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第八章 数字信号的最佳接收8. 0、概述数字信号接收准则：⎩⎨⎧→→相关接收机最小差错率匹配滤波器最大输出信噪比 8. 1、最佳接收准则最佳接收机：误码率最小的接收机。
一、似然比准则0 ≤ t ≤ T S ，i = 1、2、…、M ，其中：S i (t) 和n (t)分别为接收机的输入信号与噪声，n(t) 的单边谱密度为n 0n(t)的k 维联合概率密度：()似然函数→⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=⎰ST kn dt t n n n f 0201exp )2(1)(σπ式中：k = 2f H T S 为T S 内观察次数，f H 为信号带宽出现S 1(t)时,y(t)的联合概率密度为:[]⎭⎬⎫⎩⎨⎧--=⎰ST kn S dt t s t y n y f 02101)()(1exp )2(1)(σπ → 发“1”码 出现S 2(t)时, y(t)的联合概率密度为:[]⎭⎬⎫⎩⎨⎧--=⎰ST kn S dt t s t y n y f 02202)()(1exp )2(1)(σπ→ 发“0”码 误码率：f S2(y) f S1(y)a 1 y T a 2 y()()()()()()(){t n t s t n t s i t n t s t y ++=+=12()()()()⎰⎰∞-∞++=iT iT V V S S e dyy f s p dy y f s p S P S S P S P S S P P )()()()(2211221112要使P e 最小，则：0=∂∂Tey p 即：()()()()02211=+-T S T S y f s p y f s p故：P e 最小时的门限条件为 ：最小满足e T T S T S P y s p s p y f y f →=)()()()(1221 判定准则： 似然比准则判判→⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫→<→>2122111221)()()()()()()()(S s p s p y f y f S s p s p y f y f S S S S二、最大似然比准则最大似然比准则判判如时当→⎭⎬⎫→<→>=22112112)()()()(:,)()(S y f y f S y f y f s p s p S S S S用上述两个准则来构造的接收机即为最佳接收机。
第8章 数字信号的最佳接收知识点：● 三个最佳准则基本定理● 匹配滤波器特性及各种参数、关系● 相关接收、相关器及其与匹配滤波器等效性 ● 理想接收与相关接收等效性层次：● 掌握匹配滤波器全部特点、参数与计算及特例● 掌握相关接收数学模型及相关接收运用误比特率公式 ● 了解理想接收定理● 理解误比特率计算定理、方法 ● 掌握n E b与NS=γ的异同点 ● 理解在高斯信道条件下三种最佳接收的等效关系8.1最佳接收准则● 所谓最佳一般是相对而言的“准最佳”。
● 数字信号传输的是表示编码信息的波形，经信道限带、噪声、干扰以及可能的信道非线性与时变的影响，会导致波形损伤。
如何从这种变形的波形中检测出是哪种信息状态，将会产生判决风险。
1. 最大输出信噪比准则● 从前面各章看，不论模拟与各种数字信号传输，最终是接收信噪比的大小。
● 除信噪比之外，尚涉及发送信号的设计，即相关参数与调制方式。
● 传输是在信道限带、信号功率受限环境下，本书主要考虑的AWGN 干扰，在这三者条件下，如何使最终信噪比是否较优。
诸多其他设计因素也可以换取信噪比。
● 最大输出信噪比准则是为取得接收输出尽可能大的信噪比，设计一种最利于特定发送波形通过的接收机特性，这种特性能达到与信号相适配而同时可相应地改造噪声均匀谱而实际上使噪声量得以一定程度的抑制或削弱。
2. 最小均方误差准则● 发送信号)(t S 受到AWGN 加性干扰的混合波形X(t)接收误差均方值为)0()0(2)0())()(()(22s xs x R R R t s t x t e +-=-= 8-1● 期望均方差2e 的最小值，即要取得)0(xs R 的最大值。
而)0(xs R 是受到噪声污染的信号)(t X 与其发送纯净信号)(t S 的互相关最大值，在理想情况下为)0()0()0(2s x xs R R R +→ )0(2→e 8-2●⎰=Txs dt t s t x R 0)()()0(——由此启发出相关接收方法 8-33. 最大后验概率或最大似然准则● 后验概率——收到混合信号)(t X ，判断原来发送的是哪一个信号i S ——可择其概率最大者)/(x s P i 进行风险较小的判决为“择大判决”规则，而后验概率（条件）密度为)/(x s p 。
第3章 数字信号最佳接收原理§ 3.1 引言1．问题的提出数字通信系统eP 噪声与干扰最佳接收准则e P 使最小M 元信号问题：在给定信道条件下（白噪声、非白噪声、有ISI 信道、多径衰落信道），如何设计最佳接收机，以获得最佳性能（P e 最小）。
关键：建立最佳接收准则，由此导出最佳接收机的结构，分析系统性能。
2．信号空间的描述发送信号（M 元） {}1,2,,,()i i M s t = 或{}i s ，信道噪声n ，接收信号 y 。
如何由y 判别发送信号i s ，使错误概率最小。
3．如何获得最佳接收1）建立一个最佳接收准则——如“最小错误概率准则”（最常用、最合理） 2）充分利用信号结构的先验知识和信号与噪声的先验统计特性。
如()p s ，()p n ，(|)p s y4．本章讨论的内容1）最佳接收准则。
2）讨论在不同噪声和干扰的信道条件下的最佳接收机结构（数学模型）。
3）分析最佳接收机的性能（重点是白噪声信道条件下）。
§ 3.2 最佳接收准则引言：最直接最合理的准则——最小错误概率准则。
可以证明：在一定条件下，它又等价于最大后验概率准则和最大似然函数准则。
1. 最小错误概率准则在M 元数字通信系统中，{}(1,2,,)()i i M i M P x x = 元 统计独立e P→该M 元系统的错误概率为：111()(|)()M M Me e i j i i i i j j iP P P d x P x ===≠==∑∑∑使e P 最小的准则，就是最小错误概率准则。
可表示为： 11min (|)()M M e j i i i j j i P P d x P x ==≠⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭∑∑2． 最大后验概率准则（MAP 准则） Maximum Posterior Probability可以证明：最小错误概率准则等价于MAP 准则： 即 (|)max i P x =y 判i x 【证明】：111()(|)()M M Me e iji i i i j j iP P P dx P x ===≠==∑∑∑11()(|)jMMi i Y j i i jP x p x dy ==≠=∑∑⎰y (|)(|)jj j i i Y j d P d x p x dyY =⎰y y 为信号空间中接收信号向量为的判决域11()(|)jMMiiY j i i jP x p x dy ==≠=∑∑⎰y上式中, 被积函数≥0，因此要使e P 最小，也就要求被积函数最小。
即1()(|)min Miii i jP x p x =≠=∑y由概率乘法定理（见注），上式可化为1(|)()1(|)()min Miji i jP x p P xp =≠⎡⎤=-=⎣⎦∑y y y y或，[]1(|)()1(|)()min Mji j j iP xp P x p =≠=-=∑y y y y因此，要使上式最小，应使后验概率(|)i P x y 最大。
所以，最小错误概率等价于最大后验概率。
注：由概率乘法定理：()()(|)()(|)P AB P A P B A P B P A B ==令 A ⇒y ， i B x ⇒则有：()(|)()(|)i i i P P x P x P x =y y y 两边对y 微分：(|)()(|)()i i i dP x dP P x P x d =y y y y所以，()(|)()(|)i i i p P x P x p x =y y y3．最大似然函数准则（ML 准则） Maximum Likelihood在发送符号等概条件下：1()i P x P M==，(1,2,,)i M = 最大后验概率：()(|)(|)(|)max ()()i i i i P x PP x p x p x p p ===y y y y y 时，判i x 成立，1,2,,i M = 。
在给定接收信号y 及发送符号等概条件下，()Pp y 与i x 无关，在比较M 个后验概率时可视为常量，不必考虑。
故上式等价于：(|)max i p x =y ，判i x 成立，(1,2,,)i M = ——即最大似然函数准则。
结论：在发送信息符号等概条件下，MAP 准则与ML 准则等价。
亦即三个准则也是等价的。
ML 接收机的操作：1） 计算： M 个似然函数2） 比较： 选择最大的似然函数3） 判决： 根据最大似然函数判决发送符号。
当发送符号不等概时，最大后验概率等价于：max )()(=i i x p x P y 判i x 成立，(1,2,,)i M =即，似然函数概率加权最大。
§ 3.3 白噪声中确知信号的最佳接收一．二元确知信号最佳接收机的结构 1. 问题的引出(0,()y t =y }(0,)T P 最小等概性能信号形式1122()()E s t E s t --最佳接收准则：最大似然函数准则——分析问题的出发点。
讨论：12e s P s 最佳结构--根据最佳准则导出(含判决规则)最佳性能最小最佳信号形式(由性能公式导出（1）（2）--=?（3）,)-- 2. 最佳接收机的结构最大似然函数准则： 1212(|)(|)s s p s p s ><y y对似然函数1,2(|)i i p =y s 进行处理——分解成一维连乘积形式。
处理方法：波形取样正交法在(0,)T 区间对()n t 、()y t 取样，得N 个样值。
2(0,)k n N σ 统计独立 2(,),1,2,k ik y N s i σ= 统计独立{}k n 的相关函数：[]00()()()22n k k m n n nm E n n m S f φδ+==↔= 220(0)2n k n E n σφ⎡⎤∴===⎣⎦， 1,0()0,0m m m δ=⎧=⎨≠⎩以抽样函数作为基向量构成N 维信号空间y 在此空间中各投影分量{}k y 为统计独立分量。
∴1(|)(|)Ni k i k p s p y s ==∏y221()2Nk ikky sσ=⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦221()exp2N Nk ikky sσ=⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦∑[]21exp()()NTiy t s t dtn⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦⎰或21exp()()Niy t s tn⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦代入ML准则，得[][]22120012()()()()T Tssy t s t dt y t s t dt<-->⎰⎰或用向量表示：221212ss<-->y s y s物理意义：在N维空间中，在1s、2s等概条件下，接收信号被判为1s或2s，将取决于接收信号向量y与1s、2s的距离。
将积分式展开得：11212002()()()()22T TssE Ey t s t dt y t s t dt>--<⎰⎰判决规则当12E E=时，则有112002()()()()T Tssy t s t dt y t s t dt><⎰⎰12()E E=判决规则由此可得出二元确知信号最佳接收机的结构12(y t当12E E=时，可简化为：2(y t相关器实现最佳接收机(y t 匹配滤波器实现最佳接收机3. 最佳接收机的结构-匹配滤波器匹配滤波器 (Matched Filter ，MF)是一种最佳线性滤波器，是在确定信号输入下的最佳线性系统。
（1）最佳准则：输出最大信噪比准则（在抽样判决时刻） （2）MF 的结构——最佳传输函数(0,T) MF t= t 0=T0*()()j t opt i H S e ωωω-=i s 或 0()()o p t i h t s tt =- i S (ω) H opt (ω) 02o EN γ= 与输入信号波形有关，对不同波形匹配得MF ，具有不同形式的H opt (ω)（3）MF 的性能——输出最大信噪比定义：输出信噪比 202|()|()o o o s t n t γ= 在T t =0时， m a x 02o E N γ=max o γ是只与输入信号的能量及白噪声的功率谱密度0N 有关，而与输入信号的波形无关。
（4）匹配滤波器的主要性质。
MF 等效于相关器。
[证明] 匹配滤波器等效于一个相关器()s t (0,)T 0()()()tu t h t y d τττ=-⎰MF[]0()()()()()t t u t h t y d s T t y d ττττττ=-=--⎰⎰当t T =时，0()()()T u T s y d τττ=⎰结论： 在t T =时刻，相关器和匹配滤波器输出相等，所以两者等价。
因此，有两种最佳接收机结构。
抽样判决时刻：0t t T ==时， 0max γ=，e P 最小 0t t T =≠时，0max γ<，e P ↑。
二． 二元确知信号最佳接收机（相关形式）的性能及最佳信号形式设二元数字信号传输系统，对于一般的解调接收，有（其中v b 是判决门限）}AWGN2(0,)σeP （等概）(0,)T “0”“1”12s s →→1(|)p x s 2(|)p x s bv 1A 2A βαx121212121212()(|)()(|) ()()()()(|)e b bopt e P P s P s s P s P s s P s P s P s P s V V P P s s αββ⎧⎪⎨⎪⎩=+=⋅+⋅====等概当最佳判决门限 时, 12AWGN (|) (|)bbvv p x s dx p x s dxαβ∞-∞==⎰⎰相同信道条件,似然函数分布对称而对于最佳接收，判决规则为1121202()()()()22TT s s E E y t s t dt y t s t dt >--<⎰⎰ 则求错误概率的方法有所不同。
假设发2s 情况，此时2()()()y t s t n t =+⊕(s t )()y t代入判决规则得错判条件（判为1s ）[][]12212200()()()()()()22TT E Es t n t s t dt s t n t s t dt +->+-⎰⎰整理上式，[]21212122001()()()()()()()2TT n t s t s t dt E E s t s t s t dt ⎡⎤->---⎣⎦⎰⎰ 其中，2110()TE s t dt =⎰，2220()T E s t dt =⎰因此，错判条件为[][]2121200()1()()()()()2TT bn t s t s t dt s t s t dt ζ->-⎰⎰高斯变量 即b ζ>求ζ的数字特征： [][]12()()()()0TE E n t s t s t dt ζ=-=⎰[]{}[]222121200()()()()()()TTD D n t s t s t dt s t s t dt ζσζσ==-=-⎰⎰[]21200()()2Tn s t s t dt n b =-=⎰故，0(0,)N n b ζ （s 1(t )和s 2(t )是确知信号可以看成常量） 则错误概率为，22211()e r 22x t e bP P b edx e dt ζσζ-∞∞-⎛⎫⎛⎫⎪=>===⎪⎭1e rf 2= 其中，[]21212120011()()2()()22T T b s t s t dt E E s t s t dt ⎡⎤=-=+-⎢⎥⎣⎦⎰⎰1212E E ⎡⎤=+-⎣⎦式中，1E 和2E 分别为1()s t 和2()s t 的能量。
