3.7动力学中临界问题

动力学临界问题的类型与处理方法〇、问题的缘起高中物理中的动力学临界问题是一类较难的题目，本文尝试从牛顿第二定律的等号的含义的挖掘出发，提出这类问题的产生原因、基本类型和基本解决方法。

一、动力学临界问题的本质——供需匹配问题牛顿第二定律ma F =∑，等式的左边是其他物体提供给物体的力（供），右边是物体以加速度a 运动时所需要的力（需），因此ma F =∑实际上是供需匹配的方程。

当某些外界条件变化时，a 可能变化，因此物体所需要的力可能发生变化，这就存在供需匹配问题。

动力学临界问题，本质上讲，就是供需匹配问题： ①供需相匹配（等号成立），则可维持两物体间的某种关联（如相对静止、距离不变等）； ②若供需不匹配（等号不成立），则两物体间的该种关联被破坏（如两物体相对滑动、距离增大或者减小等）。

二、动力学临界问题的类型依据其他物体提供给物体的力的特点，可将动力学临界问题分为两大类型：供可变型和供不可变型。

1、供可变型其他物体提供的力可以在一定范围内变化；若所需要的力在该范围内，则能够维持物体间的某种关联，若所需要的力超出该范围，则物体间的该种关联被破坏。

具有这种特点的力，主要是两大类：静摩擦力和弹力。

具体分析如下：（1）静摩擦力：-F f m ≤F f ≤F f m ，N f F F 0m μ=若：所需F f ≤F f m ，则两物体相对静止，若：所需F f ＞F f m ，则两物体相对滑动。

（2）弹力：F N ≥0， 0≤F T ≤F T m①支持力/压力F N ：所需F N ≥0，则两物体相互接触，所需F N ＜0，则两物体相互分离。

②绳中张力F T ：所需F T 满足0≤F T ≤F T m ，则绳子绷直，两物体维持某间距，所需F T ＜0，则绳子松弛，两物体间距减小，靠近，所需F T ＞F T m ，则绳子绷断，两物体间距增大，分开。

2、供不可变型特定位置处，其他物体提供的力是一个确定的值；若需要的力等于该值，则能够维持物体间的相对位置，若需要的力不等于该值，则两物体接近或者远离。

动力学中的临界和极值问题一、动力学中的临界极值问题1．“四种”典型临界条件(1)接触与脱离的临界条件：两物体相接触或脱离，临界条件是弹力F N＝0。

(2)相对滑动的临界条件：两物体相接触且处于相对静止时，常存在着静摩擦力，则相对滑动的临界条件是静摩擦力达到最大值。

(3)绳子断裂与松弛的临界条件：绳子所能承受的张力是有限度的，绳子断与不断的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力，绳子松弛与拉紧的临界条件是F T＝0。

(4)速度达到最值的临界条件：加速度为0。

2. 解题指导（1）直接接触的连接体存在“要分离还没分”的临界状态，其动力学特征：“貌合神离”，即a相同、F N＝0.（2）靠静摩擦力连接(带动)的连接体，静摩擦力达到最大静摩擦力时是“要滑还没滑”的临界状态.（3）极限分析法：把题中条件推向极大或极小，找到临界状态，分析临界状态的受力特点，列出方程（4）数学分析法：将物理过程用数学表达式表示，由数学方法(如二次函数、不等式、三角函数等)求极值．3.解题基本思路(1)认真审题，详细分析问题中变化的过程(包括分析整个过程中有几个阶段)；(2)寻找过程中变化的物理量；(3)探索物理量的变化规律；(4)确定临界状态，分析临界条件，找出临界关系．4. 解题方法二、针对练习1、（多选）如图所示，长木板放置在水平面上，一小物块置于长木板的中央，长木板和物块的质量均为m ，物块与木板间的动摩擦因数为μ，木板与水平面间的动摩擦因数为4μ，已知最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，重力加速度为g ．现对物块施加一水平向右的拉力，则木板加速度a 大小可能是（ ）A ．0a =B ．4ga μ=C ．3g a μ=D ．23ga μ=2、（多选）如图所示，A 、B 两物块的质量分别为2m 和m ，静止叠放在水平地面上．A 、B 间的动摩擦因数为μ，B 与地面间的动摩擦因数为12μ.最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g .现对A 施加一水平拉力F ，则( ) A ．当F <2μmg 时，A 、B 都相对地面静止 B ．当F ＝52μmg 时，A 的加速度为13μgC ．当F >3μmg 时，A 相对B 滑动D ．无论F 为何值，B 的加速度不会超过12μg3、如图所示，木块A 、B 静止叠放在光滑水平面上，A 的质量为m ，B 的质量为2m 。

考点二 动力学中的临界与极值问题动力学中的临界问题一般有三种解法：1.极限法在题目中如出现“最大”“最小”“刚好”等词语时，一般隐含着临界问题，处理这类问题时，应把物理问题(或过程)推向极端，从而使临界现象(或状态)暴露出来，达到尽快求解的目的．2．假设法有些物理过程中没有明显出现临界问题的线索，但在变化过程中可能出现临界问题，也可能不出现临界问题，解答这类题，一般用假设法．3．数学法将物理过程转化为数学公式，根据数学表达式求解得出临界条件．命题点1 接触与脱离的临界条件3．一个弹簧测力计放在水平地面上，Q 为与轻弹簧上端连在一起的秤盘，P 为一重物，已知P 的质量M ＝10.5 kg ，Q 的质量m ＝1.5 kg ，弹簧的质量不计，劲度系数k ＝800 N/m ，系统处于静止．如图所示，现给P 施加一个方向竖直向上的力F ，使它从静止开始向上做匀加速运动，已知在前0.2 s 内，F 为变力，0.2 s 以后，F 为恒力．求力F 的最大值与最小值．(取g ＝10 m/s 2)【解析】 设开始时弹簧压缩量为x 1，t ＝0.2 s 时弹簧的压缩量为x 2，物体P 的加速度为a ，则有kx 1＝(M ＋m )g ①kx 2－mg ＝ma ②x 1－x 2＝12at 2③ 由①式得x 1＝(M ＋m )g k＝0.15 m ， 由②③式得a ＝6 m/s 2.F min ＝(M ＋m )a ＝72 N ，F max ＝M (g ＋a )＝168 N.【答案】 F max ＝168 N F min ＝72 N命题点2 相对滑动的临界条件4.如图所示，12个相同的木块放在水平地面上排成一条直线，相邻两木块接触但不粘连，每个木块的质量m ＝1.2 kg ，长度l ＝0.5 m ．木块原来都静止，它们与地面间的动摩擦因数均为μ1＝0.1，在左边第一个木块的左端放一质量M ＝1 kg 的小铅块(可视为质点)，它与各木块间的动摩擦因数均为μ2＝0.5，现突然给小铅块一个向右的初速度v 0＝9 m/s ，使其在木块上滑行．设木块与地面间及小铅块与木块间的最大静摩擦力均等于滑动摩擦力，重力加速度g ＝10 m/s 2.求：(1)小铅块相对木块滑动时小铅块的加速度大小；(2)小铅块下的木块刚发生运动时小铅块的瞬时速度大小．【解析】 (1)设小铅块相对木块滑动时加速度大小为a ，由牛顿第二定律可知μ2Mg ＝Ma解得a ＝5 m/s 2.(2)设小铅块最多能带动n 个木块运动，对n 个木块整体进行受力分析，当小铅块下的n 个木块发生运动时，则有μ2Mg ≥μ1(mgn ＋Mg )解得n ≤3.33即小铅块最多只能带动3个木块运动设当小铅块通过前面的9个木块时的瞬时速度大小为v ，由动能定理可知－μ2Mg ×9l ＝12M (v 2－v 20) 解得v ＝6 m/s.【答案】 (1)5 m/s 2 (2)6 m/s命题点3 数学方法求解极值问题5．如图所示，一质量m ＝0.4 kg 的小物块，以v 0＝2 m/s 的初速度，在与斜面成某一夹角的拉力F 作用下，沿斜面向上做匀加速运动，经t ＝2 s 的时间物块由A 点运动到B 点，A 、B 之间的距离L ＝10 m ．已知斜面倾角θ＝30°，物块与斜面之间的动摩擦因数μ＝33.重力加速度g 取10 m/s 2.求：(1)物块加速度的大小及到达B 点时速度的大小；(2)拉力F 与斜面夹角多大时，拉力F 最小？拉力F 的最小值是多少？【解析】 (1)设物块加速度的大小为a ，到达B 点时速度的大小为v ，由运动学公式得L ＝v 0t ＋12at 2① v ＝v 0＋at ②联立①②式，代入数据得a ＝3 m/s 2③v ＝8 m/s ④(2)设物块所受支持力为F N ，所受摩擦力为F f ，拉力与斜面间的夹角为α，受力分析如图所示，由牛顿第二定律得F cos α－mg sin θ－F f ＝ma ⑤F sin α＋F N －mg cos θ＝0⑥又F f ＝μF N ⑦联立⑤⑥⑦式得F ＝mg (sin θ＋μcos θ)＋ma cos α＋μsin α⑧ 由数学知识得cos α＋33sin α＝233sin(60°＋α)⑨ 由⑧⑨式可知对应F 最小的夹角α＝30°⑩联立③⑧⑩式，代入数据得F 的最小值为F min ＝1335N. 【答案】 (1)3 m/s 2 8 m/s (2)30°1335N“四种”典型临界条件(1)接触与脱离的临界条件：两物体相接触或脱离，临界条件是：弹力F N ＝0.(2)相对滑动的临界条件：两物体相接触且处于相对静止时，常存在着静摩擦力，则相对滑动的临界条件是：静摩擦力达到最大值．(3)绳子断裂与松弛的临界条件：绳子所能承受的张力是有限度的，绳子断与不断的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力，绳子松弛的临界条件是：F T＝0.(4)加速度变化时，速度达到最值的临界条件：当加速度变为0时．。

例析动力学中的临界问题河南安阳县二中南校区 黄勇军 455112动力学中的临界问题是高考的重点和难点所在，那么处理临界问题都有哪些方法呢？下面我们就来具体讲解一下这个问题.临界问题的解法一般有三种方法：⑴极限法:在题目中如出现“最大”、“最小”、“刚好”等词语时，一般隐含着临界问题，处理这类问题时，应把物理问题（或过程）推向极端，从而使临界现象（或状态）暴露出来，达到尽快求解的目的.⑵假设法:有些物理过程没有明显出现临界问题的线索，但在变化过程中可能出现临界问题，也可能不出现临界问题，处理此类问题，一般用假设法.⑶数学方法：将物理过程转化为数学公式，根据数学表达式求解得出临界条件. 例1小车内固定一个倾角为37°的光滑斜面，用一根平行于斜面的细线系住一个质量为m ＝2kg 的小球，如图所示. (1)当小车以加速度a 1＝5m/s 2向右匀加速运动时，细线上的拉力为多大?(2)当小车的加速度a 2＝20m/s 2时，细线上的拉力为多大? (g 取10m/s 2) 解析：本题中存在一个临界状态，即小球刚好脱离斜面瞬间，设此时加速度为a ，受力如图甲.将绳子拉力分解为水平x 方向和竖直y 方向两个分力则得到 ⎩⎨⎧-0sin cos ＝＝mg F maF θθ ∴a ＝g cot θ＝34g ＝340m/s 2(1) a 1＝5m/s 2＜a ，这时小球没有脱离斜面，受力如图乙所示， 由牛顿第二定律得⎩⎨⎧-︒+︒︒-︒037cos 37sin 37sin 37cos 1＝＝mg F F ma F F N N解得F ＝20N F N ＝10N(2) a 2＝20m/s 2＞a ，这时小球脱离斜面，受力如图丙所示， 由牛顿第二定律得 ⎩⎨⎧mg F ma F ＝＝ααsin cos 2两式平方后相加得 F 2＝(ma 2)2＋(mg )2F ＝222)()(mg ma +≈45N例2如图所示，在光滑的水平面上放着一块质量为M =6kg 的木板，木板的上面放着一个质量m =4kg 的木块. 已知木块与木板间的动摩擦因数μ=0.1，最大静摩擦力为f m =8N. 当木块受到F =12N 的水平力的作用时，木板的加速度是多大?解析：本题的关键是鉴别木板和木块之间是否产生滑动.yxGα F 丙F Ny FxG θ乙37°yFθθxG甲M m F有同学认为，木块m 在板M 上产生滑动，因此对木板M 产生水平向右的滑动摩擦力f ＝μmg ＝0.1×4×10＝4N ，在f 力作用下木板M 产生加速度a =M f=64=0.67m/s 2. 这种错误的出现是因为没搞清木块与木板间是否产生滑动.使木块和木板间产生滑动的临界条件是它们间的静摩擦力大于最大静摩擦力，设在m 、M 之间有最大静摩擦力，木块m 和板M 有共同的加速度a m . 在f m 的作用下，木板产生加速度，a m ＝Mf m ＝68＝34m/s 2，在木块上施以水平力F m ＝(M +m )a m ＝340≈13.3N 时，木块和木板间有最大静摩擦力. 它们之间没有相对滑动.若施加的水平力大于13.3N ，m 、M 间必产生相对滑动.从题设上知道F ＝12N ＜F m ，可知，在F 力的作用下, m 和M 以共同加速度运动，它们之间是相对静止的. 因为F ＝(M +m )a ，所以a ＝mM F +＝4612+＝1.2m/s 2.例3为了安全, 在公路上行驶的汽车之间应保持必要的距离. 已知某高速公路的最高限速v =120 km/h,假设前方车辆突然停下, 后车司机从发现这一情况，经操纵刹车到汽车开始减速所经历的时间(即反应时间) t =0.5s, 刹车时汽车受到阻力的大小f 为车重的0.4倍, 该高速公路上汽车间的距离s 至少应为多少? (g ＝10m/s 2) (全国)解析：如图所示，设前方车停在A 点时，后方车在B 点. B 点的车发现A 点的车停止，经t ＝0.5s 的反应时间以速度v ＝120km/h 匀速运动到C 处，在C 处开始刹车. 要求运动到A 处时速度为0，所以CA 段的运动为初速v ＝120km/h 的匀减速运动，到A 处时停止运动.由题意知，s 1＝v m t ⋅＝33.3×0.5＝16.67m.后车在CA 段运动的加速度大小为a ＝m f ＝mmg.40＝0.4g ＝4m/s 2. 根据匀变速运动公式可得v 2m ＝2as 2，s 2＝av m 22＝83.332≈138.61m.所以，该高速公路上汽车间的距离s 至少为s ＝s 1+s 2＝155.28m.注意：①为了计算汽车间最小距离，汽车行驶速度应取最大值v m ＝120km/h. ②在运算时，要把速度v m ＝120km/h 换算为国际单位v m ＝33.3m/s.B C A s 1 s 2s。

高三物理第二轮专题复习专题三：动力学中的临界问题教学目标：1、掌握处理临界问题的基本思路；2、能正确处理动力学中的临界问题。

教学过程：一、在变化中求临界——解决临界问题的基本思路 1、临界问题2、解决临界问题的基本思路（1）认真审题，详尽分析问题中变化的过程（包括分析整体过程中有几个阶段）； （2）寻找过程中变化的物理量（自变量与因变量）；（3）探索因变量随自变量变化时的变化规律，要特别注意相关物理量的变化情况； （4）确定临界状态，分析临界条件，找出临界关系；二、动力学中的典型临界问题 1、接触与脱离的临界条件例1（1995年上海）如图所示，细线的一端固定于倾角为450的光滑楔形滑块A 的顶端P 处，细线的另一端拴一质量为m 的小球。

当滑块至少以加速度a= 向左运动时，小球对滑块的压力等于零。

当滑块以a=2g 的加速度向左运动时，线中拉力T= 。

2、相对静止与相对滑动的临界条件 例2、如图所示，质量为M 的木板上放着一质量为m 的木块，木块与木板间的动摩擦因数为μ1，木板与水平地面间动摩擦因数为μ2。

求加在木板上的力F 为多大时，才能将木板从木块下抽出？3、绳子断裂与松弛的临界条件例3、如图所示的升降机中，用两根能承受的最大拉力均为320N 的绳子AO 和BO 吊着一质量为m=20kg 的重物。

两绳互相垂直，且AO 与竖直方向夹角θ=370。

为了使AO 、BO 两绳不断裂，升降机由静止开始匀加速上升20m 的最短时间是多少？例4、如图所示，一质量为m 的物体系于长度分别为l 1、l 2的两根细线上，l 1的一端悬挂在天花板上，与竖直方向夹角为θ，l 2水平拉直，物体处于平衡状态。

现将l 2线剪断，求剪断瞬时物体的加速度。

4、加速度最大与速度最大的临界条件例5、一小球用轻绳悬挂在某固定点，现将轻绳水平拉直，然后由静止开始释放小球，考虑小球由静止开始运动到最低位置的过程（ ） A 、小球在水平方向的速度逐渐增大 B 、小球在竖直方向的速度逐渐增大 C 、到达最低位置时小球线速度最大D 、到达最低位置时绳中的拉力等于小球重力例6、如图所示，在互相垂直的匀强电场和匀强磁场中，一个质量为m 、带电量为+q 的有孔小球沿着穿过它的竖直长杆下滑，小球与杆之间的滑动摩擦系数为μ，设电场场强为E ，磁感应强度为B ，电场、磁场范围足够大，求：（1）当小球有最大加速度时的速度为多大？（2）当小球有最小加速度时的速度为多大？5、两物体相对静止的临界条件 例7、（2001年全国）惯性制导系统广泛的应用于弹道式导弹系统中，这个系统的重要元件之一就是加速度计，加速度计的构造原理的示意图如下，沿导弹长度方向安装的固定光滑竿上套一质量为m 的滑块，滑块两侧分别与劲度系数均为k 的弹簧相连，弹簧的另一端与固定壁相连，滑块原来静止，弹簧处于自然长度，滑块上有指针，可通过标尺测出滑块的位移，然后通过控制系统进行制导，设某段时间内导弹沿水平方向运动，指针向左偏离O 点的距离为s ，则这段时间内导弹的加速度为（ ） A.方向向左，大小为1ks/m B.方向向右，大小为1ks/mC.方向向左，大小为2ks/mD.方向向右，大小为2ks/m。

动力学中的临界问题1．动力学中的临界极值问题在物体的运动状态发生变化的过程中，往往达到某个特定的状态时，有关的物理量将发生突变，此时的状态即为临界状态，相应物理量的值为临界值.若题目中出现 “最大”、“最小”、“刚好”等词语时，往往会有临界值出现．2．发生临界问题的条件(1)接触与脱离的临界条件：两物体相接触或脱离，临界条件是：弹力F N ＝0.(2)相对滑动的临界条件：两物体相接触且处于相对静止时，常存在着静摩擦力，则相对滑动的临界条件是：静摩擦力达到最大值．(3)绳子断裂与松弛的临界条件：绳子所能承受的张力是有限的，绳子断与不断的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力，绳子松弛的临界条件是：F T ＝0.(4)加速度最大与速度最大的临界条件：当物体在受到变化的外力作用下运动时，其加速度和速度都会不断变化，当所受合外力最大时，具有最大加速度；合外力最小时，具有最小加速度．当出现速度有最大值或最小值的临界条件时，物体处于临界状态，所对应的速度便会出现最大值或最小值．3.临界问题的解法一般有三种极限法：在题目中如出现“最大”“最小”“刚好”等词语时，一般隐含着临界问题，处理这类问题时，应把物理问题(或过程)推向极端，从而使临界现象(或状态)暴露出来，达到尽快求解的目的． 假设法：临界问题存在多种可能，特别是非此即彼两种可能时，或变化过程中可能出现临界条件，也可能不出现临界条件时，往往用假设法解决问题．数学方法：将物理过程转化为数学公式，根据数学表达式解出临界条件．特别提醒临界问题一般都具有一定的隐蔽性，审题时应尽量还原物理情境，利用变化的观点分析物体的运动规律，利用极限法确定临界点，抓住临界状态的特征，找到正确的解题方向．例1如图所示，质量为m 的物体放在水平地面上，物体与地面间的动摩擦因数为μ，对物体施加一个与水平方向成θ角的力F ，试求：（1）物体在水平面上运动时力F 的值；（2）物体在水平面上运动所获得的最大加速度。

动力学中的临界极值问题
临界极值问题在动力学中是指系统的某个物理量在经过变化时达到临界值的问题。

这个物理量可以是系统的能量、动量、速度等等。

临界极值问题在动力学中有很多应用，下面以力学中的临界速度问题为例进行解释。

在力学中，临界速度是指物体在某个运动过程中速度达到临界值时的问题。

通常情况下，物体的速度会随着时间的增加而增加，但当速度达到某个临界值时，物体的运动状态会发生突变。

临界速度问题可以通过求解物体受到的合力和运动方程来解决。

当物体受到的合力等于零时，即达到了临界速度。

在这个临界速度下，物体的加速度为零，速度不再改变，达到了稳定的运动状态。

临界速度问题在实际生活中有很多应用。

例如，在过山车设计中，设计师需要确定过山车的速度达到临界值时的运动状态，以保证乘客的安全。

同样，在飞行器设计中，确定飞行器起飞和降落时的临界速度也是一个关键问题。

总之，临界极值问题在动力学中是指系统的某个物理量达到临界值时的问题，通过求解物体受力和运动方程可以解决问题。

临界速度问题是其中的一个重要应用。

动力学中的临界条件及应用一、临界状态物体在运动状态变化的过程中，相关的一些物理量也随之发生变化．当物体的运动变化到某个特定状态时，相关的物理量将发生突变，该物理量的值叫临界值，这个特定状态称之为临界状态．二、临界状态的判断1．若题目中有“刚好”、“恰好”、“正好”等字眼，明显表明题述的过程存在着临界点．2．若题目中有“取值范围”、“多长时间”、“多大距离”等词语，表明题述的过程存在着“起止点”，而这些起止点往往就对应临界状态．3．临界状态的问题经常和最大值、最小值联系在一起，因此，若题目中有“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等字眼，表明题述的过程存在着极值，这个极值点往往是临界点．4．若题目中有“最终”、“稳定”等文字，即是求收尾速度或加速度． 三、处理临界问题的思路1．会分析出临界状态的存在．2．要抓住物体处于临界状态时的受力和运动特征，找出临界条件，这是解决问题的关键．3．能判断物体在不满足临界条件时的受力和运动情况． 4．利用牛顿第二定律结合其他规律列方程求解． 四、力学中常见的几种临界条件 1．接触物体脱离的临界条件： 接触面间的弹力为零，即F N ＝0.如图所示，当斜面以多大加速度a 向右加速运动时，小球离开斜面？[思路点拨] 斜面静止时，小球受到重力、拉力、支持力而静止；当小球随斜面加速运动，支持力减小，以获得水平合外力，当加速度足够大时，小球甚至“飞”起．当小球与斜面接触且作用力为0时，即为小球离开斜面的临界条件．[解析] 当小球与斜面间弹力为零时，受力分析如图所示．由牛顿第二定律得：F合＝mgtan θ＝ma 0a 0＝g tan θ即当a ＞a 0＝gtan θ时，小球离开斜面．[答案] a ＞gtan θ2．绳子松弛的临界条件： 绳中张力为0，即F T ＝0.如图所示，当斜面以多大加速度a 向左运动时，小球沿斜面上移？[思路点拨] 斜面静止时，小球受重力、弹力和拉力而静止．当小球随斜面向左加速运动，则绳的拉力将减小，支持力增大，以获得水平向左的加速度，加速度足够大时，小球可能沿斜面上移，因此绳的拉力为零是球上移的临界条件．[解析] 当绳的拉力为零时，小球受力如图．由牛顿第二定律得：F 合＝mg tan θ＝ma 0 a 0＝g tan θ即当a ＞a 0＝g tan θ时，小球沿斜面上移． [答案] a ＞g tan θ3．相对滑动的临界条件：静摩擦力达到最大值，即f 静＝f m .如图所示，水平面光滑，A 、B 质量相等，A 、B 间最大静摩擦力为f ，则F 为多少时，A 、B 发生相对运动．[思路分析] 力F 很小时，加速度小，A 对B 的摩擦力小，A 、B 一起运动．随着力F 增大，加速度a 增大，A 对B 的摩擦力增大，最大静摩擦力是极限．则A 、B 发生相对运动的临界条件是两者之间的摩擦力为f .[解析] 由整体法得：F ＝2ma 对A ：f ＝f m ＝ma 解得：F ＝2f .即当F ＞2f 时A 、B 发生相对滑动． [答案] F ＞2f4．滑块在滑板上不滑下的临界条件： 滑块滑到滑板一端时，两者速度相同．质量为M ＝2 kg 、长为L 的木板静止在光滑的水平面上，在木板左端放有质量为m ＝1 kg 的铁块(可视为质点)．现给铁块施加一水平拉力F ＝4 N ，使铁块相对木板滑动，作用t ＝1 s 后撤去拉力，铁块恰好不掉下木板，求木板的长度L 的值．(已知铁块与木板间的动摩擦因数为μ＝0.2，g 取10 m/s 2)[解析] 铁块的加速度F 作用时：F －μmg ＝ma 1，a 1＝2 m/s 2，向右 撤去F 后：μmg ＝ma ′1，a ′1＝2 m/s 2，向左． 木板的加速度(相对滑动过程中不变) μmg ＝Ma 2，a 2＝1 m/s 2 前1 s 内两者的位移：x 1＝12a 1t 2＝1 mx 2＝12a 2t 2＝0.5 m.撤去F 时两者的速度： v 1＝a 1t ＝2 m/s v 2＝a 2t ＝1 m/s撤去F 后，设铁块滑到木板右端用时为t ′，共同速度为v . 由v ＝v 1－a ′1t ′＝v 2＋a 2t ′得 v ＝43 m/s ，t ′＝13 s 两者对地位移：x ′1＝v 1＋v 2t ′＝59 mx ′2＝v 2＋v 2t ′＝718m木板长度L ＝(x 1＋x ′1)－(x 2＋x ′2)＝23m.[答案] 23m1．(多选)(2015·浙江宁波模拟)如图，在光滑水平面上放着紧靠在一起的A 、B 两物体，B 的质量是A 的2倍，B 受到水平向右的恒力F B ＝2 N ，A 受到的水平向右的变力F A ＝(9－2t ) N ，t 的单位是s.从t ＝0开始计时，则( )A ．A 物体在3 s 末时刻的加速度是初始时刻的511倍B ．t ＞4 s 后，B 物体做匀加速直线运动C ．t ＝4.5 s 时，A 物体的速度为零D ．t ＞4.5 s 后，A 、B 的加速度方向相反解析：选ABD.对于A 、B 整体，据牛顿第二定律有：F A ＋F B ＝(m A ＋m B )a ，设A 、B 间的作用力为F ，则对于B ，据牛顿第二定律可得：F ＋F B ＝m B a ，解得F ＝m B F A ＋F B m A ＋m B－F B ＝16－4t3 N.当t ＝4 s 时F ＝0，A 、B 两物体开始分离，此后B 做匀加速直线运动，而A 做加速度逐渐减小的加速运动．当t ＝4.5 s 时A 物体的加速度为零而速度不为零；t ＞4.5 s 后，A 所受合外力反向，即A 、B 的加速度方向相反．当t ＜4 s 时，A 、B 的加速度均为a ＝F A ＋F Bm A ＋m B.综上所述，选项A 、B 、D 正确．2.(单选)(2015·宁夏银川一中模拟)如图所示，木块A 、B 静止叠放在光滑水平面上，A 的质量为m ，B 的质量为2m .现施加水平力F 拉B ，A 、B 刚好不发生相对滑动，一起沿水平面运动．若改为水平力F ′拉A ，使A 、B 也保持相对静止，一起沿水平面运动，则F ′不得超过( )A ．2F B.F2C ．3F D.F3解析：选B.水平力F 拉B 时，A 、B 刚好不发生相对滑动，这实际上是将要滑动，但尚未滑动的一种临界状态，从而可知此时A 、B 间的摩擦力即为最大静摩擦力．先用整体法考虑，对A 、B 整体：F ＝(m ＋2m )a .再将A 隔离可得A 、B 间最大静摩擦力为：f m ＝ma ，解得：f m ＝F3.若将F ′作用在A 上，隔离B 可得B 能与A 一起运动，而A 、B 不发生相对滑动的最大加速度a ′＝f m2m，再用整体法考虑，对A 、B 整体：F ′＝(m ＋2m )a ′，解得：F ′＝F2.3．(多选)(2015·湖北黄冈模拟)如图甲所示，一轻质弹簧的下端固定在水平面上，上端放置一物体(物体与弹簧不连接)，初始时物体处于静止状态，现用竖直向上的拉力F 作用在物体上，使物体开始向上做匀加速运动，拉力F 与物体位移x 的关系如图乙所示(g ＝10 m/s 2)，下列结论正确的是( )A ．物体与弹簧分离时，弹簧处于原长状态B ．弹簧的劲度系数为750 N/mC ．物体的质量为2 kgD ．物体的加速度大小为5 m/s 2 解析：选ACD.物体与弹簧分离时，弹簧的弹力为零，轻弹簧无形变，所以选项A 正确；从图中可知ma ＝10 N ，ma ＝30 N －mg ，解得物体的质量为m ＝2 kg ，物体的加速度大小为a ＝5 m/s 2，所以选项C 、D 正确；弹簧的劲度系数k ＝mg x 0＝200.04N/m ＝500 N/m ，所以选项B 错误．4.(2015·安徽安庆模拟)如图所示，轻弹簧上端固定，下端连接一质量为m 的重物，先由托盘M 托住m ，使弹簧比自然长度缩短L ，然后由静止开始以加速度a 匀加速向下运动．已知a ＜g ，弹簧劲度系数为k ，求经过多少时间托盘M 将与m 分开．解析：当托盘与重物分离的瞬间，托盘与重物虽接触但无相互作用力，此时重物只受到重力和弹簧的作用力，由于这一瞬间重物的加速度仍为a ，且a ＜g ，故此时弹簧必为伸长状态，设弹簧的伸长量为x ，对重物，由牛顿第二定律得：mg －kx ＝ma ①在这一运动过程中重物下降的高度为L ＋x ，由运动学公式有：L ＋x ＝12at 2②联立①②解得：t ＝2[kL ＋m (g －a )]ka.答案： 2[kL ＋m (g －a )]ka5．(2015·江西高安四校联考)一个质量为0.2 kg 的小球用细绳吊在底角为θ＝53°的斜面顶端，如图所示，斜面静止时，球紧靠在斜面上，绳与斜面平行，不计摩擦，当斜面以10 m/s 2的加速度向右做加速运动时，求绳子的拉力及斜面对小球的弹力．解析：先分析物理现象，用极限法把加速度a 推到两个极端来分析：当a 较小(a →0)时，小球受三个力(重力、绳拉力和斜面的支持力)作用，此时绳平行于斜面；当a 较大(足够大)时，小球将“飞离”斜面，此时绳与水平方向的夹角未知，那么a ＝10 m/s 2向右时，究竟是上述两种情况中的哪一种？解题时必须先求出小球离开斜面的临界值a 0，然后才能确定．令小球处在离开斜面的临界状态(F N 刚好为零)时，斜面向右的加速度为a 0，此时对小球有mg cot θ＝ma 0所以a 0＝g cot θ＝7.5 m/s 2 因为a ＝10 m/s 2＞a 0.所以小球离开斜面(如图所示)向右加速运动． 所以F T ＝(ma )2＋(mg )2＝2.83 N ，F N ＝0. 答案：2.83 N 0 6.(2015·河南洛阳模拟)如图所示，木块A 、B 的质量分别为m 1、m 2，紧挨着并排放在光滑的水平面上，A 与B 的接触面垂直于图中纸面且与水平面成θ角，A 与B 间的接触面光滑．现施加一个水平力F 于A ，使A 、B 一起向右运动，且A 、B 不发生相对运动，求F 的最大值．解析：A 、B 一起向右做匀加速运动，F 越大，加速度a 越大，水平面对A 的弹力F N A越小，A 、B 不发生相对运动的临界条件是F N A ＝0，此时木块A 受到重力m 1g 、B 对A 的弹力F N 和水平力F 三个力的作用．根据牛顿第二定律有F －F N sin θ＝m 1a ， F N cos θ＝m 1g ， F ＝(m 1＋m 2)a ，由以上三式可得，F 的最大值为F ＝m 1(m 1＋m 2)g tan θm 2.答案：m 1(m 1＋m 2)g tan θm 27．(2015·湖北荆州模拟)物体A 的质量m 1＝1 kg ，静止在光滑水平面上的木板B 的质量为m 2＝0.5 kg 、长l ＝1 m ，某时刻A 以v 0＝4 m/s 的初速度滑上木板B 的上表面，为使A 不至于从B 上滑落，在A 滑上B 的同时，给B 施加一个水平向右的拉力F ，若A 与B 之间的动摩擦因数μ＝0.2，试求拉力F 应满足的条件．(忽略物体A 的大小)解析：物体A 滑上木板B 以后，做匀减速运动， 加速度a A ＝μg ①木板B 做加速运动，有F ＋μm 1g ＝m 2a B ②物体A 不滑落的临界条件是A 到达B 的右端时，A 、B 具有共同的速度v t ，则v 20－v 2t 2a A ＝v 2t2a B ＋l ③ 且v 0－v t a A ＝v t a B④由③④式，可得a B ＝v 202l－a A ＝6 m/s 2，代入②式得F ＝m 2a B －μm 1g ＝0.5×6 N －0.2×1×10 N ＝1 N ，若F ＜1 N ，则A 滑到B 的右端时，速度仍大于B 的速度，于是将从B 上滑落，所以F 必须大于等于1 N.当F 较大时，在A 到达B 的右端之前，就与B 具有相同的速度，之后，A 必须相对B 静止，才能不会从B 的左端滑落．即有：F ＝(m 1＋m 2)a ， μm 1g ＝m 1a ， 所以F ＝3 N ，若F 大于3 N ，A 就会相对B 向左端滑下． 综上，力F 应满足的条件是1 N ≤F ≤3 N. 答案：1 N ≤F ≤3 N 8.(2015·湖北襄阳四中、荆州中学、龙泉中学联考)有一项“快乐向前冲”的游戏可简化如下：如图所示，滑板长L ＝1 m ，起点A 到终点线B 的距离s ＝5 m ．开始滑板静止，右端与A 平齐，滑板左端放一可视为质点的滑块，对滑块施一水平恒力F 使滑板前进．板右端到达B 处冲线，游戏结束．已知滑块与滑板间动摩擦因数μ＝0.5，地面视为光滑，滑块质量m 1＝2 kg ，滑板质量m 2＝1 kg ，重力加速度g ＝10 m/s 2，求：(1)滑板由A 滑到B 的最短时间可达多少？(2)为使滑板能以最短时间到达，水平恒力F 的取值范围如何？ 解析：(1)滑板一直加速，所用时间最短．设滑板加速度为a 2， f ＝μm 1g ＝m 2a 2， a 2＝10 m/s 2， s ＝a 2t 22，t ＝1 s.(2)刚好相对滑动时，F 最小，此时可认为二者加速度相等， F 1－μm 1g ＝m 1a 2， F 1＝30 N.当滑板运动到B 点，滑块刚好脱离时，F 最大，设滑块加速度为a 1， F 2－μm 1g ＝m 1a 1， a 1t 22－a 2t 22＝L ， F 2＝34 N.则水平恒力大小范围是30 N ≤F ≤34 N. 答案：(1)1 s (2)30 N ≤F ≤34 N。