1.1.1算法的概念

1.1.1算法的概念新知初探1．算法的概念在数学中，算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤．现在，算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题．2．算法的特征(1)确定性：算法中每一步都是确定的，并且能有效地执行且得到确定的结果．(2)有限性：一个算法的步骤是有限的，不能无限地进行下去，它能在有限步的操作后解决问题．(3)有序性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每个步骤只能有一个确定的后继步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步．(4)不唯一性：解决一个问题可以有多种不同的算法．(5)普遍性：给出一个算法的程序步骤，它可以解决一类问题，并且能够多次重复使用．小试身手1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)求解一类问题的算法是唯一的()(2)算法必须在有限步骤操作之后解决问题()(3)算法执行后一定产生确定的结果()2．下列叙述不能称为算法的是()A．从北京到上海先乘汽车到飞机场，再乘飞机到上海B．解方程4x＋1＝0的过程是先移项再把x的系数化成1C．利用公式S＝πr2计算半径为2的圆的面积得π×22D．解方程x2－2x＋1＝03．下面是某人出家门先打车去火车站，再坐火车去北京的一个算法，请补充完整．第一步，出家门．第二步，________________.第三步，坐火车去北京．题型一算法概念的理解[典例]下列说法正确的是()A．算法就是某个问题的解题过程B．算法执行后可以产生不同的结果C．解决某一个具体问题算法不同，则结果不同D．算法执行步骤的次数不可以很大，否则无法实施类题通法算法实际上是解决问题的一种程序性方法，它通常解决某一个或一类问题，用算法解决问题，体现了从特殊到一般的数学思想．[活学活用]有人对哥德巴赫猜想“任何大于4的偶数都能写成两个奇质数之和”设计了如下操作步骤：第一步，检验6＝3＋3.第二步，检验8＝3＋5.第三步，检验10＝5＋5.……利用计算机一直进行下去！请问：利用这种步骤能够证明猜想的正确性吗？这是一个算法吗？题型二算法的设计[典例]写出求1＋2＋3＋4＋5＋6的一个算法．类题通法设计具体问题的算法的一般步骤(1)分析问题，找出解决问题的一般数学方法；(2)借助有关变量或参数对算法加以表述；(3)将解决问题的过程划分为若干步骤；(4)用简练的语言将这个步骤表示出来．[活学活用]1．求1×3×5×7×9×11的值的一个算法如下，请补充完整．第一步，求1×3得结果3.第二步，将第一步所得结果3乘以5，得到结果15.第三步，_________________________________________________________________.第四步，再将第三步所得结果105乘以9，得到结果945.第五步，再将第四步所得结果945乘以11，得到结果10 395，即为最后结果．2．写出解方程x2－2x－3＝0的一个算法．学业水平达标1．下列关于算法的说法中正确的个数有( )①求解某一类问题的算法是唯一的；②算法必须在有限步骤操作之后停止；③x 2－x ＞2是一个算法；④算法执行后一定产生确定的结果．A ．1B ．2C ．3D ．42．已知直角三角形两直角边长为a ，b ，求斜边长c 的一个算法分下列三步：( )①计算c ＝a 2＋b 2；②输入直角三角形两直角边长a ，b 的值；③输出斜边长c 的值．其中正确的顺序是( )A ．①②③B ．②③①C ．①③②D ．②①③3．下列叙述中，①植树需要运苗、挖坑、栽苗、浇水这些步骤；②按顺序进行下列运算：1＋1＝2,2＋1＝3,3＋1＝4，…99＋1＝100；③从青岛乘火车到济南，再从济南乘飞机到广州；④3x ＞x ＋1；⑤求所有能被3整除的正数，即3,6,9,12，….能称为算法的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 4．下列所给问题中，不能设计一个算法求解的是( )A ．用“二分法”求方程x 2－3＝0的近似解(精确度0.01)B ．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋5＝0，x －y ＋3＝0 C ．求半径为2的球的体积D ．求S ＝1＋2＋3＋…的值参考答案小试身手1．【解析】由算法具有有限性、确定性和不唯一性可知(1)错，(2)、(3)对．【答案】(1)× (2)√ (3)√2．【解析】选项A，B给出了解决问题的方法和步骤，是算法；选项C是利用公式计算，也属于算法；选项D只提出问题没有给出解决的方法，不是算法．【答案】D3．【答案】打车去火车站[典例]【解析】例如：判断一个整数是否为偶数，结果为“是偶数”和“不是偶数”两种；选项A，算法不能等同于解法；选项C，解决某一个具体问题算法不同，但结果应相同；选项D，算法可以为很多次，但不可以无限次．【答案】B[活学活用]解：利用这种步骤不能证明猜想的正确性．此步骤不满足算法的有限性，因此不是算法.[典例] [解]法一：第一步，计算1＋2得到3.第二步，将第一步中的运算结果3与3相加得到6.第三步，将第二步中的运算结果6与4相加得到10.第四步，将第三步中的运算结果10与5相加得到15.第五步，将第四步中的运算结果15与6相加得到21.法二：第一步，将原式变形为(1＋6)＋(2＋5)＋(3＋4)＝3×7.第二步，计算3×7.[活学活用]1．【解析】依据算法功能可知，第三步应为“再将第二步所得结果15乘以7，得到结果105”．【答案】再将第二步所得结果15乘以7，得到结果1052．解：法一：第一步，移项得x2－2x＝3.①第二步，①式两边同时加1，并配方得(x－1)2＝4.②第三步，②式两边开方，得x－1＝±2.③第四步，解③式得x1＝3，x2＝－1.法二：第一步，计算出一元二次方程的判别式的值，并判断其符号．显然Δ＝(－2)2－4×1×(－3)＝16>0.第二步，将a＝1，b＝－2，c＝－3代入求根公式x1,2＝－b±b2－4ac2a，得x1＝3，x2＝－1.学业水平达标1．【解析】依据算法的多样性(不唯一性)知①错误；由算法的有限性，确定性知②④正确；因为x2－x＞2仅仅是一个数学问题，不能表达一个算法，所以③是错误的；由于算法具有可执行性，正确的有②④.【答案】B2．【解析】明确各步骤间的关系即可知D选项正确．【答案】D3．【解析】根据算法的含义和特征知：①②③都是算法；④⑤不是算法．其中④，3x＞x＋1不是一个明确的步骤，不符合确定性；⑤的步骤是无穷的，与算法的有限性矛盾．【答案】B4．【解析】对于D，S＝1＋2＋3＋…，不知道需要多少步完成，所以不能设计一个算法求解．【答案】D。