河南省新乡市2018届高三数学第一次模拟测试试题理2017110602163

2017-2018学年 数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合{}|,2,1,0,1,2A x y B ⎧⎪===--⎨⎪⎩，则()R C A B ⋂=（ ）A ．{}2B ．{}1,2C ．{}2,1--D ．{}2,1,0--2.已知复数1534iz i=+，则z 的虚部为（ ） A ．95i - B ．95i C ．95- D ．953.统计新生婴儿的体重，其频率分布直方图如图所示，则新生婴儿体重在(]2700,3000克内的频率为（ ）A ．0.001B ．0.1C ．0.2D ．0.34.如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积为（ ）A ．32πB ．16πC ．12πD ．8π5.函数()ln 21f x x x =+-的零点必落在区间（ ） A ．11,84⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭D ．()1,26.已知各项均不为0的等差数列{}n a 满足2731102a a a -+=，数列{}nb 为等比数列，且77b a =，则113b b =（ ）A ．25B ．16C ．8D ．47.已知变量,x y 满足430401x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则z x y =-的取值范围是（ ）A ．[]2,1--B ．[]2,0-C ．60,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．62,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦8.执行下面的程序框图，则输出结果s =（ ）A ．2116 B ．8564 C ．6332 D ．127649.已知函数()()2sin 0,22f x x ππωϕωϕ⎛⎫=+>-<<⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则把函数()f x 的图像向左平移6π后得到的函数图象的解析式是（ ）A ．2sin 2y x =B ．2sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．2sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭D ．2sin 6y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭10.已知函数()()1,1010lg 2,10x x f x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-+>⎩，若()()282f m f m -<，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()4,2-B ．()4,1-C ．()2,4-D ．()(),42,-∞-+∞11.已知双曲线()2222:10,0x y a b a b Γ-=>>，过双曲线Γ的右焦点，且倾斜角为2π的直线l 与双曲线Γ交地,A B 两点，O 是坐标原点，若AOB OAB ∠=∠，则双曲线Γ的离心率为（ ） AB12.已知数列1234,,,a a a a 满足()1411111,1,2,322n n n na a a a n a a ++=-=-=，则1a 所有可能的值构成的集合为（ ） A ．1,12⎧⎫±±⎨⎬⎩⎭ B ．{}1,2±± C ．1,22⎧⎫±±⎨⎬⎩⎭ D ．1,1,22⎧⎫±±±⎨⎬⎩⎭第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量(2,m =，若,m n 间的夹角为3π，则23m n -=____________．14.经过抛物线28y x =的焦点和顶点且与准线相切的圆的半径为___________． 15.已知一个圆锥内接于球O （圆锥的底面圆周及顶点均在球面上），若球的半径5R =，圆锥的高是底面半径的2倍，则圆锥的体积为___________．16.由1，2，3三个数字组成的五位数中，相邻的数字不相同的五位数共有_________个．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()sin cos cos sin A B B A b a B++=．（1）求a ； （2）若1cos 3A =，求ABC ∆面积的最大值． 18.（本小题满分12分）如图①所示，四边形ABCD 为等腰梯形，//AD BC ，且01,135,3AD BC a BAD AE BC ==∠=⊥于点,E F 为BE 的中点．将ABE ∆沿着AE 折起至AB E '∆的位置，得到如图②所示的四棱锥B ADCE '-.（1）求证：//AF 平面B CD '；（2）若平面AB E '⊥平面AECD ，求二面角B CD E '--的余弦值． 19.（本小题满分12分）甲、乙两位数学老师组队参加某电视台闯关节目，共3关，甲作为嘉宾参与答题，若甲回答错误，乙作为亲友团在整个通关过程中至多只能为甲提供一次帮助机会，若乙回答正确，则甲继续闯关，若某一关通不过，则收获前面所有累积奖金．约定每关通过得到奖金2000元，设甲每关通过的概率为34，乙每关通过的概率为12，且各关是否通过及甲、乙回答正确与否均相互独立．（1）求甲、乙获得2000元奖金的概率；（2）设X 表示甲、乙两人获得的奖金数，求随机变量X 的分布列和数学期望()E X ． 20.（本小题满分12分）设O 为坐标原点，已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>，抛物线22:C x ay =-的准线方程为12y =． （1）求椭圆1C 和抛物线2C 的方程；（2）设过定点()0,2M 的直线t 与椭圆1C 交于不同的两点,P Q ，若O 在以PQ 为直径的圆的外部，求直线t 的斜率k 的取值范围． 21.（本小题满分12分）已知函数()()()22ln ,f x x ax g x f x ax x =-=+-．（1）求函数()f x 的极值； （2）设120x x >>，比较()()121221212g x g x x x x x x --+-与1的大小关系，并说明理由． 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，已知四边形ABDC 是圆O 的内接四边形，,B D 是圆O 上的动点，AD 与BC 交于F ，圆O 的切线()CE C 为切点与线段AB 的延长线交于,E BCD CBD∠=∠．（1）证明：CD 是BCE ∠的平分线；（2）若AD 过圆心，,2BC BE AE ==，求AB 的长． 23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的参数方程为11x t y t=-+⎧⎨=+⎩，（t 为参数），曲线C 的普通方程为()()22215x y -+-=，点P 的极坐标为74π⎛⎫ ⎪⎝⎭． （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的极坐标方程；（2）若将直线l 向右平移2个单位得到直线l '，设l '与C 相交于,A B 两点，求PAB ∆的面积．24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()21f x x x =-++． （1）求不等式()7f x >的解集；（2）若实数,0m n >，且()f x 的最小值为m n +，求22m n +的最小值，并指出此时,m n的值．参考答案一、选择题二、填空题1283π 16. 42三、解答题17.解：（1）原式化为22222222a cb bc a cabc abc a+-+-+=，解得1a=．．．．．．．．．．．．．．．．．6分18.解：（1）取B C'的中点G，连接,FG DG．∵F为B E'的中点，∴//FG EC，且12FG EC=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分∵图①中四边形ABCD为等腰梯形，//AD BC，且1,,1353AD BC a AE BC BAD==⊥∠=，∴12,//,2EC a AD EC AD EC==，∴//,AD FG AD FG=，∴四边形ADGF 为平行四边形，∴//AF DG ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 ∵AF ⊄平面,B CD DG '⊂平面B CD '，∴//AF 平面B CD '．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）易证,,EA EB EC '两两垂直，故以点E 为原点，EB '为x 轴，EC 为y 轴，EA 为z 轴，建立空间直角坐标系，∴()()(),0,0,0,,,0,2,0B a D a a C a '，所以()(),2,0,0,,B C a a CD a a '=-=-，设平面B CD '的法向量为(),,n x y z =．则()()()(),2,0,,200,,,,0B C n a a x y z ax ay CD n a a x y z ay az ⎧'=-=-+=⎪⎨=-=-+=⎪⎩令1z =，得()2,1,1n =，．．．．．．．．．．．10分显然(),0,0EB a '=为平面AECD 的一个法向量，所以cos ,EB n '==，．．．．．．．．．．．．．．．．11分 由图知平面B CD '与平面AECD 所成的二面角为锐角，所以所求的余弦值为．．．．．．．．．．12分 19.解：（1）甲、乙获得2000元奖金的概率有两种情况：①第一关甲答对，第二关甲、乙都答错；②第一关甲答错，乙答对，第二关甲答错． 故其概率为：31111114424248P =⨯⨯+⨯⨯=．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （2）根据题意，0,2000,4000,6000X =，()1110428P X ==⨯=；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 ()120008P X ==；()21231131111540004424424128P X C ⎛⎫==⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=⎪⎝⎭；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 ()321333118160004442128P X C ⎛⎫⎛⎫==+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 随机变量X 的分布列为所以()158102000400060004515.62588128128E X =⨯+⨯+⨯+⨯=（元）（写成361258也对）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 20．解：（1）由题意得142a =，∴2a =，故抛物线2C 的方程为22x y =-，又e =，∴c =1b =，从而椭圆1C 的方程为2214x y +=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）显然直线0x =不满足题设条件，可设直线()()1122:2,,,,l y kx P x y Q x y =+．由22142x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()221416120k x kx +++=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 ∵()()2216412140k k ∆=-⨯+>，∴3,,k ⎛⎛⎫∈-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭，．．．．．．．．．．．．．．．9分1212221612,1414k x x x x k k-+==++， 根据题意，得000900POQ OP OQ <∠<⇔>，∴()()()()()2121212121212222222212412116164240141414OP OQ x x y y x x kx kx k x x k x x k k k k k k k =+=+++=+++++--=+⨯+=>+++．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分∴22k -<<，综上得32,,2k ⎛⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 21.解：（1）依题意()()21122,0,ax f x ax x x x-'=-=∈+∞．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分 ①若0a ≤，则()0f x '>在()0,+∞上恒成立，函数()f x 无极值；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分②若0a >，则()f x '=，此时10,0x +>>，令()0f x '>，解得0x <<，令()0f x '<，解得x > 故函数()f x的单调增区间为⎛ ⎝，单调减区间为⎫+∞⎪⎪⎭， 故函数()f x 的极大值为()11ln 2122f a ==-+，无极小值. 综上所述，当0a ≤时，函数()f x 无极值；当0a >时，函数()f x 有极大值()1ln 212a -+，无极小值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分（2）依题意，()()()121112222212121212ln ln ln ,1g x g x x x x x g x x x x x x x x x x x --=---=-+-+-， 要比较()()121221212g x g x x x x x x --+-与1的大小 ，即比较12212x x x +与1212ln ln x x x x --的大小． ∵120x x ->，∴可比较()1122212x x x x x -+与12ln ln x x -的大小 ．．．．．．．．．．．6分 令()121x t t x =>，即比较2211t t -+与ln t 的大小．设()221ln 1t G t t t -=-+， 则()()()()()3222221121111t t t t t G t tt t t --++-'=-=++， 因为1t >，所以()0G t '<，所以函数()G t 在()1,+∞上单调递减，故()()10G t G <=，所以()0G t <对任意1t >恒成立，所以()112122212ln ln x x x x x x x -<-+， 所以()()1212212121g x g x x x x x x --<+-………………………………12分 22.解：（1）因为CE 是圆的切线，所以ECD CBD ∠=∠，又BCD CBD ∠=∠， 所以ECD BCD ∠=∠，故CD 是BCE ∠的平分线．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）因为AD 为圆心，易得,,BD AB AC CD AC AB ⊥⊥=，因为BC BE =，所以BEC BCE EAC ∠=∠=∠，所以AC EC AB ==， 由切割线定理得2=EC AE BE ，即()2AB AE AE AB =-，即2240AB AB +-=，解得1AB =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 23.解：（1）根据题意，直线l 的普通方程为2y x =+，曲线C 的极坐标方程为4cos 2sin ρθθ=+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 5分（2）l '的普通方程为y x =，所以其极坐标方程为4πθ=，所以ρ=，故AB =，因为OP l '⊥，所以点P 到直线l '的距离为，所以162PAB S ∆=⨯=．．．．．．．．10分 24.解：（1）原不等式等价于212121737127x x x x x ⎧>-≤≤<-⎧⎧⎨⎨⎨->>->⎩⎩⎩或或，解得34x x <->或，综上所述，不等式()7f x >的解集为()(),34,-∞-+∞．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）依题意，可知3m n +=，()()22222222222m n m n mn m n m n m n +=++≤+++=+，故2292m n +≥，当且仅当32m n ==时等号成立…………………………10分。

数学(理科)试題第1页(共8页)新乡市2017届高三第一次调研考试数学(理科)本试題卷分第I 卷(选择題)和第II 卷(非选择题)两部分.考生作答时■将答案答在 答题卡上(答题注意事项见答題卡)，在本试题卷上答题无效•考试结束后，将本试题卷和 答题卡一并交回.一■选择题:本大題共12小题，毎小题5分•在毎小題给岀的四个选项中■只有一项是符合題目要求的. _________(1) 巳知集合 厂厶二石}宀 I -2, -1,0,1,21,则(G M )CB 二(A)|2| (B)|l,2|(C){ -2,-1}(D){ -2.-1.0}(2) 已知复数则z 的虔部为3 *4i(A)-|-i (B)爭 (5-备 (D)y(3) 统计新生婴儿的体重，其频率分布宜方图如图所示，则新生婴儿休重在(2 700,3 000] 克内的频率为(A)0.001 (B)0. 1 (C)0.2 (D)0.3(4) 如图是一个儿何体的三视图■根据图中数据■可得该几何体的泱面枳为绝密*启用前(A)32r(D)8n(7) 已知$ftz fy 满足—y ・4w0.则的取備范围足 (A)[ -2,-1] (B)[ -2.01(8) 执行F 面的程序框图，则输岀结果$ =(7^)(唬⑻卷 (矚(9)已知函数心)4in 伽 于于)的部分图象如图所示侧把函数/(%)的图象向左平移于厉得到的臥数图象的解析式是(5)函数/(*) =lnx+2x-l 的零点必落在区间(A)(冷) ⑻(罔(：)仕」)(C)8(0)4(C)[0自(D)矇(A)y =2ain 2x (C)厂 2sin (2 一于)(10) 已知函数/(*)川击)l-lg(x+2)f x>10f(A)( -4t 2)(B)( -4J)(C)(-2,4) (D)(-ac t -4)U (2t +Qo)(11) 已知双曲线八亍-存1(。

>0,6 >0),过双曲线厂的右焦点，且傾斜角为壬的直 统/与戏曲线厂交于儿〃两点,0是坐标原点，若厶A()R= /0AB,则双曲线厂的离 心率为g 呼 (B)血护 (C)牡型 (D)出空(12) 已知数列 5 ,a ? ,aj,a 4 满足"二叫，"2J =a <«-i - j =, ,2,3),则 a (所有町能的值构成的族合为 … "(A){±y t ±l} (B)| ±1,±2| (C){± 茁 ±2}(D){士;,±1・±2}第U 卷本卷包括必考题和选考題两部分.第13-21題为必考题，毎个试题考生都必须作 答.第22 -24题为选考題,考生根据要求作答.二、 填空题:本大题共4小题.每小题5分.(13) 已知向虽m = (2,4),lnl=j5,若wt./t 间的夹角为于，则12m -3/1!二 __________________ , (14) 经过抛物线於=8x 的焦点和顶点且与准线相切的岡的半径为_ •(15〉已知一个圆供内接于球0(圆俳的底面圆周及顶点均在球面I ：),若球的羊径尺二5. 圆锥的高是底面半轻的2倍，则圆維的体枳为—__・(16) 由1.2,3三个数字组成的五位数中•相邻的数字不相同的五位数共有 个. 三、 解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 (17) (本小题满分12分)在AMC 中，角S,C 的对边分别为a,b,c,已知畔+警上乂 ；"〉. (I )求勺(U )若= *.求面积的敲大值.(B)y=2sinpx-yj (D)y ・2sin( —-扌)若/(8-m 2) </(2m),则实数m 的取值范围是(18) (本小題满分12分)如图①所示，典边形ABCD为等胺梯形,AD//BC, RAP= pC=a, A BAI) = 135% 朋丄〃C于点为BE的中点.将ZXA眈沿若折起至△川TE的位置，得到如图②所示的四棱锭B9 -ADCE.(1 )求证〃平面Bg(11)若平面AB f E丄半面A£CD■求二向角B‘-CD-E的余兹值.(19) (本小题满分12分)甲、乙時位数学老师纽队参加某电视台闯关节目•共3关，甲作为嘉宾参与答题.若甲冋答错误，乙作为亲友团在整个通关过程中至多只能为屮提供一次帮助机会.若乙冋答正确,则甲继续闯关•若某一•关通不过,则收获前面所有累枳奖金.约定每关通过得到奖金2 000元.设甲毎茏通过的概率为;•乙每关通过的概牢为;，且各关是否通过及甲、乙回答正确与否均相互独立.(I )求甲、乙获得2 000元奖金的概率；(U )设X衣示屮、乙网人扶得的奖金数.求随机变粧X的分命列和数学期望Eg(20) (本小题满分12分〉设0为唯标原点,已知椭圆C,X + ^ = l(a>6 >0)的离心率为；,抛物线C2：?=-ay的准线方程为y = y.(I )求椭圈G和抛物线C?的方程；(U )设过定点"(0,2)的直线f与椭圆C,交于不同的两点P,Q,若0在以PQ为直径的圆的外部，求直线X的斜率k的取值范围.(21) (本小题满分12分〉已知函数/(巧=ln ax z t g(x) =/(*)-*•(I )求函数/(*)的极值；(U)设务＞和＞0,比较宀*七型与1的大小关系•并说明理由.X\ +«2 x l一％2请考生在第22,23,24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的M-fi计分.作答时谓写清题号.(22) (本小题満分10分)选修4・1 ：几何证明选讲如图，已知四边形ABDC是圆0的内接四边形是側0上的动点与8C交于F,圆0的切线CE(C为切点)与线段AB的延氏线交于£,乙BCD =厶CBD.(I)证明:CO是厶BCE的平分线；(U )若AD过圆心,BC■ BE t AE・2,求佃的长.(23) (本小题满分10分)选修4-4：坐标系与鑫数方程在克角坐标系％分中，以。

2017-2018学年一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合4{|0}1x A x R x -=∈≤+，2{|(2)(1)0}B x R x a x a =∈---<，若A B =∅ ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(2,)+∞B ．[2,)+∞C ．{1}[2,)+∞D ．(1,)+∞ 2.若点55(sin,cos )66ππ在角α的终边上，则sin α的值为（ ）A ．．12- C ．12 D 3.已知平面直角坐标系内的两个向量，(1,2)a = ，(,32)b m m =-，且平面内的任一向量c都可以唯一的表示成c a b λμ=+（λ，μ为实数），则m 的取值范围是（ ）A ．(,2)-∞B ．(2,)+∞C ．(,)-∞+∞D ．(,2)(2,)-∞⋃+∞4.已知把函数()sin f x x x =的图象向右平移4π个单位，再把横坐标扩大到原来的2倍，得到函数()g x ，则函数()g x 的一条对称轴为（ ） A ．6x π=B ．76x π=C. 12x π= D ．56x π= 5.已知等比数列{}n a 的前n 项和为12n n S k -=+，则32()21f x x kx x =--+的极大值为（ ）A ．2B ．52 C.3 D ．726. ABC ∆中三边上的高的大小依次为113，15，111，则ABC ∆为（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形 C.钝角三角形 D ．不存在这样的三角形7.已知两个力12,F F 的夹角为90，它们的合力F 的大小为10N ，合力F 与1F 的夹角为60，那么1F的大小为（ ）A． B ．5N C. 10N D．8.已知()f x 是定义域为R 的偶函数，当0x ≤时，2()2f x x x =-，那么不等式(1)3f x +>的解集是（ ）A ．(,2)(2,)-∞⋃+∞B ．(,2)(0,)-∞-⋃+∞ C. (,0)(2,)-∞⋃+∞ D ．(,1)(1,)-∞-⋃+∞9.定积分0|sin cos |x x x dx ⎰-的值是（ ）A．2．2．10.已知函数()sin 2[0,])2f x x x π=-∈，()3g x x =+，点11(,)P x y ，22(,)Q x y 分别位于()f x ，()g x 的图象上，则221212()()x x y y -+-的最小值为（ ）A ．2(18)72π+ B．12 C. 2(18)12π+ D．2(15)72π-11.已知函数2()cos ()1(0,0,0)2f x A x A πϖϕϖϕ=++>><<的最大值为3，()f x 的图象与y 轴的交点坐标为(0,2)，其相邻两条对称轴间的距离为2，则(1)(2)(3)(2016)f f f f ++++ 的值为（ ）A ．2468B ．3501 C.4032 D ．573912.已知三角形ABC 内的一点D 满足2DA DB DB DC DC DA ===- ，且||||||DA DB DC == .平面ABC 内的动点P ，M 满足||1AP = ，PM MC = ，则2||BM 的最大值是（ ） A ．494 B ．434D二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若实数x ，y 满足约束条件310203640x y x y x y --≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩，则3z x y =+的最小值为__________.14.已知P 是ABC ∆所在平面内一点，D 为AB 的中点，若2(1)PD PC PA PB λ+=++，且PBA ∆与PBC ∆的面积相等，则实数λ的值为___________.15.设曲线1*()n y x x N +=∈在点(1,1)处的切线与x 轴的交点横坐标为n x ，则20161201622016320162015log log log log x x x x ++++ 的值为___________.16.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且tan b A ，tan c B ，tan b B 成等差数列，则角A 的大小是_________.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，134(2)n n a S n -=+≥. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令22lo g 7n n a b +=，12n n n b c +=，其中*n N ∈，记数列{}n c 的前项和为n T ，求22n n n T ++的值.18. （本小题满分12分）如图，在多面体ABCD EF -中，四边形ABCD 为正方形，//EF AB ，EF EA ⊥，22AB EF ==，90AED ∠= ，AE ED =，H 为AD 的中点.（1）求证：EH ⊥平面ABCD ；（2）在线段BC 上是否存在一点P ，使得二面角B FD P --的大小为3π？若存在，求出BP 的长；若不存在，请说明理由.19. （本小题满分12分）为了解游客对2015年“十一”小长假的旅游情况是否满意，某旅行社从年龄在[22,52]内的游客中随机抽取了1000人，并且作出了各个年龄段的频率直方图（如图所示），同时对这1000人的旅游结果满意情况进行统计得到下表： （1）求统计表中m 和n 的值；（2）从年龄在[42,52]内且对旅游结果满意的游客中，采用分层抽样的方法抽取10人，再从抽取的10人中随机抽取4人做进一步调查，记4人中年龄在[47,52]内的人数为X ，求X 的分布列和数学期望.20. （本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的两个焦点为1F ，2F ，离心率为3A ，B 在椭圆上，1F 在线段AB 上，且2ABF ∆的周长等于（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过圆22:4O x y +=上任意一点P 作椭圆C 的两条切线PM 和PN 与圆O 交于点M ，N ，求PMN ∆面积的最大值.21. （本小题满分12分）已知函数()1xf x e ax =--（e 为自然对数的底数）. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）当0a >时，若()0f x ≥对任意的x R ∈恒成立，求实数a 的值；（2）求证：22222232323ln[1]ln[1]ln[1]2(31)(31)(31)nn ⨯⨯⨯++++++<--- .请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，圆周角BAC ∠的平分线与圆交于点D ，过点D 的切线与弦AC 的延长线交于点E ，AD 交BC 于点F .（1）求证：//BC DE ；（2）若D ，E ，C ，F 四点共圆，且AC BC =，求BAC ∠.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1112x y a t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（其中参数t R ∈，a 为常数），在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标中，曲线C的方程为)4πρθ=+.（1）求曲线C 的普通方程；（2）已知直线l 与曲线C 相交于A ，B两点，且||AB =，求常数a 的值. 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()|1|2|1|f x x x =+--. （1）求不等式()1f x ≥的解集；（2）求函数()f x 的图象与x 轴围成的三角形的面积S .新乡市一中2016-2017高三上期第一次月考数学试卷答案一、选择题1-5:CADDB 6-10:CBBDA 11、12：CA 二、填空题 13. 15-14.-1 15.-1 16. 3π 三、解答题17.解：（1）21347a S =+=，134(2)n n Qa S n -=+≥ ∴134n n a S +=+.两式相减得：14(2)n n a a n +=≥………………2分∴231232222n n nT L =++++ ① 231111122222n n n n nT L +-=++++ ② ①-②得，221111121212222222n n n n n n T L +++=+++-=-.……………………11分∴222222n n n n n n T T ++=-⇒+=.……………………12分18.解：（1）证明：因为//AB EF ，EF EA ⊥，所以AB EA ⊥. 因为AB AD ⊥，且EA AD A ⋂=，所以AB ⊥平面AED . 因为EH ⊂平面AED ，所以AB EH ⊥.……………………3分因为AE ED =，H 是AD 的中点，所以EH AD ⊥.又AB AD A ⋂=，所以EH ⊥平面ABCD .……………………5分（2）解：HE ，AD ，OH 两两垂直，如图，建立空间直角坐标系H xyz -， 则(1,0,0)A ，(1,0,0)D -，(0,1,1)F ，(0,1,0)O ，(1,2,0)C -，设点(0,,2)(02)P m m <≤，于是有(1,1,1)DF = ，(,1,1)FP m =-.设平面PDF 的法向量(,,)n x y z = ，则0,0,n DF n FP ⎧=⎪⎨=⎪⎩即0,0,x y z mx y z ++=⎧⎨+-=⎩ 令1z =，得21x m =-，11m y m --=-，所以21(,,1)11m n m m --=-- .………………8分 平面BDF 的法向量(1,1,0)OA =- ，所以||cos 3||||OA n OA n π=，即21|(1,1,0)(,,1)|12m ---= 1m =-.……………………11分 所以点P 的坐标为(1,2,0)-，与点C 的坐标相同，所以2BP BC ==.………………12分 19.解：（1）年龄在[37,42)内的频率为1(0.010.0220.032)50.45-+⨯+⨯⨯=，故年龄在[37,42)内的人数为450，则4320.96450m ==，年龄在[27,32)内的人数为10000.025100⨯⨯=，1000.9595n =⨯=.（2）因为年龄在[42,47)内且满意的人数为144，年龄在[47,52)内且满意的人数为96，因此采用分层抽样的方法抽取的10人中，年龄在[42,47)内且满意的人数与年龄在[47,52)内且满意的人数分别为6,4.………………5分 依题意可得0,1,2,3,4X =.4064410151(0)21014C C P X C ====；3164410808(1)21021C C P X C ====；2264410903(2)2107C C P X C ====；1364410244(3)21035C C P X C ====；04644101(4)210C C P X C ===.………………10分 X 的分布列为0123414217352105EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.……………………12分 20.解：（1）由2ABF ∆的周长为4a =，a =c e a ==，得c =2221b a c =-=.所以椭圆的标准方程为：2213x y +=.……………………1分（2）设(,)p p Px y ，则224p p x y +=.（ⅰ）若两切线中有一条切线的斜率不存在，则p x =，1p y =±，另一切线的斜率为0，从而PM PN ⊥.此时，11||||222PMN S PM PN ∆==⨯⨯= ………………6分 （ⅱ）若切线的斜率均存在，则p x ≠P 的椭圆的切线方程为()p p y y k x x -=-，代入椭圆方程，消y 并整理得：222(31)6()3()30p p p p k x k y kx x y kx ++-+--=. 依题意0∆=，222(3)210p p p p x k x y k y -++-=.………………9分设切线PM ，PN 的斜率分别为1k ，2k ，从而22122213133p pppy x k k x x --===---，即PM P N ⊥.线段MN 为圆O 的直径，||4MN =.………………10分 所以222111||||(||||)||4242PMN S PM PN PM PN MN ∆=≤+== ， 当且仅当||||PM PN ==PMN ∆取最大值4.由（ⅰ）（ⅱ）可得：PMN S ∆最大值是4.………12分21.解：（1）'()x f x e a =-，∴0a ≤时，'()0f x >，()f x 在R 上单调递增：0a >时，(,ln )x a ∈-∞时，()f x 单调递减，(ln ,)x a ∈+∞时，()f x 单调递增.………………4分（2）由（1），0a >时，min ()(ln )f x f a =，∴(ln )0f a ≥，即ln 10a a a --≥， 记()ln 1(0)g a a a a a =-->.()1(ln 1)ln Qg a a a =-+=-，∴()g a 在(0,1)上增，在(1,)+∞上递减，∴()(1)0g a g ≤=，故()0g a =，得1a =.………………8分（3）1n =时，22332(31)2n n ⨯=<-，2n ≥时，121123232311(31)(31)(33)(31)(31)3131n n n n n n n n n n---⨯⨯⨯<==--------， 2n ≥时，2133112(31)2231k nk nk =<+-<--∑.………………10分 由（2）可知1xe x ≥+，即ln(1)(1)x x x +≤>-，则0x >时，ln(1)x x +<，故22222212323233ln[1]ln[1]ln[1]2(31)(31)(31)(31)n knn k k L =⨯⨯⨯++++++<<----∑， 即原不等式成立.………………12分22.解：（1）由DE 与圆相切于点D 可得EDC DAC ∠=∠，∵BD BD =，∴DAB DCB ∠=∠，又DA C D AB ∠=∠，∴E DCD C B ∠=∠，∴//BC DE .………………4分（2）因为D ，E ，C ，F 四点共圆，所以CFA CED ∠=∠，由（1）知，ACF CED ∠=∠，所以CFA ACF ∠=∠.………………6分设DAC DAB x ∠=∠=，因为AC BC =，所以2CBA BAC x ∠=∠=， 所以3CFA FBA FAB x ∠=∠+∠=，在等腰三角形ACF 中，7CFA ACF CAF x π=∠+∠+∠=，则7x π=，所以227BAC x π∠==.………………10分 23.解：（1）)cossin sin )2cos 2sin 444πππρθθθθθ=+=-=-，2222cos 2sin 22x y x y ρρθρθ=-⇐+=-，所以曲线C 的普通方程为：22220x y x y +--=.………………4分（2）将曲线C 的方程变形为22(1)(1)2x y -++=与直线l 的参数方程联立得：22231()22042t a t t at ++=⇒+-=. 首先2803a ∆>⇒<，由韦达定理12t t a +=-，2122t t a =-.………………7分由参数t的含义知：12||||AB t t =-=，即228351a a -=⇒=，满足283a <，故1a =±，综上常数a 的值为1±.………………10分24.原不等式等价于：11221x x x <-⎧⎨--+-≥⎩① 或111221x x x -≤<⎧⎨++-≥⎩②或11221x x x ≥⎧⎨+-+≥⎩③.解①得：∅；解②得：213x ≤<；解③得：12x ≤≤. ∴原不等式的解集是2{|2}3x x ≤≤.…………6分 （2）依题意：31()311131x x f x x x x x -<-⎧⎪=--≤<⎨⎪-+≥⎩.∴()f x 的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点的坐标分别为1(,0)3，(3,0)，(1,2). ∴所求三角形的面积118(3)2233S =⨯-⨯=.………………10分。

2016~2017学年(上)高三模拟考试能力提升训练卷理 数一． 函数的性质部分1．设函数是定义在上周期为3的奇函数，若，则有A ．且B ．或C ．D ．2．定义在上的函数满足，当时，，当时，．则A ．335B ．338C ．1678D ．20123．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是A ．B ．C ．D ．二． 函数与导数小题部分4．设曲线在点处的切线与轴的交点的横坐标为，令，则的值为A ．2014B ．2013C ．1D ．-15．函数2cos y x x =+[0,]2π上的最大值是6．已知函数()323f x x x x =-+的极大值为m ，极小值为n ，则m +n =A ． 0B ．2C ．-4D ．-2 三．函数与导数大题部分7．设和是函数的两个极值点，其中．(1)．求的取值范围；(2)．若，求的最大值．8．设．(1)．如果存在使得成立，求满足上述条件的最大整数；(2)．如果对于任意的，都有成立，求实数的取值范围．9．已知函数．（1）．求的单调区间；（2）．若对于，不等式恒成立，求的取值范围．四．不等式部分10．已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是______11．若，则的最小值是______12．如果，则的最小值为______五．空间几何体三视图部分13．已知某几何体的三视图如图所示，其中侧视图是等腰直角三角形，正视图是直角三角形，俯视图ABCD是直角梯形，则此几何体的体积为______14．某几何体的三视图(单位:)如图所示，则该几何体的体积为_______，表面积为_________．15．已知一个空间几何体的三视图及有关数据如下图所示，则该几何体的表面积为_____六．圆锥曲线小题部分16．已知，椭圆的方程为，双曲线的方程为与的离心率之积为，则的渐近线方程为A．B．C．D．17．设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于两点，与抛物线的准线相交于点，则与的面积之比A．B．C．D．18．已知抛物线的焦点为，点，过点且斜率为的直线与交于两点，若，则A．B．C．D．19．椭圆的左、右顶点分别为，点在上且直线斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是A．B．C．D．七．圆锥曲线大题部分20．椭圆与双曲线的离心率互为倒数，且直线经过椭圆的右顶点．（1）．求椭圆的标准方程；（2）．设不过原点的直线与椭圆交于两点两点，且直线的斜率依次成等比数列，求面积的取值范围．21．已知椭圆，过焦点垂直于长轴的弦长为，且焦点与短轴两端点构成等边三角形．（1）．求椭圆的方程；（2）．过点的直线交椭圆于两点，交直线于点，若，求证为定值，并计算出该定值．22．已知椭圆：的一个焦点为，左右顶点分别为．经过点的直线与椭圆交于两点．（1）．求椭圆方程；（2）．当直线的倾斜角为45°时，求线段的长；（3）．记与的面积分别为和，求的最大值．2016~2017学年(上)高三模拟考试能力提升训练卷答案理数参考答案1．B 解析：由已知得，又因，所以，解得或．故选B ．2．B 解析：根据题意函数的周期为，所以，所以．所以答案为：B ．3．C 解析：是奇函数，选项A 错;是指数函数，非奇非偶，选项B 错;是偶函数，但在上单调递增，选项D 错;只有选项C 是偶函数且在上单调递减．故选C ．4．D 5．66．D 7．答案：（1）函数的定义域为．依题意，方程有两个不等的正根(其中)．故 ， 并且，故的取值范围是．（2）．当时，．若设，则．于是有，∴，构造函数(其中)则．所以在上单调递减，．故的最大值是e ．8．答案：（1）存在使得成立，等价于，由，得，故在单调递减，在单调递增，所以，故，则满足条件的最大整数（2）依题有，在上函数由（1）可知，在上，在上，恒成立等价于恒成立．设可知，在上是减函数，又，所以当时，，当时，即函数在上单调递增，在上单调递减，所以，，即实数的取值范围为9．答案：（1），当时，在和上是单调递增，在上单调递减当时，在上单调递增当时，在和上单调递增，在上单调递减（2）．因为，所以由，得， 即对恒成立．由1可知，当时，在上单调递增，则成立，，当时，在为增函数，恒成立，符合要求，当时，在上单调递减，上单调递增，则即综上所述，．10．答案：解析： 先求的最小值，，当且仅当时取等号，则恒成立，可求得的取值范围是．11．答案：解析：由，得，且，∴，由，得．∴(当且仅当时取等号)，即的最小值为．12．答案：4解析：由得，所以，且，则，当且仅当，即时，取得最小值．13．答案：由三视图可得，这是一个四棱锥底面是一个上下底分别为2和4，高为2的直角梯形，棱锥高为2．故答案为：414．答案：;解析：由三视图可知该几何体是如下图所示侧棱底面矩形的四棱锥：所以其体积为：，又，所以其表面积为：;故应填入;．15．答案：解析：下图为三视图对应的直观图，其表面由两个全等的正方形，两个全等的梯形和两个矩形组成．由三视图中数据可得该几何体的表面积．16．答案：A解析：椭圆的离心率为，双曲线的离心率为．由题意知，即．两边平方得，∴，∴的渐近线方程为，即，故选A．17．答案：A解析：如图，过作准线的垂线，垂足分别为，由于到直线的距离为定值，∴，又∵，由抛物线定义知，∴，由知，，∴直线的方程为，把代入上式，求得，，∴，故，故选A。

新乡市2018届高三年级第一次模拟测试数学试卷（理科）考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．2．请将各题答案填在答题卡上．3．本试卷主要考试内容：高考全部内容．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x ｜2x －x ≤0}，B ＝{x ｜a －1≤x ＜a}，若A ∩B 只有一个元素，则a ＝A ．0B ．1C ．2D ．1或22．设复数z 满足iz ＝｜2＋i ｜＋2i ，则｜z ｜＝A ．3BC ． 9D ．103．点P （x ，y ）是如图所示的三角形区域（包括边界）内 任意一点，则y x的最小值为 A ．—2 B ．—53C ．—25D ．—13 4．“a ＞1”是“4(x （a ∈R ）的展开式中的常数项大于1”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．在平面直角坐标系xOy 中，动点P 关于x 轴的对称点为Q ，且OP uu u r · OQ u u u r ＝2，则点P 的轨迹方程为A ．222x y ＋＝B ．222x y －＝C ．22x y ＋＝D ．22x y －＝6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中俯视图中的两段圆弧均为半圆，则该几何体的体积为A ．8－2πB ．8－πC ．8－23π D ．8＋2π 7．若23log (log )a ＝34log (log )b ＝42log (log )c ＝1，则a ，b ，c 的大小关系是A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．a ＞c ＞bD ．b ＞c ＞a8．我国明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道闻名世界的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁?”如图所示的程序框图反映了对此题的一个求解算法，则输出的n 的值为A ．20B ．25C ．30D ．759．设k ∈R ，函数f （x ）＝sin （kx ＋6π）＋k 的图象为下面 两个图中的一个，则函数f （x ）的图象的对称轴方程为A ．x ＝2k π＋6π（k ∈Z ） B ．x ＝kx ＋3π（k ∈Z ） C ．x ＝2k π－6π（k ∈Z ） D ．x ＝k π－3π（k ∈Z ） 10．抛物线M ：2y ＝4x 的准线与x 轴交于点A ，点F 为焦点，若抛物线M 上一点P 满足PA⊥PF ，则以F 为圆心且过点P 的圆被y 2．24）A B C D 11．在三棱锥D —ABC 中，CD ⊥底面ABC ，AE ∥CD ，△ABC 为正三角形，AB ＝CD ＝AE＝2，三棱锥D —ABC 与三棱锥E —ABC 的公共部分为一个三棱锥，则此三棱锥的外接球的表面积为A ．163π B ．6π C ．203π D ．223π 12．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos 2C ＝54a cosA —14c cosB ＋12，且b ＝2，则a 的最小值为A B C ．9625 D ．11225 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卷中的横线上．13．已知向量a ，b 满足｜b ｜＝2｜a ｜＝2，a 与b 的夹角为120°，则｜a －2b ｜＝_____________．14．若2tan α＝tan420°，则tan （α＋3π）＝_____________． 15．在一次53．5公里的自行车个人赛中，25名参赛选手的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示．若用简单随机抽样方法从中选取2人，则这2人成绩的平均数恰为100的概率为_______________．16．若函数f （x ）＝33231,03,0x x a x x x a x ⎧⎪⎨⎪⎩－＋－＞＋－≤恰有3个零点，则f （a ）的取值范围为_______________． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题．每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题．考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知n S 为等差数列{n a }的前n 项和，且a 17＝33，S 7＝49．（1）证明：a 1，a 5，a 41成等比数列；（2）求数列{n a ·3n }的前n 项和n T ．18．（12分）已知某智能手机制作完成之后还需要依次通过三道严格的检测程序，第一道检测、第二 道检测、第三道检测通过的概率分别为2532，45，45，每道程序是相互独立的，且一旦 检测不通过就停止检测，每部手机只有三道程序都通过才能出厂销售．（1）求检测过程中只通过两道程序的概率；（2）现有3部该智能手机进入检测，记这3部手机可以出厂销售的部数为X ，求X 的分布列及数学期望．19．（12分）如图，在四棱锥E —ABCD 中，底面为等腰梯形，且底面与侧面ABE 垂直，AB ∥CD ，F ，G ，M 分别为线段BE ，BC ，AD 的中点，AE ＝CD ＝1，AD ＝2，AB ＝3，且AE ⊥AB ．（1）证明：MF ∥平面CDE ；（2）求EG 与平面CDE 所成角的正弦值．20．（12分）已知椭圆C ：22221x y a b ＋＝（a ＞b ＞0）经过（0，12），且椭圆C的离心率为2． （1）求椭圆C 的方程；（2）设斜率存在的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，O 为坐标原点，OP ⊥OQ ，且l 与圆心为O 的定圆W 相切．直线l '：y ＝－x ＋n （n ≠0）与圆W 交于M ，N 两点，G （3，－3）．求△GMN 的面积的最大值．21．（12分）已知函数f （x ）＝（x －1）（2x ＋2）x e ＋2（2x ＋x ＋2）．（1）证明：曲线y ＝f （x ）在点（0，f （0））处的切线经过曲线y ＝4cos （x －1）的一个最高点；（2）证明：k ∀∈（0，1），f （x ）＞x （kx ＋2）＋k 对x ∈R 恒成立．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4—4：坐标系与参数方程] （10分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ（0≤θ≤4π）． （1）在如图所示的平面直角坐标系中，画出曲线C ；（2）若直线x t y t m ⎧⎨⎩＝＝＋（t 为参数）与曲线C 有公 共点，求m 的取值范围．23．[选修4—5：不等式选讲] （10分）已知函数f （x ）＝｜x －3｜．（1）求不等式f （x ）＋f （2x ）＜f(12)的解集；（2）若x 1＝3x 3－x 2，｜x 3－2｜＞4，证明：f （x 1）＋f （x 2）＞12．。

新乡市第一次模拟测试数学（理科）考生注意：1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.2.请将各题答案填写在答题卡上.3.本试卷主要考试内容:高考全部内容.第I卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={x|2'>4},B={x|0<x-lM5},则（《A）B=A.（x|2<x<5}B.{x|x<5}C.{x|l<x〈2}D.{x|x>l}2.若复数z满足z（2-z）=18+llz,则z的实部为A.-5B.5C.-8D.83.为了参加冬季运动会的5000m长跑比赛,某同学给自己制定了7天的训练计划:第1天跑5000m,以后每天比前1天多跑200米，则这个同学7天一共将跑A.39200mB.39300mC.39400mD.39500m4.若二项式—J的展开式存在常数项，则正整数〃的最小值为A.7B.8C.14D.165.设函数/'（xXe-'-e'-5x,则不等式/（x2）+/（-x-6）<0的解集为A.（-3,2）B.（—8,—3）（2*）x-4<07.设不等式组尤+y Z3,表示的可行域M与区域N关于y轴对称，若点P（x,y）eN，则z=2x+y的最小值为y-1>0A.-9B.9C.-7D.78.《镜花缘》是清代文人李汝珍创作的长篇小说，书中有这样一个情节:一座楼阁到处挂满了五彩缤纷的大小灯球，灯球有两种，一种是大灯下缀2个小灯，另一种是大灯下缀4个小灯，大灯共360个,小灯共1200个.若在这座楼阁的灯球中，随机选取两个灯球，则至少有一个灯球是大灯下缀4个小灯的概率为A.MB 如1077 359八 958 「 289C. D.1077 3599.巳知点是抛物线V =牝上的动点，则jD'dSGT)* 的最小值A.3B.4C.5D.610.将函数/(x) = sin 4x + cos 4x 的图像向左平移生个单位长度后，得到g(x)的图像，则g(x) =811 .设 3 = log? 3, = log3 4,c = log 5 8,则A 3 1 •/A.----sin 4x 4 4"31 4C.----cos 4jv 4 4n 1 3 •』B.----sin 4x 4 4「13 4D.----cos 4尤4 4\.a>b> c B.a> c>b C.c> a>b D.c>b> a 12. 已知函数/■(x) = "‘x>°，若函数g(x) = f(f(x))-2恰有5个零点，且最小的零点小于则。

2018年河南省高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知a∈R，复数z=，若=z，则a=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣22．（5分）已知集合M={x|≤0}，N={x|y=log3（﹣6x2+11x﹣4）}，则M∩N=（）A．[1，]B．（，3]C．（1，）D．（，2）3．（5分）某城市收集并整理了该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：℃）的数据，绘制了下面的折线图．已知该市的各月最低气温与最高气温具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论错误的是（）A．最低气温与最高气温为正相关B．10月的最高气温不低于5月的最高气温C．月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月D．最低气温低于0℃的月份有4个4．（5分）在等比数列{a n}中，若a2=，a3=，则=（）A．B．C．D．25．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，褒七尺，高八尺，问积几何？”其意思为：“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长，宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为（）A．128π平方尺B．138π平方尺 C．140π平方尺 D．142π平方尺6．（5分）定义[x]表示不超过x的最大整数，（x）=x﹣[x]，例如[2.1]=2，（2.1）=0.1，执行如图所示的程序框图，若输入的x=5.8，则输出的z=（）A．﹣1.4 B．﹣2.6 C．﹣4.6 D．﹣2.87．（5分）若对于任意x∈R都有f（x）+2f（﹣x）=3cosx﹣sinx，则函数f（2x）图象的对称中心为（）A．（k∈Z）B．（k∈Z）C．（k ∈Z）D．（k∈Z）8．（5分）设x，y满足约束条件，若z=﹣ax+y取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）A．2或﹣3 B．3或﹣2 C．﹣或D．﹣或29．（5分）函数f（x）=的部分图象大致是（）A．B．C．D．10．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．20+12+2B．20+6+2C．20+6+2D．20+12+2 11．（5分）设椭圆E：的一个焦点为F（1，0），点A（﹣1，1）为椭圆E内一点，若椭圆E上存在一点P，使得|PA|+|PF|=9，则椭圆E的离心率的取值范围是（）A． B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）=lnx+（2e2﹣a）x﹣，其中e是自然对数的底数，若不等式f（x）≤0恒成立，则的最小值为（）A．﹣B．﹣C．﹣ D．﹣二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）在△ABC中，|+|=|﹣|，||=2，则•=14．（5分）已知（1+x）（a﹣x）6=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，a∈R，若a0+a1+a2+…+a6+a7=0，则a3=．15．（5分）已知S n为数列{a n}的前n项和，a1=1，当n≥2时，恒有ka n=a n S n﹣S成立，若S99=，则k=．16．（5分）设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线分别交于点A，B，且A（m，18）在第一象限，若△ABF2为等边三角形，则双曲线的实轴长为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）如图，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=4，b=2，2ccosC=b，D，E分别为线段BC上的点，且BD=CD，∠BAE=∠CAE．（1）求线段AD的长；（2）求△ADE的面积．18．（12分）某班为了活跃元旦气氛，主持人请12位同学做一个游戏，第一轮游戏中，主持人将标有数字1到12的十二张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一张卡片，取的标有数字7到12的卡片的同学留下，其余的淘汰；第二轮将标有数字1到6的六张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一张卡片，取到标有数字4到6的卡片的同学留下，其余的淘汰；第三轮将标有数字1，2，3的三张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取得一张卡片，取到标有数字2，3的卡片的同学留下，其余的淘汰；第四轮用同样的办法淘汰一位同学，最后留下的这位同学获得一个奖品．已知同学甲参加了该游戏．（1）求甲获得奖品的概率；（2）设X为甲参加游戏的轮数，求X的分布列和数学期望．19．（12分）如图，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，AC的中点，B1E ⊥平面ABC，△AB1C是等边三角形，AB=2A1B1，AC=2BC，∠ACB=90°．（1）证明：B1C∥平面A1DE；（2）求二面角A﹣BB1﹣C的正弦值．20．（12分）已知抛物线E：y2=2px（p＞0），斜率为k且过点M（3，0）的直线l与E交于A，B两点，且，其中O为坐标原点．（1）求抛物线E的方程；（2）设点N（﹣3，0），记直线AN，BN的斜率分别为k1，k2，证明：为定值．21．（12分）已知函数f（x）=（x+1）e ax（a≠0），且x=是它的极值点．（1）求a的值；（2）求f（x）在[t﹣1，t+1]上的最大值；（3）设g（x）=f（x）+2x+3xlnx，证明：对任意x1，x2∈（0，1），都有|g（x1）﹣g（x2）|＜++1．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为（m为参数），设l1与l2的交点为p，当k变化时，p的轨迹为曲线c1（Ⅰ）写出C1的普通方程及参数方程；（Ⅱ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线C2的极坐标方程为，Q为曲线C1上的动点，求点Q到C2的距离的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）=|x+a|（a∈R）．（1）若f（x）≥|2x+3|的解集为[﹣3，﹣1]，求a的值；（2）若∀x∈R，不等式f（x）+|x﹣a|≥a2﹣2a恒成立，求实数a的取值范围．2018年河南省高考数学一诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知a∈R，复数z=，若=z，则a=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【解答】解：z===+a﹣1=（a﹣1）﹣（a+1）i，则=（a﹣1）+（a+1）i，∵=z，∴a+1=0，得a=﹣1，故选：B．2．（5分）已知集合M={x|≤0}，N={x|y=log3（﹣6x2+11x﹣4）}，则M∩N=（）A．[1，]B．（，3]C．（1，）D．（，2）【解答】解：∵集合M={x|≤0}={x|1＜x≤3}，N={x|y=log3（﹣6x2+11x﹣4）}={x|﹣6x2+11x﹣4＞0}={x|}，∴M∩N={x|1＜x≤3}∩{x|}=（1，）．故选：C．3．（5分）某城市收集并整理了该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：℃）的数据，绘制了下面的折线图．已知该市的各月最低气温与最高气温具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论错误的是（）A．最低气温与最高气温为正相关B．10月的最高气温不低于5月的最高气温C．月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月D．最低气温低于0℃的月份有4个【解答】解：由该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：℃）的数据的折线图，得：在A中，最低气温与最高气温为正相关，故A正确；在B中，10月的最高气温不低于5月的最高气温，故B正确；在C中，月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月，故C正确；在D中，最低气温低于0℃的月份有3个，故D错误．故选：D．4．（5分）在等比数列{a n}中，若a2=，a3=，则=（）A．B．C．D．2【解答】解：∵在等比数列{a n}中，若a2=，a3=，∴公比q===，∴=，∴===．故选：A．5．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，褒七尺，高八尺，问积几何？”其意思为：“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长，宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为（）A．128π平方尺B．138π平方尺 C．140π平方尺 D．142π平方尺【解答】解：∵今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长，宽分别为7尺和5尺，高为8尺，∴构造一个长方体，其长、宽、高分别为7尺、5尺、8尺，则这个这个四棱锥的外接球就是这个长方体的外接球，∴这个四棱锥的外接球的半径R==（尺），∴这个四棱锥的外接球的表面积为S=4π×R2==138π（平方尺）．故选：B．6．（5分）定义[x]表示不超过x的最大整数，（x）=x﹣[x]，例如[2.1]=2，（2.1）=0.1，执行如图所示的程序框图，若输入的x=5.8，则输出的z=（）A．﹣1.4 B．﹣2.6 C．﹣4.6 D．﹣2.8【解答】解：模拟程序的运行，可得x=5.8y=5﹣1.6=3.4x=5﹣1=4满足条件x≥0，执行循环体，x=1.7，y=1﹣1.4=﹣0.4，x=1﹣1=0满足条件x≥0，执行循环体，x=﹣0.2，y=﹣1﹣1.6=﹣2.6，x=﹣1﹣1=﹣2不满足条件x≥0，退出循环，z=﹣2+（﹣2.6）=﹣4.6．输出z的值为﹣4.6．故选：C．7．（5分）若对于任意x∈R都有f（x）+2f（﹣x）=3cosx﹣sinx，则函数f（2x）图象的对称中心为（）A．（k∈Z）B．（k∈Z）C．（k ∈Z）D．（k∈Z）【解答】解：∵对任意x∈R，都有f（x）+2f（﹣x）=3cosx﹣sinx ①，用﹣x代替x，得f（﹣x）+2f（x）=3cos（﹣x）﹣sin（﹣x）②，即f（﹣x）+2f（﹣x）=3cosx+sinx②；由①②组成方程组，解得f（x）=sinx+cosx，∴f（x）=sin（x+），∴f（2x）=sin（2x+）．令2x+=kπ，k∈Z，求得x=﹣，故函数f（2x）图象的对称中心为（﹣，0），k∈Z，故选：D．8．（5分）设x，y满足约束条件，若z=﹣ax+y取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）A．2或﹣3 B．3或﹣2 C．﹣或D．﹣或2【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分OAB）．由z=y﹣ax得y=ax+z，即直线的截距最大，z也最大．若a=0，此时y=z，此时，目标函数只在A处取得最大值，不满足条件，若a＞0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＞0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z与直线2x﹣y=0平行，此时a=2，若a＜0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＜0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z与直线x+y=1平行，此时a=﹣3，综上a=﹣3或a=2，故选：A．9．（5分）函数f（x）=的部分图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣）∪（﹣，）∪（，+∞）f（﹣x）===f（x），∴f（x）为偶函数，∴f（x）的图象关于y轴对称，故排除A，令f（x）=0，即=0，解得x=0，∴函数f（x）只有一个零点，故排除D，当x=1时，f（1）=＜0，故排除C，综上所述，只有B符合，故选：B．10．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．20+12+2B．20+6+2C．20+6+2D．20+12+2【解答】解：由三视图可知该几何体为侧放的四棱锥，棱锥的底面为矩形ABCD，底面与一个侧面PBC垂直，PB=PC=4，AB=3．S ABCD=3×=12，S△PBC=，S△PCD=S△PBA=，△PAD中AP=PD=5，AD=4，∴AD边上的高为，=，∴S△PAD则该几何体的表面积为12+8+6+6+2=12+20+2，故选：D11．（5分）设椭圆E：的一个焦点为F（1，0），点A（﹣1，1）为椭圆E内一点，若椭圆E上存在一点P，使得|PA|+|PF|=9，则椭圆E的离心率的取值范围是（）A． B．C．D．【解答】解：记椭圆的左焦点为F1（﹣1，0），则|AF1|=1，∵|PF1|≤|PA|+|AF1|，∴2a=|PF1|+|PF|≤|PA|+|AF1|+|PF|≤1+9=10，即a≤5；∵|PF1|≥|PA|﹣|AF1|，∴2a=|PF1|+|PF|≥|PA|﹣|AF1|+|PF|≥9﹣1=8，即a≥4，∴4≤a≤5，∴故选：C．12．（5分）已知函数f（x）=lnx+（2e2﹣a）x﹣，其中e是自然对数的底数，若不等式f（x）≤0恒成立，则的最小值为（）A．﹣B．﹣C．﹣ D．﹣【解答】解：∵函数f（x）=lnx+（2e2﹣a）x﹣，其中e为自然对数的底数，∴f′（x）=+（2e2﹣a），x＞0，当a≤2e2时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上是增函数，∴f（x）≤0不可能恒成立，当a＞2e2时，由f′（x）=0，得x=，∵不等式f（x）≤0恒成立，∴f（x）的最大值为0，当x∈（0，）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，∴当x=时，f（x）取最大值，f（）=﹣ln（a﹣2e2）﹣b﹣1≤0，∴ln（a﹣2e2）+b+1≥0，∴b≥﹣1﹣ln（a﹣2e2），∴•≥（a＞2e2），令F（x）=，x＞2e2，F′（x）==，令H（x）=（x﹣2e2）ln（x﹣2e2）﹣2e2，H′（x）=ln（x﹣2e2）+1，由H′（x）=0，得x=2e2+，当x∈（2e2+，+∞）时，H′（x）＞0，H（x）是增函数，x∈（2e2，2e2+）时，H′（x）＜0，H（x）是减函数，∴当x=2e2+时，H（x）取最小值H（2e2+）=﹣2e2﹣，∵x→2e2时，H（x）→0，x＞3e2时，H（x）＞0，H（3e2）=0，∴当x∈（2e2，3e2）时，F′（x）＜0，F（x）是减函数，当x∈（3e2，+∞）时，F′（x）＞0，F（x）是增函数，∴x=3e2时，F（x）取最小值，F（3e2）==﹣，∴•的最小值为﹣，即有的最小值为﹣．故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）在△ABC中，|+|=|﹣|，||=2，则•=﹣4【解答】解：在△ABC中，|+|=|﹣|，可得|+|2=|﹣|2，即有2+2+2•=2+2﹣2•，即为•=0，则△ABC为直角三角形，A为直角，则•=﹣•=﹣||•||•cosB=﹣||2=﹣4．故答案为：﹣4．14．（5分）已知（1+x）（a﹣x）6=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，a∈R，若a0+a1+a2+…+a6+a7=0，则a3=﹣5．【解答】解：（1+x）（a﹣x）6=a0+a1x+a2x2+…+a7x7中，令x=1得，a0+a1+…+a7=2•（a﹣1）6=0，解得a=1，而a3表示x3的系数，所以a3=C63•（﹣1）3+C62•（﹣1）2=﹣5．故答案为：﹣5．15．（5分）已知S n为数列{a n}的前n项和，a1=1，当n≥2时，恒有ka n=a n S n﹣S成立，若S99=，则k=2．【解答】解：当n≥2时，恒有ka n=a n S n﹣S成立，）=﹣S，即为（k﹣S n）（S n﹣S n﹣1化为﹣=，可得=1+，可得S n=．由S99=，可得=，解得k=2．故答案为：2．16．（5分）设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线分别交于点A，B，且A（m，18）在第一象限，若△ABF2为等边三角形，则双曲线的实轴长为2．【解答】解：根据双曲线的定义，可得|AF1|﹣|AF2|=2a，∵△ABF2是等边三角形，即|AF2|=|AB|，∴|BF1|=2a，又∵|BF2|﹣|BF1|=2a，∴|BF2|=|BF1|+2a=4a，∵△BF1F2中，|BF1|=2a，|BF2|=4a，∠F1BF2=120°，∴|F1F2|2=|BF1|2+|BF2|2﹣2|BF1|•|BF2|cos120°，即4c2=4a2+16a2﹣2×2a×4a×（﹣）=28a2，解得c2=7a2，b2=6a2，由双曲线的第二定义可得===，则m=，由A在双曲线上，可得﹣=1，解得a=，则2a=2．故答案为：2．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）如图，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=4，b=2，2ccosC=b，D，E分别为线段BC上的点，且BD=CD，∠BAE=∠CAE．（1）求线段AD的长；（2）求△ADE的面积．【解答】解：（1）根据题意，b=2，c=4，2ccosC=b，则cosC==；又由cosC===，解可得a=4，即BC=4，则CD=2，在△ACD中，由余弦定理得：AD2=AC2+CD2﹣2AC•CDcosC=6，则AD=；（2）根据题意，AE平分∠BAC，则==，变形可得：CE=BC=，cosC=，则sinC==，S△ADE=S△ACD﹣S△ACE=×2×2×﹣×2××=．18．（12分）某班为了活跃元旦气氛，主持人请12位同学做一个游戏，第一轮游戏中，主持人将标有数字1到12的十二张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一张卡片，取的标有数字7到12的卡片的同学留下，其余的淘汰；第二轮将标有数字1到6的六张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一张卡片，取到标有数字4到6的卡片的同学留下，其余的淘汰；第三轮将标有数字1，2，3的三张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取得一张卡片，取到标有数字2，3的卡片的同学留下，其余的淘汰；第四轮用同样的办法淘汰一位同学，最后留下的这位同学获得一个奖品．已知同学甲参加了该游戏．（1）求甲获得奖品的概率；（2）设X为甲参加游戏的轮数，求X的分布列和数学期望．【解答】解：（1）设甲获得奖品为事件A，在每轮游戏中，甲留下的概率与他摸卡片的顺序无关，则．（2）随机变量X的取值可以为1，2，3，4．，，，．X的分布列为随机变量X的概率分布列为：所以数学期望．19．（12分）如图，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，AC的中点，B1E⊥平面ABC，△AB1C是等边三角形，AB=2A1B1，AC=2BC，∠ACB=90°．（1）证明：B1C∥平面A1DE；（2）求二面角A﹣BB1﹣C的正弦值．【解答】证明：（1）因为A1B1∥AB，AB=2A1B1，D为棱AB的中点，所以A1B1∥BD，A1B1=BD，所以四边形A1B1BD为平行四边形，从而BB1∥A1D．又BB1⊄平面A1DE，A1D⊂平面A1DE，所以B1B∥平面A1DE，因为DE是△ABC的中位线，所以DE∥BC，同理可证，BC∥平面A1DE．因为BB1∩BC=B，所以平面B1BC∥平面A1DE，又B1C⊂平面B1BC，所以B1C∥平面A1DE．解：（2）以ED，EC，EB1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系E﹣xyz，设BC=a，则A（0，﹣a，0），B（a，a，0），C（0，a，0），，则，．设平面ABB1的一个法向量，则，即，取z 1=1，得．同理，设平面BB 1C的一个法向量，又，，由，得，取z=﹣1，得，所以，故二面角A﹣BB1﹣C的正弦值为：=．20．（12分）已知抛物线E：y2=2px（p＞0），斜率为k且过点M（3，0）的直线l与E交于A，B两点，且，其中O为坐标原点．（1）求抛物线E的方程；（2）设点N（﹣3，0），记直线AN，BN的斜率分别为k1，k2，证明：为定值．【解答】解：（1）根据题意，设直线l的方程为y=k（x﹣3），联立方程组得，设A（x1，y1），B（x2，y2），所以，y1y2=﹣6p，又，所以p=2，从而抛物线E的方程为y2=4x．（2）证明：因为，，所以，，因此==，又，y1y2=﹣6p=﹣12，所以，即为定值．21．（12分）已知函数f（x）=（x+1）e ax（a≠0），且x=是它的极值点．（1）求a的值；（2）求f（x）在[t﹣1，t+1]上的最大值；（3）设g（x）=f（x）+2x+3xlnx，证明：对任意x1，x2∈（0，1），都有|g（x1）﹣g（x2）|＜++1．【解答】解：（1）f（x）=（x+1）e ax（a≠0）的导数f′（x）=e ax+a（x+1）e ax=（ax+a+1）e ax，因为是f（x）的一个极值点，所以，所以a=﹣3．（2）由（1）知f（x）=（x+1）e﹣3x，f′（x）=（﹣3x﹣2）e﹣3x，易知f（x）在上递增，在上递减，当，即时，f（x）在[t﹣1，t+1]上递增，；当，即时，f（x）在[t﹣1，t+1]上递减，；当，即时，．（3）证明：g（x）=（x+1）e﹣3x+2x+3xlnx，设g（x）=m1（x）+m2（x），x∈（0，1），其中，m2（x）=3xlnx，则，设h（x）=（﹣3x﹣2）e﹣3x+2，则h'（x）=（9x+3）e﹣3x＞0，可知m1'（x）在（0，1）上是增函数，所以m1'（x）＞m1'（0）=0，即m1（x）在（0，1）上是增函数，所以．又m2'（x）=3（1+lnx），由m2'（x）＞0，得；由m2'（x）＜0，得，所以m2（x）在上递减，在上递增，所以，从而．所以，对任意x1，x2∈（0，1），．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为（m为参数），设l1与l2的交点为p，当k变化时，p的轨迹为曲线c1（Ⅰ）写出C1的普通方程及参数方程；（Ⅱ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线C2的极坐标方程为，Q为曲线C1上的动点，求点Q到C2的距离的最小值．【解答】解：（Ⅰ）将参数方程转化为一般方程，①，②①×②消k可得：．即P的轨迹方程为．C1的普通方程为．C1的参数方程为（α为参数α≠kπ，k∈Z）．（Ⅱ）由曲线C2：，得：，即曲线C2的直角坐标方程为：x+y﹣8=0，由（Ⅰ）知曲线C1与直线C2无公共点，曲线C1上的点到直线x+y﹣8=0的距离为：，所以当时，d的最小值为．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）=|x+a|（a∈R）．（1）若f（x）≥|2x+3|的解集为[﹣3，﹣1]，求a的值；（2）若∀x∈R，不等式f（x）+|x﹣a|≥a2﹣2a恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）f（x）≥|2x+3|即|x+a|≥|2x+3|，平方整理得：3x2+（12﹣2a）x+9﹣a2≤0，所以﹣3，﹣1是方程3x2+（12﹣2a）x+9﹣a2=0的两根，…2分由根与系数的关系得到…4分解得a=0…5分（2）因为f（x）+|x﹣a|≥|（x+a）﹣（x﹣a）|=2|a|…7分所以要不等式f（x）+|x﹣a|≥a2﹣2a恒成立只需2|a|≥a2﹣2a…8分当a≥0时，2a≥a2﹣2a解得0≤a≤4，当a＜0时，﹣2a≥a2﹣2a此时满足条件的a不存在，综上可得实数a的范围是0≤a≤4…10分。

2018 年河南省高考数学一模试卷（理科）一、选择题（此题共12 小题，每题 5 分，共 60 分）1．（5 分）已知会合 A={ x| x2﹣ 2x﹣3＞0} ，B=N，则会合（ ?R A）∩ B 中元素的个数为（）A．2B．3C．4D．52．（ 5 分）若复数（a∈R，i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（）A．﹣ 6B．13C．D．3．（ 5 分）已知 f（x）=sinx﹣tanx，命题 p：? x0∈（ 0，），f （x0）＜0，则（）A．p 是假命题，￢ p：? x∈（ 0，），f（x）≥ 0B．p 是假命题，￢ p：? x0∈（ 0，），f（x0）≥ 0C．p 是真命题，￢ p：? x∈（ 0，），f（x）≥ 0D．p 是真命题，￢ p：? x0∈（ 0，），f（x0）≥ 04．（5 分）已知程序框图如图，则输出i 的值为（）A．7B．9C．11D．135．（5 分） 2018 年元旦假期，高三的8 名同学准备拼车去旅行，此中（1）班、（2）班，（3）班、（4）班每班各两名，分乘甲乙两辆汽车，每车限坐4 名同学（乘同一辆车的4 名同学不考虑地点），此中（1）班两位同学是孪生姐妹，需乘同一辆车，则乘坐甲车的 4 名同学中恰有 2 名同学是来自同一个班的乘坐方式共有（）A．18 种B．24 种C．48 种D．36 种6．（5 分）《九章算术》是我国古代数学名著，在《九章算术》中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，若某阳马”的三视图如下图，此中正视图和侧视图是腰长为 1 的两个全等的等腰直角三角形，则该“阳马”的表面积为（）A．1+B．1+2C．2+D．2+27．（5 分）设不等式组表示的平面地区为D，若圆 C：（x+1）2+y2=r2（r ＞0）不经过地区 D 上的点，则 r 的取值范围为（）A．（0，）∪（，+∞）B．（，+∞）C．（0，）D．[，]8．（5 分）若等边三角形ABC的边长为 3，平面内一点 M 知足 6﹣3=2，则?的值为（）A．﹣B．﹣ 2C．2D．9．（ 5 分）对于函数 f（x）=3sin（ 2x﹣）+1（x∈R），以下命题正确的选项是（）A．由 f（ x1）=f（ x2） =1 可得 x1﹣ x2是π的整数倍B．y=f（x）的表达式可改写成f（ x） =3cos（2x+）+1C．y=f（x）的图象对于点（，1）对称D．y=f（x）的图象对于直线x=﹣对称10．（ 5 分）设函数 f（x）=mx2﹣mx﹣1，若对于 x∈[ 1， 3] ，f （x）＜﹣ m+4 恒成立，则实数 m 的取值范围为（）A．（﹣∞， 0]B．C．D．11．（ 5 分）设双曲线的方程为﹣=1（a＞0，b＞0），若双曲线的渐近线被圆 M ：x2+y2﹣10x=0 所截得的两条弦长之和为12，已知△ ABP的极点 A，B 分别为双曲线的左、右焦点，极点 P 在双曲线上，则的值等于（）A．B．C．D．12．（ 5 分）已知定义在R 上的函数 f（ x）和 g（x）分别知足 f（x）=，e2x﹣2+x2﹣ 2f（0）?x，g′（x）+2g（ x）＜ 0，则以下不等式恒成立的是（）A．g（2016）＜ f（2）?g（ 2018）B．f （2）?g（ 2016）＜ g（ 2018）C．g（2016）＞ f （2）?g（ 2018）D．f（2）?g（ 2016）＞ g（2018）二、填空题（此题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分）13．（ 5 分）设 a=（cosx﹣sinx）dx，则二项式（a﹣）6的睁开式中含x2项的系数为．14．（ 5 分）若函数 f （x）=（a，b∈R）为奇函数，则f（a+b）的值为．15．（ 5 分）已知三棱柱 ABC﹣ A1B1C1的底面是正三角形，侧棱AA1⊥底面 ABC，如有一半径为 2 的球与三棱柱的各条棱均相切，则AA1的长度为．16．（ 5 分）如图， OA，OB 为扇形湖面 OAB 的湖岸，现欲利用渔网和湖岸在湖中隔出两个养殖区﹣地区I 和地区Ⅱ，点 C 在上，∠ COA=θ，CD∥OA，其中，半径 OC及线段 CD 需要用渔网制成．若∠ AOB=，OA=1，则所需渔网的最大长度为．三、解答题（共70 分）17．（ 12 分）已知 S n为数列 { a n} 的前 n 项和，且 a1＜2，a n＞0， 6S n=+3a n+2，n∈N* ．（ 1）求数列 { a n} 的通项公式；（ 2）若对 ? n∈ N* ，b n（﹣）n ，求数列 { b n 的前2n 项的和2n ．=1 } T18．（12 分）如下图，在四棱锥 P﹣ABCD中，底面 ABCD为直角梯形， AB∥CD，∠BAD=90°，DC=DA=2AB=2 ，点 E 为 AD 的中点，BD∩ CE=H，PH⊥平面 ABCD，且 PH=4．（1）求证： PC⊥BD；（ 2）线段 PC上能否存在一点 F，使二面角 B﹣DF﹣ C 的余弦值是？若存在，请找出点 F 的地点；若不存在，请说明原因．19．（ 12 分）某地域为认识学生学业水平考试的状况，从参加学业水平考试的学生中抽出 160 名，其数学构成绩（均为整数）的频次散布直方图如下图．（ 1）预计此次考试数学成绩的均匀分和众数；（ 2）假定在（ 90，100] 段的学生中有 3 人得满分 100 分，有 2 人得 99 分，其他学生的数学成绩都不同样．现从 90 分以上的学生中任取 4 人，不一样分数的个数为 ξ，求 ξ的散布列及数学希望 E （ξ）．20．（12 分）已知椭圆 C 1： +=1（a ＞b ＞0）的离心率为 ，右焦点 F 是抛物线 C 2：y 2=2px （p ＞0）的焦点，点（ 2，4）在抛物线 C 2 上．（ 1）求椭圆 C 1 的方程；（ 2）已知斜率为 k 的直线 l 交椭圆 C 1 于 A ，B 两点， M （ 0，2），直线 AM 与 BM的斜率乘积为﹣ ，若在椭圆上存在点 N ，使| AN| =| BN| ，求△ ABN 的面积的最小值．21．（ 12 分）已知函数 f （x ）=ae x +x 2﹣bx （a ，b ∈ R ），其导函数为 y=f ′（ x ）．（ 1）当 b=2 时，若函数 y=f ′（ x ）在 R 上有且只有一个零点，务实数 a 的取值范围；（ 2）设 a ≠0，点 P （m ， n ）（m ， n ∈ R ）是曲线 y=f （x ）上的一个定点，能否存在实数 x 0（ 0≠ m ）使得 f （ 0）﹣ n=f （′）（ 0﹣ m ）成立？并证明你x xx的结论．[ 选修 4-4：坐标系与参数方程选讲 ]22．（ 10 分）在直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 1：（ t 为参数）， l 2：（t 为参数），此中 α∈（ 0，），以原点 O 为极点， x 轴第 5页（共 25页）非负半轴为极轴，取同样长度单位成立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为ρ﹣4cosθ=0．（1）写出 l1， l2的极坐标方程和曲线 C 的直角坐标方程；（2）设 l1，l 2分别与曲线 C 交于点 A，B（非坐标原点），求 | AB| 的值．[ 选修 4-5：不等式选讲 ]23．设函数 f （x）=| x﹣a| （ a＞ 0）．（1）当 a=2 时，解不等式 f（x）≥ 1﹣ 2x；（2）已知 f（x）+| x﹣1| 的最小值为 3，且 m2n=a（ m＞0，n＞0），求 m+n 的最小值．2018 年河南省高考数学一模试卷（理科）参照答案与试题分析一、选择题（此题共12 小题，每题 5 分，共 60 分）1．【剖析】可先求出会合A={ x| x＜﹣ 1，或 x＞3} ，而后进行交集、补集的运算即可．【解答】解： A={ x| x＜﹣ 1，或 x＞3} ；∴?R A={ x| ﹣1≤x≤3} ；∴（ ?R A）∩ B={ 0，1，2，3} ．应选： C．【评论】考察一元二次不等式的解法，以及描绘法、列举法表示会合的观点，交集和补集的运算．2．【剖析】利用复数的除法运算化简为a+bi（a，b∈R）的形式，由实部等于0 且虚部不等于求解 a 的值．【解答】解：由复数==是纯虚数，则，解得 a=﹣6．应选： A．【评论】此题考察了复数代数形式的乘除运算，考察了复数的基本观点，是基础的计算题．3．第 7页（共 25页）否认是全称命题写出结果．【解答】解：f（ x）=sinx﹣tanx，x∈（ 0，），当x=时，∴ f（x）=，命题 p：? x0∈（ 0，），f（x0）＜0，是真命题，命题 p：? x0∈（ 0，），f（x0）＜0，则￢p：? x∈（0，），f（x）≥ 0．应选： C．【评论】此题考察命题的否认，特称命题与全称命题的否认关系，基本知识的考察．4．【剖析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 i 的值，模拟程序的运转过程，可得答案．【解答】解：当 S=1时，不知足退出循环的条件，故S=1，i=3；当 S=1时，不知足退出循环的条件，故 S=3，i=5；当S=3时，不知足退出循环的条件，故 S=15， i=7；当S=15时，不知足退出循环的条件，故 S=105，i=9；当 S=105时，不知足退出循环的条件，故 S=945， i=11；当S=945时，不知足退出循环的条件，故 S=10395，i=13；当S=10395时，知足退出循环的条件，故输出的 i=13，应选： D．【评论】此题考察的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采纳模拟循环的方法解答．5．【剖析】分类议论，第一类，一班的 2 名同学在甲车上；第二类，一班的2 名同学不在甲车上，再利用组合知识，问题得以解决．【解答】解：由题意，第一类，一班的 2 名同学在甲车上，甲车上剩下两个要来自不一样的班级，从三个班级中选两个为C2=3，而后分别从选择的班级中再选第 8页（共 25页）择一个学生为 C21C21=4，故有 3×4=12 种．第二类，一班的 2 名同学不在甲车上，则从剩下的 3 个班级中选择一个班级的两名同学在甲车上，为 C31=3，而后再从剩下的两个班级中分别选择一人为C21C21=4，这时共有 3×4=12 种，依据分类计数原理得，共有 12+12=24 种不一样的搭车方式，应选： B．【评论】此题考察计数原理的应用，考察组合知识，考察学生的计算能力，属于中档题．6．【剖析】由三视图知该几何体是侧棱垂直于底面的四棱锥，画出图形联合图形求出它的表面积．【解答】解：由三视图知该几何体是侧棱垂直于底面的四棱锥，如下图；正视图和侧视图是腰长为 1 的两个全等的等腰直角三角形，∴四棱锥的底面是正方形，且边长为1，此中一条侧棱 PD⊥底面 ABCD，且侧棱 AD=1，∴四棱锥的四个侧面都为直角三角形，且 PA=PC= ，∴四棱锥的表面积为S=S底面ABCD+2S△SAD+2S△SAB=1+2××1×1+2××1×=2+．应选： C．【评论】此题考察了利用空间几何体的三视图求几何体表面积的应用问题，是基础题．7．【剖析】作出题中不等式组表示的平面地区，获得如图的△MNP 及其内部，而圆 C 表示以（﹣ 1，﹣1）为圆心且半径为 r 的圆．察看图形，可得半径r ＜CM或 r＞CP 时，圆 C 不经过地区 D 上的点，由此联合平面内两点之间的距离公式，即可获得 r 的取值范围．【解答】解：作出不等式组表示的平面地区，获得如图的△ MNP 及其内部，此中M（1，1）， N（2，2），P（1，3）∵圆 C：（x+1）2 +y2=r2（r ＞0）表示以 C（﹣ 1，0）为圆心，半径为r的圆，∴由图可得，当半径知足r＜ CM 或 r＞CP时，圆 C 不经过地区 D 上的点，∵CM==，CP==．∴当 0＜r ＜或r＞时，圆C不经过地区D上的点，应选： A．【评论】此题给出动圆不经过已知不等式组表示的平面地区，求半径r的取值范围．侧重考察了圆的标准方程、平面内两点间的距离公式、二元一次不等式组表示的平面地区等知识，属于中档题．8．【剖析】依据条件可先求出，而由即可得出，这样即可用分别表示出，而后进行数目积的运算即可．【解答】 解：等边三角形 ABC 的边长为 3；∴；；∴；∴==，=；∴= ==﹣2．应选： B ．【评论】考察向量数目积的运算及计算公式， 以及向量的数乘运算， 向量加法的几何意义．9．【剖析】依据函数 f （ x ）=3sin （ 2x ﹣ ）+1（ x ∈ R ），联合三角函数的性质即可 判断各选项．【解答】 解：函数 f （x ） =3sin （2x ﹣ ）+1（x ∈R ），周期 T=，对于 A ：由 f （ x 1） =f （ 2） ，x =1可能 x 1 与 x 2 对于此中一条对称轴是对称的，此时 x 1﹣x 2 不是 π的整数倍；∴ A不对．对于 B ：由引诱公式， 3sin （2x ﹣ ） +1=3cos[ ﹣（ 2x ﹣ ） ]+ 1=3cos （ 2x﹣）+1．∴ B 不对．第11页（共 25页）∴C不对，对于 D：当 x=﹣时，可得f（）=3sin（﹣﹣）+1=﹣1×3+1=﹣2，f（x）的图象对于直线x=﹣对称．应选： D．【评论】此题主要考察利用y=Asin（ωx+φ）的信息特点，判断各选项的正误，属于中档题．10．【剖析】利用分别参数法，再求出对应函数在x∈ [ 1，3] 上的最大值，即可求m 的取值范围．【解答】解：由题意， f（x）＜﹣ m+4，可得 m（ x2﹣x+1）＜ 5．∵当 x∈[ 1， 3] 时， x2﹣x+1∈[ 1，7] ，∴不等式 f（ x）＜ 0 等价于 m＜．∵当 x=3 时，的最小值为，∴若要不等式 m＜恒成立，则一定 m＜，所以，实数 m 的取值范围为（﹣∞，），应选： D．【评论】此题考察恒成立问题，考察分别参数法的运用，解题的要点是分别参数，正确求最值，属于中档题．11．【剖析】依据垂径定理求出圆心到直线的距离为d=4，再依据点到直线的距离公式可得=4，获得5b=4c，即可求出a= c ，依据正弦定理可得第12页（共 25页）== =【解答】解：双曲线的一条渐近线方程为y=x，双曲线的渐近线被圆M ：x2+y2﹣ 10x=0，即（x﹣ 5）2+y2=25 所截得的两条弦长之和为 12，设圆心到直线的距离为d，则 d==4，∴=4，即 5b=4c，即 b= c∵ a2=c2﹣ b2=c2，∴a= c，∴| AP﹣BP| =2a，由正弦定理可得∴sinB= ， sinA====2R，，sinP=，∴== =，应选： C．【评论】此题考察了双曲线的简单性质以及圆的相关性质和正弦定理，属于中档题12．【剖析】 f（x）=2x﹣2 2﹣ 2f（0）?x，令 x=0，则 f （0）= ．由 f ′e +x（x）=f （′1）?e2x﹣2+2x﹣2f（0），令 x=1，可得 f（0）．从而得出 f （′1），f（ x），（）．令（）2x （），及其已知2x[ g′f 2h x =e g x g′（x）+2g（x）＜0，可得 h′（x）=e （x）+2g（x）] ＜0，利用函数 h（ x）在 R 上单一递减，即可得出．【解答】解： f（x） =2x﹣ 2 2e +x ﹣2f（ 0） ?x，令 x=0，则 f（0）=．∵f （′ x）=f ′（1）?e2x﹣2+2x﹣ 2f（0），令 x=1，则 f ′（ 1） =f ′（1）+2﹣2f（0），解得 f（ 0） =1．∴ f （′ 1） =2e2．∴ f（x）=e2x+x2﹣2x，∴f（2）=e4．令 h（x） =e2x g（x），∵ g′（x） +2g（x）＜ 0，∴h′（x） =e2x g′（x）+2e2x g（ x） =e2x[ g′（ x）+2g（ x） ] ＜ 0，∴函数 h（ x）在 R 上单一递减，∴ h（2016）＞ h（ 2018），∴e2016×2g（2016）＞ e2018×2g（ 2018），可得： g（2016）＞ e4g（2018）．∴g（ 2016）＞ f（ 2）g（2018）．应选： C．【评论】此题考察了利用导数研究函数的单一性极值与最值、结构法、方程与不等式的解法，考察了推理能力与计算能力，属于难题．二、填空题（此题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分）13．第14页（共 25页）出 r 的值，问题得以解决．【解答】解：因为 a= （cosx﹣sinx）dx=（ sinx+cosx）| =﹣ 1﹣ 1=﹣2，∴（﹣2 ﹣）6+ ）6的通项公式为r+1 6﹣r 6r 3﹣r ，=（2 T =2 C ?x令 3﹣r=2，求得 r=1，故含 x2项的系数为 26﹣1C61=192．故答案为： 192【评论】此题主要考察定积分、二项式定理的应用，二项式睁开式的通项公式，属于基础题．14．【剖析】由已知中函数f（ x）为奇函数， f（﹣ x）=﹣f（ x）恒成立，可得 a，b 的值，从而可得 f （a+b）的值．【解答】解：∵函数 f （x）==为奇函数，故 f（﹣ x） =﹣ f（ x）恒成立，故．即，∴ f（x）=，∴f（a+b） =f（1）=1﹣ 2=﹣1，故答案为：﹣ 1．【评论】此题考察的知识点是分段函数的应用，函数的奇偶性，函数求值，难度中档．15．【剖析】由题意求出正三棱柱的高、底面边长，即可求出AA1的长度．【解答】解：由题意，△ ABC的外接圆即为球的大圆，r=2，设底面△ ABC外接圆圆心 G，即 GA=GB=GC=2，从而正三角形 ABC边长 2 ，设球心 O，由题意， E、D 在球面上， OE=OD=2，F 为 DE中点，则 OF⊥DE， OF=GD= GC=1，在 Rt△OEF中， OE=2， OF=1，∴EF= ，∴ DE=2 ，∴AA1=2 ．故答案为： 2 ．【评论】此题考察正三棱柱的内切球与正三棱柱的关系，经过两者的关系求出正三棱柱的体积，考察计算能力，逻辑推理能力．16．【剖析】确立∠ COD，在△ OCD中利用正弦定理求得CD 的长度，依据所需渔网长度，即图中弧 AC、半径 OC和线段 CD长度之和，确立函数的分析式，利用导数确立函数的最值，求得所需渔网长度的最大值．【解答】解：由 CD∥OA，∠ AOB=，∠ AOC=θ，得∠ OCD=θ，∠ ODC=，∠COD=﹣θ；在△ OCD中，由正弦定理，得CD= sin（﹣θ），θ∈（0，），设渔网的长度为f（θ），可得 f （θ）=θ+1+ sin（﹣θ），所以 f ′（θ）=1﹣cos（﹣θ），因为θ∈（0，），所以﹣θ∈（ 0，），第16页（共 25页）令 f ′（θ）=0，得 cos（﹣θ）=，所以﹣θ= ，所以θ= ．θ（0，）（，）f （′θ）+0﹣f（θ）极大值所以 f （θ）∈（ 2，] ．故所需渔网长度的最大值为．【评论】此题考察了正弦定理的应用问题，也考察了函数模型的建立与最值应用问题，是难题．三、解答题（共70 分）17．【剖析】（1）6S n=+3a n+2，n∈N* ．n≥2 时， 6a n=6S n﹣6S n﹣1，化为（ a n+a n﹣1）（a n﹣ a n﹣1﹣3）=0，由 a n＞0，可得 a n﹣a n﹣1=3，n=1 时，6a1=+3a1+2，且a1＜2，解得 a1．利用等差数列的通项公式可得a n．（2） b n=（﹣ 1）n =（﹣ 1）n（3n﹣2）2． b2n﹣1+b2n=﹣（ 6n﹣ 5）2+（6n﹣ 2）2=3（12n﹣7）=36n﹣21．利用分组乞降即可得出．【解答】解：（1）6S n =+3a n+2， n∈N* ．n≥2 时， 6a n=6S n﹣6S n﹣1= +3a n +2﹣（+2），化为：（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣3）=0，∵a n＞0，∴ a n﹣ a n﹣1=3，n=1 时， 6a1= +3a1+2，且 a1＜2，解得 a1=1．∴数列 { a n} 是等差数列，首项为1，公差为 3．∴a n=1+3（ n﹣ 1）=3n﹣2．=（﹣ 1）n（3n﹣ 2）2．（ 2） b n =（﹣ 1）n∴b+b=﹣（ 6n﹣5）2+（6n﹣ 2）2=3（ 12n﹣7）=36n﹣21．第17页（共 25页）∴数列 { b n 的前2n 项的和 2n （）﹣21n=﹣ 2} T =36 1+2+ +n 21n=18n ﹣3n．【评论】此题考察了数列递推关系、等差数列的定义通项公式与乞降公式、分组乞降方法，考察了推理能力与计算能力，属于中档题．18．【剖析】（1）推导出△ BAD≌△ EDC，∠ DBA=∠DEH，从而 BD⊥EC，由 PH⊥平面 ABCD，得 BD⊥PH，由此能证明 BD⊥平面 PEC，从而 PC⊥ BD．（2）推导出 PH、 EC、BD 两两垂直，成立以 H 为坐标原点， HB、HC、HP 所在直线分别为 x，y， z 轴的坐标系，利用向量法能求出线段PC 上存在一点 F，当点 F 知足 CF=3时，二面角B﹣DF﹣C的余弦值是．【解答】证明：（1）∵ AB∥CD，∠ BAD=90°，∴∠ EDC=∠BAD=90°，∵DC=DA=2AB，E 为 AD 的中点，∴ AB=ED，∴△ BAD≌△ EDC，∴∠ DBA=∠DEH，∵∠ DBA+∠ADB=90°，∴∠ DEH+∠ADB=90°，∴ BD⊥EC，又∵ PH⊥平面 ABCD，BD? 平面 ABCD，∴ BD⊥PH，又∵ PH∩ EC=H，且 PH，EC? 平面 PEC，∴ BD⊥平面PEC，又∵ PC? 平面 PEC，∴ PC⊥BD．解：（ 2）由（ 1）可知△ DHE∽△ DAB，由题意得 BD=EC=5，AB=DE= ，∴，∴EH=1， HC=4，DH=2，HB=3，∵ PH、EC、BD 两两垂直，成立以 H 为坐标原点， HB、HC、HP 所在直线分别为x，y，z 轴的坐标系，H（0，0，0），B（3，0，0），C（0，4，0），D（﹣ 2，0，0），P（0，0，4），假定线段 PC上存在一点 F 知足题意，∵与共线，∴存在独一实数λ，（0≤λ≤ 1），知足 =λ，解得F（0，4﹣4λ， 4λ），设向量=（x，y， z）为平面 CPD的一个法向量，且=（0，﹣ 4，4），=（﹣2，﹣4，0），∴，取 x=2，得=（2，﹣ 1，﹣ 1），同理得平面 CPD的一个法向量=（0，λ，λ﹣1），∵二面角 B﹣DF﹣ C 的余弦值是，∴ | cos＜＞| ===，由 0≤λ≤ 1，解得λ=，∴=，∵CP=4 ，∴线段 PC上存在一点 F，当点 F 知足 CF=3时，二面角B﹣DF﹣C的余弦值是．【评论】此题考察线线垂直垂直的证明，考察二面角的余弦值的求法，考察空间中线线、线面、面面间的地点关系等基础知识，考察运算求解能力，考察函数与方程思想，是中档题．19．【剖析】（1）把组中值看作各小组的均匀数，依据加权均匀数公式计算；（ 2）依据组合数公式计算各样状况的概率，得出散布列．【解答】解：（1） =45×0.005×10+55×0.015×10+65× 0.02×10+75× 0.03×10+85×0.025×10+95× 0.005×10=72（分），众数为 75 分．（2） 90 分以上的人数为 160×0.005×10=8人．∴ξ的可能取值为 2， 3， 4，P（ξ =2）==，P（ξ =3）==，P（ξ =4）==．∴ξ的散布列为：ξ 2 3 4P∴ξ的数学希望是 E（ξ）=2× +3×+4×=．【评论】此题考察了频次散布直方图，失散型随机变量的散布列和数学希望，属于中档题．20．【剖析】（1）先求出 p 的值，即可求出 c 的值，依据离心率求出 a 的值，即可得到椭圆方程，（ 2）设直线 l 的方程为 y=kx+m，设 A（ x1，1），（2，2），由，yB x y依据直线 AM 与 BM 的斜率乘积为﹣，求出m=0，再依据弦长公式求出| AB|和| ON| ，表示出三角形的面积来，再利用二次函数的性质即可求出最小值．【解答】解：（1）∵点（ 2， 4）在抛物线 y2=2px 上，∴16=4p，第20页（共 25页）∴椭圆的右焦点为F（2，0），∴c=2，∵椭圆 C1：+ =1（a＞b＞0）的离心率为，∴= ，∴a=2 ，∴b2=a2﹣ c2=8﹣4=4，∴椭圆 C1的方程为+，=1（ 2）设直线 l 的方程为 y=kx+m，设 A（x1，1 ），（ 2 ， 2 ），y B x y 由，消 y 可得（ 1+2k2） x2 +4kmx+2m2﹣8=0，∴ x1 2 ， 1 2 ，+x = x x =∴ y1 2 （ 1 2 ）+2m= ，12 212 （ 1 2） 2=+y =k x +x y y =k x x +km x +x +m∵ M（0，2），直线 AM 与 BM 的斜率乘积为﹣，∴ k1?k2=?===﹣，解得 m=0，∴直线 l 的方程为 y=kx，线段 AB 的中点为坐标原点，由弦长公式可得 | AB| ==，∵| AN| =| BN| ，∴ ON 垂直均分线段 AB，当 k≠0 时，设直线 ON 的方程为 y=﹣x，同理可得|ON|== ，∴ S △ ABN = | ON| ?| AB| =8，当 k=0 时，△ ABN 的面积也合适上式，令 t=k 2+1， t ≥1，0＜ ≤ 1，则S =8=8=8，△ABN∴当 = 时，即 k=±1 时， S △ABN 的最小值为 ．【评论】此题考察椭圆的标准方程， 直线与椭圆的地点关系， 考察椭圆与二次函数函数的应用，考察计算能力，属于难题．21．【剖析】（1）当 b=2 时，f （ x ）=ae x +x 2﹣ 2x ，（ a ∈ R ），f （′x ）=ae x +2x ﹣2，（ a ∈ R ），由题意 a=，令 h （ x ）= ，则 =0，解得 x=2，由此能求出当 a=﹣或 a ∈[ 0， +∞）时， f ′（x ）在 R 上有且只有一个零点．（ 2 ）由f （ x ） =ae x +x 2 ﹣ bx ， 得 f ′（ x ） =ae x +2x ﹣ b ， 假定 存在 x 0 ，则，利用导数性质推导出不存在实数x （0 x 0≠m ）使得 f （x 0）﹣ n=f （′）（ 0﹣ m ）成立．x【解答】 解：（1）当 b=2 时， f （x ）=ae x +x 2﹣2x ，（a ∈R ），f （′x ）=ae x +2x ﹣ 2，（a ∈R ）， 由题意得 ae x +2x ﹣ 2=0，即 a= ，令 h （x ） =，则=0，解得 x=2，当 x ＜2 时， h ′（ x ）＜ 0，h （x ）单一递减，当 x ＞2 时， h ′（ x ）＞ 0，h （x ）单一递加， ∴ h （ x ）min =h （ 2）=﹣ ，∵当 x=﹣ 1 时， h （﹣ 1） =4e ＞0，当 x ＞2 时， h （x ）=＜0，由题意适当 a=﹣或 a ∈[ 0， +∞）时， f ′（ x ）在 R 上有且只有一个零点．（ 2）由 f （x ）=ae x +x 2﹣bx ，得 f ′（x ）=ae x +2x ﹣ b ，假定存在 x 0，则有 f （x 0）==，即，∵ f （′）= +2 ﹣b ，==+（x 0+m ）﹣ b ，∴+2?﹣ b=+（x 0 +m ）﹣ ，b即 = ，∵ a ≠0，∴，令 t=x 0﹣ m ＞ ，则，两边同时除以 e m ，得，即 ，令 g （t ） =，∴ ，令 h （t ） =﹣ ﹣1 在（ 0，+∞）上单一递加，且 h （0）=0，∴ h （ t ）＞ 0 对于 t ∈（ 0， +∞）恒成立，即 g ′（t ）＞ 0 对于 t ∈（ 0， +∞）恒成立，∴ g （ e ）在（ 0，+∞）上单一递加， g （0）=0，∴ g （ t ）＞ 0 对于 t ∈（ 0， +∞）恒成立，∴= 不可立，同理， t=x 0﹣ m ＜0 时，∴不存在实数 x 0（ 0≠ m ）使得 f （ 0）﹣ n=f ′（）（0﹣ m ）成立． x xx【评论】此题考察利用导数研究函数的性质及实数的最值范围的求法、 知足条件的实数能否存在的判断与证明，考察函数与方程思想、转变与化归思想，考察运算求解能力、推理论证能力，考察创新意识，是中档题．[ 选修 4-4：坐标系与参数方程选讲 ]22．【剖析】（1）考察直线 l 1，l 2 参数方程与极坐标方程的互化，曲线 C 的极坐标方程与直角坐标方程的互化．要点都是消去参数t ．（ 2）利用 l 1， l 2 极坐标方程，联合余弦定理，计算出 | AB| 的长度．【解答】 解：（1）l 1，l 2 的极坐标方程为 θ1=α（ρ∈R ）， θ2=α+ （ρ∈R ）．曲线 C 的极坐标方程方程为 ρ﹣4cos θ=0．即得 ρ2﹣4ρcos θ=0，222利用 ρ x +y ，x=ρcos θ得曲线 C 的直角坐标方程为（ x ﹣2）2+y 2=4． （ 2）因为 ρ1=4cos α， ρ2=4cos （α+ ），所以|AB|2﹣ ρ1． ρ222（ ）﹣ cos αcos=+2 cos=16[ cos α+cos（）]=16[ cos 2α+ （cos α﹣ sin α）2﹣cos α（ cos α﹣ sin α）] =8，所以| AB| 的值为 2 ．【评论】考察极坐标方程与参数方程， 一般方程的互化． 记准互化公式和原则是要点，属于中档题目．[ 选修 4-5：不等式选讲 ]第24页（共 25页）23．【剖析】（1）经过议论 x 的范围，求出不等式的解集即可；（2）依据绝对值不等式的性质求出 a 的值，联合基本不等式的性质求出 m+n 的最小值即可．【解答】解：（1）当 x≥2 时， x﹣ 2≥ 1﹣ 2x，得 x≥1，故 x≥2，当 x＜2 时， 2﹣x≥1﹣2x，得 x≥﹣ 1，故﹣ 1≤x＜2，综上，不等式的解集是 { x| x≥﹣ 1} ；（ 2）∵ f（ x）+| x﹣ 1| 的最小值是 3，∴ f（x）+| x﹣1| ≥| x﹣ a﹣（ x﹣ 1） | =| a﹣ 1|=3，故 a=4，∵ m+n= + +n≥3 =3，当且仅当=n 即 m=2， n=1 时取“=．”【评论】此题考察认识绝对值不等式问题，考察绝对值的性质以及基本不等式的性质，是一道中档题．第25页（共 25页）。

新乡市高三第一次模拟测试数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|24}xA x =>，{|015}B x x =<-≤，则()=R C A B （ ）A ．{|25}x x <≤B ．{|5}x x ≤C ．{|12}x x <≤D ．{|1}x x > 2.若复数z 满足(2)1811z i i -=+，则z 的实部为（ ） A ．-5 B ． 5 C ．-8 D ．83.为了参加冬季运动会的5000m 长跑比赛，某同学给自己制定了7天的训练计划：第1天跑5000m ，以后每天比前1天多跑200m ，则这个同学7天一共将跑（ ）A ．39200mB ．39300mC ．39400mD ． 39500m 4.若二项式71()nx x -的展开式存在常数项，则正整数n 的最小值为（ ） A ． 7 B ．8 C. 14 D ．16 5.设函数()5xx f x ee x -=--，则不等式2()(6)0f x f x +--<的解集为（ ）A ．(3,2)-B ．(,3)(2,)-∞-+∞ C. (2,3)- D ．(,2)(3,)-∞-+∞6.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ． 28B ．30 C. 36 D ．427.设不等式组40310x x y y -≤⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩，表示的可行域M 与区域N 关于y 轴对称，若点(,)P x y N ∈，则2z x y =+的最小值为（ ）A ． -9B ．9 C. -7 D ．78.《镜花缘》是清代文人李汝珍创作的长篇小说，书中有这样一个情节：一座阁楼到处挂满了五彩缤纷的大小灯球，灯球有两种，一种是大灯下缀2个小灯，另一种是大灯下缀4个小灯，大灯共360个，小灯共1200个.若在这座楼阁的灯球中，随机选取两个灯球，则至少有一个灯球是大灯下缀4个小灯的概率为（ ） A ．1191077 B ．160359 C. 9581077 D ．2893599.已知点(,)M x y 是抛物线24y x =（ ）A ．3B ． 4 C. 5 D ．6 10.将函数44()sin cos f x x x =+的图像向左平移8π个单位长度后，得到()g x 的图像，则()g x =（ ）A ．31sin 444x - B ．13sin 444x - C. 31cos 444x - D ．13cos 244x - 11.设2log 3a =，3log 4b =，5log 8c =，则（ ）A ．a b c >>B ．a c b >> C. c a b >> D ．c b a >>12.已知函数1,0()3,0x e x f x x ax x -⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩，若函数()(())2g x f f x =-恰有5个零点，且最小的零点小于-4，则a 的取值范围是（ ）A ．(,1)-∞-B ．(0,)+∞ C. (0,1) D ．(1,)+∞第Ⅱ卷二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若向量,a b 满足||3a =，且()()4a b a b +-=，则||b = ．14.设P 为曲线2x =上一点，(A ，B ，若||2PB =，则||PA = ．15.设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =，1(1)(1)n n n a n S ++=-，则n S = ．16.已知,A B 两点都在以PC 为直径的球O 的表面上，AB BC ⊥，2AB =，4BC =，若球O 的体积为，则异面直线PB 与AC 所成角的正切值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知4sin ()(sin sin )c C b a B A =+-.（1）试问：,,a b c 是否可能依次成等差数列？为什么？（2）若3b c =，且ABC ∆的周长为4+ABC ∆的面积.18. 如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，3AB AC ==，2CE EA =，BD DC =.（1）证明：平面PBC ⊥平面PAD ； （2）若三棱锥P ABD -的体积为94，且AB AC ⊥，求平面PAB 与平面PDE 所成锐二面角的余弦值.19. 某面包推出一款新面包，每个面包的成本价为4元，售价为10元，该款面包当天只出一炉（一炉至少15个，至多30个），当天如果没有售完，剩余的面包以每个2元的价格处理掉，为了确定这一炉面包的个数，该店记录了这款新面包最近30天的日需求量（单位：个），整理得下表：（1）根据表中数据可知，频数y 与日需求量x （单位：个）线性相关，求y 关于x 的线性回归方程；（2）以30天记录的各日需求量的频率代替各日需求量的概率，若该店这款新面包出炉的个数为24，记当日这款新面包获得的总利润为X （单位：元）.（ⅰ）若日需求量为15个，求X ；（ⅱ）求X 的分布列及其数学期望.相关公式：∑∑==---=n i i ni iix x y yx x b 121^)())((∑∑==--=n i i ni ii xn x yx n yx 1221 ， x by a ^^-= 20. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为21,F F ，12||2F F =，过点1F 的直线与椭圆C 交于,A B 两点，延长2BF 交椭圆C 于点M ，2ABF ∆的周长为8.（1）求C 的离心率及方程；（2）试问：是否存在定点0(,0)P x ，使得PM PB 为定值？若存在，求0x ；若不存在，请说明理由. 21. 已知函数()ln (0)af x x a x a a =--≠. （1）讨论()f x 的单调性；（2）对0a >时，对任意121,[,]x x e e∈，12|()()|2f x f x e -≤-恒成立，求a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为122x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为2cos sin ρθθ=. （1）求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于,A B 两点，(1,2)P -，求||||PA PB . 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|1||2|f x x x =-++.（1）求不等式()13f x <的解集；（2）若()f x 的最小值为k ，且211(0)k mn m n+=>，证明：16m n +≥. 试卷答案一、选择题1-5: CBABD 6-10: DCCAA 11、12：BC1.C ∵{|2}A x x =>，∴{|2}R C A x x =≤，又{|16}B x x =<≤，∴(){|12}R C A B x x =<≤.2.B 因为1811582iz i i+==+-，所以z 的实部为5. 3.A 依题意可知，这个同学第1天，第2天，…，跑的路程依次成首项为5000，公差为200的等差数列，则这个同学7天一共将跑7650007200392002m ⨯⨯+⨯=. 4.B 71()n x x -的展开式的通项为8171()(1)r n r r r r n r r n n T C x C x x--+=-=-(0,1,,)r n =，令80n r -=，得8n r =，则整正数n 的最小值为8.5.D ∵()f x 是奇函数，∴2()(6)0f x f x +--<2()(6)(6)f x f x f x ⇔<---=+.又()f x 是减函数，∴22()(6)6f x f x x x <+⇔>+，故不等式2()(6)0f x f x +--<的解集为(,2)(3,)-∞-+∞.6.D 该几何体是由12个棱长为1的正方体组合而成的，所以121224S =+=前后，336S =+=左右，6612S =+=上下，从而2461242S =++=表面.7.C 作出区域N （阴影部分），由图可知，当直线2z x y =+经过点(4,1)-时，z 取得最小值-7.8.C 设一大二小与一大四小的灯球数分别为,x y ，则360241200x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得120240x y =⎧⎨=⎩，若随机选取两个灯球，则至少有一个灯球是一大四小的概率为2120236095811077C C -=.9.A(,)M x y 到点(1,0)F 的距离，即点(,)M x y 到抛物线24y x =的准线1x =-(,)M x y 到点(2,1)A的距离，所以(2,1)A 到抛物线24y x =的准线1x =-的距离3，即min 3=.10.A ∵22222()(sin cos )2sin cos f x x x x x =+-1cos 21cos 21222x x -+=-⨯⨯31cos 444x =+， ∴3131()()cos(4)sin 4844244g x f x x x ππ=+=++=-.11.B ∵327lg 64log 4log 64lg 27==，525lg 64log 8log 64lg 25==，∴35log 4log 8<， ∵2385<，∴3285<，∴32553log 8log 52<=. 又2443log 3log 9log 82=>=，∴253log 3log 8log 4>>，即a c b >>. 12.C 当0x >时，1()x e f x x -=，12(1)'()x e x f x x--=， 当01x <<时，'()0f x <，()f x 单调递减； 当1x >时，'()0f x >，()f x 单调递增，故min ()(1)1f x f ==.当0x ≤时，()3f x ax =+的图像恒过点(0,3)，当0,0a x ≤≤时，()(0)3f x f ≥=；当0,0a x >≤时，()(0)3f x f ≤=.()(())2g x f f x =-有5个零点，即方程(())2f f x =有5个解，设()t f x =，则()2f t =. 结合图像可知，当0a >时，方程()2f t =有三个根1(,0)t ∈-∞，2(0,1)t ∈，3(1,3)t ∈（∵2(3)23e f =>，∴313t <<），于是1()f x t =有1个解，2()f x t =有1个解，3()f x t =有3个解，共有5个解.由32ax +=，得1x a =-，再由13ax a +=-，得2314x a a=--<-，∵0a >，∴01a <<.而当0a ≤时，结合图像可知，方程(())2f f x =不可能有5个解.二、填空题 13.∵ 222()()9||4a b a b a b b +-=-=-=，∴||5b =. 14. 4由2x =得2244(0)x y x =+>，即221(0)4y x x -=>，故P 为双曲线221(0)4y x x -=>右 支上一点，且,A B 分别为该双曲线的左、右焦点，则||||22PA PB a -==，||224PA =+=.15. 12n n-∵1(1)(1)n n n a n S ++=-，∴11n n n na S nS +++=，∴11()n n n n n S S S nS ++-+=，∴1(1)2n nn S nS ++=，∴{}n nS 是首项为1，公比为2的等比数列，则12n n nS -=，∴12n n S n-=.16.3∵AB BC ⊥，∴ABC ∆的外心'O 为AC 的中点，∴'OO ⊥平面ABC ，易证//'PA OO ，∴PA ⊥平面ABC ，从而球O 的半径R OA =，又343R π=，∴R =，∵AC =∴'AO ='1OO =，∴2PA AB ==.设PB 与AC 所成角为θ，则cos cos cosPBA BAC θ=∠∠==故tan 3θ=.三、解答题17.解：（1）∵4sin ()(sin sin )c C b a B A =+-， ∴2224sin sin sin C B A =-， ∴2224c b a =-.假设,,a b c 依次成等差数列，则2a cb +=， 则2224()2a c c a ++=，即221532c a ac +=，又221532c a ac +≥>， ∴221532c a ac +≠，从而假设不成立，故,,a b c 不可能依次成等差数列.（2）∵2224c b a =-，3b c =，∴225a c =，则a =，则(44a b c c ++==1c =.从而223155cos 2136A +-==⨯⨯，则sin 6A =故ABC ∆的面积1sin 24S bc A ==.18.（1）证明：因为AB AC =，BD DC =，所以AD BC ⊥， 又PA ⊥平面ABC ，则PA BC ⊥， 因为ADPA A =，所以BC ⊥平面PAD .又BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PAD .（2）因为1119333224P ABD V PA -=⨯⨯⨯⨯⨯=，所以3PA =.以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,0)A ，(3,0,0)B ，(0,3,0)C ，(0,1,0)E ，33(,,0)22D ，(0,0,3)P ，则31(,,0)22ED =，(0,1,3)PE =-.设平面PDE 的法向量为(,,)n x y z =，则00n ED n PE ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即3102230x y y z ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩， 令1z =，得(1,3,1)n =-，平面PAB 的一个法向量为(0,1,0)m =，则cos ,m n <>==故平面PAB 与平面PDE 所成锐二面角的余弦值为11. 19.（1）21x =，6y =，^2222(1521)(106)(1821)(86)(2421)(36)(2721)(26)630.7(1521)(1821)(2421)(2721)90b --+--+--+--==-=--+-+-+-， ^^6210.720.7a y b x =-=+⨯=，故y 关于x 的线性回归方程为^0.720.7y x =-+.（2）（ⅰ）若日需求量为15个，则15(104)(2415)(24)72X =⨯-+-⨯-=元 （ⅱ）若日需求量为18个，则18(104)(2418)(24)96X =⨯-+-⨯-=元 若日需求量为21个，则21(104)(2421)(24)120X =⨯-+-⨯-=元 若日需求量为24个或27个，则24(104)144X =⨯-=元 故分布列为1087530487296120144101.63030303030EX =⨯+⨯+⨯+⨯== 20.（1）由题意可知，12||=2c=2F F ，则1c =， 又2ABF ∆的周长为8，所以48a =，即2a =， 则12c e a ==， 2223b a c =-=.故C 的方程为22143x y +=. （2）假设存在点P ，使得PM PB 为定值.若直线BM 的斜率不存在，直线BM 的方程为1x =，3(1,)2B ，3(1,)2M -，则209(1)4PM PB x =--. 若直线BM 的斜率存在，设BM 的方程为(1)y k x =-，设点11(,)B x y ，22(,)M x y ，联立22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得2222(43)84120k x k x k +-+-=， 根据韦达定理可得：2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+， 由于202(,)PM x x y =-，101(,)PB x x y =-，则212120012()PM PB x x x x x x y y ∙=-+++2222120120(1)()()k x x x k x x k x =+-++++ 2220002(485)31243x x k x k --+-=+ 因为PM PB 为定值，所以2200048531243x x x ---=， 解得0118x =，故存在点P ，且0118x =. 21.解：（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，1(1)()a a a a x f x ax x x--=-=， 当0a <时，(0,1)x ∈，'()0f x <，所以()f x 在(0,1)上单调递减； (1,)x ∈+∞，'()0f x >，所以()f x 在(1,)+∞上单调递增.当0a >时，(0,1)x ∈，'()0f x <，所以()f x 在(0,1)上单调递减； (1,)x ∈+∞，'()0f x >，所以()f x 在(1,)+∞上单调递增.（2）因为12max min |()()|()()f x f x f x f x -≤-，所以max min ()()2f x f x e -≤-，由（1）知，()f x 在1[,1)e上单调递减，在(1,]e 上单调递增，所以min ()(1)1f x f a ==-. 因为1()a f e e -=与()2a f e e a =-，所以max 1()max{(),()}f x f f e e=. 设1()()()2(0)a a g a f e f e e a a e-=-=-->，则'()220a a g a e e -=-->=，所以()g a 在(0,)+∞上单调递增，故()(0)0g a g >=，所以1()()f e f e>，从而max ()()2a f x f e e a ==-，所以2(1)2a e a a e ---≤-，即10a e a e --+≤. 设()1(0)a a e a e a ϕ=--+>，则'()1a a e ϕ=-， 当0a >时，'()0a ϕ>，所以()a ϕ在(0,)+∞上单调递增， 又(1)0ϕ=，所以10a e a e --+≤等价于()(1)a ϕϕ≤，则1a ≤. 因为0a >，所以a 的取值范围为(0,1].22.解：（1）直线l 的普通方程为：10x y +-=. 由2cos sin ρθθ=，得22cos sin ρθρθ=， 则2y x =，故曲线C 的直角坐标方程为2y x =.（2）将122x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入2y x =，得220t -=， 则122t t =-，故12||||||2PA PB t t ==.23.（1）由()13f x <，得|1||2|13x x -++<， 则12113x x >⎧⎨+<⎩或21313x -≤≤⎧⎨<⎩或22113x x <-⎧⎨--<⎩， 解得：76x -<<，故不等式()13f x <的解集为(7,6)-.（2）证明：因为()|1||2|f x x x =-++|1(2)|3x x ≥--+=， 所以3k =， 因为21191(0)k mn m n m n+=+=>，所以0,0m n >>，199()()(10)1016n m m n m n m n m n+=++=++≥+= 当当当当9n m m n =，即4,12m n ==时取等号，故16m n +≥.。