高三数学-如东高级中学2016届高三上学期期中考试数学试题讲解

2016届江苏省如东高中高三上学期期中考试数学试题一、填空题1．若集合{12},{32}a A B ==，，，且}2{=B A ，则实数a 的值为________． 【答案】1【解析】试题分析：因为}2{=B A ，所以2{32}22 1.a aB a ∈=⇒=⇒=， 【考点】集合交集【名师点睛】1．对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性． 2．已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系．解决这类问题常常合理利用数轴、Venn 图化抽象为直观．3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．2．若ααcos 2sin =，则αα22cos 2sin +的值为________． 【答案】65【解析】试题分析：由ααcos 2sin =得tan 2α=，因此22222222sin 2cos tan 2426sin 2cos .sin cos tan 1415αααααααα++++====+++ 【考点】弦化切【名师点睛】一、同角三角函数的基本关系1．平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1． 2．商数关系：tan α＝sin cos αα（α≠2π＋k π，k ∈Z ）． 二、1．利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin cos αα＝tan α可以实现角α的弦切互化．2．注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α．3．已知命题02,:2≤++∈∃a x x R x p 是真命题，则实数a 的取值范围是________． 【答案】 1.a ≤【解析】试题分析：由题意得：440 1.a a ∆=-≥⇒≤ 【考点】命题真假4．已知直线l 过直线02=+-y x 和210x y ++=的交点，且与直线320x y -+=垂直，则直线l 的方程为________．【答案】320x y ++=【解析】试题分析：由题意得：直线l 可设为30x y m ++=，又过直线02=+-y x 和210x y ++=的交点(1,1)-，所以312,m =-=直线l 的方程为320x y ++=【考点】两直线垂直 【名师点睛】在研究直线平行与垂直的位置关系时，如果所给直线方程含有字母系数时，要注意利用两直线平行与垂直的充要条件：（1）l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且A 1C 2－A 2C 1≠0（或B 1C 2－B 2C 1≠0）；（2）l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0，这样可以避免对字母系数进行分类讨论，防止漏解与增根． （3与,0l Ax By C ++=平行的直线可设为0Ax By C '++=，与,0l Ax By C ++=垂直的直线可设为0Bx Ay C '-+=5．椭圆221167x y +=上横坐标为2的点到右焦点的距离为________． 【答案】5.2【解析】试题分析：横坐标为2的点到右焦点的距离为235(2)242.42a e a e c -=-=-⨯=【考点】椭圆定义6．函数()sin (0)f x x x x π=-≤≤的单调增区间是________．【答案】[,0]6π-【解析】试题分析：因为()s i n 3c o s2s i n ()3f x x x x π==-，所以由22()232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈得522()66k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，又0xπ-≤≤，因此单调增区间是[,0]6π-．【考点】三角函数单调区间7．已知函数2()ay x a R x=+∈在1=x 处的切线与直线210x y -+=平行，则a 的值为________． 【答案】0.a =【解析】试题分析：因为22ay x x '=-，所以22,0.a a -==【考点】导数几何意义8．设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[0,)+∞上单调递增，则满足不等式1(lg)10xf f <（）的x 取值范围是________． 【答案】10001x x ><<或 【解析】试题分析：由题意得：1(|l g|)1|lg |l g 1110110xx x xf f x x <⇒<⇒><-⇒>（））或或【考点】函数奇偶性及单调性9．在锐角ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别是a,b,c,8,10a b ==,ABC ∆的面积为ABC ∆的最大角的正切值是________．【答案】【解析】试题分析：由题意得12810sin sin (2233C C C C ππ=⨯⨯⨯⇒=⇒==或舍)，由余弦定理得：22218102810842c =+-⨯⨯⨯=，因此B 角最大，22cos tan B B === 【考点】正余弦定理【名师点睛】1．正弦定理可以处理①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角．余弦定理可以处理①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．其中已知两边及其一边的对角，既可以用正弦定理求解也可以用余弦定理求解．2．利用正、余弦定理解三角形其关键是运用两个定理实现边角互化，从而达到知三求三的目的．10．在ABC ∆中，若5,12,||||AB AC AB AC BC ==+= ，则||BA BCBC ⋅的值为________． 【答案】25.13【解析】试题分析：由题意得：AB AC ⊥，因此225.13||||BA BC BA BC BC ⋅==【考点】向量数量积11．已知a 为正实数，函数2()2f x x x a=-+，且对任意的[0,]x a ∈，都有()[,]f x a a ∈-，则实数a 的取值范围为________．【答案】0 2.a <≤【解析】试题分析：当01a <<时，(0),()f a f a a ≤≥-，即22,a a a a -+≥-因此01a <<；当1a ≥时，(0),(1f a f a f a a≤≥-≤，即212,2,a aaa a a -+≥--+≤因此12a ≤≤；综上实数a 的取值范围为0 2.a <≤ 【考点】二次函数最值12．若直线220x y +-=与椭圆221mx ny +=交于点C,D,点M 为CD 的中点，直线OM （O 为原点）的斜率为12，且OC OD ⊥，则m n +=________． 【答案】5.4【解析】试题分析：设112233(,),(,),(,)C x yD x y M x y ，则22211221,1m x n y m xn y +=+=，两式相减得：222212*********()()0()()0(2)(2)()02CD m x x n y y m x x n y y k m x n y -+-=⇒+++=⇒+-=111()0()04.222OM m nk m n n m ⇒+-=⇒+⨯-=⇒=由直线220x y +-=与椭圆2241mx my +=方程消去x 得：218840y y m -+-=，又12121212054()40OC OD x x y y y y y y ⊥⇒+=⇒-++=所以14154140.84m m -⨯-⨯+=⇒=5.4m n += 【考点】直线与椭圆位置关系【名师点睛】直线与椭圆相交问题解题策略当直线与椭圆相交时：涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”设而不求计算弦长；涉及求过定点的弦中点的轨迹和求被定点平分的弦所在的直线方程问题，常用“点差法”设而不求，将动点的坐标、弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化．其中，判别式大于零是检验所求参数的值有意义的依据．13．已知函数21,0,(),2,0x xe x f x ex x x ⎧+≤⎪=⎨⎪->⎩若函数(())y f f x a =-有四个零点，则实数a 的所有可能取值构成的集合是________．【答案】1(1,1)e + 【解析】试题分析：10,(),()0, 1.xx x x f x xe f x e xe x e '≤=+=+==-因此：当1x ≤-时，1()0,()[0,)f x f x e '≤∈；当10x -<≤时，()[1,f x ∈-+∞1()0,()(0,]f x f x e '>∈；当01x <<时，()(1,0)f x ∈-；当1x ≥时，；(())0()1()2f f x a f x a f x a -=⇒-=--=或，因为函数(())y f f x a =-有四个零点，因此11(0,)a e -∈，实数a 的所有可能取值构成的集合是1(1,1)e + 【考点】函数零点14．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(2,0)A -，点B 是圆22:(2)4C x y -+=上的点，点M 为AB中点，若直线:l y kx =上存在点P ，使得30OPM ∠=，则实数k 的取值范围为________．【答案】22k -≤≤【解析】试题分析：因为点M 为AB 中点，所以112OM CB ==,即点M 轨迹为以原点为圆心的单位圆，当PM 为单位圆切线时，OPM ∠取最大值，即30OPM ∠≥，从而12sin OP OPM =≤∠，因此原点到直线:l y kx =距离不大于2，即|222k ≤⇒-≤≤【考点】直线与圆位置关系【名师点睛】直线与圆位置关系解题策略1．与弦长有关的问题常用几何法，即利用弦心距、半径和弦长的一半构成直角三角形进行求解．2．利用圆心到直线的距离可判断直线与圆的位置关系，也可利用直线的方程与圆的方程联立后得到的一元二次方程的判别式来判断直线与圆的位置关系．3．与圆有关的范围问题，要注意充分利用圆的几何性质答题． 二、解答题15．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中,,A ωϕ为常数，且0,0,22A ππωϕ>>-<<）的部分图像如图所示．（1）求函数()f x 的解析式 （2）若6(),0,52f παα=<<求(2)12f πα+的值 【答案】（1）)6sin(2)(π-=x x f （2） 【解析】试题分析：（1）求三角函数解析式，一般根据图形结合几何意义求对应参数：由函数最值确定振幅2=A ，由最值点距离确定周期π2=T ，进而确定1=ω，最后根据最值点确定6πϕ-=（2）先由56)(=αf 确定角α满足条件：53)6sin(=-πα，因为)432sin(2)122sin(2)122(ππαπαπα+-=-=+f 2sin(2)cos 2cos(2)sin3434ππππαα=-+-因此由20πα<<得54)6cos(=-πα，从而24sin(2)2sin()cos()36625πππααα-=--=，257)6(sin )6(cos )32cos(22=---=-παπαπα，从而(2)12f πα+=25试题解析：解：（1）由图可知，2=A ，π2=T ，故1=ω，所以，)sin(2)(ϕ+=x x f ， 又2)32sin(2)32(=+=ϕππf ，且22πϕπ<<-，故6πϕ-=．于是，)6sin(2)(π-=x x f ．由56)(=αf ，得53)6sin(=-πα．因为20πα<<，所以54)6cos(=-πα．所以，2524)6cos()6sin(2)32sin(=--=-παπαπα． 257)6(sin )6(cos )32cos(22=---=-παπαπα．所以)432sin(2)122sin(2)122(ππαπαπα+-=-=+f2sin(2)cos 2cos(2)sin 3434ππππαα=-+-=．【考点】三角函数解析式，三角函数求值16．在ABC ∆中，45B ∠=,D 是边BC 上一点，5,3,7AD CD AC === （1）求ADC ∠的值； （2）求BA DA ⋅的值【答案】（1）32π=∠ADC （2）25(34【解析】试题分析：（1）在ADC △中，已知三边求一角，故应用余弦定理：222cos 2AC ADC CD AD CD AD =∠⋅-+，解得21cos -=∠ADC ，32π=∠ADC （2）因为||||cos BA DA BA DA BAD ⋅=⋅∠,而7560451805=--=∠=BAD AD ，,因此只需求边AB，这可由正弦定理解得：ADB AB ABD AD ∠=∠sinsin sin sin AD AB ADB ABD ⇒=⨯∠=∠试题解析：在ADC △中，由余弦定理得：222cos 2AC ADC CD AD CD AD =∠⋅-+．把5=AD ，3=CD ，7=AC 代入上式得21cos -=∠ADC ．因为π<∠<ADC 0，所以32π=∠ADC ．在ADC △中，由正弦定理得：ADB ABABD AD ∠=∠sin sin ．故265sin sin =∠⨯∠=ADB ABD AD AB ．所以25(35cos7524BA DA ⋅=⨯⨯=． 【考点】正余弦定理【名师点睛】1．正弦定理可以处理①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角．余弦定理可以处理①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．其中已知两边及其一边的对角，既可以用正弦定理求解也可以用余弦定理求解．2．利用正、余弦定理解三角形其关键是运用两个定理实现边角互化，从而达到知三求三的目的．17．已知直线l 与圆22:240C x y x y a ++-+=相交于A,B 两点，弦AB 的中点为(0,1)M（1）求实数a 的取值范围以及直线l 的方程;（2）若以AB 为直径的圆过原点O ，求圆C 的方程．【答案】（1）3<a ，1+=x y （2）0242:22=+-++y x y x C 【解析】试题分析：（1）由点与圆位置关系得：弦中点必须在圆内部，即0412<+-a ，所以3<a ．再由圆心与弦中点连线垂直于直线得所求直线斜率，再由点斜式得直线方程：因为1-=CM k ，所以1=l k ．直线l 的方程为1+=x y ． （2）以AB 为直径的圆的圆心为弦AB 的中点(0,1)M ，半径为OM ，因此圆O 方程标准式为2220x y y +-=，两圆公共弦方程为220x y a -+=，与1+=x y 重合，因此2=a ，即圆C 的方程为222420x y x y ++-+=试题解析：解：（1）因为044222>-+a ，所以5<a ． 因为)1,0(M 在圆C 内，所以0412<+-a ，所以3<a ．综上知3<a ．因为弦AB 的中点为)1,0(M ，所以直线CM l ⊥．因为1-=CM k ，所以1=l k ．所以直线l 的方程为1+=x y ．由⎩⎨⎧+==+-++1,04222x y a y x y x 得0322=-+a x ，故231a x -=，232a x --=． 不妨设)123,23(+--a a A ，)123,23(+----aa B ．则3312022a aOA OB a --⋅=-+-=-= ，故2=a ． 故圆0242:22=+-++y x y x C ． 【考点】直线与圆位置关系，圆方程 【名师点睛】（1）若已知条件容易求出圆心坐标和半径或需利用圆心坐标列方程，通常选用圆的标准方程；若已知条件为圆经过三点，一般采用一般式．（2）解决直线与圆的问题可以借助圆的几何性质；但也要理解掌握一般的代数法，利用“设而不求”的方法技巧，要充分利用一元二次方程根与系数的关系求解．18．如图，地图上有一竖直放置的圆形标志物，圆心为C ，与地面的接触点为G ．与圆形标志物在同一平面内的地面上点P 处有一个观测点，且PG=50m ．在观测点正前方10m 处（即PD=10m ）有一个高位10m （即ED=10m ）的广告牌遮住了视线，因此在观测点所能看到的圆形标志的最大部分即为图中从A 到F 的圆弧．（1）若圆形标志物半径为25m ，以PG 所在直线为X 轴，G 为坐标原点，建立直角坐标系，求圆C 和直线PF 的方程；（2）若在点P 处观测该圆形标志的最大视角（即APF ∠）的正切值为3941,求该圆形标志物的半径．【答案】（1）22225)25(:=-+y x C ，020034=+-y x （2）40=r【解析】试题分析：（1）求圆标准方程，只需确定圆心及半径，由题意知圆心为(0,25)，半径为25r =，因此22225)25(:=-+y x C ，求直线PF 的方程实质求过点P 的圆的切线方程，利用点斜式即圆心到直线距离等于半径求解：设直线PF 方程：)0)(50(>+=k x k y ，则25150252=++k k解得34=k ；（2）本题实质为已知圆的切线方程，求圆的半径，同（1）先求出直线PF 的斜率k ：因为394111)tan(tan =+-=∠-∠=∠k k GPA GPF APF ，所以940=k ．再利用圆心到切线距离等于半径求半径：直线PF 方程：)50(940+=x y ，即02000940=+-y x ，所以rr =+-81160020009，40=r试题解析：解：（1）圆22225)25(:=-+y x C ． 直线PB 方程：050=+-y x ．设直线PF 方程：)0)(50(>+=k x k y ，因为直线PF 与圆C 相切，所以25150252=++k k，解得34=k ．所以直线PF 方程：)50(34+=x y ，即020034=+-y x ．设直线PF 方程：)0)(50(>+=k x k y ，圆222)(:r r y x C =-+．因为394111)tan(tan =+-=∠-∠=∠k k GPA GPF APF ，所以940=k ． 所以直线PF 方程：)50(940+=x y ，即02000940=+-y x ．因为直线PF 与圆C 相切，所以rr =+-81160020009，化简得050004522=-+r r ，即0)40)(1252(=-+r r ． 故40=r ．【考点】直线与圆相切【名师点睛】过圆外一点（x 0，y 0）的圆的切线方程的求法（1）几何方法：当斜率存在时，设为k ，切线方程为y －y 0＝k （x －x 0），由圆心到直线的距离等于半径求解．（2）代数方法：当斜率存在时，设切线方程为y －y 0＝k （x －x 0），即y ＝kx －kx 0＋y 0，代入圆方程，得一个关于x 的一元二次方程，由Δ＝0，求得k ，切线方程即可求出．19．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，F 为椭圆的右焦点，点A,B 分别为椭圆的上下顶点，过点B 作AF 的垂线，垂足为M ．（1）若2=a ，ABM ∆的面积为1，求椭圆方程；（2）是否存在椭圆，使得点B 关于直线AF 对称的点D 仍在椭圆上，若存在，求椭圆的离心率的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）1222=+y x （2）不存在【解析】试题分析：（1）求椭圆标准方程，一般利用待定系数法，本题难点在于条件“ABM ∆的面积为1”的坐标转化：先求两直线交点M 的横坐标222b ca ，即得三角形的高，因此1222212322==⨯⨯=a c b a c b b S ABC△，又因为2=a ，所以1==c b ．（2）由中点坐标公式得))4(,4(22222a a c b a c b D -，再根据点D 也在椭圆上，得1)4(16242222424=-+b a a c b a c b ，无解，因此不存在试题解析：解：（1）直线b x c b y AF +-=:，直线bx b cy BF -=:．联立可得))2(,2(22222a a c b a c b M -．所以1222212322==⨯⨯=a c b a c b b S ABC△．又因为2=a ，所以1==c b ．所以椭圆方程为1222=+y x ．因为))2(,2(22222a a c b a c b M -，所以))4(,4(22222a a c b a c b D -．代入椭圆方程得1)4(16242222424=-+b a a c b a c b ．化简得012224=+-e e ．因为04<-=∆，所以方程无解．所以不存在这样的椭圆，使得点B 关于直线AF 对称的点D 仍在椭圆上．【考点】椭圆标准方程 【名师点睛】（1）求椭圆的标准方程的方法：①定义法；②待定系数法；③轨迹方程法．（2）确定椭圆标准方程需要一个“定位”条件，两个“定量”条件，“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定a 、b 的值．运用待定系数法时，常结合椭圆性质，已知条件，列关于a ，b ，c 的方程． 20．已知函数2()ln ()f x x a x a R =-∈ （1）若2a =，求函数()f x 的极值；（2）已知函数()f x 在点(1,(1))A f 处的切线为l ，若此切线在点A 处穿过()y f x =的图像（即函数()f x 上的动点P 在点A 附近沿曲线()y f x =运动，经过点A 时从l 的一侧进入另一侧），求函数()f x 的表达式；（3）若0a >，函数()()g x f x ax =-有且仅有一个零点，求实数a 的值． 【答案】（1）函数)(x f 的极小值为1)1(=f ．（2）2-=a （3）1=a【解析】试题分析：（1）求函数极值，先明确定义域(0,)+∞，再求函数导数：x x x x x x f )1)(1(222)(-+=-='，求出导函数在定义域上的零点1，最后列表分析函数单调性变换规律，确定函数极值（2）由题意得函数()()()h x f x l x =-，（其中()l x 为切线函数）满足1为()0h x '=唯一零点，先表示切线方程：(1)2k f a '==-，)1)(2(1--=-x a y ，构造函数()()()h x f x l x =-，求导函数(2)(1)()x a x h x x +-'=，因此2-=a （3）先分析函数()()g x f x ax =-变化规律，确定其先从正无穷递减到极点，再从极点递增到正无穷，因此函数()()g x f x ax =-有且仅有一个零点的充要条件为对应极点为零点．由于关于极点的方程为超越方程，因此本题应利用函数单调性求解。

2016-2017学年江苏省南通市如东高中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．（2015春•安庆期末）不等式x2+x﹣2≤0的解集是{x|﹣2≤x≤1}．【考点】一元二次不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】把不等式x2+x﹣2≤0化为（x﹣1）（x+2）≤0，求出x的取值范围，写出不等式的解集．【解答】解：不等式x2+x﹣2≤0可化为（x﹣1）（x+2）≤0，解得﹣2≤x≤1；∴原不等式的解集是{x|﹣2≤x≤1}．故答案为：{x|﹣2≤x≤1}．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，解题时应按照解一元二次不等式的基本步骤进行解答，是基础题．2．（2016•松江区二模）抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0）．【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题．【分析】先确定焦点位置，即在x轴正半轴，再求出P的值，可得到焦点坐标．【解答】解：∵抛物线y2=4x是焦点在x轴正半轴的标准方程，p=2∴焦点坐标为：（1，0）故答案为：（1，0）【点评】本题主要考查抛物线的焦点坐标．属基础题．3．（2016秋•如东县校级期中）椭圆的离心率的值为．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出椭圆的长轴与焦距，然后求解离心率即可．【解答】解：椭圆，可得a=2，c=1．所以椭圆的离心率为：．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，基本知识的考查．4．（2016秋•如东县校级期中）已知点A（l，2）在直线x+y+a=0的上方的平面区域，则实数a的取值范围是a＞﹣3．【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．【专题】转化思想；定义法；不等式．【分析】根据二元一次不等式表示平面区域以及点与不等式的关系进行求解即可．【解答】解：∵点A（l，2）在直线x+y+a=0的上方的平面区域，即x+y+a＞0，∴1+2+a＞0，即a＞﹣3，故答案为：a＞﹣3【点评】本题主要考查二元一次不等式表示平面区域，根据点与不等式的关系是解决本题的关键．5．（2016秋•如东县校级期中）函数y=2+4x+（x＞0）的最小值为6．【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】由题意x＞0，运用基本不等式，即可得到所求最小值和等号成立的条件．【解答】解：函数y=2+4x+（x＞0）≥2+2=6，当且仅当4x=，即x=时，取得最小值6．故答案为：6．【点评】本题考查函数的最小值的求法，注意运用基本不等式，以及满足的条件：一正二定三等，考查运算能力，属于基础题．6．（2012秋•南京期末）双曲线的渐近线方程为y=±3x．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题．【分析】在双曲线的标准方程中，把1换成0，即得此双曲线的渐近线方程．【解答】解：在双曲线的标准方程中，把1换成0，即得的渐近线方程为，化简可得y=±3x，故答案为：y=±3x．【点评】本题主要考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，属于基础题．7．（2016秋•如东县校级期中）己知实数x，y满足条件，则x+y的取值范围是[2，7]．【考点】简单线性规划．【专题】计算题；数形结合；函数思想；转化思想；导数的综合应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数z=x+y的最小值．【解答】解：作出不等式组，对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．设z=x+y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A（1，1）时，直线y=﹣x+z的截距最小，此时z最小，为z=1+1=2，当直线y=﹣x+z经过点B时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大，由，解得，即B（5，2）代入目标函数z=x+y得z=5+2=7．故2≤z≤7．故答案为：[2，7]．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．8．（2016秋•如东县校级期中）不等式ax2+bx+c＞0的解集是（1，2），则不等式cx2+bx+a＞0的解集是{x|＜x＜1}．【考点】一元二次不等式的解法．【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用．【分析】通过不等式的解集，推出不等式对应方程的根，然后求出所求不等式的解集．【解答】解：不等式ax2+bx+c＞0的解集是（1，2），所以，即，不等式cx2+bx+a＞0可化为2ax2﹣3ax+a＞0，即2x2﹣3x+1＜0，解得＜x＜1，所以该不等式的解集为{x|＜x＜1}．故答案为：{x|＜x＜1}．【点评】本题考查一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题目．9．（2016秋•如东县校级期中）设F1，F2分别为椭圆的左右焦点，P为椭圆上一点，若△F1F2P 为直角三角形，该三角形的面积为．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据P点为椭圆的上下顶点时，∠F1F2P取到最大值即可判断出∠F1F2P=90°，求得P点的纵坐标，从而求出△PF1F2的面积．【解答】解：当P点为椭圆的上顶点时，△F1F2P为直角三角形，∠F1F2P最大，根据椭圆的标准方程可求得∠F1F2P=90°；∴∠F1PF2不可能是直角；∴只能是PF2⊥x轴；椭圆的右焦点（3，0），2c=6，|F2P|==．三角形的面积为：=/故答案为：．【点评】考查椭圆的标准方程，椭圆的焦点及顶点，以及∠F1F2P取到最大值是解题的关键．10．（2016秋•如东县校级期中）已知正数x，y满足，若x+y+a＞0恒成立，则实数a的取值范围是（﹣3﹣2，+∞）．【考点】函数恒成立问题．【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】x+y+a＞0恒成立⇔﹣a＜（x+y）min，利用基本不等式可求得（x+y）min=3+2，从而可得实数a的取值范围．【解答】解：∵x＞0，y＞0，，∴x+y+a＞0恒成立⇔﹣a＜（x+y）min，∵x+y=（x+y）（）=3++≥3+2（当且仅当x=2+，y=+1时取“=”），∴（x+y）min=3+2，∴﹣a＜3+2，∴a＞﹣3﹣2．故答案为：（﹣3﹣2，+∞）．【点评】本题考查函数恒成立问题，考查等价转化思想与基本不等式的应用，分离参数a后求得（x+y）=3+2是关键，属于中档题．min11．（2016秋•如东县校级期中）过椭圆内一点M（l，l）的直线l交椭圆于两点，且M为线段AB的中点，则直线l的方程为3x+4y﹣7=0．【考点】直线与椭圆的位置关系．【专题】计算题；方程思想；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】通过直线l过点M（1，1）可设其方程为x=m（y﹣1）+1，并与椭圆方程联立，利用韦达定理及中点坐标公式计算即得结论．【解答】解：依题意，设直线l方程为：x=m（y﹣1）+1，联立，消去x整理得：（4+3m2）y2﹣6m（m﹣1）y+3m2﹣6m﹣9=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=，∵且线段AB的中点为M（1，1），∴=2，即m=﹣，∴直线l方程为x=﹣（y﹣1）+1，即3x+4y﹣7=0，故答案为：3x+4y﹣7=0．【点评】本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．12．（2016秋•如东县校级期中）已知焦点均在x轴上的双曲线C1，与双曲线C2的渐近线方程分别为y=土k1x 与y=±k2x，记双曲线C1的离心率e1，双曲线C2的离心率e2，若k1k2=1，则e1e2的最小值为2．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；转化思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意设出两双曲线方程，求得e1，e2，然后利用基本不等式求得e1e2的最小值．【解答】解：由题意可设C1：（a＞0，b＞0），C2：（a＞0，b＞0），则，，∴．（当且仅当a=b时等号成立）．故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的简单性质，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．13．（2016秋•如东县校级期中）若圆x2+（y﹣2）2=1与椭圆+=1的三个交点构成等边三角形，则该椭圆的离心率的值为．【考点】圆与圆锥曲线的综合．【专题】数形结合；数形结合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意可知：圆x2+（y﹣2）2=1圆心为（0，2），半径为1，椭圆+=1的焦点在y轴上，则A（3，0），则=3，则n=9，由等边三角形ABC为圆x2+（y﹣2）2=1的内接正三角形，AC=BC=AB=，求得DC=，AD=，即可求得C点坐标，代入即可求得椭圆方程，即可求得椭圆的离心率的值．【解答】解：圆x2+（y﹣2）2=1圆心为（0，2），半径为1，则A（3，0），则椭圆+=1焦点在y轴上，即=3，则n=9，等边三角形ABC为圆x2+（y﹣2）2=1的内接正三角形，则AC=BC=AB=，∴DC=，AD=，∴OD=OA﹣AD=∴C点坐标为：（，），代入椭圆方程：，解得：m=1，∴椭圆方程：，即a=3，b=1，c=2，∴椭圆的离心率e==，故答案为：．【点评】本题考查椭圆的标准方程的求法及简单几何性质，考查圆的内接正三角的性质，考查数形结合思想，属于中档题．14．（2016秋•如东县校级期中）已知f（x）=，若不等式f2（x）﹣mf（x）＜0只有一个整数解，则实数m的取值范围是（﹣2，﹣1]∪[1，2）．【考点】分段函数的应用．【专题】综合题；函数思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】作出函数f（x）的图象，根据不等式f2（x）﹣mf（x）＜0只有一个整数解，等价f（x）•（f （x）﹣m））＜0，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：作出函数f（x）的图象如图：不等式f2（x）﹣mf（x）＜0等价于f（x）（f（x）﹣m）＜0，当m＞0时，0＜f（x）＜m，不等式f2（x）﹣mf（x）＜0只有一个整数解，结合图象，可得1≤m＜2当m＜0时，m＜f（x）＜0，不等式f2（x）﹣mf（x）＜0只有一个整数解，结合图象，可得﹣2＜m≤﹣1综上所述m的取值范围为（﹣2，﹣1]∪[1，2），故答案为：（﹣2，﹣1]∪[1，2）【点评】本题主要考查不等式的解集，作出函数f（x）的图象，利用数形结合是解决本题的关键．二、解答题：本大题共6小题.共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）（2016秋•如东县校级期中）求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程：（1）焦点坐标为（，0），准线方程为x=的椭圆；（2）过点（，2），渐近线方程为y=±2x的双曲线．【考点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质．【专题】转化思想；待定系数法；圆锥曲线的定义、性质与方程．（1）由椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的方程为：（a＞b＞0），由c=，x=±=，【分析】求得a2=4，b2=a2﹣c2=2，即可求得椭圆的标准方程；（2）由双曲线渐近线方程为y=±2x，设双曲线的方程为：（λ≠0），将点（，2）代入双曲线方程，即可求得λ的值，即可求得双曲线方程．【解答】解：（1）由焦点坐标为（，0），可知椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的方程为：（a ＞b＞0），则c=，由椭圆的准线方程为：x=±=，即a2=4，由b2=a2﹣c2=4﹣2=2，故椭圆的标准的标准方程为：；（2）由双曲线渐近线方程为y=±2x，则设双曲线的方程为：（λ≠0），由双曲线经过点（，2），代入可得：2﹣=λ，解得：λ=1，双曲线的方程为：，∴双曲线的标准方程方程为：．【点评】本题考查椭圆及双曲线的标准方程及简单几何性质，考查曲线方程的求法，考查待定系数法的应用，属于基础题．16．（14分）（2016秋•如东县校级期中）已知函数f（x）=x2+（1﹣a）x+（1﹣a）．a∈R．（1）当a=4时，解不等式f（x）≥7；（2）若对P任意的x∈（﹣1，+∞），函数f（x）的图象恒在x轴上方，求实数a的取值范围．【考点】二次函数的性质．【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】（1）当a=4时，转化为x2﹣3x﹣10≥0解不等式；（2）函数f（x）的图象恒在x轴上方转化为f（x）≥0（x＞﹣1）恒成立，x2+x+1≥a（x+1）在（﹣1，+∞）恒成立，再分离参数∴a≤，求解．【解答】解：当a=4是，f（x）=x2﹣3x﹣3≥7⇒x2﹣3x﹣10≥0∴x≥5或x≤﹣2．故不等式解集为{x|x≥5或x≤﹣2}．（2）∵x∈（﹣1，+∞）时，函数f（x）的图象恒在x轴上方，∴f（x）=x2+（1﹣a）x+（1﹣a）≥0⇒x2+x+1≥a（x+1）∵x＞﹣1∴x+1＞0∴a≤∵≥当且仅当x+1=，即x=0时取等号．∴a≤1．【点评】本题考查了解一元二次不等式，恒成立问题的转化思想，属于中档题．17．（14分）（2016秋•如东县校级期中）已知椭圆曲线方程为，两焦点分别为F1，F2．（1）若n=﹣1，过左焦点为F1且斜率为的直线交圆锥曲线于点A，B，求△ABF2的周长．（2）若n=4，P圆锥曲线上一点，求PF1•PF2的最大值和最小值．【考点】直线与椭圆的位置关系．【专题】综合题；方程思想；演绎法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）求出|AB|，利用双曲线的定义，即可求△ABF2的周长．（2）若n=4，P圆锥曲线上一点，PF1+PF2=4，设PF1=x，x∈[2﹣，2+]，PF1•PF2=x（4﹣x）=﹣（x﹣2）2+4求，即可PF1•PF2的最大值和最小值．【解答】解：（1）若n=1，方程为x2﹣y2=1，则直线AB的方程为y=（x+）．联立x2﹣y2=1，可得2x2+6x+7=0，∴|AB|==4，据双曲线定义，2a=|AF2|﹣|AF1|=|BF2|﹣|BF1|，∴4a=|AF2|+|BF2|﹣（|AF1|+|BF1|）=4，∴|AB|+|AF2|+|BF2|=12；（2）若n=4，方程为=1，∴PF1+PF2=4，设PF1=x，x∈[2﹣，2+]，∴PF1•PF2=x（4﹣x）=﹣（x﹣2）2+4，∴PF1•PF2的最大值为4，最小值为1．【点评】本小题主要考查椭圆的定义，双曲线的定义、双曲线的简单性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．18．（16分）（2016秋•如东县校级期中）为迎接“双十一”活动，某网店需要根据实际情况确定经营策略．（1）采购员计划分两次购买一种原料，第一次购买时价格为a元/个，第二次购买时价格为b元/个（其中a≠b）．该采购员有两种方案：方案甲：每次购买m个；方案乙：每次购买n元．请确定按照哪种方案购买原料平均价格较小．（2）“双十一”活动后，网店计划对原价为100元的商品两次提价，现有两种方案：方案丙：第一次提价p，第二次提价q；方案丁：第一次提价，第二次提价，（其中p≠q）请确定哪种方案提价后价格较高．【考点】函数模型的选择与应用．【专题】应用题；方程思想；演绎法；函数的性质及应用．【分析】（1）求出方案甲、乙的平均价格，作差，即可进行比较；（2）求出方案丙、定的价格，作差，即可进行比较．【解答】解：（1）方案甲平均价格为=，方案乙平均价格为=，∵﹣=＞0，∴方案乙平均价格较小；（2）方案丙：第一次提价p，第二次提价q，则价格为100（1+p）（1+q），方案丁：第一次提价，第二次提价，则价格为，∵100（1+p）（1+q）﹣=﹣100＞0，∴按照方案丁提价后的价格较高．【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查作差方法的运用，属于中档题．19．（16分）（2016秋•如东县校级期中）已知函数f（x）=tx，（x∈R）．（1）若t=ax+b，a，b∈R，且﹣1≤f（﹣1）≤2，2≤f（1）≤4，求点（a，b）的集合表示的平面区域的面积；（2）若t=2+，（x＜1且x≠0），求函数f（x）的最大值；（3）若t=x﹣a﹣3（a∈R），不等式b2+c2﹣bc﹣3b﹣1≤f（x）≤a+4（b，c∈R）的解集为[﹣1，5]，求b，c的值．【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）由题意可得﹣1≤a﹣b≤2，2≤a+b≤4，运用点（a，b）的集合表示的平面区域为矩形，由平行直线间的距离公式，即可得到所求面积；（2）运用基本不等式，注意满足的条件：一正二定三等，即可得到所求最大值；（3）运用二次不等式的解集，可得对应方程的解，运用韦达定理可得a=1，再由不等式b2+c2﹣bc﹣3b ﹣1≤f（x）的最小值，结合判别式非负，可得b=2，进而得到c的不等式，求得c=1．【解答】解：（1）当t=ax+b时，f（x）=ax2+bx，由﹣1≤f（﹣1）≤2，2≤f（1）≤4，可得﹣1≤a﹣b≤2，2≤a+b≤4，由两平行直线x﹣y=2和x﹣y=﹣1的距离为，两平行直线x+y=2和x+y=4的距离为，可得点（a，b）的集合表示的平面区域（矩形）的面积为×=3；（2）若t=2+，（x＜1且x≠0），则f（x）=2x+（x＜1且x≠0），由2x+=[2（x﹣1）+]+2=﹣[2（1﹣x）+]+2≤﹣2+2=2﹣2，当且仅当2（1﹣x）=，即x=1﹣时，等号成立，则函数的最大值为2﹣2；（3）若t=x﹣a﹣3（a∈R），则f（x）=x2﹣（a+3）x，f（x）≤a+4（b，c∈R）的解集为[﹣1，5]，即x2﹣（a+3）x﹣（a+4）≤0的解集为[﹣1，5]，即﹣1，5为方程x2﹣（a+3）x﹣（a+4）=0的两根，可得﹣1+5=a+3，﹣1×5=﹣（a+4），解得a=1；再由不等式b2+c2﹣bc﹣3b﹣1≤f（x）≤a+4（b，c∈R）的解集为[﹣1，5]，可得b2+c2﹣bc﹣3b﹣1≤f（x）的最小值，而f（x）=x2﹣4x=（x﹣2）2﹣4的最小值为﹣4，则b2+c2﹣bc﹣3b﹣1≤﹣4，即b2+c2﹣bc﹣3b+3≤0，记g（c）=c2﹣bc+b2﹣3b+3，则△=b2﹣4（b2﹣3b+3）≥0，即﹣3（b﹣2）2≥0，但﹣3（b﹣2）2≤0，则b=2；即有4+c2﹣2c﹣6+3≤0，即c2﹣2c+1≤0，即（c﹣1）2≤0，但（c﹣1）2≥0，即c=1．【点评】本题考查函数的最值的求法，以及不等式的解法和应用，注意运用二次函数和二次方程及不等式的关系，考查化简整理的运算能力，属于中档题．20．（16分）（2016秋•如东县校级期中）己知椭圆（m＞n＞0）的离心率e的值为，右准线方程为x=4．如图所示，椭圆C左右顶点分别为A，B，过右焦点F的直线交椭圆C于M，N，直线AM，MB交于点P．（1）求椭圆的标准方程；（2）若点P（4，），直线AN，BM的斜率分别为k1，k2，求．（3）求证点P在一条定直线上．【考点】椭圆的简单性质．【专题】综合题；压轴题；函数思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）利用椭圆C的离心率为，右准线的方程为x=4，建立方程，求出几何量，可得椭圆C的方程；（2）利用A，P点，求出直线AP，与椭圆方程求解M的坐标，直线MF与椭圆联立求出N的坐标，可得AN，BM的斜率分别为k1，k2，可求的值．（3）设出MN的直线方程y=k（x﹣1），利用设而不求的思想，M（x1，y1），N（x2，y2），表示出AN直线，BM直线的方程．AN直线与BM直线联立方程求解p的坐标，可得P在一条定直线上．【解答】解：（1）∵椭圆（a＞b＞0）的离心率e的值为，即，右准线方程为x=4，即解得：a=2，c=1，∵a2=b2+c2∴b=．故得椭圆的标准方程为：．（2）点P（4，），A（﹣2，0），故得直线AP方程为y=，与椭圆方程联立，求解M的坐标为（0，），那么可得MN直线方程为y=1﹣3x，与椭圆方程联立，求解N的坐标为（，），那么AN的斜率为k1=，BM的斜率k2=，则=．（3）设斜率存在的MN的直线方程为y=k（x﹣1），利用设而不求的思想，M（x1，y1），N（x2，y2），与椭圆方程联立，可得：（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，那么：…①，…②由A，M的坐标可得直线AM的方程为，由B，N的坐标可得直线BN的方程为，4直线AM与直线BN联立，可得：，∴…③，将①②代入③解得：x=4．故点P在直线x=4上．当k不存在时，经验证，点P在直线x=4上满足题意．【点评】本题考查了与椭圆的标准方程的求法，椭圆与直线的关系的运用能力和计算能力，考查了数学转化思想方法，综合能力强，计算量大，属于难题，压轴题．三、(加试)解答题（共4小题，满分0分）21．（2016秋•如东县校级期中）已知圆F1：（x+1）2+y2=1，圆F2：（x﹣1）2+y2=25，若动圆C与圆F1外切，且与圆F2内切，求动圆圆心C的轨迹方程．【考点】轨迹方程．【专题】综合题；转化思想；演绎法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据两圆的方程，算出它们的圆心与半径，设动圆的半径为R，根据两圆相切的性质证出：|F1C|+|F2C|=r1+r2=1+5=6（定值），从而得到圆心C在以F1、F2为焦点的椭圆上运动，结合题意算出a、b 之值，可得动圆圆心的轨迹方程．【解答】解：∵圆F1的方程为：（x+1）2+y2=1，∴圆F1的圆心为（﹣1，0），半径r1=1；同理圆R2的圆心为（1，0），半径r2=5．设动圆的半径为R，则|F1C|=r1+R，|F2C|=r2﹣R，两式相加得：|F1C|+|F2C|=r1+r2=1+5=6（定值），∴圆心C在以F1、F2为焦点的椭圆上运动，由2a=6，c=2，得a=3，b=2，∴椭圆方程为=1．即动圆圆心C的轨迹方程为：=1．【点评】本题求动点的轨迹方程，着重考查了圆的标准方程、圆与圆的位置关系、平行线之间的距离公式，属于中档题．22．（2016秋•如东县校级期中）在△ABC中，B（﹣3，0），C（3，0），直线AB，AC的斜率之积，求顶点A的轨迹．【考点】轨迹方程．【专题】综合题；方程思想；演绎法；直线与圆．【分析】因为直线AB、AC的斜率存在，所以先求出直线AB，AC的斜率，再根据斜率之积为，即可得到动点A的轨迹方程．【解答】解：设A（x，y），则k AB=，k AC=，（x≠±3）．由k AB•k AC=•=化简可得=1，所以动点A的轨迹方程为=1，（x≠±3）．【点评】本题考查求点的轨迹方程的方法，斜率公式，注意x≠±3，此处是易错点，属于中档题．23．（2016秋•如东县校级期中）己知F为抛物线y2=x的焦点，点P为抛物线上的动点，P到抛物线准线的距离为d．（1）若，求PF+PA域最小值；（2）若，求PB+d的最小值．【考点】抛物线的简单性质．【专题】综合题；转化思想；演绎法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）在抛物线内部，PF+PA=d+PA≥﹣（﹣）=，可得结论；（2）在抛物线的外部，PB+d=PPF≥BF=2，可得结论．【解答】解：（1）∵在抛物线内部，∴PF+PA=d+PA≥﹣（﹣）=，∴PF+PA的最小值为；（2）∵在抛物线的外部，∴PB+d=PPF≥BF=2，∴PB+d的最小值为2．【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题．24．（2016秋•如东县校级期中）己知抛物线若y2=2px过点P（1，2）．（1）求实数p的值；（2）若直线若l交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2），两点，且y1y2=﹣4，求证直线l过定点并求出该点的坐标．【考点】抛物线的简单性质．【专题】综合题；方程思想；演绎法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）利用抛物线若y2=2px过点P（1，2），代入计算，可得结论；（2）设AB：x=my+b，代入抛物线方程，运用韦达定理，结合条件，可得b=1，即可得到定点（1，0）．【解答】（1）解：∵抛物线若y2=2px过点P（1，2），∴4=2p，∴p=2；（2）证明设AB：x=my+b，代入抛物线方程y2=4x，可得y2﹣4my﹣4b=0，y1y2=﹣4b，又y1y2=﹣4，即有b=1，即有x=my+1，则直线AB恒过定点（1，0）．【点评】本题考查抛物线的方程的运用，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，以及直线恒过定点的求法，属于中档题．。

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1.若集合{}2,1=A ，{}a B 2,3=，且{}2=B A ，则实数a 的值为______. 2.若ααcos 2sin =，则αα22cos 2sin +的值为______.3.已知命题02,:2≤++∈∃a x x R x p 是真命题，则实数a 的取值范围是_______.4.已知直线l 过直线02=+-y x 和012=++y x 的交点，且与直线023=+-y x 垂直，则直线l 的方程为_______.5.椭圆171622=+y x 上横坐标为2的点到右焦点的距离为_____.6.函数)0(cos 3sin )(≤≤--=x x x x f π的单调增区间是______.7.已知函数)(2R a xax y ∈+=在1=x 处的切线与直线012=+-y x 平行，则a 的值为_______.8.设函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，且在区间),0[+∞上单调递增，则满足不等式)10(lg)1(xf f <的x 的取值范围是_______. 9.在锐角ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，8=a ，10=b .ABC △的面积为320，则ABC △的最大角的正切值是______.10.在ABC △中，若5=AB ，12=AC ，AB AC BC +=，则BA BC BC⋅的值为______.11.已知a 为正实数，函数a x x x f +-=2)(2，且对任意的],0[a x ∈，都有],[)(a a x f -∈，则实数a 的取值范围为______.12.若直线022=-+y x 与椭圆122=+ny mx 交于点C ，D ，点M 为CD 的中点，直线OM（O 为原点）的斜率为21，且OD OC ⊥，则=+n m _______. 13.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>-≤+=.0,2,0,1)(2x x x x exe x f x 若函数))((a x f f y -=有四个零点，则实数a 的所有可能取值构成的集合是_______.14.在平面直角坐标系xOy 中，已知点)0,2(-A ，点B 是圆4)2(:22=+-y x C 上的点，点M 为AB 的中点，若直线k kx y l 5:-=上存在点P ，使得 30=∠OPM ，则实数k 的取值范围为______.二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分14分）已知函数)sin()(ϕω+=x A x f （其中A ，ω，ϕ为常数，且0>A ，0>ω，22πϕπ<<-）的部分图象如图所示. （1）求函数)(x f 的解析式； （2）若56)(=αf ，20πα<<，求)122(πα+f 的值.16.（本小题满分14分）在ABC △中， 45=∠B ，D 是边BC 上一点，5=AD ，3=CD ，7=AC . （1）求ADC ∠的值； （2）求⋅的值.（第15题）已知直线l 与圆042:22=+-++a y x y x C 相交于A ，B 两点，弦AB 的中点为)1,0(M . （1）求实数a 的取值范围以及直线l 的方程； （2）若以为直径的圆过原点O ，求圆C 的方程.18.（本小题满分16分）如图，地面上有一竖直放置的圆形标志物，圆心为C ，与地面的接触点为G .与圆形标志物在同一平面内的地面上点P 处有一个观测点，且m PG 50=.在观测点正前方m 10处（即m PD 10=）有一个高为m 10（即m ED 10=)的广告牌遮住了视线，因此在观测点所能看到的圆形标志的最大部分即为图中从A 到F 的圆弧.（1）若圆形标志物半径为m 25，以PG 所在直线为x 轴，G 为坐标原点，建立直角坐标系，求圆C 和直线PF 的方程；（2）若在点P 处观测该圆形标志的最大视角（即APF ∠)的正切值为3941，求该圆形标志物的半径. GEDPACF第18题已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x ，F 为椭圆的右焦点，点A ，B 分别为椭圆的上下顶点，过点B 作AF 的垂线，垂足为M . （1）若2=a ，ABM △的面积为1，求椭圆方程；（2）是否存在椭圆，使得点B 关于直线AF 对称的点D 仍在椭圆上.若存在，求椭圆的离心率的值；若不存在，说明理由.20.(本小题满分16分）已知函数x a x x f ln )(2-=.(R a ∈) （1）若2=a ，求函数)(x f 的极值；（2）已知函数)(x f 在点))1(,1(f A 处的切线为l .若此切线在点A 处穿过)(x f y =的图像（即函数)(x f 上的动点P 在点A 附近沿曲线)(x f y =运动，经过点A 时从l 的一侧进入另一侧）.求函数)(x f 的表达式；（3）若0>a ，函数ax x f x g -=)()(有且只有一个零点，求实数a 的值.x第19题数学加试试卷（物理方向考生作答）解答题（共4小题，每小题10分共40分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 1.已知圆152:22=++x y x C ，M 是圆C 上的动点，)0,1(N ，MN 的垂直平分线交CM 于点P ，求点P 的轨迹方程.2.已知函数)0)(3sin()(πϕϕ<<+=x x f ，)(x f '为)(x f 的导函数.若)()()(x f x f x g '+=为奇函数，求ϕ的值.3.已知P 是ABC △内一点，且满足条件32=++，设Q 为CP 的延长线与AB 的交点，令=，用表示.4.已知)(11ln )(R a xaax x x f ∈--+-=. （1）当210<<a 时，求函数)(x f 的单调区间； （2）设42)(2+-=bx x x g .当41=a 时，若对任意],1[e ex ∈，存在]2,1[2∈x ，使)()(21x g x f =，求实数b 取值范围.数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1.62.563.]1,(-∞ 4.023=++y x 5.256.]0,6[π-7.0 8.),100()1,0(+∞ 9.32510.1325 11.]2,0( 12.45 13.)11,1(e+ 14.]2,2[-二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分14分） 解：（1）由图可知，2=A ，π2=T ，故1=ω，所以，)sin(2)(ϕ+=x x f ，又2)32sin(2)32(=+=ϕππf ，且22πϕπ<<-，故6πϕ-=.于是，)6sin2)(π-=x x f . ...........................................................................................6分 （2）由56)(=αf ，得53)6sin(=-πα. 因为20πα<<，所以54)6cos(=-πα. .......................................................................8分 所以，2524)6cos()6sin(2)32sin(=--=-παπαπα. 257)6(sin )6(cos )32cos(22=---=-παπαπα. ...................................................6分 所以)432sin(2)122sin(2)122(ππαπαπα+-=-=+f252314sin )32cos(24cos )32sin(2=-+-=ππαππα. ...........................................14分 16.（本小题满分14分）（1）在ADC △中，由余弦定理得：222cos 2AC ADC CD AD CD AD =∠⋅-+. 把5=AD ，3=CD ，7=AC 代入上式得21cos -=∠ADC . 因为π<∠<ADC 0，所以32π=∠ADC . ....................................................................7分（2）在ADC △中，由正弦定理得：ADBABABD AD ∠=∠sin sin .故265sin sin =∠⨯∠=ADB ABD AD AB . 所以4)33(2575cos 5265-=⨯⨯=⋅ . .......................................................14分 17.（本小题满分14分）解：（1）因为044222>-+a ，所以5<a .因为)1,0(M 在圆C 内，所以0412<+-a ，所以3<a . 综上知3<a . ......................................................................................3分 因为弦AB 的中点为)1,0(M ，所以直线CM l ⊥. 因为1-=CM k ，所以1=l k . 所以直线l的方程为1+=x y . ...........................................................................7分（2）由⎩⎨⎧+==+-++1,04222x y a y x y x 得0322=-+a x ，故231a x -=，232ax --=.不妨设)123,23(+--aa A ，)123,23(+----aa B . ........................................10分 则0223123=-=--+--=⋅a aa ，故2=a . ........................................13分故圆0242:22=+-++y x y x C . .........................................................................14分 18.（本小题满分16分）解：（1）圆22225)25(:=-+y x C . 直线PB 方程：050=+-y x .设直线PF 方程：)0)(50(>+=k x k y ，因为直线PF 与圆C相切，所以25150252=++kk ，解得34=k . ...........................6分 所以直线PF 方程：)50(34+=x y ，即02034=+-y x . ........................................8分（2）设直线PF 方程：)0)(50(>+=k x k y ，圆222)(:r r y x C =-+. 因为394111)tan(tan =+-=∠-∠=∠k k GPA GPF APF ，所以940=k . ....................10分 所以直线PF 方程：)50(940+=x y ，即02000940=+-y x . 因为直线PF 与圆C相切，所以r r =+-81160020009， .......................................13分化简得050004522=-+r r ，即0)40)(1252(=-+r r . 故40=r . .......................................................................................................16分 19.（本小题满分16分） 解：（1）直线b x c b y AF +-=:，直线b x bcy BF -=:. 联立可得))2(,2(22222aa cb ac b M -. 所以1222212322==⨯⨯=acb ac b b S ABC △. 又因为2=a ，所以1==c b .所以椭圆方程为1222=+y x . .............................................................................................8分（2）因为))2(,2(22222a a c b a c b M -，所以))4(,4(22222a a c b a c b D -. 代入椭圆方程得1)4(16242222424=-+b a a c b a c b .化简得012224=+-e e . ................................................................................................13分 因为4<-=∆，所以方程无解. ..............................................................................15分所以不存在这样的椭圆，使得点B 关于直线AF 对称的点D 仍在椭圆上. ..................16分 20.（本小题满分16分）（1）当2=a 时，函数x x x f ln 2)(2-=. 因为xx x x x x f )1)(1(222)(-+=-='， 所以函数)(x f 在)1,0(上单调递减，在),1(+∞上单调递增. 所以函数)(x f 的极小值为1)1(=f . .................................................................................4分 （2）因为xax x f -='2)(，所以a f -='2)1(. 所以切线方程为)1)(2(1--=-x a y ，即1)1)(2(+--=x a y . 构造函数1)2(ln ]1)2[()()(2+--+-=-+--=a x a x a x a x a x f x h .因为xx a x x a x a x a x a x x h )1)(2()2(2)2(2)(2-+=--+=-+-='， 且)1(='h ，所以12=-a，所以2-=a . ....................................................................10分（3）因为ax x a x x g --=ln )(2，所以xaax x a x a x x g --=--='222)(.因为0>a ，所以令0)(='x g 可得4820a a a x ++=.所以函数)(x f 在),0(0x 上单调递减，在),(0+∞x 上单调递增， 所以函数)(x f 的极小值为0)(0=x f .可得0ln 0020=--ax x a x ，02020=--a ax x . 联立可得1ln 200=+x x . ..............................................................................................14分 考查函数x x y +=ln 2，可知012>+='xy ，故其在),0(+∞上单调递增.又因为1=x 时111ln 2=+=y ，故1ln 200=+x x 有唯一解10=x .代入可得1=a . ..............................................................................................................16分2016届高三年级第二次学情检测数学（加试）参考答案1.解：由题有NC PC MP PC NP >=+=+4，故点P 的轨迹为以C 、N 为焦点，长轴长为4的椭圆. .....................................5分所以点P 的轨迹方程为13422=+y x . ...............................................................................10分2.解：因为)3cos(3)(ϕ+='x x f ，所以)33sin(2)3cos(3)3sin()(πϕϕϕ++=+++=x x x x g . .........................3分因为)(x g 为奇函数，所以3t a n-=ϕ. ......................................................................7分因为πϕ<<0，所以32πϕ=. ..............................................................................10分3.解：+= ，+=，3)(2)(=++++∴.323=+++∴.又B Q A ,, 三点共线，Q P C ,,三点共线，∴令BQ AQ λ=，QP CP μ=.323=+++∴CP BQ QP BQ μλ，)33()2(=+++μλ. ......................6分又BQ ，QP 为不共线的向量，20,330.λμ+=⎧∴⎨+=⎩解得2λ=-，1μ=-. ...............................................................................................8分CP QP PQ ∴=-=，故22CQ CP PQ CP p =+==. .......................................10分4.解：（1）)0(11ln )(>--+-=x xa ax x x f ， )0(111)(222>-++-=-+-='x xa x ax x a a x x f ， 令)0(1)(2>-+-=x a x ax x h ，由0)(='x h ，即012=-+-a x ax ，解得11=x ，112-=a x . 当210<<a 时，0111>>-a. )1,0(∈x 时，0)(>x h ，0)(<'x f ，函数)(x f 单调递减；)11,1(-∈ax 时，0)(<x h ，0)(>'x f ，函数)(x f 单调递增； ),11(+∞-∈ax 时，0)(>x h ，0)(<'x f ，函数)(x f 单调递减. 当210<<a 时，函数)(x f 的增区间为)11,1(-a ，减区间为)1,0(和),11(+∞-a. ................................................................................................................5分。

2018届高三年级第二次学情检测数学试卷第Ⅰ卷（共70分)一、填空题：(本大题共１4个小题,每小题5分,共7０分.将答案填在答题纸上．)１. 已知全集为，且集合,,则_＿__＿_____．【答案】【解析】,点睛:1.用描述法表示集合,首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．2.求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解.3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示;集合元素连续时用数轴表示,用数轴表示时要注意端点值的取舍.2. 已知向量，，且,则实数_____＿__＿_.【答案】8【解析】,,解得.3. 已知，，若是的必要不充分条件,则实数的取值范围是__＿_______．【答案】【解析】由解得，因为是的必要不充分条件,所以.4. 函数的单调递减区间是__＿__＿____.【答案】【解析】由，解得又所以减区间是.5．已知函数的图象向右平移个单位后与原图象关于轴对称，则的最小值是___＿______．【答案】【解析】函数的图象向右平移个单位后，所得图象对应的函数解析式为，ﻫ再根据所得图象与原图象关于轴对称,可得,即,则的最小值为 .６．已知函数，则满足不等式的的取值范围是_______＿__．【答案】【解析】函数为偶函数，且在上单调递增，不等式等价于不等式，可得，解得点晴:本题主要考查函数的单调性与奇偶性．根据题意,函数为偶函数，所以图像关于轴对称,且在轴左右两侧单调性相反，即左减右增,距离对称轴越远,函数值就越大,所以原不等式比较两个函数值的大小，转化为比较两个自变量的绝对值的大小,绝对值大的,距离轴远,函数值就大.如果函数为奇函数，则左右两边单调性相同．7.若圆关于直线对称，由点向圆作切线，切点为，则线段的最小值为______＿___.【答案】3【解析】圆关于直线对称,圆心在直线上，,即, ﻫ点向圆所作的切线长为：, 当a=２时,点向圆所作的切线长取得最小值.ﻫ8. 如图，在三角形中,点是边上一点，且,点是边的中点，过作的垂线，垂足为,若,则_＿＿___＿＿＿_.【答案】32【解析】由题，点睛:平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式a·b=|ａ||b｜cos θ；二是坐标公式ａ·b=ｘ1x2+y1y2；三是利用数量积的几何意义．(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时,可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.９．已知椭圆与圆,若在椭圆上存在点,过点作圆的切线,切点为使得,则椭圆的离心率的取值范围是_＿_____＿__．【答案】【解析】连接OA,OＢ,OP,根据题意,Ｏ、P、Ａ、B四点共圆,ﻫ, 在直角三角形ＯＡＰ中，, 得, , ，即，,即, ﻫ,又，，椭圆Ｃ的离心率的取值范围是10．函数图象上存在点,满足约束条件,则实数的最大值为__＿_____＿_．【答案】1【解析】由题知x＞０,且满足约束条件的图象为由图可知当与交于点B(2，1），当直线过B点时，ｍ取得最大值为1．点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化,即数形结合的思想.需要注意的是:一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时,要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较,避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得．11.已知为正实数，直线与曲线相切,则的取值范围为_____＿____．【答案】【解析】,，切点为，代入,得, ﻫ为正实数,, 则,令,则，ﻫ则函数为增函数,12. 已知函数当时,，若对任意实数，都有成立,则实数的取值范围_＿________.【答案】【解析】当时，，当时，,时，,由,可得到大致图形为,如图所示由图可以看出，，ﻫ若a<０,则向右平移,不满足题意.所以a＞０.ﻫ若a>0,向左平移,若对任意实数，都有,则且13.函数，,对区间上任意不等的实数,都有恒成立,则正数的取值范围为_＿__＿_____.【答案】【解析】设任意,在上单调递增，,，等价于,即,设,则在（１，2）上单调递增,在(1,2）上恒成立，，,,又a为正实数,14. 已知函数,当时,对任意，使恒成立,则实数的最大值为_＿＿＿______．【答案】【解析】令，则ｇ（x）=﹣x2＋aｘ+２a2=﹣（x+a)(ｘ﹣２a）,令g（x）=0，则x=﹣a或ｘ=2a，因为,所以，所以当x∈[﹣1,﹣a］和ｘ∈(2a，２］时,g(x）<０,函数g（x）单调递减,当x∈（﹣a，2a)时，ｇ(ｘ）>0,函数ｇ（x)单调递增，所以函数g（x）的极小值为,又, 令,易知,当时，函数h(ａ)单调递增,故，所以ｇ（2）<ｇ(﹣ａ），即当x∈[﹣１,2]时，，又，其对应图象的对称轴为,所以时,,所以,故有,又，因为,所以,所以.所以的最大值为．第Ⅱ卷(共90分）二、解答题 (本大题共6小题,共９0分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)15. 已知都是锐角，且,.(1）求的值;(2)求的值.【答案】（1)；（２).试题解析：（１)因为，所以,又因为,所以．利用同角三角函数的基本关系可得，且，解得.(2）由（１)可得，.因为为锐角,，所以.所以.16. 已知函数在区间上有最大值5，最小值２．(1)求的值；（2）若,在上是单调函数,求实数的取值范围．【答案】(1)或;（2）.【解析】试题分析：(1)函数对称轴为x=1,分和讨论,可得函数在区间上的单调性判断函数最值,代入可求出a,ｂ的值;（２)若，则根据(1)中求得值，即可确定a,b的值,从而求出函数解析式,根据函数的单调性,可求出ｍ的取值范围.试题解析:（1）.①当时,在上为增函数,故所以解得②当时，在上为减函数，故所以解得故或（2)因为，所以,即，.若在单调，则或所以或,即或．故实数的取值范围是．17. 已知圆.(1)直线与圆相交于两点,求弦的长度;（２)如图,设，是圆上的两个动点，点关于原点的对称点为，点关于轴的对称点为,如果直线与轴分别交于和,问是否为定值?若是求出该定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）2;(2）见解析.【解析】试题分析:(1)先求出圆心(0，0)到直线的距离,再利用弦长公式求得弦长ＡB的值.ﻫ(2)先求出的坐标,用两点式求直线的方程,根据方程求得他们在ｙ轴上的截距m,n的值，计算mn的值,可得结论．试题解析:（1)由于圆心到直线的距离.圆的半径,所以.（2)由于,是圆上的两个动点，则可得，，且,.直线的方程为,令求得.直线的方程为,令求得.．显然为定值.18．某综艺频道举行某个水上娱乐游戏，如图,固定在水面上点处的某种设备产生水波圈,水波圈生产秒时的半径（单位:）满足;是铺设在水面上的浮桥，浮桥的宽度忽略不计，浮桥两端固定在水岸边.游戏规定:当点处刚产生水波圈时，游戏参与者（视为一个点)与此同时从浮桥的端跑向端；若该参与者通过浮桥的过程中，从点处发出的水波圈始终没能到达此人跑动时的位置，则认定该参与者在这个游戏中过关;否则认定在这个游戏中不过关,已知，,浮桥的某个桥墩处点到直线的距离分别为，且，若某游戏参与者能以的速度从浮桥端匀速跑到端．(1)求该游戏参与者从浮桥端跑到端所需的时间?（２）问该游戏参与者能否在这个游戏中过关？请说明理由.【答案】(1)；(2)见解析.【解析】试题分析：(１)设,由，解得或（舍).求得直线的方程为，与联立可得,求得AＢ,进而可得所需时间;(2）求得时,点坐标为,其中.,.构造函数，求导计算可得时,恒成立，所以该参与者在这个游戏中过关．试题解析：（1）建立如图所示的直角坐标系，则,直线的方程为.设,由，解得或．当时,，符合；当时，，不符合．所以,直线的方程为.由解得即.所以.所以,该游戏参与者从浮桥端跑到端所需的时间为.（2）在中，,.设时,该参与者位于点，则，.则时,点坐标为,其中.,.令，则时,在上为增函数，时，在上为减函数，故当时,取得最大值．由于，所以时,恒成立．即该游戏参与者通过浮桥的过程中,从点处发出的水波圈始终没能到达此人跑动时的位置,所以该参与者在这个游戏中过关.点晴:本题考查的是函数模型的应用。