新乡市一摸理科平均分及最高分情况表

2024届河南省新乡市高三第一次模拟考试理科综合试题一、单选题：本题共7小题，每小题4分，共28分 (共7题)第(1)题据《自然》杂志2021年5月17日报道，中国科学家在稻城“拉索”基地（如图）探测到迄今为止最高能量的射线，能量值为，即（ ）A．B．C．D．第(2)题一列简谐横波在时的波形如图甲所示，P是介质中的质点，图乙是质点P的振动图像。

已知波在介质中的波长为12m，则下列说法正确的是（ ）A．波的周期为0.6s B．波的波速为20m/sC．波沿x轴负方向传播D．质点P的平衡位置坐标为第(3)题一定质量的理想气体由状态a经状态b变为状态c，其过程如图中直线段所示，已知气体在三个状态的内能分别为、、，则（）A．B．C．D．第(4)题图1是一辆正以速度v做匀速直线运动的自行车的车轮简化示意图，车轮边缘某点P（图中未画出）离水平地面高度h随自行车运动位移x的变化关系如图2所示，图中的L为已知量，则（ ）A．该车轮的直径为B．该车轮的转速为（转/每秒）C ．在位置，相对地面的速度为零D ．在位置，相对地面的速度为第(5)题甲状腺痛患者手术切除甲状腺后，可以通过口服含有碘131的药物进一步进行放射性治疗，为避免患者体内的碘131产生的辐射对他人造成危害，应进行一段时间的隔离，碘131发生衰变的过程可以用方程出来表示，不考虑患者对放射性药物代谢的影响，下列说法正确的是（ ）A．该衰变为衰变B．Z为电子C．该反应中的Xe的比结合能要比I的比结合能小D．如果碘131的半衰期为8天，经过32天，10g碘131中将有8.75g碘131发生衰变第(6)题在机场和海港，常用输送带运送旅客的行李和货物，如图所示，甲为水平输送带，乙为倾斜输送带，当行李箱m随输送带一起匀速运动时，不计空气阻力，下列几种判断中正确的是（ ）A．甲情形中的行李箱受到向右的摩擦力B．乙情形中的行李箱受到沿斜面向下的摩擦力C．乙情形中的行李箱受到沿斜面向上的摩擦力D．甲情形中的行李箱受到向左的摩擦力第(7)题如图甲所示，在真空中固定的两个相同点电荷A、B关于x轴对称，它们在x轴上的E-x图像如图乙所示（规定x轴正方向为电场强度的正方向）。

2024届河南省新乡市高三上学期第一次模拟考试理综物理试题学校：_______ 班级：__________姓名：_______ 考号：__________（满分：100分时间：75分钟）总分栏题号一二三四五六七总分得分评卷人得分一、单项选择题（本题包含8小题，每小题4分，共32分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题由多个点电荷组成的系统的电势能与它们的电荷量和相对位置有关。

如图甲所示，a、b、c三个质量均为m，带等量正电荷的小球，用长度相等不可伸长的绝缘轻绳连接，静置于光滑绝缘水平面上，设此时系统的电势能为。

现剪断a、c两小球间的轻绳，一段时间后c球的速度大小为v，方向如图乙所示。

关于这段时间内的电荷系统，下列说法中正确的是（）A．动量不守恒B．机械能守恒C．c球受到的电场力冲量大小为mv D．图乙时刻系统的电势能为第(2)题下列现象中属于光的衍射现象的是（ ）A．B．C．D．第(3)题如图所示，B、M、N分别为竖直光滑圆轨道上的三个点，B点和圆心等高，M点与O点在同一竖直线上，N点和圆心O的连线与竖直方向的夹角为α=45°，现从B点的正上方某处A点由静止释放一个质量为m的小球，经圆轨道飞出后沿水平方向通过与O点等高的C点，已知圆轨道半径为R，重力加速度为g，则以下结论正确的是（ ）A．A、B两点间的高度差为B．C到N的水平距离为2RC．小球在M点对轨道的压力大小为D．小球从N点运动到C点的时间为第(4)题公式是最简洁的物理语言，图像是最直观的表达方式，某同学想用下列甲、乙图像描述竖直上抛运动，甲、乙图像都是以时间t为横轴，用a表示运动的加速度，v表示运动的速度，x表示运动的位移，s表示运动的路程，则下列说法正确的是（ ）A．甲可能是图像B．甲可能图像C．乙可能是D．乙是图像第(5)题已知金属锌的逸出功为3.34 eV。

如图所示为氢原子能级图，氢原子中的电子从能级跃迁到能级可产生a光，从能级跃迁到能级可产生b光。

【新结构】2023-2024学年河南省新乡市第一中学高三二模模拟测试数学试题❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知甲、乙两名篮球运动员在四场小组赛中的得分单位：分如下表：甲612913乙811714则对于这两组数据，不相同的数字特征是()A.平均数B.中位数C.方差D.极差2.已知直线经过椭圆的右焦点F和上顶点A，则C的长轴长为()A.4B.C.3D.23.已知在数列中，，则()A. B. C.1 D.24.设圆台的上、下底面的半径之比为，侧面积为，且上底面半径为质数，则该圆台的母线长为()A.2B.3C.5D.65.从这5个数字中任取2个偶数和1个奇数，组成一个三位数，则不同的三位数的个数为()A.16B.24C.28D.366.已知N是圆上的动点，点M满足，记M的轨迹为E，则()A.E是与圆O相切的一条直线B.E是半径为5的圆C.E上的点到原点O的距离的最大值为8D.E与圆O相切7.某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量单位：与时间单位：之间的关系式为，其中是正的常数，若在前5h消除了的污染物，则常数k所在的区间为()A. B. C. D.8.已知，则()A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知集合则()A. B.C. D.10.已知函数在区间上的最小值为a，最大值为，则()A.B.C.D.将函数的图象向右平移个单位长度后，所得函数的图象关于y轴对称11.已知不恒为0的函数的定义域为，则()A. B.是奇函数C.是的极值点D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.在复平面内，复数z对应的点的坐标为，则__________.13.已知F是抛物线的焦点，直线与C在第一象限的交点为M，若，则__________.14.在直三棱柱中，，则该三棱柱的体积的最大值为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分。

2024届河南省新乡市高三上学期一模理综物理试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的答案中，只有一个符合题目要求。

(共8题)第(1)题如图所示，一充电后的平行板电容器的两极板相距l.在正极板附近有一质量为M、电荷量为q(q＞0)的粒子；在负极板附近有另一质量为m、电荷量为－q的粒子．在电场力的作用下，两粒子同时从静止开始运动．已知两粒子同时经过一平行于正极板且与其相距l的平面．若两粒子间相互作用力可忽略，不计重力，则M∶m为( )A．3∶2B．2∶1C．5∶2D．3∶1第(2)题如图所示，横截面为半圆的玻璃砖放置在平面镜上，直径AB与平面镜垂直。

一束激光a射向半圆柱体的圆心O，激光与AB的夹角为，已知玻璃砖的半径为12cm，平面镜上的两个光斑之间的距离为，则玻璃砖的折射率为（）A．B．C．2D．第(3)题如图所示，某快递公司为提高工作效率，利用传送带传输包裹，水平传送带长为4m，由电动机驱动以4m/s的速度顺时针转动。

现将一体积很小、质量为10kg的包裹无初速的放到传送带A端，包裹和传送带间的动摩擦因数为0.1，重力加速度为g 则包裹从A运动到 B的过程（ ）A．时间为 1sB．时间为 4sC．电动机多输出的电能为40JD．电动机多输出的电能为第(4)题图（a）是一列简谐横波在某时刻的波形图，该时刻横波恰好传播至P点，图（b）为质点M从该时刻开始的振动图像，下列说法正确的是（ ）A．此波在该介质中的传播速度为1.25m/sB．波源起振方向沿y轴负方向C．此波传播至Q点的过程中，质点P的路程为0.5mD．此波传播至Q点时，质点N位于cm位移处第(5)题墨子《墨经》中提到可以用斜面运输较重的东西，在日常生活中经常会使用斜面。

例如卡车装载大型货物时，常会在车尾斜搭一块木板，工人将货物沿木板从地面推入车厢，如图甲所示。

将这一情境简化为图乙所示的斜面模型，将货物视为质点，斜面高度一定，货物与斜面间的动摩擦因数各处相同。

河南省新乡市第一中学2024-2025学年高一上学期质检数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.命题“∃x≥2024，使得x2>4048”的否定形式为( )A. ∃x<2024，x2≤4048B. ∀x≥2024，x2<4048C. ∀x<2024，x2≤4048D. ∀x≥2024，x2≤40482.设全集U={x∈N∗|x<8}，集合A={1,3,6}，B={3,5,7}，则∁U(A∪B)的子集个数为( )A. 3B. 4C. 7D. 83.使不等式4x2−4x−3<0成立的一个充分不必要条件是( )A. −1<x<12B. −12<x<32C. −13<x<43D. −32<x<524.某校举行中学生田径运动会(田径运动会分田赛和径赛两大类)，高一(2)班48名学生中有一半的学生没有参加比赛，参加比赛的学生中，参加田赛的有12人，参加径赛的有18人，则田赛和径赛都参加的学生人数为( )A. 4B. 6C. 8D. 105.若关于x的不等式2ax−b>0的解集是{x|x>2}，则关于x的不等式(ax+b)(x−2)>0的解集是( )A. {x|x<−4或x>2}B. {x|x<−2或x>2}C. {x|−4<x<2}D. {x|−2<x<2}6.已知集合P={x|x=2k,k∈Z}，Q={x|x=2k+1,k∈Z}，M={x|x=4k+1,k∈Z}，且a∈P，b∈Q，则( )A. a+b∈PB. a+b∈QC. a+b∈MD. a+b不属于P，Q，M中的任意一个7.南宋数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a、b、c，则面积S可由公式S=√ p(p−a)(p−b)(p−c)求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦一秦九韶公式．现有一个三角形的边长满足a=4，b+c=6，则此三角形面积的最大值为( )A. √ 5B. 2√ 5C. √ 10D. 2√ 108.若关于x的不等式(4−a)x2−4x+1<0的解集中恰有3个整数，则a的取值范围是( )A. 209<a≤143B. 209≤a<143C. 259<a≤4916D. 259≤a<4916二、多选题：本题共3小题，共18分。

河南理科近三年一分一段表【原创版】目录1.引言：介绍河南理科近三年一分一段表的背景和重要性2.2019 年河南理科一分一段表3.2020 年河南理科一分一段表4.2021 年河南理科一分一段表5.结论：对近三年河南理科一分一段表的分析和总结正文河南理科近三年一分一段表对于高中学生以及家长和老师来说，具有很高的参考价值。

它是一份详细的数据统计，展示了每年参加高考的河南理科考生的成绩分布情况。

以下是对近三年河南理科一分一段表的详细介绍：2019 年河南理科一分一段表显示，理科考生的高考成绩集中在 300 分至 600 分之间，其中 400 分至 500 分之间的考生人数最多。

此外，600 分以上的高分考生数量也相当可观，显示出河南理科考生的整体实力较强。

2020 年河南理科一分一段表与 2019 年相比，整体分布较为相似，但高分段考生人数有所上升，特别是在 600 分至 700 分之间。

这说明河南理科考生在 2020 年高考中整体表现较好，高分考生比例有所提高。

2021 年河南理科一分一段表显示，理科考生的成绩分布与前两年相比略有变化。

主要集中在 300 分至 600 分之间，其中 400 分至 500 分之间的考生人数最多。

600 分以上的高分考生数量较 2020 年有所下降，但整体上仍保持在较高水平。

通过对近三年河南理科一分一段表的分析，我们可以发现以下几点：1.河南理科考生的高考成绩整体上集中在 300 分至 600 分之间，其中 400 分至 500 分之间的考生人数最多。

2.2020 年高考中，河南理科考生的整体表现较好，高分考生比例有所提高。

3.2021 年高分考生数量虽较 2020 年有所下降，但整体上仍保持在较高水平。

总之，河南理科近三年一分一段表为考生、家长和老师提供了重要的参考依据，有助于了解河南理科考生的高考成绩分布情况和整体表现。

一、单选题1. 如图，在三棱锥中，点，，分别是，，的中点，设，，，则（）A．B．C．D．2. 2022年1月26日，中国人民银行，中国银行保险监督管理委员会、中国证券监督管理委员会三部门联合印发《金融机构客户尽职调查和客户身份资料及交易记录保存管理办法》（以下简称《办法》），规范金融机构的客户尽职调查、客户身份资料及交易记录保存行为，《办法》自2022年3月1日起施行．《办法》第十条提到，商业银行、农村合作银行、农村信用合作社、村镇银行等金融机构为自然人客户办理人民币单笔5万元以上或者外币等值1万美元以上现金存取业务的，应当识别并核实客户身份，了解并登记资金的来源或者用途．某民调机构调研相关政策实施前民众对该政策的了解程度，随机抽调20人，并通过问卷形式（满分为100分）按照每个人的得分情况得到如下频数分布表：得分情况频数3368则下列说法错误的是（ ）A ．问卷得分低于55分的人数约占总人数的15%B ．问卷得分为80分的共有6人C ．从得分在和这两个区间中按照分层抽样方法抽取7人，则恰有4人来自得分在这个区间段D ．此20人得分平均数的估计值为76.75分3. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”，“中国剩余定理”讲的是一个关于同余的问题．现有这样一个问题：将正整数中能被3除余1且被2除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则（ ）A ．55B ．49C ．43D ．374. 下图是国家统计局发布的2021年6月至2022年6月制造业PMI 指数，其中50%为临界点．现有如下说法：①2021年6月至2021年10月，制造业PMI 指数呈现下降趋势；②2022年6月份，制造业PMI 指数为50.2%，比上月上升0.6个百分点；③2021年6月至2022年6月，制造业PMI 指数的中位数为50.2；④从2022年的数据中任取2个，PMI 指数均高于临界值的概率为．则上述说法正确的个数为（）河南省新乡市2024届高三一模数学试题河南省新乡市2024届高三一模数学试题二、多选题三、填空题A ．1B ．2C ．3D ．45. 若棱长分别为，2，3的长方体的顶点都在同-球面上，则该球的表面积为（ ）A．B．C．D．6. 生物学家采集了一些动物体重和脉搏率对应的数据，并经过研究得到体重和脉搏率的对数型关系：（其中是脉搏率（心跳次数，体重为，为正的常数），则体重为的豚鼠和体重为的小狗的脉搏率之比为（ ）A．B．C ．3D ．277.设，且=sinx +cosx ，则（ ）A ．0≤x ≤πB ．―≤x ≤C ．≤x ≤D ．―≤x ≤―或≤x＜8.若函数的定义域为，则的定义域为（ ）A．B．C．D．9.某研究小组采集了组数据，作出如图所示的散点图．若去掉后，下列说法正确的是（）A ．相关系数变小B ．决定系数变大C ．残差平方和变大D ．解释变量与预报变量的相关性变强10. 已知且，则下列结论中一定成立的是（ ）A．B．C．D．11. 在长方体中，，，则（ ）A ．直线与所成的角为B．直线与所成的角为C ．直线与平面所成的角为D ．直线与平面所成角的正弦值为12. 在棱长为2的正方体中，为棱的中点，则（ ）A．B ．四面体外接球的表面积为C．平面D ．直线与平面所成的角为13.已知正方体的棱长为2，为体对角线上的一点，且，现有以下判断：①；②若平面，则；③周长的最小值是；④若为钝角三角形，则的取值范围为，其中正确判断的序号为______.四、解答题14.在锐角中，，，点D 在线段上，且，，则___________，___________.15.若，则_______________．16. 已知函数，e 为自然对数的底数.(1)求函数的极值；(2)若关于x的不等式恒成立，求实数a 的取值范围.17. 为调查某公司五类机器的销售情况，该公司随机收集了一个月销售的有关数据，公司规定同一类机器销售价格相同，经分类整理得到下表：机器类型第一类第二类第三类第四类第五类销售总额（万元）10050200200120销售量（台）521058利润率0.40.20.150.250.2利润率是指：一台机器销售价格减去出厂价格得到的利润与该机器销售价格的比值.(1)从该公司本月卖出的机器中随机选一台，设该台机器的利润为X 万元，求X 的分布列和数学期望；(2)从该公司本月卖出的机器中随机选取2台，设这2台机器的利润和恰好为13万元的概率；(3)假设每类机器利润率不变，销售一台第一类机器获利万元，销售一台第二类机器获利万元，…，销售一台第五类机器获利万元，依据上表统计数据，随机销售一台机器获利的期望为，设，试判断与的大小.（结论不要求证明）18. 如图，在正三棱柱（侧棱垂直于底面，且底面是正三角形）中，，M 是棱的中点.（1）求证：平面平面；（2）求与平面所成角的正弦值.19. 某金匠以黄金为原材料加工一种饰品，经多年的数据统计得知，该金匠平均每加5个饰品中有4个成品和1个废品，每个成品可获利3万元，每个废品损失1万元，假设该金匠加工每件饰品互不影响，以频率估计概率.(1)若金金匠加工4个饰品，求其中废品的数量不超过1的概率；(2)若该金匠加工了3个饰品，求他所获利润的数学期望.(两小问的计算结果都用分数表示）20.如图，直角梯形与梯形全等，其中，，且平面，点是的中点．（1）求证：平面平面；（2）求平面与平面的距离．21. 已知数列满足．（1）证明：是等比数列；（2）求．。

2023-2024学年河南省新乡市新乡市第一中学高三第一次模拟考试物理试卷 注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、单项选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、一人站在滑板上以速度0v 在冰面上滑行忽略滑板与冰面间的摩擦某时刻人沿水平方向向正前方距离滑板离开时人相对冰面的速度大小为02v 。

已知人与滑板的质量分别为,()M m M m >，则人离开时滑板的速度大小为（ ） A ．0m v M B ．0m v m M + C ．0M m v m - D ．0M m v m+ 2、在港珠澳大桥建设中，将数根直径22米、高40.5米的空心钢筒打入海底围成人工岛，创造了快速筑岛的世界纪录．一根钢筒的重力为G ，由如图所示的起重机用8根对称分布的、长为22米的钢索将其吊起，处于静止状态，则( )A ．钢筒受到8个力作用B ．每根钢索受到的拉力大小为312G C ．钢筒的重心可能在钢筒上D ．钢筒悬吊在空中可能处于失重状态3、将质量为1.00 kg 的模型火箭点火升空，50 g 燃烧的燃气以大小为600 m/s 的速度从火箭喷口在很短时间内喷出。

在燃气喷出后的瞬间，火箭的动量大小为（喷出过程中重力和空气阻力可忽略）A ．30kg m/s ⋅B ．5.7×102kg m/s ⋅C ．6.0×102kg m/s ⋅D ．6.3×102kg m/s ⋅ 4、如图所示，用材料、粗细均相同的电阻丝做成ab 、cd 、ef 三种形状的导线，分别放在电阻可忽略的足够长的相同的光滑金属导轨上，匀强磁场的方向垂直于导轨平面，在相同的水平外力F 作用下，三根导线均向右做匀速运动，某一时刻撤去外力F ，已知三根导线接入导轨间的长度关系满足l ab <l cd <l ef ，且每根导线与导轨的两个触点之间的距离均相等，则下列说法中正确的是（ ）A ．三根导线匀速运动的速度相同B ．三根导线产生的感应电动势相同C ．匀速运动时，三根导线的热功率相同D ．从撤去外力到三根导线停止运动，通过导线ef 的电荷量最大5、如图所示，某同学练习定点投篮，其中有两次篮球垂直撞在竖直篮板上，篮球的轨迹分别如图中曲线1、2所示。

河南省新乡市第一中学2024届高三二模模拟试题数 学本试卷共150分 考试时间120分钟注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知甲、乙两名篮球运动员在四场小组赛中的得分（单位：分）如下表： 甲 6 12 9 13 乙811714则对于这两组数据，不相同的数字特征是（ ） A. 平均数B. 中位数C. 方差D. 极差2. 已知直线:1)l y x =-经过椭圆2222:1(0)x y C ab a b+=>>右焦点F 和上顶点A ，则C 的长轴长为（ ） A. 4B. C. 3D. 23. 已知在数列{}n a 中，222,0n n a a a +=-+=，则2024a =（ ） A. 2-B. 1-C. 1D. 24. 设圆台的上、下底面的半径之比为1:2，侧面积为18π，且上底面半径为质数，则该圆台的母线长为（ ） A. 2B. 3C. 5D. 65. 从0,1,2,3,4这5个数字中任取2个偶数和1个奇数，组成一个三位数，则不同三位数的个数为（ ） A. 16B. 24C. 28D. 366. 已知N 是圆22:9O x y +=上的动点，点M 满足(3,4)MN =-，记M 的轨迹为E ，则（ ）的的A. E 是与圆O 相切的一条直线B. E 是半径为5的圆C. E 上的点到原点O 的距离的最大值为8D. E 与圆O 相切7. 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P （单位：mg /L ）与时间t （单位：h ）之间的关系式为0e ktP P -=，其中0,P k 是正的常数，若在前5h 消除了20%的污染物，则常数k 所在的区间为（ ） A. 11,3025⎛⎫⎪⎝⎭B. 11,2520⎛⎫⎪⎝⎭C. 11,2015⎛⎫⎪⎝⎭D. 11,1510⎛⎫⎪⎝⎭8. 已知()sin 1302cos 20cos αα︒+=︒，则()t an 45α+︒=（ ）A. 2-+B. 2C. 2+D. 2-二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 已知集合2{|3},{|30},M x x N x x x =<=-≥则（ ） A. M N ⋂=∅B. M N ⋃=RC. R M N ⊆ðD. R ()(0,)M N =+∞ ð10. 已知函数()()()()2cos (0,0π),0f x x f f x ωϕωϕ=+><<=在区间ππ,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为a ，最大值为3a +，则（ ） A.π3ϕ=B. 1a =-C. 13π19f ⎛⎫=⎪⎝⎭D. 将函数()f x 的图象向右平移10π9个单位长度后，所得函数的图象关于y 轴对称11. 已知不恒为0的函数()f x 的定义域为R,()e ()e ()y x f x y f x f y +=+，则（ ） A. (0)0f =B.()ex f x 是奇函数 C. 0x =是()f x 的极值点 D. 4(3)3e (1)f f =--三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 在复平面内，复数z 对应的点的坐标为(2,1)-，则i1z z +=-______．13. 已知F 是抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，直线y =与C 在第一象限的交点为M ，若||2MF =，则p =_______．14. 在直三棱柱111A B C ABC -中，11,24AB BC AC AA ⊥==，则该三棱柱的体积的最大值为________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为cos cos ,,,4C Aa b c c b a=-． （1）求sin C 的值； （2）若ABC，且a b +=，求ABC 的周长． 16 已知函数()()exf x x a -=-．（1）当e a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f --处的切线方程； （2）方程()ln f x a x =-有两个不同的实数解，求a 的取值范围．17. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为梯形，90ABC BAD ∠=∠=︒，33,AD AB BC PAB === 为等边三角形，E 在棱PD上，2,DE EP BE ==．（1）证明：CE AD ⊥．（2）设Q 为线段CE 的中点，求平面QAB 与平面PBC 的夹角的余弦值．18. 某公司计划在员工团建活动中设置一个抽奖环节．工作人员在仓库中随机抽取了20个规格相同的礼盒，各礼盒中均有1个质地相同的小球，礼盒和小球的颜色为红色或黑色，且颜色分布如下表所示．礼盒颜色小球颜色红色黑色 合计红色 m n m n +黑色 268 合计2m + 6n +20已知从上述礼盒中随机选取2个礼盒，红色与黑色礼盒恰好各1个的概率为1019． （1）求,m n 值．.的（2）为提高活动的趣味性，设抽奖过程及中奖规则如下：①将20个礼盒放在1个箱子中，每人有放回地分两次抽取，每次抽取1个礼盒，并记录礼盒和该礼盒中的小球的颜色．②两次抽取后的结果分四种情况：礼盒与礼盒中的小球的颜色两次均相同；2个礼盒的颜色相同，但2个小球的颜色不同；2个礼盒的颜色不同，但2个小球的颜色相同；礼盒与礼盒中的小球的颜色两次均不相同． ③按②抽取后的结果的可能性大小，设概率越小，对应奖项的奖金越高．④活动奖励分四个等级，奖金额分别一等奖800元，二等奖400元，三等奖200元，四等奖100元． 若预计有60名员工参与抽奖活动（每人抽奖1次），求抽奖活动的奖金总额的数学期望．19. 已知(2,0)F 是双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的右焦点，过点F 的直线l 与E 交于,A B 两点（不同于E 的顶点），当直线l 过点(1,3)--C 时，C 恰为AB 的中点． （1）求E 的方程；（2）设,M N 分别为E 的左、右顶点，AM 与BN 交于点,P AN 与BM 交于点Q ，若D 为PQ 的中点，证明||||DF PQ 为定值，并求出该定值．参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知甲、乙两名篮球运动员在四场小组赛中的得分（单位：分）如下表： 甲 6 12 9 13 乙811714则对于这两组数据，不相同的数字特征是（ ） A. 平均数 B. 中位数C. 方差D. 极差【答案】B 【解析】【分析】由平均数，中位数，方差，极差的计算逐一判断即可. 【详解】A ：甲的平均数为612913104+++=，乙的平均数为811714104+++=，故A 错误；为B ：将甲从小到大排列为：6,9,12,13，所以中位数为91210.52+=； 将乙从小到大排列为：7,8,11,14，所以中位数为8119.52+=，故B 正确； C ：甲的方差为()()()()22221610910121013107.54éù-+-+-+-=êúëû， 乙的方差为()()()()22221810111071014107.54éù-+-+-+-=êúëû， 故C 错误；D ：甲的极差为1367-=，乙的极差为1477-=，故D 错误； 故选：B.2. 已知直线:1)l y x =-经过椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点F 和上顶点A ，则C 的长轴长为（ ）A. 4B.C. 3D. 2【答案】A 【解析】【分析】根据倾斜角，结合椭圆的性质即可求解.【详解】:1)l y x =-的斜率为()1,0，故其倾斜角为2π3，因此π3AFO ∠=,由于,1AO b OF c ===，所以tan bAFO c∠==，所以b =，故2a ==，故长轴长为24a =,故选：A3. 已知在数列{}n a 中，222,0n n a a a +=-+=，则2024a =（ ） A. 2- B. 1-C. 1D. 2【答案】D 【解析】【分析】根据数列的周期性即可求解.【详解】由222,0n n a a a +=-+=可得462,2,a a ==-82,,a = 因此()212,nn a =-故20242a =， 故选：D4. 设圆台的上、下底面的半径之比为1:2，侧面积为18π，且上底面半径为质数，则该圆台的母线长为（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 6【答案】B 【解析】【分析】如图，易知1OD O A r ==且r l <，根据圆台侧面积公式计算可得6l r=，结合质数的概念即可求解.【详解】设圆台上底面的半径为r ，下底面半径为R ，母线为l ，则2R r =. 如图，1,O O 分别为圆台上、下底面的圆心，AB 为一条母线，连接11,,O O O A OB ，过点A 作AD OB ⊥于点D ，则四边形1OO AD 为矩形，得1OD O A r ==，所以BD OB OD R r r =-=-=，在Rt ABD 中，r l <，圆台的侧面积为π()S l r R =+， 所以18π6π()3π3πS S l r R r r r====+，又r 为质数，所以2r =或3.当2r =时，3l =，则r l <，符合题意； 当3r =时，2l =，则r >l ，不符合题意. 所以圆台的母线长为3. 故选：B5. 从0,1,2,3,4这5个数字中任取2个偶数和1个奇数，组成一个三位数，则不同的三位数的个数为（ ） A. 16 B. 24 C. 28 D. 36【答案】C 【解析】【分析】分两种情况，再按照分步计数原理，即可求解. 【详解】若没有取到0，则有213223C C A 12=种方法，若取到0，则有11122222C C C A 16=种方法， 所以不同的三位数共有121628+=种. 故选：C6. 已知N 是圆22:9O x y +=上的动点，点M 满足(3,4)MN =-，记M 的轨迹为E ，则（ ）A. E 是与圆O 相切的一条直线B. E 是半径为5的圆C. E 上的点到原点O 的距离的最大值为8D. E 与圆O 相切【答案】C 【解析】【分析】设00(,),(,)M x y N x y ，两圆平面向量的坐标表示可得0034x x y y =-⎧⎨=+⎩，则确定E 的方程，结合圆与圆的位置关系依次判断即可.【详解】A ：设00(,),(,)M x y N x y ，则00(,)MN x x y y =--，由(3,4)MN =- ，得0034x x y y -=-⎧⎨-=⎩，解得0034x x y y =-⎧⎨=+⎩，又点N 在圆O 上，所以22(3)(4)9x y -++=，即点M 的轨迹是以(3,4)-为圆心，3为半径的圆，故A 错误； B ：由A 的分析知，E 是以(3,4)-为圆心，3为半径的圆，故B 错误； C ：E 上的点到原点O38=，故C 正确； D：两圆的圆心距为5d ==，两圆的半径之和为6， 所以06d <<，即两圆相交，故D 错误. 故选：C7. 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P （单位：mg /L ）与时间t （单位：h ）之间的关系式为0e ktP P -=，其中0,P k 是正的常数，若在前5h 消除了20%的污染物，则常数k 所在的区间为（ ）A. 11,3025⎛⎫⎪⎝⎭ B. 11,2520⎛⎫⎪⎝⎭ C. 11,2015⎛⎫⎪⎝⎭ D. 11,1510⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】首先由题意列式5004e 5k P P -=，再利用指对互化，求解方程，再确定范围. 【详解】由条件可知，当0=t 时，0P P =，由题意可知，5004e 5kP P -=，得55ln 4k =，即15ln 54k =，因为45e 4⎛⎫< ⎪⎝⎭，55>e 4⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以151ln 544<<，所以112520k <<. 故选：B8. 已知()sin 1302cos 20cos αα︒+=︒，则()t an 45α+︒=（ ）A. 2-+B. 2C. 2+D. 2-【答案】A 【解析】【分析】根据()()sin 130sin 15020αα⎡⎤︒+=︒+-︒⎣⎦及()()2cos 20cos cos 20cos 20ααα︒=+︒+-︒将已知化简，再根据辅助角公式结合余弦函数的性质求出α，再根据两角和的正切公式即可得解. 【详解】()()sin 130sin 15020αα⎡⎤︒+=︒+-︒⎣⎦()()1cos 20202αα=-︒-︒， ()()2cos 20cos cos 20cos 20ααα︒=+︒+-︒，因为()sin 1302cos 20cos αα︒+=︒，所以()()()()1cos 2020cos 20cos 202αααα-︒--︒=+︒+-︒，所以()()()1cos 2020cos 202ααα--︒-︒=+︒， 即()()cos 12020cos 20αα⎡⎤︒+-︒=+︒⎣⎦，即()()cos 100cos 20αα︒+=+︒， 所以10020360k αα︒+=+︒+⋅︒或10020360k αα︒+++︒=⋅︒，k ∈Z ，所以60180,Z k k α=-︒+⋅︒∈， 故()tan tan 60180k α=-︒+⋅︒= 所以()tan 452α+︒==.故选：A.【点睛】方法点睛：给值求值的方法：（1）直接法：当已知两个角时，所求角一般表示为两个角和或差的形式；（2）常值代换：用某些三角函数代替某些常数，使之代换后能运用相关公式，我们把这种代换称之为常值代换，其中要特别注意的是“1”的代换，如221sin cos αα=+，1tan4π=，1sin2π=等，1、12等均可视为某个特殊角的三角函数值，从而将常数换为三角函数使用； （3）角的代换：将未知角利用已知角表示出来，使之能直接运用公式，像这样的方法就是角的代换，常见的有：()ααββ=+-，()αββα=--，()()()()1122ααβαβαββα⎡⎤⎡⎤=++-=+--⎣⎦⎣⎦， 222αββααβ+⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2αβαβα+=+-，()()2ααβαβ=++-，()()2βαβαβ=+--等.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 已知集合2{|3},{|30},M x x N x x x =<=-≥则（ ） A. M N ⋂=∅ B. M N ⋃=RC. R M N ⊆ðD. R ()(0,)M N =+∞ ð【答案】BCD 【解析】【分析】先求解不等式230x x -≥得集合N ，利用集合的交集、并集、补集定义运算和集合间的包含关系即可一一判断正误.【详解】由230x x -≥可得0x ≤或3x ≥，即{|0N x x =≤或3}x ≥.的对于A 项，{|3}{|0M N x x x x ⋂=<⋂≤或3}{|0}x x x ≥=≤≠∅，故A 项错误； 对于B 项，{|3}{|0M N x x x x ⋃=<⋃≤或3}R x ≥=,故B 项正确；对于C 项，因R {|3}{|0M x x x x =≥⊆≤ð或3}x ≥，故R M N ⊆ð，故C 项正确；对于D 项，R R R ()()(){|3}{|03}{|0}M N M x x x x x x N =⋃=≥⋃<<=> ððð，故D 项正确. 故选：BCD.10. 已知函数()()()()2cos (0,0π),0f x x f f x ωϕωϕ=+><<=在区间ππ,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为a ，最大值为3a +，则（ ） A.π3ϕ=B. 1a =-C. 13π19f ⎛⎫=⎪⎝⎭D. 将函数()f x 的图象向右平移10π9个单位长度后，所得函数的图象关于y 轴对称 【答案】BC 【解析】【分析】由(0)f =求得π6ϕ=，由最大值3a +求得1a =-，由min ()1f x =-求得32ω=，进而确定()f x 的解析式，结合三角函数图象的平移变换即可求解.【详解】A ：由(0)f =，得2cos ϕ=cos ϕ=， 又0πϕ<<，所以π6ϕ=，故A 错误； B ：π()2cos()6f x x ω=+，由ππ[,]33x ∈-，得πππππ[,]63636x ωωω+∈-++，又()f x 在ππ[,]33x ∈-上的最小值为a ，最大值为3a +，所以2πππ2π()333T ω=≥--=，得03ω<≤， 当π06x ω+=时，()f x 取得最大值，max ()23f x a ==+，解得1a =-，故B 正确； C ：由选项B 的分析知1a =-，所以min π()2cos(16f x x ω=+=-，得π1cos(62x ω+=-，所以ππ2π363ω+=，解得32ω=，故3π()2cos()26f x x =+，得13π313ππ(2cos(19296f =⨯+=，故C 正确； D ：将()f x 图象向右平移10π9个单位长度后， 得310ππ33π32cos[(]2cos(2sin 296222y x x x =-+=-=-， 该函数图象关于原点对称，故D 错误. 故选：BC11. 已知不恒为0的函数()f x 的定义域为R,()e ()e ()y x f x y f x f y +=+，则（ ） A. (0)0f = B.()e xf x 是奇函数 C. 0x =是()f x 的极值点 D. 4(3)3e (1)f f =--【答案】ABD 【解析】【分析】根据给定的函数等式，利用赋值法令0x y ==即可判断A ；结合奇偶函数的定义构造()()e xf xg x =即可判断B ；利用极值点的意义即可判断C ；利用赋值法即可判断D.【详解】函数()f x 的定义域为()()(),e e y xf x y f x f y +=+R ，对于A ，令0x y ==，则(0)2(0)f f =，解得(0)0f =，A 正确；对于B ，x ∈R ，取y x =-，则(0)e ()e ()x x f f x f x -=+-，因此()()e ex x f x f x --=-， 令()()e x f x g x =，即有()()g x g x -=-，因此函数()g x 是奇函数，即()e xf x 是奇函数，B 正确；对于C ，选项B 中，令()g x x =，则()e x f x x =，求导得()(1)e x f x x '=+，(0)10f '=≠， 因此0x =不是()f x 的极值点，C 错误；对于D ，222e (1)e (2)e (1)e[e (1)e (1)]3e (1)(3)f f f f f f f +==++=， 由()()e e x x f x f x --=-，得1(1)(1)e ef f --=-，即2(1)e (1)f f =--， 因此4(3)3e (1)f f =--，D 正确. 故选：ABD【点睛】思路点睛：涉及抽象函数等式问题，利用赋值法探讨函数的性质，再借助性质即可求解.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 在复平面内，复数z 对应的点的坐标为(2,1)-，则i1z z +=-______． 【答案】2i【解析】分析】由坐标写出对应复数，再求出其共轭复数，代入化简求解即可. 【详解】由题意得复数z 对应的点的坐标为(2,1)-，故2i z =-，2i z=+，故22i 2i i 2i 2(1i)2(1i)2i 12i 11i (1i)(1i)2z z ++++2++=====-----+， 故答案为：2i13. 已知F 是抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，直线y =与C 在第一象限的交点为M ，若||2MF =，则p =_______． 【答案】127【解析】【分析】根据焦半径公式以及斜率公式，即可联立求解.详解】设()00,M x y 则0||22pMF x ==+，且y x =结合2002y px =可得()220000008123232222,77y x px x p x x p ==⇒==⨯-⇒== 故答案为：127．14. 在直三棱柱111A B C ABC -中，11,24AB BC AC AA ⊥==，则该三棱柱的体积的最大值为________． 【答案】6 【解析】【分析】根据几何关系，结合基本不等式求底面面积的最大值，即可求解体积的最大值. 【详解】如图，14AC =，12AA =，则11AC =，【【由AB BC ⊥，则22122AB BC AB BC +=≥⋅，当AB BC =时，等号成立， 即AB BC ⋅的最大值为6，此时三棱柱的体积最大，最大体积为11162622AB BC AA ⋅⋅=⨯⨯=. 故答案为：6四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为cos cos ,,,4C Aa b c c b a=-． （1）求sin C 的值； （2）若ABC，且a b +=，求ABC 的周长． 【答案】（1（2）4+ 【解析】【分析】（1）根据题意，由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简求得1cos 4C =，进而得到sin C 的值； （2）由若ABC4ab =，再由余弦定理，求得c =，进而求得ABC 的周长. 【小问1详解】 解：因为cos cos 4C A c b a =-，由正弦定理得cos cos sin 4sin sin C AC B A=-， 可得4sin cos sin cos cos sin B C A C A C -=，即4sin cos sin cos cos sin sin()sin B C A C A C A C B =+=+=， 因(0,π)B ∈，可得sin 0B >，所以4cos 1C =，即1cos 4C =，所以sin C ==. 为【小问2详解】解：由（1）知sin C =，因为若ABC ，可得1sin 2ab C =12ab =，解得4ab =，又因为a b +=，由余弦定理得222212cos ()224c a b ab C a b ab ab =+-=+--⨯225())102a b ab =+-=-，整理得26c =，解得c =，所以4a b +==，所以ABC 的周长为4a b c ++=16. 已知函数()()exf x x a -=-．（1）当e a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f --处的切线方程； （2）方程()ln f x a x =-有两个不同的实数解，求a 的取值范围． 【答案】（1）e e =+y x（2）10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解；（2）先证明ln 0x x ->，分离参数可得e ln x x a x x -=-，则函数e ,ln xx y a y x x -==-的图象有两个不同的交点，构造函数()e ln xx g x x x-=-，利用倒数求出函数的单调区间及最值，作出函数的大致图象，结合图象即可得解. 【小问1详解】 当e a =时，()()ee xf x x -=-，则()()ee e 1e e xx x f x x x ---=-'-=--，所以()()1e,10f f --'==，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f --处的切线方程为()e 1y x =+，即e e =+y x ； 【小问2详解】由()ln f x a x =-，得e ln x x xa a x --=-， 即()ln e xa x x x --=，令()ln h x x x =-，则()111x h x x x'-=-=， 当01x <<时，()0h x '<，当1x >时，()0h x '>， 所以函数()h x 再()0,1上单调递减，在()1,∞+上单调递增， 所以()()11h x h ≥=，即ln 1x x -≥，则由()ln e xa x x x --=，可得e ln xx a x x-=-，因为方程()ln f x a x =-有两个不同的实数解，所以函数e ,ln xx y a y x x -==-的图象有两个不同的交点，令()e ln xx g x x x-=-，则()()()()()()()2211e ln e 111ln ln e ln x x x x x x x x x x x g x x x x x ---⎛⎫----⎪-+-⎝⎭=--'=，因为ln 1x x -≥，所以1ln 2x x +-≥，令()0g x '<，则1x >，令()0g x '>，则01x <<， 所以函数()g x 在()0,1上单调递增，在()1,∞+上单调递减， 所以()()max 11eg x g ==， 又当0x →时，()0g x >且()0g x →，当x →+∞时，()0g x >且()0g x →，如图所示，作出函数()g x 的大致图象，由图可知，a 的取值范围为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭.17. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为梯形，90ABC BAD ∠=∠=︒，33,AD AB BC PAB === 为等边三角形，E 在棱PD 上，2,DE EP BE ==．（1）证明：CE AD ⊥．（2）设Q 为线段CE 的中点，求平面QAB 与平面PBC 的夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析（2 【解析】【分析】（1）先证明四边BCEF 为平行四边形，再由余弦定理求出27BF =，然后利用勾股定理得到222EF BF BE +=，可得垂直关系；（2）先证明,,PO OK OB 两两垂直，然后以O 为原点建系，分别求出平面QAB 与平面PBC 的法向量,n m r u r，再代入二面角的余弦公式求解即可.【小问1详解】证明：因为2,DE EP =所以E 为PD 三等分点且靠近P 点， 过E 作//EF AD 交PA 于点F ，连接BF ，则13EF AD =， 又13BC AD =，所以EF BC =， 又//BC AD ，所以//EF BC ，所以四边形BCEF 为平行四边形，所以//EC BF ， 因为PAB 为等边三角形，取AB 的中点O ，连接PO ，则PO AB ⊥， 又由余弦定理222212cos 603123172BF BP PF BP PF =+-⋅︒=+-⨯⨯⨯=， 又113EF AD ==，BE =，所以222EF BF BE +=， 所以EF BF ⊥，所以AD BF ⊥， 因为//BF CE ，所以CE AD ⊥. 【小问2详解】由（1）知，,,,AD BF AD AB AB BF B ⊥⊥= BF ⊂面PAB ，AB ⊂面PAB ， 所以AD ⊥面PAB ，因为AD ⊂面ABCD ，所以面ABCD ⊥面PAB ，且交线为AB ， 因为,PO AB ⊥PO ⊂面PAB ，所以PO ⊥面ABCD ， 取DC 中点K ，连接OK ，则PO OK ⊥，所以,,PO OK OB 两两垂直，以O 为原点，建立如图所示坐标系，则333311,0,0,,0,0,,1,0,,3,0,,,222222B A C D P E Q ⎛⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎝⎝， ()3,0,0,2,1,AB QA ⎛==-- ⎝ ，设平面QAB 的法向量为()111,,n x y z = ，则11113020AB n x QA n x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=---=⎪⎩，令12z =，则()0,2n = ，又()30,1,0,2BC BP ⎛==- ⎝，设平面PBC 的法向量为()222,,m x y z =，所以2220302m BC y m BP x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令21z =，则)m = ，所以cos ,m n m n m n ⋅===， 所以平面QAB 与平面PBC. 18. 某公司计划在员工团建活动中设置一个抽奖环节．工作人员在仓库中随机抽取了20个规格相同礼盒，各礼盒中均有1个质地相同的小球，礼盒和小球的颜色为红色或黑色，且颜色分布如下表所示．礼盒颜色小球颜色红色黑色 合计红色 m n m n +黑色 268 合计2m + 6n +20已知从上述礼盒中随机选取2个礼盒，红色与黑色礼盒恰好各1个的概率为1019． （1）求,m n 的值．（2）为提高活动的趣味性，设抽奖过程及中奖规则如下：①将20个礼盒放在1个箱子中，每人有放回地分两次抽取，每次抽取1个礼盒，并记录礼盒和该礼盒中的小球的颜色．②两次抽取后的结果分四种情况：礼盒与礼盒中的小球的颜色两次均相同；2个礼盒的颜色相同，但2个小球的颜色不同；2个礼盒的颜色不同，但2个小球的颜色相同；礼盒与礼盒中的小球的颜色两次均不相同． ③按②抽取后的结果的可能性大小，设概率越小，对应奖项的奖金越高．④活动奖励分四个等级，奖金额分别为一等奖800元，二等奖400元，三等奖200元，四等奖100元． 若预计有60名员工参与抽奖活动（每人抽奖1次），求抽奖活动的奖金总额的数学期望． 【答案】（1）8,4m n ==的（2）20040元 【解析】【分析】（1）根据古典概型的概率公式，结合排列组合即可求解，（2）根据独立事件的概率乘法公式求解概率，进而可得一个人抽奖的概率分布，进而可求解. 【小问1详解】由表中数据可得：红色礼盒共有2m +个，黑色礼盒有6n +个，所以从上述礼盒中随机选取2个礼盒，红色与黑色礼盒恰好各1个的概率为()()2202610C19m n ++=，又12m n +=，解得8,4m n ==【小问2详解】 颜色分布如下表所示．礼盒颜色小球颜色红色黑色 合计红色 8 4 12黑色 268 合计10 1020因此礼盒为红色，里面的球也为红色的概率为82205=， 礼盒为红色，里面的球为黑色的概率为212010=， 礼盒为黑色，里面的球为红色的概率为41205=， 礼盒为黑色，里面的球也为黑色的概率为632010=， 故礼盒与礼盒中的小球的颜色两次均相同的概率为22222113351051010⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；2礼盒的颜色相同，但2个小球的颜色不同的概率为21131225105105⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯+⨯⨯=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；2个礼盒的颜色不同，但2个小球的颜色相同2113112255101050⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯+⨯⨯=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭； 礼盒与礼盒中的小球的颜色两次均不相同231172251051025⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯+⨯⨯=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 进而可得一个员工在抽奖活动中的所得奖金X 的分布列为X800 400 200 100P15 1150725310一个员工抽奖的奖金期望为()111738004002001003345502510E X =⨯+⨯+⨯+⨯=, 则60个人奖活动的奖金总额的数学期望()603346020040E X =⨯=元.19. 已知(2,0)F 是双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的右焦点，过点F 的直线l 与E 交于,A B 两点（不同于E 的顶点），当直线l 过点(1,3)--C 时，C 恰为AB 的中点． （1）求E 的方程；（2）设,M N 分别为E 的左、右顶点，AM 与BN 交于点,P AN 与BM 交于点Q ，若D 为PQ 的中点，证明||||DF PQ 为定值，并求出该定值．【答案】（1）2213y x -=（2）证明见解析；12 【解析】【分析】（1）设()()1122,,,A x y B x y ，代入方程利用点差法得2213b a =，联立222c a b =+求解即可 （2）由题意可得直线AB 的方程为2y x =-，联立22213y x y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩，求出,A B 两点的坐标，然后分别求出直线BM 、AN 、AM 、BN 的直线方程，联立方程求出P 、Q 两点的坐标，由中点坐标公式求出D 点坐标，根据两点间的距离公式求出||DF 、||PQ 比较即可【小问1详解】因为右焦点(2,0)F ，所以2c =，设()()1122,,,A x y B x y ，因为直线l 过点(1,3)--C 时，C 恰为AB 的中点，由中点坐标公式得，12122,6x x y y +=-+=-，又,A B 在双曲线上， 所以2211221x y a b -=①，2222221x y a b -=②，两式相减得22222121220x x y y a b---=， 所以()()2212212221123b x x y y b x x a y y a+-==-+， 因为直线的斜率为22301123l AB FC b k k k a--=====--，又2224c a b =+=， 所以222341a a a +=⇒=，所以23b =，故双曲线E 的方程为2213y x -= 【小问2详解】由（1）知2213y x -=，又,M N 分别为E 的左、右顶点， 所以()()1,0,1,0M N -，由题意可得直线AB 的方程为2y x =-，联立22213y x y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩，可得22470x x +-=，所以11x =--或21x =-+，所以13,13A B ⎛⎛-+---- ⎝⎝,所以)131AM AN k k ==-==-，)1,31BM BN k k ====-， 所以直线BM 、AN 、AM 、BN 的直线方程分别为：)()11y x =++，)()311y x =-+-，()()11y x =++，)()311y x =--，联立)())()11311y x y x ⎧=++⎪⎨=--⎪⎩，得12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩12Q ⎛ ⎝⎭，联立()()()()11311y x y x ⎧=+⎪⎨=-+-⎪⎩，得12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩12P ⎛ ⎝⎭， 又D 为PQ 的中点，所以13,22D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以DF ==，故||1||2DF PQ ==. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是求出直线方程联立求出点的坐标，利用距离公式求出即可.。