配套K12高中数学第1章导数及其应用章末分层突破学案苏教版选修2_21

第一章导数及其应用1．1导数的概念1．1.1 平均变化率(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能通过丰富的实例，让学生经历平均变化率概念的形成过程，体会平均变化率是刻画变量变化快慢程度的一种数学模型．2．过程与方法理解平均变化率的概念，了解平均变化率的几何意义，会计算函数在某个区间上的平均变化率．3．情感、态度与价值观感受数学模型刻画客观世界的作用，进一步领会变量数学的思想，提高分析问题、解决问题的能力．●重点难点重点：平均变化率的概念．难点：平均变化率概念的形成过程．为了使得平均变化率概念的引入自然流畅，可创设实际问题情境，如气球吹气时的平均膨胀率、跳板跳水某段起跳后的平均速度，通过具体的实例提出问题；借助天气预报中某天气温的变化曲线，以形助数，让学生有一个直观的认识，然后从数学的角度，描述这种现象就一目了然了．(教师用书独具)●教学建议本节课是起始课，对导数概念的形成起着奠基作用．平均变化率是个核心概念，它在整个高中数学中占有极其重要的地位，是研究瞬时变化率及其导数概念的基础．在这个过程中，要注意特殊到一般、数形结合等数学思想方法的渗透．●教学流程创设问题情境，提出问题，根据气球的平均膨胀率得出平均变化率的概念.⇒应用平均变化率的概念，完成例1及其变式训练.⇒实际问题中的平均变化率，完成例2及其变式训练.⇒通过例3及其变式训练，进一步理解平均变化率的意义及其应用.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.在吹气球时，气球的半径r(单位：dm )与气球空气容量(体积)V(单位：L )之间的函数关系是r(V)＝33V4π.1．当空气容量V 从0增加到1 L 时，气球的平均膨胀率是多少？ 【提示】 平均膨胀率为r （1）－r （0）1－0≈0.621＝0.62(dm /L )．2．当空气容量从V 1增加到V 2时，气球的平均膨胀率是多少？ 【提示】 平均膨胀率为r （V 2）－r （V 1）V 2－V 1.一般地，函数y ＝f(x)在区间[x 1，x 2]上的平均变化率为f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1，其中Δy＝f(x 2)－f(x 1)是函数值的改变量．如图所示，函数y ＝f(x)图象上四点A ，B ，D ，E.1．由Δy ＝f(x 2)－f(x 1)能否判断曲线在A→B 段的陡峭程度？ 【提示】 不能．2．平均变化率f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1能否近似刻画曲线在A→B 段的陡峭程度？为什么？曲线段AB 与曲线段DE 哪段更陡峭？【提示】 能．因为k AB ＝f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1表示A ，B 两点所在直线的斜率，所以可近似地刻画曲线段AB 的陡峭程度．由于k DE ＞k AB ，知曲线段DE 更加陡峭．从平均变化率的定义知，其几何意义是经过曲线y ＝f(x)上两点P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)的直线PQ 的斜率．因此平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”．已知函数f(x)＝x 2＋x ，分别计算f(x)在区间[1，3]，[1，2]，[1，1.5]上的平均变化率．【思路探究】 对于给定的三个区间，分别求函数值的增量Δy 与自变量的增量Δx 的比值ΔyΔx. 【自主解答】 (1)函数f(x)在区间[1，3]上的平均变化率为f （3）－f （1）3－1＝32＋3－（12＋1）2＝5.(2)函数f(x)在区间[1，2]上的平均变化率为 f （2）－f （1）2－1＝22＋2－（12＋1）1＝4.(3)函数f(x)在区间[1，1.5]上的平均变化率为f （1.5）－f （1）1.5－1＝1.52＋1.5－（12＋1）0.5＝3.5.1．本题主要依据平均变化率的意义代入公式直接计算，解题的关键是弄清自变量与函数值的增量．2．求函数y ＝f(x)在区间[x 1，x 2]上的平均变化率的步骤： (1)作差：求Δx ＝x 2－x 1，Δy ＝f(x 2)－f(x 1)； (2)作商：求Δy Δx ，即f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1的值．求函数y ＝5x 2＋6在区间[2，3]上的平均变化率．【解】 函数在区间[2，3]上的平均变化率为f （3）－f （2）3－2＝5×32＋6－5×22－61＝45－20＝25.在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m )与起跳后的时间t(单位：s )存在函数关系h(t)＝－4.9t 2＋6.5t ＋10.(1)求运动员在第一个0.5 s 内高度h 的平均变化率；(2)求高度h 在1≤t≤2这段时间内的平均变化率．【思路探究】 (1)求函数h(t)＝－4.9t 2＋6.5t ＋10在区间[0，0.5]上的平均变化率；(2)求函数h(t)＝－4.9t 2＋6.5t ＋10在区间[1，2]上的平均变化率．【自主解答】 (1)运动员在第一个0.5 s 内高度h 的平均变化率为h （0.5）－h （0）0.5－0＝4.05(m /s )．(2)在1≤t≤2这段时间内，高度h 的平均变化率为h （2）－h （1）2－1＝－8.2(m /s )．1．结合物理知识可知，在第一个0.5 s 内高度h 的平均变化率为正值，表示此时运动员在起跳后处于上升过程；在1≤t≤2这段时间内，高度h 的平均变化率为负值，表示此时运动员已开始向水面下降．事实上平均变化率的值可正、可负也可以是0.2．平均变化率的应用主要有：求某一时间段内的平均速度，物体受热膨胀率，高度(重量)的平均变化率等等．解决这些问题的关键在于找准自变量和因变量．已知某物体运动位移与时间的关系为s(t)＝12gt 2，试分别计算t 从3 s 到3.1 s ，3.001s 各段的平均速度，通过计算你能发现平均速度有什么特点吗？【解】 设物体在区间[3，3.1]，[3，3.001]上的平均速度分别为V 1，V 2， 则ΔS 1＝S(3.1)－S(3)＝12g ×3.12－12g ×32＝0.305g(m )． ∴物体从3 s 到3.1 s 时平均速度V 1＝ΔS 13.1－3＝0.305g 0.1＝3.05g(m /s )，同理V 2＝ΔS 23.001－3＝0.003 000 5g 0.001＝3.000 5g(m /s )．通过计算可以发现，随着时间间隔Δt 的变小，平均速度在向3g m /s 靠近，而3g m /s 为物体做自由落体运动时，t ＝3 s 时的瞬时速度．2012年冬至2013年春，我国北部某省冬麦区遭受严重干旱，根据某市农业部门统计，该市小麦受旱面积如图1－1－1所示，据图回答：图1－1－1(1)2012年11月至2012年12月间，小麦受旱面积变化大吗？(2)哪个时间段内，小麦受旱面积增幅最大？(3)从2012年11月到2013年2月，与从2013年1月到2013年2月间，试比较哪个时间段内，小麦受旱面积增幅较大？【思路探究】利用平均变化率的计算公式及其实际意义进行分析．【自主解答】(1)在2012年11月至2012年12月间，Δs变化不大，即小麦受旱面积变化不大．(2)由图形知，在2013年1月至2013年2月间，平均变化率ΔsΔt较大，故小麦受旱面积增幅最大．(3)在2012年11月至2013年2月间，平均变化率＝s B －s A3， 在2013年1月至2013年2月间，平均变化率＝s B －s C1＝s B －s C ，显然k BC ＞k AB ，即s B －s C ＞s B －s A3，∴在2013年1月至2013年2月间，小麦受旱面积增幅较大．1．本例中的(2)(3)可数形结合，利用平均变化率进行分析，抓住平均变化率的几何意义．2．在实际问题中，平均变化率具有现实意义，应根据问题情境，理解其具体意义．为了检测甲、乙两辆车的刹车性能，分别对两辆车进行了测试，甲车从25 m /s 到0 m /s 花了5 s ，乙车从18 m /s 到0 m /s 花了4 s ，试比较两辆车的刹车性能．【解】 甲车速度的平均变化率为0－255＝－5(m /s 2)，乙车速度的平均变化率为0－184＝－4.5(m /s 2)，平均变化率为负值说明速度在减少，因为刹车后，甲车的速度变化相对较快，所以甲车的刹车性能较好．实际问题中平均变化率意义不明致误甲、乙二人跑步，路程与时间关系以及百米赛跑路程与时间关系分别如图1－1－2中①②所示，试问：图1－1－2(1)甲、乙二人哪一个跑得快？(2)甲、乙二人百米赛跑，问快到终点时，谁跑得较快？【错解】(1)对于图①，设甲、乙两曲线的右端点分别为A，B，显然有k OB＞k OA，故乙的平均变化率大于甲的平均变化率，所以乙比甲跑得快．(2)对于图②，在[0，t0]上，甲、乙的时间、路程相同，平均变化率相等，速度相等，所以两人跑得一样快．【错因分析】在(2)中，题意不明，误求甲、乙在[0，t0]上的平均变化率认为是终点附近的平均速度．【防范措施】(1)在实际问题中，理解平均变化率具有的现实意义；(2)弄清题目的要求，区别平均速度与瞬时速度．【正解】(1)同上面解法．(2)对于图②，在[0，t0]上，甲、乙的平均变化率是相等的，但甲的平均变化率是常数，而乙的变化率逐渐增大，快到终点时，乙的变化率大于甲的变化率，所以，快到终点时，乙跑得较快．1．准确理解平均变化率的意义是求解平均变化率的关键，其实质是函数值增量Δy与自变量取值增量Δx的比值．涉及具体问题，计算Δy很容易出现运算错误，因此，计算时要注意括号的应用，先列式再化简，这是减少错误的有效方法．2．函数的平均变化率在生产生活中有广泛的应用，如平均速度、平均劳动生产率、面积体积变化率等．解决这类问题的关键是能从实际问题中引出数学模型并列出函数关系式，需注意是相对什么量变化的．1．函数y＝2x＋2在[1，2]上的平均变化率是________．【解析】（2×2＋2）－（2×1＋2）2－1＝2.【答案】 22．圆的半径r 从0.1变化到0.3时，圆的面积S 的平均变化率为________． 【解析】 ∵S＝πr 2， ∴ΔS Δr ＝S （0.3）－S （0.1）0.3－0.1＝0.09π－0.01π0.2＝0.4π. 【答案】 0.4π3．如图1－1－3，函数y ＝f(x)在A ，B 两点间的平均变化率是________．图1－1－3【解析】 ∵k AB ＝y A －y B x A －x B ＝3－11－3＝－1，由平均变化率的意义知y ＝f(x)在A ，B 两点间的平均变化率为－1. 【答案】 －14．甲企业用2年时间获利100万元，乙企业投产6个月时间就获利30万元，如何比较和评价甲、乙两企业的生产效益？(设两企业投产前的投资成本都是10万元)【解】 甲企业生产效益的平均变化率为100－1012×2－0＝154.乙企业生产效益的平均变化率为30－106－0＝103.∵154＞103， ∴甲企业的生产效益较好．一、填空题1．函数f(x)＝1x 在[2，6]上的平均变化率为________．【解析】 f （6）－f （2）6－2＝16－126－2＝－112.【答案】 －1122．函数f(x)＝log 2x 在区间[2，4]上的平均变化率是________． 【解析】 函数的平均变化率是f （4）－f （2）4－2＝2－12＝12.【答案】 123．已知某质点的运动规律为s(t)＝5t 2(单位：米)，则在1 s 到3 s 这段时间内，该质点的平均速度为________．【解析】 s （3）－s （1）3－1＝5×32－5×122＝20(m /s )．【答案】 20 m /s4．若函数f(x)＝x 2－c 在区间[1，m]上的平均变化率为3，则m 等于________． 【解析】 由题意得（m 2－c ）－（12－c ）m －1＝3，∴m ＝2(m ＝1舍去)． 【答案】 25．在雨季潮汛期间，某水文观测员观察千岛湖水位的变化，在24 h 内发现水位从102.7m 上涨到105.1 m ，则水位涨幅的平均变化率是________m /h .【解析】105.1－102.724＝0.1(m /h )．【答案】 0.16．服药后，人吸收药物的情况可以用血液中药物的浓度c(单位：mg /mL )来表示，它是时间t(单位：min )的函数，表示为c ＝c(t)，下表给出了c(t)的一些函数值．)． 【解析】c （70）－c （30）70－30＝0.90－0.9840＝－0.002 mg /(mL ·min )． 【答案】 －0.0027．已知某物体运动的速度与时间之间的关系式是v(t)＝t ＋13t 3，则该物体在时间间隔[1，32]内的平均加速度为________．【解析】 平均加速度Δv Δt ＝32＋13·（32）3－（1＋13）32－1＝3112.【答案】3112图1－1－48．如图1－1－4所示，显示甲、乙在时间0到t 1范围内路程的变化情况，下列说法正确的是________．①在0到t 0范围内甲的平均速度大于乙的平均速度； ②在0到t 0范围内甲的平均速度小于乙的平均速度； ③在t 0到t 1范围内甲的平均速度大于乙的平均速度； ④在t 0到t 1范围内甲的平均速度小于乙的平均速度．【解析】 在[0，t 0]内甲、乙的平均速度为s 0t 0，①②错．在[t 0，t 1]上，v 甲＝s 2－s 0t 1－t 0，v乙＝s 1－s 0t 1－t 0. ∵s 2－s 0＞s 1－s 0，且t 1－t 0＞0， ∴v 甲＞v 乙，故③正确，④错误． 【答案】 ③ 二、解答题9．求函数f(x)＝x 2＋1x＋4在区间[1，2]上的平均变化率．【解】 f(x)＝x 2＋1x ＋4在区间[1，2]上的平均变化率为22＋12＋4－（12＋11＋4）2－1＝52.10．假设在生产8到30台机器的情况下，生产x 台机器的成本是c(x)＝x 3－6x 2＋15x(元)，而售出x 台的收入是r(x)＝x 3－3x 2＋12x(元)，则生产并售出10台至20台的过程中平均利润是多少元？【解】 依题意，生产并售出x 台所获得的利润是 L(x)＝r(x)－c(x)＝3x 2－3x(元)， ∴x 取值从10台至20台的平均利润为L （20）－L （10）20－10＝3×202－3×20－（3×102－3×10）10＝87(元)，故所求平均利润为87元．11．(2013·泰安高二检测)巍巍泰山为我国五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图．同样是登山，但是从A 处到B 处会感觉比较轻松，而从B 处到C 处会感觉比较吃力．想想看，为什么？你能用数学语言来量化BC 段曲线的陡峭程度吗？图1－1－5【解】 山路从A 到B 高度的平均变化率为 h AB ＝Δy Δx ＝10－050－0＝15， 山路从B 到C 高度的平均变化率为h BC ＝Δy Δx ＝15－1070－50＝14， ∴h BC >h AB ，∴山路从B 到C 比从A 到B 要陡峭得多．(教师用书独具)已知气球的体积为V(单位：L )与半径r(单位：dm )之间的函数关系是V(r)＝43πr 3.(1)求半径r 关于体积V 的函数r(V)；(2)比较体积V 从0 L 增加到1 L 和从1 L 增加到2 L 半径r 的平均变化率；哪段半径变化较快(精确到0.01)？此结论可说明什么意义？【自主解答】 ∵V＝43πr 3，∴r 3＝3V 4π，r ＝ 33V 4π，即r(V)＝ 33V4π.(2)函数r(V)在区间[0，1]上的平均变化率约为 r （1）－r （0）1－0＝33×14π－01≈0.62(dm /L )，函数r(V)在区间[1，2]上的平均变化率约为r （2）－r （1）2－1＝ 33×24π－ 33×14π≈0.16(dm /L )．显然体积V 从0 L 增加到1 L 时，半径变化快，这说明随着气球体积的增加，气球的半径增加得越来越慢．一块正方形的铁板在0 ℃时，边长为10 cm ，加热铁板会膨胀，当温度为t ℃时，边长变为10(1＋at)cm ，a 为常数，试求0～10 ℃内铁板面积S 的平均变化率．【解】 铁板面积S ＝102(1＋at)2， 在区间[0，10]上，S 的平均变化率为S （10）－S （0）10－0＝102（1＋10a ）2－10210＝200a ＋1 000a 2，即0～10 ℃内铁板面积S 的平均变化率为(200a ＋1 000a 2)cm 2/℃.1．1.2 瞬时变化率——导数(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能了解导数概念的实际背景；理解函数在某点处导数以及在某个区间的导函数的概念；会用定义求瞬时速度和函数在某点处的导数．2．过程与方法用函数的眼光来分析研究物理问题；经历由平均速度与瞬时速度关系类比由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，体会数形结合、特殊到一般、局部到整体的研究问题的方法．3．情感、态度与价值观通过导数概念的形成过程，体会导数的思想及其内涵；激发学生兴趣，在从物理到数学，再用数学解决物理问题的过程中感悟数学的价值．●重点难点重点：函数在某一点处的导数的概念及用导数概念求函数在一点处的导数．难点：从实例中归纳、概括函数瞬时变化率的定量分析过程，及函数在开区间内的导函数的理解．为了突出重点、突破难点，在导数概念的教学中，积极创设问题情境，从学生已有的认知入手，例如物理学中的瞬时速度、曲线割线的斜率等，采用相互讨论、探究规律和引导发现的教学方法，通过不断出现的一个个问题，一步步创设出使学生有兴趣探索知识的“情境”，通过反映导数思想和本质的实例，引导学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，从而更好地理解导数概念．(教师用书独具)●教学建议新课标对“导数及其应用”内容的处理有较大的变化，它不介绍极限的形式化定义及相关知识，而是按照“平均变化率——曲线在某一点处的切线——瞬时速度(加速度)——瞬时变化率——导数的概念”这样的顺序来安排，用“逼近”的方法来定义导数，这种概念建立的方式直观、形象、生动，又易于理解，突出导数概念的形成过程．因此，在教学中采用教师启发诱导与学生动手操作、自主探究、合作交流相结合的教学方式，引导学生动手操作、观察、分析、类比、抽象、概括，并借助excel及几何画板演示，调动学生参与课堂教学的主动性和积极性．●教学流程利用割线逼近切线的方法探究曲线上一点处的切线.⇒通过缩小时间间隔，由平均速度得出瞬时速度.⇒会求瞬时速度和瞬时加速度，完成例1与变式训练.⇒利用瞬时变化率得出导数的概念，会求函数在某点处的导数，完成例2及互动探究.⇒根据导数的几何意义，完成例3及其变式训练.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.1．曲线的切线与曲线只有一个公共点吗？曲线上在某一点处的切线的含义是什么？【提示】 切线与曲线不一定只有一个公共点，如图，曲线C 在点P 处的切线l 与曲线C 还有一个公共点Q.曲线上某一点处的切线，其含义是以该点为切点的切线．2．运动物体在某一时刻的瞬时加速度为0，那么该时刻物体是否一定停止了运动？ 【提示】 不是．瞬时加速度刻画的是速度在某一时刻的变化快慢，瞬时加速度为0，并不是速度为0.1．曲线上一点处的切线设Q 为曲线C 上不同于P 的一点，这时，直线PQ 称为曲线的割线，随着点Q 沿曲线C 向点P 运动，割线PQ 在点P 附近越来越逼近曲线C.当点Q 无限逼近点P 时，直线PQ 最终就成为在点P 处最逼近曲线的直线l ，这条直线l 称为曲线在点P 处的切线．2．瞬时速度、瞬时加速度(1)如果当Δt 无限趋近于0时，运动物体位移S(t)的平均变化率S （t 0＋Δt ）－S （t 0）Δt 无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t ＝t 0时的瞬时速度，即位移对于时间的瞬时变化率．(2)如果当Δt 无限趋近于0时，运动物体速度v(t)的平均变化率v （t 0＋Δt ）－v （t 0）Δt 无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t ＝t 0时的瞬时加速度，即速度对于时间的瞬时变化率．1.导数设函数y ＝f(x)在区间(a ，b)上有定义，x 0∈(a ，b)，若Δx 无限趋近于0时，比值Δy Δx＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx无限趋近于一个常数A ，则称f(x)在x ＝x 0处可导，并称该常数A 为函数f(x)在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)．2．导数的几何意义导数f′(x 0)的几何意义就是曲线y ＝f(x)在点P(x 0，f(x 0))处的切线的斜率，切线PT 的方程是y －f(x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．求瞬时速度、瞬时加速度已知质点M的运动速度与运动时间的关系为v＝3t2＋2(速度单位：cm/s，时间单位：s)，(1)当t＝2，Δt＝0.01时，求ΔvΔt；(2)求质点M在t＝2时的瞬时加速度．【思路探究】【自主解答】ΔvΔt＝v（t＋Δt）－v（t）Δt＝3（t＋Δt）2＋2－（3t2＋2）Δt＝6t＋3Δt.(1)当t＝2，Δt＝0.01时，ΔvΔt＝6×2＋3×0.01＝12.03(cm/s2)．(2)当Δt无限趋近于0时，6t＋3Δt无限趋近于6t，则质点M在t＝2时的瞬时加速度为12 cm/s2.1．求瞬时速度的关键在于正确表示“位移的增量与时间增量的比值”，求瞬时加速度的关键在于正确表示“速度的增量与时间增量的比值”，注意二者的区别．2．求瞬时加速度：(1)求平均加速度ΔvΔt；(2)令Δt →0，求出瞬时加速度．质点M 按规律s(t)＝at 2＋1做直线运动(位移单位：m ，时间单位：s )．若质点M 在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m /s ，求常数a 的值．【解】 ∵Δs ＝s(2＋Δt)－s(2)＝a(2＋Δt)2＋1－a·22－1＝4a Δt ＋a(Δt)2， ∴ΔsΔt＝4a ＋a Δt. 当Δt →0时，ΔsΔt→4a. ∵在t ＝2时，瞬时速度为8 m /s ，∴4a ＝8，∴a ＝2.求函数y ＝f(x)＝x －1x在x ＝1处的导数．【思路探究】求Δy ＝f （1＋Δx ）－f （1）―→求Δy Δx→令Δx →0，求ΔyΔx→A 的值 【自主解答】 ∵Δy ＝(1＋Δx)－11＋Δx －(1－11)＝Δx ＋1－11＋Δx ＝Δx ＋Δx1＋Δx.∴ΔyΔx＝Δx ＋Δx 1＋Δx Δx ＝1＋11＋Δx ，当Δx →0时，ΔyΔx→1＋1＝2. ∴f ′(1)＝2.1．本题是利用定义求f′(1)，解题的关键是求出ΔyΔx并化简，利用定义求解的步骤为：①求函数的增量Δy ＝f(x 0＋Δx)－f(x 0)；②求平均变化率ΔyΔx；③当Δx 无限趋近于0时，确定ΔyΔx的无限趋近值． 2．求f′(x 0)也可先求出导函数f′(x)，再将x ＝x 0代入，即求出f′(x)在点x ＝x 0处的函数值．在例题中，若条件改为f′(x 0)＝54，试求x 0的值．【解】 ∵Δy ＝f(x 0＋Δx)－f(x 0)＝(x 0＋Δx)－1x 0＋Δx －(x 0－1x 0)＝Δx ＋Δxx 0（x 0＋Δx ）∴Δy Δx ＝1＋1x 0（x 0＋Δx ）当Δx →0时，Δy Δx →1＋1x 20. 又f′(x 0)＝54，则1＋1x 20＝54.∴x 0＝±2.已知抛物线y ＝2x 2，求抛物线在点(1，2)处的切线方程．【思路探究】 根据导数的几何意义求出切线的斜率，然后利用点斜式即可写出切线方程．【自主解答】 因为点(1，2)在抛物线上，所以抛物线在点(1，2)处的切线斜率为函数y ＝2x 2在x ＝1处的导数f′(1)．因为Δy Δx ＝f （1＋Δx ）－f （1）Δx ＝2（1＋Δx ）2－2×12Δx＝4＋2Δx ，当Δx 无限趋近于0时，4＋2Δx 无限趋近于4，所以f ′(1)＝4. 所以切线方程为y －2＝4(x －1)，即4x －y －2＝0.1．本题是“给出曲线和切点(x 0，f(x 0))求切线方程”，此时切线的斜率就是f′(x 0)，则该点处的切线方程为y －f(x 0)＝f′(x 0)(x －x 0)．2．若求“过点(x 0，y 0)的切线方程”，此时所给的点有可能不是切点，切线的斜率还用f′(x 0)则可能会出错．此时应先设出切点坐标P(x′0，y ′0)，由已知条件列出切点横坐标的方程，求x′0，然后再求解．曲线y ＝x 3＋11在点P(1，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是________．【解析】 ∵Δy Δx ＝（x 0＋Δx ）3＋11－x 30－11Δx＝3x 0Δx ＋3x 20＋(Δx)2，∴当x 0＝1，Δx →0时，k ＝f′(1)＝3.∴曲线y ＝x 3＋11在点P(1，12)处的切线为y ＝3x ＋9. ∴当x ＝0时，y ＝9.因此所求切线与y 轴交点的纵坐标为9. 【答案】 9对导数定义理解不透彻致误已知f′(1)＝－2，则当Δx →0时，f （1＋2Δx ）－f （1）Δx→________．【错解】 当Δx →0时，f （1＋2Δx ）－f （1）Δx →－2.【答案】 －2【错因分析】 产生错解的原因是对导数定义的理解不透彻，一味地套用公式．本题分子中自变量的增量是2Δx ，即(1＋2Δx)－1＝2Δx ，而错解中分母中的增量为Δx ，二者不是等量的．【防范措施】 在导数定义中，增量Δx 的形式是多种多样的，但无论如何变化，其实质是分子中的自变量的增量与分母中的增量必须保持一致．【正解】f （1＋2Δx ）－f （1）Δx ＝2·f （1＋2Δx ）－f （1）2Δx当Δx →0时，f （1＋2Δx ）－f （1）2Δx →f ′(1)，∴2·f （1＋2Δx ）－f （1）2Δx →2f ′(1)＝2×(－2)＝－4. 【答案】 －41．不管是求切线的斜率、瞬时速度和瞬时加速度，还是求实际问题中的瞬时变化率，它们的解题步骤都是一样的——(1)计算Δy ，(2)求Δy Δx ，(3)看Δx 无限趋近于0时，Δy Δx无限趋近于哪个常数．2．准确理解导数的概念，正确求y ＝f(x)在点x ＝x 0处的导数注意两点：(1)Δy ＝f(x ＋Δx)－f(x)不能误认为Δy ＝f(Δx)；(2)求解时不给出Δx 的具体值，否则求出的是平均变化率，而不是瞬时变化率(导数)．3．求过某点曲线的切线方程的类型及求法．(1)若已知点(x 0，y 0)为切点，则先求出函数y ＝f(x)在点x 0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y －y 0＝f′(x 0)(x －x 0)．(2)若题中所给的点(x 0，y 0)不是切点，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程．因此求曲线的切线方程一定要明确切点的位置，分清楚是“曲线在某点处的切线”还是“过某点的曲线切线”．1．如果质点A 按规律s ＝3t 2运动，则在t ＝3时的瞬时速度为________．【解析】 Δs Δt ＝3（3＋Δt ）2－3×32Δt＝18＋3Δt ，当Δt →0时，ΔsΔt→18＋3×0＝18. ∴质点A 在t ＝3时的瞬时速度为18. 【答案】 182．已知f(x)＝2x ＋5，则f(x)在x ＝2处的导数为________．【解析】 Δy ＝f(2＋Δx)－f(2)＝2(2＋Δx)＋5－(2×2＋5)＝2Δx ， ∴ΔyΔx＝2，∴f ′(2)＝2. 【答案】 23．抛物线y ＝14x 2在点Q(2，1)处的切线方程为______．【解析】 Δy Δx ＝14（2＋Δx ）2－14×22Δx ＝1＋14Δx.当Δx →0时，ΔyΔx→1，即f′(2)＝1， 由导数的几何意义，点Q 处切线斜率k ＝f′(2)＝1. ∴切线方程为y －1＝1(x －2)即y ＝x －1. 【答案】 y ＝x －14．求函数y ＝x 在x ＝1处的导数． 【解】 法一 ∵Δy ＝1＋Δx －1，∴Δy Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1， 当Δx 无限趋近于0时，Δy Δx ＝11＋Δx ＋1无限趋近于12， ∴函数y ＝x 在x ＝1处的导数为12.法二Δy Δx ＝x ＋Δx －x Δx ＝1x ＋Δx ＋x， 当Δx →0时，Δy Δx →12x ，所以y′＝12x. 当x ＝1时，y ′＝12.∴函数y ＝x 在x ＝1处的导数为12.一、填空题1．设函数f(x)在x ＝x 0处可导，当h 无限趋近于0时，对于f （x 0＋h ）－f （x 0）h 的值，以下说法中正确的是________．①与x 0，h 都有关；②仅与x 0有关而与h 无关； ③仅与h 有关而与x 0无关；④与x 0，h 均无关．【解析】 导数是一个局部概念，它只与函数y ＝f(x)在x ＝x 0处及其附近的函数值有关，与h 无关．【答案】 ②2．(2013·徐州高二检测)函数f(x)＝x 2在x ＝3处的导数等于________．【解析】 Δy Δx ＝（3＋Δx ）2－32Δx＝6＋Δx ，令Δx →0，得f′(3)＝6. 【答案】 63．(2013·合肥高二检测)函数y ＝f(x)的图象在点P 处的切线方程是y ＝－2x ＋9，若P 点的横坐标为4，则f(4)＋f′(4)＝________．【解析】 由导数的几何意义，f ′(4)＝－2. 又f(4)＝－2×4＋9＝1. 故f(4)＋f′(4)＝1－2＝－1. 【答案】 －14．已知物体的运动方程为s ＝－12t 2＋8t(t 是时间，s 是位移)，则物体在t ＝2时的速度为________．【解析】 Δs ＝－12(2＋Δt)2＋8(2＋Δt)－(8×2－12×22)＝6Δt －12(Δt)2，则Δs Δt ＝6－12Δt ， 当Δt →0时，ΔsΔt→6. 【答案】 65．曲线f(x)＝x 3在x ＝0处的切线方程为________．【解析】 Δy Δx ＝f （0＋Δx ）－f （0）Δx ＝（Δx ）3－0Δx＝(Δx)2.当Δx →0时，ΔyΔx→0. ∴由导数的几何意义，切线的斜率k ＝f′(0)＝0. 因此所求切线方程为y ＝0. 【答案】 y ＝06．若点(0，1)在曲线f(x)＝x 2＋ax ＋b 上，且f′(0)＝1，则a ＋b ＝________． 【解析】 ∵f(0)＝1，∴b ＝1.又Δy Δx ＝f （0＋Δx ）2－f （0）Δx＝Δx ＋a. ∴当Δx →0时，ΔyΔx→a ，则f′(0)＝a ＝1. 所以a ＋b ＝1＋1＝2. 【答案】 27．高台跳水运动员在t 秒时距水面高度h(t)＝－4.9t 2＋6.5t ＋10(单位：米)，则该运动员的初速度为________米/秒．【解析】 Δh Δt ＝－4.9（Δt ）2＋6.5·（Δt ）＋10－10Δt＝6.5－4.9Δt∵当Δt 无限趋近于0时，－4.9Δt ＋6.5无限趋近于6.5， ∴该运动员的初速度为6.5米/秒． 【答案】 6.58．(2013·泰州高二检测)已知函数f(x)在区间[0，3]上的图象如图1－1－6所示，记k 1＝f′(1)，k 2＝f′(2)，k 3＝f(2)－f(1)，则k 1，k 2，k 3之间的大小关系为________．图1－1－6【解析】 k 1表示曲线在x ＝1处的切线的斜率，k 2表示曲线在x ＝2处的切线的斜率， k 3表示两点(1，f(1))，(2，f(2))连线的斜率， 由图可知：k 1＞k 3＞k 2. 【答案】 k 1＞k 3＞k 2 二、解答题9．已知函数f(x)＝2x 2＋4x ，试求f′(3)． 【解】 Δy ＝f(3＋Δx)－f(3)＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－30＝2(Δx)2＋16Δx ， ∴ΔyΔx＝2Δx ＋16， 当Δx →0时，ΔyΔx→16. 因此f′(3)＝16.10．子弹在枪筒中的运动可以看作匀加速直线运动，运动方程为s ＝12at 2，如果它的加速度是a ＝5×105m /s 2，子弹在枪筒中的运动时间为1.6×10－3s ，求子弹射出枪口时的瞬时速度． 【解】 运动方程为s ＝12at 2.因为Δs ＝12a(t 0＋Δt)2－12at 20＝at 0(Δt)＋12a(Δt)2，所以Δs Δt ＝at 0＋12a(Δt)．所以当Δt →0时，ΔsΔt→at 0. 由题意知，a ＝5×105m /s 2，t 0＝1.6×10－3s ，所以at 0＝8×102＝800(m /s )， 即子弹射出枪口时的瞬时速度为800 m /s . 11．已知曲线y ＝1t －x 上两点P(2，－1)，Q(－1，12)． 求：(1)曲线在点P ，Q 处的切线的斜率； (2)曲线在点P ，Q 处的切线方程． 【解】 将P(2，－1)代入y ＝1t －x ，得t ＝1，∴y ＝11－x ，设f(x)＝11－x， ∵f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx ＝11－（x ＋Δx ）－11－x Δx＝Δx[1－（x ＋Δx ）]（1－x ）Δx＝1（1－x －Δx ）（1－x ），∴当Δx →0时，1（1－x －Δx ）（1－x ）→1（1－x ）2.∴f ′(x)＝1（1－x ）2.(1)由导数的几何意义，知曲线在点P 处的切线斜率f′(2)＝1. 曲线在点Q 处的切线斜率f′(－1)＝14.(2)曲线在点P 处的切线方程为y －(－1)＝x －2，即x －y －3＝0，曲线在点Q 处的切线方程为y －12＝14[x －(－1)]，即x －4y ＋3＝0.(教师用书独具)已知曲线y ＝2x ＋1，问曲线上哪一点处的切线与直线y ＝－2x ＋3垂直，并求切线方程．【自主解答】 设切点坐标为(x 0，y 0)，Δy Δx ＝2x 0＋Δx ＋1－（2x 0＋1）Δx＝2x 0＋Δx －2x 0Δx ＝2[（x 0＋Δx ）2－（x 0）2]Δx （x 0＋Δx ＋x 0）＝2x 0＋Δx ＋x 0.当Δx →0时，2x 0＋Δx ＋x 0→2x 0＋x 0＝1x 0， 又直线y ＝－2x ＋3的斜率为－2， 所以所求切线的斜率为12，故1x 0＝12.所以x 0＝4，y 0＝5，所以切点坐标为(4，5)， 切线方程为y －5＝12(x －4)，即x －2y ＋6＝0.已知曲线y ＝x 2＋1，问是否存在实数a ，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．【解】 设切点为P(t ，t 2＋1)．∵Δy Δx ＝（t ＋Δx ）2＋1－（t 2＋1）Δx＝2t ＋Δx ， 当Δx →0时，ΔyΔx→2t. 由导数的几何意义，在点P(t ，t 2＋1)处切线的斜率k ＝f′(t)＝2t ， ∴切线方程为y －(t 2＋1)＝2t(x －t)， 将(1，a)代入，得a －(t 2＋1)＝2t(1－t)， 即t 2－2t ＋(a －1)＝0， 因为切线有两条，所以Δ＝(－2)2－4(a －1)＞0， 解得a ＜2.故存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线，a的取值范围是(－∞，2)．1．2导数的运算1．2.1 常见函数的导数(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能能够用导数的定义求几个常用函数的导数，会利用它们解决简单的问题．2．过程与方法使学生掌握由定义求导数的三个步骤，推导四种常见函数的导数公式．3．情感、态度与价值观通过本节的学习进一步体会导数与物理知识之间的联系，提高数学的应用意识，注意培养学生归纳类比的能力．●重点难点重点：利用导数公式，求简单函数的导数．难点：对导数公式的理解与记忆．在初等函数的求导公式中，对数函数与指数函数的求导公式比较难记忆，要区分公式的结构特征，找出他们之间的差异去记忆．(教师用书独具)●教学建议导数的定义不仅阐明了导数概念的实质，也给出了利用定义求导数的方法，但是，如果对每一个函数都直接按定义去求它的导数，往往是极为复杂和困难的，甚至是不可能的，因此，我们希望找到一些简单函数的导数(作为我们的基本公式)，借助它们来简化导数的计算过程．因此教材直接给出了基本初等函数的导数公式，使得用定义求导数比较麻烦、计算量很大的问题得以解决，为以后导数的研究带来了方便，同时也将所学的导数和实际应用问题结合起来，使得导数的优越性发挥得淋漓尽致．●教学流程创设情境，回忆导数的概念与导数的求法.⇒利用导数的定义求y＝x n(n＝1，2，3，。

2017－２01８版高中数学第1章导数及其应用１.2.1 常见函数的导数学案苏教版选修2－2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望（2０１7－201８版高中数学第1章导数及其应用 1．２.1 常见函数的导数学案苏教版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈,这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改,如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步,以下为20１7-2018版高中数学第1章导数及其应用１.2.1 常见函数的导数学案苏教版选修2-2的全部内容。

1．2.１常见函数的导数学习目标 1.能利用导数定义,求几个常见函数的导数，领悟求导数算法的基本思想.2.牢记常见函数的导数公式,并能应用公式求基本初等函数的导数。

3。

掌握函数y=a x（a＞0,ａ≠１)与ｙ＝ｌogａｘ（a>0,ａ≠1)的求导公式及应用.知识点一幂函数与一次函数的导数思考1 由导数的几何意义能否确定ｙ=kx+b（k≠0)的导数.思考2 根据x′＝１，(x2）′＝2x,(x－1）′＝-ｘ－２以及(x＼f（1，2）)′＝错误!x－错误!能归纳出幂函数f（x)＝xｎ的导数公式吗？1.（kx+b）′＝ｋ（ｋ，b为常数)，特别地，Ｃ′=0(C为常数)．2．(xα)′＝αｘα－1．知识点二基本初等函数的求导公式思考1 计算过程（cos 错误!)′＝-ｓiｎ错误!＝－错误!正确吗?思考２如何利用(ln x）′推出（log aｘ)′？原函数导函数f(ｘ)＝sin x ｆ′(ｘ)＝_____＿f(x）＝cos ｘf′(x)=______f(x)＝a x（a＞0,且a≠1)f′（x)＝__＿___f(ｘ)=eｘｆ′（x)＝e xf(x)＝log aｘ(a＞0，且a≠1）f(x)=错误!f(x)＝ｌn x f′（ｘ)=错误!类型一基本初等函数求导公式的应用例1 求下列函数的导数:（１）y=错误!；（２）y＝ｓｉｎ(ｘ+错误!）;(3)ｙ=2sin 错误!cｏｓ错误!；（4)ｙ=loｇ12x2－log12x.反思与感悟 (１）基本初等函数的求导公式是解决求函数导数问题的基本工具，适当变形,恰当选择公式，准确套用公式是解决此类问题的关键.(2)不能直接求导的函数,应先对原函数变形化简,然后再求导运算.跟踪训练1 求下列函数的导函数：（1)y＝x错误!；(2)y＝２－x;(3)y＝cos2错误!-ｓｉn2错误!．类型二利用导数公式解决切线有关问题例2 (1)已知Ｐ，Q为抛物线y＝＼ｆ(1,2)x２上两点,点P，Q横坐标分别为4,-２，过Ｐ,Q分别作抛物线的切线，两切线交于点Ａ，则点Ａ的坐标为________.（2)已知两条曲线y=sｉｎx，y=cos x,是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．反思与感悟(1)利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况:①若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数.②若已知点不是切点，则应先设出切点,再借助两点连线的斜率公式进行求解．(2)求过点Ｐ与曲线相切的直线方程的三个步骤：跟踪训练2 已知函数y＝ｋｘ是曲线y＝ln ｘ的一条切线，则ｋ=__＿__＿__.类型三利用导数公式求最值问题例３求抛物线y=ｘ２上的点到直线x-ｙ－2＝０的最短距离．反思与感悟利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点P(x０，y0）处的切线方程,可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与函数图象的切线有关.解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算．跟踪训练３已知直线l: ２x－y＋4=0与抛物线y=x2相交于Ａ、B两点，O是坐标原点,试求与直线l平行的抛物线的切线方程,并在弧AOB上求一点P，使△AＢP的面积最大.１．下列结论:（1）若y=cos x,则y′＝-sｉn x；（2）若y＝错误!，则y′=错误!;(3）若ｆ（x)＝错误!，则f′(3)＝-错误!；（4）若ｙ＝e x,则y′=y。

第一章 导数及其应用[对应学生用书P31]一、导数的概念 1．导数函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有定义，x 0∈(a ，b )，当Δx 无限趋近于0时，比值ΔyΔx＝f x 0＋Δx －f x 0Δx无限趋近于一个常数A ，那么称f (x )在点x ＝x 0处可导，称常数A 为函数f (x )在点x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)．2．导函数假设f (x )对于区间(a ，b )内任一点都可导，那么f ′(x )在各点的导数中随着自变量x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数称为f (x )的导函数．记作f ′(x )．二、导数的几何意义1．f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x 0处切线的斜率，这是导数的几何意义． 2．求切线方程： 常见的类型有两种：一是函数y ＝f (x )“在点x ＝x 0处的切线方程〞，这种类型中(x 0，f (x 0))是曲线上的点，其切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．二是函数y ＝f (x )“过某点的切线方程〞，这种类型中，该点不一定为切点，可先设切点为Q (x 1，y 1)，那么切线方程为y －y 1＝f ′(x 1)(x －x 1)，再由切线过点P (x 0，y 0)得y 0－y 1＝f ′(x 1)(x 0－x 1)，又y 1＝f (x 1)，由上面两个方程可解得x 1，y 1的值，即求出了过点P (x 0，y 0)的切线方程．三、导数的运算1．基本初等函数的导数(1)f (x )＝C ，那么f ′(x )＝0(C 为常数)； (2)f (x )＝x α，那么f ′(x )＝α·xα－1(α为常数)；(3)f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，那么f ′(x )＝a xln a ； (4)f (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1)，那么f ′(x )＝1x ln a； (5)f (x )＝sin x ，那么f ′(x )＝cos x ； (6)f (x )＝cos x ，那么f ′(x )＝－sin x . 2．导数四那么运算法那么(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝f ′x g x －f x g ′x g 2x (g (x )≠0)．四、导数与函数的单调性 利用导数求函数单调区间的步骤： (1)求导数f ′(x )；(2)解不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0； (3)写出单调增区间或减区间．特别注意写单调区间时，区间之间用“和〞或“，〞隔开，绝对不能用“∪〞连接． 五、导数与函数的极值 利用导数求函数极值的步骤： (1)确定函数f (x )的定义域； (2)求方程f ′(x )＝0的根；(3)检验f ′(x )＝0的根的两侧的f ′(x )的符号，假设左正右负，那么f (x )在此根处取得极大值．假设左负右正，那么f (x )在此根处取得极小值，否那么此根不是f (x )的极值点． 六、求函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的最大值、最小值的方法与步骤 (1)求f (x )在(a ，b )内的极值；(2)将(1)求得的极值与f (a )、f (b )相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值．特别地，①当f (x )在[a ，b ]上单调时，其最小值、最大值在区间端点取得；②当f (x )在(a ，b )内只有一个极值点时，假设在这一点处f (x )有极大(或极小)值，那么可以判断f (x )在该点处取得最大(或最小)值，这里(a ，b )也可以是(－∞，＋∞)．七、导数的实际应用利用导数某某际问题的最大(小)值时，应注意的问题：(1)某某际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考查，不符合实际意义的值应舍去．(2)在实际问题中，由f ′(x )＝0常常仅解到一个根，假设能判断函数的最大(小)值在x 的变化区间内部得到，那么这个根处的函数值就是所求的最大(小)值．八．定积分(1)定积分是一个数值．定积分的定义表达的基本思想是：先分后合、化曲为直(以不变代变)．定积分的几何意义是指相应直线、曲线所围曲边梯形的面积．要注意区分⎠⎛a b f (x )d x ，⎠⎛ab|f (x )|d x 及⎪⎪⎪⎪⎠⎛a bf x d x 三者的不同．(2)微积分基本定理是计算定积分的一般方法，关键是求被积函数的原函数．而求被积函数的原函数和求函数的导函数恰好互为逆运算，要注意它们在计算和求解中的不同，避免混淆．⎣⎢⎡⎦⎥⎤对应阶段质量检测一 见8开试卷 一、填空题(本大题共14个小题，每题5分，共70分，把答案填在题中横线上) 1．函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，那么a 的值为________． 解析：∵f (x )＝ax 2＋c ，∴f ′(x )＝2ax ， ∴f ′(1)＝2a ， 又∵f ′(1)＝2，∴a ＝1. 答案：12．曲线y ＝x 3－4x 在点(1，－3)处的切线的倾斜角为________．解析：∵y ′＝3x 2－4，∴当x ＝1时，y ′＝－1，即tan α＝－1. 又∵α∈(0，π)，∴α＝34π.答案：34π3．函数f (x )＝－x 3＋ax 2－x ＋18在(－∞，＋∞)上是单调函数，那么实数a 的取值X 围是________．解析：由题意得f ′(x )＝－3x 2＋2ax －1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立，因此Δ＝4a 2－12≤0⇒－3≤a ≤3，所以实数a 的取值X 围是[－3，3]．答案：[－3，3]4．y ＝2x 3－3x 2＋a 的极大值为6，那么a ＝________. 解析：y ′＝6x 2－6x ＝6x (x －1)， 令y ′＝0，那么x ＝0或x ＝1.当x ＝0时，y ＝a ，当x ＝1时，y ＝a －1. 由题意知a ＝6. 答案：65．函数y ＝sin xx的导数为________．解析：y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x x ′＝x ·sin x ′－x ′·sin xx 2＝x cos x －sin xx 2.答案：x cos x －sin xx 26．假设⎠⎛01(x －k )d x ＝32，那么实数k 的值为________． 解析：⎠⎛01(x －k )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－kx |10＝12－k ＝32，解得k ＝－1. 答案：－17．函数f (x )＝x 2－ln x 的单调递减区间是________． 解析：∵f ′(x )＝2x －1x ＝2x 2－1x.令f ′(x )<0，因为x ∈(0，＋∞)， ∴2x 2－1<0，即0<x <22， ∴函数f (x )＝x 2－ln x 的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 8．函数f (x )＝3x －4x 3在[0,1]上的最大值为________． 解析：f ′(x )＝3－12x 2，令f ′(x )＝0，那么x ＝－12(舍去)或x ＝12，f (0)＝0，f (1)＝－1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝32－12＝1∴f (x )在[0,1]上的最大值为1. 答案：19．(某某高考改编)直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为________．解析：由4x ＝x 3，解得x ＝0或x ＝2或x ＝－2(舍去)，根据定积分的几何意义可知，直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为⎠⎛024x －x 3d x ＝⎝⎛⎭⎪⎫2x 2－14x 4|20＝4.答案：410．假设f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3x≥0，－x x<0，那么⎠⎛1－1f(x)d x ＝________. 解析：因为⎠⎛1－1f(x)d x ＝⎠⎛0－1(－x)d x ＋⎠⎛10(x 2＋3)d x.因为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x 2′＝－x ，⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋3x ′＝x 2＋3，所以⎠⎛1－1f(x)d x ＝－12x 2|0－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋3x |10＝236. 答案：23611．设曲线y ＝xn ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n ＝lg x n ，那么a 1＋a 2＋…＋a 99＝________.解析：由于y ′| x ＝1＝n ＋1，∴曲线在点(1,1)处的切线为y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y＝0，得x ＝x n ＝nn ＋1，∴a n ＝lgnn ＋1，∴原式＝lg 12＋lg 23＋…＋lg 99100＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×23×…×99100＝lg 1100＝－2.答案：－212．假设函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，那么实数k 的取值X 围是________．解析：∵f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x ，x >0，∴当0<x <12时，f ′(x )<0，f (x )为减函数，当x >12时，f ′(x )>0，f (x )为增函数，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧0≤k －1<12，12<k ＋1，k －1<k ＋1.∴1≤k <32.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，3213．周长为20 cm 的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，那么圆柱体积的最大值为________． 解析：设矩形一边长为x cm ，那么邻边长为(10－x )cm ； 体积V ＝πx 2(10－x )＝π(10x 2－x 3)， 由V ′＝π(20x －3x 2)＝0得x ＝0(舍去)，x ＝203可以判断x ＝203时，V max ＝4 00027π(cm 3)．答案：4 00027π cm 314．f (x )定义域为(0，＋∞)，f ′(x )为f (x )的导函数，且满足f (x )＜－xf ′(x )，那么不等式f (x ＋1)＞(x －1)·f (x 2－1)的解集是________．解析：令g (x )＝x ·f (x ) 那么g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )＜0. ∴g (x )在(0，＋∞)上为减函数． 又∵f (x ＋1)＞(x －1)f (x 2－1)， ∴(x ＋1)f (x ＋1)＞(x 2－1)f (x 2－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，x 2－1＞0，x ＋1＜x 2－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＞－1，x ＜－1或x ＞1，x ＜－1或x ＞2.∴x ＞2.答案：{x |x ＞2}二、解答题(本大题共6个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题总分值14分)函数f (x )＝ax 2－43ax ＋b ，f (1)＝2，f ′(1)＝1.(1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在(1,2)处的切线方程． 解：(1)f ′(x )＝2ax －43a ，由得⎩⎪⎨⎪⎧f ′1＝2a －43a ＝1，f 1＝a －43a ＋b ＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝52.所以f (x )＝32x 2－2x ＋52.(2)函数f (x )在(1,2)处的切线方程为y －2＝x －1， 即x －y ＋1＝0.16．(本小题总分值14分)求以下定积分．(1)⎠⎛1－2(1－t 3)d t ； (2)⎠⎛0－π(cos x ＋e x)d x ； (3)⎠⎛42x 3－3x 2＋5x2d x . 解：(1)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫t －14t 4′＝1－t 3，∴⎠⎛1－2(1－t 3)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －14t 4|1－2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14－(－2－4)＝34. (2)∵(sin x ＋e x )′＝cos x ＋e x， ∴⎠⎛0－π(cos x ＋e x )d x ＝(sin x ＋e x )|0－π ＝1－e－π＝1－1eπ.(3)⎠⎛42x 3－3x 2＋5x2d x ＝⎠⎛42⎝⎛⎭⎪⎫x －3＋5x 2d x 取F (x )＝12x 2－3x －5x ，那么F ′(x )＝x －3＋5x2，⎠⎛42x 3－3x 2＋5x2d x ＝F (4)－F (2) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×42－3×4－54－⎝ ⎛⎭⎪⎫12×22－3×2－52＝54. 17．(本小题总分值14分)x ＝1是函数f (x )＝13ax 3－32x 2＋(a ＋1)x ＋5的一个极值点．(1)求函数f (x )的解析式；(2)假设曲线y ＝f (x )与直线y ＝2x ＋m 有三个交点，某某数m 的取值X 围． 解：(1)依题意f ′(x )＝ax 2－3x ＋a ＋1， 由f ′(1)＝0得a ＝1，∴函数f (x )的解析式为f (x )＝13x 3－32x 2＋2x ＋5.(2)曲线y ＝f (x )与直线y ＝2x ＋m 有三个交点， 即13x 3－32x 2＋2x ＋5－2x －m ＝0有三个实数根， 令g (x )＝13x 3－32x 2＋2x ＋5－2x －m ＝13x 3－32x 2＋5－m ，那么g (x )有三个零点．由g ′(x )＝x 2－3x ＝0得x ＝0或x ＝3.令g ′(x )>0得x <0或x >3；令g ′(x )<0得0<x <3.∴函数g (x )在(－∞，0)上为增函数，在(0,3)上为减函数，在(3，＋∞)上为增函数． ∴函数在x ＝0处取得极大值，在x ＝3处取得极小值．要使g (x )有三个零点，只需⎩⎪⎨⎪⎧g0>0，g 3<0，解得12<m <5.∴实数m 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5. 18．(本小题总分值16分)函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝－x 2＋ax －2(e≈2.71，a ∈R )． (1)判断曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与曲线y ＝g (x )的公共点个数；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 时，假设函数y ＝f (x )－g (x )有两个零点，求a 的取值X 围． 解：(1)f ′(x )＝ln x ＋1，所以斜率k ＝f ′(1)＝1. 又f (1)＝0，曲线在点(1,0)处的切线方程为y ＝x －1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2＋ax －2y ＝x －1⇒x 2＋(1－a )x ＋1＝0.由Δ＝(1－a )2－4＝a 2－2a －3可知：当Δ＞0时，即a ＜－1或a ＞3时，有两个公共点； 当Δ＝0时，即a ＝－1或a ＝3时，有一个公共点； 当Δ＜0时，即－1＜a ＜3时，没有公共点． (2)y ＝f (x )－g (x )＝x 2－ax ＋2＋x ln x ， 由y ＝0得a ＝x ＋2x＋ln x .令h (x )＝x ＋2x＋ln x ，那么h ′(x )＝x －1x ＋2x2.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e ，由h ′(x )＝0得x ＝1. 所以h (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，1上单调递减，在[1，e]上单调递增， 故h min (x )＝h (1)＝3.由h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝1e＋2e －1，h (e)＝e ＋2e ＋1，比较可知h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＞h (e)．所以，当3＜a ≤e＋2e＋1时，函数y ＝f (x )－g (x )有两个零点．19．(此题总分值16分)某公司将进货单价为a 元(a 为常数，3≤a ≤6)一件的商品按x 元(7≤x ≤10)一件销售，一个月的销售量为(12－x )2万件．(1)求该公司经销此种商品一个月的利润L (x )(万元)与每件商品的售价x (元)的函数关系式；(2)当每件商品的售价为多少元时，L (x )取得最大值？并求L (x )的最大值． 解：(1)L (x )＝(x －a )(12－x )2(7≤x ≤10)．(2)L ′(x )＝(12－x )2＋(x －a )(2x －24)＝(12－x )(12＋2a －3x )． 令L ′(x )＝0得x ＝2a ＋123或x ＝12.由a ∈[3,6]得2a ＋123∈[6,8]．当2a ＋123∈[6,7]，即3≤a ≤92时， L (x )在[7,10]上是减函数， L (x )的最大值为L (7)＝25(7－a )；当2a ＋123∈(7,8]，即92<a ≤6时， L (x )在⎝⎛⎭⎪⎫7，2a ＋123上是增函数，在[2a ＋123，10]上是减函数． L (x )的最大值为L ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋123＝412－a 327综上可知，假设3≤a ≤92，那么当x ＝7时， L (x )取得最大值，最大值是25(7－a )；假设92<a ≤6，那么当x ＝2a ＋123时，L (x )取得最大值，最大值是412－a 327. 20．(本小题总分值16分)(某某高考)设函数f (x )＝a ln x ＋x －1x ＋1，其中a 为常数． (1)假设 a ＝0，求曲线y ＝f (x )在点 (1，f (1))处的切线方程；(2)讨论函数f (x )的单调性．解：(1)由题意知a ＝0时，f (x )＝x －1x ＋1，x ∈(0，＋∞)． 此时f ′(x )＝2x ＋12.可得f ′(1)＝12，又f (1)＝0， 所以曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程为x －2y －1＝0.(2)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝a x ＋2x ＋12＝ax 2＋2a ＋2x ＋a x x ＋12. 当a ≥0时，f ′(x )＞0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．当a ＜0时，令g (x )＝ax 2＋(2a ＋2)x ＋a ，由于Δ＝(2a ＋2)2－4a 2＝4(2a ＋1)，①当a ＝－12时，Δ＝0，f ′(x )＝－12x －12x x ＋12≤0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减．②当a ＜－12时，Δ＜0，g (x )＜0， f ′(x )＜0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减．③当－12＜a ＜0，Δ＞0. 设x 1，x 2(x 1＜x 2)是函数g (x )的两个零点，那么x 1＝－a ＋1＋2a ＋1a ，x 2＝－a ＋1－2a ＋1a. 由x 1＝a ＋1－2a ＋1－a ＝a 2＋2a ＋1－2a ＋1－a＞0， 所以x ∈(0，x 1)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减， x ∈(x 1，x 2)时，g (x )＞0，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增， x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减， 综上可得：当a ≥0时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ≤－12时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减； 当－12＜a ＜0时，f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，－a ＋1＋2a ＋1a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋1－2a ＋1a ，＋∞上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋1＋2a ＋1a ，－a ＋1－2a ＋1a 上单调递增．。

江苏省徐州市高中数学第一章导数及其应用1.3.1 导数在研究函数中的应用—单调性（2）教案苏教版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（江苏省徐州市高中数学第一章导数及其应用1.3.1 导数在研究函数中的应用—单调性（2）教案苏教版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为江苏省徐州市高中数学第一章导数及其应用1.3.1 导数在研究函数中的应用—单调性（2）教案苏教版选修2-2的全部内容。

导数在研究函数中的应用——单调性教学目标1. 通过实例，借助函数图象直观探索并了解函数的单调性与导数的关系，体会数形结合思想,培养合情推理的能力；2. 通过实例的解决初步熟悉应用导数解决单调性问题的步骤，感受数形结合思想的重要性；3. 通过初等方法与导数方法在研究函数性质过程中的比较，体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性，同时感受和体会数学自身发展的一般规律。

教学重点、难点探究函数的单调性与其导数的关系,深化对单调性的理解。

教学方法与教学手段探究发现式教学法、多媒体辅助教学.教学过程导数作为函数的变化率刻画了函数变化的趋势（上升或下降的陡峭程度)，而函数的单调性也是对函数变化趋势的一种刻画，那么,导数与函数的单调性有什么联系呢?一、情景引入高山有起有伏，运动员的运动轨迹有上升，有下降，在我们的数学中函数的哪种性质也刻画了这种上升、下降的变化趋势?通过高山滑雪的精彩场景,引导学生联想雪山的上升（下降）同函数单调性的关联.回顾必修1对函数单调性的定义。

以函数的单调性与导数两条主线的交汇切入，通过问题串的形式，让学生充分探究，启发学生发现在给定区间导数值的正负与函数的单调性的联系，并给出结论.二、学生活动与师生互动问题1该函数为定义域上的增函数，还是减函数?问题2 该曲线上的任意一点处的切线斜率是正,还是负？问题3 该曲线上的任意一点处的导数值是正,还是负？问题4 结合以上两组探究,在给定区间导数值的正负与函数的单调性有什么联系?（引导学生讨论并写出自己的结论)三、建构数学 对于函数()y f x =，如果在某区间上0)('>x f ，那么()f x 为该区间上的增函数；如果在某区间上'()0f x <，那么()f x 为该区间上的减函数.(上述结论是否具有一般性呢？ )四、数学运用运用1例1 确定函数34)(2+-=x x x f 在哪个区间上是增函数，在哪个区间上是减函数. 解 42)(/-=x x f ,令0)(/>x f ，解得2>x 。

江苏省徐州市高中数学第一章导数及其应用1.3.1 导数在研究函数中的应用—单调性（1）教案苏教版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（江苏省徐州市高中数学第一章导数及其应用1.3.1 导数在研究函数中的应用—单调性（1）教案苏教版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为江苏省徐州市高中数学第一章导数及其应用1.3.1 导数在研究函数中的应用—单调性（1）教案苏教版选修2-2的全部内容。

导数在研究函数中的应用—-单调性1。

教学目标：（1）通过实例，借助几何直观探索并了解函数单调性与导数的关系；（2）会利用导数判断简单函数的单调区间。

2.教学重点、难点：探索并了解函数单调性与导数的关系3.教学方法与教学手段：启发与探究教学相结合4.教学过程:一、问题情境：同学们，为了研究函数的变化趋势，我们引进了导数。

那么,导数对于我们研究函数的变化趋势到底有没有作用？作用有多大呢？带着这个问题，让我们开启今天的知识之旅吧!二、知识建构：学生活动（一）—-初步判断问题1：什么叫导数？问题2：1）函数的变化趋势怎么体现？2）单调性定义是怎样的？问题3：请对比一下导数和单调性定义,你有何猜想？学生讨论得：学生活动（二）-—数学实验1。

请你以一个熟悉的函数为例，画出函数草图，探究该函数在单调区间上的导数符号与其单调性的关系.函数 图像 增区间 增区间上导数符号 减区间减区间上导数符号（投影呈现学生的实验数据）参考实验数据，对猜想的真假进行判断，并获得如下结论：2.从图形上直观理解上述结论。

（动画演示）0)('x f 0)(<'x f y y 结论：在区间I 上:若0)(>'x f ，则)(x f 为I 上的增函数； 若0)(<'x f ，则)(x f 为I 上的减函数. 反之，不成立。

1.3.1 单调性单调区间.导数与函数的单调性的关系 (1)一般地，我们有下面的结论：对于函数y ＝f (x )，如果在某区间上______，那么f (x )为该区间上的________；如果在某区间上______，那么f (x )为该区间上的______．(2)上述结论可以用下图直观表示．预习交流1做一做：在区间(a ，b )内，f ′(x )＞0是f (x )在(a ，b )上为单调增函数的__________条件．(填序号)①充分不必要 ②必要不充分 ③充要 ④既不充分又不必要 预习交流2做一做：函数f (x )＝1＋x －sin x 在(0,2π)上是__________函数．(填“增”或“减”) 预习交流3做一做：函数f (x )＝x 3＋ax －2在区间(1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是______．预习导引(1)f ′(x )＞0 增函数 f ′(x )＜0 减函数预习交流1：提示：当f ′(x )＞0时，f (x )在(a ，b )上一定是增函数，当f (x )在(a ，b )上单调递增时，不一定有f ′(x )＞0.如f (x )＝x 3在区间(－∞，＋∞)上单调递增，f ′(x )≥0.故填①.预习交流2：提示：∵x ∈(0,2π)，∴f ′(x )＝(1＋x －sin x )′＝1－cos x ＞0， ∴f (x )在(0,2π)上为增函数．故填增．预习交流3：提示：f ′(x )＝3x 2＋a ，∵f (x )在区间(1，＋∞)上是增函数，∴f ′(x )＝3x 2＋a 在(1，＋∞)上恒大于或等于0，即3x 2＋a ≥0，a ≥－3x 2恒成立，∴a ≥－3.一、判断或证明函数的单调性证明函数f (x )＝sin x x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减． 思路分析：要证f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，只需证明f ′(x )＜0在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上恒成立即可．1．讨论下列函数的单调性：(1)y ＝ax 5－1(a ＞0)；(2)y ＝a x －a －x(a ＞0，且a ≠1)．2．证明函数f (x )＝e x ＋e －x在[0，＋∞)上是增函数．利用导数判断或证明函数的单调性时，一般是先确定函数定义域，再求导数，然后判断导数在给定区间上的符号，从而确定函数的单调性．如果解析式中含有参数，应进行分类讨论．二、求函数的单调区间求下列函数的单调区间：(1)y ＝12x 2－ln x ；(2)y ＝x 3－2x 2＋x ；(3)y ＝12x ＋sin x ，x ∈(0，π)．思路分析：先求函数的定义域，再求f ′(x )，解不等式f ′(x )＞0或f ′(x )＜0，从而得出单调区间．1．函数f (x )＝5x 2－2x 的单调增区间是__________．2．求函数f (x )＝3x 2－2ln x 的单调区间．1.利用导数求函数f (x )的单调区间，实质上是转化为解不等式f ′(x )＞0或f ′(x )＜0，不等式的解集就是函数的单调区间．2．利用导数求单调区间时，要特别注意不能忽视函数的定义域，在解不等式f ′(x )＞0[或f ′(x )＜0]时，要在函数定义域的前提之下求解．3．如果函数的单调区间不止一个时，要用“和”、“及”等词连接，不能用并集“∪”连接．三、利用函数的单调性求参数的取值范围若函数f (x )＝13x 3－12ax 2＋(a －1)x ＋1，在区间(1,4)上为减函数，在区间(6，＋∞)上为增函数，试求实数a 的取值范围．思路分析：先求出f (x )的导数，由f ′(x )在给定区间上的符号确定a 的取值范围，要注意对a －1是否大于等于1进行分类讨论．1．若函数f (x )＝x 2－a x 在(1，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是__________． 2．已知向量a ＝(x 2，x ＋1)，b ＝(1－x ，t )，若函数f (x )＝a ·b 在(－1,1)上是增函数，求t 的取值范围．1.已知函数的单调性求参数的范围，这是一种非常重要的题型．在某个区间上，f ′(x )＞0(或f ′(x )＜0)，f (x )在这个区间上单调递增(递减)；但由f (x )在这个区间上单调递增(递减)而仅仅得到f ′(x )＞0(或f ′(x )＜0)是不够的，即还有可能f ′(x )＝0也能使得f (x )在这个区间上单调，因而对于能否取到等号的问题需要单独验证．2．一般地，若f (x )在区间I 上单调递增(递减)，可转化为f ′(x )≥0(≤0)在I 上恒成立，进而可求得参数的取值范围．1．函数f (x )＝x 3＋x 2－x 的单调递减区间是__________．2．函数f (x )＝(x －3)e x的单调递增区间是__________．3．如下图所示是函数f (x )的导函数f ′(x )的图象，则下列判断中正确的是__________(填序号)．①f (x )在(－3,1)上单调递增 ②f (x )在(1,3)上单调递减 ③f (x )在(2,4)上单调递减 ④f (x )在(3，＋∞)上单调递增4．若函数f (x )＝x 3＋ax ＋5的单调递减区间是(－2,2)，则实数a 的值为________．5．已知函数f (x )＝2ax －x 3，x ∈(0,1]，a ＞0，若f (x )在(0,1]上是增函数，则a 的取值范围为________．活动与探究1：证明：∵f (x )＝sin xx，∴f ′(x )＝(sin x )′x －sin x ·(x )′x 2＝x cos x －sin xx 2，由于x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos x ＜0，sin x ＞0， 因此x cos x －sin x ＜0，故f ′(x )＜0，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减． 迁移与应用：1．解：(1)∵y ′＝5ax 4，且a ＞0， ∴y ′≥0在R 上恒成立．∴y ＝ax 5－1在R 上是增函数．(2)y ′＝a x ln a －a －x ln a ·(－x )′＝(a x ＋a －x)ln a .当a ＞1时，ln a ＞0，a x ＋a －x＞0， ∴y ′＞0在R 上恒成立．此时函数y ＝ax －a －x 在R 上是增函数．当0＜a ＜1时，ln a ＜0，a x ＋a －x＞0， ∴y ′＜0在R 上恒成立．此时函数y ＝a x －a －x在R 上是减函数．2．证明：f ′(x )＝(e x)′＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ′＝e x＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e x ＝e x －e －x ＝(e x )2－1e x. ∵当x ∈[0，＋∞)时e x≥1， ∴f ′(x )≥0，∴f (x )＝e x ＋e －x在[0，＋∞)上为增函数．活动与探究2：解：(1)函数的定义域为(0，＋∞)．∵y ＝12x 2－ln x ，∴y ′＝x －1x＝x 2－1x.①令y ′＞0，即x 2－1x ＞0.又∵x ＞0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1>0，x >0，∴x ＞1.②令y ′＜0，即x 2－1x ＜0，又∵x ＞0，∴x 2－1＜0，∴0＜x ＜1.∴函数y ＝f (x )的增区间为(1，＋∞)，减区间为(0,1)．(2)∵y ＝x 3－2x 2＋x ，∴y ′＝3x 2－4x ＋1，定义域为R .①令3x 2－4x ＋1＞0，得x ＞1或x ＜13.②令3x 2－4x ＋1＜0，得13＜x ＜1.∴函数y ＝x 3－2x 2＋x 的增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13和(1，＋∞)，减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1.(3)∵y ＝12x ＋sin x ，∴y ′＝12＋cos x .①令y ′＞0，得cos x ＞－12.又∵x ∈(0，π)，∴0＜x ＜2π3.②令y ′＜0，得cos x ＜－12.又∵x ∈(0，π)，∴2π3＜x ＜π.∴函数y ＝12x ＋sin x 的增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3，减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，π.迁移与应用：1．⎝ ⎛⎭⎪⎫15，＋∞ 解析：f ′(x )＝10x －2，由f ′(x )＞0，得x ＞15. 2．解：函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝6x －2x ＝2·3x 2－1x.令f ′(x )＝0，得x 1＝33，x 2＝－33，其中x 2不在定义域内．用x 1分割定义域，得下表活动与探究3：解：∵f ′(x )＝x 2－ax ＋a －1， 令f ′(x )＝0，解得x ＝1或x ＝a －1.当a －1≤1，即a ≤2时，函数f (x )在(1，＋∞)上为增函数，不符合题意．当a －1＞1，即a ＞2时，函数f (x )在(－∞，1)上为增函数，在(1，a －1)内为减函数，在(a －1，＋∞)上为增函数．依题意知，当x ∈(1,4)时，f ′(x )＜0，当x ∈(6，＋∞)时，f ′(x )＞0. ∴4≤a －1≤6，即5≤a ≤7. ∴a 的取值范围是[5,7]． 迁移与应用：1．[－2，＋∞) 解析：f ′(x )＝2x ＋a x 2，令f ′(x )≥0，即2x ＋a x2≥0，a ≥－2x 3，由于g (x )＝－2x 3在(1，＋∞)上满足g (x )＜g (1)＝－2，∴要使a ≥－2x 3在(1，＋∞)上恒成立，应有a ≥－2.2．解：由题意得f (x )＝x 2(1－x )＋t (x ＋1)＝－x 3＋x 2＋tx ＋t ，则f ′(x )＝－3x 2＋2x ＋t .若f (x )在(－1,1)上是增函数，则在(－1,1)上f ′(x )≥0. ∵f ′(x )的图象是开口向下的抛物线， ∴当且仅当f ′(1)＝t －1≥0，且f ′(－1)＝t －5≥0时，f ′(x )在(－1,1)上满足f ′(x )＞0，即f (x )在(－1,1)上是增函数．故t 的取值范围是t ≥5. 当堂检测1．⎝⎛⎭⎪⎫－1，13 解析：f ′(x )＝3x 2＋2x －1，令3x 2＋2x －1＜0解得－1＜x ＜13，故函数的单调递减区间是⎝⎛⎭⎪⎫－1，13. 2．(2，＋∞) 解析：f ′(x )＝(x －3)′e x ＋(x －3)(e x )′＝(x －2)e x. 令f ′(x )＞0，解得x ＞2.3．③ 解析：由f (x )的增减性与f ′(x )的正负之间的关系进行判断，当x ∈(2,4)时，f ′(x )＜0， 故f (x )在(2,4)上单调递减． 故③正确．①②④判断均错．4．－12 解析：f ′(x )＝3x 2＋a ，依题意3x 2＋a ＜0的解集为(－2,2)，故a ＝－12.5．a ≥32 解析：依题意f ′(x )＝－3x 2＋2a ≥0在(0,1]上恒成立，即a ≥32x 2，而g (x )＝32x 2在(0,1]上的最大值为32，故a ≥32.。

【关键字】数学1.3.1单调性明目标、知重点1．结合实例，探索并掌握函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式.3.会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．导数与函数单调性的关系(1)在区间(a，b)内，由导数的正、负判断函数的单调性导数函数的单调性f′(x)>0单调递增f′(x)<0单调递减f′(x)＝0常数函数(2)在区间(a，b)函数的单调性导数单调递增f′(x) ≥0单调递减f′(x)≤0常数函数f′(x)＝0[情境导学]以前，我们用定义来判断函数的单调性，在假设x1<x2的前提下，比较f(x1)与f(x2)的大小．但在函数y＝f(x)比较复杂的情况下，比较f(x1)与f(x2)的大小并不容易．如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单．本节我们就来研究这个问题．探究点一函数的单调性与导函数正负的关系思考1 观察高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10的图象，及运动员的速度v随时间t变化的函数v(t)＝h′(t)＝－9.8t＋6.5的图象，思考运动员从起跳到最高点，从最高点到入水的运动状态有什么区别．答(1)从起跳到最高点，h随t的增加而增加，即h(t)是增函数，h′(t)>0；(2)从最高点到入水，h随t的增加而减小，即h(t)是减函数，h′(t)<0.思考2 观察下面四个函数的图象，回答函数的单调性与其导函数的正负有何关系？答(1)在区间(－∞，＋∞)内，y′＝1>0，y是增函数；(2)在区间(－∞，0)内，y′＝2x<0，y是减函数；在区间(0，＋∞)内，y′＝2x>0，y是增函数；(3)在区间(－∞，＋∞)内，y′＝3x2≥0，y是增函数；(4)在区间(－∞，0)，(0，＋∞)内，y′＝－<0，y是减函数．小结一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递加；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．思考3 若函数f(x)在区间(a，b)内单调递加，那么f′(x)一定大于零吗？答不一定．由思考2中(3)知f′(x)≥0恒成立．思考4 (1)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么如何表示这些区间？试写出思考2中(4)的单调区间．(2)函数的单调区间与其定义域满足什么关系？答(1)不能用“∪”连结，只能用“，”或“和”字隔开．思考2中(4)的单调递减区间为(－∞，0)，(0，＋∞)．(2)函数的单调性是对函数定义域内的某个子区间而言的，故单调区间是定义域的子集．例1 已知导函数f′(x)的下列信息：当1<x<4时，f′(x)>0；当x>4，或x<1时，f′(x)<0；当x＝4，或x＝1时，f′(x)＝0.试画出函数f(x)图象的大致形状．解当1<x<4时，f′(x)>0，可知f(x)在此区间内单调递加；当x>4，或x<1时，f′(x)<0，可知f(x)在这两个区间内单调递减；当x＝4，或x＝1时，f′(x)＝0，这两点比较特殊，我们称它们为“临界点”．综上，函数f(x)图象的大致形状如图所示．反思与感悟 本题具有一定的开放性，图象不唯一，只要能抓住问题的本质，即在相应区间上的单调性符合题意就可以了．跟踪训练1 函数y ＝f(x)的图象如图所示，试画出导函数f ′(x)图象的大致形状．解 f ′(x)图象的大致形状如下图：注：图象形状不唯一． 例 2 求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝2x3＋3x2－36x ＋1； (2)f(x)＝sin x －x(0<x<π)； (3)f(x)＝3x2－2ln x ； (4)f (x )＝3tx －x 3.解 (1)f ′(x )＝6x 2＋6x －36. 由f ′(x )>0解得x <－3，或x >2， 由f ′(x )<0解得－3<x <2，故函数f (x )的单调递增区间是(－∞，－3)，(2，＋∞)； 单调递减区间是(－3,2)． (2)f ′(x )＝cos x －1≤0恒成立，故函数f (x )的单调递减区间为(0，π)，无单调递增区间． (3)函数的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝6x －2x ＝2·3x 2－1x .令f ′(x )>0，即2·3x 2－1x >0，解得－33<x <0或x >33. 又∵x >0，∴x >33. 令f ′(x )<0，即2·3x 2－1x <0，解得x <－33或0<x <33.又∵x >0，∴0<x <33. ∴函数f (x )的单调递增区间为(33，＋∞)， 单调递减区间为(0，33)． (4)f ′(x )＝3t －3x 2.令f ′(x )≥0时，得3t －3x 2≥0，即t ≥x 2， ∴当t ≤0时，无解；当t >0时，函数f (x )的单调递增区间是[－t ，t ]． 令f ′(x )≤0时，得3t －3x 2≤0，即t ≤x 2， 当t ≤0时，f ′(x )≤0恒成立，函数f (x )的单调递减区间是(－∞，＋∞)；当t >0时，函数f (x )的单调递减区间是(－∞，－t ]，[t ，＋∞)．综上所述，当t ≤0时，函数f (x )的单调减区间是(－∞，＋∞)，无单调增区间；当t >0时，函数f (x )的单调增区间是[－t ，t ]，单调减区间是(－∞，－t ]，[t ，＋∞)． 反思与感悟 求函数的单调区间的具体步骤：(1)优先确定f (x )的定义域；(2)计算导数f ′(x )；(3)解f ′(x )>0和f ′(x )<0；(4)定义域内满足f ′(x )>0的区间为增区间，定义域内满足f ′(x )<0的区间为减区间． 跟踪训练2 求下列函数的单调区间： (1)f (x )＝x 2－ln x ；(2)f (x )＝x 3－x 2－x . 解 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)． f ′(x )＝2x －1x ＝(2x －1)(2x ＋1)x .由f ′(x )>0得－22<x <0或x >22， 又∵x >0，∴x >22， ∴函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫22，＋∞；由f ′(x )<0得x <－22或0<x <22， 又∵x >0，∴0<x <22， ∴函数f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫0，22. (2)f ′(x )＝3x 2－2x －1 ＝(3x ＋1)(x －1)．由f ′(x )>0得x <－13或x >1；由f ′(x )<0得－13<x <1，故函数f (x )的单调递增区间为(－∞，－13)和(1，＋∞)，单调递减区间为(－13，1)．探究点二 函数的变化快慢与导数的关系思考 我们知道导数的符号反映函数y ＝f (x )的增减情况，怎样反映函数y ＝f (x )增减的快慢呢？能否从导数的角度解释变化的快慢呢？答 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图象就“平缓”一些．如图所示，函数y ＝f (x )在(0，b )或(a,0)内的图象“陡峭”，在(b ，＋∞)或(－∞，a )内的图象“平缓”．例3 如图，水以恒速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h 与时间t 的函数关系图象．解 (1)→B ，(2)→A ，(3)→D ，(4)→C.反思与感悟 通过函数图象，不仅可以看出函数的增减，还可以看出函数增减的快慢．从导数的角度研究了函数的单调性及增减快慢后，我们就能根据函数图象大致画出导函数的图象，反之亦可行．跟踪训练3 已知f ′(x )是f (x )的导函数，f ′(x )的图象如图所示，则f (x )的图象只可能是________．(填图象对应的序号)答案 ④解析 从f ′(x )的图象可以看出，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a ＋b 2内，导数递增；在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，b 内，导数递减．即函数f (x )的图象在⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a ＋b 2内越来越陡，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，b 内越来越平缓．所以④比较符合．1．f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，若y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是________．(填图象对应的序号)答案 ④解析 由导函数的图象可知，当x <0时，f ′(x )>0，即函数f (x )为增函数；当0<x <2时，f ′(x )<0，即f (x )为减函数；当x >2时，f ′(x )>0，即函数f (x )为增函数．观察选项易知④正确． 2．函数f (x )＝ln x －ax (a >0)的单调增区间为________． 答案 ⎝⎛⎭⎫0，1a 解析 f (x )的定义域为{x |x >0}， 由f ′(x )＝1x －a >0，得0<x <1a.3．函数f (x )＝ln(x 2－x －2)的单调递减区间为________． 答案 (－∞，－1)解析 f ′(x )＝2x －1x 2－x －2，令f ′(x )<0得x <－1或12<x <2，注意到函数定义域为(－∞，－1)∪(2，＋∞)，故单调递减区间为(－∞，－1)．4．函数y ＝x 2－4x ＋a 的单调递增区间为________，单调递减区间为________． 答案 (2，＋∞) (－∞，2)解析 y ′＝2x －4，令y ′>0，得x >2； 令y ′<0，得x <2，所以y ＝x 2－4x ＋a 的单调递增区间为(2，＋∞)， 单调递减区间为(－∞，2)． [呈重点、现规律]1．导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度．2．利用导数求函数f (x )的单调区间的一般步骤： (1)确定函数f (x )的定义域； (2)求导数f ′(x )；(3)在函数f (x )的定义域内解不等式f ′(x )>0和f ′(x )<0； (4)根据(3)的结果确定函数f (x )的单调区间.一、基础过关1．命题甲：对任意x ∈(a ，b )，有f ′(x )>0；命题乙：f (x )在(a ，b )内是单调递增的．则甲是乙的________条件． 答案 充分不必要解析 f (x )＝x 3在(－1,1)内是单调递增的，但f ′(x )＝3x 2≥0(－1<x <1)，故甲是乙的充分不必要条件．2．函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间是________．答案 (0,1)解析 ∵y ＝12x 2－ln x 的定义域为(0，＋∞)，∴y ′＝x －1x ，令y ′<0，即x －1x <0，解得0<x <1或x <－1. 又∵x >0，∴0<x <1.3．已知函数f (x )＝x ＋ln x ，则f (2)、f (e)、f (3)的大小关系为________________． 答案 f (2)<f (e)<f (3)解析 因为在定义域(0，＋∞)上f ′(x )＝12x ＋1x >0，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数， 所以有f (2)<f (e)<f (3)．4．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是________． ①y ＝sin x ；②y ＝x e 2； ③y ＝x 3－x ；④y ＝ln x －x . 答案 ②解析 显然y ＝sin x 在(0，＋∞)上既有增又有减；对于函数y ＝x e 2，因e 2为大于零的常数，不用求导就知y ＝x e 2在(0，＋∞)内为增函数； 对于③，y ′＝3x 2－1＝3(x ＋33)(x －33)， 故函数在(－∞，－33)，(33，＋∞)上为增函数， 在(－33，33)上为减函数； 对于④，y ′＝1x －1 (x >0)．故函数在(1，＋∞)上为减函数， 在(0,1)上为增函数． 故只有②符合．5．函数y ＝f (x )在其定义域⎝⎛⎭⎫－32，3内可导，其图象如图所示，记y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，则不等式f ′(x )≤0的解集为________．答案 ⎣⎡⎦⎤－13，1∪[2,3) 6．若三次函数f (x )＝ax 3＋x 在区间(－∞，＋∞)内是增函数，则a 的取值范围是________． 答案 (0，＋∞)解析 f ′(x )＝3ax 2＋1，∵f (x )在R 上为增函数，∴3ax2＋1≥0在R上恒成立．又a≠0，∴a>0.7.已知函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，试画出函数y＝f(x)的大致图象．解由y＝f′(x)的图象可以得到以下信息：当x<－2或x>2时，f′(x)<0，函数f(x)为减函数；当－2<x<2时，f′(x)>0，函数f(x)为增函数；f′(－2)＝0，f′(2)＝0.故原函数y＝f(x)的图象大致如图：二、能力提升8．如果函数f (x )的图象如图，那么导函数y ＝f ′(x )的图象可能是________．(填序号)答案 ①解析 由f (x )与f ′(x )关系可知①符合．9．若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调减区间为[－1，2]，则b ＝________，c ＝________.答案 －32－6 解析 f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，∵函数f (x )的单调减区间为[－1,2]∴f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ≤0，x ∈[－1,2]．∴－1,2是方程3x 2＋2bx ＋c ＝0的两个根．∴由根与系数的关系，得⎩⎨⎧ －2b 3＝(－1)＋2，c 3＝(－1)×2.∴b ＝－32，c ＝－6. 10．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1x 在(12，＋∞)内是增函数，则a 的取值范围是________． 答案 [3，＋∞)解析 由题意知f ′(x )≥0对任意的x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞恒成立，又f ′(x )＝2x ＋a －1x 2，所以2x ＋a －1x 2≥0对任意的x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞恒成立， 分离参数得a ≥1x 2－2x ， 若满足题意，需a ≥⎝⎛⎭⎫1x 2－2x max .令h (x )＝1x 2－2x ，x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞. 因为h ′(x )＝－2x 3－2， 所以当x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞时，恒有h ′(x )＜0，即h (x )在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上单调递减，所以h (x )＜h ⎝⎛⎭⎫12＝3，故a ≥3.11．求下列函数的单调区间：(1)y ＝x －ln x ； (2)y ＝ln(2x ＋3)＋x 2.解 (1)函数的定义域为(0，＋∞)，y ′＝1－1x， 由y ′>0，得x >1；由y ′<0，得0<x <1.∴函数y ＝x －ln x 的单调增区间为(1，＋∞)，单调减区间为(0,1)．(2)函数y ＝ln(2x ＋3)＋x 2的定义域为(－32，＋∞)． ∵y ＝ln(2x ＋3)＋x 2，∴y ′＝22x ＋3＋2x ＝4x 2＋6x ＋22x ＋3＝2(2x ＋1)(x ＋1)2x ＋3. 当y ′>0，即－32<x <－1或x >－12时， 函数y ＝ln(2x ＋3)＋x 2单调递增；当y ′<0，即－1<x <－12时， 函数y ＝ln(2x ＋3)＋x 2单调递减．故函数y ＝ln(2x ＋3)＋x 2的单调递增区间为(－32，－1)和(－12，＋∞)，单调递减区间为(－1，－12)． 12.已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象经过点P (0,2)，且在点M (－1，f (－1))处的切线方程为6x －y ＋7＝0.(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)求函数y ＝f (x )的单调区间．解 (1)由y ＝f (x )的图象经过点P (0,2)，知d ＝2，∴f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋2，f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c .由在点M (－1，f (－1))处的切线方程为6x －y ＋7＝0，知－6－f (－1)＋7＝0，即f (－1)＝1，f ′(－1)＝6.∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3－2b ＋c ＝6，－1＋b －c ＋2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧2b －c ＝－3，b －c ＝0.解得b ＝c ＝－3.故所求的解析式是f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2.(2)f ′(x )＝3x 2－6x －3.令f ′(x )>0，得x <1－2或x >1＋2；令f ′(x )<0，得1－2<x <1＋ 2.故f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2的单调递增区间为(－∞，1－2)和(1＋2，＋∞)，单调递减区间为(1－2，1＋2)．三、探究与拓展13.已知函数f (x )＝mx 3＋nx 2 (m 、n ∈R ，m ≠0)，函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线与x 轴平行．(1)用关于m 的代数式表示n ；(2)求函数f (x )的单调增区间．解 (1)由已知条件得f ′(x )＝3mx 2＋2nx ，又f ′(2)＝0，∴3m ＋n ＝0，故n ＝－3m .(2)∵n ＝－3m ，∴f (x )＝mx 3－3mx 2，∴f ′(x )＝3mx 2－6mx .令f ′(x )>0，即3mx 2－6mx >0，当m >0时，解得x <0或x >2，则函数f (x )的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)； 当m <0时，解得0<x <2，则函数f (x )的单调增区间是(0,2)．综上，当m>0时，函数f(x)的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)；当m<0时，函数f(x)的单调增区间是(0,2)．此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word可编辑版本！。

第1章导数及其应用1 变化率与导数1。

变化率函数的平均变化率为错误!＝错误!，它是用来刻画函数值在区间[x1，x2］上变化快慢的量。

式中Δx,Δy的值可正、可负,当函数f（x)为常数函数时，Δy的值为0,但Δx不能为0。

当Δx趋于0时，平均变化率就趋于函数在x0点的瞬时变化率。

例 1 甲、乙两人走过的路程s1(t),s2(t)与时间t的关系如图所示，试比较两人在时间段［0，t0]内的平均速度哪个大？解比较在相同的时间段[0,t0］内，两人速度的平均变化率的大小便知结果。

在t0处，s1(t0）＝s2（t0）,s1(0)>s2(0），所以错误!〈错误!.所以在时间段[0，t0]内乙的平均速度比甲的大.点评比较两人的平均速度的大小，其实就是比较两人走过的路程相对于时间的变化率的大小。

2。

导数的概念及其几何意义函数y＝f(x)在x＝x0处的导数即为函数y＝f（x)在x0处的瞬时变化率，即当Δx趋于0时,函数值y关于x的平均变化率错误!＝错误!的极限值；Δx无限趋近于0，是指函数自变量之间的间隔能有多小就有多小，但始终不能为零.函数y＝f（x）在x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f（x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率，即f′（x0）＝k＝tan α，因此在切线的斜率、切点的横坐标两个量中，只要已知其中一个量，就可以求出另一个量。

例 2 如图所示，函数f(x）的图象是折线段ABC，其中A,B，C的坐标分别为（0,4)，(2,0)，(6，4）,则f［f(0）]＝________；错误!错误!＝________。

(用数字作答)解析由A（0,4)，B（2,0）可得线段AB的方程为f（x)＝－2x＋4（0≤x≤2)。

同理线段BC的方程为f(x）＝x－2（2<x≤6）.所以f（x)＝错误!所以f(0）＝4，f[f（0）]＝f（4）＝2，错误!错误!＝f′（1）＝－2。

答案 2 －2例3 函数f（x)的图象如图所示,则下列不等关系中正确的是（）A。

1.3.3 导数的实际应用1．学会解决实际问题的基本方法，注意首先通过分析、思考、总结、联想，建立问题涉及的变量之间的函数关系式，然后根据实际意义确定定义域．2．学会利用导数求解实际问题，感受导数在解决实际问题中的作用．求实际问题中的最值的主要步骤(1)列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y ＝f (x )； (2)求函数的导数f′(x )，解方程________；(3)比较函数在区间______和使f′(x )＝0的点的取值大小，最大(小)者为最大(小)值．(1)求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考虑，不符合实际意义的理论值应舍去；(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f′(x )＝0的情形，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值；(3)在解决实际优化问题中，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系式给予表示，还应确定函数关系式中自变量的定义区间．【做一做1－1】内接于半径为R 的半圆的周长最大的矩形的边长为( )． A ．R 2和32R B ．55R 和455R C ．45R 和75R D ．以上都不对 【做一做1－2】面积为S 的所有矩形中，其周长最小的是________．如何求解实际应用题？剖析：解应用题首先要在阅读材料、理解题意的基础上把实际问题抽象成数学问题．就是从实际问题出发，抽象概括，利用数学知识建立相应的数学模型；再利用数学知识对数学模型进行分析、研究，得到数学结论；然后再把数学结论返回到实际问题中进行检验，其思路如下：(1)审题：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，找出问题的主要关系； (2)建模：将文字语言转化成数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型； (3)解模：把数学问题化归为常规问题，选择合适的数学方法求解；(4)对结果进行验证评估，定性、定量分析，作出正确的判断，确定其答案．值得注意的是：在实际问题中，有时会遇到函数在定义区间内只有一个点使f′(x )＝0的情形，如果函数在这个点有极大(小)值，那么不与端点值比较也可以知道这就是最大(小)值．这里所说的也适用于开区间或无穷区间．题型一 利用导数求实际问题的最小值【例题1】为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小，并求最小值． 分析：根据题设条件构造函数关系，再应用导数求最值．反思：解答一道应用题重点要过三关：事理关(需要读懂题意，知道讲的是什么事件)；文理关(需要把实际问题的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达数学关系)；数理关(要求学生有对数学知识的检索能力，认定或构建相应的数学模型，完成由实际问题向数学问题的转化，进而借助数学知识进行解答)．对于这类问题，往往因忽视了数学语言和普通语言的转换，从而造成了解决应用问题的最大思维障碍．题型二 利用导数求实际问题的最大值【例题2】如图所示，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r ，短半轴长为r ，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB 是半椭圆的短轴，上底CD 的端点在椭圆上，记CD ＝2x ，梯形面积为S .(1)求面积S 以x 为自变量的函数关系式，并写出其定义域； (2)求面积S 的最大值．分析：建立坐标系，求出椭圆方程，表示出梯形的面积，应用导数求最值．反思：本题的关键是建立直角坐标系，得到椭圆方程x 2r 2＋y 24r2＝1(y ≥0)，进而得到梯形面积S ＝2(x ＋r )·r 2－x 2.利用导数法解决实际问题，当遇到在定义区间内只有一个点使f′(x )＝0的情形时，若函数在这一点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值．题型三 易错辨析 易错点：在运用导数解决实际问题的过程中，常常因为忽略实际问题中函数的定义域而造成结果求解错误．解决问题的主要措施为：在准确理解题意的基础上，正确建模，在实际问题的定义域范围内求出问题的最优解．【例题3】某厂生产一种机器，其固定成本(即固定投入)为0.5万元．但每生产100台，需要增加可变成本(即另增加投入)0.25万元．市场对此产品的年需求量为500台，销售收入(单位：万元)函数为R (x )＝5x －12x 2(0≤x ≤5)，其中x 是产品售出的数量(单位：百台)．(1)把利润表示为年产量的函数；(2)年产量是多少时，工厂所得利润最大？错解：(1)y ＝R (x )－C (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫5x －12x 2－(0.5＋0.25x )＝－12x 2＋194x －12(0≤x ≤5)． (2)y′＝－x ＋194，令y′＝0，得x ＝194＝4.75，∴4.75必为最大值点．∴年产量为475台时，工厂利润最大．1将8分为两数之和，使其立方之和为最小，则分法为( )． A ．2和6 B ．4和4C ．3和5D ．以上都不对 2用边长为48 cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒，当所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为( )．A ．6 cmB ．8 cmC ．10 cmD ．12 cm3某车间要靠墙壁盖一间长方形小屋，现有砖只够砌20 m 长的墙壁，则应围成长为________ m ，宽为________ m 的长方形才能使小屋面积最大．4做一个容积为256的方底无盖水箱，当它的高为________时，最省材料． 答案：基础知识·梳理(2)f′(x )＝0 (3)端点【做一做1－1】B 设矩形的一边长为x ，则另一边长为2R 2－x 2，周长l ＝2x ＋4R 2－x 2(0＜x ＜R )，∴l ′＝2－4xR 2－x2，令l ′＝0，得x 1＝55R ，x 2＝－55R (舍去)，当0＜x ＜55R 时，l ′＞0；当55R ＜x ＜R 时，l ′＜0，所以当x ＝55R 时，l 取最大值，即矩形周长最大时边长为55R 和455R . 【做一做1－2】以S 为边长的正方形 设矩形的一边长为x ，则另一边长为Sx，周长f (x )＝2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋S x ，f′(x )＝2⎝⎛⎭⎪⎫1－S x2，令f′(x )＝0，得x ＝S ，易知当x ＝S 时，f (x )有极小值，也就是最小值．典型例题·领悟【例题1】解：(1)设隔热层厚度为x cm ，由题设，每年能源消耗费用为C (x )＝k 3x ＋5，又C (0)＝8，∴k ＝40，因此C (x )＝403x ＋5，而建造费用C 1(x )＝6x ，从而隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f (x )＝20C (x )＋C 1(x )＝20×403x ＋5＋6x ＝8003x ＋5＋6x (0≤x ≤10) (2)f′(x )＝6－2 400x ＋2，令f′(x )＝0，即2 400x ＋2＝6，得x 1＝5，x 2＝－253(舍去)，当0＜x ＜5时，f′(x )＜0，当5＜x ＜10时，f′(x )＞0，故5是f (x )的最小值点，对应的最小值为f (5)＝6×5＋80015＋5＝70，即当隔热层修建5 cm 厚时，总费用达到最小值70万元．【例题2】解：(1)依题意，以AB 所在的直线为x 轴，AB 的中点O 为原点建立直角坐标系(如图所示)，则点C 的横坐标为x ，点C 的纵坐标y 满足方程x 2r 2＋y 24r2＝1(y ≥0)，即y ＝2r 2－x 2(0＜x ＜r )．S ＝12(2x ＋2r )·2r 2－x 2＝2(x ＋r )·r 2－x 2，其定义域为{x |0＜x ＜r }．(2)记f (x )＝4(x ＋r )2(r 2－x 2)，0＜x ＜r ，则f′(x )＝8(x ＋r )2(r －2x )． 令f′(x )＝0，得x ＝12r .因为当0＜x ＜r2时，f′(x )＞0；当r2＜x ＜r 时，f′(x )＜0， 所以f (12r )是f (x )的最大值．因此，当x ＝12r 时，S 也取得最大值，最大值为f12r ＝332r 2.故梯形面积S 的最大值为332r 2.【例题3】错因分析：实际问题中，该厂生产的产品数量不一定在500台之内(含500台)，应有x ＞5的情况，错解忽视了此种情况，就出现了错误．正解：(1)利润y ＝R (x )－C (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎪⎫5x －x 22－＋0.25x ≤x ，⎝ ⎛⎭⎪⎫5×5－522－＋0.25xx ＞，＝⎩⎪⎨⎪⎧－12x 2＋4.75x －x，12－0.25x x ＞(2)0≤x ≤5时，y ＝－12x 2＋4.75x －0.5，∴当x ＝4.75时，y max ≈10.78(万元)；当x ＞5时，y ＝12－0.25x ＜12－0.25×5＝10.75(万元)． ∴年产量是475台时，工厂所得利润最大． 随堂练习·巩固1．B 设其中一个数为x ，则另一个数为8－x ，y ＝x 3＋(8－x )3，0≤x ≤8，y′＝3x2－3(8－x )2，令y′＝0即3x 2－3(8－x )2＝0，得x ＝4.当0≤x ＜4时，y′＜0；当4＜x ≤8时，y′＞0.所以当x ＝4时，y 最小．2．B 设截去的小正方形的边长为x cm ，铁盒的容积为V cm 3，由题意，得V ＝x (48－2x )2(0＜x ＜24)，V ′＝12(24－x )(8－x )．令V ′＝0，则在区间(0,24)内有解x ＝8，故当x ＝8时，V 有最大值．3．10 5 设长为x m ，宽为y m ，则x ＋2y ＝20，y ＝10－x2.S ＝x ·y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫10－x 2＝10x－x 22，S ′＝10－x ，令S ′＝0，得x ＝10，∴x ＝10，y ＝5.4．4 设方底无盖水箱的底面边长为a ，高为h ，则V ＝a 2h ＝256，即h ＝256a2.用料最省，即表面积最小．S 表＝S 底＋S 侧＝a 2＋4ah ＝a 2＋4a 256a 2＝a 2＋1 024a .S ′＝2a －1 024a2.令S ′＝0，得2a －1 024a 2＝0，解得a ＝8，此时h ＝25664＝4.。