河南省新乡市2021届高三第一次模拟考试——数学(理)

河南省商丘市、新乡市部分高中2021届高三数学3月模拟联考试题文（含解析）一、选择题（共12小题）.1．已知集合M＝{x|x2≤4}，N＝{﹣3，﹣1，1，2，3}，则M∩N＝（）A．{﹣1，1，2} B．{﹣1，2，3} C．{﹣2，﹣1，1，2} D．{﹣1，1}2．已知复数z满足（2+i）z＝|4﹣3i|（i为虚数单位），则z＝（）A．2+i B．2﹣i C．1+2i D．1﹣2i3．已知tanθ＝，则tan2θ+4tan（）＝（）A．1 B．﹣2 C．﹣1 D．04．命题：①若2a＝3b＝6，则＝1；②若2a＝3b＝36，则+＝；③若2a＝3b＝216，则＝．类比命题①，②，③，可得命题“若m a＝n b＝t（m，n均为于1的整数），则+＝”其中t＝（）A．m k n B．mn k C．kmn D．（mn）k5．已知椭圆C：＝1（b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆C的上顶点，若∠F1PF2＝，则b＝（）A．5 B．4 C．3 D．26．数学中有各式各样富含诗意的曲线，螺旋线就是其中比较特别的一类．螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”．小明对螺旋线有着浓厚的兴趣，用以下方法画出了如图所示的螺旋线．具体作法是：先作边长为1的正三角形ABC，分别记射线AC，BA，CB为l1，l2，l3，以C为圆心、CB为半径作劣弧交l1于点C1；以A为圆心、AC1为半径作劣弧交l2于点A1；以B为圆心、BA1为半径作劣弧交l3于点B1，…，依此规律作下去，就得到了一系列圆弧形成的螺旋线．记劣弧的长，劣弧的长，劣弧的长，…依次为a1，a2，a3，…，则a1+a2+…+a9＝（）A．30πB．45πC．60πD．65π7．已知△ABC是边长为4的等边三角形，D为BC的中点，E点在边AC上，设AD与BE交于点P，则＝（）A．4 B．6 C．8 D．108．古代人家修建大门时，贴近门墙放置两个石墩，称为门墩，亦称门枕石．门墩的作用是固定门框，防止大门前后晃动，另外门墩一般雕刻有传统的吉祥图案，起到装饰作用．如图，粗实线画出的是某门墩的三视图（其中网格纸的小正方形的边长为2dm），则该门墩的体积为（）A．（48+）dm3B．（48+）dm3C．dm3D．dm39．设函数f（x）为定义在R上的偶函数，当x＜0时，f（x）＝ln（﹣x），若a＝f（21.1），b＝f（50.4），c＝f（ln），则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．c＜a＜b10．已知双曲线E：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作E的一条渐近线的垂线，垂足为T，交E的左支于点P．若T恰好为线段PF2的中点，则E的离心率为（）A．B．C．2 D．11．在平面直角坐标系xOy中，已知点P在直线x+y＝4上，过点P作圆O：x2+y2＝4的两条切线，切点分别为A，B，则O到直线AB距离的最大值为（）A．1 B．C．D．212．已知函数f（x）＝cos（ωx+）（ω∈N*），若函数f（x）图象的相邻两对称轴之间的距离至少为，且在区间（π，）上存在最大值，则ω的取值个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021年河南省新乡市获嘉县第一中学高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 某几何体的三视图如下，则该几何体的体积是（）A．124 B．144C．192 D．256参考答案：C2. 称为两个向量、间的“距离”．若向量、满足:①；②；③对任意的，恒有，则（）A． B． C. D．参考答案：C【知识点】向量的模．F2解析：如图：∵||=1，∴的终点在单位圆上，用表示，用表示，用表示﹣，设=t ，∴d（，t）=||，d（，）=||，由d（，t）≥d（，）恒成立得，||≥||恒成立，∴⊥，，故选 C．【思路点拨】由题意知的终点在单位圆上，由d（，t）≥d（，）恒成立得||≥||恒成立，从而⊥即．3. 双曲线的离心率为（）A. B. C. D.参考答案：D【分析】由双曲线，求得，再由离心率的公式，即可求解．【详解】由双曲线，可得，则，所以双曲线的离心率为，故选D．【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质求解，其中解答中熟记双曲线的标准方程，以及双曲线的几何性质，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．4. 已知三个数a=0.32，b=log20.3，c=20.3，则a，b，c之间的大小关系是（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．a＜c＜b D．b＜c＜a参考答案：A5. 若是方程的解，则属于区间（）A (,1)B (,)C (,)D (0,)参考答案：C略6. 将函数y=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象沿x轴向右平移个单位后，得到的图象关于y 轴对称，则φ的一个可能的值为( )A． B． C． D．参考答案：C7. “勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是（）A．B．C．）D．参考答案：A【考点】几何概型．【分析】根据几何概率的求法：一次飞镖扎在中间小正方形区域（含边线）的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．【解答】解：观察这个图可知：大正方形的边长为2，总面积为4，而阴影区域的边长为﹣1，面积为4﹣2故飞镖落在阴影区域的概率为=1﹣．故选A．8. 设函数，g(x)=+b+c,如果函数g(x)有5个不同的零点,则( )A.b＜-2且c＞0B.b＞-2且c＜0C.b＜-2且c=0D. b≥-2且c＞0参考答案：C9. 设函数y=f（x）在区间（a，b）上的导函数为f′（x），f′（x）在区间（a，b）上的导函数为f″（x），若在区间（a，b）上f″（x）＞0，则称函数f（x）在区间（a，b）上为“凹函数”，已知f（x）=x5﹣mx4﹣2x2在区间（1，3）上为“凹函数”，则实数m的取值范围为（）A．（﹣∞，）B．[，5] C．（﹣∞，﹣3] D．（﹣∞，5]参考答案：C【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】本题根据二阶导数的定义及函数特征，研究原函数的二阶导数，求出m的取值范围，得到本题结论．【解答】解：∵f（x）=x5﹣mx4﹣2x2，∴f′（x）=x4﹣mx3﹣4x，∴f″（x）=x3﹣mx2﹣4．∵f（x）=x5﹣mx4﹣2x2在区间（1，3）上为“凹函数”，∴f″（x）＞0．∴x3﹣mx2﹣4＞0，x∈（1，3）．∴，∵在（1，3）上单调递增，∴在（1，3）上满足：＞1﹣4=﹣3．∴m≤﹣3．故答案为：C．10. 已知函数f（x）=sin（ωx+2φ）﹣2sinφcos（ωx+φ）（ω＞0，φ∈R）在（π，）上单调递减，则ω的取值范围是（）A．（0，2] B．（0，] C．[，1] D．[，]参考答案：C【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】利用积化和差公式化简2sinφcos（ωx+φ）=sin（ωx+2φ）﹣sinωx．可将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，在（π，）上单调递减，结合三角函数的图象和性质，建立关系可求ω的取值范围．【解答】解：函数f（x）=sin（ωx+2φ）﹣2sinφcos（ωx+φ）（ω＞0，φ∈R）．化简可得：f（x）=sin（ωx+2φ）﹣sin（ωx+2φ）+sinωx=sinωx，由+，（k∈Z）上单调递减，得：+，∴函数f（x）的单调减区间为：[，]，（k∈Z）．∵在（π，）上单调递减，可得：∵ω＞0，ω≤1．故选C．【点评】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.方程x2+x－1＝0的解可视为函数y＝x+的图像与函数y＝的图像交点的横坐标，若x4+ax－4＝0的各个实根x1，x2，…，x k (k≤4)所对应的点(x i ,)（i＝1,2,…,k）均在直线y＝x的同侧，则实数a的取值范围是 .参考答案：【解析】方程的根显然，原方程等价于，原方程的实根是曲线与曲线的交点的横坐标；而曲线是由曲线向上或向下平移个单位而得到的。

2019年河南省新乡市高考数学模拟试卷（理科）（3月份）副标题1.已知集合A={0,1，2，3}，B={x∈N|lnx<1}，则A∩B=()A. {0,1}B. {1,2}C. {0,1，2}D. {0,1，2，3}【答案】B【解析】解：B={1,2}，A={0,1，2，3}；∴A∩B={1,2}．故选：B．可解出集合B，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，对数函数的单调性，交集的运算．2.设复数z满足z−i2−i=i，则|z|=()A. 1B. √5C. 3D. √10【答案】D【解析】解：∵复数z满足z−i2−i=i，∴z−i=2i+1，可得z=3i+1．则|z|=√32+12=√10．故选：D．利用复数的运算性质、模的计算公式即可得出．本题考查了复数的运算性质、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线经过点(√2,√6)，则该双曲线的离心率为()A. 2B. √2C. 3D. √3【答案】A【解析】解：双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±bax，由题意可得√2ba=√6，即b=√3a，即有双曲线的e=ca =√1+b2a2=√1+3=2．故选：A．求得双曲线的渐近线方程，结合a，b，c的关系，再由离心率公式，计算可得所求值．本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率的求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题．4.现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n 人做进一步的调研，若在“不喜欢的男性青年观众”的人中抽取了6人，则n =( ) A. 12 B. 16 C. 24 D. 32 【答案】C【解析】解：由分层抽样的性质得：630=n30+30+10+50，解得n =24． 故选：C ．由分层抽样的性质列方程能求出n 的值．本题考查样本单元数的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5. 在△ABC 中，若点D 满足BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，点E 为AC 的中点，则ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. 56AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ B. 14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C. 34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ D. 56AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 【答案】B【解析】解：ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =EC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +14CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +14(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 故选：B ．由平面向量基本定理及共线向量的运算得：ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =EC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +14CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +14(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得解． 本题考查了平面向量基本定理及共线向量的运算，属简单题．6. 若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的B等于( ) A. 4 B. 13 C. 40 D. 41【答案】C【解析】解：模拟程序的运行，可得 A =1，B =0满足条件A ≤4，执行循环体，B =1，A =2 满足条件A ≤4，执行循环体，B =4，A =3 满足条件A ≤4，执行循环体，B =13，A =4 满足条件A ≤4，执行循环体，B =40，A =5此时，不满足条件A ≤4，退出循环，输出B 的值为40． 故选：C ．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量B 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．7.将函数f(x)=sinx的图象向右平移π4个单位长度后得到函数y=g(x)的图象，则函数y=f(x)g(x)的最大值为()A. 2+√24B. 2−√24C. 1D. 12【答案】A【解析】解：将函数f(x)=sinx的图象向右平移π4个单位长度后得到函数y=g(x)的图象，则g(x)=sin(x−π4)，则y=f(x)g(x)=sinx⋅sin(x−π4)=−12[cos(2x−π4)−cosπ4]=−12cos(2x−π4)+√24，又−1≤cos(2x−π4)≤1，所以函数y=f(x)g(x)的最大值为2+√24，故选：A．由三角函数图象的平移得：g(x)=sin(x−π4)，由积化和差公式得：y=f(x)g(x)=sinx⋅sin(x−π4)=−12[cos(2x−π4)−cosπ4]=−12cos(2x−π4)+√24，由三角函数的有界性及最值得：因为−1≤cos(2x−π4)≤1，所以函数y=f(x)g(x)的最大值为2+√24，得解．本题考查了三角函数图象的平移、积化和差公式、三角函数的有界性及最值，属中档题．8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A. √34B. √3 C. 3√34D. 4√33【答案】B【解析】解：由几何体的三视图得该几何体是如图所示的三棱锥S−ABC，其中底面△ABC是边长为2√3的等边三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2，∴BO =√(2√3)2−(√3)2=3，SO =√4−3=1， ∴该几何体的体积为：V =13S △ABC ×SO=13×12×2√3×3×1 =√3． 故选：B ．由几何体的三视图得该几何体三棱锥S −ABC ，其中底面△ABC 是边长为2√3的等边三角形，平面SAC ⊥平面ABC ，SA =SC =2，由此能求出该几何体的体积．本题考查几何体的体积的求法，考查几何体的三视图、空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．9. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分別为a ，b ，c ，若b =1,a(2sinB −√3cosC)=√3ccosA ，点G 是△ABC 的重心，且AG =√133，则△ABC 的面积为( )A. √3B. √32C. √3或2√3D. 3√34或√3 【答案】D【解析】解：由题可知2sinAsinB −√3sinAcosC =√3sinCcosA ， ∴2sinAsinB =√3sin(A +C)=√3sinB ， ∴sinA =√32， ∴A =π3或2π3，又AG =√133，延长AG 交BC 于点D ， ∴AD =√132， ∵AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ )， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=14(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=14(b 2+c 2+2bccosA)， 当A =π3时，c =3， ∴△ABC 的面积为12bcsinA =3√34， 当A =2π3时，c =4，∴△ABC 的面积为12bcsinA =√3 故选：D ．先根据正弦定理可求出A =π3或2π3，再根据向量的运算和余弦定理即可求出c ，根据三角形的面积公式计算即可本题考查了正弦定理，余弦定理在三角形中的应用，考查了运算求解能力，属于中档题10. 函数f(x)=xsin2x +cosx 的大致图象有可能是( )A.B.C.D.【答案】A【解析】解：f(−x)=−xsin(−2x)+cos(−x)=xsin2x +cosx =f(x)，则函数f(x)是偶函数，排除D ，由f(x)=x2sinxcosx +cosx =0，得cosx(2xsinx +1)=0， 得cosx =0，此时x =π2或3π2， 由2xsinx +1=0得sinx =−12x ，作出函数y =sinx 和y =−12x ，在(0,2π)内的图象，由图象知两个函数此时有两个不同的交点， 综上f(x)在(0,2π)有四个零点，排除B ，C ， 故选：A ．判断函数的奇偶性，判断函数零点个数进行判断即可． 本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性以及函数零点个数进行排除是解决本题的关键．11. 已知四棱锥S −ABCD ，SA ⊥平面ABCD ，AB ⊥BC ，∠BCD +∠DAB =π，SA =2，BC =2√63，二面角S −BC −A 的大小为π3.若四面体SACD 的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )A. 4√2πB. 4πC. 8πD. 16π【答案】C【解析】解：如下图所示，由于AB⊥BC，∠BCD+∠BAD=π，所以，∠ADC=π2，则A、B、C、D四点共圆．∵SA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴BC⊥SA．又BC⊥AB，且SA∩AB=A，∴BC⊥平面SAB，∵SB⊂平面SAB，∴BC⊥SB，则二面角S−BC−A的平面角为∠ABS，即∠ABS=π3．在Rt△ABS中，AB=SAtan∠ABS =2√33．所以，直角△ABC的外接圆直径为AC=√AB2+BC2=2，即四边形ABCD的外接圆直径为AC=2．∵SA⊥平面ABCD，所以，四棱锥S−ABCD的外接球直径为2R=√SA2+AC2=2√2，因此，该球的表面积为4πR2=π×(2R)2=8π．故选：C．先利用四边形ABCD的对角互补可得知A、B、C、D四点共圆，先证明BC⊥平面SAB，得出二面角S−BC−A的平面角为∠ABS=π3，可计算出AB，再利用勾股定理可得出四边形ABCD外接圆的直径AC，然后利用公式2R=√SA2+AC2计算出外接球的半径R，最后利用球体表面积公式可得出的答案．本题考查球体表面积的计算，考查二面角的定义，同时也考查了直线与平面垂直的判定，考查推理能力与计算能力，属于中等题．12.已知函数f(x)=e x−e−x，若对任意的x∈(0,+∞)，f(x)>mx恒成立，则m的取值范围为()A. (−∞,1)B. (−∞,1]C. (−∞,2)D. (−∞,2]【答案】D【解析】解：令g(x)=e x−e−x−mx，x∈(0,+∞)，则g′(x)=e x+e−x−m，x∈(0,+∞)，易得函数y=e x+e−x>2在x∈(0,+∞)恒成立，故当m≤2时，g′(x)≥0在x∈(0,+∞)恒成立，故g(x)在(0,+∞)递增，又g(0)=0，故f(x)<mx恒成立，当m>2时，∵g′(x)在x∈(0,+∞)递增，故存在x0∈(0,+∞)恒成立，使得g′(x0)=0，故g(x)在(0,x0)递减，在(x0,+∞)递增，又g(0)=0，则g(x0)<0，这与g(x)>0恒成立矛盾，故m≤2，即m的范围是(−∞,2]，故选：D．求出函数的导数，通过讨论m的范围，结合函数的单调性确定m的范围即可．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 二项式(√x −1x )5的展开式中x −2的系数是______． 【答案】−10【解析】解：二项式(√x −1x )5的展开式中通项公式：T r+1=∁5r (√x)5−r(−1x )r =(−1)r ∁5r x 52−3r2． 令52−3r 2=−2，解得r =3．x −2的系数=−∁53=−10．故答案为：−10．利用通项公式即可得出．本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14. 设x ，y 满足约束条件{x +2y −4≤0,x −y −1≤0,2x +y +1≥0,，则z =y+2x+3的最大值是______．【答案】5【解析】解：x ，y 满足约束条件{x +2y −4≤0,x −y −1≤0,2x +y +1≥0,，满足的可行域如图：则z =y+2x+3的几何意义是可行域内的点 与(−3,−2)连线的斜率，经过A 时，目标函数取得最大值． 由{2x +y +1=0x+2y−4=0，可得A(−2,3)， 则z =y+2x+3的最大值是：3+2−2+3=5．故答案为：5．画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解最大值即可．本题考查线性规划的简单应用，画出可行域，判断目标函数的最值是解题的关键．15. 已知sin10∘+mcos10∘=2cos140∘，则m =______． 【答案】−√3【解析】解：由题意可得m =2cos140∘−sin10∘cos10∘=−2cos40∘−sin10∘cos10∘=−2cos(30∘+10∘)−sin10∘cos10∘=−2⋅√32⋅cos10∘+sin10∘−sin10∘cos10∘=−√3，故答案为：−√3． 由题意可得m =2cos140∘−sin10∘cos10∘，再利用三角恒等变换求得它的值．本题主要考查三角恒等变换，属于中档题．16.已知A，B是抛物线y2=2px(p>0)上任意不同的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0,0)，则x0的取值范围是______.(用p表示)【答案】(p,+∞)【解析】解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，∵线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0,0)，∴AB不平行于y轴．即x1≠x2，则|PA|=|PB|则√(x1−x0)2+y12=√(x2−x)2+y22；整理得(x1−x2)(x1+x2−2x0)=y22−y12，∵A，B是抛物线上的两个点，∴y12=2px1，y22=2px2，代入上式得x0=p+x1+x22，∵x1≥0，x2≥0，x1≠x2，∴x1+x2>0，则得x0=p+x1+x22>p，即x0的取值范围是(p,+∞)，故答案为：(p,+∞)．设出A，B坐标，结合线段AB垂直平分线的性质建立|PA|=|PB|，利用点在抛物线上利用消参法进行转化求解即可本题主要考查直线和抛物线的位置关系的应用，利用垂直平分线的性质以及消参法是解决本题的关键．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知正项数列{a n}的前n项和S n满足2S n=a n+2−2，n∈N∗．(1)若数列{a n}为等比数列，求数列{a n}的公比q的值．(2)若a2=a1=1，b1=2，b n=a n−1+a n，求数列{b n}的通项公式．【答案】解：(1)由题意，可知：∵数列{a n}为等比数列，且数列{a n}满足2S n=a n+2−2，n∈N∗．∴当n=1时，有：2S1=a3−2…①当n=2时，有：2S2=a4−2…②②−①，可得：2a2=a4−a3，化简整理，得：q2−q−2=0，解得：q=2，或q=−1，∵数列{a n}各项均为正项．∴q=−1舍去．∴q=2．(2)由题意，可知：∵当n≥2时，2a n=2S n−2S n−1=a n+2−2−a n+1−2=a n+2−a n+1．∵a n+2−a n=a n+a n+1．b n=a n−1+a n=S n−S n−2=a n+2−22−a n−22=a n+2−a n2=a n+a n+12=b n+12，∴b n+1=2b n．∵b1=2，∴数列{b n}是以1为首项，2为公比的等比数列．∴b n=2n−1，n∈N∗．【解析】(1)根据题意，由数列的递推公式可得2S 1=a 3−2，2S 2=a 4−2，两式相减，变形可得2a 2=a 4−a 3，即q 2−q −2=0，解可得q 的值，即可得答案； (2)根据题意，可将b n =a n−1+a n ，用递推公式反向代入，然后可找到b n 与b n+1的关系，得出数列{b n }是一个等比数列，即可得答案；本题考查数列的递推公式的应用，注意对数列的递推公式的变形，属于基础题．18. 如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点O 是底面ABCD 的中心，E 是线段D 1O 的上一点．(1)若E 为D 1O 的中点，求直线OD 1与平面CDE 所成角的正弦值；(2)能否存在点E 使得平面CDE ⊥平面CD 1O ，若能，请指出点E 的位置关系，并加以证明；若不能，请说明理由．【答案】解：(1)不妨设正方体的棱长为2，以DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系D −xyz ，则D(0,0，0)，D 1(0,0，2)，C(0,2，0)，O(1,1，0)． 因为点E 是D 1O 的中点，所以点E 的坐标为(12,12,1)．所以OD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−1,2)，DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,12,1)，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0)． 设p⃗ =(x,y,z)是平面CDE 的法向量，则{p ⃗ ⋅DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,p ⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{12x +12y +z =0,2y =0.， 取x =2，则z =−1，所以平面CDE 的一个法向量为p⃗ =(2,0,−1)． 所以cos〈OD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,p ⃗ 〉=OD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅p ⃗|OD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||p ⃗ |=√(−1)2+(−1)2+22⋅√22+(−1)2=−2√3015． 所以直线OD 1与平面CDE 所成角的正弦值为2√3015． (2)假设存在点E 使得平面CDE ⊥平面CD 1O ，设D 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λEO⃗⃗⃗⃗⃗ ． 显然OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,0)，OD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−1,2)．设m ⃗⃗⃗ =(x,y,z)是平面CD 1O 的法向量，则{m ⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,m ⃗⃗⃗ ⋅OD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,，即{−x −y +2z =0,−x+y=0,．取x =1，则y =1，z =1，所以平面CD 1O 的一个法向量为m⃗⃗⃗ =(1,1,1)． 因为D 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λEO ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以点E 的坐标为(λλ+1,λλ+1,2λ+1)．所以DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(λλ+1,λλ+1,2λ+1)，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0)．设n ⃗ =(x,y,z)是平面CDE 的法向量，则{n ⃗ ⋅DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{λλ+1x +λλ+1y +2λ+1z =0,2y =0.．取x =1，则z =−λ2，所以平面CDE 的一个法向量为n ⃗ =(1,0,−λ2)．因为平面CDE ⊥平面CD 1O ，所以m ⃗⃗⃗ ⊥n ⃗ ，即m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0，1−λ2=0，解得λ=2． 所以λ的值为2.即当|D 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||EO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2时，平面CDE ⊥平面CD 1O. 【解析】(1)设正方体的棱长为2，以DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系D −xyz ，利用向量法能求出直线OD 1与平面CDE 所成角的正弦值． (2)假设存在点E 使得平面CDE ⊥平面CD 1O ，设D 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λEO ⃗⃗⃗⃗⃗ .求出平面CD 1O 的法向量，平面CD 1O 的一个法向量，利用向量法能求出结果．本题考查线面角的正弦值的求法，考查满足面面垂直的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19. 随着科技的发展，网购已经逐渐融入了人们的生活.在家里面不用出门就可以买到自己想要的东西，在网上付款即可，两三天就会送到自己的家门口，如果近的话当天买当天就能送到，或者第二天就能送到，所以网购是非常方便的购物方式.某公司组织统计了近五年来该公司网购的人数y i (单位：人)与时间t i (单位：年)的数据，y 与t 的关系，请计算相关系数r 并加以说明(计算结果精确到0.01).(若|r|>0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合) 附：相关系数公式r =n i=1i −i −√∑(i=1t i −t −)2√∑(i=1y i −y )2=i n i=1i −−√∑(i=1t i −t −)2√∑(i=1y i −y )2，参考数据√5695≈75.47．(2)某网购专营店为吸引顾客，特推出两种促销方案． 方案一：每满600元可减100元；方案二：金额超过600元可抽奖三次，每次中奖的概率都为12，且每次抽奖互不影响，中奖1次打9折，中奖2次打8折，中奖3次打7折．①两位顾客都购买了1050元的产品，求至少有一名顾客选择方案二比选择方案一更优惠的概率；②如果你打算购买1000元的产品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析应该选择哪种优惠方案．【答案】解：(1)由题知t −=3，y −=47，∑t i 5i=1y i =852，√∑(n i=1t i −t −)2=√10，√∑(ni=1y i −y −)2=√2278， 则r =n i=1i −i −√∑(i=1t i −t −)√∑(i=1y i −y )2=i n i=1i −−√∑(i=1t i −t −)√∑(i=1y i −y )2=22780=25695≈147150.94≈0.97>0.75．11故y 与t 的线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合．(2)①选择方案二比方案一更优惠则需要至少中奖一次，设顾客没有中奖为事件A ，则P(A)=C 30(12)3=18，故所求概率为P =1−P(A)P(A)=6364．②若选择方案一，则需付款1000−100=900(元)，若选择方案二，设付款X 元，则X 可能取值为700，800，900，1000．P(X =700)=C 33(12)3=18；P(X =800)=C 32(12)2×12=38；P(X =900)=C 31×12×(12)2=38；P(X =1000)=C 30(12)3=18．所以E(X)=700×18+800×38+900×38+1000×18=850(元)，因为850<900，所以选择方案二更划算．【解析】(1)利用公式求得相关系数r ≈0.97>0.75，说明可用线性回归模型拟合； (2)①至少有一名顾客选择方案二比选择方案一更优惠等价于顾客需要至少中奖一次； ②分别求出两种方案中顾客付款金额的数学期望，比较期望的大小可作出选择． 本题考查了线性回归方程，属中档题．20. 顺次连接椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的四个顶点恰好构成了一个边长为√3且面积为2√2的菱形． (1)求椭圆C 的方程；(2)A ，B 是椭圆C 上的两个不同点，若直线OA ，OB 的斜率之积为−12(O 为坐标原点)，线段OA 上有一点M 满足|OM||OA|=23，连接BM 并延长椭圆C 于点N ，求|BM||BN|的值．【答案】解：(1)由题可知2ab =2√2，a 2+b 2=3， 解得a =√2，b =1． 所以椭圆C 的方程为x 22+y 2=1；(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，|BM||BN|=λ.N(x 3,y 3)，∵OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴M(23x 1,23y 1)，∴BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(23x 1−x 2,23y 1−y 2)，BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 3−x 2,y 3−y 2)． 又∵BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴(23x 1−x 2,23y 1−y 2)=λ(x 3−x 2,y 3−y 2)， 即x 3=23λx 1+λ−1λx 2，y 3=23λy 1+λ−1λy 2． ∵点N(x 3,y 3)在椭圆C 上，∴(23λx 1+λ−1λx 2)22+(23λy 1+λ−1λy 2)2=1，即49λ2(x 122+y 12)+(λ−1)2λ2(x 222+y 22)+4(λ−1)3λ2(x 1x 22+y 1y 2)=1.(∗)12 ∵A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)在椭圆C 上，∴x 122+y 12=1，①x 222+y 22=1，②又直线OA ，OB 斜率之积为−12，∴y 1y 2x 1x 2=−12，即x 1x 22+y 1y 2=0，③将①②③代入(∗)得49λ2+(λ−1)2λ2=1，解得λ=1318．【解析】(1)由菱形的面积公式可得2ab =2√2，由勾股定理可得a 2+b 2=3，解方程即可得到所求椭圆方程；(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，|BM||BN|=λ.N(x 3,y 3)，由向量的坐标表示和点满足椭圆方程，结合直线的斜率公式，化简变形，即可得到所求值．本题考查椭圆方程的求法，注意运用菱形的面积求法，考查点满足椭圆方程，以及化简变形能力，推理能力，属于难题．21. 已知函数f(x)=x 2−2x +2alnx ，若函数f(x)在定义域上有两个极值点x 1，x 2，且x 1<x 2．(1)求实数a 的取值范围；(2)证明：f(x 1)+f(x 2)+ln2+32>0．【答案】(1)解：因为函数f(x)在定义域(0,+∞)上有两个极值点x 1，x 2，且x 1<x 2， 所以f′(x)=2x −2+2a x=0在(0,+∞)上有两个根x 1，x 2，且x 1<x 2，即x 2−x +a =0在(0,+∞)上有两个不相等的根x 1，x 2． 所以{a >0,△=1−4a>0,解得0<a <14．(2)证明：由题可知x 1，x 2(0<x 1<x 2)是方程x 2−x +a =0的两个不等的实根，所以{x 1x 2=a,x 1+x 2=1,其中0<a <14．故f(x 1)+f(x 2)=x 12−2x 1+2alnx 1+x 22−2x 2+2alnx 2=(x 1+x 2)2−2x 1x 2−2(x 1+x 2)+2aln(x 1x 2)=2alna −2a −1，令g(a)=2alna −2a −1，其中0<a <14.故，所以g(a)在(0,14)上单调递减，则g(a)>g(14)=−ln2−32， 即f(x 1)+f(x 2)+ln2+32>0．【解析】(1)求出函数的导数，结合二次函数的性质确定a 的范围即可；(2)结合二次函数的性质，求出f(x 1)+f(x 2)的解析式，根据函数的单调性证明即可． 本题考查了函数的单调性，极值，最值问题，考查导数的应用以及二次函数的性质，是一道综合题．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：{y =acost x=a(1+sint),(a >0,t 为参数).在以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：θ=π6(ρ∈R)．(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；(2)若直线C3的方程为y=−√3x，设C2与C1的交点为O，M，C3与C1的交点为O，N，若△OMN的面积为2√3，求a的值．【答案】解：(1)曲线C1：{y=acostx=a(1+sint),(a>0,t为参数)．转换为直角坐标方程为：(x−a)2+y2=a2，该曲线为以(a,0)为圆心a为半径的圆．圆的极坐标方程为ρ=2acosθ．(2)直线C3的方程为y=−√3x，转换为极坐标方程为：θ=2π3．将θ=π6,θ=2π3代入ρ=2cosθ，解得：|ρ1|=√3a,|ρ2|=a，则：S△OMN=12⋅√3a⋅a⋅sin(π6+π3)=2√3，解得：a=2．【解析】(1)直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程进行转换．(2)利用极径建立方程组，进一步利用三角形的面积建立等量关系，求出参数的值．本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，三角函数关系式的恒等变变换，直线方程的求法及应用，主要考查学生的运算能力和转化能力.属于基础题型．23.已知函数f(x)=|4x−1|−|x+2|．(1)解不等式f(x)<8；(2)若关于x的不等式f(x)+5|x+2|<a2−8a的解集不是空集，求a的取值范围．【答案】解：(1)由题意可得f(x)={−3x+3,x≤−2−5x−1,−2<x<143x−3,x≥14，当x≤−2时，−3x+3<8，得x>−53，无解；当−2<x<14时，−5x−1<8，得x>−95，即−95<x<14；当x≥14时，3x−3<8，得x<113，即14≤x<113．所以不等式的解集为{x|−95<x<113}．(2)f(x)+5|x+2|=|4x−1|+|4x+8|≥9，则由题可得a2−8a>9，解得a<−1或a>9．【解析】(1)求出f(x)的分段函数的形式，解各个区间上的不等式的解集，取并集即可；(2)求出f(x)+5|x+2|的最小值，得到关于a的不等式，解出即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值不等式的性质以及分类讨论思想，转化思想，是一道常规题．13。

2021届河南省六市高三第一次联考数学（理）试题一、单选题1．集合2101x A xx ⎧⎫-=≤⎨⎬+⎩⎭，集合B x y ⎧⎪==⎨⎪⎩，则集合A B 等于（ ） A ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．()1,-+∞C ．()1,1-D ．[)1,-+∞【答案】C【分析】化简集合,A B ，根据集合的并集运算可得结果.【详解】2101x A xx ⎧⎫-=≤⎨⎬+⎩⎭1{|1}2x x =-<≤，由011x <-≤得01x ≤<，所以{|01}B x x =≤<， 所以 A B {|11}x x =-<<.故选：C2．已知i 是虚数单位，复数z 满足211i i z，则z 等于（ ）A B ．2C ．1D 【答案】A【分析】先化简计算求出z ，即可求出z .【详解】211i i z，()()()()()21212111111i i i iz i i i ii i i ----∴====--=--+++-，z ∴==.故选：A.3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1530S =，104a ，则9a 等于A ．2B ．3C ．4D ．8【答案】B【分析】根据1530S =，可算出8a ，又104a ，根据等差中项的性质求解即可【详解】由158815302S a a ==⇒=，又104a ，98109263a a a a =+=⇒=答案选B【点睛】本题考查等差数列基本量的求法，常规思路为求解首项和公差，本通解题思路运用了()2121n n S n a -=-和等差中项的性质，简化了运算4．为了得到函数()sin 2g x x =的图象，需将函数()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象（ ）A ．向左平移π6个单位长度 B ．向右平移π12个单位长度 C ．向左平移5π12个单位长度，D ．向右平移5π12个单位长度【答案】D【分析】根据诱导公式将函数()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭化为5()sin 2()12f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据三角函数的图象变换规律可得答案. 【详解】因为函数()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭5sin 2sin(2)66x x πππ⎛⎫⎛⎫=--=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5sin 2()12x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以将5()sin 2()12f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移512π可得函数()sin 2g x x =的图象. 故选：D 5．132，2log 6，33log 2的大小关系是（ ）A ．13232log 63log 2<<B ．133223log 2log 6<<C ．13323log 22log 6<< D ．13323log 2log 62<< 【答案】B【分析】根据对数函数和指数函数的单调性，判断这三个数所在的大致范围，即得大小关系. 【详解】11323222<<，33333log 2log 422=>，3333log 2log 8log 92=<=，22log 6log 42>=， 133223log 2log 6∴<<.故选：B .【点睛】本题考查指数函数和对数函数的单调性，属于基础题.6．41(1)2x x x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数是（ ） A ．10 B ．2C ．14-D ．34【答案】C【分析】将二项式变形为()()()84411112x x x x x x -+⎛⎫-++=⎪⎝⎭，利用二项式定理求得()()811x x -+的展开式中5x 的系数，进而可得解.【详解】由题意，()()()()4842411112121x x x x x x x x x x -+⎛⎫++⎛⎫-++=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因此，只需求()()811x x -+的展开式中 5x 的系数. 又()81x +的展开式的通项公式为818rrr T C x-+=⋅，且()()()()8881111x x x x x -+=+-+，所以，()()811x x -+的展开式通项为11,188rrkk r k T C x C x+++=⋅-⋅，令515r k =⎧⎨+=⎩，得54r k =⎧⎨=⎩，因此，()4112x x x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数是548814C C -=-.故选：C.【点睛】本题考查利用二项式定理求指定项的系数，考查计算能力，属于中等题. 7．函数()21sin 1xf x x e ⎛⎫=-⎪+⎝⎭的部分图象大致形状是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C【分析】判断函数的奇偶性，再根据指数函数的性质和正弦函数的性质，用特殊值法进行判断即可.【详解】()211sin sin 11x x xe f x x x e e -⎛⎫=-=⋅ ⎪++⎝⎭，显然定义域为全体实数集， 因为()()11sin()(sin )sin 1111x x xx x xe e ef x x x x f x e e e-----=⋅-=⋅-=⋅=+++-， 所以该函数是偶函数，图象关于纵轴对称，因此排除B 、D ，当0x >时，有1x e >，因此当(0,)x π∈时，sin 0x >，所以当(0,)x π∈时，()0f x <， 显然选项A 不符合，选项C 符合， 故选：C8．如图，在棱长为1正方体1111ABCD A B C D -中，M 为棱AB 的中点，动点P 在侧面11BCC B 及其边界上运动，总有1AP D M ⊥，则动点P 的轨迹的长度为（ ）A ．22B ．5 C ．π16D ．3 【答案】A【分析】分别取BC 、1BB 的中点E 、F ，连EF ，利用线面垂直的判定定理和性质可证动点P 的轨迹是线段EF ，求出EF 的长度即可得解.【详解】如图：分别取BC 、1BB 的中点E 、F ，连,,AE AF EF ，1,A M DM ，1A F ，因为M 为AB 的中点，E 为BC 的中点，ABCD 为正方形，所以DM AE ⊥， 又1D D ⊥平面ABCD ，所以1D D AE ⊥，而1DM D D D =，所以AE ⊥平面1D DM ，所以1D M AE ⊥，同理可得1D M AF ⊥，又AE AF A ⋂=，所以1D M ⊥平面AEF ， 因为AP ⊂平面AEF ，所以1AP D M ⊥，因为动点P 在侧面11BCC B 及其边界上运动，所以动点P 的轨迹是线段EF ，而22EF =，所以动点P 的轨迹的长度为22. 故选：A【点睛】关键点点睛：作出并证明动点P 的轨迹是本题解题关键，分别取BC 、1BB 的中点E 、F ，连EF ，则线段EF 即为动点P 的轨迹，利用线面垂直的判定定理和性质即可得证.9．已知抛物线C ：()220x py p =>的焦点为F ，01,2M x ⎛⎫⎪⎝⎭为该抛物线上一点，若以M 为圆心的圆与C 的准线相切于点A ，120AMF ∠=︒，过F 且与y 轴垂直的直线l 与C 交于G ，H 两点，0P 为C 的准线上的一点，则0GHP △的面积为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．9【答案】D【分析】根据题意得0x p =，进而将问题转化为在Rt ABF 中，解三角形求得3p =，再根据通经得26GH p ==，进而根据等面积法求解即可. 【详解】解：如图，由抛物线的定义得：12pMA MF +==，//MA y 轴， 因为01,2M x ⎛⎫⎪⎝⎭为该抛物线上一点，所以0x p =，所以AB p =，因为120AMF ∠=︒，所以30,60MFA MAF MFB ∠=∠=∠=， 因为在Rt ABF 中，30AFB ∠=，BF p =， 所以由三角函数关系得：tan AB AFB BF∠=，即：tan 30p=，解得3p =， 此时26GH p ==，所以0GHP △的面积为1163922BGH S S GH BF ===⨯⨯=△. 故选：D.【点睛】本题考查抛物线与直线的位置关系，考查数形结合思想，运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据已知条件，将问题转化为直角三角形ABF 中，利用边角关系求解得3p =.10．二进制是计算机技术中广泛采用的一种数制．二进制数据是用0和1两个数码来表示的数．它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则“借一当二”．当前的计算机系统使用的基本上是二进制系统，计算机中的二进制则是一个非常微小的开关，用1来表示“开”，用0来表示“关”．如图所示，把十进制数()1010化为二进制数21010（）,十进制数()1099化为二进制数()21100011，把二进制数210110（）化为十进制数为304211202121202164222⨯⨯⨯⨯⨯++++=++=，随机取出1个不小于2100000（），且不超过()2111111的二进制数，其数码中恰有4个1的概率是A ．932B ．931C ．1031D ．516【答案】D【分析】利用古典概型的概率公式求解. 【详解】二进制的后五位的排列总数为52=32， 二进制的后五位恰好有三个“1”的个数为35=10C ， 由古典概型的概率公式得1053216P ==. 故选D【点睛】本题主要考查排列组合的应用，考查古典概型的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.11．在三棱锥A BCD -中，4AB CD ==，3AC BD AD BC ====，则该三棱锥的内切球的表面积为（ ） A ．4π5B ．17πC ．3π2D ．3π4【答案】A【分析】将该三棱锥还原到长方体中，根据已知求出长宽高，求出三棱锥体积，再利用内切球的半径表示出体积，即可求出半径，得出表面积.【详解】由题可将该三棱锥还原到如图长方体中，设长方体的长宽高分别为,,a b a ，则22222234a b a a ⎧+=⎨+=⎩，解得22,1a b ==， 11822122422122323D ABC V -∴=⨯⨯⨯⨯⨯=，设内切球的半径为r ，则()1833D ABC ABC ABD BCD ACD V r S S S S-=+++=， 221432252ABCABDBCDACDSS SS====⨯-=，则1825433r ⨯⨯=，解得55r =， 则内切球的表面积为254455ππ⎛⎫⨯= ⎪ ⎪⎝⎭. 故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查几何体的内切问题，解题的关键是将几何体还原到长方体中，立体等体积关系求出内切球半径. 12．若函数()()3ln 2ln 1x f x ax x a x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．22410,44e e e ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭B ．22411,44e e e ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭C ．()22410,11,44e e e ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭ D ．()22410,144e e e ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭【答案】B【分析】令()0f x =，可得()22ln 210ln x x a a x x+--=，令2ln x t x =，可得()2210t at a +--=，令()()221h t t at a =+--，令()2ln xg x x=，其中0x >且1x ≠，作出函数()t g x =的图象，根据函数()y f x =有三个零点可得出()2210t at a +--=的两根的取值范围，利用二次函数的零点分布得出关于实数a 的不等式组，可求得实数a 的取值范围. 【详解】()()3ln 2ln 1x f x ax x a x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，则()11f a =-.令()0f x =，可得()22ln 210ln x x a a x x+--=，令2ln x t x =，则120a a t t-+-=，即()2210t at a +--=，设()()221h t t at a =+--， 构造函数()2ln xg x x =，其中0x >且1x ≠， 则()212ln xg x x-'=，令()0g x '=，得x e =， 列表如下：x()0,1()1,ee(),e +∞()g x ' ++-()g x单调递增单调递增极大值12e单调递减函数()t g x =（0x >且1x ≠）的图象如下图所示：由于函数()y f x =有三个不同的零点，而关于t 的二次方程()2210t at a +--=至多有两个根.当关于t 的二次方程()2210t at a +--=有两根时，设这两根分别为1t 、2t ，则10t <，2102t e<<，此时，()()()2010111210222h a h a a e e e ⎧=--<⎪⎨⎛⎫⎛⎫=+⋅-->⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩，解得2241144e a e e +<<-； 若1a =，则()10f =，关于t 的二次方程为220t t +=，两根分别为10t =，22t =-，()0g x =在0x >且1x ≠时无实根，()2g x =-只有一个实根，此时，函数()y f x =只有两个零点，不合乎题意.综上所述，实数a 的取值范围是22411,44e e e ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭.故选：B.【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点个数问题，将问题转化为复合函数的零点问题是解答的关键，考查数形结合思想的应用，属于难题.二、填空题13．已知向量(1,2)a =，(,1)b k =，且2a b +与向量a 的夹角为90°，则向量a 在向量b 方向上的投影为________.【分析】由题可知()20a b a +⋅=,依据数量积的坐标公式可求出k ,即求出向量b ,从而得到向量a 在向量b 方向上的投影为cos ,a b a a b b⋅⋅<>=.【详解】因为向量(1,2)a =,(,1)b k =, 则2(2,5)a b k +=+,又2a b +与向量a 的夹角为90°, 所以()20a b a +⋅=,即2100k ++=, 解得12k =-,即(12,1)b =-,因此向量a 在向量b方向上的投影为cos ,145a b aa b b⋅⋅<>===,故答案为. 【点睛】本题综合考查了数量积的坐标运算及投影的求法,难度不大.14．已知实数x ，y 满足220330240x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则3z x y =-的最小值为______．【答案】7-【分析】由约束条件得到可行域，将问题转化为133zy x =-在y 轴截距最大问题的求解，利用数形结合的方式可求得结果.【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：将3z x y =-化为133z y x =-，则当z 取最小值时，133zy x =-在y 轴截距最大， 由图象可知：当133zy x =-过A 时，直线在y 轴截距最大，由330240x y x y --=⎧⎨-+=⎩得：23x y =⎧⎨=⎩，()2,3A ∴， min 297z ∴=-=-.故答案为：7-.【点睛】方法点睛：线性规划问题中几种常见形式有： ①截距型：z ax by =+，将问题转化为a z y b b=-+在y轴截距的问题； ②斜率型：y bz x a-=-，将问题转化为(),x y 与(),a b 连线斜率的问题； ③两点间距离型：()()22z x a y b =-+-，将问题转化为(),x y 与(),a b 两点间距离的平方的问题；④点到直线距离型：z Ax By C =++，将问题转化为(),x y 到直线0Ax By C ++=的22A B +倍的问题.15．设正数数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n S 的前n 项之积为n T ，且21n n S T +=，则数列{}n a 的通项公式是______．【答案】()()21134241n n a n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪≥⎪-⎩【分析】由递推关系可得()1122n n S n S -=≥-，求出{}n S 前几项，可猜想出2121+n n S n -=，再加以验证，利用()()1112n nn S n a S S n -⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩即可求出. 【详解】当1n =时，1121S T +=，即1121S S +=，则113S =， 当2n ≥时，21n n S T +=，1121n n S T --∴+=，则1112121n n n n n n n T T S S T T S ----===-，整理可得()1122nn S n S -=≥-， 则可得113S =，235S =，357S =，479S =， 则猜想2121+n n S n -=，代入112n n S S -=-检验得1112123221221+n n n S n S n n --===----，满足猜想，()21121+n n S n n -∴=≥， 1113a S ∴==，当2n ≥时，1221234212141+n n n n n a S S n n n ---=-=-=--，∴()()21134241n n a n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪≥⎪-⎩.故答案为：()()21134241n n a n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪≥⎪-⎩. 【点睛】关键点睛：本题考查利用递推关系求数列得通项公式，解题的关键是根据递推关系先得出()1122n n S n S -=≥-，利用猜想得出2121+n n S n -=.16．已知直线l：0x -=交双曲线Γ：()222210,0x y a b a b-=>>于A ，B 两点，过A 作直线l 的垂线AC 交双曲线Γ于点C ．若60ABC ∠=︒，则双曲线Γ的离心率为______．【分析】联立直线x =和双曲线方程可得A ，B 的坐标，以及||AB ，直角三角形的性质可得|||AC AB ，设出直线AC 的方程，联立双曲线方程，运用韦达定理可得C 的横坐标，由弦长公式，化简计算可得a b =，进而得到所求离心率．【详解】解：联立直线x =和双曲线方程可得2222233a b x b a =-，222223a b y b a =-，可设A ，可得||2||AB OA ==在直角三角形ABC 中，60ABC ∠=︒，可得|||AC AB =，设直线AC 的方程为y =+，代入双曲线方程可得42222222216(3)03a b b a x a b b a -+--=-，可得C x +=即有|||C A x x -==，可得2223(||23ab AC b a ==-，即为2222|3|a b b a +=-，可得a b =，c e a ===．【点睛】本题考查双曲线的方程和运用，考查直线和双曲线的位置关系，以及联立方程组，运用韦达定理，考查化简运算能力．三、解答题17．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin bC a-=tan cos A C -． （1）求角A 的大小；（2）若b =，2c =，点D 在边BC 上，且2CD DB =，求a 及AD ．【答案】（1）π4A =；（2）a =，AD =【分析】（1）由正弦定理化边为角，()sin sin sin tan cos C B A C A C -=-，再化简计算即可求出cos 2A =（2）由余弦定理求得a =，求得cos 10B =-，由题得出33a BD ==，再由余弦定理即可求出AD .【详解】解：（1）由正弦定理，()sin sin sin tan cos C B A C A C -=-，()()sin sin sin tan cos C A C A C A C -+=-，2sin sin cos cos sin sin sin cos cos AC A C A C C A C A --=-，∵sin 0C ≠，∴2sin cos cos AA A+=∴cos A =0πA <<，∴π4A =．（2）由余弦定理可得：2222cos 1841210a b c bc A =+-=+-=，∴a =，∵点D 在边BC 上，且2CD DB =，∴3a BD ==，又222cos 210a cb B ac +-==-，∴222582cos 9AD AB BD AB BD B =+-⋅⋅=，∴3AD =． 【点睛】关键点睛：本题考查正余弦定理的应用，解题的关键是正确利用正弦定理化边为角处理条件，再结合三角恒等变换化简运算.18．如图，在四棱锥A BCFE -中，四边形EFCB 为梯形，//EF BC ，且2EF BC =，ABC 是边长为2的正三角形，顶点F 在AC 上的射影为点G ，且3FG =，212CF =，52BF =．（1）求证：平面FGB ⊥平面ABC ； （2）求二面角E AB F --的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）1517． 【分析】（1）取AC 中点O ，连结OB ，利用勾股定理可求得BG 长，从而得到FG BG ⊥，由线面垂直的判定可证得FG ⊥平面ABC ，由面面垂直的判定定理可证得结论； （2）根据垂直关系，以O 为原点可建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得所求二面角的余弦值.【详解】（1）取AC 中点O ，连结OB ，顶点F 在AC 上投影为点G ，∴FG AC ．在Rt FGC △中，3FG =21CF =，32CG ∴=，12OG ∴=. ABC 为等边三角形，O 为AC 中点，BO AC ∴⊥在Rt GBO △中，3OB =12OG =，13BG ∴=． 222BG GF FB +=，FG BG ∴⊥．FG AC ⊥，AC BG G ⋂=，,AC BG ⊂平面ABC ，FG ∴⊥平面ABC ，又FG ⊂平面FGB ，∴平面FGB ⊥平面ABC .（2）由（1）知：OB FG ⊥，OB AC ⊥，又FG ⊥平面ABC ，则以O 为坐标原点，以OB 所在直线为x 轴，OC 所在直线为y 轴，过点O 作平面ABC 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则()0,1,0A -，)3,0,0B，10,32F ⎛- ⎝，33E -⎝， ()3,1,0BA =-∴-，33BE ⎛=-- ⎝，13,32BF ⎛=- ⎝， 设平面ABE 的法向量()111,,m x y z =，则11111303302m BA x y m BE x y z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩，令11x =，则13y =-112z =-，11,3,2m ⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭，设平面ABF 的法向量()222,,n x y z =，则222223013302n BA x y n BF x y z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩，令21x =，则23y =-212z =，11,3,2n ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，113154cos ,17171744m n m n m n+-⋅∴<>===⋅⨯，由图形可知：二面角E AB F--为锐二面角，∴二面角E AB F--的余弦值为15 17.【点睛】方法点睛：空间向量法求解二面角的基本步骤是：（1）建立空间直角坐标系，利用坐标表示出所需的点和向量；（2）分别求得二面角的两个半平面的法向量，根据向量夹角公式求得法向量的夹角；（3）根据图形或法向量的方向确定所求角为二面角的大小或二面角补角的大小. 19．某种机器需要同时装配两个部件S才能正常运行，且两个部件互不影响，部件S有两个等级：一等品售价5千元，使用寿命为5个月或6个月（概率均为0.5)；二等品售价2千元，使用寿命为2个月或3个月（概率均为0.5)（1）若从4件一等品和2件二等品共6件部件S中任取2件装入机器内，求机器可运行时间不少于3个月的概率．（2）现有两种购置部件S的方案，方案甲：购置2件一等品；方案乙：购置1件一等品和2件二等品，试从性价比（即机器正常运行时间与购置部件S的成本之比）角度考虑，选择哪一种方案更实惠．【答案】（1）4160；（2）方案乙更实惠．【分析】（1）由题意知机器运行时间不少于3个月，共有三种可能：第一，取到2个一等品，第二，取到1个一等品，1个二等品，且二等品的使用寿命为3个月，第三，取到2个二等品，且二者使用寿命均为3个月，由此利用互斥事件概率乘法公式能求出机器可运行时间不少于3个月的概率．（2）若采用甲方案，则机器正常运行的时间为X（单位：月），则X的可能取值为5，6，求出相应的概率，从而求出()E X，进而求出它与成本价之比；若采用方案乙，两个二等品的使用寿命之和Y（单位：月），Y的可能取值为4，5，6，分别求出相应的概率，记M为一等品的使用寿命（单位：月），此时机器的正常运用时间为Z，则Z的可能取值为4，5，6，分别求出相应的概率，从而求出Z的分布列()E Z，进而求出它与成本价之比．由此从性价比角度考虑，方案乙更实惠．【详解】解：（1）由题意知机器运行时间不少于3个月，共有三种可能：第一，取到2个一等品，对应概率为242625CC=，第二，取到1个一等品，1个二等品，且二等品的使用寿命为3个月，对应概率为11422614215 C CC⨯=，第三，取到2个二等品，且二者使用寿命均为3个月，对应概率为：22261112260C C ⨯⨯=， ∴机器可运行时间不少于3个月的概率241415156060P =++=． （2）若采用甲方案，则机器正常运行的时间为X （单位：月）， 则X 的可能取值为5，6，111(6)224P X ==⨯=，3(5)1(6)4P X P X ==-==， 则X 的分布列为：3121()56444E X ∴=⨯+⨯=，它与成本价之比为()215540E X =+， 若采用方案乙，两个二等品的使用寿命之和Y （单位：月），Y 的可能取值为4，5，6， 111(4)224P Y ==⨯=，111(5)2222P Y ==⨯⨯=，111(6)224P Y ==⨯=，则Y 的分布列为：记M 为一等品的使用寿命（单位：月），此时机器的正常运用时间为Z ， 则Z 的可能取值为4，5，6，1(4)(4)4P Z P Y ====， (5)(5P Z P M ===，5)(6Y P M >+=，131155)24228Y ==⨯+⨯=，111(6)(6)248P Z P M y =====⨯=，Z 的分布列为：15139()4564888E Z =⨯+⨯+⨯=，它与成本价之比为()1352224E Z =++，21134024<， ∴从性价比角度考虑，方案乙更实惠．【点睛】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用，考查互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20．已知椭圆C ：()222210y x a b a b +=>>()0,2．（1）求椭圆C 的方程；（2）若矩形ABCD 的四条边均与椭圆相切，求该矩形面积的取值范围．【答案】（1）2214y x +=；（2）[]8,10． 【分析】（1）根据椭圆的几何性质求出,a b 可得椭圆C 的方程；（2）①当矩形ABCD 的四条边与椭圆相切于顶点时，易知428S =⨯=，②当矩形的各边均不与坐标轴平行时，由矩形及椭圆的对称性，设出矩形的四条边所在的直线方程，利用直线与椭圆相切求出直线方程中参数之间的关系，利用平行直线的距离公式求出矩形的边长，利用矩形的面积公式求出面积，利用基本不等式可求出取值范围.【详解】（1）c e a ==∴224a b =又椭圆C 过点()0,2，∴24a =，21b =∴椭圆C 的方程：2214y x +=．（2）①当矩形ABCD 的四条边与椭圆相切于顶点时，易知428S =⨯=，②当矩形的各边均不与坐标轴平行时，由矩形及椭圆的对称性，设其中一边所在的直线方程为：y kx m =+(0)k ≠，则其对边所在的直线方程为：y kx m =-(0)k ≠， 另外两边所在的直线方程分别为：1y x n k =-+，1y x n k=--， 联立2244y kx mx y =+⎧⎨+=⎩，消去y 并整理可得：222(4)240k x kmx m +++-=， 由题意可得222244(4)(4)0k m k m ∆=-+-=， 整理可得224k m +=， 同理可得2214n k+=， 设两平行直线y kx m =+与y kx m =-之间的距离为1d，则1d ==== 设两平行直线1y x n k =-+与1y x n k=--之间的距离为2d，则2d =====， 依题意可知，12,d d 为矩形的两邻边的长度， 所以矩形的面积12S d d =⋅444===44== 因为20k >，所以2212k k+≥，当且仅当21k =时取等号，所以22990,142k k⎛⎤∈ ⎥⎝⎦++，52,2⎛⎤⎥⎝⎦，所以(]8,10S ∈．综上所述：该矩形面积的取值范围为[]8,10．【点睛】关键点点睛：利用直线与椭圆相切和平行直线间的距离公式求出矩形的面积是本题解题关键.21．已知函数1()2ln x f x e x x -=-+.（1）求()f x 的单调区间；（2）证明：3()(2)3(2)f x x x ---.【答案】（1）单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞；（2）证明见解析【分析】（1）求导函数，利用(1)=0f '，解()0f x '<函数单调减区间. 解()0f x '>得单调递增区间.（2）先求出3()(2)3(2)g x x x =---在03x <≤的极大值为2，由min ()(1)2==f x f 得在03x <≤成立；再设13()()()e2ln (2)46(3)x h x f x g x x x x x -=-=---+->利用导数法研究函数()h x 在(3,+) 内单调性进行证明()0h x >.【详解】（1）解：()f x 的定义域为(0,)+∞，12()e 1x f x x-'=-+， 12()e 1x f x x -'=-+在(0,)+∞上单调递增，且()01f '=. 令()0f x '<，得01x <<，则()f x 的单调递减区间为(0,1)；令()0f x '>，得1x >，则()f x 的单调递增区间为(1,)+∞.（2）证明：设3()(2)3(2)(0),()3(1)(3)g x x x x g x x x '=--->=--.令()0g x '<，得13x <<；令()0g x '>，得01x <<或3x >.所以当1x =时，()g x 取得极大值，且极大值为2，由（1）知，min ()(1)2==f x f ，故当03x <≤时，3()(2)3(2)f x x x ---.设13()()()e 2ln (2)46(3)x h x f x g x x x x x -=-=---+->，122()e 3(2)4x h x x x -'=---+，设122()(),()e 6(2)x p x h x p x x x-''==+--， 设134()(),()e 6x q x p x q x x-''==--，易知()q x '在(3,)+∞上单调递增， 则24()(3)e 6027q x q ''>=-->，则()q x 在(3,)+∞上单调递增，从而22()(3)609p x p e ''>=+->，则()h x '在(3,)+∞上单调递增， 则21()(3)03h x h e ''>=+>，从而()h x 在(3,)+∞上单调递增， 所以2()(3)e 52ln 30h x h >=+->，故当3x >时，3()(2)3(2)f x x x ---，从而3()(2)3(2)f x x x ---得证.【点睛】本题考查求含参数函数的单调区间及利用导数证明不等式.导数法研究函数()f x 在(,)a b 内单调性的步骤：(1)求()'f x ；(2)确定()'f x 在(,)a b 内的符号；(3)作出结论：()0f x '>时为增函数；()0f x '<时为减函数．研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．利用导数证明不等式()()f x g x >的基本方法：(1)若()f x 与()g x )的最值易求出，可直接转化为证明()()min max f x g x >；(2)若()f x 与()g x 的最值不易求出，可构造函数()()()h x f x g x ＝ ，然后根据函数()h x 的单调性或最值，证明()0h x >22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t ϕϕ=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，[0,)ϕπ∈），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4cos()3πρθ=-.（1）求圆C 的直角坐标方程；（2）设()1,1P ，若直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，求||PA PB -的最大值.【答案】（1）2220x y x +--=；（2）4.【分析】（1）根据极坐标与直角坐标的转化公式，求得圆C 的直角坐标方程；（2）将直线方程与圆联立，由直线参数方程中参数的几何意义及根与系数的关系，求得||PA PB -的最大值.【详解】（1）圆C 的极坐标方程为：4cos()3πρθ=-，则22cos sin ρρθθ=+由极坐标与直角坐标的转化公式得222x y x +=+，所以：2220x y x +--=.（2）将线l 的参数方程为：1cos 1sin x t y t ϕϕ=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），代入2220x y x +--=.所以21)sin 0t t ϕ-⋅-=设点A ，B 所对应的参数为1t 和2t ，则121)sin t t ϕ+=，12t t ⋅=-则12||||PA PB t t -=-==当sin 1ϕ=时，||PA PB -的最大值为4.【点睛】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的相互转化，直线参数方程的应用，属于中档题.23．已知,,a b c 为正数,且2a b c ++=,证明: (1)43ab bc ac ++≤； (2)2228a b c b c a---⋅⋅≥. 【答案】（1）见解析（2）见解析【分析】（1）将a +b +c ＝2平方，然后将基本不等式2222222,2,2a b ab b c bc a c ac +≥+≥+≥三式相加，进行证明；（2）由2a b c b b -+=≥22b a c c b a c c a a -+-+=≥=≥，三式相乘进行证明.【详解】(1)将a +b +c ＝2平方得:2222224a b c ab ab ac +++++=，由基本不等式知:2222222,2,2a b ab b c bc a c ac +≥+≥+≥，三式相加得:222a b c ab bc ac ++≥++，则2224222333a b c ab bc ac ab bc ac =+++++≥++ 所以43ab bc ac ++≤，当且仅当a ＝b ＝c ＝23时等号成立(2)由2a b c b b b -+=≥，同理22b a c c b a c c c a a a -+-+=≥=≥则2228a b c b c a ---⋅⋅≥=， 即2228a b c b c a ---⋅⋅≥当且仅当23a b c ===时等号成立 【点睛】本题考查利用基本不等式进行证明，属于中档题.。

=
3 e
−
2e
，当
P
的横坐标趋近于
+
时，直线
PF1
的斜率趋近
b a
，故
3 e
−
2e
−1,
−
1 e
，得
e
2,
3 2
．
8
13．1 2
因为
f
(
x)
为奇函数，所以
f
(0)
=
−1+
m
=
0
，则
m
= 1，
f
(1)
=
−
f
(−1)
=
−
−1−
21．已知函数 f (x) = x ln(ax) − e−a （ a R ，且 a 0 ， e 为自然对数的底）．
（1）求函数 f ( x) 的单调区间．
（2）若函数 g(x) = f (x) + ln a 在 (0, +) 有零点，证明： 1 + 2 1 ．
e
a +1 ea e
（二）选考题
5
22．［选修 4－4：坐标系与参数方程］
数学中有许多寓意美好的曲线，在极坐标系中，曲线 C ： = sin 3 （ R ， 0, 2 ) ）被称为“三叶
玫瑰线”（如图所示）． （1）求以极点为圆心的单位圆与三叶玫瑰线交点的极坐标；
（2）射线 l1 ， l2 的极坐标方程分别为
= 0
，
= 0
+
2
三、解答题 （一）必考题
17．在 ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ， bsin A = 3sin B ， b2 + c2 − a2 = bc ． （1）求 ABC 外接圆的面积； （2）若 BC 边上的中线长为 3 3 ，求 ABC 的周长．

绝密★启用前河南省新乡市新乡县第一中学2021届高三毕业班第一次调研数学（文）试卷学校：2、请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.已知集合(){}lg 21A x x =-<，集合{}2230B x x x =--<，则AB 等于()A ．()2,12B ．()1,3-C ．()1,12-D ．()2,32.已知向量()()1,2,3,a b m =-=，m R ∈，则“6m =-”是“()//a a b +”的() A ．充要条件 B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 3.若命题2:1,2n p n n ∃>>，则p ⌝为() A ．21,2n n n ∀>>B ．21,2n n n ∃≤≤C ．21,2n n n ∀>≤D ．21,2n n n ∃>≤4.在下列区间中,函数()e 43x f x x =+-的零点所在的区间为() A.1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭B.10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C.11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭D.13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭5.指数函数()xf x a =（0a >，且1a ≠）在R 上是减函数，则函数()22a g x x -=在其定义域上的单调性为() A ．单调递增B ．单调递减C ．在()0,+∞上递增，在(),0-∞上递减D ．在()0,+∞上递减，在(),0-∞上递增6.已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当[]0,1x ∈时，()3f x x =，且R x ∀∈，()()2f x f x =-，则()2017.5f =()A ．18B ．18- C ．0 D ．17.已知函数()()22,0ln 1,0x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩若()f x ax ≥，则a 的取值范围是()A ．(],0-∞B ．(],1-∞C ．[]2,1-D ．[]2,0-8.太极图是以黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，它形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种互相转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O 被πsin 6y x =的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为()A ．136 B ．118 C ．112 D ．199.为了测试小班教学的实践效果，王老师对A B 、两班的学生进行了阶段测试，并将所得成绩统计如图所示；记本次测试中，A B 、两班学生的平均成绩分别为A B x x 、，A B 、两班学生成绩的方差分别为22,A B S S ，则观察茎叶图可知()A ．22,AB A B x x S S << B ．22,A B A B x x S S ><C ．22,A B A B x x S S <>D ．22,A B A B x x S S >>10.下列说法中正确的是()A.先把高三年级的2000名学生编号：1到2000，再从编号为1到50的50名学生中随机抽取1名学生，其编号为m ，然后抽取编号为50,100,150m m m +++⋅⋅⋅的学生，这样的抽样方法是分层抽样法B.线性回归直线ˆˆˆybx a =+不一定过样本中心点(),x y C.若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r 的值越接近于1D.若一组数据13a 、、的平均数是2，则该组数据的方差是2311.已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则() A ．a b c << B ．a c b << C ．c a b << D ．b c a <<12.已知函数()21,g x a x x e e e ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭为自然对数的底数与()2ln h x x =的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是()A ．211,2e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦B ．21,2e ⎡⎤-⎣⎦ C ．2212,2e e ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦D ．)22,e ⎡-+∞⎣ 二、填空题13.若sin π163α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2cos 62πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭________．14.函数e x y mx =-在区间(]0,3上有两个零点，则m 的取值范围是_________.15.已知函数()()231,1,1x a x x f x a x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩－＋单调递减，则实数a 的取值范围为__________.16.已知R λ∈，函数()1,0lg ,0x x f x x x ⎧+<=⎨>⎩，()2414g x x x λ=-++，若关于x 的方程()f g x λ⎡⎤=⎣⎦有6个解，则λ的取值范围为_____________.三、解答题17.已知集合{}30A x x =-≤<，集合{}22B x x x =->（1）求A B ；（2）若集合{}22C x a x a =≤≤+，且()AB C ⊆，求实数a 的取值范围．18.已知函数()11xaf x e =++为奇函数． （1）判断()f x 的单调性并证明；（2）解不等式()()22log 30f x f x +-≤.19.已知224:2,:440(0)x p q x x m m x+>-+-<>，命题“若p ⌝则q ⌝”为假命题，命题“若q ⌝则p ⌝”为真命题，求实数m 的取值范围.20.峰谷电是目前在城市居民当中开展的一种电价类别．它是将一天24小时划分成两个时间段，把8：00—22：00共14小时称为峰段，执行峰电价，即电价上调；22：00—次日8：00共10个小时称为谷段，执行谷电价，即电价下调．为了进一步了解民众对峰谷电价的使用情况，从某市一小区随机抽取了50户住户进行夏季用电情况调查，各户月平均用电量以[)100,300，[)300,500，[)500,700，[)700,900，[)900,1000，[]1100,1300（单位：度）分组的频率分布直方图如下：若将小区月平均用电量不低于700度的住户称为“大用户”，月平均用电量低于700度的住户称代表）；:99%附：()22()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，60cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E F 、在AB 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设cm AE FB x ==（1）某广告商要求包装盒侧面积()2cm S 最大，试问x 应取何值？（2）某广告商要求包装盒容积()3cm V 最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.22.已知函数()ln af x x x=-. （1）若()f x 在处取得极值，求实数a 的值； （2）若()53f x x ≥-恒成立，求实数a 的取值范围.3=x参考答案1.答案：C解析：集合{lg(2)1}{0210}{212}A xx x x x x =-<=<-<=<<∣∣∣， 集合2{230}{13}B x x x x x =--<=-<<∣∣， 则{112}(1,12)A B xx =-<<=-∣。

立体几何1．[四川省宜宾市第四中学高2020届一诊模拟考试理科数学]若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A ．2B ．1C ．D ．【答案】B2．[湖南省衡阳县2020届高三12月联考数学（理）试题]【答案】D 【解析】3．[【全国百强校首发】四川省棠湖中学2020届高三一诊模拟考试数学（理）试题] 在正方体1111ABCD A B C D -中，动点E 在棱1BB 上，动点F 在线段11A C 上，O 为底面ABCD 的中心，若1,BE x A F y ==，则四面体O AEF -的体积 A ．与,x y 都有关 B ．与,x y 都无关 C ．与x 有关，与y 无关D ．与y 有关，与x 无关【答案】B4．[黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2020届高三上学期期中考试数学（理）试题]5．[四川省宜宾市第四中学高2020届一诊模拟考试理科数学] 一个圆锥SC的高和底面直径相等，且这个圆锥SC和圆柱OM的底面半径及体积也都相等，则圆锥SC和圆柱OM的侧面积的比值为A．322B．23C．35D．45【答案】C6．[辽宁葫芦岛锦化高中协作校高三上学期第二次考试数学理科试题]【答案】D【解析】7．[广东省三校（广州真光中学、深圳市第二中学、珠海市第二中学）2020届高三上学期第一次联考数学（理）试题] 在如图直二面角A­BD­C中，△ABD、△CBD均是以BD为斜边的等腰直角三角形，取AD的中点E，将△ABE 沿BE 翻折到△A1BE，在△ABE的翻折过程中，下列不可能成立的是A．BC与平面A1BE内某直线平行B．CD∥平面A1BEC．BC与平面A1BE内某直线垂直D．BC⊥A1B【答案】D8．[湖南省衡阳县2020届高三12月联考数学（理）试题]【答案】D【解析】9．[陕西省汉中市2020届高三教学质量第一次检测考试理科数学试题] 圆锥的侧面展开图是半径为R 的半圆，则该圆锥的体积为________. 【答案】33πR 10．[辽宁省本溪高级中学2020届高三一模考试数学（理）试卷]【答案】4π11．[安徽省合肥一中、安庆一中等六校教育研究会2020届高三上学期第一次素质测试数学（理)试题] 如图，在棱长为 1 的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是AD 的中点，动点P 在底面ABCD 内（不包括边界），若1B P ∥平面1A BM ，则1C P 的最小值是________．【答案】305【解析】 【分析】由面面平行找到点P 在底面ABCD 内的轨迹为线段DN ，再找出点P 的位置，使1C P 取得最小值，即1C P 垂直DN 于点O ，最后利用勾股定理求出最小值. 【详解】取BC 中点N ，连接11,,B D B N DN ，作CO DN ⊥，连接1C O ，因为平面1B DN ∥平面1A BM ，所以动点P 在底面ABCD 内的轨迹为线段DN ，当点P 与点O 重合时，1C P 取得最小值，因为11152225DN CO DC NC CO ⋅=⋅⇒==，所以221min 11130()155C P C O CO CC ==+=+=. 故1C P 的最小值是305. 【点睛】本题考查面面平行及最值问题，求解的关键在于确定点P 的位置，再通过解三角形的知识求最值.12．[四川省成都外国语学校2019-2020学年高三（上）期中数学试卷（理科）]已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的半径为________．21【答案】【解析】【分析】根据三视图还原几何体，设球心为O，根据外接球的性质可知，O与PAB△和正方形ABCD中心的连线分别与两个平面垂直，从而可得到四边形OGEQ 为矩形，求得OQ和PQ后，利用勾股定理可求得外接球半径.【详解】由三视图还原几何体如下图所示：设PAB△的中心为Q，正方形ABCD的中心为G，外接球球心为O，则OQ⊥平面PAB，OG⊥平面ABCD，E为AB中点，∴四边形OGEQ为矩形，112OQ GE BC ∴===，2233PQ PE ==， ∴外接球的半径：22213R GE PQ =+=. 故答案为21. 【点睛】本题考查多面体外接球半径的求解，关键是能够根据球的性质确定球心的位置，从而根据长度关系利用勾股定理求得结果. 13．[湖南省衡阳县2020届高三12月联考数学（理）试题]【答案】【解析】14．[黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2020届高三上学期期中考试数学（理）试题]【答案】1 315．[江苏省南通市2020届高三第一学期期末考试第一次南通名师模拟试卷数学试题]如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD是平行四边形，平面ABP⊥平面BCP，90APB=，M为CP的中点．求证：∠=︒，BP BC（1）AP//平面BDM；（2）BM ACP⊥平面．【解析】（1）设AC 与BD 交于点O ，连接OM ， 因为ABCD 是平行四边形，所以O 为AC 中点， 因为M 为CP 的中点，所以AP ∥OM ， 又AP ⊄平面BDM ，OM ⊂平面BDM ， 所以AP ∥平面BDM ．（2）平面ABP ⊥平面BCP ，交线为BP ， 因为90APB ∠=︒，故AP BP ⊥，因为AP ⊂平面ABP ，所以AP ⊥平面BCP ， 因为BM ⊂平面BCP ，所以AP ⊥BM ． 因为BP BC =，M 为CP 的中点，所以BM CP ⊥． 因为AP CP P =I ，AP CP ⊂，平面ACP ， 所以BM ⊥平面ACP .16．[河南省新乡市高三第一次模拟考试（理科数学）] 如图，在四棱锥ABCDV -中，二面角D BC V --为︒60，E 为BC 的中点. （1）证明：VE BC =；（2）已知F 为直线VA 上一点，且F 与A 不重合，若异面直线BF 与VE 所成角为︒60，求.VA VFABCDPMABCDPMO【解析】17．[四川省成都外国语学校2019-2020学年高三（上）期中数学试卷（理科）]如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，PA=AB=2，点E，F分别为BC，PD的中点，设直线PC与平面AEF交于点Q．（1）已知平面PAB∩平面PCD=l，求证：AB∥l．（2）求直线AQ 与平面PCD 所成角的正弦值． 【解析】 【分析】（1）证明AB ∥平面PCD ，然后利用直线与平面平行的性质定理证明AB ∥l ； （2）以点A 为原点，直线AE 、AD 、AP 分别为轴建立空间直角坐标系，求出平面PCD 的法向量和直线AQ 的方向向量，然后利用空间向量的数量积求解直线AQ 与平面PCD 所成角的正弦值即可．【详解】（1）证明：∵AB ∥CD ，AB ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ． ∴AB ∥平面PCD ，∵AB ⊂平面PAB ，平面PAB ∩平面PCD =l ， ∴AB ∥l ；（2）∵底面是菱形，E 为BC 的中点，且AB =2， ∴13BE AE AE BC ==⊥,,， ∴AE ⊥AD ，又PA ⊥平面ABCD ，则以点A 为原点，直线AE 、AD 、AP 分别为x 、y 、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则()()()()020,002,30,300D P C E,,,,,,,,，∴()0,1,1F ，()()()()3000,11310022AE AF DC DP ===-=-u u u r u u u r u u u r u u u r,,,,,,,,,,，设平面PCD 的法向量为(),,x y z =n ，有0PD ⋅=u u u r n ，0CD ⋅=u u u rn ，得()133=，，n ，设()1AQ AC AP λλ=+-u u u r u u u r u u u r，则()()321AQ λλλ=-u u u r ,,，再设(3,,)AQ mAE n m n n AF =+=u u u r u u u r u u u r，则()3321m n nλλλ⎧=⎪=⎨⎪-=⎩，解之得23m n λ===，∴2223333AQ ⎛⎫=⎪⎝⎭u u u r ,,， 设直线AQ 与平面PCD 所成角为α，则3105sin cos ,AQ AQ AQα⋅>=<==u u u r u u u r u u u r n n n ，∴直线AQ 与平面PCD 所成角的正弦值为3105． 【点睛】本题考查直线与平面平行的判定定理以及性质定理的应用，直线与平面所成角的向量求法，合理构建空间直角坐标系是解决本题的关键，属中档题.18．[安徽省合肥一中、安庆一中等六校教育研究会2020届高三上学期第一次素质测试数学（理)试题] 已知三棱柱111ABC A B C -中，1AB AC AA ==，侧面11ABB A ⊥底面ABC ，D 是BC 的中点，160B BA ∠=︒，1B D AB ⊥.（1）求证：ABC △为直角三角形；（2）求二面角1C AD B --的余弦值． 【解析】（1）取AB 中点O ，连接OD ，1B O ，易知1ABB △为等边三角形，从而得到1B O AB ⊥，结合1B D AB ⊥，可根据线面垂直判定定理得到AB ⊥平面1B OD ，由线面垂直的性质知AB OD ⊥，由平行关系可知AB AC ⊥，从而证得结论；（2）以O 为坐标原点可建立空间直角坐标系，根据空间向量法可求得平面1ADC 和平面ADB 的法向量的夹角的余弦值，根据所求二面角为钝二面角可得到最终结果. 【详解】（1）取AB 中点O ，连接OD ，1B O ，在1ABB △中，1AB B B =，160B BA ∠=︒，1ABB ∴△是等边三角形， 又O 为AB 中点，1B O AB ∴⊥，又1B D AB ⊥，111B O B D B =I ，11,B O B D ⊂平面1B OD ，AB ∴⊥平面1B OD ，OD ⊂Q 平面1B OD ，AB OD ∴⊥， 又OD AC ∥，AB AC ∴⊥， ∴ABC △为直角三角形.（2）以O 为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系：令12AB AC AA ===，则()1,2,0C -，()1,0,0A -，()0,1,0D ，()1,0,0B ，()10,0,3B ，()11,0,3BB ∴=-u u u v ，()0,2,0AC =u u u v ，()1,1,0AD =u u u v，()1111,2,3AC AC CC AC BB =+=+=-u u u u v u u u v u u u u v u u u v u u u v，设平面1ADC 的法向量为(),,x y z =m ，10230AD x y AC x y z ⎧⋅=+=⎪∴⎨⋅=++=⎪⎩u u u v u u u u v m m ，令1x =，则1y =-，3z =，()1,1,3∴=-m ， 又平面ADB 的一个法向量为()0,0,1=n ，315cos ,5113∴<>==++m n ， Q 二面角1C AD B --为钝二面角，∴二面角1C AD B --的余弦值为15-.【点睛】本题考查立体几何中垂直关系的证明、空间向量法求解二面角的问题，涉及到线面垂直判定定理和性质定理的应用；证明立体几何中线线垂直关系的常用方法是通过证明线面垂直得到线线垂直的关系.19．[江西省宜春市上高二中2020届高三上学期第三次月考数学（理）试题]20．[黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2020届高三上学期期中考试数学（理）试题]21．[辽宁葫芦岛锦化高中协作校高三上学期第二次考试数学理科试题]【解析】22．[【全国百强校首发】四川省棠湖中学2020届高三一诊模拟考试数学（理）试题] 如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD为矩形，平面PCD⊥平面ABCD,2AB=,1BC=，2PC PD==，E为PB中点．（1）求证：PD∥平面ACE；（2）求二面角E AC D--的余弦值；（3）在棱PD上是否存在点M，使得AM⊥BD？若存在，求PMPD的值；若不存在，说明理由．【解析】（1）设BD交AC于点F，连接EF. 因为底面ABCD是矩形，所以F为BD中点 . 又因为E为PB中点，所以EF∥PD.因为PD ⊄平面,ACE EF ⊂平面ACE ，所以PD ∥平面ACE.（2）取CD 的中点O ，连接PO ，FO .因为底面ABCD 为矩形，所以BC CD ⊥.因为PC PD =，O CD 为中点，所以,PO CD OF ⊥∥BC ，所以OF CD ⊥. 又因为平面PCD ⊥平面ABCD ，PO ⊂平面,PCD 平面PCD ∩平面ABCD =CD . 所以PO ⊥平面ABCD ，如图，建立空间直角坐标系O xyz -， 则111(1,1,0)(0,1,0)(1,1,0),(0,0,1),(,,)222A C B P E -，,， 设平面ACE 的法向量为(,,)x y z =m ，131(1,2,0),(,,)222AC AE =-=-u u u r u u u r ， 所以20,2,0,131.00222x y x y AC z y x y z AE -+=⎧⎧=⎧⋅=⎪⇒⇒⎨⎨⎨=--++=⋅=⎩⎩⎪⎩u u u v u u u v m m 令1y =，则2,1x z ==-，所以2,11=-（，）m .平面ACD 的法向量为(0,0,1)OP =u u u r ，则6cos ,OP OP OP⋅<>==-⋅u u u r u u u r u u u r m m |m |. 如图可知二面角E AC D --为钝角，所以二面角E AC D --的余弦值为66-. （3）在棱PD 上存在点M ，使AM BD ⊥.设([0,1]),(,,)PM M x y z PD=∈λλ，则,01,0PM PD D =-u u u u r u u u r λ（，）.因为(,,1)(0,1,1)x y z -=--λ，所以(0,,1)M --λλ. (1,1,1),(1,2,0)AM BD =---=--u u u u r u u u r λλ.因为AM BD ⊥，所以0AM BD ⋅=u u u u r u u u r .所以12(1)0λ--=，解得1=[0,1]2∈λ. 所以在棱PD 上存在点M ，使AM BD ⊥，且12PM PD =。

河南省新乡市多校联考2025届高三上学期调研考试数学题一、单选题1．若()()12i z a a a =-+-∈R 为纯虚数，则z =（ ） A ．0B ．1C ．2D ．32．已知向量()()2,1,4,9a m b m =-=+r r ，且()a ab ⊥+r r r ，则m =（ ）A ．4B ．3C ．2D ．13．设集合{}{}29,2A x x B x x a =≥=<，若B A ⊆，则a 的取值范围是（ ）A ．(],6∞--B ．(],2-∞-C ．[)3,+∞D ．[)6,+∞4．函数()πcos 4f x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的最大值为（ ）A．1BCD ．05．已知某圆锥的轴截面是顶角为α的等腰三角形，侧面展开图是圆心角为β的扇形，若3βα=，则β=（ ）A ．π3B ．π2C ．2π3D ．π6．已知函数()()22lg 9,01,32,12x x f x ax x x ⎧+<≤⎪=⎨++<<⎪⎩在区间()0,2内单调递增，则a 的取值范围为（ ）A ．3,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．[)2,+∞C ．[)5,-+∞D ．3,24⎡⎫-⎪⎢⎣⎭7．设cos20a ︒==（ ）A ．213a -B ．212+aC ．aD ．2a8．设抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，直线l 与C 交于A ，B 两点，FA FB ⊥，2FA FB =，则l 的斜率是（ ） A ．±1B．C．D ．±2二、多选题9．已知0,0a b >>，则双曲线22122:1x y C a b -=与22222:4x y C a b-=有相同的（ ） A ．焦点B ．焦距C ．离心率D ．渐近线10．随机投掷一枚质地均匀的骰子3次，记3次掷出的点数之积为X ，掷出的点数之和为Y ，则（ ）A ．事件“2X =”和“4Y =”相等B ．事件“4X =”和“6Y =”互斥C ．X 为奇数的概率为18D ．17Y <的概率为535411．已知函数()f x 的定义域为R ，且其图象是一条连续不断的曲线，()()()f xy xf y yf x =+，记()f x '为()f x 的导函数，则下列说法正确的是（ ）A ．()00f =B ．()f x 为奇函数C ．若112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()48f =-D ．若()f x '在()0,∞+上单调递减，则()f x 恰有三个零点三、填空题12．2024年7月14日13时，2024年巴黎奥运会火炬开始在巴黎传递，其中某段火炬传递活动由包含甲、乙、丙在内的5名火炬手分四棒完成，若甲传递第一棒，最后一棒由2名火炬手共同完成，且乙、丙不共同传递火炬，则不同的火炬传递方案种数为． 13．在数列{}n a 中，2n n ca =，且1281516a a a +++>L ，则实数c 的取值范围是．14．已知正数,x y 9xy =，则224x y +的最小值为．四、解答题15．在ABC V 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2222sin b c a ac B +-=． (1)求A ；(2)若2a =，求ABC V 面积的最大值．16．氮氧化物是一种常见的大气污染物，下图为我国2015年至2023年氮氧化物排放量（单位：万吨）的折线图，其中年份代码1~9分别对应年份2015~2023．已知9112000i i y =≈∑1007.7≈，9151800i i i t y =≈∑．(1)可否用线性回归模型拟合y 与t 的关系？请分别根据折线图和相关系数加以说明． (2)若根据所给数据建立回归模型$1382025t y =-+，可否用此模型来预测2024年和2034年我国的氮氧化物排放量？请说明理由．附：相关系数ni it y ntyr -=∑．17．如图，在四棱锥S ABCD -中，SAD V 为正三角形，底面ABCD 为矩形，且平面SAD ⊥平面,,ABCD M N 分别为棱,SC AB 的中点．(1)证明：//MN 平面SAD ；(2)若AB AD >，且二面角C MN D --的大小为120°，求ABAD的值． 18．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，且122F F =，过点2F 作两条直线12,l l ，直线1l 与C 交于,AB 两点，1F AB V 的周长为 (1)求C 的方程；(2)若1F AB V 的面积为43，求1l 的方程；(3)若2l 与C 交于,M N 两点，且1l 的斜率是2l 的斜率的2倍，求MN AB -的最大值．19．已知函数()2012nn f x a a x a x a x =++++L ，其中012,,,,n a a a a L不全为0，并约定10n a +=，设()11k k k b k a a +=+-，称()2012nn g x b b x b x b x =++++L 为()f x 的“伴生函数”．(1)若()425331f x x x x =+++，求()g x ；(2)若()0f x >恒成立，且曲线()ln (0)y f x x =>上任意一点处的切线斜率均不小于2，证明：当0x >时，()()g x f x ≥；(3)若00a =，证明：对于任意的()0,m ∈+∞，均存在()0,t m ∈，使得()()f mg t m<．。

新乡市2021届高三第一次模拟考试理科综合考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共300分。

考试时间150分钟。

2．请将各题答案填写在答题卡上。

3．可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 N 14 Na 23 K 39第Ⅰ卷（选择题共126分）一、选择题：本题共13小题，每小题6分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下列关于蛋白质和核酸的叙述，错误的是A．细胞或病毒的蛋白质均由核糖体合成B．某些蛋白质和RNA可以通过核孔C．蛋白质的多样性根本上取决于核酸中遗传信息的多样性D．煮沸会破坏蛋白质中的肽键以及核酸中的氢键2．某生物兴趣小组在最适温度条件下，探究唾液淀粉酶浓度对酶促反应速率的影响，实验结果如右图所示。

下列相关分析正确的是A．若实验温度提高10℃，则XY段会整体上移B．XY段酶促反应速率不再加快最可能是受淀粉浓度的限制C．唾液淀粉酶可以为该酶促反应提供能量D．该实验应在溶液pH为1．8的条件下进行，pH属于无关变量3．下列关于DNA的叙述，正确的是A．肺炎双球菌的体外转化实验和T2噬菌体侵染大肠杆菌的实验都能证明DNA是主要的遗传物质B．一个被35S标记的T2噬菌体在侵染大肠杆菌后繁殖3代，子代T2噬菌体中含35S的约占1／4C．遗传信息指的是DNA中的脱氧核苷酸序列，其中DNA中的一个片段就是一个基因D．真核细胞中DNA分布和复制的部位有细胞核、线粒体和叶绿体4．图甲中a处表示神经纤维与肌细胞接头（突触的一种），图乙是a处的放大图，乙酰胆碱（Ach）与肌肉细胞膜上的相应受体结合，会引起肌肉收缩。

将两个微电极置于图甲中b、c两处神经细胞膜外，并与灵敏电流计正负两极相连。

下列相关叙述错误的是A．若在图甲中的e处给予刺激，则电流计的指针会发生两次方向相反的偏转B．图乙中的Ach与Ach受体结合后，会引起肌细胞快速吸收Na＋C．图乙中的Ach与Ach受体结合后，正常情况下会持续发挥作用5．下图1为一家庭某单基因遗传病的遗传系谱图，图2表示两条性染色体的三个区段。

2021届河南省新乡市一中高三上学期第一次质量预测数学（文）试题一、单选题1．已知集合{1234}A =，，，，{}|13B x x =-<<，则A B =（ ） A ．{}1B ．{1}2，C ．{123}，， D ．14}2{3，，， 【答案】B 【解析】直接找出集合A 中元素满足在(13)-，内的元素即可. 【详解】由集合{1234}A =，，，，{}|13B x x =-<<， 则={1,2}A B .故选：B.【点睛】考查两个集合的交集，属于基础题.2．复数1ii z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】D【解析】化简复数21(1)=(1)1i ii i i z i i ++==--=-，再判断对应点所在象限. 【详解】 21(1)=(1)1i ii i i z i i ++==--=- 所以复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,1)-，位于第四象限，故选：D【点睛】 本题考查复数的除法运算，复数在复平面上对应的点的坐标,属于基础题.3．设132a =， 3214b ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 21log 2c =，则（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>【答案】A 【解析】根据指数函数与对数函数图像和性质，结合中间值法即可比较大小.【详解】由指数函数与对数函数图像和性质可知，1312a =>，231140b ⎛⎫< ⎪⎝⎭<=，21log 02c =<， 所以a b c >>，故选:A.【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的图像与性质应用，比较函数值大小，注意中间值法的应用，属于基础题.4．设,αβ是两个不同的平面，,l m 是两条不同的直线，且l α⊂，m β⊂，则（ ）A ．若//αβ，则//l mB ．若//m a ，则//αβC ．若m α⊥，则αβ⊥D ．若αβ⊥，则//l m【答案】C【解析】根据空间线线、线面、面面的位置关系，对选项进行逐一判断可得答案.【详解】A. 若//αβ，则l 与m 可能平行，可能异面，所以A 不正确.B. 若//m a ，则α与β可能平行，可能相交，所以B 不正确.C. 若m α⊥，由m β⊂，根据面面垂直的判定定理可得αβ⊥，所以C 正确.D 若αβ⊥，且l α⊂，m β⊂，则l 与m 可能平行，可能异面，可能相交, 所以D 不正确.【点睛】本题考查空间线线、线面、面面的位置判断定理和性质定理，考查空间想象能力，属于基础题.5．“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样，为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷2000个点，己知恰有800个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是A．165B．185C．10D．325【答案】B【解析】边长为3的正方形的面积S正方形＝9，设阴影部分的面积为S阴，由几何概型得8002000SS=阴正方形，由此能估计阴影部分的面积．【详解】解：为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，则边长为3的正方形的面积S正方形＝9，设阴影部分的面积为S阴，∵该正方形内随机投掷2000个点，已知恰有800个点落在阴影部分，∴8002000SS=阴正方形，解得S阴800800189 200020005S=⨯=⨯=正方形，∴估计阴影部分的面积是185．故选：B．【点睛】本题考查阴影面积的求法，考查几何概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．6．若变量x，y满足约束条件则340x yx yx y+≥⎧⎪-≥⎨⎪+-≤⎩，则2y x-的最小值是（）A．-1 B．-6 C．-10 D．-15【答案】B【解析】根据约束条件作出不等式组表示的平面区域,将目标函数化成2y x z =+，表示直线在y 轴上的截距,然后将目标函数平移经过可行域，可得其最值.【详解】由00340x y x y x y +≥⎧⎪-≥⎨⎪+-≤⎩作出可行域，如图.设2z y x =-，化成2y x z =+，表示直线在y 轴上的截距.2y x -的最小值,即直线2y x z =+在y 轴上的截距最小.由图可知，直线2y x z =+过点(22)B ，-时截距最小。

2021届河南省南阳、信阳等六市高三第一次联考数学（理）试题一、选择题1．已知集合，，则的子集的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 4【答案】C【解析】由解得，所以只有一个元素，因此集合的子集就是空集和它本身，故选C．2．复数满足，则复数的实部与虚部之和为（）A. B. C. 1 D. 0【答案】D【解析】由得：，所以，故选D．3．设直线是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列事件中是必然事件的是（）A. 若，则 B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】D【解析】对于选项D，两条平行线分别垂直两个平面，则其中一条必和另一个平面垂直，所以必同时垂直一条直线，所以平行，故选D．4．给出下列四个结论：①已知服从正态分布，且，则；②若命题，则；③已知直线，则的充要条件是．其中正确的结论的个数为：（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】对于①，由正态分布知识知，对于②，命题的否定，只需要否定结论，所以，对于③两直线垂直的充要条件是，它与不等价，故选B．5．在中，，则=A. -1B. 1C.D. -2【答案】A【解析】试题分析：，，．故选A．【考点】三角函数的同角关系，两角和的正切公式．6．右边程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图（图中“m MOD n”表示除以的余数），若输入的，分别为495，135，则输出的=（）A. 0B. 5C. 45D. 90【答案】C【解析】试题分析：由算法流程图可以看出输出的的值为,选答案C．【考点】算法流程图的识读．7．已知，其中实数满足，且的最大值是最小值的4倍，则的值是（）A. B. C. 4 D.【答案】D【解析】试题分析：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y得y=-2x+z，平移直线y=-2x+z，由图象可知当直线y=-2x+z经过点A时，直线的截距最大，此时z最大，由，解得即A（1，1），此时z=2×1+1=3，当直线y=-2x+z经过点B时，直线的截距最小，此时z最小，由，解得，即B（m，m），此时z=2×m+m=3m，∵目标函数z=2x+y的最大值是最小值的4倍，∴3=4×3m，即m=．【考点】线性规划问题8．已知是定义在上的偶函数，且恒成立，当时，，则当时，（）A. B.C. D.【答案】B【解析】试题分析：，,，即是最小正周期为的函数,令,则,当时,，，，是定义在上的偶函数,，令,则，，，，当时，函数的解析式为:.所以B选项是正确的.【考点】利用函数的性质求解析式.【思路点睛】根据将换为,再将换为,得到函数的最小正周期为,由当时,,求出的解析式,再由是定义在上的偶函数,求出的解析式,再将的图象向左平移个单位即得的图象,合并并用绝对值表示的解析式.9．将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若函数在区间和上均单调递增，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：，易得其单调增区间为，所以，选A.【考点】三角函数图像变换与单调区间【思路点睛】三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x而言. 函数y＝Asin（ωx＋φ），x∈R是奇函数⇔φ＝kπ（k∈Z）；函数y＝Asin（ωx＋φ），x∈R是偶函数⇔φ＝kπ＋（k∈Z）；函数y＝Acos（ωx＋φ），x∈R是奇函数⇔φ＝kπ＋（k ∈Z）；函数y＝Acos（ωx＋φ），x∈R是偶函数⇔φ＝kπ（k∈Z）.10．已知是双曲线()的上、下焦点，点关于渐近线的对称点恰好落在以为圆心，为半径的圆上，则双曲线的离心率为（）A. 3B.C. 2D.【答案】C【解析】试题分析：设关于渐近线的对称点为，的中点为，连接，则，，又，，点到渐近线的距离，，即．【考点】双曲线的离心率．11．A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：有题意可知，该几何体的直观图如图（红色部分）所示：可知该几何体的外接球的直径为棱长为1的正方体的对角线，即，所以其表面积为．故选B．【考点】1．几何体的三视图；2．球的体积公式．12．中国传统文化中很多内容体现了数学的对称美，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美，给出定义：能够将圆的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”，给出下列命题：①对于任意一个圆，其“优美函数“有无数个”；②函数可以是某个圆的“优美函数”；③正弦函数可以同时是无数个圆的“优美函数”；④函数是“优美函数”的充要条件为函数的图象是中心对称图形．其中正确的命题是：（）A. ①③B. ①③④C. ②③D. ①④【答案】A【解析】对于①，过圆心的任一直线都可以满足要求，所以正确；对于②可以做出其图像故不能是某圆的优美函数；对于③，只需将圆的圆心放在正弦函数的图像得对称中心上即可，所以正弦函数是无数个圆的优美函数；对于④函数是中心对称图形时，函数是优美函数，但是优美函数不一定是中心对称，如图所示：故选A．点睛：创新型题目是近几年常考得题型，解决此类问题的关键是仔细读题，弄通题意，然后类比或者特殊化所给的定义公式概念等，去判断其他的问题是否具备所给出的定义或性质，特别体现学生的创新能力，要特别注意类比和特殊化的方法．二、填空题13．已知向量，若，则__________．【答案】【解析】由得：，解得，所以，故填．14．的展开式中，的系数为 .（用数字填写答案）【答案】【解析】试题分析：因为，所以的系数为【考点】二项式定理【名师点睛】1.求特定项系数问题可以分两步完成：第一步是根据所给出的条件（特定项）和通项公式，建立方程来确定指数（求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r）；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．2．有理项是字母指数为整数的项．解此类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其为整数，再根据数的整除性来求解．15．在中，角的对边分别为，且，若的面积为，则的最小值为．【答案】．【解析】试题分析：，，∴，又∵，当且仅当，时，等号成立，即的最小值为．【考点】1．正余弦定理解三角形；2．三角恒等变形；3．基本不等式求最值．16．椭圆的上、下顶点分别为，点在上且直线斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是__________．【答案】【解析】由椭圆方程可知，设，则，，所以，由点在上得，又，所以，故填．点睛：本题考查椭圆简单几何性质以及直线斜率，属于中档题．解决此类问题，首先要设点，求直线斜率，根据点在椭圆上，可求出两直线斜率之积是定值，从而当一直线斜率在某范围内变化时，可求另一斜率的变化范围，本题关键需要探求出两斜率之积是常数．三、解答题17．观察下列三角形数表：假设第行的第二个数为，（1）归纳出与的关系式，并求出的通项公式；（2）设，求证：．【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）根据图得：，，所以可以利用递归的方法求通项公式，，所以；（2）因为，所以，适当放缩，即可得．试题解析：（1）依题意，，，所以；（2）因为，所以，．18．如图所示的几何体中，为三棱柱，且平面，四边形为平行四边形，．（1）若，求证：平面；（2）若，二面角的余弦值为，求三棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）易知四边形为正方形，所以，在中，由余弦定理得，所以，所以，所以，又易知，且，所以平面，所以，从而证明；（2）建立空间直角坐标系，易知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，利用公式求二面角余弦，可得出，从而求三棱锥体积．试题解析：（1）证明：设交于，因为平面平面，所以，又因为，则易知四边形为正方形，所以，在中，，由余弦定理得，所以，所以，所以，又易知，且，所以平面，又平面，所以，又，所以平面．（2）建立如图所示的空间直角坐标系，则，则，所以易知平面的一个法向量为．平面的一个法向量为，设为二面角的平面角，则．得，所以，所以．点睛：立体几何是高考必考问题，本题理科第二问大多考查和二面角线面角有关的问题，建立空间坐标系是解决问题比较简洁的方法，关键点在于找到或证明三条互相垂直的直线，建系时注意尽可能让点的坐标简单，然后这些问题就转化为计算问题，特别注意法向量的求解，然后利用夹角公式，求值或求参数．19．为了对2016年某校中考成绩进行分析，在60分以上的全体同学中随机抽出8位，他们的数学分数（已折算为百分制）从小到大排是60、65、70、75、80、85、90、95，物理分数从小到大排是72、77、80、84、88、90、93、95．（1）若规定85分（包括85分）以上为优秀，求这8位同学中恰有3位同学的数学和物理分数均为优秀的概率；学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8数学分数60 65 70 75 80 85 90 95物理分数72 77 80 84 88 90 93 95化学分数67 72 76 80 84 87 90 92①用变量与与的相关系数说明物理与数学、化学与数学的相关程度；②求与与的线性回归方程（系数精确到0.01），当某同学的数学成绩为50分时，估计其物理、化学两科的得分．参考公式：相关系数，回归直线方程是：，其中，参考数据：，，，．【答案】（1）；（2）①物理与数学、化学与数学成绩都是高度正相关.②66.85分、61.2分.【解析】试题分析：（1）这8位同学中恰有3位同学的数学和物理分数均为优秀，则需要先从物理4 个优秀分数中选出3个与数学分数对应，种数是，然后剩下的5个数学分数和物理分数任意对应，种数是．根据乘法原理，满足条件的种数是．这8位同学的物理分数和数学分数分别对应种数共有；（2）①变量与与的相关系数分别计算，判断物理与数学、化学与数学成绩的相关性；②设与与的线性回归方程分别是，根据所给的数据，计算与、与的回归方程分别是、，当时，．试题解析：（1）这8位同学中恰有3位同学的数学和物理分数均为优秀，则需要先从物理4 个优秀分数中选出3个与数学分数对应，种数是，然后剩下的5个数学分数和物理分数任意对应，种数是．根据乘法原理，满足条件的种数是．这8位同学的物理分数和数学分数分别对应种数共有．故所求的概率；（2）①变量与与的相关系数分别是，所以看出，物理与数学、化学与数学成绩都是高度正相关．②设与与的线性回归方程分别是，根据所给的数据，可以计算出，，所以与、与的回归方程分别是、，当时，，∴当该生的数学为50分时，其物理、化学成绩分别约为66．85分、61．2分．20．如图，抛物线的焦点为，抛物线上一定点．（1）求抛物线的方程及准线的方程；（2）过焦点的直线（不经过点）与抛物线交于两点，与准线交于点，记的斜率分别为，问是否存在常数，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【答案】解：（1），准线；（2）存在常数，理由见解析.【解析】试题分析：（1）把代入，得，所以抛物线方程为，准线的方程为；（2）由条件可设直线的方程为．因为，把直线的方程，代入抛物线方程，并整理，则，因为三点共线，所以，所以，即存在常数，使得成立．试题解析：（1）把代入，得，所以抛物线方程为，准线的方程为．（2）由条件可设直线的方程为．由抛物线准线，可知，又，所以，把直线的方程，代入抛物线方程，并整理，可得，设，则，又，故．因为三点共线，所以，即，所以，即存在常数，使得成立．点睛：本题主要考查了抛物线的方程及直线与抛物线的位置关系，是高考的高频考点，属于难题．求抛物线方程的方法一般就是根据条件建立的方程，求出即可，注意标准方程形式；涉及直线与圆锥曲线相交时，未给出直线时需要自己根据题目条件设直线方程，要特别注意直线斜率是否存在的问题，避免不分类讨论造成遗漏，然后要联立方程组，得一元二次方程，利用根与系数关系写出，再根据具体问题应用上式，其中要注意判别式条件的约束作用．是否存在问题注意式子化简，若存在一般能化简出常数．21．已知函数，且函数的图象在点处的切线与直线垂直．（1）求；（2）求证：当时，．【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）根据切线过点且与直线垂直，可联立方程组解出；（2）由（1）得，要证，即证；构造函数，研究其单调性，当时，，又当时，，所以，即．试题解析：（1）因为，故，故①；依题意，；又，故，故②，联立①②解得；（2）由（1）得，要证，即证；令，∴，故当时，；令，因为的对称轴为，且，故存在，使得；故当时，，故，即在上单调递增；当时，，故，即在上单调递减；因为，故当时，，又当时，，∴，所以，即．22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线的直角坐标方程及直线的普通方程；（2）将曲线上的所有点的横坐标缩短为原来的，再将所得到的曲线向左平移1个单位，得到曲线，求曲线上的点到直线的距离的最小值．【答案】（1），；（2）.【解析】试题分析：（1）消参得曲线的直角坐标方程为，利用极坐标与直角坐标转化公式得的普通方程为；（2）按照平移法则得曲线，化为参数方程为（为参数），利用点到直线距离公式（其中），所以点到直线的距离的最小值为．试题解析：（1）曲线的直角坐标方程为，即，直线的普通方程为；（2）将曲线上的所有点的横坐标缩短为原来的，得，即，再将所得曲线向左平移1个单位，得曲线，则曲线的参数方程为（为参数）．设曲线上任一点，则点到直线的距离（其中），所以点到直线的距离的最小值为．（1）曲线的直角坐标方程为，即，直线的普通方程为；（2）将曲线上的所有点的横坐标缩短为原来的，得，即，再将所得曲线向左平移1个单位，得曲线，则曲线的参数方程为（为参数）．设曲线上任一点，则点到直线的距离（其中），所以点到直线的距离的最小值为．23．选修4-5：不等式选讲设．（1）求的解集；（2）若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）分三种情况讨论分别求解不等式，然后求并集；（2）利用绝对值三角不等式的最大值, 恒成立等价为.去掉绝对值, 求出的范围即可.试题解析：（1）由得:, 解得的解集为.（2），当且仅当时，取等号.由不等式对任意实数恒成立，可得，解得:或，故实数的取值范围是.【考点】1、绝对值不等式的解法；2、基本不等式求最值；3、恒成立等价转化.。

中原名校2021－2022学年上期第一次联考高三数学(理)试题(考试时间：120分钟试卷满分：150分)注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合M＝{x|x2－2x－15>0}，P＝{x|y＝log3(1－x)}，则(∁R M)∩P＝A.(－∞，－3)B.(0，5]C.[－3，1)D.[－3，1]2.下列函数中是奇函数，且在区间(0，＋∞)上为减函数的是A.y＝13x B.y＝1x－x C.y＝log2|x| D.y＝2x＋2－x3.已知m∈R，则“幂函数f(x)＝x n＋1在(0，＋∞)上为增函数”是“指数函数g(x)＝(2m－1)x 为增函数”的A.充分不必要条件B，必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知α∈(0，π)，tanα＝－125，则co sα＝A.－513B.513C.－1213D.12135.已知锐角三角形的三边长分别为2，5，m，则实数m的取值范围是A.(3，7) ) 7) D.(3)6.已知函数f(x)＝2x2＋alnx的图象在点(1，2)处的切线过点(0，－5)，则实数a的值为A.3B.－3C.2D.－27.函数f(x)＝|tan(2x －3π)|的最小正周期是 A.2π B.π C.4π D.2π 8.已知函数f(x)＝x 22a x 2log x x 2⎧-<⎨≥⎩，，，若f(x)存在最小值，则实数a 的取值范围是A.(－∞，2]B.[－1，＋∞)C.(－∞，－1)D.(－∞，－1]9.如图所示，为测量某不可到达的竖直建筑物AB 的高度；在此建筑物的同一侧且与此建筑物底部在同一水平面上选择相距10米的C ，D 两个观测点，并在C ，D 两点处分别测得塔顶的仰角分别为45°和60°，且∠BDC ＝60°，则此建筑物的高度为3 3米 C.10米 D.5米10.已知函数f(x)＝2cos(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<2π)，其图象两相邻对称中心之间的距离为2π，若对任意的x ∈(3π，712π)，f(x)<－1，则φ的取值范围是 A.(12π，3π) B.[6π，2π] C.[0，6π] D.[6π，3π] 11.已知x ＝2ln3π，y ＝3ln2π，z ＝2ln π3，则x ，y ，z 的大小关系为A.x>z>yB.x>y>zC.y>x>zD.z>x>y12.已知f(x)是定义在R 上的偶函数，且满足f(x)＝2x 3x 0x 1x 2lnx x 1⎧-+≤<⎨-≥⎩，，，若关于x 的方程[f(x)]2＋(a －1)f(x)－a ＝0有10个不同的实数解，则实数a 的取值范围是A.(1，2)B.(－2，－1)∪{2ln2－2}C.(－2，2ln2－2)D.(－2，2ln2－2]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知函数f(x)＝()32x 3log 2x 5x 22x 2-⎧-+<⎪⎨≥⎪⎩，，，若{(x)＝2，则a ＝ 。

河南省新乡市新乡一中2021届高三数学上学期第一次质量预测试题文注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{x ｜－1＜x ＜3}，则A ∩BA ．{1}B ．{1，2}C ．{1，2，3}D ．{1，2，3，4} 2．复数z ＝1ii＋在复平面内对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．设a ＝132，b ＝231()4，c ＝21log 2，则A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．b ＞a ＞cD ．b ＞c ＞a4．设α、β是两个不同的平面，l 、m 是两条不同的直线，且l ⊂α，m ⊂β，则 A ．若α∥β，则l ∥m B ．若m ∥α，则α∥β C ．若m ⊥α，则α⊥β D ．若α⊥β，则l ⊥m 5．“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样．为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的 正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷2 000个点，己知恰 有800个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是A ．165 B ．185 C ．10 D ．3256．若变量x ，y 满足约束条件00340.x y x y x y ⎧⎪⎨⎪⎩＋≥，－≥，＋－≤则y －2x 的最小值是A ．－1B ．－6C ．－10D ．－157．已知函数y ＝f （x ）的图像由函数g （x ）＝cosx 的图像经如下变换得到：先将g （x ）的图像向右平移6π个单位，再将图像上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变， 则函数y ＝f （x ）的对称轴方程为A ．x ＝2k π＋12π，k ∈Z B ．x ＝2k π＋6π，k ∈Z C ．x ＝kπ＋12π，k∈Z D ．x ＝kπ＋6π，k∈Z8．直线3x ＋4y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋1＝0相切，则m ＝A ．－5或15B ．5或－15C ．－21或1D ．－1或219．已知椭圆：22221x y a b ＋＝（a ＞b ＞0）的离心率为35，直线2x ＋y ＋10＝0过椭圆的左顶点，则椭圆方程为A ．22154x y ＋＝B ．221259x y ＋＝C ．221169x y ＋＝D ．2212516x y ＋＝ 10．已知三棱锥P —ABC 的四个顶点均在球面上，PB ⊥平面ABC ．PB ＝，△ABC为直角三角形，AB ⊥BC ，且AB ＝1，BC ＝2．则球的表面积为 A ．5π B ．10π C ．17π D．6π 11．关于函数f （x ）＝sin ｜x ｜－｜cosx ｜有下述四个结论：①f（x ）是偶函数 ②f（x ）在区间（2π，π）单调递减 ③f（x④当x∈（－4π，4π）时，f （x ）＜0恒成立其中正确结论的编号是A ．①②B ．①②③C ．①③④D ．①②④12．已知关于x 的方程为22(3)xx e －＝32x e －＋2e（x 2－3），则其实根的个数为 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知a ＞0，b ＞0，2a ＋b ＝4，则3ab的最小值为_________． 14．已知等比数列{n a }的前n 项和为n S ，且633S S ＝38，则6542a a a ＋＝________． 15．已知双曲线C ：22221x y a b－＝（a ＞0，b ＞0）的实轴长为8，右焦点为F ，M 是双曲线C 的一条渐近线上的点，且OM ⊥MF ，O 为坐标原点，若OMF S ∆＝6，则双曲线C 的离心率为_______.16．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且2cosA ＝a－cosC ）， c ＝2，D 为AC 上一点，AD ：DC ＝1 ：3，则△ABC 面积最大时，BD ＝__________．三、解答题：共70分．解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题．每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分 17．（12分）已知等差数列{n a }为递增数列，且满足a 1＝2，23a ＋24a ＝25a ． （Ⅰ）求数列{n a }的通项公式； （Ⅱ）令n b ＝11(1)(1)n n a a －＋＋（n ∈N *），n S 为数列{n b }的前n 项和，求n S ．18．（12分）如图（1）在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°、AB ＝4，点D 为AB 中点，将△ADC沿DC 折叠得到三棱锥A 1—BCD ，如图（2），其中∠A 1DB ＝60°，点M ，N ，G 分别为A 1C ，BC ，A 1B 的中点．（Ⅰ）求证：MN ⊥平面DCG ；（Ⅱ）求三棱锥G —A 1DC 的体积．19．（12分）2021年3月郑州市被国务院确定为全国46个生活垃圾分类处理试点城市之一，此后由郑州市城市管理局起草公开征求意见，经专家论证，多次组织修改完善，数易其稿，最终形成《郑州市城市生活垃圾分类管理办法》（以下简称《办法》）．《办法》已于2019年9月26日被郑州市人民政府第35次常务会议审议通过，并于2019年12月1日开始施行．《办法》中将郑州市生活垃圾分为厨余垃圾、可回收垃圾、有害垃圾和其他垃圾4类．为了获悉高中学生对垃圾分类的了解情况，某中学设计了一份调查问卷，500名学生参加测试，从中随机抽取了100名学生问卷，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30），[30，40），…，[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图：（Ⅰ）从总体的500名学生中随机抽取一人，估计其分数不低于60的概率；（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50）内的学生人数；（Ⅲ）学校环保志愿者协会决定组织同学们利用课余时间分批参加“垃圾分类，我在实践”活动，以增强学生的环保意识．首次活动从样本中问卷成绩低于40分的学生中随机抽取2人参加，已知样本中分数小于40的5名学生中，男生3人，女生2人，求抽取的2人中男女同学各1人的概率是多少?20．（12分）设曲线C ：x 2＝2py （p ＞0）上一点M （m ，2）到焦点的距离为3． （Ⅰ）求曲线C 方程；（Ⅱ）设P ，Q 为曲线C 上不同于原点O 的任意两点，且满足以线段PQ 为直径的圆过原点O ，试问直线PQ 是否恒过定点?若恒过定点，求出定点坐标；若不恒过定点，说明理由．21．（12分） 已知函数f （x ）＝ax 2－x －ln1x． （Ⅰ）若f （x ）在点（1，f （1））处的切线与直线y ＝2x ＋1平行，求f （x ）在点（1，f （1））的切线方程；（Ⅱ）若函数f （x ）在定义域内有两个极值点x 1，x 2，求证：f （x 1）＋f （x 2）＜2ln2－3．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答．如果多做．则按所做的第一题记分．22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线E 经过点P （1，32），其参数方程为cos x a y αα⎧⎪⎨⎪⎩＝，，（α为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线E 的极坐标方程；（Ⅱ）若直线l 交E 于点A ，B ，且OA ⊥OB ，求证：21OA＋21OB为定值，并求出这个定值．23．[选修4—5不等式选讲]（10分）已知函数f （x ）＝｜x －1｜－｜2x ＋1｜＋m ． （Ⅰ）求不等式f （x ）≥m 的解集；（Ⅱ）若恰好存在4个不同的整数n ，使得f （n ）≥0，求m 的取值范围．（文科） 参考答案一、选择题：1---12 BDACB BAADC DB 二、填空题：313.2114.3515.42 三、解答题：17.解：222(22)(23)(24)d d d +++=+(1)由题意知...2分23440d d ∴--=223d d ∴==-或{}n a 为递增数列2d ∴=...4分{}2.n n a a n =故数列的通项公式为...6分1111(2)()(21)(21)22121n b n n n n ==-+--+...8分11111111[(1)()()...()]2335572121n S n n ∴=-+-+-++--+...10分11(1)221n =-+ 21n n =+...12分18.解：（1）2AC BC AD BD CD =====由题知图（1）中 ...1分∴111,A BCD A D BD AC BC -==在三棱锥中， 1G A B 点是的中点11,DG A B CG A B ∴⊥⊥ =DG CG G ⋂又1A B DGC∴⊥平面 ...4分1M N AC BC 又点、分别是、的中点1//MN A B ∴...5分MN DGC ∴⊥平面 ...6分11,=,CD A D CD BD A D BD D ⊥⊥⋂（2）由图（1）知，且1CD A DG ∴⊥平面...8分 01160A DB A DB ∠=∴∆又为等边三角形11111,2,1,2DG A B A B AG A B DG ∴⊥====1111122A DG S A G DG ∆∴=⨯=⨯=分11111233G A DC C A DG A DG V V S CD --∆==⨯==...12分19. 解：（Ⅰ）根据频率分布直方图可知，样本中分数高于60的频率为(0.020.040.02)100.8++⨯=，所以样本中分数高于60的概率为0.8．故从总体的500名学生中随机抽取一人，其分数高于60的概率估计为0.8．3分（Ⅱ）根据题意，样本中分数不小于50的频率为(0.010.020.040.02)100.9+++⨯=，...5分分数在区间[40,50)内的人数为1001000.955-⨯-=．...6分 所以总体中分数在区间[40,50)内的人数估计为550025100⨯=．...7分 （Ⅲ）123,,a a a 设3名男生分别为，12,b b 2名女生分别为，则从这5名同学中选取2人的结果为：12131112212231322312{,},{,},{,},{,},{,},{,}{,},{,},{,},{,}a a a a a b a b a b a b a b a b a a b b ，共10种情况. ...9分 其中2人中男女同学各1人包含结果为：111221223132{,},{,},{,},{,}{,},{,}a b a b a b a b a b a b ，，共6种. ...10分{21}A =设事件抽取的人中男女同学各人，则63()105P A == 所以，抽取的2人中男女同学各1人的概率是35. ...12分 20.解：（1）由抛物线定义得2+2p=3， ...2分 解得2p =，所以曲线C 方程为24x y = ....4分 （2）O PQ 以为直径的圆过原点，OP OQ ∴⊥....5分设直线OP 的方程为(0)y kx k =≠,与曲线C 方程24x y =联立，得24x kx = 解得0(4x x k ==舍去）或 于是2(4,4)P k k . ...7分 又直线OQ 的方程为1y x k=-，同理：244(,)Q k k - .....9分又直线PQ 斜率存在，22244,44....1404y k x kPQ k k k k--∴=---的直线方程为分 即1() 4.y k x k=-+04.PQ ∴直线恒过定点（，） ...12分20.解：（1）2()ln ,f x ax x x =-+'1()21.f x ax x ∴=-+'(1)2...1.k f a ∴==分因为()f x 在点(1,(1))f 处的切线与直线21y x =+平行，...222, 1.a a ∴==即分(1)0,..1,.30f ∴=故切点坐标为（）.分 2-2.y x ∴=切线方程为...4分2'121(2)()21,ax x f x ax x x-+=-+=2122100,.ax x x x ∴-+=+∞由题知方程在（，）上有两个不等实根1212180,10,210,2a x x a x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪∴+=>⎨⎪⎪=>⎪⎩10.8a ∴<<...6分221212121222121212212121212()()()ln ln ()()ln()=[()2]()ln()11=ln1,24f x f x ax ax x x x x a x x x x x x a x x x x x x x x a a+=+-+++=+-+++--++--又1,2t a=令()ln 1,(4,),2t g t t t =--∈+∞'112..9(.)0,22t g t t t -=-=<则分()(4,)g t ∴+∞在上单调递减.()(4)ln 432ln 2 3.g t g ∴<=-=-12()()2ln 2 3.f x f x +<-即...12分22.解析：（I ）将点3(1,)2P 代入曲线E 的方程，得1cos ,3,2a αα=⎧⎪⎨=⎪⎩解得24a =，……2分所以曲线E 的普通方程为22143x y +=, 极坐标方程为22211(cos sin )143ρθθ+=.……5分 （Ⅱ）不妨设点,A B 的极坐标分别为1212()()00,2A B πρθρθρρ+>>，，，，，则22221122222211(cos sin )1,4311(cos ()sin ()1,4232ρθρθππρθρθ⎧+=⎪⎪⎨⎪+++=⎪⎩即22212222111cos sin ,43111sin cos ,43θθρθθρ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩……8分2212111174312ρρ+=+=,即22117||||12OA OB +=……10分23. 解析：（I ）由()f x m ≥，得，不等式两边同时平方，得221)(21)x x ≥(－＋，……3分 即3(2)0x x +≤，解得20x -≤≤.所以不等式()f x m ≥的解集为{|20}x x -≤≤．……5分 （Ⅱ）设g （x ）＝|x －1|－|2x ＋1|，……8分()0()f n g n m ≥⇔≥-因为(2)(0)0g g -==，(3)1,(4)2,(1) 3.g g g -=--=-=-又恰好存在4个不同的整数n ，使得()0f n ≥， 所以2 1.m -<-≤-故m 的取值范围为[1,2). ……10分12,,21()3,1,22,1,x x g x x x x x ⎧+≤-⎪⎪⎪=--<≤⎨⎪-->⎪⎪⎩。

2．设复数 ，则
A． B． C． D．
3． 的值为（ ）
A． B． C． D．
4．我国古代有着辉煌的数学研究成果．《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》……《缉古算经》等10部专著，有着丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期．某中学拟从这10部名著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选的2部名著中至少有1部是魏晋南北朝时期的名著的概率为( )
A． B．
C． D．
5．已知函数 ，则“a =0”是“函数 为奇函数的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．某几何体的三视图如图所示，其中正视图中的曲线为圆弧，则该几何体的表面积为
A． B． C． D．
7．若x∈（0，1），a＝lnx，b＝ ，c＝elnx，则a，b，c的大小关系为（ ）
求证：平面 平面ADE；
求二面角 的平面角的余弦值．
20．已知椭圆C： 的两个焦点分别为 ， ，点P是椭圆上的任意一点，且 的最大值为4，椭圆C的离心率与双曲线 的离心率互为倒数．
Ⅰ 求椭圆C的方程；
Ⅱ 设点 ，过点P作两条直线 ， 与圆 相切且分别交椭圆于M，N，求证：直线MN的斜率为定值．
21．已知函数 .
Ⅱ 若抽出的7人中ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ3人睡眠不足，4人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．
用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的数学期望和方差；
设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率．
19．已知五边形ABECD有一个直角梯形ABCD与一个等边三角形BCE构成，如图1所示， ，且 ，将梯形ABCD沿着BC折起，形成如图2所示的几何体，且 平面BEC．

新乡市一中2021届高三数学（理）一轮复习模拟考试卷第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，集合，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知复数满足，则（ ） A ．B ．C ．D ．3．已知，则的值为（ ）A ．B ． CD ． 4．执行如图所示的程序框图，若输入的，，则输出的的值是（ ）A．B ．C ．D ．5．年月日，第六届世界互联网大会发布项“世界互联网领先科技成果”，有项成果属于芯片领域，分别为华为高性能服务器芯片“鲲鹏”清华大学“面向通用人工智能的异构融合天机芯片”、特斯拉“特斯拉全自动驾驶芯片”、寒武纪云端芯片“思元”赛灵思“自适应计算加速平台”．若从这项“世界互联网领先科技成果”中任选项，则至少有一项属于“芯片领域”的概率为（ ） A ．B ．C ．D ．6．函数的图象大致为（ ）{|02}P x x =≤≤2{|34}Q x x x =+<PQ =[0,1](1,2][0,2](1,2)z (2i)1i z -=+z =13i 55+31i 55+13i 55-31i 55-3sin 2αα=πcos()3α-1313-6a =3b =x 11-02-20191020155920AI 270Versal 153679124917591169123π(1)cos()2()x x f x x-+=A ．B ．C ．D ．7．椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线交椭圆于，两点，交轴于点，若，均是线段的三等分点，的周长为的标准方程为（ ）A ．B ．C ．D ． 8．甲、乙两家企业年至月份的月收入情况如图所示，下列说法中不正确的是（ ）A ．甲企业的月收入比乙企业的收入高B ．甲、乙两家企业月收入相差最多的是月份C ．甲、乙两家企业月收入差距的平均值为万元D ．月份与月份相比，甲企业的月收入增长率比乙企业的月收入增长率低9．若满足约束条件，的最大值为，则实数（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知，则下列不等式中不正确的是（ ） A ．B ．C ．D ．11．已知直三棱柱的底面为正三角形，，是侧面的中心，球与该三棱柱的所有面均相切，则直线截球的弦长为（ ） ABCD12．已知函数的图象经过点，若函数有四个零点，则2222:1(0)x y E a b a b+=>>1F 2F 1F A B y C 1F C AB 2F AB △E 22154x y +=22153x y +=22152x y +=2215x y +=20191107350106,x y 11030x x y x y ≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩2z x y a =++1a =44-22-0a b >>22a ab b >>ln ln a a b b +>+1122a b b a +<+222211a b b a+>+111ABC A B C -AB =D 11BCC B O AD O ()()xf x ae a =∈R (2,1)P ()|()2ln |g x f x x t =-+实数的取值范围为（ ） A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．若二项式的展开式中的常数项为，则 ． 14．如图所示的扇形的半径为，，是圆弧上一点，且满足，与交于点，则 ．15．双曲线的左、右焦点分别是，，点是双曲线左支上一点，，直线交双曲线的另一支与点，，则双曲线的离心率是 ．16．在数列中，，，且当时，，若是数列的前项和，，则当为整数时， ．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）已知的三个内角，，对应的边分别为，，．（1）求角的大小；（2）如图，设为内一点，，，且，求的最大值．t [12ln 2,0)-(12ln 2,0)-(,12ln 2]-∞-(,12ln 2)-∞-6((0)x a >1516a =OAB 2120AOB ∠=︒P 23OP OB ⋅=AB OP M OM AB ⋅=22221(0,0)x y a b a b-=>>1F 2F M 1290F MF ∠=︒2MF N 14||5||NF MN ={}n a 14a =26a =2n ≥149n n a a +=-n T {}n b n 19(3)n n n n a b a a +-=175(3)()8n n a T λ+=-⋅-n λ=ABC △A B C a b c cos B =+sin b C C P ABC △1PA =2PB =πAPB ACB ∠+∠=AC BC +18．（12分）如图，在四棱柱中，平面平面，，，，，．（1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值．19．（12分）已知点，抛物线上存在一点，且直线的斜率最大，最大值为．（1）求点的坐标及的值；（2）若直线交抛物线于点，，且直线与都是圆的切线，求直线的方程．20．（12分）已知函数有两个不同的零点，． （1）求实数的取值范围； （2）证明：．21．（12分）年由“杂交水稻之父”袁隆平团队研发的第三代杂交水稻月日至日首次公开测产，经测产专家组评定，最终亩产为千克，第三代杂交水稻的综合优势，可以推动我国的水稻生产向更加优质、高产、绿色和可持续方向发展．某企业引进一条年产量为万件的产品生产线，该种产品以第三代杂交水稻为原料，已知该产品的质量以某项指标值为衡量标准，等级划分如下表：为了解该产品的生产效益，该企业先进行试生产，从中随机抽取了件产品，测量了每件产品的指标值，得到如图所示的频率分布直方图，将频率视为概率．1111ABCD A B C D -11BCC B ⊥ABCD CD AD ⊥AB AD ⊥12BC CD ==1AD AB ==1CC=AD ⊥11CDD C 11A C D B --(2,0)P -22(0)y px p =>A AP 1A p l B C AB AC 22:430N x y x +-+=l3()2()xx f x e x a a e=++-∈R 1x 2x a 120x x +>20191021221046.3100([70,100])k k∈1000（1）若从指标值不低于的产品中利用分层抽样的方法抽取件，然后从这件产品中任取件进行进一步分析，求这件产品中指标值的件数的分布列及数学期望；（2）从试生产的所有产品中有放回地随机抽取件，记“抽出的件产品中至少有件是合格及以上等级”为事件，求事件发生的概率．（3）若每件产品的质量指标值与利润（元）的关系如下表所示（）：试估计的值，使得该企业该生产线的年盈利最大，并求出最大年盈利．（参考数据：，，）请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，直线的方程为，以坐标原点为极点，以轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线的普通方程和直线的极坐标方程； （2）已知射线与曲线和直线分别交于和两点，求线段的长．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知关于的不等式的解集为，其中． （1）求的值；（2）若正数．满足，求证：．857733[90,95)k ∈X 331A A k y 14t <<t ln 20.7≈ln 3 1.1≈ln 5 1.6≈xOy C 1x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩αl 20x -=O x C l π:3OA θ=C l M N MN x ||20x m x -+≤(],1-∞-0m >m ,,a b c a b c m ++=2221b c aa b c++≥解析新乡市一中2021届高三数学（理）一轮复习模拟考试卷第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，集合，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由，得，所以，故．2．已知复数满足，则（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】，故．3．已知，则的值为（ ）A．B ． CD ． 【答案】C【解析】因为， 即，所以．4．执行如图所示的程序框图，若输入的，，则输出的的值是（ ）A ．B ．C ．D ．{|02}P x x =≤≤2{|34}Qx x x =+<PQ =[0,1](1,2][0,2](1,2)234x x +<13x <<(1,3)Q =(1,2]PQ =z (2i)1i z -=+z =13i 55+31i 55+13i 55-31i 55-1i (1i)(2i)13i 13i 2i (2i)(2i)555z ++++====+--+13i 55z =-3sin 2αα=πcos()3α-1313-3sin 2αα=1cos )12αα+=ππcos cossin sin 33αα+=πcos()3α-=6a =3b =x 11-02-【答案】C【解析】执行程序框图，；；；，此时退出循环，故输出的的值是．5．年月日，第六届世界互联网大会发布项“世界互联网领先科技成果”，有项成果属于芯片领域，分别为华为高性能服务器芯片“鲲鹏”清华大学“面向通用人工智能的异构融合天机芯片”、特斯拉“特斯拉全自动驾驶芯片”、寒武纪云端芯片“思元”赛灵思“自适应计算加速平台”．若从这项“世界互联网领先科技成果”中任选项，则至少有一项属于“芯片领域”的概率为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由已知得，这项“世界互联网领先科技成果”中有项成果属于芯片领域．记“从这项‘世界互联网领先科技成果’中任选项，至少有一项属于‘芯片领域’”为事件， 则为“选出的项都不属于‘芯片领域’”，因为，所以．6．函数的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由题可得，且其定义域为，，所以函数为偶函数，故排除C ，D 选项；又当时，，，所以，故排除A 选项， 综上，选B ．6,3,3a b x ===4,5,1b a x ===2,4,2b a x ===3,3,0b a x ===x 020191020155920AI 270Versal 1536791249175911691155153A A 3310315C 24()C 19P A ==24()1()6791191P A P A =-=-=23π(1)cos()2()x x f x x-+=223π(1)cos()(1)sin 2()x x x x f x xx-+-==(,0)(0,)-∞+∞22[1()]sin()(1)sin ()()x x x xf x f x x x-----===-()f x (0,1)x ∈210x ->sin 0x >()0f x >7．椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线交椭圆于，两点，交轴于点，若，均是线段的三等分点，的周长为的标准方程为（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】A【解析】由椭圆的定义知，则的周长为，所以，所以椭圆的方程为． 不妨设点在第一象限，则由，均是线段的三等分点， 得是线段的中点，又，所以点的横坐标为，由，得，所以，所以，． 把点的坐标代入椭圆方程得，即， 化简得，又，所以，解得，所以，所以椭圆的标准方程为． 8．甲、乙两家企业年至月份的月收入情况如图所示，下列说法中不正确的是（ ）A ．甲企业的月收入比乙企业的收入高B ．甲、乙两家企业月收入相差最多的是月份C ．甲、乙两家企业月收入差距的平均值为万元2222:1(0)x y E a b a b+=>>1F 2F 1F A B y C 1F C AB 2F AB △E 22154x y +=22153x y +=22152x y +=2215x y +=1212||||||||2AF AF BF BF a +=+=2F AB △1212||||||||4AF AF BF BF a +++==a =E 22215x y b +=A 1F C AB C 1F A 1(,0)F c -A c 22215c y b +=y =(A c C (2,B c -B 42242015b c b +=2241520c b +=222016b c =-225b c =-2220165c c -=-21c =24b =E 22154x y +=20191107350D ．月份与月份相比，甲企业的月收入增长率比乙企业的月收入增长率低 【答案】C【解析】A 项，由图可知，甲企业的月收入比乙企业的月收入高，所以该选项正确； B 项，由图可知，甲、乙两家企业的月收入差距如下表所示：则甲、乙两家企业月收入相差最多的是月份，为万元，故该选项正确； C 项，由上表可知，甲、乙两家企业月收入差距的平均值为（万元），故该选项不正确； D 项，月份与月份相比，甲企业与乙企业的月收入都增加了万元， 但甲企业月份的收入为万元，乙企业月份的收入为万元， 所以甲企业月收入的增长率比乙企业月收入的增长率低，故该选项正确．9．若满足约束条件，的最大值为，则实数（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据题意，作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．可化为，作出直线，平移该直线，当平移后的直线经过可行域内的点时，取得最大值， 把代入，得． 10．已知，则下列不等式中不正确的是（ ） A ．B ． C．D ．10676002003002001001(10300030+++++⨯60040030030)0300++++=10620066006300,x y 11030x x y x y ≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩2z x y a =++1a =44-22-2z x y a =++1222z a y x =-+-12y x =-(1,2)A z 11,2,1x y z ===2z x y a =++4a =-0a b >>22a ab b >>ln ln a a b b +>+1122a b b a +<+222211a b b a +>+【答案】C【解析】选项A ，因为，所以由不等式的性质可得，，所以，故该选项正确；选项B ，因为，函数在上单调递增，所以， 所以，故该选项正确； 选项C ，因为，函数在上单调递减，所以，易知， 所以，故该选项不正确； 选项D ，因为函数在上单调递增，函数在上单调递减，且， 所以，且，由不等式的性质可得，故该选项正确． 11．已知直三棱柱的底面为正三角形，，是侧面的中心，球与该三棱柱的所有面均相切，则直线截球的弦长为（ ） ABCD【答案】D【解析】因为球与直三棱柱的所有面均相切且直三棱柱的底面为正三角形，所以球心为该直三棱柱上、下底面三角形重心连线的中点．设底面三角形的重心为，是的中点，连接，，，， 则底面，因为是侧面的中心，所以四边形为正方形． 设球的半径为，则结合，可得， 连接，易得，， 所以，故所求弦长为．0a b >>2a ab>2ab b >22a ab b >>0a b >>ln y x =(0,)+∞ln ln a b >ln ln a a b b +>+0a b>>1y x =(0,)+∞110b a>>22a b>1122ab b a+>+2y x =(0,)+∞21y x=(0,)+∞0a b >>22ab >2211b a >222211a b b a+>+111ABC A B C -AB =D 11BCC B O AD O O 111ABC A B C -111ABC A B C -O ABC O 'E BC AE OO 'OD DE OO '⊥ABC D 11BCC B OO ED 'O r AB =113r ==OA AD ==OA ==222cos 2OD AD OA ODA OD DA +-∠==⋅⋅2cos r ODA ∠=12．已知函数的图象经过点，若函数有四个零点，则实数的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由已知得，即，解得，故， 所以， 易知函数的零点个数，即的图象与直线的交点个数， 所以设，则． 记，显然为该函数的一个零点，即， 又恒成立，故函数在上单调递增， 所以函数在上只有一个零点．当时，，即，所以函数单调递减； 当时，，即，所以函数单调递增， 所以的最小值为． 如图，作出函数的图象以及直线， 因为函数的图象与直线有四个不同的交点， 所以数形结合可知，解得．()()xf x ae a =∈R (2,1)P ()|()2ln |g x f x x t =-+t [12ln 2,0)-(12ln 2,0)-(,12ln 2]-∞-(,12ln 2)-∞-(2)1f =21ae =21a e =21()xf x e e=21()|2ln |xg x e x t e=-+21()|2ln |x g x e x t e =-+21|2ln |xy e x e=-y t =-21()2ln (0)x p x e x x e =->212()x p x e e x'=-212()(0)x q x e x e x =->2(2)0q =2212()0x q x e e x'=+>()q x (0,)+∞()q x (0,)+∞2(0,2)x ∈()0q x <()0p x '<()p x (2,)x ∈+∞()0q x >()0p x '>()p x ()p x 221(2)2ln 212ln 20p e e=⨯-=-<21|2ln |xy e x e=-y t =-21|2ln |xy e x e=-y t =-02ln 21t <-<-12ln 20t -<<第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．若二项式的展开式中的常数项为，则 ．【答案】【解析】二项展开式的通项公式为，令，解得， 故，所以，故， 又，所以．14．如图所示的扇形的半径为，，是圆弧上一点，且满足，与交于点，则 ．【答案】【解析】由，，得， 所以，，， 因为，，所以， 所以，，， 6((0)x a >1516a =236621661C (C ()r r rrr r r T x x a --+==-3602r -=4r =4456411515C ()16T aa =-==416a =24a =0a >2a =OAB 2120AOB ∠=︒P 23OP OB ⋅=ABOP M OM AB ⋅=223OP OB ⋅=2OB OP ==||||cos 22cos OP OB BOP BOP ⋅∠=⨯⨯∠=cos BOP ∠=30BOP ∠=︒90POA ∠=︒120AOB ∠=︒OA OB =30OAB OBA ∠=∠=︒||2tan 30OM =︒=||23AB =60OMA ∠=︒所以． 15．双曲线的左、右焦点分别是，，点是双曲线左支上一点，，直线交双曲线的另一支与点，，则双曲线的离心率是 ．【解析】如图，设，由，得， 又，所以，所以， 根据，得， 所以， 又，所以，， 所以，，在直角三角形中，，则，所以．16．在数列中，，，且当时，，若是数列的前项和，，则当为整数时， ．【答案】【解析】当时，由，得，又，所以数列从第二项起是首项为，公比为的等比数列，则，，23122OM AB ⋅==22221(0,0)x y a b a b-=>>1F 2F M 1290F MF ∠=︒2MF N 14||5||NF MN =||MN m =14||5||NF MN =15||4NF m =1290F MF ∠=︒22222211259||||||1616MF NF MN m m m =-=-=13||4MF m =12||||2NF NF a -=25||24NF m a =-225||||||24MF MN NF m m a =+=+-=924m a -21||||2MF MF a -=932244m a m a --=83m a =1||2MF a =2||4MF a =12MF F 2221212||||||MF MF F F +=2224164a a c +=ce a=={}n a 14a =26a =2n ≥149n n a a +=-n T {}n b n 19(3)n n n n a b a a +-=175(3)()8n n a T λ+=-⋅-n λ=242n ≥149n n a a +=-134(3)n n a a +-=-233a -={3}n a -342343n n a -=⨯+2n ≥所以． 当时，，，不符合题意， 因为时，，所以当时，， 则，因为是整数，所以是的因数，所以为，，或， 易知当且仅当时，是整数，此时，．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）已知的三个内角，，对应的边分别为，，．（1）求角的大小；（2）如图，设为内一点，，，且，求的最大值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1，，，，易知，∴， 又，∴． 24,1343,2n n na n -=⎧=⎨⨯+≥⎩1n =1138T b ==217155(3)()82a T λ=-⋅-=∉Z 2n ≥221213411(41)(41)4141n n n n n n b -----⨯==-++++2n ≥1232221323131111()()841414141n n T b b b b ----=++++=+-+-+++++2111171()4141841n n n ---+-=-+++111115534154141n n n λ---=⨯⨯⨯=-++λ141n -+15141n -+135152n =11541n -+12λ=24n λ=ABC △A B C a b c cos B =+sin b C C P ABC △1PA =2PB =πAPB ACB ∠+∠=AC BC +π3C =cos sin B b C =+cos sin sin A C B B C =+)cos sin sin B C C B B C +=+cos sin cos )cos sin sin B C C B C B B C +=+cos sin sin B C B C =sin 0B ≠tan C =(0,π)C ∈π3C =（2）由（1）与，得， 在中，由余弦定理，得， 又在中，，∴，所以的最大值为．18．（12分）如图，在四棱柱中，平面平面，，，，，．（1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2． 【解析】（1）易知四边形为直角梯形，则由，， 得，又，，所以，即，又平面平面，平面，所以平面，所以， 又，，所以平面．（2）由（1）知平面，所以平面，又，故以点为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，， 故，，．πAPB ACB ∠+∠=2π3APB ∠=PAB △2222π2cos 14212cos73AB PA PB PA PB APB =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯=ABC △22222cos ()3ABAC BC AC BC ACB AC BC AC BC =+-⋅∠=+-⋅222()()3()24AC BC AC BC AC BC ++≥+-=AC BC +≤AC BC +1111ABCD A B C D -11BCC B ⊥ABCD CD AD ⊥AB AD ⊥12BC CD ==1AD AB ==1CC =AD ⊥11CDD C 11A C D B --ABCD 1AB AD ==2CD =BD BC ==1CC =12C B =2211C B C C BC 2=+1C C BC ⊥11BCC B ⊥ABCD 11BCC B ABCD BC =1C C ⊥ABCD 1C C AD ⊥CD AD ⊥1CDC C C =AD ⊥11CDD C 1CC ⊥ABCD 1DD ⊥ABCD AD DC ⊥D DA DC 1DD x y z D xyz -(0,0,0)D 1A 1(0,C (1,1,0)B 11(1,2,0)AC =-1(0,2,C D =-(1,1,0)DB =设平面的法向量为，平面的法向量为，由，得，令，则，，故；由，得，令，则，，故，于是，易知二面角是锐二面角，故二面角．19．（12分）已知点，抛物线上存在一点，且直线的斜率最大，最大值为．（1）求点的坐标及的值；（2）若直线交抛物线于点，，且直线与都是圆的切线，求直线的方程．【答案】（1），；（2）． 【解析】（1）设点，则，易知，， 当且仅当，即时，直线，，，所以，，所以． （2）由（1）知抛物线方程为，可化为， 故圆的圆心坐标为，，11AC D 111(,,)x y z =m 1BDC 222(,,)x y z =n 11100C D A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 11112020y x y ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩11y =12x =1z =(2,1,=m 10C D DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 2222200y x y ⎧--=⎪⎨+=⎪⎩21x =21y =-2z =(1,=-n cos ,||||⋅〈〉===⋅m n m n m n 11A C D B --11A C D B --(2,0)P -22(0)y px p =>A AP 1A p l B C AB AC 22:430N x y x +-+=l (2,4)A 4p =1515220x y ++=00(,)A x y 2002y px =00y >00022000002242422AP y y py p k p y x y p y y p====≤=++++004py y =0y =AP 1=4p =04y =02x =(2,4)A 28y x =22430x y x +-+=22(2)1x y -+=N (2,0)1r =设过点的圆的切线方程为，即，，得，所以，不妨设的方程为，代入， 消去．设，则，， 同理，设，则， 所以，， 所以直线的的斜率，所以直线的方程为，即，即， 故直线的方程为． 20．（12分）已知函数有两个不同的零点，． （1）求实数的取值范围； （2）证明：．【答案】（1）；（2）证明见解析． 【解析】（1）因为， 所以， 令，得；令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，要使函数有两个不同的零点，必须满足，所以． 若，注意到， 所以函数在上有且只有一个零点；(2,4)A N 4(2)y k x -=-420kx y k -+-=1=215k =k =AB 42)y x -=-28y x =x 28320y -+-=11(,)B x y 14y +=14y =-22(,)C x y 24y =128y y +=-21111111122(8)4)4)88815y x y y y y +=+=+=-⨯=-l 21211222121218188y y y y k y y x x y y --====--+-l 11()y y x x -=--11y x x y =-++2215y x =--l 1515220x y ++=3()2()xxf x e x a a e =++-∈R 1x 2x a 120x x +>(4,)+∞3()2xx f x e x a e=++-2323(3)(1)()2x x x x xx x xe e e ef x e e e e+-+-'=-+==()0f x '>0x >()0f x '<0x <()f x (0,)+∞(,0)-∞min ()(0)4f x f a ==-()f x min ()0f x <4a >4a >3()0aa f a e a e=++>()f x (0,)+∞， 令，，则，所以在上单调递增，所以， 从而，所以函数在上有且只有一个零点， 综上所述，实数的取值范围为． （2）由（1）知，不妨设， 令，则， 所以在上单调递减．由于，所以，即，所以． 注意到，所以， 又，，在上单调递减， 所以，所以．21．（12分）年由“杂交水稻之父”袁隆平团队研发的第三代杂交水稻月日至日首次公开测产，经测产专家组评定，最终亩产为千克，第三代杂交水稻的综合优势，可以推动我国的水稻生产向更加优质、高产、绿色和可持续方向发展．某企业引进一条年产量为万件的产品生产线，该种产品以第三代杂交水稻为原料，已知该产品的质量以某项指标值为衡量标准，等级划分如下表：为了解该产品的生产效益，该企业先进行试生产，从中随机抽取了件产品，测量了每件产品的指标值，得到如图所示的频率分布直方图，将频率视为概率．（1）若从指标值不低于的产品中利用分层抽样的方法抽取件，然后从这件产品中任取件进行进一步分析，求这件产品中指标值的件数的分布列及数学期望；（2）从试生产的所有产品中有放回地随机抽取件，记“抽出的件产品中至少有件是合格及以上等级”为事件，求事件发生的概率．（3）若每件产品的质量指标值与利润（元）的关系如下表所示（）：1()333()a aaf a e a e a e -=+->-()xt x e x =-4x >()10xt x e '=->()t x (4,)+∞4()40t x e >->()0f a ->()f x (,0)-∞a (4,)+∞120x x <120x x <<2()()()42xxh x f x f x x e e=--=+-1()42()40x x h x e e '=-+≤-=()h x (,)-∞+∞20x >2()(0)0h x h <=22()()0f x f x --<22()()f x f x <-12()()f x f x =12()()f x f x <-10x <20x -<()f x (,0)-∞12x x >-120x x +>20191021221046.3100([70,100])k k∈1000857733[90,95)k ∈X 331A A k y 14t <<试估计的值，使得该企业该生产线的年盈利最大，并求出最大年盈利．（参考数据：，，）【答案】（1）分布列见解析，；（2）；（3），最大年盈利为90万元． 【解析】（1）由频率分布直方图可知，这件产品中，的频率为；的频率为；的频率为，故利用分层抽样的方法抽取件产品，的有件，的有件，的有件．易知的所有可能取值为，，，，，，所以的分布列为．（2）设“从试生产的所有产品中随机抽取一件，恰为合格及以上等级”的概率为， 则根据频率分布直方图可得，则．（3）由题意可得每件产品的质量指标值、利润（元）与概率的关系如下表所示（）：故每件产品的平均利润，，t ln 20.7≈ln 3 1.1≈ln 5 1.6≈67EX =0.973ln 5 1.6t =≈1000[85,90)k ∈0.0850.4⨯=[90,95)k ∈0.0450.2⨯=[95,100)k ∈0.0250.1⨯=7[85,90)k ∈4[90,95)k ∈2[95,100)k ∈1X 012032537C C 2(0)C 7P X ===122537C C 4(1)C 7P X ===212537C C 1(2)C 7P X ===X 24160127777EX =⨯+⨯+⨯=p 1(0.040.02)50.7p =-+⨯=3333()1C (1)10.310.0270.973P A p =--=-=-=k y 14t <<()()0.30.430.1550.130.050.3 1.5(14)t t f t e t t t t e t x =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=-+<<()0.3 1.50.3(5)t t f t e e '=-+=--当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减， 所以当时，取得最大值， 最大值为，所以生产该种产品能够实现盈利，且当时，每件产品的平均利润取得最大值，为元， 又该企业该生产线的年产量为万件，所以该生产线的年盈利的最大值为（万元）．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，直线的方程为，以坐标原点为极点，以轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线的普通方程和直线的极坐标方程； （2）已知射线与曲线和直线分别交于和两点，求线段的长． 【答案】（1），；（2）． 【解析】（1）由(为参数)得曲线的普通方程为． 由直线的方程为，，即． （2）曲线的极坐标方程是， 把代入曲线的极坐标方程得，解之得或(舍)． 把代入直线的极坐标方程得， 所以．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知关于的不等式的解集为，其中． （1）求的值；（2）若正数．满足，求证：．(1,ln 5)t ∈()0f t '>()f t (ln 5,4)t ∈()0f t '<()f t ln 5t =()f t ln50.3 1.5ln 5 1.5(1ln 5) 1.50.60.9e-+⨯=⨯-+≈⨯=ln 5 1.6t =≈0.91000.910090⨯=xOy C 1x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩αl 20x -=O x C l π:3OA θ=C l M N MN ()22:13C x y -+=πsin()6:1l ρθ+=1MN =1x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩αC ()2213x y -+=l 20x +-=sin cos 20θρθ+-=πsin()16ρθ+=C 22cos 20ρρθ--=π3θ=C 220ρρ--=2M ρ=1M ρ=-π3θ=l 1N ρ=|21|1M N MN ρρ=-=-=x ||20x m x -+≤(],1-∞-0m >m ,,a b c a b c m ++=2221b c aa b c++≥21 【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】（1）由，得或，化简得或，由于，所以不等式组的解集为， 由题设可得，故．（2）由（1）可知，， 又由均值不等式有，，， 三式相加可得， 所以．1m =0||2x m x -+≤20x m x m x ≥⎧⎨-+≤⎩20x m m x x <⎧⎨-+≤⎩3x mm x ≥⎧⎪⎨≤⎪⎩x mx m <⎧⎨≤-⎩0m >(],m -∞-1m -=-1m =1a b c ++=22b a b a +≥22c b c b +≥22a c a c +≥222222b c a a b c b c a a b c +++++≥++2221b c a b c a a b c ++≥++=。