单向方差分析

SS总 ( xij X ) ( xij X j ) ( X j X ) j 1 i 1
2 s nj
s
nj
2
( xij X j )2 ( X j X )2 2 ( xij X j )( X j X )
j 1 i 1 j 1 i 1 j 1 i 1
Proc anova data=fcfx; Class g;
Model x=g;
Run;
2.7 7.8 6.9 1.5 9.4 3.8 7.5 8.4 12.2 6.0
-0.6 5.7 12.8 4.1 -1.8 -0.1 6.3 12.7 9.8 12.6 2.0 5.6 7.0 7.9 4.3 6.4 7.0 5.4 3.1 5.6 9.5 6.0 8.7 9.2 5.0 3.5 5.8 8.0 15.5 11.8 16.3 11.8 14.6 4.9 8.1 3.8 6.1 13.2 16.5 9.2 ;;;;
( s 1, n s) F F 若 ，则p < ，拒绝H0 ( s 1, n s) F F 若 ，则p ≥ ，不拒绝H0
三、方差分析的步骤
1.建立检验假设，确定检验水准 ； H 0 : μ 1 = μ 2 = …= μ s H1:μ1 ，μ2 ，…，μs 不全相等
这两段程序提交运 行后，可得如下结 果：
The ANOVA Procedure Dependent Variable: x Source Model Error Corrected Total DF 2 57 59 Sum of Squares 176.764976 909.871524 1086.636500 Mean Square 88.382488 15.962658 F Value 5.54 Pr > F 0.0063
而
SS组间 ( X j X ) n j ( X j X )2
2 j 1 i 1
s
nj
s
j 1
中的各项表示水平Aj下的样本均值与全部观测数据的总平 均值之间的差异，这种差异是由水平Aj及随机误差所引起 的，故称SS组间 (Model sum of squares)为组间平方和， 且可以证明： SS组间的自由度为s－1。
由于分子MS组间是由各水平组不同所引起的差异及随机 误差所构成的，而分母MS组内仅由随机误差所构成，故当
F ≈ 1，可以认为各水平组之间的差异不存在，即推断H0成立； F＞＞1，则认为各水平组之间存在差异，即推断H0不成立。
注意：F 值非负。
至于F 值究竟要大到何种程度才能拒绝原假设，可由F 分布的临界值来确定。通常可以通过查F 分布的界值表来 决定。 对于事先给定的检验水准
在方差分析的计算中，上述第2、3步计算量较大， 在实际应用中，通常是利用统计分析软件来完成的。 下面我们通过一个实例，介绍在SAS（Statistics Analysis System)软件中进行方差分析的方法。
四、实例
考虑本章开头的例子。 首先提出检验假设：
H0 : 1 2 =3
并取 ＝0.05
但在实际工作中，常常会遇到两个 以上的样本均数的比较，如将上述问题 改为： 某医生为研究一种降糖药的疗效， 以统一的纳入标准和排除标准选择了60 名II型糖尿病患者，随机将其分为三组 进行双盲临床试验。其中高剂量组21人， 低剂量组19人，对照组20人，对照组服 用公认的降糖药物。治疗4周后测得其餐 后2小时血糖的下降值(mmol/L)，结果如 表2。问治疗4周后餐后2小时血糖下降值 的三组总体水平是否不同？
第八章 单向方差分析
One way analysis of variance
主讲教师
田考聪教授
一、问题的提出
先看一个例子： 某医生为研究一种降糖药的疗效，以统一 的纳入标准和排除标准选择了39名II型糖尿病 患者，随机将其分为两组进行双盲临床试验。 其中试验组19人，对照组20人，对照组服用公 认的降糖药物。治疗4周后测得其餐后2小时血 糖的下降值(mmol/L)，结果如表1。问治疗4周 后餐后2小时血糖下降值的两组总体水平是否 不同？
SS总 ( xij X )2
j 1 i 1
s
nj
1 s j X xij n j 1 i 1 是所有样本观测值的总平均；SS总又称为总变差，它反映 了全部试验数据之间的差异。记水平Aj下的样本均值为
Xj 1 nj
其中：
n
x
i 1
nj
ij
对总平方和SS总可作如下的分解：
表1
II型糖尿病患者治疗4周后
餐后2小时血糖的下降值(mmol/L) 试验组
－0.6 5.7 12.8 4.1 …
对照组
12.4 0.9 7.0 3.9 …
4.3
6.4 7.0
9.4
3.8 7.5
5.4
3.1
8.4
12.2 6.0
显然，当两个样本来自正态总体，且两个 总体方差相等时，我们可用两样本均数比较的 t-检验来解决这个问题。其检验假设：为
2.按照表3的格式，整理并计算出相应的统计量；
3.计算出各平方和、自由度及相应的均方； 4.列出如下形式的方差分析表：
方差 来源 组间 组内 总 平方和 SS组间 SS组内 SS总 自由度 s－1 n－s n－1 均方 MS组间 MS组内
F 值
F MS组间 MS组内
5.查F 界值表，确定 p 值，并作出统计学推断。
s
nj
j 1 i 1 s nj
s
nj
注意到
s
( x
j 1 i 1 s
nj
ij
X j )( X j
nj ( X j X ) xij n j X j 0 j 1 i 1
于是总平方和SS总可分解为
nj nj
nj X ) ( X j X ) ( xij X j ) j 1 i 1
于是，Fisher构造了如下的统计量：
SS组间 (s 1) MS组间 F SS组内 (n s) MS组内
并证明了这个F 统计量服从自由度为(s－1，n－s)的F 分 布。 其中：
MS组间＝ SS组间/(s－1)称为组间均方(Model Mean Square)，
MS组间＝ SS组内/(n－s)称为组内均方(Error Mean Square)。
H1 : 1, 2 , 2不全相等
为了进行方差分析，我们调用SAS系统，并执行
如下的计算程序：
Data fcfx;
Input x @@; If _n_<=20 then g=1; If 20<_n_<=39 then g=2; If 39<_n_ then g=3; Cards; 12.4 0.9 7.0 3.9 1.6 6.4 3.0 3.9 2.2 1.1
水平 样 本 观 测 值
样本 总和 样本 均值 总体 均值
A1
A2
… … … …
As
x11 x21
x12
x1s
x22
x2 s
xn11
T•1
xn2 2
T•2
… … … …
xns s
T•s
X1 1
X2 2
Xs
s
假定各水平Aj均为正态总体 N ( j , 2 )， j =1,2,…,s， 且各水平下的样本之间相互独立 . 在这个假定之下，方差分析的任务就是要检验如 下的假设：
H0:μ1=μ2 = …=μs
其备择假设为：
如何来检验这个假设呢？英国统计学家R.A.Fisher 从方差构成的角度对这个问题进行了探讨，并于1923年 首次给出了如下的平方和分解定理。
二、Fisher的平方和分解
考虑总平方和 (total sum of squares)
H0 : 1 2
H1 : 1 2
其检验统计量为：
其中：
X1 X 2 t S X1 X 2
2 2 ( n 1) S ( n 1) S 2 1 2 2 Sc 1 n1 n2 2
S X1 X 2
1 2 1 Sc , n1 n2
表2
II型糖尿病患者治疗4周后餐后2小时
血糖的下降值(mmol/L) 高剂量组
5.6
9.5 6.0 8.7 … 4.9 8.1 3.8 6.1 13.2
低剂量组
－0.6
5.7 12.8 4.1 … 4.3 6.4 7.0 5.4 3.1
对照组
12.4
0.9 7.0 3.9 … 9.4 3.8 7.5 8.4 12.2
H0 : 1 2 =3
H1 : 1, 2 , 2不全相等
下面，我们把这个问题推广到更一般的情形。
一般地，对于单因素试验，假设因素 A 有 s 个水平： A1 ，A2 ，…，As 。在水平Aj(j=1,2,…,s)进行 nj 次独立 试验，得到如下的试验结果：
表3 单因素方差分析的资料格式
s
SS总 ( xij X j )2 ( X j X )2 SS组内 S组间
j 1 i 1 j 1 i 1
s
s
其中：
SS组内 ( xij X j )2
j 1 i 1
s
nj
中的各项表示在水平Aj下，样本观测值与样本均值之间的差 异，这种差异是由抽样所引起的，故 SS 组内 (Error sum of squares) 称为组内离差平方和 ( 又称为误差平方和 ) ，且可 以证明： SS组内的自由度为n－s。
我们在因素 ( 药物 ) 所处的每一水平下进行 了独立试验，其结果是一随机变量。如果将因 素的每一水平分别视为一个总体，各总体的均 1 , 2 , 3 ，则表中数据可视为来自 值分别为 三个不同总体的样本值。如果三个总体都服从 正态分布，且三个总体方差都相等（方差齐 性），则本例的问题即为如下的检验假设问题：