数字信号的最佳接收8. 0、概述字信号接收准则：⎩⎨⎧→→相关接收机最小差错率匹配滤波器最大输出信噪比 8. 1、最佳接收准则最佳接收机：误码率最小的接收机。
一、似然比准则0≤t ≤T S ，i = 1、2、…、M ，其中：S i (t) 和n(t)分别为接收机的输入信号与噪声，n(t)的单边谱密度为n 0n(t)的k 维联合概率密度：()似然函数→⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=⎰ST kn dt t n n n f 0201exp )2(1)(σπ式中：k = 2f H T S 为T S 内观察次数，f H 为信号带宽出现S 1(t)时,y(t)的联合概率密度为:[]⎭⎬⎫⎩⎨⎧--=⎰ST kn S dt t s t y n y f 02101)()(1exp )2(1)(σπ→ 发“1”码 出现S 2(t)时, y(t)的联合概率密度为:[]⎭⎬⎫⎩⎨⎧--=⎰ST kn S dt t s t y n y f 02202)()(1exp )2(1)(σπ→发“0”码 误码率：()()()()()()(){t n t s t n t s i t n t s t y ++=+=12()()()()⎰⎰∞-∞++=iT iT V V S S e dyy f s p dy y f s p S P S S P S P S S P P )()()()(2211221112要使P e 最小，则：0=∂∂Tey p 即：()()()()02211=+-T S T S y f s p y f s p故：P e 最小时的门限条件为 ：最小满足e T T S T S P y s p s p y f y f →=)()()()(1221 判定准则： 似然比准则判判→⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫→<→>2122111221)()()()()()()()(S s p s p y f y f S s p s p y f y f S S S S 二、最大似然比准则最大似然比准则判判如时当→⎭⎬⎫→<→>=22112112)()()()(:,)()(S y f y f S y f y f s p s p S S S S用上述两个准则来构造的接收机即为最佳接收机。
8. 2、确知信号的最佳接收确知信号：在接收端可以知道S 1、S 2、…、S M 的具体波形，但不知道在某一码元内出现的是哪个信号。
随参信号：在接受端接收到的信号其振幅和频率是已知的，相位是随机的，此为随相信号；频率是已知，但振幅和相位都是随机的，此为起伏信号。
一、二进制确知信号的最佳相干接收机设 p(S 1)=p(S 2)=1/21、等能量信号b T T E dt t s dt t s SS==⎰⎰002221)()( 将此条件代入最大似然比准则得：→>⎰⎰SST T dt t s t y dt t s t y 021)()()()(判为S 1→<⎰⎰SST T dt t s t y dt t s t y 021)()()()(判为S 2由此最佳接收机方框图如图所示：相乘器和积分器构成相关器，此为最佳接收机的相关器形式。
比较器判决准则：a[KT S ] > b[KT S ]判为s 1 ，否则判为s 2，比较完后立刻将积分器的积分值清除，故积分器实为积分清除器。
2、一个信号为0的二进制信号最佳相干接收机 当s 2(t)=0，b E t S T=⎰)(021时 ，⎰⎰→<→>SST b T b S E dt t s t y S E dt t s t y 02101121)()(,21)()(判为判为此时最佳相干接收机方框图仍如图所示：二、二进制确知信号最佳接收机的抗噪性能分析结论：p e = Q (A)[]⎰-=ST dt t s t s n A 0221)()(21 1、 等能量→==⎰⎰SST bT dt t s t s E E E dt t s t s 02121021)()(1)()(ρ 为S 1(t)、S 2(t)相关系数[]22212102)22()()()(2)(21n E E dt t s t s t s t sn A b b T S ρ-=+-=⎰=)1(n E b ρ-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧→=⎥⎦⎤⎢⎣⎡→-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=∴情况情况FSK n E Q PSK n E Q n E Q p b b b e 012)1(000ρρρ 2、s 2(t) = 0[]021022102)(21)()(21n E dt t s n dt t s t s n A b T T SS==-=⎰⎰情况ASK n E Q p be →⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∴02 三、讨论1、二进制确知信号的最佳形式等能量且ρ= -1，此时两信号相反，最易于识别。
设s 1(t)=-s 2(t)=s(t)，则最佳相干接收机可简化为如下图所示。
判决准则为：r(k T )>0，判为s 1；否则判为s 2。
2、2PSK 信号的最佳相干接收机因为可以从接收信号中提取相干载波，故每个码元内接收信号的相位是确知的，可认为2PSK 为确知信号。
同理也可以认为2ASK 、2FSK 为确知信号。
对于2PSK 通信系统，若假设接收到的2PSK 信号为恒包络信号，则 s 1(t) = cos ωC (t)，s 2(t) =-cos ωC (t)∴ρ= -1此时最佳接收机如图所示：2PSK 相干接收机如图所示：图中设n(t) = 0，乘法器输入为恒包络2PSK 信号。
相干接收机中cp(t)对准码元中间；最佳接收机中，cp(t)对准码元结束时刻。
3、2FSK 信号的最佳相干接收s 1(t) = cos ω1t ，s 2(t) = cos ω2t 属于等能量信号当 f 1 + f 2 = nR b / 2，f 1 - f 2 = kR b / 2时ρ= 0，当f 1+f 2>> 1且f 1-f 2>> 1时ρ≈0 4、2ASK 信号的最佳相干接收 s 1(t) = cos ωc t s 2(t) = 0 四、M 进制信号的最佳接收机设 p(s i ) = 1/M i = 1、2、…、M⎩⎨⎧=≠=⎰ji E j i 0dt )t (s )t (s ST 0j i S则 ⎰⎰>SST j T i dt t s t y dt t s t y 0)()()()(判为s i (i ≠j)发信号为相同波形随机序列，即 s i (t) = k i s(t) i = 1、2、…、M ；则最佳接收机为：E by (t)x (t)r (t)cp(t10 1 1 1 0 1 1-E b最佳接收相干接收p e ：将M 进制相干解调接收机误码公式中的S/N 换为 E S /n 0；将M 进制双极性基带系统误码率公式中的S/N 换为E S /n 08. 3、随参信号的最佳接收只介绍随相信号的最佳接收。
常见的随相信号是MFSK 、2ASK ，其最佳接收机称为最佳非相干接收机。
1、 2FSK 的最佳非相干解调若收端提取的两个载波仅与发载波同频但不同相，则2FSK 信号为随相信号。
设cos ω1t 、cos ω2t 正交，b T T E dt t s dt t s SS⎰⎰==022021)()(，且φ1、φ2在（0，2π）内均匀分布，则最佳接收机形式为：无噪声时，抽样时刻M 1值为s 1(t)的能量（发“1”码），抽样时刻的M 2值为s 2(t)的能量（发“0”码）。
发“1”码，因⎰=ST tdt t 0210cos cos ωω 且⎰=ST 0210tdt sin t cos ωω，故M 2 = 01b T 0111T 0121T 0111cos E tdt cos t sin sin tdt cos cos t cos t cos(SS Sφφφ）φ=-=+⎰⎰⎰ωωωωω1b T 0121T 0111T 0111sin E tdt sin sin tdt sin t cos cos t sin t cos(SS Sφφφ）φ-=-=+⎰⎰⎰ωωωωωb 122b 122b 1E cos E sin E M =+=φφ同理，发“0”码时 M 1 = 0 ，M 2 = E b据上述分析，可将2FSK 信号的最佳非相干接收机改为以下形式S 1(t ,φ1) = cos(ω1t+φ1) 发“1”码 S 2(t ,φ2) = cos(ω2t+φ2) 发“0”码S 2FSK (t)=2为2FSK最佳非相干接收机的上半部分，比较电平为E b/2。
3、2DPSK信号的最佳非相干接收机S1’(t)为发“1”时低通滤波器输出波形，可近似为宽度等于T S的矩形脉冲。
4、MFSK最佳非相干接收机5、抗噪性能分别将2DPSK差分相干解调，MFSK包络检波及2ASK包络检波接收机的误码率公式中的S/N换为E b/n0即可得到2DPSK、MFSK、2ASK最佳非相干接收机的误码率。
8. 4、普通接收机与最佳接收机的性能比较普通接收机指相干解调2PSK、2FSK、2ASK接收机，包络检波2FSK、2ASK 及差分相干解调2DPSK接收机，最佳接收机指最佳相干接收机和最佳非相干接收机。
误码率公式如下表所示：普通接收机与最佳接收机的误码率公式很类似。
普通接收机的信噪比r=S/N ，等于接收机带通滤波器输出信号功率与噪声功率之比。
最佳接收机的信噪比用E b /n 0表示。
若E b /n 0>S/N 则最佳接收机的抗噪性能优于普通接收机。
在M 进制中，将普通接收机误码率公式中的S/N 换为Es/n 0，即为最佳接收 机的误码率，E S =E b log 2M 为一个码元内的信号能量。
设普通接收机输入端带通滤波器带宽为B ，则：N = n 0B ，B n SN S 0=。
设M 进制信号码元宽度为T S ，则：)1(000SSS T n Sn ST n E == M 进制线性调制系统的最大信道频带利用率为1波特/Hz ，码速率R B =1/T S ，故接收机输入端带通滤波器最小带宽为1/T S ，即 B ≥1/T S 。
MFSK 为非线性调制，其信道频带利用率大于1波特/Hz ，但接收机分M 个支路对MFSK 中的M 个2ASK 信号进行解调，每条支路的输入带通滤波器最小带宽仍可为1/T S ，故亦有：B ≥1/T S总之，普通接收机误码率不可能优于最佳接收机，即最佳接收机的抗噪性能优于（至少等于）普通接收机。
8. 5、匹配滤波器—输出信噪比最大线性滤波器一、频域表达式s(t)：存在时间为0~T ，能量：⎰=Tdt t s E 02)(n(t)：单边功率谱密度为n 0的带限白噪声()()()()()()()()2220020dfef h f S t S S dfe f h f S t h t S t S ftj ftj ππ⎰⎰∞∞-∞∞-⋅==⋅=*=输出噪声功率：()()()dff P f H df f P N n n ⎰⎰∞∞-∞∞-==0200()()()()()()()()()()().:,222max000max00222222200共轭一致传递函数与信号频谱复则要使当MF e f KS f H N S NS n E N S n E f P df f S dff H f P dff H dff S dff P f H dfef H f S N S T t S SfT j S S n n n fT j s→=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∴==≤⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-*∞∞-∞∞-∞∞-∞∞-∞∞-∞∞-⎰⎰⎰⎰⎰⎰ππ二、时域表达式()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()S S S S S T t f j t T f j f j t T f j t j t T f j ftj T t R K d T S t S K d h t S t h t S t S 。
