) = a2;T ( 0, 0, 1 ) = a3.分数坐标:fractional coordinates,以晶胞的3个轴作为坐标轴,表示基元的位置r j =x j a1+y j a2+z j a3，其中0≤(x j y j z j) ≤1.晶系: crystal systems,晶体按其几何形态的对称程度。

可将其划分为七类，即三斜晶系、单斜晶系、正交晶系、四角晶系、立方晶系、三角晶系和六角晶系。

bethe bloch公式Bethe Bloch公式，又称为Bloch公式或Bethe-Bloch公式，是描述带电粒子在物质中能量损失的重要物理公式。

该公式由Hans Bethe和Felix Bloch于1933年提出，对于研究带电粒子在物质中的相互作用以及粒子射入物质后的能量损失具有重要意义。

Bethe Bloch公式的表达式如下：\[\frac{dE}{dx} = K z^2 \frac{Z}{A} \frac{1}{\beta^2} \left[\frac{1}{2} \ln \frac{2m_e c^2 \beta^2 \gamma^2 W_{\text{max}}}{I^2} - \beta^2 - \frac{\delta(\beta\gamma)}{2} \right]\]其中，\(\frac{dE}{dx}\)表示带电粒子在物质中单位距离内的能量损失，\(K\)为常数，\(z\)为粒子电荷数，\(Z\)为物质原子核的原子序数，\(A\)为物质的摩尔质量，\(\beta\)为粒子的速度与光速之比，\(\gamma\)为粒子的洛伦兹因子，\(m_e\)为电子的质量，\(c\)为光速，\(W_{\text{max}}\)为最大能量传递，\(I\)为物质的电离能，\(\delta(\beta\gamma)\)为修正项。

Bethe Bloch公式可以用来计算带电粒子在物质中的能量损失，即粒子通过电离和激发原子核以及散射电子，从而损失能量。

该公式的起点是考虑带电粒子在物质中的库伦相互作用。

当带电粒子穿过物质时，与物质中的原子核和电子发生相互作用，从而减慢速度并损失能量。

Bethe Bloch公式中的第一项，即\(K z^2 \frac{Z}{A} \frac{1}{\beta^2}\)，描述了带电粒子与物质原子核发生库伦散射的能量损失。

该项与带电粒子的电荷数、物质的原子序数以及粒子速度的平方成反比。