同课异构精彩纷呈视频研究促进发展——对“直线与圆的位置关系”公开课视频的点评

第22卷第1期 数 学 教 育 学 报Vol.22, No.1收稿日期：2012–09–28基金项目：2012年度教育部人文社会科学研究规划基金项目——21世纪国外中小学数学课程的最新进展（12YJA880074）；广州大学2012年度教育教学研究立项项目——基于MPCK 的数学教师教育专业课程体系与有效教学模式研究（6）述评美国高中数学焦点廖运章1，2（1．广州大学 数学与信息科学学院，广东 广州 510006；2．广州大学 数学与交叉科学广东普通高校重点实验室，广东 广州 510006）摘要：作为《从幼儿园到八年级的数学课程焦点：寻求一致性》的后续，NCTM 发布的《高中数学焦点：推理与意义建构》，将高中数学课程建立于推理与意义建构之上，为学生将来的大学学习、职场工作与成为合格公民作准备，这是美国高中数学教育的新主张，勾勒出21世纪美国高中数学教育发展的方向．关键词：美国；高中数学焦点；推理与意义建构；推理习惯；关键要素中图分类号：G629 文献标识码：A 文章编号：1004–9894（2013）01–0061–05 2009年10月6日，全美数学教师协会（National Council of Teachers of Mathematics ，简称NCTM ）发布高中数学教育的最新指导文件《高中数学焦点：推理与意义建构》（Focus in High School Mathematics: Reasoning and Sense Making ，简称FHSM ），2009年10月15日、2010年4月9日与9月21日、2011年3月9日与10月6日先后出版与之配套的统计与概率卷、代数卷、几何卷、培养全体学生的推理与意义建构卷和技术支撑下的推理与意义建构卷等系列报告，强调高中（9~12年级）数学教学必须把焦点落在数学推理与意义建构上，为学生将来的大学学习、职场工作以及成为合格公民奠定广泛而扎实的数学准备[1]．这是NCTM 2006年9月12日发布《从幼儿园到八年级的数学课程焦点：寻求一致性》报告的后续，是对美国高中数学教育提出的新主张，勾勒出21世纪美国高中数学教育发展的方向，影响着2010年6月发布的美国首部《州共同核心数学标准》（Common Core State Standards for Mathematics ，简称CCSSM ）的制定与实施[2~3]．阐释美国高中数学焦点的产生背景、基本架构与主要内容，以期为中国高中数学新课程改革提供有益的借鉴．1 美国高中数学焦点的产生背景与基本架构1.1 产生背景众所周知，美国长期以来没有全国统一的中小学数学课程标准，各州及学区根据美国联邦政府“不让一个孩子掉队”（No Child Left Behind ）等法案，相对独立地制订各自的数学课程标准、设置各年级数学学习主题，其主要依据则是NCTM 各个时期制定或颁布的学校数学课程指导性文件，NCTM 的指导虽非强制性但在全国有重要的影响力，是各州制定数学课程标准、设定学生学习要求的重要指南[4]．NCTM 是一个大型的对美国数学教育产生重大影响的民间专业学术团体，为美国数学教师提供前瞻性的专业指导，从20世纪80年代开始至今30年来，一直致力于全国中小学数学课程标准的研制[5]．1980年出版的《行动日程》（An Agenda for Action ），制定了从幼儿园到12年级的数学计划，将数学课程聚焦于数学问题解决；1989年，NCTM 出台美国有史以来第一个国家性《学校数学课程与评价标准》（Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics ），提出为全体学生提供共同核心的数学课程，关注数学问题解决、数学推理、数学关联与数学交流的过程；2000年，NCTM 在对1989年标准修订的基础上公布《学校数学的原则与标准》（Principles and Standards for School Mathematics ，简称PSSM ），把每学段标准统一为5条数学内容标准（数与运算、代数、几何、测量、数据分析与概率）和5条数学过程标准（问题解决、推理与证明、交流、关联、表征）；2006年的课程焦点，明确提出从幼儿园到八年级每学段学生应该学习和掌握的最重要数学主题，每一学段都有3个包含于数与运算、测量、代数、几何、数据处理等领域的数学课程焦点，力求改变美国数学教育长期存在的所谓“一英里宽，一英寸深”等泛而不精、对关键性数学内容重视不够的数学课程现状，积极寻求一种“重点突出且内容一致”的、能适用于美国各州各学区的中小学数学课程，这份文件为幼儿园、小学、初中提供了清晰的数学课程指南，赢得美国数学界的广泛好评，即便NCTM 最严厉的批评者也对之表示肯定．2006年的课程焦点发布后，人们希望高中数学课程也有一个类似幼儿园、小学与初中的数学课程焦点，以实现幼儿园至8年级与9~12年级数学课程焦点的前后衔接，同时为不同年级不同水平高中生提供高效的数学课程指导．2007年1月，NCTM 理事会成立一个由数学教育家、高中数学教师、教学管理者、数学家和统计学家等组成的写作组，专项研究基于PSSM 的9~12年级数学课程与教学未来发展的指导性文件，其成果就是FHSM ．1.2 基本架构遵循NCTM 传统，FHSM 由主报告《高中数学焦点：推理与意义建构》、5个匹配的系列报告《代数中的推理与意义建构》、《几何中的推理与意义建构》、《统计与概率中的推理与意义建构》、《培养全体学生的推理与意义建构》、62数学教育学报第22卷《技术支撑下的推理与意义建构》以及有关教师、学生、教学管理者、政策制定者、家长指南等附件组成．《高中数学焦点：推理与意义建构》共129页，主要内容有：案例（22个）；NCTM课程计划；第1编，推理与意义建构的界定．（1）推理与意义建构（什么是推理与意义建构？为什么要强调推理与意义建构？数学课堂教学如何实施推理与意义建构？结论）；（2）推理习惯（推理的发展、在课堂上发展推理习惯、作为数学能力基础的推理、统计推理、数学建模、推理与意义建构的技术支持、结论）．第2编，课程中的推理与意义建构．（3）全部课程的推理与意义建构；（4）数与测量中的推理（答案的合理性与测量、逼近与误差、数系、计数）；（5）代数符号中的推理（有意义地使用符号、细心演算、理性求解、代数与几何的关联、表达式与函数的连接）；（6）函数中的推理（函数的多重表征、用多种函数建模、参数的影响分析）；（7）几何中的推理（几何体的猜测、几何命题的构造与判断、多种几何方法、几何联系与建模）；（8）统计与概率中的推理（数据分析、建模变量、统计与概率的联系、统计研究设计的解释）；第3编，高中数学纲要中的推理与意义建构．（9）公平（课程、学生人数和学习机会、高期望、结论）；（10）一致连贯性（课程与教学、课程的连贯性、评估、结论）；（11）利益相关者的参与（学生、家长、教师、教学管理者、政策制定者、高等教育者、课程设计者及其合作）等[6]．《代数中的推理与意义建构》（Reasoning and Sense Making in Algebra）78页，包括第1章代数与几何，第2章构建方程和函数，第3章形式代数；《几何中的推理与意义建构》（Reasoning and Sense Making in Geometry）115页，由第1章全等和相似中的推理，第2章平面（二维）推理，第3章表面积和体积中的推理，第4章几何建模中的推理组成；《统计与概率中的推理与意义建构》（Reasoning and Sense Making in Statistics and Probability）117页，分为第1章国家数据——看一些普查数据，第2章老信徒间歇泉的喷发——数据探索，第3章奥运会上女比男跑得快？第4章星巴克（Starbucks）的客户——观测研究的设计和分析，第5章再背单词——治疗效果真实吗？第6章软饮料和心脏疾病——一项统计研究的批判；《培养全体学生的推理与意义建构》（Fostering Reasoning and Sense Making for All Students）119页，主要由大学、科学与数学学校专家撰写的论文集，第1章成功的案例——通过推理与意义建构改变学生的生活，第2章支持英语学习者的数学推理与意义建构，第3章对学困生多鼓励少指责，第4章资优生的公平问题，第5章创设机会开启数学推理与意义建构的学习，第6章培养全体高中生推理与意义建构的数学学习团体；《技术支撑下的推理与意义建构》（Technology to Support Reasoning and Sense Making）122页，第1章数、运算与技术，第2章代数与技术——运用技术理解符号、图像并进行一般化推理，第3章以技术为工具进行几何任务的推理，第4章运用技术表征、分析和建立函数模型，第5章模拟是理解概率的一条途径，第6章运用技术对分布进行推理——箱线图、正态曲线与抽样，第7章技术支撑下的数学教学；此外，每本书都设有一个附录，为NCTM关于9~12年级的内容标准和期望，分别是代数、几何、数据分析与概率、数与运算、测量、公平原则、技术原则等标准；因无系列报告专门论及数与测量中的推理与意义建构，主要将之划入《几何中的推理与意义建构》，其他书也有涉及．不难发现，FHSM在编写目的与结构上跟3年前幼儿园至8年级的数学课程焦点（NCTM 2006）有所不同．其一，高中数学焦点并不是一套课程内容标准，而是一个指导大纲，展示NCTM所认为的必不可少的数学技能——推理与意义建构如何通过高中数学得以培养；其二，高中数学焦点没有按照年级而是根据重点内容来编写，部分原因是因为美国学生在高中阶段选修的数学课程各不相同；其三，高中数学焦点通过发布配套的系列主题报告，详细阐释推理和意义建构如何在学校数学的不同领域（如代数、几何、统计与概率等）进行展开，并在数学课堂上如何实现提供了大量案例；其四，为了让高中数学焦点更加能够被公众接受，NCTM分别针对教师、学生、管理者、政策制定者及家长等编写专门的辅导材料；其五，高中数学焦点文件的发布，正值联邦政府与各州政策制定者在推动中小学课程标准的统一化，顺应统一课程的大趋势．美国是少数几个还没有全国统一课程标准的发达国家之一，联邦政府只是宏观管理学校课程，州政府与学区具体构建学校课程的框架与标准．为改变课程标准各州差异极大、各自为政的局面，2009年6月1日，全美州长协会最佳实践中心（the National Governors Association Center for Best Practices，NGA Center）和州首席教育官员理事会（the Council of Chief State School Officers，CCSSO）发起倡议，联合美国51个州和特区，一起参与制定美国首部《州共同核心课程标准》（the Common Core State Standards），并于2010年6月2日颁布，要求全美学生在进入大学之前，在每个年级的学习均接受相同的教育标准，为学生的大学学习与就业作准备，标志着各州将采用并实施全国统一课程标准的开始．不过，全国课程标准颁布后，是否实施仍然由各州自己决定，但根据各州签署的协议备忘录规定，各州的标准可以超越全国统一标准的核心内容，只要统一的核心内容至少占到州标准的85%，并且在3年内必须实施[7]．目前，已有45个州和3个特区/领地宣布采用．《州共同核心课程标准》由CCSSM与《州共同核心英语语言艺术与历史/社会、科学、技术学科中的读写标准》两份文件组成，NCTM官员曾将FHSM的一份复印件呈交给CCSSM的起草者，NCTM又是受邀对CCSSM草案提建议的几个机构之一，比对易知FHSM与CCSSM在很多方面都是一致的，如二者都强调数学实践、提倡数学建模，尽管描述所使用的语言有所不同，高中数学焦点对CCSSM的制定和实施之影响是显而易见的．2 推理和意义建构是贯穿美国高中数学教学的主线“从儿童早期到成年，推理与意义建构都处在数学的核心位置．基于推理与意义建构的高中数学课程将为学生将来的大学学习、职场工作与成为合格公民作准备．”NCTM主席亨利·S·科普纳（Henry S. Kepner Jr.）在FHSM文件的导第1期廖运章：述评美国高中数学焦点63言中，如此评价推理与意义建构对美国高中数学教学的价值与意义．FHSM并不像数学课程焦点（NCTM 2006）界定特定的数学內容作为焦点，而是从新的视角，通过强调数学课程的重要意义以及有效的教学方法，将推理与意义建构融入整个高中数学课程与教学之中，使之成为高中数学教与学的基本内容，并通过大量案例着力解决“如何教”而不仅仅是“教什么”的问题，目的是使所有学生学会数学推理和对数学的意义建构．2.1推理和意义建构的基本观点2.1.1 推理和意义建构的内涵推理是任何学科的重要组成部分，如在高中的文学课上，学生通常对他们所阅读的书籍进行分析、理解和批判性地思考，推理在数学里有其特殊的意义与作用．数学推理（reasoning）指根据证据或既有假定得出逻辑结论的过程；意义建构（sense making）是对与既存知识或先前经验关联的某一情境、背景或概念的理解．推理和意义建构紧密相连，是数学问题解决、推理与证明、交流、关联与表征等数学过程的基础，能帮助学生建立数学新知与旧知的联系，增进他们对数学新信息的理解与保持．推理和意义建构是学生在新情境中运用数学工具与方法解决问题的能力，因此在数学教学中，教师向学生只讲数学主题、让学生仅知道怎样施行数学演算步骤或重现知识是不够的，学生必须学会数学推理和意义建构，发展关键的数学思维技能，并以有意义的方式理解数学与运用数学，确保其在数学和生活中获得成功．2.1.2 推理和意义建构的基本原则FHSM提出推理和意义建构的两项基本原则：一是贯穿于整个数学课程的“推理习惯（reasoning habits）”，二是衍生于高中数学课程数与测量、代数符号、函数、几何、统计与概率等5个内容领域的“关键要素（key elements）”．主报告及系列主题报告提供若干实例，说明这两项基本原则是如何在数学课堂教学中予以实施的．（1）推理习惯．推理习惯不是一个新增的数学内容主题，而是完全融合在现存的数学课程中，以确保学生既能理解又能运用他们所学到的数学知识与技能．推理习惯分为问题分析、提供策略、寻找与应用关联、解题反思4类：①问题分析．例如：确定相关数学概念、步骤或表达，以揭示问题的重要信息并寻求其解法（例如，选择一个模型去模拟一个随机试验）；精心定义相关变量和条件，包括单位是否适当；寻求模式和关系（例如，系统地审查事实或创造性地显示数据）；寻找隐性结构（例如，在几何图上画辅助线，找出反映问题不同方面的等价表达式）；考虑特殊情形或简单模拟；应用以前学过的概念处理问题，必要时进行变形和推广；作出初步推论和猜想，包括预测问题答案像什么或硬给出一个答案；判别统计方法是否适当．②提供策略．例如：有目的地使用方法（步骤）；形成答案，包括计算、代数运算与数据显示；根据当前进展作出逻辑推论，证明猜想，延拓最初的发现；调节接近答案的进程，包括回顾所选择的策略和由自己或他人发现的其他可能策略．③在不同数学领域、不同背景和不同表达间寻找与应用关联．④解题反思．例如：解释答案以及它是如何回答问题的，包括条件未确定情况下作出结论；考虑答案的合理性，包括任何数字是否反映了准确性的一个不合理水平；回到关于答案本质的假定，包括认真对待特殊情形和无关的答案；证明或证实答案，包括证明和推理；为统计答案确定一个推理范围；调整不同的解题方法，包括它们之间的相互推导；提炼结论，使交流更有效；寻求推广问题的一般结论以及与其他问题的关联．这些推理习惯并不限于一类，在解决问题和进行数学思考时，应自然并灵活地进行合理转化．同时，推理习惯又可分为一般推理习惯与特殊推理习惯，以上叙述的即是一般推理习惯，特殊推理习惯因不同内容领域或主题而定，以下就是一些特殊的统计推理习惯：①问题分析——寻求模式和关系：描述数据中的所有模式，寻找数据中的隐性结构；②提供策略——调节进程：根据模型评估观察的一致性、用重复的统计方法进行调查，以评估所选择的策略；③寻找与应用关联——连接不同的表达：区分数据分析的共有成分（如标准差）、理解数据分析不同成分的灵敏性、连接结论及其对背景的解释；④解题反思——检测答案的合理性：判断由数据得出的结论是否有理．（2）关键要素．FHSM根据不同主题内容确定一系列对应的关键要素，这些关键要素并非全部，只是窥视高中数学提升推理与意义建构的一扇窗口．下面仅以代数推理的关键要素为例略作说明——代数中的推理与意义建构关键要素分为两部分：用代数符号与函数进行推理与意义建构．用代数符号进行推理与意义建构的关键要素包括：①有意义地使用符号——选择变量，依据背景建立表达式与方程；解释表达式与方程的形式；演算表达式，以便作出有意义的解释．②细心演算——把演算连接到算术律；预测演算的结果；依据背景有目的地选择方法；描绘心算．③理性求解——通过等价的逻辑推论查看解题步骤；依据背景解释答案．④代数与几何的关联——用代数方法表达几何情境，用几何方法表达代数情境；在问题解决中使用关联．⑤表达式与函数的连接——用多种代数表达式理解函数；用函数符号解题．用函数进行推理与意义建构的关键要素包括：①函数的多重表征——用不同方式表示函数，包括列表的、图像的、符号的（直接的和重复的）、视觉的、言语的；在问题解决情境中，采用一个最佳表达式；并在这些函数表达式间灵活转换．②用多种函数建模——利用不同函数的特有性质，为特殊背景的实际问题建立合理的数学模型．③参数的影响分析——选用某类函数中的一个一般表64 数 学 教 育 学 报 第22卷达式（如二次函数的顶点形式k h x a x f +−=2)()(），分析不同系数或其他参数的影响；根据问题解决的情境（如找二次函数的顶点或求其零点）需要，进行不同函数形式间的转换（如二次函数的标准形式与乘积形式）．（3）推理和意义建构的意义．为何及如何将推理和意义建构作为高中数学焦点？FHSM 认为：第一，在高中数学教学中施行推理和意义建构，将为学生成为合格公民、工作以及进一步学习做准备．美国学生的数学成绩不尽如人意是人所共知的，日益增长的全球化、技术化社会在科技、金融、保险和健康计划等方面对数学提出高要求，如互联网上一份报告指出掌握数学与统计技术以分析处理大量数据的新工种爆炸性增长，而数学推理和意义建构能帮助学生应对这些未来挑战．第二，推理和意义建构应渗透到整个高中数学课程，成为日常数学教学的重要组成部分，让所有高中生都应经历数学推理和意义建构的过程． 推理和意义建构是数学能力的内在成分，形式推理通常在几何中予以强化，学生很少在数学的其他领域比如代数中经历推理，将推理和意义建构渗入到数学课程的每个角落，能使学生发现数学的整体连贯性，引导其怎样建立新概念与现存知识的联系，不但不会增加教学负担反而增强对数学的理解与后继学习．第三，数学推理和意义建构是学习数学的有效方式．研究显示，理解数学为何可行的学生比只记住常规数学问题解法的学生，对数学理解更深、记得更久、更易掌握．因此，教师应把推理和意义建构落实到数学课堂中，如提供有价值且令学生感兴趣的任务或问题发展学生的数学理解、技能和推理，创造课堂环境使数学思维常规化，有目的地引导鼓励学生推理和对所学内容进行意义建构，反思教学实践以确保推理和意义建构成为数学课堂的焦点，等等，引导学生以自己的方式进行推理和意义建构，开展有效的数学学习． 2.2 高中数学不同领域有效实施推理和意义建构的方法在数学课堂上如何教推理和意义建构是FHSM 的亮点，与以往美国高中有关数学课程标准及数学课程焦点（NCTM 2006）大多关注“教什么”而不解决“怎么教”的问题不同，FHSM 从两个维度详细阐释了推理和意义建构“怎么教”的问题．从主报告的视角，《高中数学焦点：推理与意义建构》以“课程中的推理与意义建构”为题，结合环游世界、燃料中的思维、关于π、模型思想、飞行中的马蹄铁、全部分发、寻找平衡、再平方、留心会谈、模式平面和符号、摄入的药量、金钱问题、潮波、影像、绕点、旋转、清扫大桥、频率分配、有意义的词（A 、B ）、有什么机会？（A 、B ）等22个案例，沿着关键要素与推理习惯的路线，对数与测量、代数符号、函数、几何、统计与概率中的推理和意义建构如何教学进行详尽剖析，并提供22个案例的实际操作使用程序（包括每个案例的要求——FHSM 的关键要素与推理习惯、PSSM 的过程标准、CCSSM 的内容标准与数学实践，任务或问题，课堂使用方法，关注学生思维，评价，辅助材料或资源，学生活动表等栏目），供课堂教学使用．特别是其中的课堂使用方法与关注学生思维栏目，预设了学生解决问题的种种常见思维模式以及应对的教学处理方法，令人耳目 一新．从匹配的系列报告维度，代数、几何、统计与概率卷分别根据各自学科的特点选择适当的案例，注重利用具有实际背景的数学应用问题，展示高中数学不同领域有效实施推理和意义建构的具体实施方法；同时，面向全体学生与合理运用信息技术开展数学推理和意义建构．FHSM 认为，引导高中生运用数学模型解决实际问题开辟了学习数学的新途径，当学生面临一个实际情境时，倾向于探索问题的一系列解法、思考特殊方法的作用、寻找数学学科间的联系，并运用诸如调节进程、解题反思等各种推理习惯．2.3 为实现推理和意义建构教学进行多方协作在美国，学校课程设置与管理主要由各州和学区教育行政当局确定，数学教师熟悉数学课程标准但只有少数在教学上予以贯彻，大多我行我素．因此，NCTM 发布的FHSM 文件能否实施有赖于多方协作与共同推进，才能真正把推理和意义建构有效落实到数学课堂上．为此，FHSM 在第3编高中数学纲要中的推理与意义建构、教学指南附件中，提出了具体建议．一方面，课程、教学与评价通力合作，将发展学生的数学推理与意义建构能力确立为高中数学的共同目标．另一方面，学生、家长、教师、教学管理者、政策制定者、高等教育者、课程设计者等广泛参与，确保推理与意义建构成为高中数学实际教学的焦点．实施推理与意义建构教学，应与教师的专业发展相结合，教师需要长期的专业发展指引和支持；学生必须认识到，在这个飞速发展的社会，学习高中数学将对他们未来职业的重要性；家长应鼓励与帮助学生学习数学，促进其形成良好的数学学习习惯；学区、学校、学科组与教师应提供旨在提升学生推理与意义建构的高质量数学课程；州与地方评价政策应把学生的数学推理与意义建构能力作为一项重要的检测指标；政策制定者必须保证适当的财力，支持致力于把推理与意义建构作为有效课程的学区与学校等．3 对中国高中数学新课程改革的启示在中国，普通高中新课程实验2004年在广东、山东、海南、宁夏先行启动，至2012年秋季学期全国所有省份已全面铺开；高中数学新课程的全面实施，标志着具有中国特色的高中数学课程新体系初步形成．然而，在这场充满探索与创新的数学课程改革实践中，遭遇到类似美国的尴尬或困惑，即面对模块专题繁多、内容宽泛的高中数学新课程，课程焦点在哪里？哪些是中国高中生应当学习的数学核心内容？NCTM 发布的FHSM 值得思考与借鉴．推理与证明是PSSM 的5条数学过程标准之一，但FHSM 却把推理与意义建构作为高中数学的焦点，究其原因是培养学生的推理与意义建构能力不能一蹴而就，而应渗透到整个数学课程之中，成为日常数学教学的主线．中国高中数学新课程选修系列1–2与系列2–2模块也设有一个没有具体数学内容（除数学归纳法外）的“推理与证明”，显然来源于PSSM ，实践表明，这种独立设置的做法是没有实际意。