河北省2020中考数学复习 第六单元 圆 第23讲 圆的基本性质课件

2020河北中考总复习 圆 考点复习课件 1PPT优秀课件
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【自主解答】 解：(1)证明：连接AD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°.∴AD⊥BC. ∵AB＝AC，∴D为BC中点．
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(1)当AD与⊙O相切时： ①求证：BC是⊙O的切线； ②求点C到OB的距离； (2)连接BD，CD，当△BCD的面积最大时，点B到CD的距离为 4＋ 2 ．
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解：(1)①证明：∵AD与⊙O相切， ∴∠ADO＝90°. ∵∠AOB＝∠COD＝90°， ∴∠AOB－∠AOC＝∠COD－∠AOC，即∠COB＝∠AOD. ∵OB＝OA，OC＝OD， ∴△BOC≌△AOD(SAS)． ∴∠BCO＝∠ADO＝90°.
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【方法指导】 1.遇切线，通常的方法是连接过切点的半径，利用切 线垂直于过切点的半径，构建直角三角形，进而利用直角三角形进行求解 或证明．
2．在圆中还可以获得直角的方法有：平分弦(不是直径)的直径垂直于 弦，直径所对的圆周角是直角．
3．以圆为背景的求解题，往往转化成解双直角三角形或者相似三角 形．
(1)在⊙O上的点是点C ； (2)在⊙O外的点是 点B ； (3)在⊙O内的点是 点A、点D ． 2．在同一个平面上，一点P到圆上一点的距离最长为6，最短为2，则 圆的半径为 2或4 ．
直线与圆的位置关系 位置关系
相离
相切
相交
几何图形
交点个数 d与r的大小关系(设圆的半径为 r，圆心到直线的距离为d)

• 学习重点： 垂径定理及其推论．
1．创设情境，导入新知
如图，1 400 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥 主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）是 37 m， 拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23 m，求赵州桥主桥 拱的半径（精确到 0.1 m）．
2．探究新知
请拿出准备好的圆形纸片，沿着它的直径翻折，重 复做几次，你发现了什么？由此你能猜想哪些线段相等？ 哪些弧相等？
九年级 上册
24.1 圆的有关性质（第3课时）
课件说明
• 本节课是在学习了垂径定理后，进而学习圆的又一个 重要性质，主要研究弧，弦，圆心角的关系．
课件说明
• 学习目标： 1．了解圆心角的概念； 2．掌握在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两 条弦中有一组量相等，就可以推出它们所对应的 其余各组量也相等．
C A
D
B
O
6．利用新知 解决问题
变式1 如图，若将 AB 向下平移，当移到过圆心时，结论 AC=BD 还成立吗？
AC O
D B
6．利用新知 解决问题
变式2 如图，连接 OA，OB，设 AO=BO， 求证：AC=BD．
O
A
C
D
B
6．利用新知 解决问题
变式3 连接 OC，OD，设 OC=OD， 求证：AC=BD．
∠AOB=∠COD
（3）如果∠AOBA=B∠CODCD，那么_______A_，B=_C_D_____； ∠AOB=∠COD
（4）如果 AB=CD，OE⊥AB 于 E，OF⊥CD 于 F，OE
与 OF 相等吗？为什么？
AB= CD
AB=CD
相等．
因为 AB=CD，所以∠AOB=∠COD．

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8．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，点E在CD的延长线上．
(1)若∠A＝70°，则∠C＝ 110° ； (2)若∠ABC＝80°，则∠ADE＝ 80° ．
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垂径定理及其推论
文字叙述
图形示例
定 理
推
垂直于弦的直径 平分
弦，并且平分弦所对的
两条 弧
平分弦(不是直径)的直径
垂直 于弦，并且
AB为⊙O的直径，AB与CD相交于点E.
1
若AB⊥CD，则CE ＝DE＝ 2 CD，
︵ AC
＝ A︵D，B︵C
＝ B︵D；
若CE＝DE，则AB ⊥CD，
论
平分弦所对的两条弧．
D．15个单位长度
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圆内接多边形 1．概念：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形 叫做 圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆． 2．性质：圆内接四边形的对角 互补． 3．拓展：圆内接四边形的外角等于其内对角． 如图，∠C＝∠DAE.
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圆周角定理及其推论
文字叙述
几何语言表述
圆周角 一条弧所对的圆周角等于 ∠ABC＝
定理 它所对的圆心角的 一半
1
2 ∠AOC
推论1 同弧或等弧所对的圆周角 ∠ABC＝ ∠ADC 相等
半圆(或直径)所对的圆周角 ∠ACB＝ 90°

提分技法
判定切线的常用辅助线
在判定一条直线为圆的切线时,若已知条件明确指出圆与直线有公共点,常 “连半径,证垂
直”;若没有明确指出圆与直线有公共点时,常需“作垂直,证半径”.
3 . 切线长: 过圆外一点作圆的切线, 这点和 切点 之间的线段长叫做这点到圆的切线长.
* 切线长定理( 2 0 1 1 版新课标选学内容) : 从圆外一点可以引圆的两条切线, 它们的切线长相等, 这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
外部,A,E,D三点不共线,则下列叙述正确的是
()
A.O是△AEB的外心,O是△AED的外心
B.O是△AEB的外心,O不是△AED的外心
C.O不是△AEB的外心,O是△AED的外心
D.O不是△AEB的外心,O不是△AED的外心
方法帮 命题角度2 三角形的内心与外心
例3
提分技法
第三节 弧长、扇形面积 的相关计算
考点帮 垂径定理及其推论
考点1 考点2 考点3 考点4
1.垂径定理:垂直于弦的直径
弦,并且
弦所对的
两条弧.
2.垂径定理的推论:平分弦(非直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所
对的两条弧.
3.延伸
(1)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧.
(2)平分弦所对的一条弧的直径垂直于弦,并且平分弦所对的另一条
温馨提示 平面内的点与圆上距离最大和最小的点均在该点与圆心连线所在的直线上.如上图,点P与☉O 上距离最大和最小的点分别是点N和点M.
考点帮 直线与圆的位置关系
考点1 考点2 考点3 考点4
1 . 直线与圆的位置关系
直线和圆的 位置关系
相交
图形
d 与 r 的关系 公共点的个数

1 1 如图，连结 OB，OC，∵OD＝ r＝ OC，OD⊥BC，∴∠OCD＝ 2 2 30°，∠DOC＝60°.同理，∠BOD＝60°，∴∠BOC＝120°，∴∠A＝ 120°. 正解
2．圆的有关性质
(1)圆的对称性： 过圆心的任意一条直线 ． 轴对称 图形，其对称轴是__________________________ ①圆是________
中心对称 圆心 ． ②圆是_____________ 图形，对称中心是________
③旋转不变性，即圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形
1．常见的辅助线 (1)有关弦的问题，常作其弦心距，构造以半径、弦的一半、弦心距为边 的直角三角形，利用勾股定理知识求解(如图①)；
图① 图② 图③ (2)有关直径的问题，常通过辅助线构造直径所对的圆周角是直角来进行证 明或计算(如图②)； (3)有等弧或证弧相等时，常连等弧所对的弦或作等(同)弧所对的圆周(心) 角(如图③)． 2．分类讨论 在圆中，常涉及到分类讨论，如一条弦所对的弧有优弧和劣弧两种，则其 所对的圆周角不一定相等；另外，有关于弦的问题也需要分类讨论，如有 两条弦时，需要分在同侧还是异侧等．
点与圆的位置关系
【例 4】 (2016· 连云港)如图，在网格中(每个小正方形的边长均为 1 个 单位)选取 9 个格点(格线的交点称为格点)． 如果以 A 为圆心， r 为半径画 圆，选取的格点中除点 A 外恰好有 3 个在圆内，则 r 的取值范围为( B ) A．2 2＜r＜ 17 B. 17＜r＜3 2 C. 17＜r＜5 D．5＜r＜ 29
数学
浙江专用
第23讲 圆的基本性质
1．主要概念 定长 的所有点组成的图形叫做圆 (1)圆：平面上到________ 定点 的距离等于______ 定点 叫做圆心，_______ 定长 叫做半径，以O为圆心的圆记作⊙O. ．_______

中考步步高
课
对
前
接
必
中
读
考
圆的问题不算难，常把半径直径连；
易
网
错
络
有弦可作弦心距，它定垂直平分弦；
防
构
范
建
直径是圆最大弦，直圆周角立上边；
课
考
直径垂直平分弦，垂径相似在心间；
时 跟
点
踪
梳 理
圆周角、圆心角，细找关系把线连；
检 测
同弧圆周角相等，证题用它最多见.
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中考步步高
课
对
前
接
必
中考步步高
课 【例题1】 (2011·山东济宁改
对
前
必
编)如图，AD为△ABC外接
接 中
读
考
圆的直径，AD⊥BC，垂足
易
网 络
为点F，连接BD、CD.求证：
错 防
构 建
BD＝CD.
范
课
时
考
跟
点
踪
梳 理
检
分析 根据垂径定理和同圆或等圆中等弧对等弦证明． 测
证明 ∵AD 为直径，AD⊥BC，∴
，
∴BD＝CD.
建
3．连接圆上任意两点的线段叫做_弦_，经过圆心的弦
课
考
叫做_直__径__．
时 跟
点
踪
梳 理
4．圆上任意两点间的部分叫做_弧_，大于半圆的弧叫
检 测
做_优__弧__，小于半圆的弧叫做_劣__弧__．
5．从圆心到弦的距离叫做_弦__心__距__．
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中考步步高
课
对
前
接

2. 推论：
（1）在同圆（或等圆）中，同弧或等弧所 对的圆周角 11 _相__等___；相等的圆周角所对 的弧也 12 _相__等___； （2）直径所对的圆周角是直角，90°的圆周 角所对的弦是13 __直__径__.
考点4 圆内接四边形、三角形的外接圆 1. 圆内接四边形的对角互补
2. 三角形的外接圆 （1）定义：经过三角形各顶点的圆叫三角形的 外接圆，外接圆的圆心叫做这个三角形的外心, 外心是三角形三边14 _中__垂__线__的交点.
_2_5__米.
【思路点拨】根据垂径定理和勾股定理,在Rt△AOD
中列方程即可求解.
【解析】在Rt△AOD 中，由垂径定理和勾股定理 可得,AD = 1 AB =20，OD =R -10，
2
∴R 2-(R –10) 2=202，解得R = 25(米).
拓展2 （’15广元）如图，
已知⊙O 的直AB⊥CD 于点E ，
第一部分 教材知识梳理
第六单元 圆
第23课时 圆的基本性质
中考考点清单
考点1 圆及其相关概念 考点2 弦、弧与圆心角关系 考点3 圆周角定理及其推论（高频考点） 考点4 圆内接四边形、三角形的 外接圆 考点5 垂径定理及其推论
考点1 圆及其相关概念
1. 圆的基本概念（参考图（1）） (1)圆的定义：平面内到定点距 离等于定长的所有点组成的图形 叫做圆，这个定点叫做①_圆__心__，
定长叫做半径，OA 为半径.
(2)弦及直径连接圆上任意两点的线段叫做弦,
AE 为弦；经过②_圆__心___的弦叫做直径，EF 为
直径.
（3）弧、劣弧、优弧 圆上任意两点间的部分 叫做圆弧，简称弧.其中，小于半圆的部分叫做
劣 弧弧 ，A，︵EAF︵F为为优劣弧弧.；③_大__于___半圆的部分叫做优

(2)证明：∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC， ∴∠5＝∠6，∵∠3＝∠2， ∴△AED∽△CEB.
8.(2024·泰安)如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，BA平分∠CBD， 若∠AOD＝50°，则∠A的度数为( A ) A.65° B.55° C.50° D.75°
C
D
11.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝40°，AB＝4，斜边AB是半
(1)证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠ADE＝∠ABC， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵∠ACB＝∠ADB，∴∠ADB＝∠ADE.
13.如图，⊙O外接于△ABC，延长BO交⊙O于点D，过点C作CE⊥BD交BD于 点E. (1)求证：∠BAC＝∠BCE； (2)若∠BAC＝60°，BC＝2 ，求⊙O的半径．
第六章 圆 第一节 圆的基本性质
B
2.(2024·吉林)如图，四边形ABCD内接于⊙O，过点B作BE∥AD，交CD于 点E.若∠BEC＝50°，则∠ABC的度数是( C ) A.50° B.100° C.130° D.150°
3.(2024·临夏州)如图，AB是⊙O的直径，∠E＝35°，则∠BOD的度数为( D ) A. 80° B. 100° C. 120° D. 110°
(1)证明：连接CD， ∵BD是⊙O的直径， ∴∠BCD＝90°， ∴∠DCE＋∠BCE＝90°， ∵CE⊥BD，∴∠CED＝90°， ∴∠BDC＋∠DCE＝90°， ∴∠BCE＝∠BDC， ∵∠BAC＝∠BDC， ∴∠BAC＝∠BCE.
C
90°
6.(2024·龙东)如图，△ABC内接于⊙O，AD是直径，若∠B＝25°，则∠CAD＝ 65° .
7.(2023·贵州)如图，已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，连接CO并延长交A B于点D，交⊙O于点E，连接EA，EB. (1)写出图中一个度数为30°的角：∠1(答案不唯一)，图中与△ACD全等的三角 形是 △BCD ； (2)求证：△AED∽△CEB； (3)连接OA，OB，判断四边动点，连接CD与AB交于点E，若△BCE是等

拓展1 （’15天水）如图，边长 为1的小正方形构成的网格中，半
径为1的⊙O 在格点上，则∠AED 1 正切值为 . 2 _____
【解析】由题意得，∠AED = ∠AED ，∵ ⊙O 在边长为1的网格格点上，∴AB =2，AC =1,则 AC 1 1 tan ABC , tanAED . AB 2 2
圆及其相关概念
1. 圆的基本概念（参考图（1）） (1)圆的定义：平面内到定点距 离等于定长的所有点组成的图形 圆心 ， 叫做圆，这个定点叫做①_____ 定长叫做半径，OA 为半径. (2)弦及直径连接圆上任意两点的线段叫做弦,
AE 为弦；经过②______ 圆心 的弦叫做直径，EF 为
直径.
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（3）弧、劣弧、优弧 圆上任意两点间的部分 叫做圆弧，简称弧.其中，小于半圆的部分叫做 ︵ 劣弧，AF 为劣弧；③______ 大于 半圆的部分叫做优 ︵ 弧，AEF 为优弧. （4）圆心角：顶点在圆心，角的两边都与圆 ︵ 相交的角叫做圆心角，∠AOF 叫做AF 所对的 圆心角. （5）圆周角：顶点在圆上，角的两边都与圆 相交的角叫做圆周角，∠AEF 为圆周角.
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考点3 圆周角定理及其推论（高频考点） 1. 定理 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数 一半 . 的⑩______
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8
2. 推论： （1）在同圆（或等圆）中，同弧或等弧所 对的圆周角
11
______ 相等 ；相等的圆周角所对
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失分点15 判断：
一条弦对应两个圆周角问题
⑧圆中一条弦长等于它的半径，则这条弦所对的圆周角 为30°. （ × ） ⑨圆中一条弦长所对的圆心角为40°，则这条弦所对的 圆周角为20° . （ × ）

第二页，共54页。
与圆有关的概念
弦 连接圆上任意两点的线段（如图AC）叫
做弦，
经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径．
08.08.2023
B
O·
C
A
第三页，共54页。
弧
圆端上点任的意弧两记点作间A的B⌒部，分读作叫“做圆圆弧弧A，B简”或称“弧弧．A以BA”．、B为
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一
想一想
08.08.2023
一个三角形的外接圆有几个？
一个圆的内接三角形有几个？
第二十三页，共54页。
做一做
分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形， 再画出它们的外接圆，观察并叙述各三角形与它的外心的 位置关系.
A
A
A
●O
●O
B
┐
CB
C
●O
B
C
锐角三角形的外心位于三角形内, 直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点, 08.08钝.20角23 三角形的外心位于三角形外.
2、已知、是同圆的两段弧，且弧AB等于2倍弧AC，则弦AB与CD之间 的关系为（ ）；
A.AB=2CD
B.AB<2CD C.AB>2CD D.不能确定
3、 如图2，⊙O中弧AB的度数为60°，AC是⊙O的直径，则∠BOC等 于 ( )；
A．150° B．130° C．120° D．60°
4、在△ABC中，∠A＝70°，若O为△ABC的外心，∠BOC=
条弧都叫做半圆．
08.08.2023
B
O·
C A
第四页，共54页。
劣弧与优弧
小于半圆的弧叫做劣弧. （如图中的AC⌒） 大于半圆的弧叫做优弧. (用三个字母表示,如图中的ACB⌒)

B 优弧有_2__条，是_A⌒_C_B_、__B_⌒A_C_、__.
图中有_1__条直径，__2__个半圆.
28.1圆的概念及性质-冀教版九年级数 学上册 课件
28.1圆的概念及性质-冀教版九年级数 学上册 课件
1.如图，点O为⊙OD的圆心，点A、B、C在⊙O上.
O C
A 注意：
B 劣弧 半圆
2 优弧
28.1圆的概念及性质-冀教版九年级数 学上册 课件
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四、圆的有关概念
4.等圆
能够完全重合的两个圆叫做等圆.
28.1圆的概念及性质-冀教版九年级数 学上册 课件
圆心不同，半径相等.
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四、圆的有关概念
A
分析：只需证明 EA=EB=ED
E
B
C
D
同学们再见
28.1圆的概念及性质-冀教版九年级数 学上册 课件
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2.下列说法中，不正确的是（ D ）.
A.过圆心的弦是圆的直径. B.等弧的长度一定相等. C.周长相等的两个圆是等圆. D.同一条弦所对的两条弧一定是等弧.
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冀教版九上
第二十八章 圆
28.1 圆的概念及性质
28.1圆的概念及性质-冀教版九年级数 学上册 课件
新课引入
新课学习
典例精析
测试小结
冀教版九上
1.以生活为基础，建立圆的概念. 2.探究圆的对称性. 3.理解圆、弧、弦、优弧、劣弧、半圆、等圆、 等弧的概念.